拓展提升01 数列的求和及应用（6大热点题型+精讲精练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

拓展提升01 数列的求和 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. ①等差数列的前n项和公式： . ②等比数列的前n项和公式： =. 2．倒序相加法 如果一个数列{}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 3．分组求和法 （1）把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 若数列的通项公式为，且为等差或等比数列，可采用分组分别求和法求数列的前n项和． （2）若数列的通项公式为奇偶分段数列型或者绝对值分段数列型，可采用分组求和法求数列的前n项和，注意对n进行分类讨论 （3）一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解. 4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项公式： （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6） 5.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解． 错位相减法求和时，应注意：①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式． ②应用等比数列求和公式必须注意公比是否等于1，如果，应用公式. 题型01 公式法 【典例1】（24-25高三上·辽宁·期中）数列中，已知对任意自然数，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·天津东丽·阶段练习）已知为等比数列{}的前 项和， 则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·河南漯河·期末）等差数列中，，则其前100项和为（    ） A．5050 B．10010 C．10100 D．11000 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）在数列中，已知，则的前10项和为（　　） A．2040 B．2046 C．4040 D．4046 【变式4】（24-25高二上·福建·期中）已知等差数列的前项和为，，则（   ） A．880 B．220 C．110 D．440 题型02 倒序相加法 【典例2】（24-25高二上·湖南·期中）若等比数列满足，则（    ） A． B．1012 C． D．1013 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（   ） A．2022 B．4036 C．2023 D．4038 【变式3】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 题型03 分组求和法 【典例3】（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知数列的前项和为且满足；等差数列满足，且成等比数列. (1)求数列与的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 【变式1】（24-25高二上·甘肃张掖·阶段练习）已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【变式2】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知等差数列的前项和为，，且，数列为等比数列，公比为2，且． (1)求数列与的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 【变式3】（24-25高二上·湖南永州·期中）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【典例4】（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2n项和． 【变式1】（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知数列的前项和为，且，则的值为（    ） A．300 B． C．210 D． 【变式2】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列满足，，则数列的前2n项和 . 【变式3】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，且． (1)设，证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值． 型 【典例5】（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）（多选）已知数列，记的前项和为，下列说法正确的是（    ） A． B．是等差数列 C． D． 【变式1】（24-25高二上·广东东莞·期中）已知公差的等差数列满足，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求 【变式2】（24-25高二上·江苏·期中）已知数列是等差数列，且恒成立，它的前四项的平方和为54，且这四项中首尾两数的积比中间两数的积少2． (1)求的通项公式． (2)若，，求数列的前100项和． 【变式3】（24-25高二上·江苏·期中）已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【典例6】（24-25高三上·江苏苏州·期中）在数列中，，则数列前24项和的值为（    ） A．144 B．312 C．288 D．156 【变式1】（23-24高二下·江西萍乡·期中）数列满足，前项和为，对任意正整数都有，则（    ） A．18 B．28 C．40 D．54 【变式2】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知数列满足，，则该数列的前22项和为（    ） A．69 B．88 C．89 D．96 【变式3】（23-24高二下·广西南宁·期末）已知数列满足，则其前9项和 . 题型04 裂项相消法 等差型 【典例7】（23-24高二上·河南漯河·期末）已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)求数列的前项和. 【变式1】（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）等比数列中，，则数列的前2022项和为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·天津东丽·阶段练习）已知数列满足，则数列的前n项和 【变式3】（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知等差数列的前n项和满足，. (1)求的通项公式； (2)，求数列的前n项和. 根式型 【典例8】（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，若，则数列的前n项和 ． 【变式2】（2024高二·全国·专题练习）已知数列的前项和，的值为 . 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）数列的通项公式，则该数列的前n项和 ． 指数型 【典例9】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知数列的前项和为，，，且. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：. 【变式1】（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知数列满足，记数列前项为，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏镇江·期中）（多选）已知等比数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是（   ） A．数列的通项公式 B． C．数列的通项公式为 D． 【变式3】（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知数列的首项为1，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 通项 型 【典例10】（2024高二·全国·专题练习）设，则数列的前项和 . 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列，其前项和为． (1)证明：“”是“若数列是等差数列，且也是等差数列”的充分条件； (2)若，求数列的前项和． 【变式2】（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知在数列中，，，，数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 题型05 错位相减法 【典例11】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【变式1】（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【变式2】（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知数列的前n项和为，满足． (1)求的通项公式： (2)若，求数列的前n项和． 【变式3】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等比数列的前项和为，且． (1)求； (2)若，求数列的前项和． 题型06 数列求和与不等式 【典例12】（24-25高二上·天津东丽·阶段练习）已知数列，，，为数列的前项和，且. (1)令. （i） 求证: 数列为等差数列，并求数列的通项公式； （ii） 求数列的前项和； (2)设数列的前项和，对，恒成立，求实数的取值范围. 【变式1】（24-25高二上·重庆·期中）已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，． (1)求公差和； (2)记，证明：． 【变式2】（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知数列的前n项和为数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)令求数列的前n项和； (3)若， 存在正整数n使得，成立，求k的取值范围. 【变式3】（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知数列的前n项和为数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)令求数列的前n项和； (3)若， 存在正整数n使得，成立，求k的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展提升01 数列的求和 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. ①等差数列的前n项和公式： . ②等比数列的前n项和公式： =. 2．倒序相加法 如果一个数列{}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 3．分组求和法 （1）把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 若数列的通项公式为，且为等差或等比数列，可采用分组分别求和法求数列的前n项和． （2）若数列的通项公式为奇偶分段数列型或者绝对值分段数列型，可采用分组求和法求数列的前n项和，注意对n进行分类讨论 （3）一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解. 4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项公式： （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6） 5.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解． 错位相减法求和时，应注意：①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式． ②应用等比数列求和公式必须注意公比是否等于1，如果，应用公式. 题型01 公式法 【典例1】（24-25高三上·辽宁·期中）数列中，已知对任意自然数，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用与，求得，进而得到，再利用等比数列的前和公式，即可求解. 【详解】因为①， 当时，②，由①②得， 又，满足，所以， 由，得到， 所以， 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·天津东丽·阶段练习）已知为等比数列{}的前 项和， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据前项和公式，根据得，即可根据求解. 【详解】若公比，则这与矛盾，故公比不为1， 由可得，故， 又，故， 故选：D 【变式2】（23-24高二上·河南漯河·期末）等差数列中，，则其前100项和为（    ） A．5050 B．10010 C．10100 D．11000 【答案】C 【分析】利用等差数列性质得，再利用求和公式求解得答案 【详解】∵， ∴，解得， 所以. 故选：C. 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）在数列中，已知，则的前10项和为（　　） A．2040 B．2046 C．4040 D．4046 【答案】B 【分析】由已知条件表示出的前10项和，再由等比数列求和可得答案. 【详解】因为，所以， ，， ，， 则的前10项和为. 故选：B. 【变式4】（24-25高二上·福建·期中）已知等差数列的前项和为，，则（   ） A．880 B．220 C．110 D．440 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质可求的值，从而可求. 【详解】因为，所以， 故， 故选：D. 题型02 倒序相加法 【典例2】（24-25高二上·湖南·期中）若等比数列满足，则（    ） A． B．1012 C． D．1013 【答案】A 【分析】利用等比数列的性质计算出的值，然后利用倒序相加法可求得所求代数式的值. 【详解】等比数列满足，则， 所以，对任意的的正整数， ， 令， 则， 故. 故选：A. 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 【答案】C 【分析】利用倒叙相加法求和即可. 【详解】①， ②， ①+②得 ， 所以. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（   ） A．2022 B．4036 C．2023 D．4038 【答案】C 【分析】根据题意结合等比数列的性质可得，根据函数解析式可得，利用倒序相加法运算求解. 【详解】因为正项数列是公比不等于1的等比数列， 且，则，即， 结合等比数列性质可得， 又因为函数，则， 令，则， 可得， 所以． 故选：C. 【变式3】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）直接代入化简即可； （2）由（1），结合等比数列性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 题型03 分组求和法 【典例3】（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知数列的前项和为且满足；等差数列满足，且成等比数列. (1)求数列与的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用求出；设等差数列的公差为，由求出可得； （2）利用分组求和的方法可得答案.. 【详解】（1）， ， ，又， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，则， 设等差数列的公差为， 则由，得， 解得：或， 时，，此时，构不成等比数列，舍去， 所以； （2）， . 【变式1】（24-25高二上·甘肃张掖·阶段练习）已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列前3项和以及等比中项的性质构造方程组计算可得； （2）利用分组求和以及错位相减法计算可得结果. 【详解】（1）依题意可得， 即，整理可得， 解得或（舍），所以； 即可得， 所以数列的通项公式； （2）由（1）可得， . 可得. 【变式2】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知等差数列的前项和为，，且，数列为等比数列，公比为2，且． (1)求数列与的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由等差数列与等比数列前项和公式，分别求得公差与，带入等差数列与等比数列的通项公式即可； （2）由等差数列与等比数列前项和公式可得. 【详解】（1）设的公差为，因为，所以， 又，则，故， 所以； 因为，，所以，解得， 所以. （2）结合（1）可得： . 【变式3】（24-25高二上·湖南永州·期中）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出等差数列的公差，结合已知条件列出方程，进而求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用分组求和法及等差、等比数列前项和公式求解即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，， 得，解得， 所以数列的通项公式为：. （2）由（1）知，则 . 【典例4】（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用 来求得的通项公式. （2）利用分组求和法、裂项求和法等求和方法来求得数列的前2n项和． 【详解】（1）依题意，，， 当时，，解得，（舍去）. 当时，由得， 两式相减得， 即，由于， 所以，所以数列是首项为， 公差为的等差数列，所以（也符合）. （2）由（1）得， 所以 . 【变式1】（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知数列的前项和为，且，则的值为（    ） A．300 B． C．210 D． 【答案】A 【分析】由递推关系得的奇数项是首项为 ，公差为3的等差数列，再利用分组转化求和以及等差数列的求和公式求解即可. 【详解】若为奇数，则是偶数，是奇数， 则 ， ① ， ② ①②得：， 所以的奇数项是首项为 ，公差为3的等差数列； 所以 . 故选:A. 【变式2】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列满足，，则数列的前2n项和 . 【答案】 【分析】由题意数列的所有偶数项构成以1为首项2为公比的等比数列，所有奇数项构成以1为首项1为公差的等差数列，分组求和即可. 【详解】由可得， 数列的所有偶数项构成以1为首项，以2为公比的等比数列， 数列的所有奇数项构成以1为首项，以1为公差的等差数列， 前2n项和. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，且． (1)设，证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)20. 【分析】（1）由已知条件，用表示出，得出，再用表示出，得出，联立得出，通过构造得出，检验，即可得出证得结论. （2）由（1）求出，再求出即可求出数列的通项公式. （3）由（2）的结论，探讨数列的单调性，再计算判断即得. 【详解】（1）由，得，，， 则，又，于是，解得， 又，则，解得， 因此，整理得，即， 由，得，则，， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，，即，，， 所以数列的通项公式是. （3）由（2）知，，则， ，，因此数列是递增数列， 而，， 所以使得不等式成立的n的最小值是20. 型 【典例5】（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）（多选）已知数列，记的前项和为，下列说法正确的是（    ） A． B．是等差数列 C． D． 【答案】BD 【分析】通过观察数列各项可得选项A错误；根据数列通项公式计算，结果为关于的一次函数形式可得选项B正确；利用，代入数据可得选项C错误；利用分组求和可得选项D正确. 【详解】A.根据数列各项可得，选项A错误. B. ∵， ∴是以为首项，为公差的等差数列，选项B正确. C. ，选项C错误. D. ，选项D正确. 故选：BD. 【变式1】（24-25高二上·广东东莞·期中）已知公差的等差数列满足，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）根据等差数列的通项公式表达和成等比数列，解出，即可求解； （2）求出，再并项求和即可. 【详解】（1）解：由题设， 因为成等比数列，即， 所以， 由，可解得 所以 （2）解：因为， 所以 . 【变式2】（24-25高二上·江苏·期中）已知数列是等差数列，且恒成立，它的前四项的平方和为54，且这四项中首尾两数的积比中间两数的积少2． (1)求的通项公式． (2)若，，求数列的前100项和． 【答案】(1)； (2)5150. 【分析】（1）根据给定条件，建立首项、公差的方程，进而求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用并项求和法求解即得. 【详解】（1）设的首项为，公差为d， 依题意，，解得或， 由恒成立，得， 又，而，解得， 所以的通项公式. （2）由（1）知，， 则， 所以. 【变式3】（24-25高二上·江苏·期中）已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）由并项求和法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，解得，所以. （2）由（1）可得， 所以. 【典例6】（24-25高三上·江苏苏州·期中）在数列中，，则数列前24项和的值为（    ） A．144 B．312 C．288 D．156 【答案】C 【分析】根据题意，结合，将前24项和转化为等差数列求和问题. 【详解】因为， 所以， 故选：C. 【变式1】（23-24高二下·江西萍乡·期中）数列满足，前项和为，对任意正整数都有，则（    ） A．18 B．28 C．40 D．54 【答案】B 【分析】代入递推关系式，直接求和. 【详解】由可知， ， . 故选：B 【变式2】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知数列满足，，则该数列的前22项和为（    ） A．69 B．88 C．89 D．96 【答案】C 【分析】利用条件分奇偶讨论的关系，利用分组求和法计算即可. 【详解】当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以 故选：C 【变式3】（23-24高二下·广西南宁·期末）已知数列满足，则其前9项和 . 【答案】69 【分析】由分组求和法即可得解. 【详解】 . 故答案为：69. 题型04 裂项相消法 等差型 【典例7】（23-24高二上·河南漯河·期末）已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证； （2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 即，，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）可得，则， 所以， 所以 . 【变式1】（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）等比数列中，，则数列的前2022项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出等比数列的通项公式，然后根据裂项法求和. 【详解】设等比数列的公比是，则，即，解得， 于是，， 于是的前项和为. 故选：C 【变式2】（24-25高二上·天津东丽·阶段练习）已知数列满足，则数列的前n项和 【答案】 【分析】根据等差数列求和公式可得，再利用裂项相消法求和. 【详解】由已知， 则， 所以， 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知等差数列的前n项和满足，. (1)求的通项公式； (2)，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式求出，进而求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得， 所以. （2）由（1）知，，则， 所以 . 根式型 【典例8】（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用的关系求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列的前n项和， 当时，，而满足上式， 因此，， 所以. 故选：D 【变式1】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，若，则数列的前n项和 ． 【答案】 【分析】根据所给递推关系，得出，两式相减即可求解通项公式，再利用裂项相消求和即可得解. 【详解】当时，，即. ① 当时，② ①②得， 所以. 当时，也适合， 综上，. ， . 故答案为： 【变式2】（2024高二·全国·专题练习）已知数列的前项和，的值为 . 【答案】99 【分析】由裂项求和法求和，列方程即可求解. 【详解】∵， ∴． 由，解得． 故答案为：99 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）数列的通项公式，则该数列的前n项和 ． 【答案】 【分析】借助裂项相消法计算即可得. 【详解】 ， 故 ． 故答案为：. 指数型 【典例9】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知数列的前项和为，，，且. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据数列递推式可推出，求出，由此可求得答案； （2）结合（1）可得的表达式，利用裂项求和法求出表达式，即可证明结论. 【详解】（1）将两边同时除以， 得. 所以是等差数列. 当时，，公差是， 得，则，① 当时，，② ①-②，得，整理得， 则， 也符合，所以. （2）证明：由（1）得， 所以， 因为，所以. 【变式1】（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知数列满足，记数列前项为，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得，利用裂项求和法求得，根据单调性求得的取值范围. 【详解】依题意，数列满足， 所以，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以， 所以， 由于是单调递增数列，而对于任意，不等式恒成立， 所以实数的取值范围为 故选：C 【变式2】（24-25高二上·江苏镇江·期中）（多选）已知等比数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是（   ） A．数列的通项公式 B． C．数列的通项公式为 D． 【答案】ABD 【分析】根据已知条件求得公比的值，代入等比数列通项公式及等比数列求和公式计算判断选项ABC，再运用裂项相消法求和可求得数列的前项和为判断D选项. 【详解】设等比数列的公比为，则，解得， 所以，故A项正确； 所以，故B项正确； 所以，故C项错误； 因为， 所以， 由，，有， 又因为单调递增，所以，所以取值范围为，故D项正确. 故选：ABD. 【变式3】（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知数列的首项为1，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意，利用等比数列的概念即可求解等比数列通项； （2）结合（1）的结论，利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）因为数列的首项为1，且， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以； （2）由（1）知， 所以， 所以 . 通项 型 【典例10】（2024高二·全国·专题练习）设，则数列的前项和 . 【答案】 【分析】由裂项相消法求数列的前项和即可. 【详解】， 所以 ， 故答案为： 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列，其前项和为． (1)证明：“”是“若数列是等差数列，且也是等差数列”的充分条件； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）设（为常数），则有，设， 可得，再根据对应项系数相等即可得证； （2）利用裂项相消求解即可. 【详解】（1）证明：因为等差数列的通项公式是关于的一次式，前项和为关于的缺少常数项的二次式， 所以若数列是等差数列，则设（为常数）， 即， 设， 即，所以， 解得， 所以， 故“”是“若数列是等差数列，则也是等差数列”的充分条件． （2）解：若， 则， 所以 ． 【变式2】（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知在数列中，，，，数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据取倒数法可得，由等差数列的定义和通项公式可得，进而，结合裂项相消法求和即可. 【详解】由，得，即， 又，所以， 则是以为首项，以为公差的等差数列， 得，故，得， 所以， 所以 . 故选：A 题型05 错位相减法 【典例11】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系计算可得，结合累乘法运算即可求解； （2）由（1）知，利用错位相减法求和即可求解. 【详解】（1）当时，， 得， 所以， 各式相乘得，又，所以； （2）由（1）知， 所以， ， 两式相减，得， 所以. 【变式1】（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2)； (3). 【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明，进而写出通项公式； （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求； （3）将问题化为恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列，则， 所以. （2）由，则， 所以， 所以. （3）由（1）（2），则，整理得恒成立， 令，则， 当时，当时，当时， 所以，即的最小值为， 综上，. 【变式2】（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知数列的前n项和为，满足． (1)求的通项公式： (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出，当时，判断出数列为等比数列，根据等比数列的通项公式可求得结果； （2）将（1）中的通项公式代入，根据错位相减法可求得结果. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，， 则， 化简得， 所以是以首项为，公比的等比数列， 所以； （2）由（1）可得，则， ①， ②， ①②得 ， 所以. 【变式3】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等比数列的前项和为，且． (1)求； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用等比数列的通项公式和前项和公式求解； （2）由（1）求得数列的通项，再综合运用分组求和与错位相减法求得前项和. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题意，得，解得， ∴或 （2）∵，由（1）知，，， 令  ① 则      ② 得 即 所以. 题型06 数列求和与不等式 【典例12】（24-25高二上·天津东丽·阶段练习）已知数列，，，为数列的前项和，且. (1)令. （i） 求证: 数列为等差数列，并求数列的通项公式； （ii） 求数列的前项和； (2)设数列的前项和，对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)（i）证明见解析，；（ii） (2) 【分析】（1）（i）利用等差数列的定义可证得数列为等差数列，确定该数列的首项和公比，求出数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式； （ii）利用与的关系求出数列的通项公式，然后利用错位相减法可求得； （2）利用分组求和法求出，由变量分离法可得出，令，求出数列中最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）（i）时， ， 所以，数列为等差数列，且首项为，公差为， 故，故； （ii）当时，，可得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，即， 所以，数列为等比数列，且其首项为，公比为，则. 所以，， ，① ，② ①②得， 因此，. （2）因为， 所以， ， ，恒成立，即， 所以，， 令，则， 由，即，解得， 因为，所以，， 故数列中，最大，所以，， 因此，实数的取值范围是. 【变式1】（24-25高二上·重庆·期中）已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，． (1)求公差和； (2)记，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分析可得，由此可得，利用等比数列的求和公式可求出的值，即可得出的值，计算出的值，根据可得出关于的方程，即可解出的值； （2）利用裂项相消法求出数列的前项和，即可证得结论成立. 【详解】（1）因为为等差数列，其公差为，前项和为，则， 又因为，，则， 因为，即，可得，解得，故， 所以，，则，可得. 综上所述，. （2）由（1）可得， 所以，， 因此， . 【变式2】（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知数列的前n项和为数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)令求数列的前n项和； (3)若， 存在正整数n使得，成立，求k的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式求解即可； （2）利用错位相减法来求和即可； （3）由不等式能成立，来求的最小值，再由使不等式都成立，分离参变量，即可求k的取值范围. 【详解】（1）由得：， 两式相减得：， 所以数列是等比数列，公比为， 由于，即， 又因为，所以， 即数列是等差数列上，公差为，首项为， 所以, 即; （2）由于， 则， 利用错位相减法，则 ， 上面两式相减得：， 则， 即； （3）由于，所以数列是递增数列，即， 因为当， 存在正整数n使得，成立， 则，由,变形得：， 因为，由基本不等式可得，当且仅当时取等号， 所以有， 则有. 【变式3】（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知数列的前n项和为数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)令求数列的前n项和； (3)若， 存在正整数n使得，成立，求k的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式求解即可； （2）利用错位相减法来求和即可； （3）由不等式能成立，来求的最小值，再由使不等式都成立，分离参变量，即可求k的取值范围. 【详解】（1）由得：， 两式相减得：， 所以数列是等比数列，公比为， 由于，即， 又因为，所以， 即数列是等差数列上，公差为，首项为， 所以, 即; （2）由于， 则， 利用错位相减法，则 ， 上面两式相减得：， 则， 即； （3）由于，所以数列是递增数列，即， 因为当， 存在正整数n使得，成立， 则，由,变形得：， 因为，由基本不等式可得，当且仅当时取等号， 所以有， 则有. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$