专题01 集合（12大巩固提升练+能力提升练+高考真题练）-【寒假分层作业】2025年高一数学寒假培优练（人教A版2019必修第一册）

专题01 集合 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（12大题型） 题型一:元素与集合 题型二：相等集合 题型三：集合元素个数求参 题型四：子集真子集求参 题型五：空集性质 题型六：交集性质求参 题型七：并集性质求参 题型八：全集与补集性质求参 题型九：韦恩图应用 题型十：容斥定理 题型十一：集合中的最值 题型十二：集合运算中的整数解 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 题型01 元素与集合 ⭐技巧积累与运用 元素与集合 （1）一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.集合通常用大写字母表示，元素通常用小写字母表示．从定义看，集合具有 无序性、 确定性 和互异性 ． （2）一般地，如果是集合中的元素，就说属于集合，记为 ，如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记为. （3）自然数集记为N，正整数集记为Z ，有理数集记为Q，实数集记为R. 1．已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数（），集合，，若，则的取值范围为 . 题型02 相等集合 ⭐技巧积累与运用 如果两个集合的元素完全相同，则称这两个集合相等，记为 判断两个集合是否相等，要看不同形式元素化简后是否一致。 1．已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．在括号中可以填入的符号是（  ） A． B． C． D． 3．设，已知集合恰有四个非零元素，且它们在数轴上等距排列，则 . 题型03 集合元素个数求参 ⭐技巧积累与运用 集合元素个数求参，多涉及到数列，三角、解析几何与函数等知识交汇处出题，难度较大，注意相关基础知识的积累和应用。 1．已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若非空集合，，且，则下列说法中正确的是（    ） A．的取值与有关 B．为定值 C． D． 3．已知集合，则满足条件的集合个数为 个． 题型04子集真子集求参 ⭐技巧积累与运用 集合子集求参题型，往往存在着思维和计算的一个“坑”，即若有，则要讨论集合B 是否是空集。 1．已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 2．已知集合，，且是的真子集，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，若，则实数的取值范围为 . 题型05 空集性质 ⭐技巧积累与运用 定义 我们把不包含任何元素的集合，叫做空集 记法 规定 空集是任何集合的子集，即 特性 （1）空集只有一个子集，即它的本身， （2）若，则 A 1．已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．下列命题正确的有（   ） A．若方程有两个根，一个大于另一个小于，则实数的取值范围为 B．设，若且，则 C．设，命题是命题的充分不必要条件 D．若集合和至少有一个集合不是空集，则实数的取值范围是或 3．若集合，则实数的取值范围是 . 题型06交集性质求参 ⭐技巧积累与运用 交集： 交集运算时，要注意交集运算的一些基本性质： ①A∩B_A； ②A∩BB； ③A∩A＝A；    ④A∩＝； ⑤A∩B=B∩A. 1．若集合，非空集合，则能使成立的所有实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知全集，集合，若有4个子集，且，则（    ） A． B． C． D．集合有3个真子集 3．设非空集合，，，且，则实数a的取值范围是 . 题型07并集性质求参 ⭐技巧积累与运用 并集： 集合并集运算的一些基本性质： (1)在进行集合运算时，若条件中出现A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况． (2)集合运算常用的性质： A∪B＝B⇔A⊆B； 1．已知集合，集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，，，，若关于的方程有两个不相等的实数解，则实数的值可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．若或，则实数的取值范围为 ． 题型08全集与补集性质求参 ⭐技巧积累与运用 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 符号语言 且 图形语言 运算性质 U，A，U， 1．已知集合，集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 3．已知全集为，函数的定义域为集合，集合，若，则实数的取值范围是 ． 题型09 韦恩图应用 ⭐技巧积累与运用 我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． （1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2） Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显． 1．已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．集合U，M，N的关系如图所示，则下列关系中能表示阴影区域的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知是全集，是的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为 .    题型10容斥定理 ⭐技巧积累与运用 先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理 1．“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 2．某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 3．高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理的有32人，选择化学的有24人，选择生物的有22人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有 人. 题型11集合中的最值 1．已知集合，集合A1，A2，A3满足：①每个集合都恰有5个元素；②．集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为，则的最大值与最小值的和为（    ） A．56 B．72 C．87 D．96 2．设，都是集合的子集，如果叫做集合的长度，则下列说法正确的是（    ） A．集合的长度为 B．集合的长度为 C．集合的长度最小值为 D．集合的长度最大值为 3．已知，，，，，，，是在集合中的不同数，则的最小值为 . 题型12集合运算中的整数解 1．表示集合中整数元素的最大值．已知集合，则（    ） A．0 B．5 C． D．4 2．已知表示集合A中整数元素的个数，若集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，设M为所有满足的整数x的集合，N为所有满足的整数x的集合，则的元素个数为 . 能力培养 1．用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．我们将集合S的子集为元素的集合称为S的一个子集族.例如集合有3个子集族：.若集合B中有3个元素，则B的不同子集族有（    ） A．128个 B．127个 C．256个 D．255个 3．已知集合，若且，则的值为（    ） A．2 B． C． D．1 4．函数过定点A，若，则下列结论正确的是（        ） A． B．的最小值为 C．最小值为 D．最小值为 5．已知集合，，若，，则 . 高考真题 1．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2020·浙江·高考真题）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足： ①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT ②对于任意x，yT，若x<y，则S； 下列命题正确的是（    ） A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素 C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素 D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素 3．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024·广东江苏·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·全国·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 8．（2023·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 10．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（12大题型） 题型一:元素与集合 题型二：相等集合 题型三：集合元素个数求参 题型四：子集真子集求参 题型五：空集性质 题型六：交集性质求参 题型七：并集性质求参 题型八：全集与补集性质求参 题型九：韦恩图应用 题型十：容斥定理 题型十一：集合中的最值 题型十二：集合运算中的整数解 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 题型01 元素与集合 ⭐技巧积累与运用 元素与集合 （1）一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.集合通常用大写字母表示，元素通常用小写字母表示．从定义看，集合具有 无序性、 确定性 和互异性 ． （2）一般地，如果是集合中的元素，就说属于集合，记为 ，如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记为. （3）自然数集记为N，正整数集记为Z ，有理数集记为Q，实数集记为R. 1．已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 【答案】A 【分析】根据条件可得到集合中元素的特征，分析的特征后即可得到答案． 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴. 故选：A. 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据条件得，从而有为奇数或4的倍数，即可判断选项A和B的正误；根据，可判断选项C的正误；由条件知为奇数或4的倍数，分中至少有一个为4的倍数和都为奇数两种情况讨论，结合条件，即可求解. 【详解】由， 则，同为奇数或同为偶数，所以为奇数或4的倍数，故A错误；B正确； 对于选项C，因为，故C正确； 对于选项D，由，则为奇数或4的倍数， 当中至少有一个为4的倍数时，则为4的倍数，所以， 当都为奇数时，则可令， 所以，所以， 故，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于，从而得出为奇数或4的倍数，即可求解. 3．已知函数（），集合，，若，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】先根据，利用求得的范围，再求出集合，利用，即可求解. 【详解】解：，即有解，由知：， 解得：或，又，，令，解得：， 故，，令，即，又， 易知：，，故，即， 又，故恒成立，即，又， 即，即，解得：，又，.故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用得出. 题型02 相等集合 ⭐技巧积累与运用 如果两个集合的元素完全相同，则称这两个集合相等，记为 判断两个集合是否相等，要看不同形式元素化简后是否一致。 1．已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以，解得或 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，. 故选：B. 2．在括号中可以填入的符号是（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据对和的不同理解，即可一一判断各选项. 【详解】当把看成一个元素，看成一个集合时，，即A正确，B错误； 当把看成一个集合时，是任意一个集合的子集，则，故C正确； 当把看成集合时，其子集可理解为和，故是的真子集的，即D正确. 故选：ACD. 3．设，已知集合恰有四个非零元素，且它们在数轴上等距排列，则 . 【答案】/ 【分析】设，将原方程变为，结合题意以及根与系数的关系，列式求解，即得答案. 【详解】设，原方程变为， 设此方程有实根，， 则原方程的四个实根为，， 由于它们在数轴上等距排列， 即①，又，， 由此求得，满足，∴， 故答案为： 题型03 集合元素个数求参 ⭐技巧积累与运用 集合元素个数求参，多涉及到数列，三角、解析几何与函数等知识交汇处出题，难度较大，注意相关基础知识的积累和应用。 1．已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据真子集的定义，推断出集合含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数的取值范围． 【详解】若集合有15个真子集，则中含有4个元素， 结合，可知，即，且区间,中含有4个整数， ①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数； ②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意； ③当时，,的区间长度大于3， 若,的区间长度，即． 若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，， 此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意． 若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得； 若时，,,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意； 当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数， 故，即，结合可得． 综上所述，或或，即实数的取值范围是,,． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得，且区间,中含有4个整数，结合区间长度，即可对讨论求解. 2．已知函数，若非空集合，，且，则下列说法中正确的是（    ） A．的取值与有关 B．为定值 C． D． 【答案】BD 【分析】令，从而化为，不妨设的解集为，可得，由，从而得，且，化简，解得或，又是方程的两个根，利用韦达定理可得，则 ，进而求得的取值范围. 【详解】令，则可化为，不妨设的解集为，即， ，即，故， 又，且，，且，，且， 故，解得，故选项A错误，选项B正确； ，，有解， ，即或，是方程的两个根， 即是方程的两个根，故，即， 解得：， ，故选项C错误，选项D正确. 故答案选：BD. 【点睛】本题考查了二次不等式与二次函数、二次方程间关系的应用，以及集合间相等的应用，属于难题. 3．已知集合，则满足条件的集合个数为 个． 【答案】 【分析】求出集合中的元素，再根据集合间的包含关系求得满足题意的子集个数即可得出答案. 【详解】易知集合，； 因为可得， 又，所以集合中一定含有，且不能同时全部包含； 满足条件的集合的个数即为求集合的真子集的个数， 所以满足条件的集合个数为个. 故答案为： 题型04子集真子集求参 ⭐技巧积累与运用 集合子集求参题型，往往存在着思维和计算的一个“坑”，即若有，则要讨论集合B 是否是空集。 1．已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】已知，这意味着集合与集合在中的补集没有交集，那么集合是集合的子集.接下来通过分析集合的边界与集合边界的关系来确定的取值范围. 【详解】. 因为，所以. 由于，要满足， 当，即，解得. 当，则有.解得：. 综上，m的取值范围为. 故选：A. 2．已知集合，，且是的真子集，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】化简集合，分和两种情况讨论即可求. 【详解】由题意得， 因为是的真子集， 当时，，得； 当时，，得， 故的取值范围为. 故选：AD 3．已知集合，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】解不等式求出，分类讨论确定集合，结合，列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】解，即，即， 所以，得，即； 即， 则， 当，即时，， 由，得，解得， 当，即时，， 由，得，解得， 当，即时，，满足，符合题意， 综合可得实数的取值范围为， 故答案为： 题型05 空集性质 ⭐技巧积累与运用 定义 我们把不包含任何元素的集合，叫做空集 记法 规定 空集是任何集合的子集，即 特性 （1）空集只有一个子集，即它的本身， （2）若，则 A 1．已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误. 【详解】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 故选：C 2．下列命题正确的有（   ） A．若方程有两个根，一个大于另一个小于，则实数的取值范围为 B．设，若且，则 C．设，命题是命题的充分不必要条件 D．若集合和至少有一个集合不是空集，则实数的取值范围是或 【答案】AB 【分析】由二次函数的零点分布可判断A；由不等式的性质可判断B；有充分条件和必要条件的定义结合的单调性可判断C；由集合的性质可判断D. 【详解】对于A，若，则方程有一个根，不符合题意. 若，设，若方程的两个根为，则， 则，即，解得：，故A正确； 对于B，因为，若且，则，所以，故B正确； 对于C，设，则的图象如下图，  则在上单调递增，若，则，若，则，所以命题是命题的充要条件，故C错误； 对于D，若集合和为空集，则，解得：， 若和至少有一个集合不是空集，则或，故D错误. 故选：AB. 3．若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据集合，分和两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】由题意，集合， 若时，集合，满足题意； 若时，要使得集合， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合中元素的判定，其中解答中正确理解集合的表示方法，结合一元二次方程的性质求解是解答的关键，属于基础题. 题型06交集性质求参 ⭐技巧积累与运用 交集： 交集运算时，要注意交集运算的一些基本性质： ①A∩B_A； ②A∩BB； ③A∩A＝A；    ④A∩＝； ⑤A∩B=B∩A. 1．若集合，非空集合，则能使成立的所有实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得，再列出不等式组解之即可得解. 【详解】因为，所以，所以， 所以，解得. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据，得出，是解决本题的关键. 2．已知全集，集合，若有4个子集，且，则（    ） A． B． C． D．集合有3个真子集 【答案】ABC 【分析】解一元二次不等式化简全集，进而结合已知得到集合，从而逐一分析各个选项即可得解. 【详解】依题意， ，， 因为有4个子集，则中的元素个数为2，故中的元素个数为3， 又，所以，故AB正确； 所以，故C正确； 集合A有个真子集，故D错误. 故选：ABC. 3．设非空集合，，，且，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由一次函数的性质可得，根据，结合函数，可得，即可列不等式求实数的取值范围； 【详解】由，，得， 即， 由于，故，且， 又，故， 即，解得， 故的取值范围为； 故答案为： 题型07并集性质求参 ⭐技巧积累与运用 并集： 集合并集运算的一些基本性质： (1)在进行集合运算时，若条件中出现A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况． (2)集合运算常用的性质： A∪B＝B⇔A⊆B； 1．已知集合，集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合A化简，根据条件可得，然后分，，讨论，化简集合，列出不等式求解，即可得到结果. 【详解】令，即， 解得或，可得或， 因为，所以，且集合， 当时，，满足要求. 当时，则，可得，解得； 当时，则，可得，解得； 综上所述：的取值范围是. 故选：B. 2．已知集合，，，，若关于的方程有两个不相等的实数解，则实数的值可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】BC 【分析】根据题设可得，则在上有两个不等的实数解，结合对应二次函数性质列不等式求参数范围，即可得答案. 【详解】由，则至少有一个元素属于， 由，则至少有一个元素不属于， 又，故， 由有两个不相等的实数解， 对于二次函数，开口向上且对称轴为， 所以，可得. 故选：BC 3．若或，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据并集的运算进行求解即可. 【详解】由或， 则，解得， 故答案为：. 题型08全集与补集性质求参 ⭐技巧积累与运用 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 符号语言 且 图形语言 运算性质 U，A，U， 1．已知集合，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合关系结合并集补集的运算即可判断， 【详解】对于集合， 当时， 当时， 所以, 又,, 所以, 故选：C 2．设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】结合举例及集合的运算和集合的关系求解即可. 【详解】当，，，时，满足， 此时，不是的子集，所以A、B不一定成立； ，，所以C不一定成立； 对于D，若，则，但，因为， 所以，于是，所以， 同理若，则，， 因此，成立，所以D成立. 故选：ABC. 3．已知全集为，函数的定义域为集合，集合，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】或． 【分析】先求出集合，再由交集和补集的定义求出，则，分类讨论和，即可得出答案. 【详解】函数的定义域为，解得：， 所以，，所以， ，所以， 则当时，，解得：； 当时，，解得：． 综上：或． 故答案为：或．. 题型09 韦恩图应用 ⭐技巧积累与运用 我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． （1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2） Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显． 1．已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据阴影部分对应的集合分别判断①②③④即可. 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，，故②③正确； 因为，， 所以，故①正确； ，故④错误. 所以正确的有3个. 故选：C. 2．集合U，M，N的关系如图所示，则下列关系中能表示阴影区域的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A、B、C，由韦恩图直接判断即可，对于D，适当进行分析再结合韦恩图判断即可. 【详解】对于A，由韦恩图可知：阴影区域的元素都在集合中但不在中，故选项A正确； 对于B， 表示集合与公共元素以外的全集中的所有元素组成的集合， 阴影区域表示的集合是它的真子集，故选项B错误； 对于C，表示集合中元素除去集合与集合的公共元素剩余的元素 构成的集合，就表示为阴影区域，故选项C正确； 对于D，由于，所以 ， 与选项A相同，故选项D正确. 故选：ACD. 3．如图，已知是全集，是的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为 .    【答案】 【分析】由韦恩图可知阴影部分表示集合与集合的公共部分但不在集合的部分，用集合的交、并、补关系表示出来即可. 【详解】由韦恩图可知阴影部分表示集合与集合的公共部分但不在集合的部分， 所以可以表示为. 故答案为：. 题型10容斥定理 ⭐技巧积累与运用 先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理 1．“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 【答案】B 【分析】根据题意，结合venn图，列式运算得解. 【详解】 由题意，，，，， ，， 因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目， 所以这个班同学人数是. 故选：B. 2．某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 【答案】BC 【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案. 【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学， 则，，， 又，， 所以， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人． 故选：BC 3．高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理的有32人，选择化学的有24人，选择生物的有22人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有 人. 【答案】44 【分析】根据题意，设学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，结合Venn图与容斥原理可知，当取最大值时最大，验证即可得. 【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合. 由题意知， 且， 则，    由 ， 可得， 当且仅当时，即. 验证：此时各区域人数如图所示，满足题意所有条件.    故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有人. 故答案为：. 题型11集合中的最值 1．已知集合，集合A1，A2，A3满足：①每个集合都恰有5个元素；②．集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为，则的最大值与最小值的和为（    ） A．56 B．72 C．87 D．96 【答案】D 【分析】根据题意分别列出三个集合特征数取得最大值和最小值时的元素情况，再分别进行计算各自的特征值，即可求解. 【详解】由题意集合， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，；的最大值与最小值的和为：. 故选：D. 2．设，都是集合的子集，如果叫做集合的长度，则下列说法正确的是（    ） A．集合的长度为 B．集合的长度为 C．集合的长度最小值为 D．集合的长度最大值为 【答案】ABC 【分析】利用集合可得集合的长度；由，且，求出，，由，且，求出，．所以，，或，，所以，或．由此能求出集合的长度的最小值． 【详解】，集合的长度为，选项A正确； ，集合的长度为，选项B正确； 由，且，求出，， 由，且，求出，， 分别把，的两端值代入求出： ，，或，， 所以，或． 所以，或， 综上所述，集合的长度的最小值是，选项C正确，选项D错误； 故选：ABC 3．已知，，，，，，，是在集合中的不同数，则的最小值为 . 【答案】 【分析】记，根据条件将所求式子表示为，先分析的可行性，然后确定出最小值即可. 【详解】不妨设， 因为， 所以， 所以， 若要值最小，则， 下面分析的可能性： 当时，则四个数全为偶数，或全为奇数，或两奇两偶， 若四个数全为偶数，则和的结果为，不满足要求； 若四个数全为奇数，则和的结果为，不满足要求； 若四个数两奇两偶，其中两个奇数之和可能为 ，两个偶数之和可能为， 此时两奇两偶的四个数之和不可能等于， 所以不成立， 所以当时，此时取值最小，最小值为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是对所给表达式能利用已知关系进行化简变形，将双变量转化为单变量；另一方面是对于二次函数取最小值的可行性分析，此处无法直接确定成立. 题型12集合运算中的整数解 1．表示集合中整数元素的最大值．已知集合，则（    ） A．0 B．5 C． D．4 【答案】D 【分析】先化简集合，找到的最大整数即可. 【详解】因为，所以． 故选：D. 2．已知表示集合A中整数元素的个数，若集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据不等式求解，明确集合的元素，由题意以及集合的交并补运算，可得答案. 【详解】由不等式，解得；由不等式，解得， 因为，，所以，，，. 故选：ABD. 3．已知，设M为所有满足的整数x的集合，N为所有满足的整数x的集合，则的元素个数为 . 【答案】 【分析】首先解不等式组，求得满足的条件，结合题中已知条件，从而得到中元素都有哪些，进而求得元素个数，得到结果. 【详解】由，有，即， 解得，则，所以的元素个数为， 故答案为：. 【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有解不等式求集合，集合交集中元素的特征，元素的个数，属于基础题目. 能力培养 1．用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】根据题意可得或，进而讨论a的范围，确定出，最后得到答案. 【详解】因为，，所以或， 由，得， 关于x的方程， 当时，即时，易知，符合题意； 当时，即或时，易知0， -a不是方程的根，故，不符合题意； 当时，即时，方程 无实根， 若a=0，则B={0}，，符合题意， 若或，则，不符合题意. 所以，故. 故选：B. 【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大关联；另外当时，容易遗漏a=0时的情况，注意仔细分析题目. 2．我们将集合S的子集为元素的集合称为S的一个子集族.例如集合有3个子集族：.若集合B中有3个元素，则B的不同子集族有（    ） A．128个 B．127个 C．256个 D．255个 【答案】D 【分析】我们定义全子集族为：子集族内的集合加上空集本身，先得出集合的子集个数，类比可得不同全子集族、不同子集族个数. 【详解】我们定义全子集族为：子集族内的集合加上空集本身， 一般地，设集合中有个元素，则它有个子集， 我们对所有子集按元素个数分类为：， 则集合不同的全子集族个数为个， 从而集合不同的子集族个数为个， 若集合B中有3个元素， 从而B的不同子集族有个. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键在于对新定义的理解，由此即可顺利得解. 3．已知集合，若且，则的值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据题意，可得，由于只有两个元素，从而分类研究可解. 【详解】由，可得， 则， ， 由于，只有两个元素， 当时，，则，， 所以， 当时，则或， 若，即， 可得，则， 此时，，所以， 同理若，， 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：关键发现只有两个元素，则可能出现，或，分类讨论即可. 4．函数过定点A，若，则下列结论正确的是（        ） A． B．的最小值为 C．最小值为 D．最小值为 【答案】BC 【分析】由对数函数性质可得定点为，结合已知得，再应用基本不等式、指对数运算性质求各项的最值. 【详解】由题设，函数过定点，所以，A错， ， 当且仅当时等号成立，B对， ，当且仅当时等号成立，C对； ，当且仅当时取等号，D错. 故选：BC 5．已知集合，，若，，则 . 【答案】19 【分析】由题意可得，所以5和6是方程的两个根，代入解方程可求出，即可求出的值. 【详解】因为，， ，，所以， 所以5和6是方程的两个根， 所以，解得，， 所以. 故答案为：19. 高考真题 1．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 2．（2020·浙江·高考真题）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足： ①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT ②对于任意x，yT，若x<y，则S； 下列命题正确的是（    ） A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素 C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素 D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素 【答案】A 【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可. 【详解】首先利用排除法： 若取，则，此时，包含4个元素，排除选项 C； 若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D； 若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B； 下面来说明选项A的正确性： 设集合，且，， 则，且，则， 同理，，，，， 若，则，则，故即， 又，故，所以， 故，此时，故，矛盾，舍. 若，则，故即， 又，故，所以， 故，此时. 若， 则，故，故， 即，故， 此时即中有7个元素. 故A正确. 故选：A. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 3．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B 4．（2024·广东江苏·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 5．（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得的值，然后计算即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 6．（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的交并补运算即可得解. 【详解】因为全集，集合，所以， 又，所以， 故选：A. 7．（2023·全国·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集，，所以，． 故选：A． 8．（2023·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果； 【详解】由，而， 所以. 故选：A 9．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 10．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算. 【详解】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$