特训08 期末选填压轴题（上册+下册，六大模块）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训08 期末选填压轴题（上册+下册，六大模块） 目录： 模块1：二次函数的综合辨析 模块2：几何的综合应用 模块3：动点问题 模块4：传统几何求解题 模块5：二次函数或圆在平面直角坐标系的应用 模块6：动态几何（旋转、折叠等） 模块1：二次函数的综合辨析 1．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则；⑤（其中），其中说法正确的是(   ) A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 2．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A，，结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③时，函数有最大值；④对于抛物线，当时，的取值范围是.其中正确结论的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数，的部分对应值如下表： x … m … … 3 4 3 … … 0 0 … 对于下列说法：①；②；③；④若的图像与x轴交点的横坐标为，，的图像与x轴交点的横坐标为，，则. 其中正确的是 .（填所有正确的序号） 模块2：几何的综合应用 4．（24-25九年级上·全国·期末）如图，矩形中，，交的延长线于点，交于点，是上一点，，且为的中点，则①；②；③；④若，则，以上结论正确的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，是上一动点，是的中点，绕点顺时针旋转得，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤若正方形的边长为，则点在射线上运动时，有最小值．其中正确的结论有（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，F是边上一点，连接，以为斜边作等腰直角三角形．有下列四个结论：①；②；③当时，E为的外心；④若点F在上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．其中正确的结论为（　　） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 7．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E、F，连接、，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③；其中正确的是（    ）    A．①②③ B．①②③ C．①② D．①③ 8．（23-24九年级下·全国·期末）如图，点在线段上，在的同侧作等腰和等腰，其中，与，分别交于点，．对于下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，是的直径，，点是圆上不与、重合的点，平分，交于，平分，交于点，与交于点．以下说法：①点是弧的中点；②；③；④若，则．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，等腰中，，点为边上一动点，过点作于，过点作于的外接圆与边的另一个公共点为．下列结论：①的大小不变；②；③；④的外接圆直径的最小值为．其中正确的为（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 模块3：动点问题 11．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，点在以为直径的半圆上，，，点在线段上运动，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点．下列结论正确的 ．（填序号） ；当时，点恰好落在弧上；当与半圆相切时，；当点从点运动到点时，线段扫过的面积是． 12．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图1，在平行四边形中，，点F从点B出发，以的速度沿匀速运动，点E同时从点A出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图2是的面积S（）随时间t（s）变化的函数图象（图中为线段），当的面积为时，运动时间t为（　　） A． B．或 C． D． 13．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，点、分别在、上，且．点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持．整个运动过程点运动的路径长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 14．（23-24九年级上·四川雅安·期末）如图，在中 ，是边上一动点（不与点重合），，交于点E， 下列结论：①；②；③当时，；④为直角三角形时，或者6.25．其中正确的结论有（　     　） 个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在中，，，，点D是上一点，，点P是线段上一个动点，以为直径作，点M为的中点，连接，则的最小值为 ． 16．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，等边边长为，E、F分别是边上两个动点且．分别连接，交于P点，点M为的中点，N为上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 17．（23-24九年级上·江苏·期末）如图，点为正方形的对角线上一动点，在上．结论：①；②若，则；③；④．其中正确结论的有 ．（填序号） 18．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为1的的圆心的坐标为，点为轴上一个动点，过点作的切线，切点为于点．下列结论：①的最大值为1；②的最小值为；③的最大值为；④若点，则的面积为．则其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 19．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，中，是延长线上一点，，是边上一动点（不与点B重合），以为邻边作，连接，G是线段上一点且，那么的取值范围是 ． 20．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，以为边作矩形（点A，C，D，E按逆时针方向排列），，和的延长线相交于点F，点P从点B出发沿向点F运动，到达点F时停止．点Q在线段上运动，且始终满足，连接．当的面积为时，的长是 ．    21．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，矩形中，，，点E在边上，且．动点P从点A出发，沿射线运动．过点E作交射线于点F，连接．设M是线段的中点，则在点P运动的整个过程中，线段的最小值是（   ） A．5 B． C． D． 模块4：传统几何求解题 22．（22-23九年级上·重庆江北·期末）如图，在正方形中，点E、F分别在边上，连接，过点E作交于点H，交于点G，连接，若，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 23．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，点E是对角线上一动点，连接，过E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． （1）当时，则的长为 ； （2）点H在上，且，连接，则长的最小值是 ． 模块5：圆在平面直角坐标系的应用 24．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点M是x轴正半轴上的一个动点，经过原点O和点M，是过点M的切线．当轴时，点P的坐标为 ；当射线与直线相交时，点M的横坐标t的取值范围是 ． 25．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，与轴正半轴，轴负半轴分别交于点，，点在上，点为的中点，连结并延长交于点，点在轴的正半轴上，连结，交于点，若，则的面积为 ． 26．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ． 模块6：动态几何（旋转、折叠等） 27．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，抛物线交轴于两点（在的右侧），交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是 ．    28．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，线段，点为平面上一动点，连接，，且，为线段的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段，则线段的最大值为 ． 29．（22-23九年级下·江苏常州·期末）如图，在中，，，是边上的高，将绕点C旋转到（点E、F分别与点A、B对应），点F落在线段上，连接，则 ． 30．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，，，点是边上一点，连接，将沿直线折叠后，得到，交边于点，若，则的长为 ．    31．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）若一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，则称这个圆是这条线段的“关联圆”．如图，已知，，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转，得到线段．以射线上的一动点为圆心，半径为2作，若是的“关联圆”，则的取值范围为 ． 32．（23-24九年级上·辽宁·期末）如图，在和中，，，，，，与所在的直线相交于点F，将绕点C在平面内旋转，当点F与点D重合时，线段的长为 ． 33．（23-24九年级下·江苏常州·期末）和是相同的两块含的三角板，，设，如图1，先将和的边和重合，再将绕着点按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接．如图2，取的中点，连接，当的面积最大时，线段为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训08 期末选填压轴题（上册+下册，六大模块） 目录： 模块1：二次函数的综合辨析 模块2：几何的综合应用 模块3：动点问题 模块4：传统几何求解题 模块5：二次函数或圆在平面直角坐标系的应用 模块6：动态几何（旋转、折叠等） 模块1：二次函数的综合辨析 1．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则；⑤（其中），其中说法正确的是(   ) A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 利用抛物线的开口方向、对称轴和与轴的交点位置来判定①，利用抛物线与轴的两个交点的坐标、结合一元二次方程根与系数的关系来判定②，把点代入二次函数的解析式来判定③，观察图象可得：距离对称轴越近的点的纵坐标越大，据此判定④，根据二次函数的最大值判定⑤． 【解析】解：∵抛物线开口向下， ∴， 抛物线对称轴为， ∴， 抛物线与轴的交点在轴上方， ∴， ∴， 所以①正确； 对称轴为，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， ∴一元二次方程的两个根为2和， ∴， 整理，得， ∴， 所以②正确； 抛物线经过， ∴当时，， ∴， 所以③错误； ∵， ∴距离对称轴越近的点的纵坐标越大， ∵， ∴ 所以④正确； ∵对称轴为， ∴当时，有最大值，的最大值， ∴当时，， 整理，得， ∵，即， ∴， 即， 所以⑤正确． 其中说法正确的是①②④⑤． 故选：C． 2．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A，，结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③时，函数有最大值；④对于抛物线，当时，的取值范围是.其中正确结论的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象特征、二次函数与方程、不等式（组）之间的关系，掌握数形结合的思想是解题的关键． ①根据函数的图象特征即可判断．②根据二次函数与二次方程根的关系即可判断．③将点分别代入、求得m、n、a、b的值，然后得到，再将其化成顶点式即可判断；④由图象和③可得出二次函数的对称轴，再结合函数图像即可确定得取值范围，从而判定④． 【解析】解：①∵直线与抛物线相交于点A，B， ∴由图象可知：当时，直线在抛物线的上方， ∴，即①正确； ②由图象可知：抛物线与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴是方程的一个解，即②正确； ③将点代入得：，解得：， 将点代入得：，解得：， ∴函数为：， ∴时，函数有最大值；即③正确． ④由③可得抛物线的解析式为：， ∴当时，有最小值， ∵ ∴由函数图象可知：当时，有最大值5， ∴当时，的取值范围是，即④错误． 综上，正确的有3个． 故选：C． 3．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数，的部分对应值如下表： x … m … … 3 4 3 … … 0 0 … 对于下列说法：①；②；③；④若的图像与x轴交点的横坐标为，，的图像与x轴交点的横坐标为，，则. 其中正确的是 .（填所有正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，利用抛物线的对称性，得到两抛物线的顶点为，可写出顶点式，再将代入解析式中，求得即可对①进行判断；再将用表示，即可判断②③；将分别代入两个解析式，求得，，，，再计算和，即可判断，熟练将二次函数与轴的交点坐标，转换为一元二次方程是解题的关键． 【解析】解：由表格可得是两个抛物线的对称轴， 设，， 把代入解析式，可得， 解得， 把代入，可得， 解得， ，故①正确； 把代入解析式可得， 把代入解析式可得， ， 故，，故②正确，③错误； 把代入解析式可得， 解得， ， 把代入解析式可得， 解得，， ， ，故④正确， 正确的为①②④， 故答案为：①②④． 模块2：几何的综合应用 4．（24-25九年级上·全国·期末）如图，矩形中，，交的延长线于点，交于点，是上一点，，且为的中点，则①；②；③；④若，则，以上结论正确的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】①利用矩形的性质，证明，即可判断①； ②证明四边形为矩形，推出，再证明，推出，即可判断②； ③假设结论成立，可推出，，故矩形必为正方形，不符合题意，即可判断③； ④先证明，推出，垂直平分，求出的长度，再证，求出的长度，最后证明，即可求出的长，即可判断④． 【解析】解：①∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确； ②由①知，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由①知：， ∴， ∴，故结论②正确； ③假设， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴矩形必为正方形，不符合题意，故结论③错误； ④∵， ∴， 由②知：四边形为矩形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，故结论④错误， ∴结论正确的个数是个． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定，正方形的判定，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等，解题的关键是能够灵活运用矩形的性质和相似三角形的判定和性质． 5．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，是上一动点，是的中点，绕点顺时针旋转得，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤若正方形的边长为，则点在射线上运动时，有最小值．其中正确的结论有（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】延长交的延长线于点，根据证明得，结合直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质可判断①正确；利用四边形内角和得，进而可判断②正确；由条件不能证明与全等可判断③错误；连接，过点作于点，过点作于，交于，证明是梯形的中位线，得，证明得，证明得，进而可判断④正确；⑤由可知点在上运动，然后根据垂线段最短和勾股定理可判断⑤不正确． 【解析】解：如图，延长交的延长线于点， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵绕点顺时针旋转得， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 由条件不能证明与全等，故不能证明，故③错误； 如图，连接，过点作于点，过点作于，交于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是梯形的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴，故④正确； ∵， ∴点在上运动， ∴当时，有最小值， ∵， ∴的最小值，故⑤不正确； ∴正确的有①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，旋转的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例，梯形中位线的定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及垂线段最短等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 6．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，F是边上一点，连接，以为斜边作等腰直角三角形．有下列四个结论：①；②；③当时，E为的外心；④若点F在上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．其中正确的结论为（　　） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据正方形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，由此即可证明，即可判断①；根据是等腰直角三角形，可得，所以，所以，进而可以判断②；证明，进而可得，可得分别平分，得点E是角平分线的交点，进而可以判断③；根据正方形的性质可得当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点F与点C重合时，点E与点D重合，点E的运动轨迹为线段，点F的运动轨迹是线段，，且点F与点E的运动时间相同，进而可以判断④． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，故①正确； 是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴分别平分，    ∵， ∴平分， ∴点E是角平分线的交点， ∴E为的内心，故③错误； 如图，连接交于点O，    ∵， ∴当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点F与点C重合时，点E与点D重合， ∴点E的运动轨迹为线段，点F的运动轨迹是线段， ∵，且点F与点E的运动时间相同， ∴， ∴点F与点E的运动速度不相同，故④错误． 综上所述：正确的结论是①②，共2个． 故选：A． 【点睛】 本题属于几何综合题，考查了三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，正方形的性质，勾股定理，点的运动轨迹，解决本题的关键是确定点E的运动轨迹． 7．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E、F，连接、，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③；其中正确的是（    ）    A．①②③ B．①②③ C．①② D．①③ 【答案】D 【分析】①根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到，于是得到，证得，于是得到，故①正确．②由于，推出，得到故②错误；③由于，推出，得到，等量代换得到，故③正确． 【解析】解：∵是等边三角形， ∴， 在正方形中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角函数定义，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出及的长． 8．（23-24九年级下·全国·期末）如图，点在线段上，在的同侧作等腰和等腰，其中，与，分别交于点，．对于下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判断．根据等腰直角三角形的性质得到，根据平行线的判定定理得到，于是得到，故①正确；根据等腰直角三角形的性质得到，推出，根据相似三角形的性质得到，故②正确；由相似三角形的性质得到，推出得到，于是得到故③正确推出，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解析】解：∵在等腰和等腰中， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； 由③知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 故选：D． 9．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，是的直径，，点是圆上不与、重合的点，平分，交于，平分，交于点，与交于点．以下说法：①点是弧的中点；②；③；④若，则．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由平分可得，再由圆周角定理即可判断①；由①可得，由角平分线的定义、圆周角定理结合三角形外角的定义及性质证明，得到，即可判断②；令，则，此时，，，即，即可判断③；由，得，根据平分，得，从而利用直角三角形的两锐角互余得，即可判断④． 【解析】解：平分， ， ∴， 点是的中点，故①正确，符合题意； ， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ，故②正确，符合题意； 是的直径， ， ∴， 令，则，此时，，，即，故③错误，不符合题意； ∵，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②④，共个， 故选：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、圆周角定理、三角形外角的定义及性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 10．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，等腰中，，点为边上一动点，过点作于，过点作于的外接圆与边的另一个公共点为．下列结论：①的大小不变；②；③；④的外接圆直径的最小值为．其中正确的为（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】由，可得，由，可得，进而 可判断①的正误；如图，连接，由，可得是的外接圆的直径，则，由，可得，进而可判断②的正误；由题意知，、不一定相等，此时与不一定全等，则不一定成立，进而可判断③的正误；如图，作于，则，，证明，则，设，则，，证明，则，可得，，证明，则，即，可得，，由勾股定理得，，根据二次函数的性质求最值，进而可求的最小值，判断④的正误即可． 【解析】解：∵， ∴， 由题意知，， ∴，的大小不变，①正确，故符合要求； 如图，连接， ∵， ∴是的外接圆的直径， ∴， ∵， ∴，②正确，故符合要求； ∵点为边上一动点，过点作于，过点作于， ∴、不一定相等，此时与不一定全等，则不一定成立，③错误，故不符合要求； 如图，作于， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴当时，最小，值为2， ∴的最小值为，即的外接圆直径的最小值为，④正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，的圆周角所对的弦为直径，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理，的圆周角所对的弦为直径，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值是解题的关键． 模块3：动点问题 11．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，点在以为直径的半圆上，，，点在线段上运动，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点．下列结论正确的 ．（填序号） ；当时，点恰好落在弧上；当与半圆相切时，；当点从点运动到点时，线段扫过的面积是． 【答案】 【分析】由点与点关于对称可得，再根据即可证到；连接，证明，，，是等边三角形即可，连接，，易证是等边三角形，，根据含角的直角三角形的性质求出长，首先根据对称性确定线段扫过的图形，然后探究出该图形与的关系，就可求出线段扫过的面积． 【解析】解：连接，如图所示： ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，故正确， 连接，如图所示： ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴点与点重合， 即：与重合， ∴， ∴点恰好落在弧上，故正确， 连接，，如图所示： ∵与半圆相切， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∴，故错误， ∵点与点关于对称，点与点关于对称， ∴当点从点运动到点时，点的运动路径与关于对称，点的运动路径与关于对称， ∴扫过的图形面积就是图中和面积， ∴， ， ∴扫过的面积为，故错误， 综上正确， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，切线的性质，轴对称的性质，含角的直角三角形判定和性质，求图形面积等知识，熟练掌握几何图形的性质和判定是解题的关键． 12．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图1，在平行四边形中，，点F从点B出发，以的速度沿匀速运动，点E同时从点A出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图2是的面积S（）随时间t（s）变化的函数图象（图中为线段），当的面积为时，运动时间t为（　　） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点的函数图象，解直角三角形，平行四边形的性质．由图象可知，当时，点与点重合，当时，点与点重合，进求出的长，分和两种情况进行讨论求解即可．从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． 【解析】解：由图可知：当时，点与点重合，当时，点与点重合， ∴，， ∵平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 当时，过点作，如图，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积， 当的面积为时，则：， 解得：或（舍去）； 当时，作， ∴， 即：， ∴， ∴的面积， 当的面积为时，则：， 解得：； 故选B． 13．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，点、分别在、上，且．点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持．整个运动过程点运动的路径长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】过点作于点，首先根据等腰三角形的性质可得，再结合，可得，结合勾股定理可解得；分三种情况讨论：① 当点在上运动时，可证明，进而可得；②当点在上，且移动到中点时，证明，由相似三角形的性质可解得；③当点从中点移动到点时，同理可得，由相似三角形的性质可解得．然后计算整个运动过程点运动的路径长即可． 【解析】解：如下图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 当点在上运动时，如下图， ∵， ∴， ∴； 当点在上，且移动到中点时，如下图， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 当点从中点移动到点时，如下图， 同理可得， ∴， ∴，即， ∴； ∴整个运动过程点运动的路径长． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角函数、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、平行线的判定与性质等知识，解题关键是运用分情况讨论的思想分析问题． 14．（23-24九年级上·四川雅安·期末）如图，在中 ，是边上一动点（不与点重合），，交于点E， 下列结论：①；②；③当时，；④为直角三角形时，或者6.25．其中正确的结论有（　     　） 个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】如图1：在线段上取点F，使，连接，易证进而可得即可判定①；结合①的结论可得，再确定的范围为，进而得到，即②正确；分两种情况：当时，可证明结论正确，当时，结论不成立；故③错误；为直角三角形，可分两种情况或分别讨论求解即可④． 【解析】解：如图1，在线段上取点F，使，连接，则 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ∴，故①正确； ∴， 当时，由勾股定理可得： ， ∴， ∴，即，故②正确； 如图2，作于H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或，或， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 但与显然不是全等形，故③不正确； 如图3， ， ∴， ∴， ∴， 如图4，于D，于H， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故④正确． 故选C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形性质、勾股定理、全等三角形判定和性质、相似三角形判定和性质、动点问题和分类讨论思想等知识点；掌握动点问题和分类讨论思想是解题的关键． 15．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在中，，，，点D是上一点，，点P是线段上一个动点，以为直径作，点M为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，垂线段最短的应用． 连接，，过点A作，交的延长线于T．由点M为的中点，根据垂径定理得，从而，进而，在中，由，根据垂线段最短可得，即可解答． 【解析】如图，连接，，过点A作，交的延长线于T． ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴的最小值为． 故答案为： 16．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，等边边长为，E、F分别是边上两个动点且．分别连接，交于P点，点M为的中点，N为上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理和直角三角形的性质．以为边在外作等边，取的外心为，求得点在上运动，作点关于的对称点，连接交于点，当点在同一直线上时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【解析】解：∵等边边长为，点M为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 以为边在外作等边，取的外心为，连接， ∵， ∴点在上运动， 作点关于的对称点，连接交于点， 当点在同一直线上时，有最小值，最小值为的长， 过点作直线的垂线，垂足为，如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∵是的外心， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 在中，， ∴， ∴的最小值为：， 故选：B． 17．（23-24九年级上·江苏·期末）如图，点为正方形的对角线上一动点，在上．结论：①；②若，则；③；④．其中正确结论的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】根据正方形的性质和已知条件，证明是等腰直角三角形，利用外角的性质得到，证明，得到，利用勾股定理求出，逐一进行判断即可． 【解析】解：如图所示，连接， ∵是正方形的对角线 ∴，， 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴， 故①正确； 如图所示，过点作于点， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故②错误， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 由①可得，又 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 18．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为1的的圆心的坐标为，点为轴上一个动点，过点作的切线，切点为于点．下列结论：①的最大值为1；②的最小值为；③的最大值为；④若点，则的面积为．则其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，根据即可判断①，根据，得出取得最小值时，取得最小值，即可判断②③，当，则，等面积法求得，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【解析】解：∵过点作的切线，切点为于点． ∴，故①不正确； 当重合时，取得最小值，而，则取得最小值， ∴，故②正确； 当重合时，取得最小值， ∵， ∴取的最大值，此时 ∴，故③正确； ∵点， ∴， ∴ ∴ ∴，故④正确； 故选：B． 19．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，中，是延长线上一点，，是边上一动点（不与点B重合），以为邻边作，连接，G是线段上一点且，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】在上截取，连接并延长交于M，作垂直于点P，，F在边上移动时，点G在过点N与平行的直线上移动．如图2，当时最小， ．如图3，当点F和点A重合时最大． 【解析】解：如图1，在上截取，连接并延长交于M，作垂直于点P， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴当F在边上移动时，点G在过点N与平行的直线上移动． 中，， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， 如图2，当时最小，． 如图3，作于T，交于I，作于Q， 当点F和点A重合时最大．， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质三角形相似的判定和性质，勾股定理，关键是添加辅助线构造相似． 20．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，以为边作矩形（点A，C，D，E按逆时针方向排列），，和的延长线相交于点F，点P从点B出发沿向点F运动，到达点F时停止．点Q在线段上运动，且始终满足，连接．当的面积为时，的长是 ．    【答案】1或 【分析】分两种情况：①当点在线段上运动时，过点作，交延长线于点，先证出，再证出，利用三角形的面积公式求解即可得；②当点在线段上运动时，过点作于点，连接，先求出，进而得到，设，则，，则，再根据列出方程求解即可． 【解析】解：①如图，当点在线段上运动时，过点作，交延长线于点， ∵四边形是矩形，， ， ， ∵， ∴，， ， ， ， ， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ， 的面积为，    ， 解得（负值舍去）， ， ； ②如图，当点在线段上运动时，过点作于点，连接，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ，， ∵ ， ， 设，则，， ， 又， ， ， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 解方程得或 （舍去）； 解方程得（舍去）或（舍去）； ∴    综上所述，的长是1或， 故答案为：1或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确分两种情况讨论，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 21．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，矩形中，，，点E在边上，且．动点P从点A出发，沿射线运动．过点E作交射线于点F，连接．设M是线段的中点，则在点P运动的整个过程中，线段的最小值是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】由四边形为矩形以及得，连接，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得在的垂直平分线上运动，故当与垂直平分线垂直时，最小，过点作 于点Q，过点M作于点R，则四边形为矩形，故，，，，设，则，，则，可得，则，故，解得：，则，故， 【解析】解：∵四边形为矩形，，， ∴，， ∵， ∴， 连接，如图所示： ∴，即， ∵， ∴， 连接，如图所示： ∵是线段的中点，， ∴， ∴在线段的垂直平分线上运动， ∴当与线段的垂直平分线垂直时，最小，如图： 过点作 于点Q，过点M作于点R， ∴四边形为矩形， ∴，，， 此时， ∴在中，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，勾股定理，要用的辅助线较多，关键在确定所在的轨迹以及最小值的位置． 模块4：传统几何求解题 22．（22-23九年级上·重庆江北·期末）如图，在正方形中，点E、F分别在边上，连接，过点E作交于点H，交于点G，连接，若，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求正弦值、全等三角形的性质与判定、正方形的性质、矩形的性质与判定等知识点，求得的长是解题的关键． 设交于N易得 是等腰直角三角形，运用勾股定理得出，证明，在中运用勾股定理求得，最后根据正弦的定义即可解答． 【解析】解：如图：设交于N， ∵四边形是正方形， ，， ， ，即是等腰直角三角形， ∵， ∴， ， ， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，, ． 故选：B． 23．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，点E是对角线上一动点，连接，过E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． （1）当时，则的长为 ； （2）点H在上，且，连接，则长的最小值是 ． 【答案】 / //4.4 【分析】（1）过点E作于点M，延长交于点N，根据勾股定理求出，证明，得出，求出，，，得出，根据勾股定理求出，证明，得出，求出最后结果即可； （2）连接并延长交的延长线于L，根据，得出，证明，得出，从而得出，证明，得出，得出， ∴当时，最小，连接，根据等积法求出结果即可． 本题主要考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定方法． 【解析】解：（1）如图，过点E作于点M，延长交于点N， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）如图，连接并延长交的延长线于L， 根据解析（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最小，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 模块5：圆在平面直角坐标系的应用 24．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点M是x轴正半轴上的一个动点，经过原点O和点M，是过点M的切线．当轴时，点P的坐标为 ；当射线与直线相交时，点M的横坐标t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题是二次函数综合题，主要考直了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键. （1）由与相切,得出，而轴，进而判断出点在轴上，即可得出答案； （2）当点在第一象限时和当点在第四象限时，找出时，判断出为等腰直角三角形，进而得出，进而得出或,立方程求出的值，即可得出的分界点，进而得出答案. 【解析】解：（1）轴，， 与相切， ， 轴， 点在轴上， 点是圆心， 点的横坐标为， ， 故答案为∶； （2）如图，连接，过点作轴于，过点作轴于，    则， 由（1）知，， ∵轴于，且点在第一象限内， 轴， 直线过点， 当是射线与直线相交的分界点， 如图，①当点在第一象限时，过点作轴于， 当时， 由（1）知，， ∴为等腰三角形， （舍去）或， ②当点在第四象限时，过点作轴于 同①的方法得，， ， （舍去）或 故答案为∶． 25．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，与轴正半轴，轴负半轴分别交于点，，点在上，点为的中点，连结并延长交于点，点在轴的正半轴上，连结，交于点，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点与线段的长，圆的有关性质，圆周角定理，三角形全等的判定及性质，待定系数法求解析式． 过作，垂足为，过作y轴，交轴于点，过作，垂足为，过作，垂足为，设直线交轴于点，交轴于点．由可得，根据圆周角定理得到，进而求得，，由点可得半径为，从而得到，通过待定系数法求得直线的表达式为，从而得到点，因此，通过“”证明，得到，，因此，又，求得，因此，，即得到，设直线的表达式为，代入点、得直线的表达式为，从而得到点，因此，而，根据三角形的面积公式即可求解． 【解析】过作，垂足为，过作y轴，交轴于点，过作，垂足为，过作，垂足为，设直线交轴于点，交轴于点， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴ ， 点， ， ， ∵点为的中点， ， ， 设直线的表达式为，代入点得， ∴直线的表达式为， 令得， ∴ ， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的表达式为，代入点、得 ， ∴， ∴直线的表达式为， 令得， ∴ ， ， ． 26．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，如图，连接， 取的中点， 连接，， ，，，，利用三角形中位线定理求出，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，则 ，求出 的最大值，可得结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用参数解决问题，熟练掌握知识点的应用． 【解析】如图， 连接， 取的中点， 连接，， ，，，， ∵点、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则， ∵， ∴最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 模块6：动态几何（旋转、折叠等） 27．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，抛物线交轴于两点（在的右侧），交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是 ．    【答案】 【分析】先根据抛物线解析式求出点A、B、C的坐标，从而得出，，，再根据勾股定理求出的长度，然后根据翻折的性质得出在以D为圆心，以为半径的圆弧上运动．当D，，B在同一直线上时，最小．过点D作，垂足为E，由中位线定理得出，的长，然后由勾股定理求出的长，从而得出结论． 【解析】    由得 时，， 解得，， ，， ，， 当时，， ， ， ， ∵点是线段的中点， ， ∵是由沿折叠所得， ， ∴在以D为圆心，以为半径的圆弧上运动， 当D，，B在同一直线上时，最小， 过点D作，垂足为E， 则，， ∴， ， ， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知识，关键是根据抛物线的性质求出A、B、C的坐标． 28．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，线段，点为平面上一动点，连接，，且，为线段的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段，则线段的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角的性质及勾股定理，先证明，再根据勾股定理得出的长，最后得出结论． 【解析】解：， 点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接， ， 取的中点，连接，为的中点， 为的中位线， ，， 如图所示，过点作，且，连接， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 29．（22-23九年级下·江苏常州·期末）如图，在中，，，是边上的高，将绕点C旋转到（点E、F分别与点A、B对应），点F落在线段上，连接，则 ． 【答案】 【分析】过点E作于点G，结合旋转的性质可求，进而可证是等边三角形，可求出，即可求解． 【解析】解：如图，过点E作于点G， 将绕点C旋转，点B落在线段上的点F处， ，，，， ， ； ，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在中 ， ， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形“三线合一”，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角函数等，掌握相关性质及定理，构建直角三角形是解题的关键． 30．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，，，点是边上一点，连接，将沿直线折叠后，得到，交边于点，若，则的长为 ．    【答案】/0.5 【分析】如图，过点作于，过作于，过点作，利用勾股定理可求出的长，根据折叠得性质及等腰三角形得性质可得，，设，利用的三角函数用表示出、的长，根据证明，根据相似三角形得性质求出的值即可得答案． 【解析】解：如图，过点作于，过作于，过点作，设，，    ∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠后，得到，， ∴，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查折叠得性质、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质及解直角三角形，熟练掌握相关性质及判定定理，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键． 31．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）若一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，则称这个圆是这条线段的“关联圆”．如图，已知，，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转，得到线段．以射线上的一动点为圆心，半径为2作，若是的“关联圆”，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，旋转的性质，坐标与图形；以为原点，为轴建立平面直角坐标系，根据题意求得点的坐标，进而根据题意解一元二次方程，结合图形取舍即可求解． 【解析】解：如图：以为原点，为轴建立平面直角坐标系， 依题意，，， 取的中点，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵以点为旋转中心，将线段逆时针旋转，得到线段． ∴以点为旋转中心，将点逆时针旋转，得到线段点，则， ∵， ∴， ∴， ∵，设， 依题意，时，在上，且点在点的左侧时，取得最小值， ∴， 解得：或（舍去） ∴ 当时，在上，且点在点的右侧时，取得最小值， ∴， 解得：或（舍去） ∴ ∴ 故答案为：． 32．（23-24九年级上·辽宁·期末）如图，在和中，，，，，，与所在的直线相交于点F，将绕点C在平面内旋转，当点F与点D重合时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】如图1，证明，得，得出，，由勾股定理求出的长，设，则，，由勾股定理列方程，求得，从而可求出的长；如图2，同理可得结论． 【解析】如图1， 在和中， ，，， ． 又， ， ． ，． ， ， 在中，， ， 在中，， ∴． ， 设，则，． 在中，， ． 解得，（舍）． ； 如图2， 在和中，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 同理，， 设，，则， 在中，， ， 解得，（舍）， ． 综上所述，的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查三角函数的计算、相似三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质，利用分类讨论的思想是解题的关键． 33．（23-24九年级下·江苏常州·期末）和是相同的两块含的三角板，，设，如图1，先将和的边和重合，再将绕着点按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接．如图2，取的中点，连接，当的面积最大时，线段为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形综合应用，直角三角形的性质，解直角三角形的相关内容，涉及旋转变换，与圆有关的计算问题，解题的关键是读懂题意，画出图形，灵活运用旋转的性质． 根据题意得出，则点F在以为直径的圆上，过点F作于点H，推出当点H为中点时，的面积最大，此时，分当时，令和相交于点M，设，则，通过证明，求出，再证明，得出，求出，即可解答；当时，延长和的延长相交于点M，同理即可求解． 【解析】解：∵，点F为中点， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的圆上， ∴过点F作于点H， ∵，， ∴当取最大值时，的面积最大， 即当点H为中点时，的面积最大， 此时，， ∵，， ∴， 当时，令和相交于点M， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 当时，延长和的延长相交于点M，如图， 设，则， 同理， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$