特训10 期末解答压轴题（江苏期末精选）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（苏教版2019必修第一册，江苏专用）

特训10 期末解答压轴题（江苏期末精选） 一、解答题 1．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数，其中. (1)判断的奇偶性（直接写出结论，不必说明理由）； (2)证明：当时，； (3)若函数有三个零点，求的取值范围. 2．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数，，定义函数 (1)设函数，，求函数的值域； (2)设函数（，为实常数），，当时，恒有，求实常数的取值范围； 3．（23-24高一上·江苏南京·期末）若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数. (1)若函数是型函数，求的值； (2)若函数是型函数，求和的值； (3)已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，.若在恒成立，求实数的取值范围. 4．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若对于实数，，关于的方程在函数的定义域上有实数解，则称为函数的“可消点”.又若存在实数，，对任意实数，都为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对”. (1)若是“可消函数”，求函数的“可消数对”； (2)若为函数的“可消数对”，求的值； (3)若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“可消点”与“可消点”，求的取值范围. 5．（23-24高一上·江苏常州·期末）中心对称函数指的是图形关于某个定点成中心对称的函数，我们学过的奇函数便是一类特殊的中心对称函数，它的对称中心为坐标原点. 类比奇函数的代数定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心. 比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为. (1)判断是否为中心对称函数（不用写理由），若是，请写对称中心； (2)若定义在上的函数为中心对称函数，求的值； (3)判断函数是否为中心对称函数，若是，求出其对称中心；若不是，请说明理由. 6．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“-利普希兹条件函数”. (1)判断函数，是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由； (2)若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值； (3)设，若是“2024-利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，. 证明：方程在区间上有解. 7．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得（其中，，，，），则称为的“重覆盖函数” . (1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由． (2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围. 8．（22-23高一上·江苏南京·期末）已知函数，. (1)利用函数单调性的定义，证明：在区间上是增函数； (2)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实数的取值范围； (3)当，判断与的大小，并注明你的结论. 9．（22-23高一上·江苏徐州·期末）对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的. (1)若是由“基函数和”生成的，求实数的值； (2)试利用“基函数和”生成一个函数，使之满足为偶函数，且. ①求函数的解析式； ②已知，对于区间上的任意值，，若恒成立，求实数的最小值.（注：.） 10．（22-23高一上·江苏淮安·期末）对于定义域为的函数，区间。若满足条件：使在区间上的值域为，则把称为上的闭函数.若满足条件：存在一个常数，对于任意，如果，那么，则把称为上的压缩函数. (1)已知函数是区间上的压缩函数，请写出一个满足条件的区间，并给出证明； (2)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，，使是区间上的闭函数，若存在，请求出a，b的值，若不存在，请说明理由； (3)函数是区间上的闭函数，且是上的压缩函数，求满足题意的函数在上的一个解析式. 11．（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知函数 (1)利用函数单调性的定义，判断并证明函数在区间上的单调性； (2)若存在实数且，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围. 12．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知函数的定义域为. (1)如果不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)如果函数存在两个不同的零点. ①求实数的取值范围； ②求的最大值. 13．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知非常值函数的定义域为，如果存在正实数，使得，都有恒成立，则称函数具有性质. (1)判断下列函数是否具有性质？并说明理由； ①；②. (2)若函数具有性质，求的最小值； 14．（22-23高一上·江苏南通·期末）已知指数函数满足． (1)求的解析式； (2)设函数，若方程有4个不相等的实数解． （i）求实数的取值范围； （i i）证明：． 15．（22-23高三上·江苏扬州·期末）已知函数的最小正周期为，且直线是其图像的一条对称轴. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图像向右平移个单位，再将所得的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图像对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数与的值. 16．（22-23高一上·江苏盐城·期末）已知函数，其中. (1)若，求解方程； (2)求当时，函数的零点； (3)求证：当时，函数至多只有一个零点. 17．（22-23高一上·江苏苏州·期末）已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且． (1)求和的解析式； (2)若函数在上的值域为，求正实数a的值； (3)证明：对任意实数k，曲线与曲线总存在公共点． 18．（22-23高一上·江苏常州·期末）已知函数在区间上有最大值和最小值，设. (1)求、的值； (2)不等式在上恒成立，求实数的范围； (3)方程有三个不同的实数解，求实数的范围. 19．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知偶函数和奇函数满足，为自然对数的底数. (1)从“①；②”两个条件中选一个合适的条件，使得函数与的图象在区间上有公共点，并说明理由； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训10 期末解答压轴题（江苏期末精选） 一、解答题 1．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数，其中. (1)判断的奇偶性（直接写出结论，不必说明理由）； (2)证明：当时，； (3)若函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，分和，两种情况，结合函数奇偶性的定义，即可求解； （2）根据题意，得到，分，和，三种情况讨论，分别得到，即可得证； （3）设，问题可转化为函数有三个大于0的零点，分，和，三种情况讨论，转化为在有且仅有1个零点，在上有且仅有2个零点，列出不等式组，即可求解. 【解析】（1）当时，，其定义域为，且， 所以函数为偶函数； 当时，函数，可得且， 所以函数既不是奇函数又不是偶函数. （2）由函数， 可得， 当时，因为，，所以； 当时，； 当时，， 综上可得，当时，. （3）设， 因为是关于的单调增函数，问题可转化为函数有三个大于0的零点， 当时，，所以只有一个零点为0，不符合题意； 当时，，所以无零点，不符合题意； 当时，， 因为的图象的对称轴为，所以在上递增， 所以在上至多有1个零点； 又因为的图象对称轴为，所以在上至多有2个零点， 问题等价于在有且仅有1个零点，在上有且仅有2个零点， 则满足，即，解得， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题第3问解决的关键是先分析得，再分类讨论去掉绝对值，结合二次函数的性质与根的分布即可得解. 2．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数，，定义函数 (1)设函数，，求函数的值域； (2)设函数（，为实常数），，当时，恒有，求实常数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合函数图象和题目要求写出函数解析式，并求出值域. （2）由当时，恒有可得: 当时， ， 即当时恒成立. 然后整理得到当时恒成立. 再根据单调性求最值，解决恒成立问题. 【解析】（1）因为在单调递增，在单调递减， 且，所以， 因为时 时，所以函数的值域为 （2）由当时，恒有可得: 当时， ， 即当时恒成立. 即当时恒成立. 即当时恒成立. 即当时恒成立. 即当时恒成立. 因为在单调递增，所以在时取得最大值， 因为在单调递减，所以在时取得最小值， 所以. 3．（23-24高一上·江苏南京·期末）若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数. (1)若函数是型函数，求的值； (2)若函数是型函数，求和的值； (3)已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，.若在恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定的定义，结合指数运算计算即得. （2）利用给定的定义，建立恒成立的等式，借助恒等式求解即得. （3）利用新定义建立关系，再分段讨论并借助函数不等式恒成立求解即得. 【解析】（1）由是型函数，得，即， 所以. （2）由是型函数，得， 则，因此对定义域内任意恒成立， 于是，解得， 所以. （3）由是型函数，得， ①当时，，而，则，满足； ②当时，恒成立， 令，则当时，恒成立，于是恒成立， 而函数在单调递增，则，当且仅当时取等号，因此； ③当时，，则， 由，得， 令，则当时，， 由②知，则只需时，恒成立，即恒成立， 又，当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：函数的定义区间为， ①若，总有成立，则； ②若，总有成立，则； ③若，使得成立，则； ④若，使得成立，则. 4．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若对于实数，，关于的方程在函数的定义域上有实数解，则称为函数的“可消点”.又若存在实数，，对任意实数，都为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对”. (1)若是“可消函数”，求函数的“可消数对”； (2)若为函数的“可消数对”，求的值； (3)若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“可消点”与“可消点”，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合题目给的新的定义，求出的“可消数对”即可. （2）利用题目给的定义，根据为函数的“可消数对”，得到,都有，从而求出 （3）结合题意得到关系：,利用进一步转化得到,求出结果. 【解析】（1）因为函数是“可消函数”, 所以,对,使得, 整理得, 当时,;当时,,解得. 经检验,满足条件,所以所求函数的“可消数对”为. （2）因为为函数的“可消数对”, 所以为函数的“可消数对”, 所以,对,都有,整理得, 所以,所以. （3）因为存在,使得同时为函数的“可消点”与“可消点”, 所以, 化简可得, 因为 则, 所以, 故的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：新结构题目结合题目给的条件表示出是解决（3）的关键. 5．（23-24高一上·江苏常州·期末）中心对称函数指的是图形关于某个定点成中心对称的函数，我们学过的奇函数便是一类特殊的中心对称函数，它的对称中心为坐标原点. 类比奇函数的代数定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心. 比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为. (1)判断是否为中心对称函数（不用写理由），若是，请写对称中心； (2)若定义在上的函数为中心对称函数，求的值； (3)判断函数是否为中心对称函数，若是，求出其对称中心；若不是，请说明理由. 【答案】(1)是中心对称函数，对称中心为 (2) (3)是中心对称函数，对称中心为. 【分析】（1）根据题意，由函数的解析式可得，即可得结论； （2）若定义在上的函数为中心对称函数，其对称中心的横坐标必为， 由可知，，即可得出的值； （3）根据题意，由函数的解析式可得，即可得结论． 【解析】（1）根据题意，的定义域为， ，若对， 都有， 所以中心对称函数，对称中心为； （2）若定义在上的函数为中心对称函数， 明显定义域仅关于点对称，其对称中心的横坐标必为， 则 ， 因为为中心对称函数， 则为定值，则，即， 所以关于点对称. （3）函数的图象是中心对称图形，其对称中心为点 解方程得，所以函数的定义域为 明显定义域仅关于点对称 所以若函数的图象是中心对称图形，则其对称中心横坐标必为 设其对称中心为点， 则由题意可知有， 令，可得， 所以 所以若函数为中心对称图形，其对称中心必定为点 下面论证函数的图象关于点成中心对称图形： 即只需证明， ，得证. 【点睛】结论点睛：函数的对称性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称. 6．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“-利普希兹条件函数”. (1)判断函数，是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由； (2)若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值； (3)设，若是“2024-利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，. 证明：方程在区间上有解. 【答案】(1)函数是“2-利普希兹条件函数”； 函数不是“2-利普希兹条件函数”； (2)2 (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数新定义得和，即可判断； （2）由题知均有成立，不妨设，得恒成立，由，得，即可求解； （3）由题得，即，不妨设，根据零点的定义可得、，进而，则，设，有，结合零点的存在性定理即可证明. 【解析】（1）由题知，函数，定义域为R， 所以， 所以函数是“2-利普希兹条件函数”； 函数， 所以， 当时，则， 函数不是“2-利普希兹条件函数”； （2）若函数是“利普希兹条件函数”， 则对于定义域上任意两个，均有成立， 不妨设，则恒成立， 因为，所以，得， 所以的最小值为2． （3）因为函数是“利普希兹条件函数”， 所以在R上恒成立，即在R上恒成立， 由，得. 因为是函数的零点，则， 又是函数的零点，则，又， 所以，而，故， 设，， 由，， 得，由零点的存在性定理知函数在上有零点， 即方程在上有解. 【点睛】本题考查运用所学的函数知识解决新定义等相关问题，关键在于运用所学的函数知识，紧紧抓住定义，构造所需要达到的定义式，此类题目综合性强，属于难度题. 7．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得（其中，，，，），则称为的“重覆盖函数” . (1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由． (2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1)是， (2) 【分析】（1）根据定义，结合单调性即可求解； （2）先求出的值域，然后将问题转化为的图象与直线有两个交点的问题，然后对a进行分类讨论可得； 【解析】（1）由定义可得，对任意，恰好存在个不同的实数， 使得（其中）， 即， 由， 故当时，，此时不存在使成立， 当时，，且在上单调递增， 故对于任意，都有唯一一个，使得， 综上所述，对于任意，都有唯一一个，使得， 是的“重覆盖函数”，且； （2）由可得，故， ， 即，存在2个不同的实数，使得，其中， 由时，，故，即， 故，故对任意，， ， 即对任意，都有2个实根， 当时，，且在上递增， 故时，都有唯一确定的实根， 故当时，亦有且有一个实根， 当时，，且在上单调递减，符合题意， 当时， 为开口向下的抛物线，不符合要求，故舍去。 当时，则需对称轴，且， 即，且，即， 综上，实数的取值范围是. 8．（22-23高一上·江苏南京·期末）已知函数，. (1)利用函数单调性的定义，证明：在区间上是增函数； (2)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实数的取值范围； (3)当，判断与的大小，并注明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】按照函数单调性的定义的证明步骤：设值，作差，变形，定号，下结论，即可证明；（2）先换元，再分离常数，最后再利用基本不等式即可求出实数的取值范围； （3）采用作差法，结合基本不等式和指数函数的值域即可比较出大小. 【解析】（1）解：， 因为，所以，，所以， 即在上是增函数. （2）解：由已知 设，由（1）得在上单调递增，即， 所以， ①时，，即，当且仅当时取等， 此时要满足恒成立，即，所以； ②时，，此时在上单调递减， 即， 此时要满足恒成立，即，化简得， 此时因为，此时恒成立 综上所述，实数的取值范围是. （3）解： 因为（当且仅当时取等），所以，即， 由已知，所以， 又因为，所以，即， 因此，所以. 9．（22-23高一上·江苏徐州·期末）对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的. (1)若是由“基函数和”生成的，求实数的值； (2)试利用“基函数和”生成一个函数，使之满足为偶函数，且. ①求函数的解析式； ②已知，对于区间上的任意值，，若恒成立，求实数的最小值.（注：.） 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】(1)根据题意，可得，化简，利用对应项的系数相等即可求解； ①设，根据函数为偶函数得出，再结合，即可求出的值，进而求出函数的解析式； ②利用定义证明函数的单调，将式子化简为，然后根据条件求解即可. 【解析】（1）由已知，可得， 则，则，解得， 所以实数的值为. （2）①设， 因为为偶函数，所以， 由，可得， 整理可得，即，所以， 所以对任意恒成立，所以， 所以， 又因为，所以，所以， 故函数的解析式为. ②由①知. 在内任取，且， 则， 因为 ，， 所以，，所以， 所以，即， 所以，即， 所以函数在上是增函数，同理可证，函数在上是减函数. 设， 则， 所以 ， 当且仅当或时，有最大值， 故的最小值为. 【点睛】“新定义”主要是指新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 10．（22-23高一上·江苏淮安·期末）对于定义域为的函数，区间。若满足条件：使在区间上的值域为，则把称为上的闭函数.若满足条件：存在一个常数，对于任意，如果，那么，则把称为上的压缩函数. (1)已知函数是区间上的压缩函数，请写出一个满足条件的区间，并给出证明； (2)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，，使是区间上的闭函数，若存在，请求出a，b的值，若不存在，请说明理由； (3)函数是区间上的闭函数，且是上的压缩函数，求满足题意的函数在上的一个解析式. 【答案】(1)（答案不唯一，符合题意即可），证明见详解 (2)见详解 (3)（答案不唯一，符合题意即可），证明见详解 【分析】（1）取，，结合题意证明； （2）假定存在，根据的定义域、值域以及零点，分，两种情况，结合函数的单调性、零点分析判断； （3）取，，结合题意证明. 【解析】（1）设，则函数是区间上单调递增， 不妨设任意，令，则，故， 则， ∵，则， ∴，则， 故函数是区间上的压缩函数. （2）不存在，理由如下： 假定存在实数，，使是区间上的闭函数， 函数的定义域为，值域为，且函数的零点为，则或， 当时，则在区间上单调递减， 则可得，整理得，两式相减得，不合题意，舍去； 当时，则在区间上单调递增，则可得， 即有两个零点，则， 故函数在区间上有两个零点，则必须满足， 解得， ∵函数的零点为，符合题意； 综上所述：若，不存在实数，，使是区间上的闭函数； 若，存在实数，，使是区间上的闭函数. （3）若，则函数在区间上单调递增，且， 则函数在区间上的值域为，故函数是区间上的闭函数； 不妨设任意，令， 则，即， 则函数是上的压缩函数； 综上所述：函数是区间上的闭函数，且是上的压缩函数. 11．（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知函数 (1)利用函数单调性的定义，判断并证明函数在区间上的单调性； (2)若存在实数且，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)在区间上是减函数，详见解析； (2)． 【分析】（1）根据函数单调性的定义按步骤证明即可； （2）根据函数的单调性结合条件可将问题变转化为在上有两解的问题，采用换元法，利用一元二次方程在给定区间有解的条件解答即可. 【解析】（1）由题可得， 在区间上是减函数， 任取，且，则， 则， 由题设知， 故， 所以， 所以在区间上是减函数； （2）由（1）知在区间上是减函数， 所以当时，在区间上单调递减， 所以函数在区间上的值域为， 所以， 所以在上有两解， 所以在上有两解， 令，则， 则关于的方程在上有两解， 即在上有2解， 所以，解得， 所以的取值范围为． 12．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知函数的定义域为. (1)如果不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)如果函数存在两个不同的零点. ①求实数的取值范围； ②求的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用换元法，令，将恒成立，转化为在上恒成立，然后分离参数，结合基本不等式，即可求得答案； （2）①将函数存在两个不同的零点，转化为存在两个不同的零点问题，结合一元二次方程的根的分布，列出不等式组，即可求得答案；②将化为，结合对数运算和根与系数的关系，求出的最大值，即可求得答案. 【解析】（1）由题意知函数的定义域为，故， 令，则，即为， 则不等式恒成立，等价于函数在上恒成立， 由于，故在上恒成立，即在上恒成立， 因为， 当且仅当，即时取等号， 故； （2）①由于为增函数，故函数存在两个不同的零点， 等价于存在两个不同的零点，且， 则，即，即， 故实数的取值范围为； ②由于， 则 ， 因为，所以，即， 故的最大值为， 则， 当取最大值时，取到最大值. 【点睛】关键点点睛：本题综合考查了函数不等恒成立以及零点和最值问题，综合性强，难度较大，解答的难点在于根据函数的零点求解最值问题，解答时要注意换元，减少变量，从而将两变量问题转化为一元函数的最值问题. 13．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知非常值函数的定义域为，如果存在正实数，使得，都有恒成立，则称函数具有性质. (1)判断下列函数是否具有性质？并说明理由； ①；②. (2)若函数具有性质，求的最小值； 【答案】(1)不具有性质，具有性质，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据函数新定义建立方程求解，即可判断函数是否具有性质； （2）根据函数新定义知恒成立，令，则对恒成立，根据和分类讨论求得，然后根据余弦函数的周期性建立不等式求解即可. 【解析】（1）不具有性质，具有性质，理由如下： ①假设具有性质，即存在正数，使得恒成立， 则对恒成立， 则此时无解，故假设不成立，所以不具有性质. ②取，则， 即存在正数使对恒成立，所以具有性质； （2）因为函数具有性质， 所以存在正数，使都有：恒成立， 令，则对恒成立. 下证若，取，则，矛盾， 若，取，则，矛盾，所以. 即，又因为当且仅当，时， 对恒成立，因为，所以，所以的最小值为. 【点评】方法点睛：与函数的新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的函数的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新函数问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 14．（22-23高一上·江苏南通·期末）已知指数函数满足． (1)求的解析式； (2)设函数，若方程有4个不相等的实数解． （i）求实数的取值范围； （i i）证明：． 【答案】(1) (2)（i）；（i i）证明详见解析 【分析】（1）根据指数函数的知识求得的解析式. （2）利用换元法，结合指数函数二次函数的性质以及基本不等式求得的取值范围.结合图象、对称性以及放缩法证得. 【解析】（1）设（且）， 由于，所以， 由于且，所以解得， 所以. （2）（i）， 方程有4个不相等的实数解． 即①有4个不相等的实数解． 令，则， ， 当且仅当时等号成立. 所以①化为②， 对于函数，， 所以是偶函数，图象关于轴对称， 当时，令，，， 任取，， 其中， ，所以在上递增， 根据复合函数单调性同增异减可知在上递增； 由于是偶函数，所以在上递减. 所以的最小值是. 所以方程②在上有两个不同的实数根， 所以，解得， 所以的取值范围是. （i i）由于是偶函数，图象关于轴对称， 所以不妨设， 所以要证明， 即证明，即证明. 设方程②的两个不同的实数根为，则， ， 由整理得， 解得（对应，所以舍去）， 所以， 则， ， 由于， 所以， 即，所以． 【点睛】本题的主要难点有两个，一个是根据方程的根的个数求参数的取值范围，涉及到了二次函数的性质、指数型复合函数以及函数的奇偶性.第二个难点是不等式的证明，首先根据奇偶性将所证明的不等式简化，然后通过解复杂的指数方程，再结合基本不等式、放缩法等知识来证得结论成立.基本不等式的变形：，右侧部分还可变形为. 15．（22-23高三上·江苏扬州·期末）已知函数的最小正周期为，且直线是其图像的一条对称轴. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图像向右平移个单位，再将所得的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图像对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数与的值. 【答案】(1) (2)，. 【分析】(1)由最小正周期得,由是其图像的一条对称轴得,进而得答案； （2）根据题意得，进而整理得，令，得， 根据判别式得关于的二次方程必有两不等实根且异号，再分当且时,当 得，当时，则，此时,当有一根绝对值大于1，则另一根绝对值大于0且小于1，四种情况讨论求解. 【解析】（1）由三角函数的周期公式可得， ， 令，得， 由于直线为函数的一条对称轴， 所以，得， 由于，，则， 因此，. （2）将函数的图像向右平移个单位，得到函数， 再将所得的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图像对应的函数为. . 令，可得， 令，得，， 则关于t的二次方程必有两不等实根､，则，，异号. 当且时， 则方程和在区间均有偶数个根， 从而方程在也有偶数个根，不合题意 当，则，此时， 当时，只有一根，有两根， 所以，关于的方程在上有三个根， 由于， 则方程在上有个根， 由于方程在区间上只有一个根， 在区间上无实解， 方程在区间上无实数解，在区间上有两个根， 因此，关于x的方程在区间上有2020个根， 在区间上有2022个根，不合题意 当时，则，此时， 当时，只有一根，有两根， 所以，关于x的方程在上有三个根， 由于， 则方程在上有个根， 由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根， 方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解， 因此，关于x的方程在区间上有2021个根，满足题意. 若有一根绝对值大于1，则另一根绝对值大于0且小于1，有偶数个根，不合题意 综上所述：，. 16．（22-23高一上·江苏盐城·期末）已知函数，其中. (1)若，求解方程； (2)求当时，函数的零点； (3)求证：当时，函数至多只有一个零点. 【答案】(1) (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）对方程变形，根据绝对值的定义分类讨论，结合一元二次方程求解即可； （2）把求函数零点问题转化为求方程的根的问题，根据绝对值的定义分类讨论，结合一元二次方程求解即可； （3）分和取绝对值化简函数，利用函数的单调性结合零点存在性定理判断证明即可. 【解析】（1）由题意，所以，即， 当时，，即，，又，所以； 当时，，，方程无解， 所以方程的解为. （2）， 当即时，有，即， 解得，所以， 当即时，有，所以， 所以，解得或，所以， 综上：函数的零点为，. （3）当即时，， 因为和在上单调递减，所以在上单调递减， 又，所以无零点； 当即时，， 令，由对勾函数的性质知在单调递增，在单调递减， 当时，， 当时，， 当时，， 所以函数在上无零点，在上有一个零点， 综上函数至多只有一个零点. 【点睛】方法点睛：函数零点（方程的根）的求解与判断方法： （1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点. （2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. 17．（22-23高一上·江苏苏州·期末）已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且． (1)求和的解析式； (2)若函数在上的值域为，求正实数a的值； (3)证明：对任意实数k，曲线与曲线总存在公共点． 【答案】(1)， (2) (3)证明见详解 【分析】（1）利用解方程组法即可求得解析式. （2）构造函数通过换元法利用二次函数的最值即可求得的值. （3）分类讨论利用零点存在性定理即可证明. 【解析】（1），分别为定义在上的奇函数和偶函数 所以，又因为①， 所以②， 有①②可知， ，. （2）令，由（1）知，， 又因为，令，所以 所以， 函数在上的值域为， 所以，故, 当时，得，又因为，所以 （3）由（1）知，所以 与曲线总存在公共点， 即在有实数根，令， 当时，易知为函数的零点， 当时，易知函数在单调递减， 又因为，，由零点存在性定理可知: ,使得成立. 当时，， 又因为，，所以. 由零点存在性定理可知:,使得成立. 故对任意实数函数在有零点. 即对任意实数曲线与曲线总存在公共点. 18．（22-23高一上·江苏常州·期末）已知函数在区间上有最大值和最小值，设. (1)求、的值； (2)不等式在上恒成立，求实数的范围； (3)方程有三个不同的实数解，求实数的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，可得出关于、的方程组，结合可得出、的值； （2）由（1）可得，由参变量分离法可知对任意的恒成立，令，求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围； （3）原方程等价于，其中，令，分析可知关于的有两个根、，且，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【解析】（1）解：， 当时，在上为增函数，由题意可得，解得； 当时，在上为减函数，由题意可得，解得，不合乎题意. 综上所述，. （2）解：由（1）知， 所以， 由于对恒成立，故. ，所以，， ，令，则对恒成立. 因为函数在上单调递增，所以，，所以，. （3）解：方程化为， 化为，其中， 令，则方程化为. 作出函数图象如下图所示： 因为方程有三个不同的实数解， 所以有两个根、，且 记，则或， 解得. 因此，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 19．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知偶函数和奇函数满足，为自然对数的底数. (1)从“①；②”两个条件中选一个合适的条件，使得函数与的图象在区间上有公共点，并说明理由； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)①不满足题意，②满足题意，理由见解析 (2) 【分析】（1）首先得出，结合基本不等式，以及零点存在定理即可进一步求解. （2）由题意首先通过换元得出恒成立，分析得知，进一步解不等式组即可得解. 【解析】（1）由题意， 解得， ①令，有，等号成立当且仅当，而此时， 所以此时恒成立，即函数与的图象在区间上没有公共点，不满足题意； ②令，则，，即， 且此时的图象连续不断， 所以由零点存在定理可知此时存在零点，即此时函数与的图象在区间上有公共点，满足题意. （2）由题意关于的不等式恒成立，首先显然有， 其次有恒成立， 所以恒成立， 令，因为，所以， 所以恒成立，即恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 因为，若，则，此时不等式变为了恒成立，这显然不可能成立， 所以，即， 所以， 所以，即， 解得，即数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：第二问的关键是通过换元得出（一元二次）不等式恒成立，所以，当然这也要求有一定的计算能力，由此即可顺利得解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$