期末模拟测试卷02（测试范围：第1-5章）-2024-2025学年高二数学期中期末挑战满分冲刺卷（苏教版2019选择性必修第一册，江苏专用）

2024-2025年高二数学上学期期末模拟测试卷02 测试范围：第1-5章 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线过点，，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 2．双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 3．设正项等比数列满足，，则（     ） A． B． C． D． 4．已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（    ） A．6 B．5 C．4 D． 5．已知直线与交于、两点，则“”是“的面积取得最大值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．设，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100，且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（    ） A．440 B．330 C．220 D．110 8．函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（    ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．点、，过、的直线为，下列说法正确的有（    ） A．若，则直线的方程为 B．若，则直线的倾斜角为 C．任意实数，都有 D．存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数 10．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，下列结论错误的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D． 11．已知抛物线的焦点坐标为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，点在抛物线上．则（    ） A． B．当轴时， C．为定值1 D．若，则直线的斜率为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则不等式的解集为 . 13．已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点，且满足，则直线的斜率为 ． 14．已知直线与直线，点是与轴的交点.过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，依此方法一直继续下去，可得到一系列点，，则 ；设的坐标为，则数列的前项和为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)求数列的前项和. 16．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数的极值. 17．如图，在宽为14的路边安装路灯，灯柱高为8，灯杆是半径为的圆的一段劣弧.路灯采用锥形灯罩，灯罩顶到路面的距离为10，到灯柱所在直线的距离为2.设为灯罩轴线与路面的交点，圆心在线段上.以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系.    (1)当点恰好为路面中点时，求此时圆的方程； (2)记圆心在路面上的射影为，且在线段上，求的最大值. 18．已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，． (1)求数列和的通项公式; (2)表示不超过x的最大整数，表示数列的前项和，集合共有个元素，求范围； (3)，数列的前项和为，求证：． 19．阅读材料： 极点与极线，是法国数学家吉拉德•笛沙格（Girard Desargues，）于年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. 其中，极点与极线有以下基本性质和定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 根据上述材料回答下面问题： 已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为， 已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点， (1)若，，证明：极线恒过定点. (2)在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程 (3)若，，，极线交的右支于，两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线，直线分别交轴于，两点，点为坐标原点，求的值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年高二数学上学期期末模拟测试卷02 测试范围：第1-5章 一、选择题 1．已知直线过点，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求直线的斜率，再求直线的倾斜角. 【解析】由条件可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，. 故选：D 2．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的渐近线方程公式，即可得到答案. 【解析】双曲线的渐近线方程是，即. 故选：A. 3．设正项等比数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可设公比为，然后根据得出，通过计算求出，最后通过即可得出结果. 【解析】设等比数列的公比为， 因为，， 所以，即， ，解得或（舍去），， 则， 故选：C. 4．已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义求解． 【解析】由题意及抛物线定义，点M到C的准线的距离为6， 所以点M到y轴的距离为. 故选：C． 5．已知直线与交于、两点，则“”是“的面积取得最大值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用三角形的面积公式可得，当时，的面积取得最大值，利用等面积求出圆心到直线的距离， 再由点到直线的距离公式求出的值，最后结合充要条件的定义进行判断即可. 【解析】 由，可得圆心，半径， 又， 当且仅当时，等号成立， 此时， 由等面积可得点到直线的距离， 又点到直线的距离， 解得，， 因此“”是“的面积取得最大值”的充分必要条件. 故选：C. 6．设，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线定义及可得，的长度，再由勾股定理可得离心率. 【解析】由，，可得， 由双曲线定义可知， 所以，，， 由勾股定理可得，可得， 故， 故选:B. 7．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100，且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（    ） A．440 B．330 C．220 D．110 【答案】A 【解析】 设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为.由题意可知，N＞100，令＞100，得n≥14，n∈N*，即N出现在第13组之后．易得第n组的所有项的和为＝2n－1，前n组的所有项的和为－n＝2n＋1－n－2.设满足条件的N在第(k＋1)(k∈N*，k≥13)组，且第N项为第(k＋1)组的第t(t∈N*)个数． 若要使得前N项和为2的整数幂，则第(k＋1)组的前t项的和2t－1应与－2－k互为相反数，即2t－1＝k＋2，∴ 2t＝k＋3，∴ t＝log2(k＋3)，∴ 当t＝4，k＝13时，N＝＋4＝95＜100，不满足题意；当t＝5，k＝29时，N＝＋5＝440；当t＞5时，N＞440.故选A. 8．函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先构造函数， 根据导数判断函数的单调性，再结合选项，依次判断. 【详解】设，则， 由条件可知，，所以，则函数在上单调递增， 因为函数是定义在上的奇函数，则，即，故A错误； 由函数的单调性可知，，得，故B正确； 由，得，故C错误； 由，得，故D错误. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，从而可以根据函数的单调性，判断选项. 二、多选题 9．点、，过、的直线为，下列说法正确的有（    ） A．若，则直线的方程为 B．若，则直线的倾斜角为 C．任意实数，都有 D．存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数 【答案】ABD 【分析】利用点斜式可判断A选项；利用斜率公式以及倾斜角与斜率的关系可判断B选项；利用平面内两点间的距离公式可判断C选项；利用截距式方程可判断D选项. 【解析】对于A选项，当时，点，又因为点，则， 此时，直线的方程为，即，A对； 对于B选项，若，则，又因为点，， 设直线的倾斜角为，则，且，则， 即直线的倾斜角为，B对； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C错； 对于D选项，若直线过原点，则直线的斜率为， 此时，直线的方程为，即， 因为点在直线上，则，解得， 若直线不经过原点，设直线的方程为， 因为点在直线上，则，此时，直线的方程为， 因为点在直线上，则，解得. 综上所述，存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数，D对. 故选：ABD. 10．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，下列结论错误的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D． 【答案】ABC 【分析】先假设与即可得到不符合题意，从而可得，，然后对选项逐一判断，即可得到结果. 【解析】若，则不合乎题意， 所以，故数列为正项等比数列， 因为，，， 若，则， 则，，则， 这与已知条件矛盾，所以不符合题意， 所以，则， 因为数列为正项等比数列，所以，故A错误； 由，，可得， 则，即，故B错误； 由，可知为数列的最大值，故C错误； ，故D正确； 故选：ABC 11．已知抛物线的焦点坐标为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，点在抛物线上．则（    ） A． B．当轴时， C．为定值1 D．若，则直线的斜率为 【答案】BCD 【分析】将点代入可判断A；求出焦点可判断B；设直线的方程为，将直线与抛物线方程联立，利用韦达定理即可判断C；由向量的坐标表示以及韦达定理可判断D. 【解析】对于选项A，将点代入抛物线方程，可得，故选项A错误； 对于选项B，焦点，点在抛物线上，可得，故选项B正确； 对于选项C，设点A，B的坐标分别为，， 直线的方程为，联立方程 消去y后整理为， 可得， 有， 故选项C正确； 对于选项D，有， 可得，由有解得，故选项D正确． 故选：BCD 三、填空题 12. 已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用导数判断单调性，再判断奇偶性，即可求解不等式. 【详解】由得， 所以函数是R上的增函数， 又由得函数是奇函数， 则由得， 所以， 解得. 故答案为：. 13．已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点，且满足，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】由，得点为线段的中点，然后利用点差法可求出直线的斜率. 【解析】 因为，则在椭圆内，可知直线与椭圆总有两个交点， 因为，即点为线段的中点， 设，，显然，则，， ，可得， 则，即， 所以，即直线的斜率， 故答案为： 14．已知直线与直线，点是与轴的交点.过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，依此方法一直继续下去，可得到一系列点，，则 ；设的坐标为，则数列的前项和为 . 【答案】 8 （或） 【分析】求出的解析式，点的坐标，点的坐标，点的坐标，的解析式，据此求出，，据此即可求解. 【解析】，，则， 当时易得，， 则，即，所以， 而，故， 所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 所以， ， 所以，所以的前项和为 . 故答案为：8；（或）. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出的解析式，点的坐标，点的坐标，点的坐标，的解析式，据此求出，. 四、解答题 15．已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证； （2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法计算可得. 【解析】（1）因为，所以， 即，，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）可得，则， 所以， 所以 . 16．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极小值，极大值 【分析】（1）直接根据导数的几何意义得到结果； （2）先确定的单调区间，再相应确定极值. 【解析】（1）由，得. 从而，. 故曲线在处的切线经过点，且斜率为，从而方程为，即. （2）由于对有，对有， 故在和上递减，在上递增. 所以的所有极值为：极小值，极大值. 17．如图，在宽为14的路边安装路灯，灯柱高为8，灯杆是半径为的圆的一段劣弧.路灯采用锥形灯罩，灯罩顶到路面的距离为10，到灯柱所在直线的距离为2.设为灯罩轴线与路面的交点，圆心在线段上.以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系.    (1)当点恰好为路面中点时，求此时圆的方程； (2)记圆心在路面上的射影为，且在线段上，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）以O为原点，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设圆心，根据圆心C到A，P的距离相等得到，再由圆心在直线PQ上联立求解. （2）由（1）知，当时，灯罩轴线所在直线方程为，易得；当时，设灯罩轴线所在方程为：，令得到，然后由，利用基本不等式求解. 【解析】（1） 则， ∴直线的方程为． 设，则，两式相减得：， 又，解得， ∴． 所以圆的方程为. （2） 由（1）知， 当时，灯罩轴线所在直线方程为，此时 当时，灯罩轴线所在方程为：， 令可得，即， ∵H在线段OQ上，∴，解得． ∴， 当且仅当即时取等号． ∴的最大值为． 18．已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，． (1)求数列和的通项公式; (2)表示不超过x的最大整数，表示数列的前项和，集合共有个元素，求范围； (3)，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设出公比和公差，得到方程组，求出公比和公差，求出通项公式； （2）求出，设，作差法得到其单调性，结合集合有4个元素，求出； （3）设，错位相减法求和得到，设，裂项相消法得到，从而求出，求和证明出结论. 【解析】（1）设正项等比数列的公比为，设等差数列的公差为， ∵，即，又， 解得或（舍去），， 所以，. （2）， 其中， ∴， 集合，设， ， 所以当时，，当时，． 计算可得，，，，， 因为集合有4个元素，所以． （3）因为， ， 设①， ②， 上式①②得， ， 所以， 当n为奇数时，， 设 ， . 【点睛】方法点晴，常见的裂项相消法求和类型： 分式型：，，等； 指数型：，等， 根式型：等， 对数型：，且. 19．阅读材料： 极点与极线，是法国数学家吉拉德•笛沙格（Girard Desargues，）于年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. 其中，极点与极线有以下基本性质和定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 根据上述材料回答下面问题： 已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为， 已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点， (1)若，，证明：极线恒过定点. (2)在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程 (3)若，，，极线交的右支于，两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线，直线分别交轴于，两点，点为坐标原点，求的值 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，确定双曲线方程，结合题意确定方程即可求解； （2）设，，利用点差法求出直线斜率即可求解； （3）根据已知条件，结合材料，确定为，直曲联立，利用韦达定理得到：，，结合题意有化简整理即可求解. 【解析】（1）右顶点为，， 双曲线的一条渐近线方程为：， 由，， 双曲线的标准方程 点在直线上， 设， 根据阅读材料可得极线为：， 整理有：， 则由，，定点为. （2）若定点为的中点，设，，则， 由点差法可得： 又因为：，，所以 解得：，所以极线方程为：. （3）   ，，，所以直线方程为：， 由题意，设：则极线为：即， 由 设， 由韦达定理可得，， 直线，得， 直线，得， ， 、满足，，， 且，， 所以原式化为： . 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)， 建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，化简求值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$