第06讲 圆的对称性、圆心角和圆周角（8大知识点+5大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（湘教版）

第06讲 圆的对称性、圆心角和圆周角 课程标准 学习目标 ①圆的基本概念及其应用 ②圆心角 ③圆周角 1.利用圆的对称性，探索得出圆的基本性质， 2.发现弦、弧、圆心角三者之间的关系;学会圆周角定理、圆内接四边形. 知识点01 圆的基本概念及其应用 (1)圆的相关概念 圆的定义:圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形,这个定点叫作圆心,定长叫作半径,圆也可以看成是平面内个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形. 圆的表示:以点O为圆心的圆叫作圆O,记作⊙O. 弦与直径:连接圆上任意两点的线段叫作弦；经过圆心的弦叫作直径.(注意:直径定是弦,但弦不一定是直径) 圆弧:圆上任意两点间的部分叫作圆弧,弧AB用符号表示为 劣弧:小于半圆的弧叫作劣弧. 优弧:大于半圆的弧叫作优弧, (2)圆的对称性 中心对称性:圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心. 轴对称性:圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 【即学即练1】 如图，是的直径，点、在上，，，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质、圆的相关性质、三角形的内角和定理．先利用邻补角性质和平行线的性质求得，再根据等边对等角性质求解即可． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点02 点与圆的三种位置关系 【即学即练1】 已知的半径为，点A在外，则的长可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了点与圆的位置关系，要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，再解答即可． 【详解】解：∵的半径为，点在外， ∴， 线段的长可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 知识点03 圆心角的概念 【即学即练1】 下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答． 【详解】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． 知识点04 圆心角、弧、弦之间的关系 定理:在同圆或等圆中,如果圆心角相等么它们所对的弧相等,所对的弦也相等 推广:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等,那么它们对应的其余各组量都分别相等 注意:证明圆心角相等、弧相等、弦相等时用此关系,不要忘记前提条件是“在同圆等圆中” 【即学即练1】 如图所示，的三个顶点在上，其中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，等腰三角形的判定和性质，根据等弧对等弦，得到，等角对等边求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：A． 知识点05 圆周角的定义及定理 【即学即练1】 如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键 ．直接运用圆周角的定义进行判断即可. 【详解】解：弧所对的圆周角是：或， 故选：B． 知识点06 圆周角定理的推论 在同圆(或等圆)中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等. 【即学即练1】 如图，在中，弦与弦相交于点，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】此题主要考查圆周角的推论--同弧或等弧对应的圆周角相等以及等角对等边等知识，解题的关键是熟知以上知识点． 连接，根据得到，再根据公共弧得到，再得到，再利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】证明：连接， ， ， ，即， ， ． 注意：由圆周角相等得到它所对的弧相等时必须注意前提条件“在同圆或等圆中”不能简单表达为“相等的圆周角所对的弧也相等” 知识点07 直径所对圆周角的性质 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 【即学即练1】 如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了的圆周角所对的弦为直径，圆周角定理等知识．熟练掌握的圆周角所对的弦为直径，圆周角定理是解题的关键． 如图，记的中点为，连接，由题意知，，四点共圆，由圆周角定理可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，记的中点为，连接， 由题意知，， ∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 规律总结：在圆中已知直径时,常应用直径所对的圆周角为直角构造出直角三角形，再应用直角三角形的知识解决问题. 知识点08 圆内接四边形 定义:如图,A,B.C.D是⊙O上的四点,顺次连接A,B.C,D四点,得到四边形ABCD,我们把四边形ABCD称为圆内接四边形,这个圆叫作这个四边形的外接圆. 性质:圆内接四边形的对角互补. 拓展:圆内接四边形的一个外角等于它的内对角 【即学即练1】 如图，四边形内接于，．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴． 故选：B． 题型01 圆的基本概念辨析 【典例1】如图，在中，于点，交于点，，以点为圆心长为半径作弧，交于点，连结交于点．若，则长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，灵活运用等腰、等边三角形性质求解是解题的关键． 连接，根据线段垂直平分线的性质可得，结合题意证是等边三角形，根据等边三角形“三线合一”可得，在中三角形内角和定理求出，得出． 【详解】解：连接，如图． ， ， 由题意可知， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∵， ， ∴， 故选：B． 【变式1】如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 【变式2】已知的半径是3，A、B是圆周上的两点，则两点间的最长距离是（    ） A．3 B．6 C．12 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要查了圆的基本性质．根据圆的基本性质解答，即可求解． 【详解】解：经过圆心的弦最长，即直径是最长的弦， ∵的半径是3， ∴两点间的最长距离是6． 故选：B ． 【变式3】．如图，在矩形中，，，点是边上的动点，连接，点是点关于直线的对称点，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】连接，以点为圆心，为半径作圆，交于点，则即为所求．解题的关键是确定点的位置． 【详解】解：连接，以点为圆心，为半径作圆，交于点， 此时点、、三点共线，则的最小值为， ∵四边形为矩形，，， ∴，， ∴， ∵点和点关于对称， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：4． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质和圆的性质，得出的最小值为是解答本题的关键． 题型02 点与圆的位置关系 【典例1】已知中，，若以点A为圆心，以为半径作圆，则点C在（   ） A．内 B．上 C．外 D．内或外 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：点和圆有三种位置关系：在圆内、在圆外、在圆上．用和的半径比较即可得出结果． 【详解】解：在中，， 以点为圆心，长为半径作圆， 点在上， 故选：B． 【变式1】已知的半径是，，则点与的位置关系是（   ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的关系及实数大小比较，先比较与的大小，再根据点和圆的关系判断即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴点在圆内， 故选：A． 【变式2】同一平面内，内一点到圆上的最大距离为，最小距离为，则的半径为 ． 【答案】4或2 【分析】本题考查了点与圆上各点的距离的最大值与最小值的含义．分点P在圆内或圆外进行讨论． 【详解】解：①当点P在圆内时，的直径长为，半径为； ②当点P在圆外时，的直径长为，半径为； 综上所述：的半径长为 或． 故答案为：4或2． 【变式3】对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若在图形上存在一点，使得、两点间的距离小于或等于1，则称为图形的关联点．当的半径为2时，点在直线上，若为的关联点，则点的横坐标的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，两点间的距离公式，正确理解题目给出的定义是解答本题的关键．由题意得，只需在以O为圆心，半径为1和3两圆之间即可，设点P的坐标为，求出点P到O点的距离，根据关联点的定义可知，，求解即可． 【详解】解：∵点P在直线上， ∴， ， ∵P为的关联点， ∴， ∴，同时平方得：， 整理得：， 当时，解得：，， 当时，解得：，， 如图： ∴P横坐标范围是或． 故答案为： 或． 题型03 圆心角的定义及其应用 【典例1】如图，是的直径，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中，等弧所对的圆心角相等得到，再根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】已知，如图，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，熟知圆心角、弧、弦之间的的关系是解题的关键．依据弦与相等，则这两条弦所对的劣弧和优弧分别相等，即可解． 【详解】证明：， ， ， 即， ． 【变式2】如图，五边形内接于半径为6的，F为中点，连结，若，，，则的长为（  ） A． B．5 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，先根据已知条件得出，进而证明是等边三角形，再利用三角函数解即可． 【详解】解：如图，连接，，，， ，， ， ， ， ， 又 ， 是等边三角形， ， F为中点， ， ， 故选A． 【变式3】已知，如图，在中，，以腰为直径作半圆O，分别交于点D，E． (1)求证：； (2)若，求圆弧所对的圆心角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)圆弧所对的圆心角的度数为． 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答； （2）连接，利用，，得到，再利用圆周角定理即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵是半的直径， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴圆弧所对的圆心角的度数为． 题型04 圆周角的定义及其应用 【典例1】下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角的定义．根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点在圆上，但两边不与圆相交，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】如图，在中，弦与弦相交于点E，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系、圆周角定理的推论，熟练掌握是解题的关键． 由弦相等得到，推出，得到，再利用等腰三角形的判定得出结论． 【详解】证明：， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】如图，在圆内接中，，弦，延长至点E，延长至点F，连接，使，延长交于点G，使，延长交于点H． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：． (3)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，证明三角形相似，灵活运用相似三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据圆内接四边形的性质可得，由得，由直径所对圆周角是直角可求出； （2）证明，得，可证,由此可得结论； （3）证明可得结论． 【详解】（1）解：连接， ∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴； （2）解：∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴； （3）解：∵， ∴. ∵ ∴， ∴， ∴. 又∵， ∴. 【变式3】如图，是的直径，是的弦，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理的推论．根据题意由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由，可求得的度数，再根据直角三角形的性质求出答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 题型05 圆内接四边形 【典例1】如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的内接四边形的外角等于内对角，解答即可． 本题考查了的圆的内接四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由四边形内接于，， 故． 故选：B． 【变式1】．如图，在的内接四边形中，，，，垂足为点E，则的长为 ．      【答案】1.5 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，相似三角形的判定和性质．过A作于点F，根据等腰三角形的性质以及勾股定理可得的长，再由，可得，根据勾股定理可得的长，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，过A作于点F，    ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 即， 解得：， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故答案为：1.5． 【变式2】如图所示，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． 如图，圆内接四边形ABCDABCD的对角线ACAC，BDBD交于点EE，BDBD平分∠ABC∠ABC，∠BAC=∠AD (1)求证：平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点，若，，试求四边形的面积和此圆半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到，由垂径定理推出是等边三角形． （1）由圆周角定理得到，而，因此，得到平分，由圆内接四边形的性质得到，即可求出； （2）由垂径定理推出是等边三角形，得到由，得到，由平行线的性质求出，由圆内接四边形的性质求出，得到，由直角三角形的性质得到，因为是圆的直径，即可得到圆半径的长是4． 【详解】（1）证明：，， ， 平分， 平分， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 是圆的直径， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ，， ， 是圆的直径， 圆的半径长是4， ． 一、单选题 1．已知的半径为1，，则点在（   ） A．内 B．上 C．外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，判断点与圆的位置关系．根据点在圆上，则；点在圆外，则；点在圆内，则（即点到圆心的距离，即圆的半径）进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴点与的位置关系是点在圆外， 故选：C． 2．的半径长为4，若点到圆心的距离为3，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系的判定，根据点到圆心的距离与半径的大小比较实施判定：当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外；熟记点与圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解： 的半径长为4，点到圆心的距离为3， 由可知，点在的内部， 故选：A． 3．平面内有两点，，的半径为，若，则点与的位置关系是（  ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法判断 【答案】A 【分析】此题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系作答即可，解题的关键是掌握点与圆的位置关系的判定：设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，当时，点在圆内；当时，点在圆上；当时，点在圆外． 根据点与圆的位置关系，进行判断即可． 【详解】解：∵的半径为1，，且， ∴点P与的位置关系是点P在外． 故选A． 4．如图，半径为10的⊙中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则点到的距离等于（   ） A．8 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的相等关系，垂径定理和三角形中位线性质．作于，作直径，连接，先利用等角的补角相等得到，再利用圆心角、弧、弦的关系得到，由，根据垂径定理得，可证为的中位线，然后根据三角形中位线性质得到． 【详解】解：作于，作直径，连接，如图， ，， ， ， ， ， ， 又， 为的中位线， ， 故选B． 5．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为．下列描述正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解． 【详解】解：线段最长为圆的直径，先增加后减小； A、当时，可能大于，故不符合题意； B、当时，可能大于，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项符合题意； D、当时，不一定等于，故本选项不符合题意； 故选：C． 6．如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：B． 7．如图，是的直径，点，在上，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 根据，求出，再根据等弧所对的圆周角相等得出，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8．如图，中，是直径，是弦，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理．由直径所对的圆周角为可得，从而得到，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出的度数． 【详解】解： 是直径， ， ， ， ， ， 故选：B． 9．如图，已知是的直径，是弦，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数． 【详解】解：是的直径， ， ， ． 故选：C． 10．如图，为直径，弦与相交，连接，，，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，由为直径，则，由直角三角形的性质得，最后由圆周角定理即可求解，熟练掌握圆周角的有关性质是解题的关键． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 11．如图，是上的四个点，，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 连接，根据弧，弦，角的关系得到，再根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 故选：A． 12．如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据圆内接四边形对角互补得出，根据圆周角定理得出，根据已知条件得出，进而根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵圆内接四边形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴, 故选：A． 二、填空题 13．已知的半径为3，，则点与的位置关系是：点在 ． 【答案】外/外部 【分析】本题考查点和圆的位置关系：当点的圆心的距离时，点在圆外；当点的圆心的距离时，点在圆上；当点的圆心的距离时，点在圆内．通过比较半径和的大小可得出结果． 【详解】解：∵的半径为3，， ∴， ∴点P在外， 故答案为：外． 14．如图，直线分别与轴、轴相交于点、．点在平面内，，点，则长度的最大值是 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质可得，则点在以点为圆心，为半径的圆上，然后求出点、的坐标，利用中点坐标公式求得，利用勾股定理求出、，根据点与点重合可知，当与重合时，取最大值，最大值为即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵点在平面内，， ∴在中，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， 在直线中，当时，； 当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴点、、三点共线时，取最大值，最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，圆的概念，一次函数的图象和性质，勾股定理；熟练掌握直角三角形的性质及一次函数的性质是解题的关键． 15．已知的半径为4，点P在上，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，设的半径为，P到圆心的距离，则有：点P在圆上，据此求解即可． 【详解】解：∵的半径为4，点P在上， ∴． 故答案为：． 16．如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接连接，可得，即得，再由圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．在中直径为4，弦，点C是圆上不同于A、B的点，那么度数为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的性质和判定，解题的关键分类讨论． 首先证明出是等边三角形，得到，然后根据在优弧和劣弧上两种情况分类求解． 【详解】解：如图所示， ∵在中直径为4， ∴半径 ∵弦， ∴是等边三角形 ∴ ∴①当点在优弧上时， ∴； ②当点在劣弧上时，记为点， ∴； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 18．如图，点A，B，C在量角器的外圈上，对应的刻度分别是外圈，和，则的度数为 ．    【答案】/115度 【分析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据题意补全图形，可得，，由圆周角定理可知，，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，点O为外圈所对的圆心，连接、、，       由题意得，，， 由圆周角定理可知，，， ∴， 故答案为：． 19．如图，已知点，的半径为1，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】如图，连接交于，连接．因为，，所以，所以当最小时，最小，运动到时，最小，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于，连接， ∴， ∵， ， ∵点是的中点， ∴， ， 当最小时，最小， 当运动到时，最小， 此时的最小值， 故答案为：2． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、两点间距离公式等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，所以中考常考题型． 20．如图，在平面直角坐标系中，的半径是2．过上一点P作等边三角形，使点D、E分别落在x轴、y轴上，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】过点P作于点M，连接，设，根据等边三角形的性质得到，勾股定理求出，然后根据三角形三边关系得到，进而得到；过点P作于点M，连接，同理得到，进而得到． 【详解】解：如图，过点P作于点M，连接， 设， ∵为等边三角形，， ∴，M为中点， ∴， 根据勾股定理可得， ∵， ∴， 解得：； 如图，过点P作于点M，连接， 设， 同理可得，， ∵， 解得：； 综上，， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的概念，等边三角形的性质，三角形三条边的关系，和勾股定理，找准临界位置是解题的关键． 21．已知的半径为2，点A到圆心O的距离是4，则点A在 ．（填“内”、“上”或“外”） 【答案】外 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系的判断，掌握判断二者位置关系的方法是解题的关键；根据点到圆心的距离和半径的大小关系，即可判断求解． 【详解】解：因为的半径为2，点A到圆心O距离是4， ， 点A在外． 故答案为：外． 三、解答题 22．如图，点、和点、分别在以为圆心的两个同心圆上，且． (1)与相等吗？为什么？ (2)若、、三点在同一直线上，，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，理解圆的性质是解答关键． （1）根据圆的性质得到，再利用全等三角形的性质求解； （2）根据全等三角形的性质得到，结合已知求出，利用三角形外角性质求出的度数，再结合平角的定义求解， 【详解】（1）解：． 理由如下： ， ， ． 在和中， ， ， ． （2）解：由（1）得， ． ，， ， ， ，， ． 23．如图，圆内接四边形是的直径，交于点，． (1)求证：点为的中点； (2)若，求． 【答案】(1)详见解析 (2)2 【分析】（1）利用垂径定理的推论证明即可． （2）利用垂径定理，勾股定理解答即可． 本题考查了垂径定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：是的直径，， ，即点为的中点． （2）解：是的直径，， ， ， ， ， ， ． 24．如图，点，，，在上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了弦与弧之间的关系．根据已知条件求得，根据弧与弦的关系即可得证． 【详解】证明：∵＝， ∴＝， ∴， ∴． 25．已知的直径为，点A，点B，点C在上，的平分线交于点D．求的度数． 【答案】 【分析】本题综合考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得到，根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 26．如图，中，，以为直径作，交边于点D，交的延长线于点E，连结，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考了圆周角定理∶在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半∶半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径，也考查了等腰三角形的性质． （1）根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形三线合一即可得到； （2）先利用勾股定理计算出，再由等腰三角形和圆周角定理证明，所以． 【详解】（1）证明：是的直径， ． 即， ， ． （2）解：在中， ，， ． ． ， ． ， ． ． 27．新定义：有两边之比为的三角形叫做“勤业三角形”． (1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③含角的直角三角形；④含角的等腰三角形． (2)如图1，是的内接三角形，为直径，D为上一点，且，作，交线段于点F，交于点E，连接交于点G．试判断和是否是“勤业三角形”并证明． (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求的值 【答案】(1)③④ (2)都是“勤业三角形”，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据“勤业三角形”的定义进行计算，即可一一判定； （2）如图，连接，设．，可证得，可得，结合，可得，即可判定和都是“勤业三角形”； （3）如图，过点G作交于点I，可得，可证得，设，则，利用，可求得，，从而可得答案． 【详解】（1）解：①等边三角形各边的比值为1，故等边三角形不是“勤业三角形”； ②等腰直角三角形两直角边的比值为1，直角边与斜边的比为，故等腰直角三角形不是“勤业三角形”； ③设含角的直角三角形的最短边长为a，则斜边长为，另一条直角边长为，，故含角的直角三角形是“勤业三角形”； ④如图：中，，过点A作于点D， ， 设，则， ， ， 含角的等腰三角形是“勤业三角形”； 故答案为：③④； （2）解：和都是“勤业三角形”， 证明如下： 如图：连接，设， ， ， ， 又， ，即， ， 又， ， ， ， ， ， ，， 和都是“勤业三角形”； （3）解：如图：过点G作交于点I， ， ， ， ， ， ， 设， 由（2）知，， ， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题主要考查了新定义问题，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，勾股定理等有关知识，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 28．问题提出 （1）如图①，线段在，，将绕点O在平面内旋转，的最大值是 ，最小值是 ； 问题探究 （2）如图②，已知在中，，，在上取一点D，当的长为多少时，，说明理由． 问题应用 （3）如图③，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值．    【答案】（1）6，2；（2）当的长为1时，，理由见解析；（3）5 【分析】本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识． （1）当，，三点共线，且点在线段的延长线上时，点在线段上时，即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质到了即可得到结论； （3）如图，在上取一点，使得．由，推出，推出，推出，由，当、、共线时，的值最小，最小值为． 【详解】解：（1）当，，三点共线，且点在线段的延长线上时，的最大值是， 当，，三点共线，且点在线段上时，的最小值是， 故答案为：6，2； （2）当的长为1时，，理由如下： ，，， ，， ， ， 又， ∴， ， ； （3）如图，在上取一点，使得，连接，，，   、正方形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ，， ，， ∴， ， ， ， ， 当、、共线时，的值最小， 最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 圆的对称性、圆心角和圆周角 课程标准 学习目标 ①圆的基本概念及其应用 ②圆心角 ③圆周角 1.利用圆的对称性，探索得出圆的基本性质， 2.发现弦、弧、圆心角三者之间的关系;学会圆周角定理、圆内接四边形. 知识点01 圆的基本概念及其应用 (1)圆的相关概念 圆的定义:圆是平面内到一定点的距离等于 的所有点组成的图形,这个定点叫作圆心,定长叫作半径,圆也可以看成是平面内个动点绕一个定点 一周所形成的图形. 圆的表示:以点O为圆心的圆叫作圆O,记作⊙O. 弦与直径:连接圆上任意两点的 叫作弦；经过圆心的弦叫作直径.(注意:直径定是弦,但弦不一定是直径) 圆弧:圆上任意两点间的部分叫作圆弧,弧AB用符号表示为 劣弧:小于半圆的弧叫作劣弧. 优弧:大于半圆的弧叫作优弧, (2)圆的对称性 中心对称性:圆是中心对称图形,圆心是它的 中心. 轴对称性:圆是轴对称图形,任意一条 所在的直线都是圆的对称轴. 【即学即练1】 如图，是的直径，点、在上，，，则 ． 知识点02 点与圆的三种位置关系 【即学即练1】 已知的半径为，点A在外，则的长可以为 ． 知识点03 圆心角的概念 【即学即练1】 下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 知识点04 圆心角、弧、弦之间的关系 定理:在同圆或等圆中,如果圆心角相等么它们所对的弧相等,所对的弦也相等 推广:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等,那么它们对应的其余各组量都分别相等 注意:证明圆心角相等、弧相等、弦相等时用此关系,不要忘记前提条件是“在同圆等圆中” 【即学即练1】 如图所示，的三个顶点在上，其中，，则等于（    ） A． B． C． D． 知识点05 圆周角的定义及定理 【即学即练1】 如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 知识点06 圆周角定理的推论 在同圆(或等圆)中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等. 【即学即练1】 如图，在中，弦与弦相交于点，且，求证：． 注意：由圆周角相等得到它所对的弧相等时必须注意前提条件“在同圆或等圆中”不能简单表达为“相等的圆周角所对的弧也相等” 知识点07 直径所对圆周角的性质 直径所对的 是直角；90°的圆周角所对的 是直径. 【即学即练1】 如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 规律总结：在圆中已知直径时,常应用直径所对的圆周角为直角构造出直角三角形，再应用直角三角形的知识解决问题. 知识点08 圆内接四边形 定义:如图,A,B.C.D是⊙O上的四点, 连接A,B.C,D四点,得到四边形ABCD,我们把四边形ABCD称为圆内接四边形,这个圆叫作这个四边形的外接圆. 性质:圆内接四边形的对角 . 拓展:圆内接四边形的一个 等于它的内对角 【即学即练1】 如图，四边形内接于，．则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型01 圆的基本概念辨析 【典例1】如图，在中，于点，交于点，，以点为圆心长为半径作弧，交于点，连结交于点．若，则长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【变式1】如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】已知的半径是3，A、B是圆周上的两点，则两点间的最长距离是（    ） A．3 B．6 C．12 D．不能确定 【变式3】．如图，在矩形中，，，点是边上的动点，连接，点是点关于直线的对称点，连接、，则的最小值是 ． 题型02 点与圆的位置关系 【典例1】已知中，，若以点A为圆心，以为半径作圆，则点C在（   ） A．内 B．上 C．外 D．内或外 【变式1】已知的半径是，，则点与的位置关系是（   ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 【变式2】同一平面内，内一点到圆上的最大距离为，最小距离为，则的半径为 ． 【变式3】对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若在图形上存在一点，使得、两点间的距离小于或等于1，则称为图形的关联点．当的半径为2时，点在直线上，若为的关联点，则点的横坐标的取值范围是 ． 题型03 圆心角的定义及其应用 【典例1】如图，是的直径，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知，如图，．求证：． 【变式2】如图，五边形内接于半径为6的，F为中点，连结，若，，，则的长为（  ） A． B．5 C．4 D． 【变式3】已知，如图，在中，，以腰为直径作半圆O，分别交于点D，E． (1)求证：； (2)若，求圆弧所对的圆心角的度数． 题型04 圆周角的定义及其应用 【典例1】下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，弦与弦相交于点E，且．求证：． 【变式2】如图，在圆内接中，，弦，延长至点E，延长至点F，连接，使，延长交于点G，使，延长交于点H． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：． (3)求证：． 【变式3】如图，是的直径，是的弦，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 题型05 圆内接四边形 【典例1】如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在的内接四边形中，，，，垂足为点E，则的长为 ．      【变式2】如图所示，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． 如图，圆内接四边形ABCDABCD的对角线ACAC，BDBD交于点EE，BDBD平分∠ABC∠ABC，∠BAC=∠AD (1)求证：平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点，若，，试求四边形的面积和此圆半径的长． 一、单选题 1．已知的半径为1，，则点在（   ） A．内 B．上 C．外 D．无法确定 2．的半径长为4，若点到圆心的距离为3，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 3．平面内有两点，，的半径为，若，则点与的位置关系是（  ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法判断 4．如图，半径为10的⊙中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则点到的距离等于（   ） A．8 B．6 C． D． 5．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为．下列描述正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 6．如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 7．如图，是的直径，点，在上，．若，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，中，是直径，是弦，若，则等于（　　） A． B． C． D． 9．如图，已知是的直径，是弦，若，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，为直径，弦与相交，连接，，，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 11．如图，是上的四个点，，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 12．如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．已知的半径为3，，则点与的位置关系是：点在 ． 14．如图，直线分别与轴、轴相交于点、．点在平面内，，点，则长度的最大值是 ． 15．已知的半径为4，点P在上，则的长为 ． 16．如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为 ． 17．在中直径为4，弦，点C是圆上不同于A、B的点，那么度数为 ． 18．如图，点A，B，C在量角器的外圈上，对应的刻度分别是外圈，和，则的度数为 ．    19．如图，已知点，的半径为1，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值是 ． 20．如图，在平面直角坐标系中，的半径是2．过上一点P作等边三角形，使点D、E分别落在x轴、y轴上，则的取值范围是 ． 21．已知的半径为2，点A到圆心O的距离是4，则点A在 ．（填“内”、“上”或“外”） 三、解答题 22．如图，点、和点、分别在以为圆心的两个同心圆上，且． (1)与相等吗？为什么？ (2)若、、三点在同一直线上，，，求的度数． 23．如图，圆内接四边形是的直径，交于点，． (1)求证：点为的中点； (2)若，求． 24．如图，点，，，在上，．求证：． 25．已知的直径为，点A，点B，点C在上，的平分线交于点D．求的度数． 26．如图，中，，以为直径作，交边于点D，交的延长线于点E，连结，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 27．新定义：有两边之比为的三角形叫做“勤业三角形”． (1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③含角的直角三角形；④含角的等腰三角形． (2)如图1，是的内接三角形，为直径，D为上一点，且，作，交线段于点F，交于点E，连接交于点G．试判断和是否是“勤业三角形”并证明． (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求的值 28．问题提出 （1）如图①，线段在，，将绕点O在平面内旋转，的最大值是 ，最小值是 ； 问题探究 （2）如图②，已知在中，，，在上取一点D，当的长为多少时，，说明理由． 问题应用 （3）如图③，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$