复习专题01 直线的方程15种常见考法归类-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

复习专题01 直线的方程15种常见考法归类 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx. 2．倾斜角的范围 直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角 ②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线 知识点2　直线的斜率 1．斜率的定义 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tanα. 2．斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率． 知识点3 斜率与倾斜角的联系 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 知识点4 两条直线平行和垂直　 1．对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 注：（1）l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②l1与l2不重合． （2）当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. （3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在. 2．如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 注：（1）l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②k1≠0且k2≠0. （2）两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． （3）判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 知识点5 直线的五种方程 名称 条件 方程 图形 适用范围 点斜式 直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k y－y0＝k(x－x0) 不表示垂直于轴的直线 斜截式 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)(直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距) y＝kx＋b 不表示垂直于轴的直线 两点式 P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 其中x1≠x2，y1≠y2 ＝ 不表示垂直于坐标轴的直线 截距式 在x轴上截距a，在y轴上截距b ＋＝1 不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线 一般式 A，B，C为系数 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 任何位置的直线 知识点6 两直线的交点坐标 1、已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组的解． 2、直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点7　两点间的距离公式 1．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ . 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根． 知识点8 直线系过定点问题 1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)． 2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. 3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 知识点9　点到直线的距离与两条平行线间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长度 公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离 d＝ 解题策略1、求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 解题策略2、利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的； (2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置． 解题策略3、常见特殊角的正切值 在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记. 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 － －1 － 解题策略4、斜率与倾斜角的关系 1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决． 2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解． 解题策略5、求直线的点斜式方程的方法步骤 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)； (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．　 解题策略6、直线的斜截式方程的求解策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别； (3)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决一次函数的图象问题时，常通过把一次函数解析式化为直线的斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．　　　　 解题策略7、求直线的两点式方程的策略以及注意点 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． (2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．　　 解题策略8、截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用． 解题策略9、求直线一般式方程的策略 (1)当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程． (2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．　　　　 解题策略10、含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根． 解题策略11、利用直线的斜截式方程解决直线平行与垂直问题的策略 已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2， (1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2. (2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 注：若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．　 解题策略12、利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， (1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． (2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 解题策略13、与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 （1）由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程． （2）①可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1； ②与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2. 解题策略14、利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 解题策略15、两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等． 解题策略16、过两条直线交点的直线方程的求法 (1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)特殊解法(直线系法)：运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解． 解题策略17、计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．　 解题策略18、解决过定点问题常用的三种方法 (1)特殊值法，给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值即为所求定点的坐标． (2)点斜式法，将含参数的直线方程写成点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)． (3)分离参数法，将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而此交点就是定点．比较这三种方法可知，方法一计算较烦琐，方法二变形较困难，方法三最简便因而也最常用．　 解题策略19、应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． (3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．　　　　 解题策略20、求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 解题策略21、中心对称问题的两种类型及求解方法 (1)点关于点对称： 若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解． (2)直线关于点的对称，主要求解方法是： ①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； ②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 解题策略22、轴对称问题的两种类型及求解方法 (1)点关于直线的对称： ①若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)． （关键词：垂直、平分） 设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)， 则有可求出x′，y′. ②若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则，故可设的方程为，代入，即可求出m，联立直线和的方程，求出两条直线的交点，即为中点，进一步利用中点坐标公式求的坐标 (2)直线关于直线的对称： ①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解． ②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解． 考点剖析 【考点1 直线的倾斜角与斜率】 例1．已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】由直线的倾斜角为， 则直线的斜率， 故选：C. 【变式1】过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为过两点、的直线的倾斜角为， 所以，即，解得. 故选：D 【变式2】经过两点，的直线的倾斜角是钝角，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线的倾斜角是钝角，则斜率小于0，列不等式解实数m的范围 【详解】直线的倾斜角是钝角，则直线斜率，解得或． 故选：D． 【变式3】直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，， 所以直线的一个方向向量为， 而，所以也是直线的一个方向向量. 故选：B. 【变式4】若直线l经过A(2，1)，B(1，)两点，则l的斜率取值范围为_________________；其倾斜角的取值范围为_________________. 【解析】 因为直线l经过A(2，1)，B(1， )两点， 所以l的斜率为， 所以l的斜率取值范围为， 设其倾斜角为，，则， 所以其倾斜角的取值范围为， 故答案为：， 【变式5】直线的倾斜角为，斜率为．若的取值范围是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率与倾斜角的范围，结合已知确定的范围. 【详解】由题设且，故. 故选：D 【变式6】直线与的夹角为________． 【解析】直线的斜率，即倾斜角满足， 直线的斜率，即倾斜角满足， 所以， 所以， 又两直线夹角的范围为， 所以两直线夹角为， 故答案为：. 【考点2 直线与线段的相交问题】 例2．已知点，，若直线与线段有公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 若与线段有公共点，分析必过，且，，则. 故选：B 【变式1】经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，画出图像，如图所示： 根据图像知：. 故选：D. 【变式2】已知点.若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线恒过定点，然后画图观察直线的变化时斜率的变化，再求的斜率，所以得答案. 【详解】即，又因为， 所以直线恒过定点，画图得直线要想与线段有交点，就需要绕着点，从直线开始逆时针旋转到直线，则， 所以直线斜率 故选：A 【变式3】经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，设l的倾斜角为，l的斜率为 k，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线的倾斜角为， , 所以，即， 由题意知：， 解得：或． 倾斜角的取值范围是 故BCD错误，A正确， 故选：A 【考点3 两直线平行问题】 例3．“”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为两条直线平行， 所以直线斜率相等或斜率不存在， 当两直线斜率不存在时，即，两直线为，成立； 当两直线斜率存在时，即，解得，两直线为成立， 综上或. 所以“”是“两条直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式1】设，直线：，直线，若，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据直线平行或重合的条件列方程求，检验排除重合的情形，可得的值. 【详解】若直线：与直线平行或重合则，解方程可得或， 当时，的方程为，的方程为，直线重合，所以不满足条件， 当时，的方程为，的方程为，直线平行，所以满足条件， 故选：B． 【变式2】已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（    ） A．-2 B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为直线与直线平行， 所以，解得或1，经检验均满足题意， 所以实数的所有取值之和为. 故选：B 【考点4 两直线垂直问题】 例4．直线与直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合 【答案】A 【解析】当时，直线，直线，此时两直线垂直， 当时，直线的斜率，直线的斜率， 因为，则两直线垂直， 综上两直线位置关系是垂直， 故选：A. 【变式1】若直线与直线垂直，则实数a的取值是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解析】直线与直线垂直， 则有，解得或， 故选：A． 【变式2】已知两条直线：，：，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解． （2）根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解． 【详解】（1）因为两条直线：，：平行， 则，解得或， 当时，直线重合，不符合题意，舍去， 当时，直线不重合，符合题意， 故． （2）∵ ∴，解得 【变式3】已知、，直线，，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【解析】因为、，直线，，且， 所以，即， 所以，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为， 故选：D 【考点5 五种直线方程】 例5．已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（       ） A． B． C． D． 【解析】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为. 故选：C. 【变式1】（1）求经过点，倾斜角为的直线的一般式方程． （2）的三个顶点是，求边BC上的中线所在的直线方程． 【解析】（1）由倾斜角为可得直线斜率为，由于经过点， 代入点斜式方程得，即：； （2）设边的中点为，根据中点坐标公式得， 从而可得中线所在直线方程为，即：． 【变式2】瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧拉线的方程为______． 【解析】因的顶点，，，则的重心， 显然的外心在线段AC中垂线上，设， 由得：，解得：，即点， 直线，化简整理得：， 所以欧拉线的方程为. 故答案为： 【变式3】已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 【解析】（1）联立方程与，解得，，故， 而的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. （2）易知的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. 【变式4】菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点. (1)求边所在直线的方程； (2)求对角线所在直线的方程. 【解析】（1）由菱形的性质可知，则. 所以边所在直线的方程为，即； 边所在直线的方程为，即. （2）线段的中点为， 由菱形的几何性质可知，且为的中点，则， 所以对角线所在直线的方程为，即. 【变式5】已知，，，在中： (1)求BC边所在直线的方程； (2)求BC边上的中线､高线所在直线的方程. 【答案】(1) (2)BC边上的中线方程为，高线方程为 【分析】（1）根据两点式求解即可； （2）根据中点坐标公式可得的中点，再根据两点式可得边上的中线方程；根据直线垂直斜率的关系，结合点斜式可得BC边上的高线方程. 【详解】（1）边过两点，， 由两点式，得直线方程为，即， 故边所在的直线方程为 （2）设的中点为， 则，，故， 又边的中线过点， 所以，即， 所以边上的中线所在直线的方程为. 又斜率为，故边上高线的斜率为，又高线过，故边上高线方程为，即. 故边上的高线方程为 【考点6 由截距关系求直线方程】 例6．过点在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】按截距为0和不为0分类讨论分别求得符合题意的直线方程 【详解】当截距时，设直线方程为， 将，代入得，∴方程为 当截距时，过原点和点的直线方程为 又且在两坐标轴上的截距相等， ∴过点A且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和 故选：D. 【变式1】过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】可以分截距都为零和截距不为零两种情况进行考虑，截距为零，直线过原点，求出方程即可，截距部位零，利用截距式，设出方程求解即可；也可以设出方程，求出截距，进行计算即可. 【详解】解法一  当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为，即； 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为直线过点，所以， 解得，此时直线方程为. 故选： 解法二  易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意. 设直线方程为， 则时，，时，， 由题意知， 解得或，即直线方程为或. 故选： 【变式2】过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（      ） A．4条 B．2条 C．3条 D．1条 【答案】C 【分析】考虑截距为0，截距相等且不为0，截距互为相反数且不为0，求出相应的方程，得到答案. 【详解】当截距为0时，设直线方程为，将代入，求得， 故方程为； 当截距不为0时， ①截距相等时，设方程为， 将代入，即，解得：，故方程为； ②截距互为相反数时，设直线方程为， 将代入，即，解得：，故方程为； 一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)，共3条. 故选：C 【变式3】过点作直线，若经过点和，且均为正整数，则这样的直线可以作出（    ）， A．条 B．条 C．条 D．无数条 【答案】B 【分析】假设直线截距式方程，代入已知点坐标可得之间关系，根据为正整数可分析得到结果. 【详解】均为正整数，可设直线， 将代入直线方程得：， 当时，，方程无解，， ，，，或， 或，即满足题意的直线方程有条. 故选：B. 【变式4】直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距小1，且过定点，则直线l的方程为 . 【答案】或. 【分析】设直线方程的截距式为，将代入解方程即可得求出的值，进而求出直线l的方程. 【详解】设直线方程的截距式为. 则，解得或， 则直线方程是或， 即或. 故答案为：或. 【考点7 直线与坐标轴围成三角形问题】 例7．已知直线． (1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． (2)若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 【解析】（1）由题意可知直线， 易知直线过定点， 当直线过原点时，可得， 当时，直线不经过第二象限． （2）由题意可知 ∵直线与轴、轴正半轴的交点分别是， ， 当时，由得： ， 即：， 或， 即：直线的方程为或. 【变式1】已知直线的方程为. (1)证明：不论为何值，直线过定点. (2)过（1）中点，且与直线垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线的方程. 【解析】（1）证明：直线的方程， 可整理为. 由，解得， 所以直线过定点. （2）由（1）知，直线过定点， 设过点且与直线垂直的直线方程为， 令，则. 令，则. 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 【变式2】已知直线经过点． (1)若直线与直线垂直，求的直线方程； (2)设直线的斜率，且l与两坐标轴的交点分别为A、B，当的面积最小时，求的直线方程． 【解析】（1）解:若直线与直线垂直,则可设直线的方程为 又直线经过点，所以，得 则的直线方程为： （2）设直线的斜率，则直线 直线与两坐标轴交点分别为,、0,， 则面积为， 又 当且仅当时，等号成立， 故面积最小值为4，此时直线方程为：. 【考点8 动直线恒过定点问题及其应用】 例8．已知直线：恒过定点，则定点坐标是 . 【答案】 【解析】令，即，可得， 所以直线：恒过定点. 故答案为：. 【变式1】不论为何实数，直线恒过定点_________. 【答案】 【分析】直线方程转化为，再根据直线系方程求解即可. 【详解】解：将直线方程转化为， 所以直线过直线与的交点， 所以，联立方程，解得 所以，直线恒过定点 故答案为： 【变式2】已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）列出方程，分别令，可求出定点； （2）令令，表达出三角形面积后，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）证明：原方程整理得：． 由，可得， 不论为何值，直线必过定点. （2）设直线的方程为． 令令． ． 当且仅当，即时，三角形面积最小． 则的方程为． 【变式3】点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由题意，求得直线所过定点，由两点之间距离公式，可得答案. 【详解】由直线，整理可得， 令，解得， 点到直线距离的最大值为点到定点的距离，则， 故选：D. 【考点9 两直线的交点问题】 例9．直线与直线的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】……① ……② ①+②得：……③ ③代入②有：……④ 由③④得交点坐标为：. 故选：B. 【变式1】经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知：，解得：，交点. 直线的斜率为，所求直线斜率为. 所求直线为：，即. 故选：B. 【变式2】若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，则，解得．若，则，解得． 若，，交于一点，联立方程组，解得得， 代入，得，解得，故a的取值集合为． 故选：D. 【变式3】平行四边形的四边所在的直线分别是：，， (1)求直线交点的坐标； (2)求平行四边形的面积． 【答案】(1)； (2)9. 【分析】（1）联立直线方程求出交点的坐标; （2）由顶点坐标求出一条边的长度，再根据两平行直线之间的距离公式可求平行四边形的高，从而求得平行四边形的面积． 【详解】（1）设和的交点为A， 由，解得； （2）如图， 易知∥，∥，设和的交点为B， 由，解得， 由（1）知， ∴． 与的距离， ∴平行四边形的面积为． 【考点10 两点间的距离】 例10．三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（   ） A．3 B．5 C．9 D．25 【答案】B 【解析】由题设，则. 故选：B 【变式1】已知点A、B是直线与坐标轴的交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先求得两点的坐标，进而求得. 【详解】由， 令，得，设； 令，得，设. 所以. 故选：A 【变式2】已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【答案】或 【解析】， 化简为，解得：或. 故答案为：或 【变式3】已知函数且过定点，直线过定点，则 【答案】5 【解析】，； 由得：，直线恒过定点；. 故答案为：. 【考点11点到直线的距离】 例11．点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解析】点到直线的距离. 故选：D 【变式1】已知直线l与x轴和y轴分别交于A，B两个点，点是直线上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线l的方程根据两点的距离公式可得表示原点与点两点间的距离，再根据点到直线的距离公式即可得出答案. 【详解】解：直线l的方程为，即， 表示原点与点两点间的距离， 则的最小值即为原点到直线的距离，为. 故选：D. 【变式2】已知点到直线的距离相等，则（    ） A．－1或0 B． C．－1 D．2 【答案】C 【解析】根据点到直线距离公式和已知可得，解得. 故选：C 【考点12两平行直线的距离】 例12．两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】平行直线和之间的距离. 故选：A 【变式1】已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先根据线线平行公式可得，再根据平行线间的距离公式求解即可. 【详解】直线与直线平行， ∴，解得，故直线为直线，化简得， ∴它们之间的距离为． 故选：B． 【变式2】已知直线与直线间的距离为2，则（    ） A．或4 B．4 C．或6 D．或16 【答案】D 【解析】由题意可知，直线与直线平行，所以， 因为直线与直线间的距离为2， 所以，解得或. 故选：D. 【考点13直线的对称问题】 例13．点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ∴, ∴点关于直线的对称点的坐标为， 即， 故选：C. 【变式1】一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，交y轴于R，则光线从P到R所走的路程为 ． 【答案】 【解析】关于x轴的对称点， 光线从射出与x轴相交于点， 则反射光线所在的直线经过点，Q， 则反射光线所在直线的方程为，化简得，得， 所以则光线从P到R所走的路程为． 故答案为：. 【变式2】已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 【答案】 【解析】设直线l的的斜率为k， 则， 直线的中点坐标为， 所以由点斜式写出直线方程为，即. 故答案为：. 【变式3】直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【分析】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。 【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B 【变式4】光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的方程为 ． 【答案】 【解析】由得 即直线与直线交点为 在直线上取点 设点关于的对称点为 则即 则反射光线所在直线的方程为 故答案为： 【变式5】已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）由于，所以，可设的方程为，在直线上取点，求出点关于直线的对称点，代入方程，即得解； （2）与的交点坐标为也在上，另取上不同于的一点，求出关于的对称点为，利用两个点坐标求出直线方程，即得解 【详解】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 【考点14两线段和与差的最值问题】 例14．我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解析】， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则 的最小值为，此时 故选：C． 【变式1】已知两点A（2，3），B（3，2），点C在x轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．2 D． 【答案】B 【分析】点关于轴的对称点为，则求出最小值即可得出答案. 【详解】点关于轴的对称点为，则， 所以， 的最小值为. 故选：B. 【变式2】已知点，，H是直线：上的动点，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【解析】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以． 故选：A. 【变式3】已知点 在直线 上，点，则当 的周长取得最小值时，点 的坐标为 . 【答案】 【解析】因为为定值，所以当 的周长取得最小值时，即取得最小， 设点关于直线的对称点为，连接交直线于点，此时取得最小，如图所示： 则，解得，得， 因为点，故所求点. 故答案为： 【变式4】已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【解析】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 又，当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故选：D. 【考点15直线的综合问题】 例15．【多选】已知直线l在x轴，y轴上的截距分别为1，，O是坐标原点，则下列结论中正确的是（    ） A．直线l的方程为 B．过点O且与直线l平行的直线方程为 C．若点到直线l的距离为，则 D．点O关于直线l对称的点为 【答案】ABD 【分析】对A，由截距式可求； 对B，由点斜式可求； 对C，由点线距离公式可求； 对D，两对称点连线与直线l垂直，且两对称点中点过直线l. 【详解】对A，直线l在x轴，y轴上的截距分别为1，，直线l的方程为，即，A对； 对B，直线l斜率为1，故过点O且与直线l平行的直线方程为，即，B对； 对C，点到直线l的距离为，故或0，C错； 对D，点O关于直线l对称的点满足，解得，故该点为，D对. 故选：ABD 【变式1】【多选】对于直线.以下说法正确的有（       ） A．的充要条件是 B．当时， C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5 【解析】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为， ， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ， 故D正确， 故选：BD. 过关检测 一、单选题 1．（23-24高二上·四川成都·期末）直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线方向向量的定义和直线斜率与方向向量的关系直接求解即可. 【详解】由得，， 所以直线的一个方向向量为， 而，所以也是直线的一个方向向量. 故选：B. 2．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】C 【分析】由直线平行的充要条件列式运算即可求解. 【详解】已知直线与直线平行， 则当且仅当，解得或. 故选：C. 3．（23-24高一下·重庆·期末）若直线的倾斜角为，则实数值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率定义，结合诱导公式可得. 【详解】由题知，， 解得. 故选：C 4．（23-24高二下·甘肃白银·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倾斜角和斜率的关系即可得出答案. 【详解】根据题意，设直线的倾斜角为， 因为其斜率，又由， 所以. 故选： 5．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线在轴与轴上的截距相等，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】就直线过原点与不过原点分类讨论求解. 【详解】当直线过原点时，不成立， 当直线不过原点时，直线的斜率为，即，所以， 故选：D 6．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．或1 【答案】B 【分析】 根据平行可解得实数，验证可得正确的选项. 【详解】因为，故，故或， 当时，的方程均为，它们重合，故舍去； 当时，，，它们平行， 故选：B. 7．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知点，若直线与线段AB相交，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线方程可知直线过定点，画图连接，直线绕定点旋转，即可求得实数k的取值范围. 【详解】由直线方程可知，直线过定点，则要使直线与线段AB相交，如图所示： 则，因为，所以实数k的取值范围是. 故选：B 8．（22-23高二上·安徽阜阳·阶段练习）若如图中的直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线的倾斜角分别为， 则由图知， 所以，即． 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高二上·福建南平·期末）已知直线，直线，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与之间的距离为1 D．直线过定点 【答案】BC 【分析】通过的取值结合选项验证可得A,B,C的正误，利用求直线过定点的方法可得D的正误. 【详解】对于A，时，，显然与不垂直，A不正确； 对于B，时，，因为，所以，B正确； 对于C，当时，且，解得， 此时，与之间的距离为，C正确； 对于D，，令，解得， 所以直线过定点，D不正确. 故选：BC. 10．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 【答案】BD 【分析】将直线化为，代入两平行线间距离公式分析求解. 【详解】将直线化为， 则，之间的距离， 即，解得或． 故选：BD． 11．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．直线一定经过第四象限 D．点到直线的最大距离为 【答案】BD 【分析】A.由判断；B.由时，直线方程为判断；C.由时，直线方程为判断；D.点到定点的距离判断. 【详解】对于A，直线，所以直线过定点，故A错误； 对于B.当时，直线方程为，关于轴的对称直线为，故B正确； 对于C，当时，直线方程为，直线不经过第四象限，故C错误； 对于D，如图所示： 设，由图象知：，点到直线的最大距离为，故D正确； 故选：BD 三、填空题 12．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知直线与互相平行，则 ，与之间的距离为 . 【答案】 【分析】根据直线平行的充要条件和平行直线的距离公式可得. 【详解】因为直线与互相平行， 所以，解得， 则， 所以与之间的距离. 故答案为：；. 13．（23-24高二下·上海金山·期末）已知直线过点，倾斜角为，则坐标原点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】先求出直线的方程，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意知，斜率为， 则直线方程为，即， 则坐标原点到直线的距离为. 故答案为：. 14．（23-24高一下·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知动点到两直线与的距离之和为 ，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹，画出图形，再利用的几何意义求出最大值. 【详解】依题意，，即， 于是得或或或， 动点的轨迹如图中正方形，其中， 表示正方形边上的点与定点确定直线的斜率， 观察图象知，当点与点重合时，直线的斜率最大， 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用分类讨论的思想作出轨迹，再利用目标函数的几何意义求解是关键. 四、解答题 15．（22-23高二上·山东·阶段练习）已知两条直线：，：.（） (1)若，求的值； (2)若，求，之间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据列方程，化简求得的值. （2）根据列式，化简求得，进而求得，之间的距离. 【详解】（1）由于，所以. （2）当时，两条直线的方程分别为和，此时两直线不平行，不符合题意. 当时， 由于，所以，解得或（舍去） 当时，两条直线的方程分别为和， ，之间的距离为. 16．（22-23高二上·北京·期末）已知光线经过已知直线和的交点M，且射到x轴上一点后被x轴反射． (1)求反射光线所在的直线的方程． (2)求与距离为的直线方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由题可得，进而可得，然后结合条件及直线的点斜式即得； （2）根据平行线间距离公式即得. 【详解】（1）由，可得， 即，又， 所以， 所以反射光线所在的直线的斜率为， 故反射光线所在的直线的方程，即； （2）由题可设所求直线方程为，则 ，解得或， 所以与距离为的直线方程为或. 17．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知直线：，：，其中为实数. (1)当时，求直线，之间的距离； (2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可； （2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可. 【详解】（1）由得，解得， 此时直线：，：，不重合， 则直线，之间的距离为； （2）当时，：， 联立，解得， 又直线斜率为， 故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为， 即. 18．（21-22高二上·湖北孝感·期末）设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立方程求得，根据垂直关系设出直线的方程，将点代入计算即可求解； （2）法一：根据平行关系设出直线的方程，然后利用到两条直线的距离相等列式求解即可； 法二，设直线上任意一点，利用对称性求得点关于点对称的点，将坐标代入已知直线方程，化简即可求解. 【详解】（1）由得交点， 由直线与直线垂直，则可设直线的方程为， 又直线过点，代入得，则， 所以直线的方程为； （2）法一：由题意可得直线与直线平行， 则可设直线方程为：， 由直线与直线关于点对称，得到两条直线的距离相等， 即，得（舍）或，所以直线的方程为. 法二：设直线上任意一点，则点关于点对称的点为， 且点在直线上，得， 化简得直线的方程为. 19．（23-24高二上·甘肃兰州·期末）已知直线和直线. (1)试判断，能否平行，若平行，请求出两平行线之间的距离； (2)若原点到距离最大，求此时的直线的方程. 【答案】(1)能平行， (2) 【分析】（1）利用两直线平行，斜率相等，得到，解得或，再检验即可得出，能平行，利用两平行线间的距离公式即可求出结果； （2）根据条件，得出直线过定点，从而得到：当时，原点到的距离最大，进而可得出直线的方程为. 【详解】（1）因为，所以直线的斜率为， 又，若，则斜率必存在，所以且斜率为， 由，得到或， 当时，，，此时与重合，不合题意， 当时，，，此时，所以，能平行， 两平行线之间的距离为. （2）由，得到，所以直线过定点， 当时，原点到的距离最大， 此时直线的斜率为，直线的斜率不存在， 所以此时的直线的方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习专题01 直线的方程15种常见考法归类 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx. 2．倾斜角的范围 直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角 ②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线 知识点2　直线的斜率 1．斜率的定义 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tanα. 2．斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率． 知识点3 斜率与倾斜角的联系 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 知识点4 两条直线平行和垂直　 1．对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 注：（1）l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②l1与l2不重合． （2）当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. （3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在. 2．如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 注：（1）l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②k1≠0且k2≠0. （2）两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． （3）判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 知识点5 直线的五种方程 名称 条件 方程 图形 适用范围 点斜式 直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k y－y0＝k(x－x0) 不表示垂直于轴的直线 斜截式 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)(直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距) y＝kx＋b 不表示垂直于轴的直线 两点式 P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 其中x1≠x2，y1≠y2 ＝ 不表示垂直于坐标轴的直线 截距式 在x轴上截距a，在y轴上截距b ＋＝1 不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线 一般式 A，B，C为系数 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 任何位置的直线 知识点6 两直线的交点坐标 1、已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组的解． 2、直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点7　两点间的距离公式 1．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ . 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根． 知识点8 直线系过定点问题 1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)． 2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. 3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 知识点9　点到直线的距离与两条平行线间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长度 公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离 d＝ 解题策略1、求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 解题策略2、利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的； (2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置． 解题策略3、常见特殊角的正切值 在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记. 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 － －1 － 解题策略4、斜率与倾斜角的关系 1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决． 2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解． 解题策略5、求直线的点斜式方程的方法步骤 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)； (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．　 解题策略6、直线的斜截式方程的求解策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别； (3)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决一次函数的图象问题时，常通过把一次函数解析式化为直线的斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．　　　　 解题策略7、求直线的两点式方程的策略以及注意点 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． (2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．　　 解题策略8、截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用． 解题策略9、求直线一般式方程的策略 (1)当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程． (2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．　　　　 解题策略10、含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根． 解题策略11、利用直线的斜截式方程解决直线平行与垂直问题的策略 已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2， (1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2. (2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 注：若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．　 解题策略12、利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， (1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． (2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 解题策略13、与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 （1）由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程． （2）①可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1； ②与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2. 解题策略14、利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 解题策略15、两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等． 解题策略16、过两条直线交点的直线方程的求法 (1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)特殊解法(直线系法)：运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解． 解题策略17、计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．　 解题策略18、解决过定点问题常用的三种方法 (1)特殊值法，给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值即为所求定点的坐标． (2)点斜式法，将含参数的直线方程写成点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)． (3)分离参数法，将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而此交点就是定点．比较这三种方法可知，方法一计算较烦琐，方法二变形较困难，方法三最简便因而也最常用．　 解题策略19、应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． (3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．　　　　 解题策略20、求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 解题策略21、中心对称问题的两种类型及求解方法 (1)点关于点对称： 若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解． (2)直线关于点的对称，主要求解方法是： ①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； ②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 解题策略22、轴对称问题的两种类型及求解方法 (1)点关于直线的对称： ①若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)． （关键词：垂直、平分） 设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)， 则有可求出x′，y′. ②若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则，故可设的方程为，代入，即可求出m，联立直线和的方程，求出两条直线的交点，即为中点，进一步利用中点坐标公式求的坐标 (2)直线关于直线的对称： ①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解． ②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解． 考点剖析 【考点1 直线的倾斜角与斜率】 例1．已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【变式1】过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【变式2】经过两点，的直线的倾斜角是钝角，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【变式4】若直线l经过A(2，1)，B(1，)两点，则l的斜率取值范围为_________________；其倾斜角的取值范围为_________________. 【变式5】直线的倾斜角为，斜率为．若的取值范围是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6】直线与的夹角为________． 【考点2 直线与线段的相交问题】 例2．已知点，，若直线与线段有公共点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知点.若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，设l的倾斜角为，l的斜率为 k，则（    ） A． B． C． D． 【考点3 两直线平行问题】 例3．“”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】设，直线：，直线，若，则（    ） A． B． C． D．或 【变式2】已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（    ） A．-2 B． C．1 D．2 【考点4 两直线垂直问题】 例4．直线与直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合 【变式1】若直线与直线垂直，则实数a的取值是（    ） A．或 B． C． D． 【变式2】已知两条直线：，：，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【变式3】已知、，直线，，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【考点5 五种直线方程】 例5．已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（       ） A． B． C． D． 【变式1】（1）求经过点，倾斜角为的直线的一般式方程． （2）的三个顶点是，求边BC上的中线所在的直线方程． 【变式2】瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧拉线的方程为______． 【变式3】已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 【变式4】菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点. (1)求边所在直线的方程； (2)求对角线所在直线的方程. 【变式5】已知，，，在中： (1)求BC边所在直线的方程； (2)求BC边上的中线､高线所在直线的方程. 【考点6 由截距关系求直线方程】 例6．过点在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（      ） A．4条 B．2条 C．3条 D．1条 【变式3】过点作直线，若经过点和，且均为正整数，则这样的直线可以作出（    ）， A．条 B．条 C．条 D．无数条 【变式4】直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距小1，且过定点，则直线l的方程为 . 【考点7 直线与坐标轴围成三角形问题】 例7．已知直线． (1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． (2)若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 【变式1】已知直线的方程为. (1)证明：不论为何值，直线过定点. (2)过（1）中点，且与直线垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线的方程. 【变式2】已知直线经过点． (1)若直线与直线垂直，求的直线方程； (2)设直线的斜率，且l与两坐标轴的交点分别为A、B，当的面积最小时，求的直线方程． 【考点8 动直线恒过定点问题及其应用】 例8．已知直线：恒过定点，则定点坐标是 . 【变式1】不论为何实数，直线恒过定点_________. 【变式2】已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程. 【变式3】点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【考点9 两直线的交点问题】 例9．直线与直线的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式3】平行四边形的四边所在的直线分别是：，， (1)求直线交点的坐标； (2)求平行四边形的面积． 【考点10 两点间的距离】 例10．三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（   ） A．3 B．5 C．9 D．25 【变式1】已知点A、B是直线与坐标轴的交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2】已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【变式3】已知函数且过定点，直线过定点，则 【考点11点到直线的距离】 例11．点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【变式1】已知直线l与x轴和y轴分别交于A，B两个点，点是直线上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知点到直线的距离相等，则（    ） A．－1或0 B． C．－1 D．2 【考点12两平行直线的距离】 例12．两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【变式1】已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B．2 C． D． 【变式2】已知直线与直线间的距离为2，则（    ） A．或4 B．4 C．或6 D．或16 【考点13直线的对称问题】 例13．点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，交y轴于R，则光线从P到R所走的路程为 ． 【变式2】已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 【变式3】直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【变式4】光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的方程为 ． 【变式5】已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【考点14两线段和与差的最值问题】 例14．我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【变式1】已知两点A（2，3），B（3，2），点C在x轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．2 D． 【变式2】已知点，，H是直线：上的动点，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【变式3】已知点 在直线 上，点，则当 的周长取得最小值时，点 的坐标为 . 【变式4】已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【考点15直线的综合问题】 例15．【多选】已知直线l在x轴，y轴上的截距分别为1，，O是坐标原点，则下列结论中正确的是（    ） A．直线l的方程为 B．过点O且与直线l平行的直线方程为 C．若点到直线l的距离为，则 D．点O关于直线l对称的点为 【变式1】【多选】对于直线.以下说法正确的有（       ） A．的充要条件是 B．当时， C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5 过关检测 一、单选题 1．（23-24高二上·四川成都·期末）直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D． 3．（23-24高一下·重庆·期末）若直线的倾斜角为，则实数值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·甘肃白银·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线在轴与轴上的截距相等，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．或1 7．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知点，若直线与线段AB相交，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二上·安徽阜阳·阶段练习）若如图中的直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·福建南平·期末）已知直线，直线，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与之间的距离为1 D．直线过定点 10．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 11．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．直线一定经过第四象限 D．点到直线的最大距离为 三、填空题 12．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知直线与互相平行，则 ，与之间的距离为 . 13．（23-24高二下·上海金山·期末）已知直线过点，倾斜角为，则坐标原点到直线的距离为 ． 14．（23-24高一下·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知动点到两直线与的距离之和为 ，则的最大值为 . 四、解答题 15．（22-23高二上·山东·阶段练习）已知两条直线：，：.（） (1)若，求的值； (2)若，求，之间的距离. 16．（22-23高二上·北京·期末）已知光线经过已知直线和的交点M，且射到x轴上一点后被x轴反射． (1)求反射光线所在的直线的方程． (2)求与距离为的直线方程． 17．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知直线：，：，其中为实数. (1)当时，求直线，之间的距离； (2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 18．（21-22高二上·湖北孝感·期末）设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 19．（23-24高二上·甘肃兰州·期末）已知直线和直线. (1)试判断，能否平行，若平行，请求出两平行线之间的距离； (2)若原点到距离最大，求此时的直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$