复习专题03 椭圆19种常见考法归类-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

复习专题03 椭圆19种常见考法归类 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题 (1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． (2)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆． ①若，M的轨迹为线段； ②若，M的轨迹无图形 知识点2 椭圆的方程及简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0),_ B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a), B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 长轴长＝，短轴长＝ 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝ 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0) 离心率 e＝(0<e<1)（注：e＝＝.） 知识点3 椭圆的焦点三角形 椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理． 以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 (1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a. (2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3)面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc. 重要结论：S△PF1F2= 推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得 由三角形的面积公式可得 S△PF1F2= = 注：S△PF1F2===（是三角形内切圆的半径） (4)焦点三角形的周长为2(a＋c)． (5)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)中,F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端点时，最大. 知识点4　点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内部⇔＋<1；点P在椭圆外部⇔＋>1. 知识点5　直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法： 联立消y得一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离． 知识点6　直线与椭圆相交的弦长公式 1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． 2．求弦长的方法 (1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． (2)根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为： |AB|＝·＝ ·. 注：（1）已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为，运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上， 两式相减得：， 即 ，故 （2）弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值： 解题策略1、确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式； (2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．　　　　 解题策略2、椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. (2)直线过左焦点与椭圆相交于A、B两点，则的周长为4a，即（直线过右焦点亦同）. （3）涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．　 解题策略3、解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法 (1)直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0. (2)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可． (3)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．　 解题策略4、利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置； (2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．　　　　 解题策略5、点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内部⇔＋<1；点P在椭圆外部⇔＋>1. 解题策略6、求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．　　　 解题策略7、判断直线与椭圆的位置关系 通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离． 解题策略8、解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点， 则 由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.　　　　 解题策略9、求与椭圆有关的最值、范围问题的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理． (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解． (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．　　　　 解题策略10、解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象) (1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题． (2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解． (3)用解得的结果说明原来的实际问题． 考点剖析 【考点1 求椭圆的标准方程】 例1．分别根据下列条件求椭圆标准方程： (1)一个焦点为 (2)与椭圆有相同的焦点，且经过点 【变式1】设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若椭圆过点，则椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知直线经过椭圆的顶点和焦点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5】已知，是椭圆的焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【考点2 点与椭圆的位置关系】 例2．若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【变式1】若点在椭圆的外部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆（，）上，则的最小值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【考点3 根据椭圆的方程求参数的范围】 例3．“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3】若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 【考点4 椭圆的焦点三角形问题】 例4．已知椭圆的左，右两焦点为和，P为椭圆上一点，且，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．64 【变式1】已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（    ） A．12 B． C．16 D．10 【变式2】已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积（    ）． A． B． C． D． 【变式3】已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（    ） A．9 B．3 C．4 D．8 【变式4】已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的内切圆的半径（    ） A．1 B． C． D．2 【考点5 椭圆上两点距离的最值问题】 例5．已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式1】为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】已知在中，，，若点为的中点.则的最小值为 . 【考点6 椭圆上两线段的和差最值问题】 例6．已知点是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值是 . 【变式1】已知椭圆，点在椭圆上，已知点与点，则的最小值为 . 【变式2】已知，，动点满足，若，则的范围为 ． 【变式3】已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 ． 【变式4】已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为 ． 【考点7求椭圆的离心率】 例7．设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，，则C的离心率为（    ）. A． B． C． D． 【变式1】已知椭圆的左､在顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 【考点8 求椭圆的离心率的取值范围】 例8．已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于A，B两点.若，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知、是椭圆长轴的两顶点，是椭圆上的一点，直线与斜率之积，则此椭圆的离心率取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点9 由椭圆的离心率求参数(范围)】 例9．已知椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【考点10椭圆的简单几何性质综合】 例10．【多选】已知椭圆C：，，分别为它的左右焦点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（   ） A．椭圆离心率为 B． C．若，则的面积为9 D．最小值为 【变式1】【多选】椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点，其中是椭圆的上顶点，为面积是的正三角形，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．椭圆的离心率为 C．的长为 D．的面积为 【变式2】【多选】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上任意一点（非长轴的顶点），则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的焦点坐标为 B．当时，椭圆C的离心率为 C．当时，的周长为6 D．若椭圆C的离心率为，则的面积的最大值是 【考点11与椭圆有关的轨迹问题】 例11．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】圆与的位置关系为 ；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为 ． 【变式2】已知椭圆上有一点，是轴上的定点，若有一点满足，则的轨迹方程为 ． 【变式3】已知为圆的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【考点12直线与椭圆的位置关系】 例12．已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【变式1】已知直线，椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)讨论直线l与椭圆C的公共点个数. 【变式2】已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值. 【考点13弦长问题】 例13．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值． 【变式2】.已知椭圆C的两个焦点分别是，，并且经过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，当线段AB的长度最大时，求直线l的方程． 【变式3】已知椭圆的离心率为，其左焦点为.直线交椭圆于不同的两点. (1)求椭圆的方程； (2)求的面积. 【考点14中点弦问题】 例14．椭圆与直线相交的弦被M点平分，则M点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若椭圆的弦中点坐标为， 则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程为______. 【变式3】已知椭圆的右焦点为，过作直线交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为，则等于（　　） A． B． C． D． 【考点15求椭圆的参数或范围问题】 例15．已知椭圆，若椭圆上存在两点、关于直线对称，则的取值范围是（    ） A．B． C． D． 【变式1】设分别为椭圆的上、下顶点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知椭圆的焦点为，，椭圆上的动点坐标在第一象限，且为锐角，的取值范围为__________． 【变式3】若经过点的直线l与椭圆有A，B两个交点（其中点A在x轴上方），求的取值范围． 【考点16求椭圆的最值问题】 例16．已知点是椭圆上一点，求点P到点的距离的取值范围． 【变式1】设是椭圆上的一个动点，定点，则的最大值是（    ） A． B．1 C．3 D．9 【变式2】已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为___________. 【变式4】已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的最近距离为______. 【考点17椭圆中的向量问题】 例17．若点O和点F分别是椭圆的中心和左焦点，点P为该椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．2 【变式1】椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上第一象限内的一点，且与轴相交于点，离心率，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值． 【变式3】已知椭圆的右焦点为，离心率． (1)求的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，若，求的方程． 【考点18椭圆的定点、定值、定直线问题】 例18．已知椭圆离心率为，焦距为. (1)求的方程； (2)过点分别作斜率和为的两条直线与，设交于、两点，交于、两点，、的中点分别为、.求证：直线过定点. 【变式1】已知椭圆C：过点．右焦点为F，纵坐标为的点M在C上，且AF⊥MF． (1)求C的方程； (2)设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：直线PQ过定点． 【变式2】己知椭圆，过点． (1)求C的方程； (2)若不过点的直线l与C交于M，N两点，且满足，试探究：l是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【变式3】已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求椭圆E的方程； (2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值. 【变式4】已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由． 【变式5】已知为坐标原点，点到点的距离与它到直线的距离之比等于，记的轨迹为．点在上，三点共线，为线段的中点． (1)证明：直线与直线的斜率之积为定值； (2)直线与相交于点，试问以为直径的圆是否过定点，说明理由． 【变式6】已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证： ①为定值； ②点M在定直线上. 【变式7】已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：点在定直线上. 【考点19椭圆的实际应用问题】 例19．开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星看作一个质点，绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星的近日点距离和远日点距离之和是18（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则（    ） A．39 B．52 C．86 D．97 【变式1】如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（    ） A． B． C． D． 【变式2】韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3】某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）. （1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽至少是多少米？（结果取整数） （2）如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（结果取整数） 参考数据：，椭圆的面积公式为，其中，分别为椭圆的长半轴和短半轴长. 过关检测 一、单选题 1．（23-24高二上·天津·期末）与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南商丘·期末）若点是椭圆上任意一点，分别是的左、右焦点，则（   ） A． B．2 C． D．4 4．（22-23高二上·天津·期末）直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 5．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知直线与椭圆交于，两点，当取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·贵州黔南·期末）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆E交于点A，B．直线l为椭圆E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M．由椭圆的光学性质知，，A，M三点共线．若，则（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二上·河北保定·期末）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆C交于A，B两点，若四边形的周长为12，则椭圆C的短半轴长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．（19-20高二上·山东青岛·期中）若点在椭圆上，分别为椭圆的左右焦点，且，则的面积为（    ） A． B．3 C．4 D．1 9．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知为椭圆上一点，分别为椭圆的上焦点和下焦点，若构成直角三角形，则点坐标可能是（   ）. A． B． C． D． 11．（23-24高二下·贵州贵阳·期末）已知椭圆的离心率为，焦点为，则（    ） A．的短轴长为4 B．上存在点，使得 C．上存在点，使得 D．与曲线重合 12．（23-24高二上·甘肃兰州·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，点，点是椭圆上的一个动点，则（    ） A． B． C．直线与椭圆相交于两点，且点为线段的中点，则直线的斜率为 D．的最大值为 13．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知圆在椭圆的内部，点为上一动点，为坐标原点.过点作圆的一条切线，交于另一点，切点为，若为的中点，且直线的斜率为，则（    ） A．直线的斜率为 B．直线的斜率是 C．直线的斜率是 D．椭圆的离心率为 14．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过作直线与C交于A，B两点，的周长为8．若在C外，点Q在C上，记C的离心率为e，则（    ） A．的最小值为5 B． C．存在点Q，使得 D．当时，点R在C上且满足，则有 三、填空题 15．（23-24高二下·上海宝山·期末）设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为 . 16．（11-12高二上·浙江衢州·期末）斜率为的直线与椭圆相交于两点，的中点为，则 ． 17．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知为椭圆上一点，，分别为上动点，则的最大值为 ． 18．（10-11高三上·重庆万州·阶段练习）已知椭圆的离心率为，过右焦点F且斜率为的直线与C相交于A、B两点，若，则 ． 19．（24-25高三上·上海松江·期末）已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 ． 四、解答题 20．（2021·北京丰台·二模）已知椭圆，过点的直线交椭圆于点． (1)当直线与轴垂直时，求； (2)在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求点的坐标及的值；若不存在，说明理由． 21．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知椭圆的右焦点坐标为，两个焦点与短轴一个端点构成等边三角形. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)若过点与点的直线交椭圆于，两点，过点且与直线平行的直线交轴于点，直线与直线于点，求的值. 22．（23-24高二下·湖南·期末）已知椭圆的离心率，且上的点到点的距离的最大值为. (1)求的方程； (2)过的直线与交于，记关于轴的对称点为. ①试证直线恒过定点； ②若在直线上的投影分别为，记的面积分别为，求的取值范围. 23．（23-24高二下·上海金山·期末）已知椭圆常数，点为坐标原点． (1)求椭圆离心率的取值范围； (2)若是椭圆上任意一点，，求的取值范围； (3)设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由． 24．（22-23高三上·山东聊城·阶段练习）已知椭圆的半焦距，离心率，且过点为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与椭圆分别交于不同的两点，若，求的取值范围. 25．（23-24高二上·四川成都·期末）已知椭圆的左右焦点分别为、，离心率为，点在椭圆上，且满足轴，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于、两点，求（为原点）面积的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习专题03 椭圆19种常见考法归类 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题 (1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． (2)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆． ①若，M的轨迹为线段； ②若，M的轨迹无图形 知识点2 椭圆的方程及简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0),_ B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a), B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 长轴长＝，短轴长＝ 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝ 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0) 离心率 e＝(0<e<1)（注：e＝＝.） 知识点3 椭圆的焦点三角形 椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理． 以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 (1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a. (2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3)面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc. 重要结论：S△PF1F2= 推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得 由三角形的面积公式可得 S△PF1F2= = 注：S△PF1F2===（是三角形内切圆的半径） (4)焦点三角形的周长为2(a＋c)． (5)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)中,F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端点时，最大. 知识点4　点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内部⇔＋<1；点P在椭圆外部⇔＋>1. 知识点5　直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法： 联立消y得一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离． 知识点6　直线与椭圆相交的弦长公式 1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． 2．求弦长的方法 (1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． (2)根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为： |AB|＝·＝ ·. 注：（1）已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为，运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上， 两式相减得：， 即 ，故 （2）弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值： 解题策略1、确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式； (2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．　　　　 解题策略2、椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. (2)直线过左焦点与椭圆相交于A、B两点，则的周长为4a，即（直线过右焦点亦同）. （3）涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．　 解题策略3、解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法 (1)直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0. (2)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可． (3)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．　 解题策略4、利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置； (2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．　　　　 解题策略5、点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内部⇔＋<1；点P在椭圆外部⇔＋>1. 解题策略6、求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．　　　 解题策略7、判断直线与椭圆的位置关系 通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离． 解题策略8、解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点， 则 由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.　　　　 解题策略9、求与椭圆有关的最值、范围问题的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理． (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解． (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．　　　　 解题策略10、解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象) (1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题． (2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解． (3)用解得的结果说明原来的实际问题． 考点剖析 【考点1 求椭圆的标准方程】 例1．分别根据下列条件求椭圆标准方程： (1)一个焦点为 (2)与椭圆有相同的焦点，且经过点 【解析】（1）由题知，，椭圆焦点在x轴上， 又，所以， 所以，椭圆方程为. （2）椭圆的焦点为， 设所求椭圆方程为， 则有，解得， 所以所求椭圆方程为. 【变式1】设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和椭圆的几何性质，得到，进而求得的值，即可求解. 【详解】由椭圆的几何性质，因为，可得， 所以，，则，所以椭圆的方程为. 故选：A. 【变式2】若椭圆过点，则椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把已知两点坐标代入求出后即得． 【详解】由已知，解得，所以椭圆方程为． 故选：A. 【变式3】已知直线经过椭圆的顶点和焦点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程以及焦点与顶点的定义，利用直线的方程求出点的坐标，进而求出，可得答案. 【详解】由，令，解得；令，， 由，则该椭圆的一个焦点为，一个顶点为，故，，则，即椭圆的标准方程为. 故选：B. 【变式4】过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可设椭圆的方程为，由题中条件得出, 再将点代入椭圆方程，同时根据可求解出参数，进而得出答案. 【详解】设椭圆的方程为，根据题意知 又椭圆过点，所以，且 计算得 所以椭圆的方程为，选项B正确. 故选：B. 【变式5】已知，是椭圆的焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意设椭圆方程为，再将代入椭圆方程求出，则有，再结合可求出，从而可得椭圆方程. 【详解】由题意设椭圆方程为，则， 当时，，则， 因为，所以，得，所以， 所以，所以，解得或（舍去）， 所以， 所以椭圆方程为， 故选：C 【考点2 点与椭圆的位置关系】 例2．若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【答案】C 【分析】根据椭圆的对称性可判断. 【详解】点与点关于原点对称， 点与关于轴对称， 点与关于轴对称， 若点在椭圆上，根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上， 故选：C 【变式1】若点在椭圆的外部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题中条件，得到，求解，即可得出结果. 【详解】因为点在椭圆的外部， 所以，即，解得或. 故选：B. 【变式2】直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由直线过定点，结合点与椭圆的位置关系列出不等式，即可得到结果. 【详解】直线过定点，只需该点落在椭圆内或椭圆上，∴， 解得，又， 故选：C． 【变式3】函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆（，）上，则的最小值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】求出的坐标代入椭圆方程，再将化为积为定值的形式，利用基本不等式可求得结果. 【详解】由，即，得，所以， 因为点在椭圆上，所以（，）， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 【考点3 根据椭圆的方程求参数的范围】 例3．“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出“方程表示椭圆”的充要条件，即可判断. 【详解】“方程表示椭圆”的充要条件为，即且. 故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 【变式1】已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，解得或 故选：D 【变式2】若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，解得. 故选：C 【变式3】若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 【答案】C 【分析】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可判断作答. 【详解】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误； 焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确； 焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误. 故选：C 【考点4 椭圆的焦点三角形问题】 例4．已知椭圆的左，右两焦点为和，P为椭圆上一点，且，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．64 【答案】A 【分析】根据题干数据先分析出为直角三角形，然后根据椭圆定义和勾股定理计算. 【详解】   由题意得，，于是， 即为△的外心，以为直径的圆经过，于是， 记，根据椭圆定义和勾股定理：， 于是. 故选：A 【变式1】已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（    ） A．12 B． C．16 D．10 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】设椭圆的另外一个焦点为，如图，    则的周长为， 故选：C. 【变式2】已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设 为椭圆的左焦点，为椭圆的右焦点，，，由椭圆的定义可知，在中由余弦定理可得，从而可得，再利用计算即可. 【详解】解：设 为椭圆的左焦点，为椭圆的右焦点，，， 由椭圆的定义可知， 又因为， 在中由余弦定理可得：， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：B. 【变式3】已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（    ） A．9 B．3 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由椭圆定义与余弦定理，三角形面积公式求解 【详解】法一：设，，则， ，∴． 又，∴，解得． 法二：由焦点三角形面积公式得 故选：B 【变式4】已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的内切圆的半径（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据椭圆方程求出、、的值，即可得到、、的值，从而求出的面积，再利用等面积法求出内切圆的半径. 【详解】解：椭圆中，，，则，∴，， ∴．∵，，∴， ∵，∴， 解得． 故选：C． 【考点5 椭圆上两点距离的最值问题】 例5．已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 故选：C. 【变式1】为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 则 ， 由于，故当时，取最小值， 故选：D 【变式2】已知在中，，，若点为的中点.则的最小值为 . 【答案】 【解析】在△中，，， 点在以，为焦点，且长轴长，焦距的椭圆上，不含长轴上的两顶点， ，，短半轴，又的中点为该椭圆的中心， 的最小值为． 故答案为： 【考点6 椭圆上两线段的和差最值问题】 例6．已知点是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值是 . 【答案】/ 【解析】 如图，设椭圆的右焦点为,连接, 因，则， 由图知，当，三点共线，且点在之间时，取得最小值, 因，，故此时取得最小值为. 故答案为：. 【变式1】已知椭圆，点在椭圆上，已知点与点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】椭圆的长轴长，焦距，则点为左焦点， 设右焦点为， 又在椭圆内，， 于是，， 当且仅当点是射线与椭圆的交点时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式2】已知，，动点满足，若，则的范围为 ． 【答案】 【解析】由椭圆的定义可知动点的轨迹为椭圆，且，， 所以， 又由三角形的性质可知，当且仅当共线时等号成立， 所以， 所以， 故答案为： 【变式3】已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】在椭圆中，，，则，即点、， 如图，为椭圆上任意一点，则， 又因为为圆上任意一点， . 当且仅当、、、共线且、在、之间时等号成立． 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式4】已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点， 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， ， ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 由题意知，，， 则， 的最小值为， 故答案为： 【考点7求椭圆的离心率】 例7．设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，，则C的离心率为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，把代入椭圆方程解得，可得﹐在中，由建立等式进而得出结论. 【详解】如图所示， 由，，把代入椭圆方程可得 ，解得 ， 取 在中，，由，∴， 由椭圆定义可得，得， ∴，则有，   则的离心率 . 故选：A. 【变式1】已知椭圆的左､在顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程得到以为直径的圆的半径和圆心坐标，再由该圆与直线相切，得到，进而可求出椭圆的离心率. 【详解】因为椭圆C：的左､右顶点分别为，， 因此以为直径的圆的半径为，圆心坐标为， 又该圆与直线相切，如图，      所以圆心到直线的距离等于半径，即，则， 因此，即， 所以离心率为. 故选：C. 【变式2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，， 设的内切圆与，相切于点，如图所示， 则，， 所以， 所以的周长为， 由椭圆定义可得，， 所以，则， 故选：B． 【变式3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，所以， 又，所以，， ，所以， 所以椭圆的离心率为. 故选：D. 【变式4】已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】椭圆的中点弦问题，利用点差法构造弦中点坐标与的关系，计算离心率即可. 【详解】设直线与椭圆相交于，两点，弦的中点坐标是， 则，，直线的斜率. 由，得， ，， 故椭圆的离心率. 故选：B. 【考点8 求椭圆的离心率的取值范围】 例8．已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于A，B两点.若，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义结合几何关系求出，并利用点到直线的距离关系求得，进而可求离心率的取值范围. 【详解】 如图，设为椭圆的左焦点，连接, 由对称性可得为中点，且为中点， 则四边形为平行四边形， 所以，所以， 取，因为点M到直线l的距离不小于， 所以，解得， 所以， 又因为， 所以椭圆E的离心率的取值范围是. 故选：C. 【变式1】已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】六个点，有两个是短轴端点，因此在四个象限各一个，设是第一象限内的点，分和，列方程组求得点横坐标，由可得离心率范围． 【详解】显然，是短轴端点时，，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个， 设是第一象限内使得为等腰三角形的点， 若，则，又，消去整理得： ，解得(舍去)或， 同得，所以，即， 若，则，又，消去整理得： ，解得或， 舍去． 所以，所以，即， 时，，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意． 综上，的范围是． 故选：D． 【变式2】已知、是椭圆长轴的两顶点，是椭圆上的一点，直线与斜率之积，则此椭圆的离心率取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点，则，且，可得， 易知、， 所以，， 所以，，可得， 故. 故选：D. 【变式3】已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，用坐标表示出等式，点在椭圆上，适合椭圆方程，求得代入上式，求得，然后由得出的不等关系，求得的范围． 【详解】设，则，， 由，， 化为，，整理得， ，，解得． 【考点9 由椭圆的离心率求参数(范围)】 例9．已知椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由离心率及椭圆参数关系可得，进而可得. 【详解】因为，则，所以. 故选：D 【变式1】设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论，，，用表示出离心率，解相应不等式可得的范围． 【详解】当时，，由条件知，解得； 当时，，由条件知，解得，综上知C正确． 故选：C． 【变式2】设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 【考点10椭圆的简单几何性质综合】 例10．【多选】已知椭圆C：，，分别为它的左右焦点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（   ） A．椭圆离心率为 B． C．若，则的面积为9 D．最小值为 【答案】BCD 【解析】由椭圆方程可知，， 所以椭圆的离心率，故A错误； 由椭圆定义知，故B正确； 又，因为，所以， ∴， 解得，所以的面积为，故C正确； ∵， ∴ ，当且仅当时取等号， ∴最小值为，故D正确． 故选：BCD． 【变式1】【多选】椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点，其中是椭圆的上顶点，为面积是的正三角形，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．椭圆的离心率为 C．的长为 D．的面积为 【答案】ACD 【解析】由题意：为面积是的正三角形， 故且，故； 的周长为，故A正确； 椭圆的离心率，故B错误； 设，则，由知； 由余弦定理：，所以，C正确； ，故D正确， 故选：ACD. 【变式2】【多选】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上任意一点（非长轴的顶点），则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的焦点坐标为 B．当时，椭圆C的离心率为 C．当时，的周长为6 D．若椭圆C的离心率为，则的面积的最大值是 【答案】AC 【解析】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆C的焦点坐标为，A正确； 对于B，当时，，离心率，B错误； 对于C，当时，，则的周长为，C正确； 对于D，椭圆C的离心率为，即，解得，， 设，则的面积，D错误. 故选：AC. 【考点11与椭圆有关的轨迹问题】 例11．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程可以利用几何意义得到动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，从而求出轨迹方程. 【详解】由题意得：到与的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为. 故选：A 【变式1】圆与的位置关系为 ；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为 ． 【答案】 内含 【解析】依题意，圆心，半径，圆心，半径， 所以，则两圆内含； 设动圆的圆心，半径为，则， ， 依椭圆的定义知，的轨迹为椭圆，其中， 又， 所以的轨迹方程为. 故答案为：内含；. 【变式2】已知椭圆上有一点，是轴上的定点，若有一点满足，则的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设是所求轨迹上的一点，且， 因为，且，可得， 即，可得， 代入椭圆，可得，整理得， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式3】已知为圆的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何关系，找到点满足的条件，结合椭圆的定义，直接写出方程即可. 【详解】根据题意，作图如下： 易知，则，即， 故点的轨迹是以为焦点且长轴长为6的椭圆， 设其方程为，则，则， 故，则椭圆方程为：. 故选：C. 【考点12直线与椭圆的位置关系】 例12．已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】C 【分析】联立直线和椭圆方程，根据所得到的方程的解的个数来判断直线和椭圆的位置关系. 【详解】联立，消去，整理得到，该方程判别式，于是此方程无解，即直线和椭圆没有交点，故直线和椭圆相离. 故选：C 【变式1】已知直线，椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)讨论直线l与椭圆C的公共点个数. 【解析】（1）由题意椭圆的短轴长为，离心率为， 可知，，解得， 所求椭圆的方程为； （2）由可得， ， 当即时，直线与椭圆相切，只有一个公共点； 当即时，直线与椭圆相交，有两个公共点； 当即或时，直线与椭圆相离，无公共点； 综上所述， 当时，直线与椭圆只有一个公共点； 当时，直线与椭圆有两个公共点； 当或时，直线与椭圆无公共点. 【变式2】已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值. 【解析】（1）椭圆过点，且离心率为， 可得：，解得， 再由，可得： ， 椭圆的方程为：. （2）由（1）知椭圆的方程为：，由直线与椭圆联立 消得：，根据直线与椭圆仅有一个交点得： ，解得. 【考点13弦长问题】 例13．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用弦长公式求解即可. 【详解】设直线AB方程为，联立椭圆方程 整理可得：，设， 则，，根据弦长公式有： =．故B，C，D错误. 故选：A. 【变式1】已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值． 【解析】（1）由题意得：，所以， 点在椭圆上，所以，解得， 所以椭圆的方程为：． （2） 直线的方程为： 联立，消去后，得关于的一元二次方程， 化简得， 由题意知，解得或， 由韦达定理可得，， 所以， 所以，化简得，解得，即， 经检验符合题意. 【变式2】.已知椭圆C的两个焦点分别是，，并且经过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，当线段AB的长度最大时，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：将代入椭圆方程，结合焦点坐标，列出方程组，求出，得到椭圆方程；解法二：由椭圆定义求出，结合焦点坐标，求出，得到答案； （2）联立直线与椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表达出弦长，求出最大值和直线方程. 【详解】（1）解法一：因为椭圆C的焦点在x轴上．所以设它的标准方程为． 由题意知，， 解得． 所以，椭圆C的标准方程为． 解法二：由于椭圆C的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为． 根据椭圆定义得， 即． 又因为，所以， 所以，椭圆C的标准方程为． （2）由，消去y，得， 因为直线与椭圆C相交于A，B两点， 所以， 解得． 设，， 则，， 所以 当时，取最大值，此时直线l的方程为 【变式3】已知椭圆的离心率为，其左焦点为.直线交椭圆于不同的两点. (1)求椭圆的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知有 解得 所以椭圆的方程为. （2）由 消去，整理得. 设，则 直线的方程为，到直线的距离. 所以的面积为    【考点14中点弦问题】 例14．椭圆与直线相交的弦被M点平分，则M点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，运用韦达定理即可求出中点坐标. 【详解】联立方程 ，得 ， ， 中点M的坐标为 ； 故选：D. 【变式1】若椭圆的弦中点坐标为， 则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，代入椭圆方程相减，结合中点坐标可得结论． 【详解】由于，所以点在椭圆内部， 设，由已知，， ，两式相减得， ∴． 故选：B 【变式2】已知椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程为______. 【答案】 【分析】设这条弦的两个端点分别为、，由中点坐标公式得，利用点差法可求得直线的斜率，再由点斜式可得出这条弦所在直线的方程. 【详解】解：已知椭圆的弦被点平分， 设这条弦的两个端点分别为、， 则，得， 由于点、均在椭圆上，则， 两式相减得，可得， 即， 所以直线的斜率为， 因此，这条弦所在直线的方程为，即. 故答案为：. 【变式3】已知椭圆的右焦点为，过作直线交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点坐标为，代入椭圆方程相减，利用，，求出直线的斜率，得出等量关系，再由关系，即可求解. 【详解】设，过点的直线交椭圆于，两点， 若的中点坐标为，所以直线斜率， 代入椭圆方程得， 两式相减得 即， 也即， 所以， 又， 所以， 所求的椭圆方程为. 故选：A. 【变式4】椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点差法计算即可. 【详解】设，M、N中点为D ，则， 由题意得： 因为M、N在椭圆上，则， 两式相减整理得， ∴. 故选：B. 【考点15求椭圆的参数或范围问题】 例15．已知椭圆，若椭圆上存在两点、关于直线对称，则的取值范围是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】设，中点为，利用点差法结合条件可得点，根据在椭圆内部，进而即得． 【详解】椭圆，即：， 设椭圆上两点关于直线对称，中点为， 则，， 所以， ∴， ∴，代入直线方程得，即， 因为在椭圆内部， ∴， 解得 ， 即的取值范围是． 故选：A． 【变式1】设分别为椭圆的上、下顶点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点的坐标，设点，利用余弦定理建立关系，结合椭圆范围求解作答. 【详解】依题意，，设点，，， ，中，由余弦定理得： ，整理得， 则，化简得：，即， 于是得，即，而，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 【变式2】已知椭圆的焦点为，，椭圆上的动点坐标在第一象限，且为锐角，的取值范围为__________． 【答案】 【分析】由已知可得P在以O为圆心，半径为c的圆的外部，写出圆的方程，与椭圆方程联立，消去y求得交点的横坐标，然后可得答案． 【详解】由已知可得P在以O为圆心，半径为c的圆的外部，， 所以该圆的方程为：， 由，消去y得：解得， 又∵P在椭圆上，且由为锐角，可知P不在x轴上， 由于的左右顶点横坐标分别为-3和3， ∴为使为锐角， 的取值范围是 又动点坐标在第一象限， 故答案为：． 【变式3】若经过点的直线l与椭圆有A，B两个交点（其中点A在x轴上方），求的取值范围． 【答案】. 【分析】设，利用椭圆的性质可得，然后利用两点间距离公式可得，进而即得. 【详解】设，则，又点A在x轴上方， ∴，，又， ∴， 由，可得， ∴，即的取值范围为. 【考点16求椭圆的最值问题】 例16．已知点是椭圆上一点，求点P到点的距离的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意可知，由两点之间的距离公式可得，，再根据二次函数的单调性，即可求出结果. 【详解】解：因为点是椭圆上一点， 所以， 又，， 所以，， 设，， 则， 所以函数在区间上单调递减， 所以，， 所以， 所以函数点P到点的距离的取值范围. 【变式1】设是椭圆上的一个动点，定点，则的最大值是（    ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】D 【解析】本题首先可根据椭圆方程得出，然后将转化为，即可求出最大值. 【详解】因为椭圆方程为，即，所以， 因为，， 所以， 易知当时，最大，最大值为， 故选：D. 【变式2】已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，得到，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由椭圆的离心率，可得，所以椭圆的方程为， 设，则，可得， 又由点， 可得， 因为，所以，所以. 故选：A. 【变式3】已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为___________. 【答案】/ 【分析】将求最小值的问题，转化为求点到圆心距离最小值的问题，结合点满足椭圆方程，转化为二次函数求最值即可. 【详解】不妨设点为，，则，则 设圆的圆心为，则坐标为 则的最小值，即为的最小值与圆的半径之差. 又 当时，，当且仅当时取得等号； 故. 故答案为：. 【变式4】已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的最近距离为______. 【答案】 【分析】设，求出点到直线的距离，利用三角函数求出函数的最值即得解. 【详解】解：设，则点到直线的距离为， 当时，距离取得最小值. 故答案为：. 【考点17椭圆中的向量问题】 例17．若点O和点F分别是椭圆的中心和左焦点，点P为该椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】A 【详解】设，， 则， 则， 因为点为椭圆上，所以有：，即， 所以， 又因为， 所以当时，的最大值为6. 故选：A. 【变式1】椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上第一象限内的一点，且与轴相交于点，离心率，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由离心率得，，由得在圆上，解方程组求得点坐标，利用的横坐标即可求得． 【详解】，，则，所以，， 椭圆方程化为， ，因此在圆上， 由，解得，在第一象限，则， ，则， 故选：D． 【变式2】在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值． 【答案】(1); (2). 【详解】（1）因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，所以． 又椭圆的离心率是，所以，解得，，从而． 所以椭圆的标准方程． （2）因为直线的斜率为，且过右焦点，所以直线的方程为． 联立直线的方程与椭圆方程， 消去，得，其中． 设，，则，． 因为，所以 ． 因此的值是． 【变式3】已知椭圆的右焦点为，离心率． (1)求的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，若，求的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题知，，进而得，再根据求解即可得答案； （2）设，进而根据向量关系得，进而得，再解方程即可得答案. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， ∵右焦点为， ∴， 又∵离心率， ∴，解得 ， ∴的方程为． （2）解：设． ， ∴，即． ∴，即，解得， 设直线的斜率为，则， ∴直线的方程为，即或． ∴直线的方程为或． 【考点18椭圆的定点、定值、定直线问题】 例18．已知椭圆离心率为，焦距为. (1)求的方程； (2)过点分别作斜率和为的两条直线与，设交于、两点，交于、两点，、的中点分别为、.求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为，直线的方程为，则，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，可求得点的坐标，同理可得出点的坐标，求出直线的方程，并化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标. 【详解】（1）解：由已知条件可得，解得：. 所以，椭圆的方程为. （2）解：设直线的方程为，直线的方程为，则. 联立， 因为点在椭圆内，则直线、与椭圆均相交，    设点、， 所以，，则， 所以，线段的中点为. 同理可得，线段的中点为 所以直线斜率为 . 所以直线方程为： ， 所以，直线的方程可化为， 由可得，因此直线恒过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 【变式1】已知椭圆C：过点．右焦点为F，纵坐标为的点M在C上，且AF⊥MF． (1)求C的方程； (2)设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：直线PQ过定点． 【答案】(1) (2)过定点；证明过程见详解 【分析】（1）由题可得，结合条件可知，将点的坐标代入椭圆的方程，即可得解； （2）设点，求出点的坐标，写出直线的方程，结合条件变形即得. 【详解】（1）设点，其中，则， 因为椭圆过点，则， 将点的坐标代入椭圆的方程得， 所以，解得， 因此椭圆的标准方程为； （2）设点， 则，所以直线的垂线的斜率为， 由题可知，故直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 所以直线的方程为， 即， 因为，所以， 所以， 所以， 所以直线过定点． 【变式2】己知椭圆，过点． (1)求C的方程； (2)若不过点的直线l与C交于M，N两点，且满足，试探究：l是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线过定点 【分析】（1）将代入椭圆方程求； （2）由可得，设直线l方程为，将韦达定理代入求得，从而知l恒过定点. 【详解】（1）由题意，，解得， 所以椭圆C的标准方程为． （2）因为，两边平方，化简整理得， 易知直线l的斜率存在，设其方程为，其中． 由，得， ， 设，则， 所以 ， 所以， 即， 因为，所以， 所以， 得，解得，满足， 所以直线l的方程为：，即直线过定点 【变式3】已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求椭圆E的方程； (2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据离心率以及的几何性质即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，根据两点斜率公式，代入化简即可求解. 【详解】（1）由题意可知：，又，解得， 所以椭圆方程为 （2）证明：由题意可知直线有斜率，由于与点的连线的斜率为，且的横纵坐标恰好与相反，因此直线有斜率满足且， 直线的方程为：， 联立直线与椭圆方程：， 设， 则， ， 将代入可得故直线AP与AQ的斜率之和为1，即为定值，得证. 【变式4】已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)为定值，求解过程见详解 【分析】（1）将代入标准方程得关系，由离心率得关系，结合即可求解； （2）设，联立直线与椭圆方程，由斜率之积等于求出与关系，由弦长公式求出，由点到直线距离公式求出的高，结合三角形面积公式化简即可求解. 【详解】（1）因为椭圆过，故，又，，联立解得，所以椭圆的方程为； （2）设，联立得，， ， ，即，，原点到直线的距离，所以， 所以的面积为定值. 【变式5】已知为坐标原点，点到点的距离与它到直线的距离之比等于，记的轨迹为．点在上，三点共线，为线段的中点． (1)证明：直线与直线的斜率之积为定值； (2)直线与相交于点，试问以为直径的圆是否过定点，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)定点，理由见解析 【分析】（1） 先设，再根据距离比计算轨迹，最后计算斜率积即可； （2）先设，再根据为直径的圆过定点，计算可得. 【详解】（1）设，则有， 整理得；   设,，，则，， 由 ，两式相减：， 整理得，，， 即直线与直线的斜率之积为定值． （2）显然直线的斜率不为0，设直线方程为， 联立方程组，消去得：， 所以， ， ，     ， 直线， 从而点， 根据椭圆的对称性可知，若以为直径的圆过定点，则该定点在轴上，可设为， 以为直径的圆过定点，则， 又，， 从而， 整理得， 故 ，解方程组可得， 即以为直径的圆过定点． 【变式6】已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证： ①为定值； ②点M在定直线上. 【答案】(1) (2)①证明见解析，；②证明见解析，点M在定直线上． 【详解】（1）依题可得，解得：，所以， 即椭圆的方程为． （2）①设，，因为直线过点且斜率不为0，所以可设的方程为，代入椭圆方程得，，其判别式，所以，. 两式相除得，即． 因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为，所以，． 从而． ②由①知，设，则，所以直线的方程为：，直线的方程为，联立可得，所以直线与直线的交点的坐标为，所以点在定直线上. 【变式7】已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：点在定直线上. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出即可得解. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，再求出直线与直线的交点横坐标，并结合韦达定理计算即得. 【详解】（1）依题意，，半焦距，则， 所以椭圆的方程为. （2）显然直线不垂直于y轴，设直线， 由消去x并整理得， ，设， 则，且有， 直线，直线， 联立消去y得，即， 整理得， 即， 于是，而， 则，因此， 所以点在定直线上. 【考点19椭圆的实际应用问题】 例19．开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星看作一个质点，绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星的近日点距离和远日点距离之和是18（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则（    ） A．39 B．52 C．86 D．97 【答案】D 【分析】根据椭圆方程表示近日点距离与远日点距离，再根据条件得到两个方程求解即可. 【详解】根据椭圆方程，得长半轴，半焦距， 近日点距离为，远日点距离为， 近日点距离和远日点距离之和是， 近日点距离和远日点距离之积是， 解得，则. 故选：D. 【变式1】如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，求直线被椭圆所截得的弦长，代入椭圆方程即可求解. 【详解】以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：， 当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长. 把代入椭圆方程可得：， 所以当水位上升时，水面的宽度为， 故选：. 【变式2】韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，即可求出离心率. 【详解】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系， 设椭圆方程为， 令，即，解得，依题意可得， 所以，所以，所以． 故选：D． 【变式3】某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）. （1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽至少是多少米？（结果取整数） （2）如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（结果取整数） 参考数据：，椭圆的面积公式为，其中，分别为椭圆的长半轴和短半轴长. 【答案】（1）此隧道设计的拱宽至少是22米（2）当拱高为7米、拱宽为18米时，土方工程量最小 【分析】（1）建立直角坐标系，设椭圆方程为，根据对称性，将点代入椭圆方程，即可求解； （2）由点在椭圆上或在椭圆内，得，利用基本不等式，即可求出椭圆的面积的最小值，根据体积公式，即可求解. 【详解】（1）建立直角坐标系如图所示， 则点在椭圆上， 将与点代入椭圆方程，得， 此时， 因此隧道设计的拱宽至少是22米. （2）由椭圆方程，得， 因为，即，， 由于隧道长度为1.5千米，故隧道的土方工程量， 当取得最小值时，有且，得，， 此时，. ①若，此时，此时， ②若，此时，此时， 因为，故当拱高为7米、拱宽为18米时，土方工程量最小. 【点睛】本题考查椭圆的实际运用，考查椭圆的标准方程，并以椭圆为背景，考查利用利用基本不等式求值，属于较难题. 过关检测 一、单选题 1．（23-24高二上·天津·期末）与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出所求椭圆的焦点坐标，可得出的值，由已知条件可得出的值，由此可得出的值，进而可得出所求椭圆的标准方程. 【详解】椭圆可化为标准方程， 可知椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为， 故可设所求椭圆方程为，则. 又，即，所以，故所求椭圆的标准方程为， 故选：B. 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程即可求解m的范围. 【详解】依题意，解得或 故选：D 3．（23-24高二上·河南商丘·期末）若点是椭圆上任意一点，分别是的左、右焦点，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义分析求解即可. 【详解】由方程可知：， 由椭圆的定义可知． 故选：D． 4．（22-23高二上·天津·期末）直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据点在椭圆上或椭圆内，结合二次方程表示椭圆，即可求得参数的范围. 【详解】表示椭圆，故可得，且； 又直线过点，根据题意，在椭圆内或椭圆上，故，又，故； 综上所述，，且. 故选：C. 5．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知直线与椭圆交于，两点，当取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，即可表示出，再由二次函数的性质计算可得. 【详解】设，，由， 消去整理得，解得或，则，， 则，， 所以 ， 所以当，即时取最大值. 故选：C 6．（23-24高二下·贵州黔南·期末）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆E交于点A，B．直线l为椭圆E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M．由椭圆的光学性质知，，A，M三点共线．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到，根据椭圆定义得到，结合求出，则，，求出. 【详解】如图．因为点B关于l的对称点为M，则． 因为， 且，所以， 所以， 可得，则， 所以，故． 故选：B． 7．（22-23高二上·河北保定·期末）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆C交于A，B两点，若四边形的周长为12，则椭圆C的短半轴长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据给定条件，可得，再由四边形周长求出即可得解. 【详解】 因为椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积， 已知椭圆面积为，则， 又椭圆的两个焦点分别为，，直线与椭圆交于A，B两点， 由椭圆对称性，得线段互相平分于原点， 则四边形为平行四边形， 因为四边形的周长为12， 由椭圆的定义得，解得， 所以椭圆的短半轴长. 故选：A. 8．（19-20高二上·山东青岛·期中）若点在椭圆上，分别为椭圆的左右焦点，且，则的面积为（    ） A． B．3 C．4 D．1 【答案】A 【分析】利用椭圆定义得到，再利用余弦定理得到，两者联立解出，再利用三角形面积公式求出面积即可. 【详解】由椭圆的标准方程，可得，所以， 又因为，即， 因为， 在，根据余弦定理可得， 即， 又因为，所以， 所以， 故选：A 9．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的对称性质和椭圆的性质得，再结合题设得，进而求出，再结合椭圆的定义以及余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，， 且，， 所以，    因为，所以， 所以即， 又，所以， 所以由余弦定理得， 整理得，所以即. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是抓住角平分线的对称性之和椭圆的几何性质求出，关键2是利用和的关系求出，再在中结合余弦定理即可求解. 二、多选题 10．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知为椭圆上一点，分别为椭圆的上焦点和下焦点，若构成直角三角形，则点坐标可能是（   ）. A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，按直角顶点为点和焦点分类求出点坐标. 【详解】椭圆的焦点，设， 由为直角三角形，则直角可能为 若为直角，则，由，得； 若为直角，则，由，得； 若为直角，则在圆上， 由，解得， 所以点坐标可能是AD. 故选：AD 11．（23-24高二下·贵州贵阳·期末）已知椭圆的离心率为，焦点为，则（    ） A．的短轴长为4 B．上存在点，使得 C．上存在点，使得 D．与曲线重合 【答案】BCD 【分析】根据离心率求出可判断A；设，利用坐标表示出，求出其范围可判断BC；根据两点间的距离公式的几何意义，结合椭圆定义可判断D. 【详解】对于A，由题知，解得，所以， 所以的短轴长为，A错误； 对于BC，由上可知，， 设，则， 又，即， 所以， 因为，所以，得， 所以存在点使得，，所以BC正确；    对于D，由的几何意义可知： 动点到定点的距离之和等于， 表示以为焦点，的椭圆，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题解答关键在于利用坐标表示出，结合椭圆的范围求出的范围即可判断BC. 12．（23-24高二上·甘肃兰州·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，点，点是椭圆上的一个动点，则（    ） A． B． C．直线与椭圆相交于两点，且点为线段的中点，则直线的斜率为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】得出两点的坐标，即可判断A；根据椭圆的定义结合点与椭圆的关系即可判断B；利用点差法即可判断C； 根据椭圆的定义可得，进而可判断D. 【详解】对于A，由，可知直线的斜率不存在，直线的斜率为零， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以点在椭圆内， 所以，故B正确； 对于，设点的坐标分别为， 则有，两式作差有， 有，即直线的斜率为，故C错误； 对于D， ， 当且仅当三点共线且点在两点中间时，取等号， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法： （1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解. 13．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知圆在椭圆的内部，点为上一动点，为坐标原点.过点作圆的一条切线，交于另一点，切点为，若为的中点，且直线的斜率为，则（    ） A．直线的斜率为 B．直线的斜率是 C．直线的斜率是 D．椭圆的离心率为 【答案】AD 【分析】根据题意可知这是一个中点弦问题，一般采用点差法求解. 【详解】设，则， 将的坐标代入椭圆的方程，得 两式相减得， 所以， 因为直线的斜率为，所以的斜率为，A正确； 所以. 如图，设为椭圆的左顶点，连接，则， 所以. 解得或（舍去），直线的斜率为，B错误，C错误； 所以， 所以， 故，D正确. 故选：AD. 14．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过作直线与C交于A，B两点，的周长为8．若在C外，点Q在C上，记C的离心率为e，则（    ） A．的最小值为5 B． C．存在点Q，使得 D．当时，点R在C上且满足，则有 【答案】BD 【分析】对于A，由题意求得，结合基本不等式即可判断；对于B，由条件确定的范围，结合离心率公式即可判断；对于C，由上定点对两焦点的张角大小即可判断；对于D，设出直线，然后与椭圆联立，再求出相关距离，最后化简计算即可. 【详解】因为的周长为8，所以，即. 因为在C外，代入椭圆方程所以，所以. 对于A：， 当且仅当时，等号成立，所以，故A不正确； 对于B： 椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故B正确； 设椭圆的上顶点为，，， 由于， 因为， 当时，此时不存在使得，故C错误； 对于D: 当时,可得：此时椭圆方程为，    设直线为：， 联立，得， 设，，则，， ， ，，， 原点到直线的距离， ， 当的斜率不存在时，仍然满足上述关系， 综上，为定值.故D正确. 故选：BD 三、填空题 15．（23-24高二下·上海宝山·期末）设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为 . 【答案】1 【分析】写出椭圆的参数方程，所以点，进而表示出矩形的面积，结合三角函数的知识求解最大值即可. 【详解】椭圆的参数方程为（为参数）， 则可设点, 所以矩形的面积为， 所以， 因为点在第一象限，所以当且仅当，即时，等号成立， 故矩形面积的最大值为1. 故答案为：1. 16．（11-12高二上·浙江衢州·期末）斜率为的直线与椭圆相交于两点，的中点为，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，即可求解. 【详解】设直线的方程为，代入椭圆方程， 可得， 由韦达定理可得， 则， 则，则， 所以. 故答案为： 17．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知为椭圆上一点，，分别为上动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义及圆的性质求解即得. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 由在椭圆上，得，解得，， 则椭圆的焦点，， 因此， 当且仅当分别为线段的延长线与圆的交点， 所以的最大值为. 故答案为： 18．（10-11高三上·重庆万州·阶段练习）已知椭圆的离心率为，过右焦点F且斜率为的直线与C相交于A、B两点，若，则 ． 【答案】 【分析】解法1：设，，由线段的定比分点公式得到，再设直线AB方程为，直曲联立得到韦达定理，再解出即可； 解法2：由椭圆的第二定义设直线的倾斜角为，，得到，再由同角的三角函数关系求出即可； 【详解】 解法1：设，， ∵，∴由定比分点坐标公式可得， ∵，设，，，∴，    ① 设直线AB方程为， 代入①中消去x，可得， ， ∴，，，， 解得，． 解法2：设直线的倾斜角为，，所以， 由椭圆的第二定义可得， 即，， 又， 所以． 故答案为：. 19．（24-25高三上·上海松江·期末）已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用向量运算将转化为，通过求的取值范围来求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为. 因为 ． 又因为椭圆的，为椭圆的右焦点， 设，， ， ， 所以，， ∴． 故答案为： 四、解答题 20．（2021·北京丰台·二模）已知椭圆，过点的直线交椭圆于点． (1)当直线与轴垂直时，求； (2)在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求点的坐标及的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， 【分析】（1）写出直线方程，与椭圆联立，求出两点坐标，即可求出. （2）当直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆联立，写出韦达定理，用坐标表示，代入韦达定理，分析为定值的条件，求出点的坐标，再验证斜率不存在时的情况，得出答案. 【详解】（1）解:联立,得或 所以． （2）假设存在，使为定值． 当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 联立得． 显然，设， 则． 所以 ． 若为常数，只需， 解得，此时． 当直线与轴垂直时，不妨设， 当点坐标为时，． 满足为定值． 综上，存在点，使为定值． 21．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知椭圆的右焦点坐标为，两个焦点与短轴一个端点构成等边三角形. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)若过点与点的直线交椭圆于，两点，过点且与直线平行的直线交轴于点，直线与直线于点，求的值. 【答案】(1); (2)1 【分析】（1）由题可知，再由条件两个焦点与短轴一个端点构成等边三角形可知，结合求解，进而得到椭圆方程和离心率. （2）设直线的方程，联立直线和椭圆，由韦达定理得到两根的关系；根据平行得到斜率相等，可以写出直线的方程，进而得到的坐标，联立直线得到点的坐标，发现纵坐标之间的关系即可. 【详解】（1）依题意得， 解得, 所以椭圆C的方程为，离心率. （2）由于，所以直线l的斜率不为0. 设直线l的方程为:,， 联立，消去并整理得， 其中， 所以， 对于直线l的方程，令，得， 所以点M的坐标为， 由于直线的斜率为， 直线直线,所以， 从而直线的方程为， 令，有 将代入，得， 于是点N的坐标为 由于直线的斜为， 所以直线的方程为, 因为， ， 即 即， 其中， 所以， 于是有， 从而得 即点的坐标为， 因为 其中分子为 将和代入,有， 因此有 即， 即点为点和点的中点， 故. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于求出的坐标，进而发现纵坐标之间的关系. 22．（23-24高二下·湖南·期末）已知椭圆的离心率，且上的点到点的距离的最大值为. (1)求的方程； (2)过的直线与交于，记关于轴的对称点为. ①试证直线恒过定点； ②若在直线上的投影分别为，记的面积分别为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）根据椭圆的离心率及距离的最大值，列出方程组求解即得. （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得； （ii）由（i）的信息，借助三角形面积建立函数关系，再利用函数的单调性求出最大值. 【详解】（1）由的离心率，则， ，设上的点， 则， ， ①当，即时，的最大值为， 由，则， 又，所以，所以此时椭圆的方程为 ②当，即时，的最大值为， 由， 即，解得，不合题意. 综上可知，的方程为. （2）①当直线斜率存在时，设直线的方程为， ，则， 由得， ，即 ， 直线方程为， 当时， ， 故直线恒过定点. 当直线斜率不存在时，直线方程为也过. 故直线恒过定点. ②由题意知，此时的斜率一定存在. ， 由及， 所以 ， 因为，令， 所以在上单调递增. 故的取值范围为. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 23．（23-24高二下·上海金山·期末）已知椭圆常数，点为坐标原点． (1)求椭圆离心率的取值范围； (2)若是椭圆上任意一点，，求的取值范围； (3)设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是定值，理由见解析 【分析】（1）根据已知结合离心率公式化简计算； （2）应用向量间关系结合基本不等式化简求范围即可； （3）应用斜率积的公式化简得出结合三角形面积公式结合点在椭圆上化简求值. 【详解】（1）由椭圆方程为， 则离心率， 又 所以； （2）由已知得 又点是椭圆上任意一点， 则，化简可得 所以 （3）法一：由已知可得，即， 平方可得， 又在椭圆上， 所以， 所以， 化简可得 设与的夹角为， 则，则， 所以的面积 ， 故的面积为定值； 方法二：由已知，即， ①当直线斜率不存在时，，则， 又在椭圆上， 则，所以， 此时； ②当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 联立直线与椭圆， 得， 则， ， 则，即， 所以 ， 点到直线的距离， 所以， 所以的面积为定值． 【点睛】关键点点睛：面积定值关键是应用点在椭圆上代入面积公式化简求值即可. 24．（22-23高三上·山东聊城·阶段练习）已知椭圆的半焦距，离心率，且过点为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与椭圆分别交于不同的两点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点代入椭圆得，再结合以及椭圆的性质，可解出的值，再结合离心率的取值范围，即可算出椭圆方程； （2）当直线的斜率存在时，可设出直线方程为，联立椭圆的标准方程，由根的判别式可得，然后由韦达定理整理出，再结合即可得出；再讨论当直线的斜率不存在时，直线为，易得，综合两种情况即可得到答案. 【详解】（1）由题意得，整理得， 即，解得或. 当时，，此时C的离心率，符合题意； 当时，，此时C的离心率，不合题意，舍去， 所以椭圆C的方程为. （2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 联立得， 因为直线l与椭圆C分别交于不同的两点A，B， 所以，整理得. 设，则， 所以 ， 因为，所以令，则， 由，得，即， 因为，所以，解得， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 此时直线l与椭圆C的两交点分别为， 不妨取，则， 所以，所以，解得， 综上所述，的取值范围为. 25．（23-24高二上·四川成都·期末）已知椭圆的左右焦点分别为、，离心率为，点在椭圆上，且满足轴，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于、两点，求（为原点）面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴，可得点坐标，代入曲线方程，结合离心率可得解； （2）联立直线与椭圆，结合弦长公式及点到直线的距离可得面积，再利用换元法结合基本不等式可得面积的最值. 【详解】（1）由椭圆的对称性，不妨设点在第二象限， 则， 代入椭圆方程可得， 又椭圆的离心率， 则， 解得， 又， 则， 所以椭圆方程为； （2） 由（1）得椭圆方程为， 设直线与椭圆的交点，， 联立直线与椭圆，得， 则， 且，， 则， 又原点到直线的距离， 的面积， 令， 则， 当且仅当，即时，的面积取得最大值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$