专题02 二次函数（6基础题型+9提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（江西专用）

· 专题02 二次函数 二次函数的定义与图像 1．（23-24九年级上·江西南昌·期末）关于x的函数是二次函数的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江西上饶·期末）已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（　　）    A．   B．   C．   D．   3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）一次函数y＝ax+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+x+c的图象可能大致是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（    ） A．4 B． C．2 D． 二次函数的增减性 1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“<”或“>”或“=”） 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是 ． 3．（23-24九年级上·江西南昌·期末）点，是抛物线上的两点，则 ．（填，或） 4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）若、是抛物线上两点，当时，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 求抛物线的顶点坐标 1．（23-24九年级上·江西九江·期末）二次函数 的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）抛物线的顶点坐标是 ． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知二次函数y=a(x+3)2﹣b(a≠0)有最大值1，则该函数图象的顶点坐标为 ． 二次函数的平移 1．（23-24九年级上·江西南昌·期末）若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江西·期末）将抛物线向下平移3个单位长度，所得抛物线解析式为 3．（23-24九年级上·江西新余·期末）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ． 4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ． 二次函数解析式与转换应用 1．（23-24九年级上·江西上饶·期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．与x轴有两个交点 D．顶点坐标是 2．（23-24九年级上·江西九江·期末）二次函数的最小值为 ． 3．(23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，点在轴上，，点的位置是，求经过点、、的抛物线的解析式． 4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）．求二次函数的解析式并写出它的顶点坐标．    二次函数与坐标轴的交点 1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为是 ． 2．（23-24九年级上·江西上饶·期末）若函数y＝（a+1）x2﹣2x+1的图象与x轴只有一个交点，则a为 ． 3．（23-24九年级上·江西·期末）已知点在抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式． (2)直接写出抛物线与y轴的交点坐标． 4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知二次函数当时取最小值，且抛物线图像经过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)求抛物线与轴的交点坐标． 抛物线上点的坐标 1．（23-24九年级上·江西九江·期末）已知抛物线与x轴交于点和点B（点A始终在点B的右边），与y轴交于点C，若为等腰三角形，则a的值为 ． 2．（23-24九年级上·江西南昌·期末）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求m的值． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知抛物线，其中a为常数，且，将抛物线关于原点对称的抛物线记为． (1)抛物线顶点坐标为______，抛物线的解析式为______（）； (2)①求抛物线与x轴的交点坐标； ②当图象的最低点到x轴距离为3时，求a的值； (3)抛物线、抛物线合起来得到的图象记为M，当时，若点在图象M上，求m的值． 二次函数各项式符号 1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知二次函数的图像如图所示，以下结论中：①；②；③；④．正确的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.（23-24九年级上·江西新余·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC＝2OB则下列结论：① ；②；③；④ ，其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论，①；②：③时，随的增大而增大；④若关于的一元二次方程没有实数根，则；⑤对于任意实数，总有．其中正确的结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二次函数综合---线段长最值问题 1．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积，求抛物线平移的距离． 2．（23-24九年级上·江西新余·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、，与y轴交于点C，顶点为点D．在线段下方的抛物线上有一动点P． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)过点P作垂直于直线，交于点Q，求的最大值； (3)在抛物线上找一点N，使的内心在x轴上，求点N的坐标． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上一点，其横坐标为a． (1)已知点，求抛物线的解析式． (2)若， ①如图，当点P位于第一象限时，过点P分别作于点E，轴于点N，当取得最大值时，求a的值； ②在①的条件下，连接，，判断此时的面积是否为最大，并说明理由． 二次函数综合---面积最值问题 1．（23-24九年级上·江西·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式． (2)P为第三象限内抛物线上一点，的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，规定：抛物线的伴随直线为．例如：抛物线的伴随直线为，即． (1)在上面规定下，抛物线的顶点坐标为 ，伴随直线为 ，抛物线与其伴随直线的交点坐标为 和 ； (2)如图，顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D． ①若，求m的值； ②如果点是直线上方抛物线上的一个动点，的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）直线与x轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，．      (1)求点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)点在线段上运动， ①求线段的最大长度． ②连接，求面积的最大值． 二次函数---图形存在问题 1．（23-24九年级上·江西上饶·期末）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式以及直线的解析式； (2)在抛物线上找一点P，使得x轴平分，求点P的坐标； (3)E，F分别是直线和抛物线上的动点，当以C，O，E，F为顶点，为边的四边形是平行四边形时，请求出点E的坐标． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求三角形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知二次函数． (1)有关二次函数的图象与性质，下列结论中正确的有______．（填序号） ①二次函数的图象开口向上； ②二次函数的图象的对称轴是直线； ③二次函数的图象经过定点（0，3）和（2，3）； ④函数值y随着x的增大而减小． (2)当时，①抛物线的顶点坐标为______； ②将抛物线沿x轴翻折得到抛物线，则抛物线的表达式为______； (3)设抛物线与y轴相交于点E，过点E作直线轴，与抛物线的另一交点为F，将抛物线沿直线l翻折，得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为P，Q．是否存在实数m，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 4．（23-24九年级上·江西南昌·期末）综合与探究 如图，已知点B（3，0），C（0，－3），经过B．C两点的抛物线y＝x2－bx＋c与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标； （3）已知点E在第四象限的抛物线上，过点E作EF//y轴交线段BC于点F，连结EC，若点E（2，－3），请直接写出△FEC的面积； （4）在（3）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 二次函数综合---其他问题 1．（23-24九年级上·江西上饶·期末）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … … … … 根据上表填空： ①抛物线与轴的交点坐标是________和________； ②抛物线经过点 ,________； ③在对称轴右侧，随增大而________； 试确定抛物线的解析式． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)求出抛物线的对称轴和顶点坐标； (3)若抛物线上存在一点D，使得．求出点D的坐标 3．（23-24九年级上·江西九江·期末）如图1，二次函数图象交坐标轴于点A，，点P为x轴上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)过点P作轴分别交线段，抛物线于点Q，C，连接．当时，求的面积； (3)如图2，将线段绕点P逆时针旋转得到线段．当点D在抛物线上时，求点D的坐标． 4．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接．当的面积等于面积的倍时，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 实际问题与二次函数---图形问题 1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在EF处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)按照这样的围法，羊圈能达到的最大面积是多少？ 2．（23-24九年级上·江西·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B点A在点B的左侧），与y轴交于点D，已知点C的坐标为，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．    (1)在图1中作以为斜边的等腰直角三角形． (2)如图2，，E是抛物线上的一点，作以对角线的正方形． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点． （1）求m的值及C点坐标； （2）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q． ①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标； ②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由． 实际问题与二次函数---销售问题 1．（23-24九年级上·江西南昌·期末）某商店销售一种进价100元/件的商品，且规定售价不得超过进价的倍，经市场调查发现：该商品的每天销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表： 售价（元/件） 130 140 销售量（件/天） 140 120 (1)直接写出关于售价的函数关系式； (2)设商店销售该商品每天获得的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？ 2．（23-24九年级上·江西新余·期末）杭州亚运会期间，某网店经莒亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现该商品每周的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系：． (1)若该网点每周销售这种商品所获利润为元，求销售单价是多少元？ (2)将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，每千克核桃的售价每降低1元，则平均每天的售量可增加20千克．设每千克核桃应降价x元，则： (1)降价后，每千克核桃获利 元，平均每天可售出 千克核桃（用含x的代数式表示）； (2)该专卖店打算尽快降低这种核桃库存的同时，平均每天仍获利2880元，那么每千克核桃应降价多少元？ (3)设该商店销售这种核桃每天获利w（元），当核桃每千克降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 4．（23-24九年级上·江西九江·期末）某文具商店销售进价为元/盒的彩色铅笔，市场调查发现，若以每盒元的价格销售，平均每天销售盒，价格每提高1元，平均每天少销售2盒，设每盒彩色铅笔的销售价为x（）元，平均每天销售y盒，平均每天的销售利润为 W 元． (1)直接写出y与x之间的函数关系式：_______． (2)求W与x之间的函数关系式 (3)为稳定市场，物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于元，当每盒的销售价为多少元时，平均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 实际问题与二次函数---其他问题 1．（23-24九年级上·江西南昌·期末）图中是抛物线拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P的坐标为（3，）．    （1）求这条抛物线的解析式； （2）水面上升1m，水面宽是多少？ 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 3．（23-24九年级上·江西·期末）打水漂是孩子们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点）第一次飞起，飞行的最大高度为米，第二次从距离点，米处的处飞起．据试验，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)求水漂第一次飞越时，该抛物线的函数表达式． (2)求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式． (3)若此次水漂可以在水面上飞越次，且第一次击打水面时距离河岸米，问水漂能否飞过米宽的河面． 4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处． 小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：）、运动距离（单位：）随运动时间（单位：）变化的数据，整理得下表． 运动时间 0 1 2 3 4 运动速度 10 9.5 9 8.5 8 运动距离 0 9.75 19 27.75 36 小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系． (1)直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） (2)当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度； (3)若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 专题02 二次函数 二次函数的定义与图像 1．（23-24九年级上·江西南昌·期末）关于x的函数是二次函数的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：关于的函数是二次函数的条件是，即， 故选：D． 2．（23-24九年级上·江西上饶·期末）已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】由一次函数的图象可得：<0, c>0，所以二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴=>0,与y轴的交点在正半轴，符合题意的只有A.故选A. 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）一次函数y＝ax+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+x+c的图象可能大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵一次函数y=ax+c的图象经过一、三、四象限， ∴a＞0，c＜0， 故二次函数y=ax2+x+c的图象开口向上，对称轴在y轴左边，交y轴于负半轴， 故选C． 4．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：如图，设直线AB交y轴于点E， ∵直线与二次函数交于A、B， ∴当时， ，得， ∴， ∴, ∵， ∴CD=4， 由二次函数的对称性可得CE=DE=2， ∴D（2，2）， 将点D的坐标代入，得8a=2， 解得a=， 故选：B． 二次函数的增减性 1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“<”或“>”或“=”） 【答案】 【详解】解：的对称轴为y轴， ∵， ∴开口向上，当时， y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵二次函数的图象经过两点，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江西南昌·期末）点，是抛物线上的两点，则 ．（填，或） 【答案】< 【详解】解：∵抛物线 ， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=2， ∴当x>2时，y随x的增大而增大， ∵点A（1，m）关于对称轴的对称点为（3，m），且3<4， ∴m<n， 故答案为：<． 4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）若、是抛物线上两点，当时，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴是直线， ∵，则说明数轴上到2的距离比到2的距离大， 当时，图象开口向上，图象上横坐标是的点比横坐标是的点离对称轴远， ∴； 则C、D正确，A、B不确定； 当时，图象开口向下，图象上横坐标是的点比横坐标是的点离对称轴远，故，则D正确，C错误，A、B不确定， 故选：D． 求抛物线的顶点坐标 1．（23-24九年级上·江西九江·期末）二次函数 的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴二次函数 的顶点坐标是 故选：C 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】（1，0） 【详解】抛物线的顶点坐标是 故答案为: 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知二次函数y=a(x+3)2﹣b(a≠0)有最大值1，则该函数图象的顶点坐标为 ． 【答案】(﹣3，1) 【详解】解：∵二次函数y=a(x+3)2﹣b(a≠0)有最大值1， ∴﹣b=1， 根据二次函数的顶点式方程y=a(x+3)2﹣b(a≠0)知，该函数的顶点坐标是：(﹣3，﹣b)， ∴该函数图象的顶点坐标为(﹣3，1)． 故答案为：(﹣3，1)． 二次函数的平移 1．（23-24九年级上·江西南昌·期末）若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后，新图象的顶点坐标是． ∴所得抛物线的表达式为． 故选B． 2．（23-24九年级上·江西·期末）将抛物线向下平移3个单位长度，所得抛物线解析式为 【答案】 【详解】根据题意，得所得抛物线解析式为， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江西新余·期末）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ． 【答案】 【详解】∵将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度， ∴平移后的抛物线解析式是=， 故答案为： 二次函数解析式与转换应用 1．（23-24九年级上·江西上饶·期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．与x轴有两个交点 D．顶点坐标是 【答案】D 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴顶点坐标为，函数有最小值1， ∴方程无解， ∴二次函数与x轴没有交点， ∴四个选项中只有D选项说法正确，符合题意， 故选：D． 2．（23-24九年级上·江西九江·期末）二次函数的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴当时，取得最小值． 故答案为：． 3．(23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，点在轴上，，点的位置是，求经过点、、的抛物线的解析式． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ 点的位置是， 抛物线过原点和点、， 可设抛物线解析式为. 将，代入 得， 解得：， 此抛物线的解析式为：． 4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）．求二次函数的解析式并写出它的顶点坐标．    【答案】，顶点坐标 【详解】解：把代入中得：， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； 二次函数与坐标轴的交点 1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为是 ． 【答案】 【详解】解：抛物线其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·江西上饶·期末）若函数y＝（a+1）x2﹣2x+1的图象与x轴只有一个交点，则a为 ． 【答案】0或-1 【详解】∵函数y＝（a+1）x2﹣2x+1的图象与x轴只有一个交点 当， 即 ，此时； 当，原函数为y＝﹣2x+1与轴有一个交点，此时. 故答案为：0或-1. 3．（23-24九年级上·江西·期末）已知点在抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式． (2)直接写出抛物线与y轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， ∴ （2）解：令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为 4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知二次函数当时取最小值，且抛物线图像经过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)求抛物线与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：∵二次函数当时取最小值， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， ∵抛物线图像经过点， ∴可把代入，解得． ∴该抛物线解析式为，整理得：． （2）解：令，解得，解得或3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，． 抛物线上点的坐标 1．（23-24九年级上·江西九江·期末）已知抛物线与x轴交于点和点B（点A始终在点B的右边），与y轴交于点C，若为等腰三角形，则a的值为 ． 【答案】或或 【详解】解：∵， 解得：，， ∴，， ∵点A始终在点B的右边， ∴， 当时，， ∴， 如图，当时， ∴， 当时， ∴， 解得：， 当时， ∴，即， ∴， 解得：（舍去），， 当时， ∴， 解得：，经检验符合题意； 当时，此时，则， 此时只有， ∴， 解得：，经检验不符合题意； 综上：或或， 故答案为：或或． 2．（23-24九年级上·江西南昌·期末）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 得 解得， 所以此函数的解析式为 （2）解：把代入 得， 解得 或． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知抛物线，其中a为常数，且，将抛物线关于原点对称的抛物线记为． (1)抛物线顶点坐标为______，抛物线的解析式为______（）； (2)①求抛物线与x轴的交点坐标； ②当图象的最低点到x轴距离为3时，求a的值； (3)抛物线、抛物线合起来得到的图象记为M，当时，若点在图象M上，求m的值． 【答案】(1)， (2)①；② (3)的值为或． 【详解】（1）解：抛物线 ， ∴抛物线的顶点坐标为：； 抛物线关于原点对称的抛物线记为， 抛物线的顶点坐标为，且开口方向与抛物线相反， 抛物线的解析式为：， 故答案为：，； （2）解：①当时， ， ， 解得：，， ， 抛物线与轴的交点坐标为：， ②由题意得， 图象的最低点到轴距离为3， 抛物线开口向上，则，且， ， ； （3）解：把代入， 得：， 把代入， 得：， 若点在图象上， 即时，， 解得：（舍去）， 若点在图象上， 即时，， 解得：， 综上所述，的值为或． 二次函数各项式符号 1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知二次函数的图像如图所示，以下结论中：①；②；③；④．正确的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：由图像得：，，， ∴，故①正确； 由图像知：二次函数图像与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ∵图像对称轴为直线， ∴，故③正确； ∵图像对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∴当时函数值大于零，即，故④错误； 综上分析可知，正确的有3个， 故选：C． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，①正确， ∵ ∴即，则，②错误， 当时，， ∴，④正确， ∵，， ∴， ∴， ∴，③正确 以上①③④正确， 故选：C. 3.（23-24九年级上·江西新余·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC＝2OB则下列结论：① ；②；③；④ ，其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①观察图象可知：抛物线的开口方向向上，对称轴在y轴左侧，与y轴的交点在y轴负半轴 ∴a＞0，b＞0，c＜0， ∴abc＜0， 所以①正确； ②当x＝1时，y＝a+b+c，不能说明y的值是否大于还是小于0， 所以②错误； ③设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0）， ∵OC＝2OB，∴﹣2x2＝c， ∴， ∴B（，0） 将点B坐标代入y＝ax2+bx+c中， ， ∵ ∴ 所以③正确； ④当y＝0时，ax2+bx+c＝0， 方程的两个根为x1，x2， 根据根与系数的关系，得， 即 所以④正确． 故选：C． 4．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论，①；②：③时，随的增大而增大；④若关于的一元二次方程没有实数根，则；⑤对于任意实数，总有．其中正确的结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：由图象可知：抛物线开口向上，则，对称轴，则，， ∴，所以①正确； 抛物线对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为， 于是有，联立，解得， ∴，所以②正确； 当图象在对称轴右侧，开口向上，随的增大而增大，所以③错误； 若关于的一元二次方程没有实数根， 即：，亦即， ∴，即：，亦即：， ∵， ∴，所以④正确； 对于任意实数，总有 ， 故⑤正确．综上所述，正确的结论有：①②④⑤． 故选：C． 二次函数综合---线段长最值问题 1．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积，求抛物线平移的距离． 【答案】(1) (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 (3)抛物线向右平移的距离是4个单位 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点B的坐标为， ∵四边形是矩形， ∴点C的坐标为， ∴将点C坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，点C的纵坐标为， ∴矩形的周长 ， ∵ ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为； （3）解：∵当时，， ∴点B的坐标为， ∴点C的坐标为，点A的坐标为， 连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，如图：    ∵直线平分矩形的面积， ∴直线过点P， 由平移的性质可知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点P是的中点，Q是的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴抛物线向右平移的距离是4个单位． 2．（23-24九年级上·江西新余·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、，与y轴交于点C，顶点为点D．在线段下方的抛物线上有一动点P． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)过点P作垂直于直线，交于点Q，求的最大值； (3)在抛物线上找一点N，使的内心在x轴上，求点N的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为：；直线的表达式为：； (2)当时，的最大值为； (3)N点坐标为． 【详解】（1）设抛物线的表达式为：， 则，则，则抛物线的表达式为：； 由抛物线的表达式知，点，设直线的表达式为：， 将点A的坐标代入上式得：，解得：， 故直线的表达式为：； （2）由点A、C的坐标知，． 过点P作轴交于点H，则． 设点，则点， 则． 则， 故当时，的最大值为； （3）∵的内心在x轴上， ∴平分， ∴． 则直线的解析式为． 解方程组 得或（与点A重合，舍去） 所以N点坐标为． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上一点，其横坐标为a． (1)已知点，求抛物线的解析式． (2)若， ①如图，当点P位于第一象限时，过点P分别作于点E，轴于点N，当取得最大值时，求a的值； ②在①的条件下，连接，，判断此时的面积是否为最大，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②在①的条件下，的面积不是最大，理由见解析 【详解】（1）解：把点代入得， ∴， ∴抛物线的解析式为， （2）①若，则， ∴抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点， 设点 设直线BC的解析式为， ∴解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作y轴的平行线交直线BC于点H，可得， ∴， 由，可知 ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值 ∵，符合题意，取得最大值时，． ②在①的条件下，的面积不是最大，理由如下： 由①可知． ∵， ∴当时，的面积最大． 二次函数综合---面积最值问题 1．（23-24九年级上·江西·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式． (2)P为第三象限内抛物线上一点，的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时的坐标为 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得， 则二次函数的表达式为． （2）解：当时，， 则， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 如图，过点作轴的垂线，交于点， 则和的边上的高之和等于， 设点的坐标为，则， 所以， 则的面积， 由二次函数的性质可知，在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 此时， 所以的最大值为，此时的坐标为． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，规定：抛物线的伴随直线为．例如：抛物线的伴随直线为，即． (1)在上面规定下，抛物线的顶点坐标为 ，伴随直线为 ，抛物线与其伴随直线的交点坐标为 和 ； (2)如图，顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D． ①若，求m的值； ②如果点是直线上方抛物线上的一个动点，的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值． 【答案】(1)，，， (2)①；② 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， 根据伴随函数的定义得：， 联立抛物线和直线的解析式，可得：， 解得， ∴交点坐标为，； 故答案为，，，； （2）解：①∵抛物线解析式为， ∴其伴随直线为，即， 联立抛物线与伴随直线的解析式可得， 解得或， ∴， 在中， 令可解得或， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：舍去）或， ∴当时，m的值为； ②设直线BC的解析式为， ∵， ∴，解得， ∴直线解析式为， 过P作x轴的垂线交于点Q，如图， ∵点P的横坐标为x， ∴，， 又∵P是直线上方抛物线上的一个动点， ∴， ∴， ∴当时，△PBC的面积有最大值， ∴S取得最大值时，即， 解得． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）直线与x轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，．      (1)求点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)点在线段上运动， ①求线段的最大长度． ②连接，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【详解】（1）解：将代入 ，得， 直线解析式为 ， 当时，， ； （2）将，代入 ， ， 解得， ； （3）①， ， ， ， ， 时，有最大值； ②的面积， 面积的最大值为． 二次函数---图形存在问题 1．（23-24九年级上·江西上饶·期末）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式以及直线的解析式； (2)在抛物线上找一点P，使得x轴平分，求点P的坐标； (3)E，F分别是直线和抛物线上的动点，当以C，O，E，F为顶点，为边的四边形是平行四边形时，请求出点E的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【详解】（1）∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，即，解得，， ∴，， 令，则， ∴，设直线的解析式为， 将，代入， 得 ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）设交y轴于点Q， ∵x轴平分， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设直线表达式为， ∴将，代入得， 解得 ∴直线表达式为， 联立抛物线与直线，得， 解得， ∴； （3）以C，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形，且为边， ∴， ∵E，F分别是直线和抛物线上的动点， ∴设，则 ∴ 解得，，， 将，，代入 得，，， ∴E点的坐标为或或． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求三角形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)存在，， 【详解】（1）解：令时，代入， ∴ ． ∴． 令时，代入， ∴ ． ∴ ． ∵对称轴为直线， ∴． 设抛物线的表达式：，将代入，得 ． ∴． ∴抛物线的表达式为：． （2）如图所示， 作于点，交于． ∴，．     ∴． ∴． ∴当时， ． ∴． （3）存在，理由如下： 设． ∵，， ∴，． ∵以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴，即． ∴． ∴． ∴． ∵， ， ∴，． ∴． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知二次函数． (1)有关二次函数的图象与性质，下列结论中正确的有______．（填序号） ①二次函数的图象开口向上； ②二次函数的图象的对称轴是直线； ③二次函数的图象经过定点（0，3）和（2，3）； ④函数值y随着x的增大而减小． (2)当时，①抛物线的顶点坐标为______； ②将抛物线沿x轴翻折得到抛物线，则抛物线的表达式为______； (3)设抛物线与y轴相交于点E，过点E作直线轴，与抛物线的另一交点为F，将抛物线沿直线l翻折，得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为P，Q．是否存在实数m，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)②③ (2)①（1，2）；②； (3)存在实数m，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，m的值为1或 【详解】（1）当时，抛物线的开口向上，故①不一定正确； 抛物线的对称轴为直线，故②正确； 在中，时时，即抛物线经过定点（0，3）和（2，3），故③正确； 二次函数的值在对称轴两侧的增减性恰好相反，故④不正确； 故答案为：②③； （2）当时，， ①∵， ∴抛物线的顶点坐标为（1，2）， 故答案为：（1，2）； ②∵将抛物线沿x轴翻折得到抛物线， ∴抛物线的顶点为（1，﹣2）， ∴抛物线的表达式为， 故答案为：； （3）存在实数m，使得以点为顶点的四边形为正方形，理由如下： 如图： 在中，令得， ∴E（0，3）， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴F（2，3）， 在中，令得， ∴P（1，3﹣m）， ∵P，Q关于直线对称， ∴Q（1，3+m）， 由对称性知EF，PQ互相平分，且， ∴以点为顶点的四边形为正方形，只需， ∴， 解得或， ∴m的值为1或． 4．（23-24九年级上·江西南昌·期末）综合与探究 如图，已知点B（3，0），C（0，－3），经过B．C两点的抛物线y＝x2－bx＋c与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标； （3）已知点E在第四象限的抛物线上，过点E作EF//y轴交线段BC于点F，连结EC，若点E（2，－3），请直接写出△FEC的面积； （4）在（3）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2－2x－3；（2）点D的坐标为（1，－2）；（3）△FEC的面积为2；（4）存在，P1（0，3），P2（－2，－3），P3（6，－3）． 【详解】解：(1) 将点B（3，0），C（0，－3）代入抛物线y＝x2－bx＋c， 得， ，解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3； (2)如图： 由y＝x2－2x－3得 对称轴为x＝- = =1 ∵点A，.B关于x＝1对称， ∴连结BC与对称轴为x＝1的交点就是符合条件的点D ， 设直线BC的解析式为y＝mx＋n， 将B(3，0)，C(0，－3)代入解析式 得 ，解得， ∴y＝x－3 当x＝1时，y＝－2， ∴点D的坐标为(1，－2)； (3)如图： ∵E(2，-3)，C(0，-3) ∴CE∥x轴，且CE=2 ∵EF//y轴交线段BC于点F且:y＝x－3 当x=2时，y=-1， ∴F(2，-1) ∴EF=2， 又∵∠CEF=90° ∴= ×2×2=2； (4) 存在， 如图： ①当AB为边长，BE为边长， 如图四边形ABE P1为平行四边形 ∵对称轴为x＝1， B（3，0） ∴1×2-3=-1 ∴A(-1，0) AB=3-（-1）=4 ∴P1E=AB=4 ∵E(2，-3) ∴C P1= P1E-CE=4-2=2 ∴P1 (－2，－3) ②当AB为边长，AE为边长， ∵E P2=AB=4 ∴C P2= P2E+CE=4+2=6 ∴P2 (6，－3) ③当AB为对角线，四边形ABE P1为平行四边形 ∵四边形ABE P1为平行四边形 易得P3恰好交y轴 ∴P3(0，3) 综上所述，P1 (－2，－3)，P2 (6，－3)，P3(0，3)． 二次函数综合---其他问题 1．（23-24九年级上·江西上饶·期末）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … … … … 根据上表填空： ①抛物线与轴的交点坐标是________和________； ②抛物线经过点 ,________； ③在对称轴右侧，随增大而________； 试确定抛物线的解析式． 【答案】 （-2，0），（1，0） 8 增大 (2)y=2x2+2x−4 【详解】(1)①(−2,0)，(1,0)；②8；③增大 (2)依题意设抛物线解析式为y=a(x+2)(x−1)， 由点(0,−4)在函数图象上，代入得−4=a(0+2)(0−1)， 解得：a=2． ∴y=2(x+2)(x−1)， 即所求抛物线解析式为y=2x2+2x−4． 故答案为(−2,0)，(1,0)；8；增大; y=2x2+2x−4． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)求出抛物线的对称轴和顶点坐标； (3)若抛物线上存在一点D，使得．求出点D的坐标 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)对称轴为：直线；顶点坐标为： (3)点D的坐标为或 【详解】（1）解：将，两点代入得： ， 解得： ∴抛物线的解析式为： （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线；顶点坐标为： （3）解：∵， ∴ 由（2）得：抛物线的顶点坐标为， ∴ 令， 解得：， ∴点D的坐标为或 3．（23-24九年级上·江西九江·期末）如图1，二次函数图象交坐标轴于点A，，点P为x轴上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)过点P作轴分别交线段，抛物线于点Q，C，连接．当时，求的面积； (3)如图2，将线段绕点P逆时针旋转得到线段．当点D在抛物线上时，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：将代入，得， ， ； （2）令，则， 或， ， 设直线的解析式为， ， ， ， ， ， 轴， ，， ， ； （3）设， 如图2，过点作轴垂线交于点， ∴ ， ，， ， ， ， ，， ， ， 解得或， 或． 4．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接．当的面积等于面积的倍时，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3) ， ， ，． 【详解】（1）解：把代入中，得： ，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：过点作轴平行线交轴于，交于点，作于点，    把代入中，得：， ∴点坐标是， 设直线， 把，， 代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为 设，则， ∴ 由得：， ∴ 整理得： 解得： ∵， ∴的值为或， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或； （3）解：存在． 由，，，得， ∴， ①当点在左侧时． 在轴上取点，，延长交抛物线于点． 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得 ， 解得， ∴设直线的解析式为 ， 由得：或， ∴； ②当点在右侧时， 作关于的对称，交二次函数于点，则，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 令中，，则， 解得或， ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴ ∴在点抛物线上，即点满足条件． 故存在满足条件的点有两个，分别是 ， ， ，．    实际问题与二次函数---图形问题 1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在EF处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)按照这样的围法，羊圈能达到的最大面积是多少？ 【答案】(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为 的羊圈 (2) 【详解】（1）解：设矩形的边，则边． 根据题意，得， 化简，得， 解得，， 当时，， 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为 的羊圈； （2）解：设羊圈的面积为，则矩形的边， 根据题意，得， ∵ ∴当时，y有最大值，最大值为648． ∴当矩形的边时，羊圈能达到的最大面积是． 2．（23-24九年级上·江西·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B点A在点B的左侧），与y轴交于点D，已知点C的坐标为，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．    (1)在图1中作以为斜边的等腰直角三角形． (2)如图2，，E是抛物线上的一点，作以对角线的正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图1，即为所求作：    （2）解：如图2，正方形即为所求作：    理由：同（1）方法作的垂直平分线，交于点H，交抛物线于M，延长交于F，连接、、、， 由题意，，，则，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又，， ∴四边形是正方形， 即正方形即为所求作． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点． （1）求m的值及C点坐标； （2）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q． ①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标； ②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由． 【答案】（1）m=4；C（0，4）；（2）①P（1+，1+）或P（1-，1-）；②当t=2时，S四边形PBQC最大=16；理由见解析． 【详解】（1）将B（4，0）代入y=-x2+3x+m，解得m=4， ∴二次函数解析式为y=-x2+3x+4， 令x=0，得y=4， ∴C（0，4） （2）①如图，∵点P在抛物线上， ∴设P（a，-a2+3a+4）， 当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上， ∵B（4，0），C（0，4） ∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x， ∴a=-a2+3a+4， ∴ ∴P（1+，1+）或P（1-，1-） ②如图，设点P（t，-t2+3t+4）， 过点P作y轴的平行线l交BC于点D，交x轴于点E；过点C作l的垂线交l于点F， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴直线BC解析式为y=-x+4， ∵点D在直线BC上， ∴D（t，-t+4）， ∵PD=-t2+3t+4-（-t+4）=-t2+4t， BE+CF=4，     ∴S四边形PBQC=2S△PCB=2（S△PCD+S△PBD）= ∵0<t<4， ∴当t=2时，S四边形PBQC最大=16 实际问题与二次函数---销售问题 1．（23-24九年级上·江西南昌·期末）某商店销售一种进价100元/件的商品，且规定售价不得超过进价的倍，经市场调查发现：该商品的每天销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表： 售价（元/件） 130 140 销售量（件/天） 140 120 (1)直接写出关于售价的函数关系式； (2)设商店销售该商品每天获得的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为140时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大为4800元 【详解】（1）设y关于售价x的函数关系式为， 将、代入得， 解得， ∴y关于售价x的函数关系式为； （2）根据题意得：， ∵，， ∴当时，W有最大值，最大值为4800， 答：当销售单价定为140时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大为4800元． 2．（23-24九年级上·江西新余·期末）杭州亚运会期间，某网店经莒亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现该商品每周的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系：． (1)若该网点每周销售这种商品所获利润为元，求销售单价是多少元？ (2)将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)销售单价是元； (2)该商品销售单价定为元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是元． 【详解】（1）解：根据题意得：，整理得：， 解得：，， 又∵， ∴， 答：销售单价是元； （2）设网店每周销售该商品所获利润为元， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大，最大值为， 答：该商品销售单价定为元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是元． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，每千克核桃的售价每降低1元，则平均每天的售量可增加20千克．设每千克核桃应降价x元，则： (1)降价后，每千克核桃获利 元，平均每天可售出 千克核桃（用含x的代数式表示）； (2)该专卖店打算尽快降低这种核桃库存的同时，平均每天仍获利2880元，那么每千克核桃应降价多少元？ (3)设该商店销售这种核桃每天获利w（元），当核桃每千克降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)， (2)每千克核桃应降价11元 (3)当核桃每千克降价7元或8元时，每天的销售利润最大，最大利润为3125元 【详解】（1）解：∵每千克核桃应降价x元， ∴降价后，每千克核桃获利即元，平均每天可售出千克核桃． 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵该专卖店打算尽快降低这种核桃库存， ∴； 答：每千克核桃应降价11元； （3）解：由题意得，， ∵ ∴时，可取得最大值，最大利润（元）， 答：当核桃每千克降价7元或8元时，每天的销售利润最大，最大利润为3125元． 4．（23-24九年级上·江西九江·期末）某文具商店销售进价为元/盒的彩色铅笔，市场调查发现，若以每盒元的价格销售，平均每天销售盒，价格每提高1元，平均每天少销售2盒，设每盒彩色铅笔的销售价为x（）元，平均每天销售y盒，平均每天的销售利润为 W 元． (1)直接写出y与x之间的函数关系式：_______． (2)求W与x之间的函数关系式 (3)为稳定市场，物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于元，当每盒的销售价为多少元时，平均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)当每盒的销售价为元时，平均每天获得的利润最大，最大利润是元 【详解】（1）解：价格每提高1元，平均每天少销售2盒， ∴价格提高元，每天少销售盒， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， 故W与x之间的函数关系式为． （3）∵， ∵物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于元，且当时，w随x的增大而增大， ∴当时，， ∴当每盒的销售价为元时，平均每天获得的利润最大，最大利润是元． 实际问题与二次函数---其他问题 1．（23-24九年级上·江西南昌·期末）图中是抛物线拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P的坐标为（3，）．    （1）求这条抛物线的解析式； （2）水面上升1m，水面宽是多少？ 【答案】（1）y=﹣x2+2x；（2）2m 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， 将点O（0，0）、A（4，0）、P（3，）代入，得： 解得： ， 所以抛物线的解析式为y=﹣x2+2x； （2）当y=1时，﹣x2+2x=1，即x2﹣4x+2=0， 解得：x=2， 则水面的宽为2+﹣（2﹣）=2（m）． 答：水面宽是：2m． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 【答案】(1) (2)2或6m 【详解】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， （2）由，令， 得， 解得， 爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m， 当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)． 3．（23-24九年级上·江西·期末）打水漂是孩子们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点）第一次飞起，飞行的最大高度为米，第二次从距离点，米处的处飞起．据试验，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)求水漂第一次飞越时，该抛物线的函数表达式． (2)求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式． (3)若此次水漂可以在水面上飞越次，且第一次击打水面时距离河岸米，问水漂能否飞过米宽的河面． 【答案】(1)； (2)； (3)不能． 【详解】（1）解：由题意可得，水漂第一次飞越时，该抛物线的顶点坐标为， ∴设该抛物线的函数表达式为，把点代入得， ， 解得， ∴第一次飞越时抛物线的函数表达式为； （2）解：∵水漂第二次飞越时最大高度减少到原来最大高度的一半， ∴水漂第二次飞越时抛物线的顶点的纵坐标为， 又∵第二次飞越时抛物线与原来的抛物线形状相同， ∴可设第二次飞越时抛物线的函数表达式为，把代入得， ， 解得（不合，舍去），， ∴第二次飞越时抛物线的函数表达式为； （3）解：把代入得， ， ∴水漂不能飞过米宽的河面． 4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处． 小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：）、运动距离（单位：）随运动时间（单位：）变化的数据，整理得下表． 运动时间 0 1 2 3 4 运动速度 10 9.5 9 8.5 8 运动距离 0 9.75 19 27.75 36 小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系． (1)直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） (2)当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度； (3)若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)黑、白两球的最小距离为，大于0，黑球不会碰到白球 【详解】（1）根据黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入（0，10），（1，9.5）得， ，解得， ∴， 根据运动距离与运动时间之间成二次函数关系，设表达式为，代入（0，0），（1，9.75），（2，19）得 ，解得， ∴; （2）依题意，得， ∴， 解得，，； 当时，；当时，（舍）； 答：黑球减速后运动时的速度为． （3）设黑白两球的距离为， ， ∵，∴当时，的值最小为6， ∴黑、白两球的最小距离为，大于0，黑球不会碰到白球． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$