2024--2025学年苏科版数学八年级上册期末几何专项训练

苏科版数学八年级上期末几何专项训练 一．选择题（共3小题） 1．如图，在平面直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点O（0，0），A（﹣3，4），点B在y轴上，将菱形OABC先向下平移4个单位长度，然后在坐标平面内绕原点O逆时针旋转90°得到菱形O'A'B'C'，则点B的对应点B'的坐标为（　　） A．（4，3） B．（﹣4，0） C．（0，﹣4） D．（3，﹣4） 2．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC上的有一动点P，以DP为边作正方形DPFG．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线BC上；②在P点运动过程中，∠CPD可能为135°；③若E是DC的中点，连接EG，则EG的最小值为；④△CDP为等腰三角形时，AP的值为2或4﹣4．其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④ 3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延长线交AB于点N．以下说法正确的有（　　）个 ①EN＝FC；②AC＝AN；③EN∥BC；④∠B＝45°；⑤若S△ABC＝16cm2，则S△ABM＝8cm2 A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共7小题） 4．如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，直线CM∥AB，E是BC上的动点（端点除外），射线AE交CM于点D．在射线AE上取一点P，使得AP＝2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q．设AQ＝x，PQ＝y．当x＝y时，CD＝　 　；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为 　 　． 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（﹣2，0），点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为 　 　． 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD＝1，则AE的最大值为 　 　，最小值为 　 　． 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，2），过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO+PA的最小值为 　 　． 8．如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM、AN相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP．分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q．若AB＝4，∠PQE＝67.5°，则F到AN的距离为 　 　． 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，，AB＝4，D是AC上一点，且CD＝1，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 　 　． 10．如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，BD＝CE，连接AD，BE，tan∠BAD＝，点F、G分别在AD、BE上，连接AG，CF，若∠AGB＝2∠CFD，AG＝5，CF＝2，则线段AB的长为 　 　． 三．解答题（共20小题） 11．综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断 用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 　 　（填序号）． （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB＝AD，AC是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若BC＝m，DC＝n，∠BCD＝2θ，求AC的长（用含m，n，θ的式子表示）． （3）拓展应用 如图3，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，分别在边BC，AC上取点M，N，使四边形ABMN是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长． 12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，F、G分别为AB、DC边上的动点，连接GF，沿GF将四边形AFGD翻折至四边形EFGP，点E落在BC上，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O． （1）写出GF与AE之间的位置关系是：　 　； （2）求证：AE＝2GF； （3）连接CP，若cos∠CGP＝，GF＝3，求CE的长． 13．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和ADE中，AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°． 【初步感知】 （1）如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，延长ED交AC于点F，求CF的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由． 14．一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE．作BM⊥AC于点M，EN⊥DF于点N，如图1． （1）求证：BM＝EN； （2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转α后，延长BM交直线DF于点P． ①当α＝30°时，如图3，求证：四边形CNPM为正方形； ②当30°＜α＜60°时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明；当60°＜α＜120°时，直接写出线段MP，DP，CD的数量关系． 15．【教材呈现】华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及部分答案如下． 2．如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE＝DF． 证明：设CE与DF交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD． …… 根据上述内容，请你把上述证明过程补充完整． 【类比探究】如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．试猜想EG与FH的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展探究】如图2，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，FG⊥CE分别交AB、CD于F、G，垂足为点O．若正方形ABCD的边长为12，DE＝5，则四边形EFCG的面积为 　 　． 16．【教材呈现】人教版八年级下册数学教材第69页有这样一个问题： 如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形的外角的平分线CF于点F．求证AE＝EF． （1）【思考尝试】教材有以下提示：取AB的中点G，连接EG，请在图1中补全图形，并解答这个问题． （2）【逆向思考】小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，正方形ABCD中，点E是线段BC延长线上一动点（点E与点C不重合），△AEF是等腰直角三角形，∠AEF＝90°，AE＝EF．求证：CF平分∠DCE．请你思考并解答这个问题． （3）【拓展迁移】小华深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的问题：如图3，正方形ABCD的边长为4，E为射线BC上一动点，以AE为边作等腰Rt△AEF，∠AEF＝90°，AE＝EF，连接DF．则的最小值是 　 　（请在横线上直接写出结果） 17．教材呈现：如图是华师版八年级下册数学教材第101页的部分内容， 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边长AB、BC分别为8和15，求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和． 问题解决：如图①，过点P分别作PH1⊥AC，PH2⊥BD，分别交AC、BD于点H1、H2，设AC与BD相交于点O，连结PO，利用△PAO与△PDO的面积之和是矩形面积的，可知点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和（即PH1+PH2）为 　 　． 实践应用： （1）如图②，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，P为底边BC上的任意一点，过点P作PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别为M，N，求PM+PN的值． （2）如图③，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为EF上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边作平行四边形PMQN．DE＝5，AB＝4，直接写出▱PMQN的周长 　 　． 18．在▱ABCD中，点E是对角线AC上一点． （1）如图1，∠DAC＝90°，将△ADE沿DE翻折，使得A点的对应点F落在CD上，若AD＝3，AC＝4，求EF的长； （2）如图2，∠ADC＝45°，AD＝AC，点G是DE的中点，AF⊥DE交CD于F点，I是AC上一点，连接FI，延长FI交DE的延长线于点J．若∠J＝2∠DAG，AG＝EJ，求证：AF+FI＝2IJ； （3）如图3，∠ADC＝45°，AD＝AC，延长DE至M点使AM＝AD，∠DAM的角平分线交DE于点N，交MC延长线于点G，取CD中点F，连接GF，FM．当E在直线AC上运动时，直接写出的最大值． 19．【建立模型】课本第7页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角三角形ABC的直角顶点C：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E研究图形，不难发现：△ADC≌△CEB．（无需证明）： 【模型运用】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求B点坐标； （2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1的函数解析式为：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A顺时针或逆时针旋转45°得到l2，请任选一种情况求l2的函数表达式； （3）如图4，在平面直角坐标系，点B（6，4），过点B作AB⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P为线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣4）位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与直线y＝﹣x+6交于点A，直线y＝x+2交x轴于点B，交y轴于点D，直线y＝﹣x+6交x轴于点C． （1）求点A的坐标； （2）如图1，点P在线段AD上，点Q在线段AC上，AP＝AQ，连接CP，作QF⊥CP于点G，QF＝CP，连接BF，设线段AP的长为t，线段BF的长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，点M在线段FG上，连接BM、DM、PM，PM交x轴于点K，若DM平分∠BMG，BM＝MG，求点K的坐标． 21．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线BC的函数解析式； （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q． ①若△PQB的面积为，求点M的坐标； ②连接BM，如图2，若∠BMP＝2∠BAC，求点P的坐标． 22．如图，直线y＝kx+8交x轴于点B，交y轴于点A，点B与点C关于y轴对称，连接AC，∠ACB的正切值为2． （1）求直线AC的解析式； （2）点D在线段AC上，过点D作DE⊥x轴于点E，设点D的横坐标为t，连接BD，△ABD的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，取BD的中点F，连接AF，过点F作AF的垂线交DE于点K，连接CK，若CK＝2.5，求tan∠FAD． 23．问题情境：如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（a，b），且a和b满足a＝+﹣3；点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，连接BM． （1）求点A的坐标和菱形ABCO的边长； （2）求直线AC的解析式； 问题探究： （3）动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位长度/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒． ①求S与t之间的函数关系式； ②在点P运动过程中，当S＝3时，请求出t的值． 24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与y＝kx+2分别交x轴于点A、B，两直线交于y轴上同一点C，点D的坐标为（﹣，0），点E是AC的中点，连接OE交CD于点F． （1）求点F的坐标． （2）若∠OCB＝∠ACD，求k的值． （3）在（2）的条件下，过点F作x轴的垂线l，点M是直线BC上的动点，点N是x轴上的动点，点P是直线l上的动点，使得以B、P、M、N为顶点的四边形是菱形，求点P的坐标． 25．如图，直线l和直线l外一点P，过点P作PH⊥l于点H，任取直线l上点Q，点H关于直线PQ的对称点为点H'，称点H'为点P关于直线l的垂对点． 在平面直角坐标系xOy中， （1）已知点P（0，2），则点O（0，0），A（2，2），B（0，4）中是点P关于x轴的垂对点的是　 　； （2）已知点M（0，m），且m＞0，直线y＝﹣x+4上存在点M关于x轴的垂对点，求m的取值范围； （3）已知点N（n，2），若直线y＝x+n上存在两个点N关于x轴的垂对点，直接写出n的取值范围． 26．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点B，AB＝10． （1）如图1，求b的值； （2）如图2，经过点B的直线y＝（n+4）x+b（﹣4＜n＜0）与直线y＝nx交于点C，与x轴交于点R，CD∥OA，交AB于点D，设线段CD长为d，求d与n的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，点F在第四象限，CF交OA于点E、交OB于点S，点P在第一象限，PH⊥OA，点N在x轴上，点M在PH上，MN交PE于点G，∠EGN＝45°，PH＝EN，过点E作EQ⊥CF，交PH于点Q，连接BF、RQ，BF交x轴于点V，若C为BR中点，EQ＝EF+2＝PM，∠ERQ＝∠ABF，求点V的坐标． 27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G， （1）求证：CF＝BG； （2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF； （3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长． 28．【操作观察】 如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝8，AB＝12，AD＝13． 折叠四边形纸片ABCD，使得点C的对应点C′始终落在AD上，点B的对应点为B′，折痕与AB，CD分别交于点M，N． 【解决问题】 （1）当点C′与点A重合时，求B′M的长； （2）设直线B′C′与直线AB相交于点F，当∠AFC′＝∠ADC时，求AC′的长． 29．【问题初探】（1）如图①，BC平分∠ABE，AC⊥BC交BE的延长线于点F，AD平行于BE交EC的延长线于点D，求证：EC＝DC． 【类比探究】（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，H是边AC上一点，HG⊥CD于点G，HG与AB交于点F，点F恰好是AB的中点，求证：． 【迁移运用】（3）如图③，P是△ABC内一点，PA＝PB，D在BC边上，连接PD，∠PDB＝∠PAB，过P作PE⊥AC，垂足为E，若∠DPE+∠APB＝180°，CD＝3，AE＝6，BD＝10，直接写出线段PD的长． 30．如图，已知A（a，b），AB⊥y轴于B，且满足2a2﹣2ab+b2﹣6a+9＝0， （1）求A点坐标； （2）分别以AB，AO为边作等边三角形△ABC和△AOD，如图1，试判断线段AC和DC的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图2，若P为y轴上异于原点O和点B的一个动点，连接PA，过P点作PE⊥PA，且PE＝PA，连接AE，射线EO交AB延长线于Q，当P点在y轴上移动时，线段AQ的值是否发生变化．若不变化，求出AQ的值；若变化，请说明理由． 参考答案 题号 1 2 3 答案 B C C 一．选择题（共3小题） 1．如图，在平面直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点O（0，0），A（﹣3，4），点B在y轴上，将菱形OABC先向下平移4个单位长度，然后在坐标平面内绕原点O逆时针旋转90°得到菱形O'A'B'C'，则点B的对应点B'的坐标为（　　） A．（4，3） B．（﹣4，0） C．（0，﹣4） D．（3，﹣4） 解：∵菱形OABC的顶点O（0，0），A（﹣3，4），点B在y轴上， ∴点A（﹣3，4）与点C关于y轴对称， ∴C（3，4）， 将菱形OABC先向下平移4个单位长度，此时C（3，0）， 然后在坐标平面内绕原点O逆时针旋转90°得到菱形O'A'B'C'，如图， ∴B′（﹣4，0）， 故选：B． 2．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC上的有一动点P，以DP为边作正方形DPFG．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线BC上；②在P点运动过程中，∠CPD可能为135°；③若E是DC的中点，连接EG，则EG的最小值为；④△CDP为等腰三角形时，AP的值为2或4﹣4．其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④ 解：如图，连接CF，过点P作PH⊥PC交CD于H， ∵四边形ABCD和四边形DPFG是正方形， ∴PD＝PF，∠DPF＝∠HPC＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°， ∴∠DPH＝∠CPF，∠PCH＝∠PHC＝45°， ∴PH＝PC，∠PHD＝135°， ∴△DPH≌△FPC（SAS）， ∴∠PHD＝∠PCF＝135°， ∴∠ACB+∠PCF＝180°， ∴点B，点C，点F三点共线，故①正确； ∵∠CPD＝∠CAD+∠ADP，∠CAD＝45°，∠CPD＝135°， ∴∠ADP＝90°， 则点P与点C重合， 此时∠CPD不存在，故②错误； 如图，取AD的中点N，连接PN， ∵点N是AD的中点，点E是CD中点， ∴AN＝DE＝DN＝2， ∵∠ADC＝∠PDG＝90°， ∴∠ADP＝∠GDE， 又∵DP＝DG， ∴△DPN≌△DGE（SAS）， ∴EG＝PN， ∵点P是线段AC上一点， ∴当NP⊥AC时，NP有最小值为， ∴EG有最小值为，故③正确； ∵AD＝CD＝4， ∴AC＝AD＝4， 当点P是AC中点时，AP＝PD＝PC＝2，则△PCD是等腰三角形， 当CP＝CD＝4时，△PCD是等腰三角形， ∴AP＝4﹣4， 当点P是AC起点A的时候，AP＝0，△PCD是等腰三角形， 故④不正确， 故选：C． 3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延长线交AB于点N．以下说法正确的有（　　）个 ①EN＝FC；②AC＝AN；③EN∥BC；④∠B＝45°；⑤若S△ABC＝16cm2，则S△ABM＝8cm2 A．2 B．3 C．4 D．5 解：如图，连接FN， ∵CN⊥AF， ∴∠AMC＝∠AMN＝90°， ∵∠BAC的平分线AF交CD于E， ∴∠DAE＝∠CAE， 在△AMN和△AMC中， ， ∴△AMN≌△AMC（ASA）， ∴AC＝AN，故②正确； ∵△AMN≌△AMC， ∴CM＝NM， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠AED+∠DAE＝90°，∠CFE+∠CAE＝90°， ∵∠BAC的平分线AF交CD于E， ∴∠DAE＝∠CAE， ∴∠AED＝∠CFE， 又∵∠AED＝∠CEF， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF， ∵CM⊥AF， ∴EM＝FM， ∴四边形ENFC是菱形， ∴EN＝FC，EN∥BC，故①③正确； 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∵AC≠BC， ∴∠B≠45°，故④错误； ∵四边形ENFC是菱形， ∴CM＝MN， ∴S△ACM＝S△ANM，S△BCM＝S△BMN， ∴S△ANM+S△BMN＝S△ACM+S△BCM＝S△ABC， ∴S△ABM＝S△ABC， ∴S△ABC＝16cm2，则S△ABM＝8cm2．故⑤正确． 综上所述：①②③⑤，共4个． 故选C． 二．填空题（共7小题） 4．如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，直线CM∥AB，E是BC上的动点（端点除外），射线AE交CM于点D．在射线AE上取一点P，使得AP＝2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q．设AQ＝x，PQ＝y．当x＝y时，CD＝　2　；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为 　　． 解：∵CM∥AB，PQ∥AB， ∴CD∥PQ， ∴△APQ∽△ADC， ∴，即， ∵x＝y， ∴CD＝2； ∵△APQ∽△ADC， ∴，即， 整理得：， 设DE＝t， ∵AP＝2ED， ∴AP＝2t， ∵CM∥AB， ∴△CDE∽△BAE， ∴，即， 整理得：， ∴， ∵△APQ∽△ADC， ∴，即， 整理得：， 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（﹣2，0），点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为 　（3，10）　． 解：∵四边形ABCD是正方形，边AB在x轴上， ∴AD＝AB＝CD＝CB，AD⊥x轴，CD⊥y轴， 由折叠得FB＝CB，FE＝CE， 设CD交y轴于点G，AD＝AB＝CB＝CD＝m，则BF＝OG＝m， ∵A（﹣2，0），F（0，6）， ∴OA＝GD＝2，OF＝6， ∴OB＝m﹣2， ∵∠BOF＝∠EGF＝90°， ∴OB2+OF2＝BF2， ∴（m﹣2）2+62＝m2， 解得m＝10， ∴AD＝OG＝CD＝10， ∴FG＝10﹣6＝4，FE＝CE＝10﹣2﹣GE＝8﹣GE， ∵GE2+FG2＝FE2， ∴GE2+42＝（8﹣GE）2， 解得GE＝3， ∴E（3，10）， 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD＝1，则AE的最大值为 　2　，最小值为 　2　． 解：∵BE⊥AE， ∴∠BEA＝90°， ∴点E是在以AB为直径的圆上运动， ∵CD＝1，且CD是绕点C旋转， ∴点D是在以C为圆心，以1为半径的圆上运动， ∵AB＝AC＝3， ∴当cos∠BAE最大时，AE最大，当cos∠BAE最小时，AE最小． ①如图，当AE与圆C相切于点D，且D在△ABC内部时，∠BAE最小，AE最大， ∵∠ADC＝∠CDE＝90°， ∴AD＝＝2， ∵， ∴∠CEA＝∠CBA＝45°， ∴DE＝CD＝1， 此时AE＝2+1，即AE的最大值为2+1， ②如图，当AE与圆C相切于点D，且D在△ABC外部时，∠BAE最大，AE最小， 同理可得AD＝2，DE＝1， 此时AE＝2﹣1，即AE的最小值为2﹣1， 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，2），过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO+PA的最小值为 　5　． 解：取点O'（0，4），连接O'P，O'A，如图， ∵B（0，2），过点B作y轴的垂线l， ∴点O'（0，4）与点O（0，0）关于直线l对称， ∴PO'＝PO， ∴PO+PA＝PO'+PA≥O'A， 即PO+PA的最小值为O'A的长， 在Rt△O'AO中， ∵OA＝3，OO'＝4， ∴由勾股定理，得O'A＝＝＝5， ∴PO+PA的最小值为5． 8．如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM、AN相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP．分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q．若AB＝4，∠PQE＝67.5°，则F到AN的距离为 　　． 解：如图，过F作FH⊥AC于H， 由作图可得：∠BAP＝∠CAP，DE⊥AB，， ∵∠PQE＝67.5°， ∴∠AQF＝67.5°， ∴∠BAP＝∠CAP＝90°﹣67.5°＝22.5°， ∴∠FAH＝45°， ∴， ∴F到AN的距离为； 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，，AB＝4，D是AC上一点，且CD＝1，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 　2　． 解：根据题意可知点F的运动轨迹为以D为圆心，CD长为半径的圆， 由点F的运动轨迹可知当B、F、D三点共线时，BF的值最小，如图： ∴CD＝DF＝1， 在Rt△ABC中， ∴BC＝＝＝2． 设BF＝x，则BD＝BF+DF＝x+1， 在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2，即（x+1）2＝（2）2+12， ∴x1＝2，x2＝﹣4（舍去）． 故BF的最小值为2． 10．如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，BD＝CE，连接AD，BE，tan∠BAD＝，点F、G分别在AD、BE上，连接AG，CF，若∠AGB＝2∠CFD，AG＝5，CF＝2，则线段AB的长为 　　． 解：在AD上截AH＝BG，连接CH，延长AD至I使HI＝HC，分别过B、C作CJ⊥AD于J． ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ABD＝∠BCE＝∠BAC． 又∵BD＝CE， ∴△ABD≌△BCE（SAS）． ∴∠BAD＝∠CBE． ∴∠BAC﹣∠BAD＝∠ABC﹣∠CBE，即∠HAC＝∠HBA． 又∵AH＝BG，AB＝AC， ∴△AHC≌△BGA（SAS）． ∴CH＝AG＝5，∠AHC＝∠AGB＝2∠CFD． ∵HI＝HC， ∴∠I＝∠HCI． ∵∠AHC为三角形HIC的外角， ∴∠AHC＝∠I+∠HCI＝2∠I． ∴∠I＝∠CFD． ∴CI＝CF＝2． ∵∠I＝∠CFD＝∠HCI， ∴△HIC∽△CFI． ∴，得FI＝＝＝4． ∵CF＝CI，CJ⊥AI， ∴FJ＝FI＝＝2． ∴CJ＝＝＝4． 以下求sin∠DAC： 如图2，把△ABC和线段AD从原图中分离出来． 记AB中点M，连接CM交AD于P；过P作PN⊥AC于N． ∵M为AB中点，且AC＝BC， ∴CM⊥AB． 根据tan∠BAD＝， 设PM＝，AM＝5，则AC＝AB＝10． 在Rt△AMP和Rt△AMC中由勾股定理分别得： AP＝＝＝2； CM＝＝＝5． ∴CP＝CM﹣PM＝5﹣＝4． 在Rt△ANP和Rt△CNP中由勾股定理得： AP2﹣AN2＝CP2﹣CN2，即：28﹣AN2＝48﹣CN2， AC＝AN+CN，即AN+CN＝10， 联立两方程，解得：AN＝4，CN＝6． ∴PN＝＝2． ∴sin∠DAC＝＝． 综上：AB＝AC＝＝＝． 三．解答题（共20小题） 11．综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断 用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 　②④　（填序号）． （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB＝AD，AC是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若BC＝m，DC＝n，∠BCD＝2θ，求AC的长（用含m，n，θ的式子表示）． （3）拓展应用 如图3，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，分别在边BC，AC上取点M，N，使四边形ABMN是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长． 解：（1）观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图②和图④中存在对角互补且邻边相等， 故图②和图④中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：②④； （2）①∠ACD＝∠ACB， 理由：延长CB至点E，使BE＝DC，连接AE， ∵四边形ABCD是邻等对补四边形， ∴∠ABC+∠D＝180°， ∵∠ABC+∠ABE＝180°， ∴∠ABE＝∠D， ∵AB＝AD， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴∠E＝∠ACD，AE＝AC， ∴∠E＝∠ACB， ∴∠ACD＝∠ACB； ②过A作AF⊥EC于F， ∵AE＝AC， ∴CF＝CE＝（BC+BE）＝（BC+DC）＝， ∵∠BCD＝2θ， ∴∠ACD＝∠ACB＝θ， 在Rt△AFC中，cosθ＝， ∴AC＝＝， AC的长为； （3）∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC＝＝5， ∵四边形ABMN是邻等对补四边形， ∴∠ANM+∠B＝180°， ∴∠ANM＝90°， 当AB＝BM时， 方法一：如图，连接AM，过N作NH⊥BC于H， ∴AM2＝AB2+BM2＝18， 在Rt△AMN中，MN2＝AM2﹣AN2＝18﹣AN2， 在Rt△CMN中，MN2＝CM2﹣CN2＝（4﹣3）2﹣（5﹣AN）2， 18﹣AN2＝（4﹣3）2﹣（5﹣AN）2， 解得AN＝4.2， ∴CN＝0.8， ∵∠NHC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C， ∴△NHC∽△ABC， ∴， 即， ∴NH＝，CH＝， ∴BH＝， ∴BN＝＝， 方法二：∵∠ANM＝90°， ∠C＝∠C， ∴△CNM∽△CBA， ∴， 即， ∴NM＝，CN＝， ∴AN＝5﹣＝， 根据（2）的结论， 则BN＝＝； 当AN＝AB时，如图，连接AM， ∵AM＝AM， ∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL）， ∴BM＝NM，故不符合题意，舍去； 当AN＝MN时， 方法一：连接AM，过N作NH⊥BC于H， ∵∠MNC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C， ∴△CMN∽△CAB， 即， 即， 解得CN＝， ∵∠NHC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C， ∴△NHC∽△ABC， ∴， 即， ∴NH＝，CH＝， ∴BH＝， ∴BN＝＝， 方法二：设AN＝MN＝x， 则CN＝5﹣x， ∴， ∴x＝， ∴CM＝×＝， ∴BM＝4﹣＝， 根据（2）的结论， 则BN＝＝； 当BM＝MN时，如图，连接AM， ∵AM＝AM， ∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL）， ∴AN＝AB，故不符合题意，舍去； 综上，BN的长为或． 12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，F、G分别为AB、DC边上的动点，连接GF，沿GF将四边形AFGD翻折至四边形EFGP，点E落在BC上，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O． （1）写出GF与AE之间的位置关系是：　GF⊥AE　； （2）求证：AE＝2GF； （3）连接CP，若cos∠CGP＝，GF＝3，求CE的长． （1）解：由折叠的性质得：∠AOF＝∠EOF， ∵∠AOF+∠EOF＝180°， ∴∠AOF＝∠EOF＝90°， ∴GF⊥AE， 故答案为：GF⊥AE； （2）证明：过G作GM⊥AB于M，如图1所示： 则∠FMG＝90°，四边形ADGM是矩形， ∴AD＝GM，∠MFG+∠MGF＝90°， 由（1）得：GF⊥AE， ∴∠MFG+∠FAO＝90°， ∴∠BAE＝∠MGF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°＝∠FMG， ∴△ABE∽△GMF， ∴＝＝＝＝2， ∴AE＝2GF； （3）解：过P作PK⊥BC，交BC的延长线于K，如图2所示： 由折叠的性质得：AF＝EF，∠FEP＝∠FAD＝∠D＝∠EPG＝90°， ∴∠CGP+∠GHP＝90°， ∵∠PEC+∠EHC＝90°，∠GHP＝∠EHC， ∴∠PEC＝∠CGP， ∵∠BFE+∠BFE＝∠BEF+∠PEC＝90°， ∴∠BFE＝∠PEC＝∠CGP， ∵cos∠CGP＝， ∴cos∠BFE＝＝， 设BF＝4x，则AF＝EF＝5x， ∴BE＝＝＝3x， ∴AB＝AF+BF＝9x， ∵AE＝2GF，GF＝3， ∴AE＝6， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2， 即（9x）2+（3x）2＝（6）2， 解得：x＝2或x＝﹣2（舍去）， ∴AB＝9x＝18，BE＝3x＝6， ∵AB＝2BC， ∴BC＝9， ∴CE＝BC﹣BE＝9﹣6＝3． 13．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和ADE中，AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°． 【初步感知】 （1）如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，延长ED交AC于点F，求CF的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由． 解：（1）∵AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴△ADE≌△ABC（SAS），AC＝AE＝＝5， ∴∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC 即∠CAE＝∠BAD， ∵＝＝1， ∴△ADB∽△AEC， ∴＝， ∵AB＝3，AC＝5， ∴＝； （2）连接CE，延长BM交CE于点Q，连接AQ交EF于P，延长EF交BC于N，如图： 同（1）得△ADB∽△AEC， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵BM是中线， ∴BM＝AM＝CM＝AC＝， ∴∠MBC＝∠MCB， ∵∠ABD+∠MBC＝90°， ∴∠ACE+∠MCB＝90°，即∠BCE＝90°， ∴AB∥CE， ∴∠BAM＝∠QCM，∠ABM＝∠CQM， 又AM＝CM， ∴△BAM≌△QCM（AAS）， ∴BM＝QM， ∴四边形ABCQ是平行四边形， ∵∠ABC＝90° ∴四边形ABCQ矩形， ∴AB＝CQ＝3，BC＝AQ＝4，∠AQC＝90°，PQ∥CN， ∴EQ＝＝＝3， ∴EQ＝CQ， ∴PQ是△CEN的中位线， ∴PQ＝CN， 设PQ＝x，则CN＝2x，AP＝4﹣x， ∵∠EPQ＝∠APD，∠EQP＝90°＝∠ADP，EQ＝AD＝3， ∴△EQP≌△ADP（AAS）， ∴EP＝AP＝4﹣x， ∵EP2＝PQ2+EQ2， ∴（4﹣x）2＝x2+32， 解得：x＝， ∴AP＝4﹣x＝，CN＝2x＝， ∵PQ∥CN， ∴△APF∽△CNF， ∴＝， ∴＝＝， ∵AC＝5， ∴＝， ∴CF＝； 方法2： ∵BM是Rt△ABC斜边AC上的中线， ∴AM＝BM＝CM＝AC＝， ∴∠ABM＝∠BAM， ∵AB＝AD， ∴∠ABM＝∠ADB， ∴∠BAM＝∠ADB， ∵∠ABM＝∠DBA， ∴△ABM∽△DBA， ∴＝，即＝， ∴BD＝， ∴DM＝BD﹣BM＝﹣＝， ∵∠EAD＝∠CAB＝∠ABD＝∠ADB， ∴DM∥AE， ∴△FDM∽△FEA， ∴＝，即＝， 解得FM＝， ∴CF＝CM﹣FM＝﹣＝； （3）C，D，E三点能构成直角三角形，理由如下： ①当AD在AC上时，DE⊥AC，此时△CDE是直角三角形，如图， ∴S△CDE＝CD•DE＝×（5﹣3）×4＝4； ②当AD在CA的延长线上时，DE⊥AC，此时△CDE是直角三角形，如图， ∴S△CDE＝CD•DE＝×（5+3）×4＝16； ③当DE⊥EC时，△CDE是直角三角形，过点A作AQ⊥EC于点Q，如图， ∵AQ⊥EC，DE⊥EC，DE⊥AD， ∴四边形ADEQ是矩形， ∴AD＝EQ＝3，AQ＝DE＝4， ∵AE＝AC＝5， ∴EQ＝CQ＝CE， ∴CE＝3， ∴CE＝6， ∴S△CDE＝AQ•CE＝×4×6＝12； ④当DC⊥EC时，△CDE是直角三角形，过点A作AQ⊥EC于点Q，交DE于点N，如图， ∵DC⊥EC，AQ⊥EC， ∴AQ∥DC， ∵AC＝AE，AQ⊥EC， ∴EQ＝CQ， ∴NQ是△CDE的中位线， ∴ND＝NE＝DE＝2，CD＝2NQ， ∵∠AND＝∠ENQ，∠ADN＝∠EQN＝90°， ∴∠DAN＝∠QEN， ∴tan∠DAN＝tan∠QEN， ∴＝， ∴＝， ∴NQ＝EQ， ∵NQ2+EQ2＝NE2， ∴（EQ）2+EQ2＝22， 解得EQ＝， ∴CE＝2EQ＝，NQ＝EQ＝， ∴CD＝2NQ＝， ∴S△CDE＝CD•CE＝××＝． 综上所述，直角三角形CDE的面积为4或16或12或． 14．一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE．作BM⊥AC于点M，EN⊥DF于点N，如图1． （1）求证：BM＝EN； （2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转α后，延长BM交直线DF于点P． ①当α＝30°时，如图3，求证：四边形CNPM为正方形； ②当30°＜α＜60°时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明；当60°＜α＜120°时，直接写出线段MP，DP，CD的数量关系． （1）证明：设AC＝DE＝a， ∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°， ∴∠A＝∠C＝45°， ∴AB＝BC， ∵BM⊥AC， ∴， ∵∠EDF＝30°，EN⊥DF， ∴， ∴BM＝EN； （2）①证明：∵∠D＝30°，CN⊥DF， ∴∠CND＝90°，∠DCN＝90°﹣30°＝60°， ∵α＝∠ACD＝30°， ∴∠ACN＝90°， ∵BM⊥AC， ∴∠PMC＝∠BMC＝90°， ∴四边形PMCN为矩形， ∵BM＝EN，即BM＝CN， 而BM＝CM， ∴CM＝CN， ∴四边形PMCN是正方形； ②解：当30°＜α＜60°时，线段MP，DP，CD的数量关系为＝；当60°＜α＜120°时，线段MP，DP，CD的数量关系为＝．理由如下： 如图1，当30°＜α＜60°时，连接CP， 由（1）可得：CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°， ∵CP＝CP， ∴Rt△PMC≌△RtPNC（HL）， ∴PM＝PN， ∴MP+DP＝PN+DP＝DN， ∵∠D＝30°， ∴cosD＝＝＝cos30°＝， ∴＝； 如图2，当60°＜α＜120°时，连接CP， 由（1）可得：CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°， ∵CP＝CP， ∴Rt△PMC≌Rt△PNC（HL）， ∴PM＝PN， ∴DN＝PN﹣DP＝MP﹣DP， ∵∠CDF＝30°， ∴cos∠CDF＝＝＝cos30°＝， ∴＝， 综上，当30°＜α＜60°时，线段MP，DP，CD的数量关系为＝；当60°＜α＜120°时，线段MP，DP，CD的数量关系为＝． 15．【教材呈现】华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及部分答案如下． 2．如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE＝DF． 证明：设CE与DF交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD． …… 根据上述内容，请你把上述证明过程补充完整． 【类比探究】如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．试猜想EG与FH的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展探究】如图2，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，FG⊥CE分别交AB、CD于F、G，垂足为点O．若正方形ABCD的边长为12，DE＝5，则四边形EFCG的面积为 　　． 【教材呈现】证明：设CE与DF交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD， ∴∠BCE+∠DCE＝90°， ∵CE⊥DF， ∴∠COD＝90°， ∴∠CDF+∠DCE＝90°， ∴∠CDF＝∠BCE， ∴△CBE≌△DFC（ASA）， ∴CE＝DF； 【类比探究】解：EG＝FH，证明如下： 如图，过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形， ∴AM＝HF，AN＝EG， 在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°， ∵EG⊥FH，AN∥EG，AM∥HF， ∴∠NAM＝90°， ∴∠BAM＝∠DAN， 在△ABM和△ADN中， ， ∴△ABM≌△ADN（ASA）， ∴AM＝AN， 即EG＝FH； 【拓展探究】解：∵FG⊥CE， 由类比探究知FG＝CE， ∵正方形ABCD的边长为12，DE＝5， ∴∠D＝90°， ∴， 则S四边形EFCG＝S△FCE+S△GCE＝＝＝＝＝． 16．【教材呈现】人教版八年级下册数学教材第69页有这样一个问题： 如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形的外角的平分线CF于点F．求证AE＝EF． （1）【思考尝试】教材有以下提示：取AB的中点G，连接EG，请在图1中补全图形，并解答这个问题． （2）【逆向思考】小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，正方形ABCD中，点E是线段BC延长线上一动点（点E与点C不重合），△AEF是等腰直角三角形，∠AEF＝90°，AE＝EF．求证：CF平分∠DCE．请你思考并解答这个问题． （3）【拓展迁移】小华深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的问题：如图3，正方形ABCD的边长为4，E为射线BC上一动点，以AE为边作等腰Rt△AEF，∠AEF＝90°，AE＝EF，连接DF．则的最小值是 　　（请在横线上直接写出结果） （1）证明：取AB的中点G，连接EG，如图1， ∵G、E分别为AB、BC的中点， ∴AG＝BG＝BE＝CE， ∴∠BGE＝45°， ∴∠AGE＝135°， ∵CF平分∠DCP， ∴∠DCF＝45°， ∴∠ECF＝135°， ∴∠AGE＝∠ECF， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF＝90°， ∴∠AEB+∠FEC＝90°， ∵∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠FEC＝∠BAE， ∴△AGE≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF； （2）证明：过点F作FH⊥BC交BC延长线于点H，如图2， 则∠FHE＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠DCB＝∠DCH＝90°，AB＝BC， ∵AE＝EF，∠AEF＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠1＝∠3， ∵∠FHE＝∠ABE＝90°，∠3＝∠2，AE＝EF， ∴△ABE≌△EHF（AAS）， ∴AB＝EH，BE＝FH， ∴BE＝BC+CE＝FH，CH＝EH+CE＝BC+CE， ∴BE＝FH＝CH， ∴△CHF是等腰直角三角形， ∴∠FCH＝45°， ∴∠DCF＝∠DCH﹣∠FCH＝90°﹣45°＝45°； ∴CF平分∠DCE． （3）解：作DG⊥CF，交BC的延长线于G，交CF于O，连接AG， 由（2）知，∠DCF＝45°， ∴∠CDG＝45°， ∴△DCG是等腰直角三角形， ∴DC＝CG＝4， ∴点D与G关于CF对称， ∴DF＝FG， ∴AF+DF＝AF+FG≥AG， 当A，F，G三点共线时，AF+DF最小，最小值为AG的长， ∵AB＝4， ∴BG＝8， 由勾股定理得， ∵在Rt△AEF中，AE2+EF2＝AF2， ∴， ∴AE+DF＝（AE+DF）＝（AF+DF）， ∴AE+DF的最小值为AG＝×4＝2， 则AE+DF的最小值是2， 故答案为：2． 17．教材呈现：如图是华师版八年级下册数学教材第101页的部分内容， 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边长AB、BC分别为8和15，求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和． 问题解决：如图①，过点P分别作PH1⊥AC，PH2⊥BD，分别交AC、BD于点H1、H2，设AC与BD相交于点O，连结PO，利用△PAO与△PDO的面积之和是矩形面积的，可知点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和（即PH1+PH2）为 　　． 实践应用： （1）如图②，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，P为底边BC上的任意一点，过点P作PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别为M，N，求PM+PN的值． （2）如图③，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为EF上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边作平行四边形PMQN．DE＝5，AB＝4，直接写出▱PMQN的周长 　8　． 问题解决：解：∵AB＝8，BC＝15， ∴AC＝＝＝17， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD＝17，AO＝CO＝，BO＝DO＝，S△APO+S△PDO＝S△AOD， ∴×AO×PH1+×BO×PH2＝×AB×BC， ∴17（PH1+PH2）＝8×15， ∴PH1+PH2＝， 实践应用：（1）如图②，过点A作AH⊥BC于H， ∵AB＝AC＝13，BC＝10， ∴BH＝CH＝5， ∴AH＝＝＝12， ∵S△ABC＝BC•AH＝AB•PM+AC•PN， ∴×13×PM+×13×PN＝×10×12， ∴PM+PN＝； （2）如图③，连接BP，过点E作EH⊥BC于H， ∵∠A＝∠ABC＝90°， ∴四边形ABHE是矩形， ∴AB＝EH＝4， ∵将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合， ∴BE＝DE＝5，∠DEF＝∠BEF， ∴AE＝＝＝3， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠BFE， ∴∠BEF＝∠BFE， ∴BE＝FB＝5， ∵PM⊥BE，PN⊥BF，S△BEF＝S△BEP+S△BPF， ∴BE•PM+BF•PN＝×EH×BF， ∴PM+PN＝EH＝4， ∴▱PMQN的周长＝2（PM+PN）＝8， 18．在▱ABCD中，点E是对角线AC上一点． （1）如图1，∠DAC＝90°，将△ADE沿DE翻折，使得A点的对应点F落在CD上，若AD＝3，AC＝4，求EF的长； （2）如图2，∠ADC＝45°，AD＝AC，点G是DE的中点，AF⊥DE交CD于F点，I是AC上一点，连接FI，延长FI交DE的延长线于点J．若∠J＝2∠DAG，AG＝EJ，求证：AF+FI＝2IJ； （3）如图3，∠ADC＝45°，AD＝AC，延长DE至M点使AM＝AD，∠DAM的角平分线交DE于点N，交MC延长线于点G，取CD中点F，连接GF，FM．当E在直线AC上运动时，直接写出的最大值． （1）解：∵AD＝3，AC＝4，∠DAC＝90°， ∴， 由折叠性质得DF＝AD＝3，EF＝AE， 设EF＝AE＝x， 在Rt△EFC中，CE＝AC﹣AE＝4﹣x，CF＝CD﹣DF＝2， 由勾股定理得x2+22＝（4﹣x）2， 解得， ∴． （2）证明：∵∠ADC＝45°，AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD＝45°，则∠DAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∵点G是DE的中点， ∴， ∴∠ADG＝∠DAG，设∠ADG＝∠DAG＝α， ∴∠AGE＝∠ADG+∠DAG＝2∠DAG＝2α， 又∵∠J＝2∠DAG，AG＝EJ， ∴∠AGE＝∠J＝2α，GE＝EJ， 又∵∠AEG＝∠IEJ， ∴△AEG≌△IEJ（ASA），AG∥FJ， ∴AG＝IJ，则DE＝2AG＝2IJ， ∵AF⊥DE，∠DAC＝90°， ∴∠FAC+∠AED＝∠ADE+∠AED＝90°， ∴∠ADE＝∠FAC＝α， 在DE截取DH＝AF，连接AH， 在△ADH和△CAF中， ， ∴△ADH≌△CAF（SAS）， ∴AH＝CF，∠DAH＝∠ACF＝45°， ∵∠HAE＝∠DAC﹣∠DAH＝90°﹣45°＝45°， ∴∠HAE＝∠FCI＝45°， ∵AG∥FJ，∠GAE＝90°﹣∠DAG＝90°﹣α， ∴∠CIF＝∠GAE＝90°﹣α， ∵∠AEH＝90°﹣∠ADG＝90°﹣α， ∴∠AEH＝∠CIF， 在△AHE和△CFI中， ， ∴△AHE≌△CFI（AAS）， ∴HE＝FI， ∵DH+HE＝DE， ∴AF+FI＝2IJ； （3）如图，连接AF、DG， ∵AM＝AD，∠DAM的角平分线交DE于点N，交MC延长线于点G， ∴AG⊥DM，DN＝MN， ∴AG垂直平分DM，则DG＝GM， ∵∠ADC＝45°，AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD＝45°，则∠DAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°， 设∠CAM＝2β， ∵AM＝AD＝AC， ∴∠AMD＝（180°﹣∠DAM）＝45°﹣β，， ∴∠CMD＝∠AMC﹣∠AMD＝（90°﹣β）﹣（45°﹣β）＝45°， 又∵DG＝GM， ∴∠GDM＝∠GMD＝45°， 则∠DGC＝180°﹣2×45°＝90°， 设AD＝AC＝2a，则AM＝2a， ∵F为CD的中点，∠DAC＝90°，∠DGC＝90°， ∴， ∵E在直线AC上运动时，， 当点F、A、M共线时取等号，即点M在点M'处时，FM有最大值为（+2）a， 的最大值为． 19．【建立模型】课本第7页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角三角形ABC的直角顶点C：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E研究图形，不难发现：△ADC≌△CEB．（无需证明）： 【模型运用】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求B点坐标； （2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1的函数解析式为：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A顺时针或逆时针旋转45°得到l2，请任选一种情况求l2的函数表达式； （3）如图4，在平面直角坐标系，点B（6，4），过点B作AB⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P为线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣4）位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由． 解：（1）如图2，过点B作BE⊥y轴于E， ∵点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0）， ∴OC＝2，OA＝4， ∵等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC， 又∵BE⊥y轴，y轴⊥x轴， ∴∠BEC＝∠AOC＝∠ACB＝90°， ∴∠BCE+∠ACO＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ACO＝∠CBE， 在△CEB和△AOC中， ， ∴△CEB≌△AOC（AAS）， ∴BE＝OC＝2，CE＝AO＝4， ∴OE＝CE﹣OC＝4﹣2＝2， ∴B（﹣2，2）； （2）如图3，过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D， ∵∠CAB＝45°， ∴BC＝AB， 由（1）的模型可得△BCD≌△ABO， ∵y＝2x+4与x轴的交点B（﹣2，0），A（0，4）， ∴CD＝2，BD＝4， ∴C（﹣6，2）， 设直线l2的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝x+4； （3）点A，P，Q能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下： 当Q点AB下方时，如图4，过Q点作EF∥x轴交y轴于点E，交BC于点F， 由（1）的模型可得，△AEQ≌△QFP， ∴AE＝FQ，EQ＝PF， ∵B（6，4）， ∴OA＝4，CO＝6， ∵点Q（a，2a﹣4）， ∴EQ＝PF＝a，AE＝FQ＝4﹣（2a﹣4）＝8﹣2a， ∵EQ+FQ＝6， ∴a+8﹣2a＝6， 解得a＝2， ∴Q（2，0）， ∵Q点在第一象限， ∴a＝2（舍）； 当Q点在AB上方时，如图5， 同理可得EQ＝PF＝a，AE＝FQ＝2a﹣4﹣4＝2a﹣8， ∵EQ+FQ＝6， ∴a+2a﹣8＝6， 解得a＝． 综上所述：a的值为． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与直线y＝﹣x+6交于点A，直线y＝x+2交x轴于点B，交y轴于点D，直线y＝﹣x+6交x轴于点C． （1）求点A的坐标； （2）如图1，点P在线段AD上，点Q在线段AC上，AP＝AQ，连接CP，作QF⊥CP于点G，QF＝CP，连接BF，设线段AP的长为t，线段BF的长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，点M在线段FG上，连接BM、DM、PM，PM交x轴于点K，若DM平分∠BMG，BM＝MG，求点K的坐标． 解：（1）联立方程组可得：， ∴， ∴点A（2，4）； （2）过点A作AH⊥BC于点H，过点F作FE⊥AC于点E，如图1， 则AH＝BH＝CH＝4， ∴△ABH和△ACH均为等腰直角三角形， ∴∠BAH＝∠CAH＝∠ABH＝∠ACH＝45°， ∴∠BAC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝AC， ∵QF⊥CP， ∴∠PGQ＝90°， ∴∠BAC+∠PGQ＝90°+90°＝180°， ∴∠APC+∠AQF＝180°， ∵∠FQE+∠AQF＝180°， ∴∠APC＝∠FQE， ∵∠CAP＝∠FEQ＝90°，QF＝CP， ∴△CPA≌△FQE（AAS）， ∴QE＝AP＝t，FE＝AC， ∵AP＝AQ， ∴AE＝2t， ∵FE＝AC，AB＝AC， ∴FE＝AB， ∵∠BAC+∠FEQ＝90°+90°＝180°， ∴FE∥AB， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∵∠BAC＝90°， ∴▱ABFE是矩形， ∴BF＝AE， 即d＝2t； （3）如图2，过点F作FE⊥AC于E，连接AG、PQ、DG、BG、PF， 由（2）得：△CPA≌△FQE， ∴∠CPA＝∠FQE， ∵∠FQE+∠AQG＝180°， ∴∠CPA+∠AQG＝180°， ∴四边形APGQ是圆内接四边形， ∴∠PGQ＝180°﹣∠BAC＝90°， ∴∠FGP＝90°， ∵∠PAQ＝90°，AP＝AQ， ∴△APQ是等腰直角三角形， ∴∠APQ＝∠AQP＝45°， ∴∠AGP＝∠AQP＝45°， ∵∠FGP+∠FBP＝90°+90°＝180°， ∴四边形BFGP是圆内接四边形， ∵DM平分∠BMG， ∴∠DMB＝∠DMG， 在△MBD和△MGD中， ， ∴△MBD≌△MGD（SAS）， ∴DG＝BD＝2， ∵AD＝BD＝2， ∴AD＝BD＝DG， ∴∠AGB＝90°， ∴∠PGB＝90°﹣45°＝45°， ∴∠PFB＝∠PGB＝45°， ∵∠PBF＝90°， ∴△PBF是等腰直角三角形， ∴PB＝BF＝2t， ∴AB＝AP+PB＝t+2t＝3t， ∴3t＝4， ∴t＝， ∴P（，），Q（，），F（，﹣）， ∵C（6，0）， ∴直线CP的解析式为y＝﹣x+3，直线FQ的解析式为y＝2x﹣4， 联立方程组得， 解得：， ∴G（，）， 设M（m，2m﹣4）， ∵BM＝MG， ∴（m+2）2+（2m﹣4）2＝（m﹣）2+（2m﹣4﹣）2， 解得：m＝， ∴M（，﹣）， 设直线PM的解析式为y＝kx+b，则， 解得：， ∴直线PM的解析式为y＝﹣8x+8， 令y＝0，得﹣8x+8＝0， 解得：x＝1， ∴点K的坐标为（1，0）． 21．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线BC的函数解析式； （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q． ①若△PQB的面积为，求点M的坐标； ②连接BM，如图2，若∠BMP＝2∠BAC，求点P的坐标． 解：（1）对于y＝x+3， 由x＝0得：y＝3， ∴B（0，3）， 由y＝0得：y＝x+3， 解得x＝﹣6， ∴A（﹣6，0）， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴C（6，0）， 设直线BC的函数解析式为y＝kx+b， 则， 解得． ∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+3； （2）①设M（m，0）， 则P（m，m+3）、Q（m，﹣m+3）， 如图1，过点B作BD⊥PQ于点D， ∴PQ＝|（﹣m+3）﹣（m+3）|＝|m|，BD＝|m|， ∴S△PQB＝PQ•BD＝m2＝， 解得m＝±， ∴M（，0）或M（﹣，0）； ②如图2，作BH⊥BC交x轴于H， ∵BC⊥BH，∠BOC＝90°， ∴∠HBO＝∠BCA＝α， yBH＝2x+3， ∴， ∵MQ∥y轴， ∴∠MBO＝2α， ∴∠MBH＝α， ∴＝2， ∴设MH＝a，MB＝2a， 则Rt△BMO中， ， 解得a＝或a＝﹣（舍）， ∴M（﹣4，0）， ∴P（﹣4，1）， 根据对称性P（4，5），M（4，0）， 综上P（﹣4，1）或P（4，5）． 22．如图，直线y＝kx+8交x轴于点B，交y轴于点A，点B与点C关于y轴对称，连接AC，∠ACB的正切值为2． （1）求直线AC的解析式； （2）点D在线段AC上，过点D作DE⊥x轴于点E，设点D的横坐标为t，连接BD，△ABD的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，取BD的中点F，连接AF，过点F作AF的垂线交DE于点K，连接CK，若CK＝2.5，求tan∠FAD． 解：（1）当x＝0时，y＝8， ∴A（0，8）， ∴OA＝8， 当y＝0时，kx+8＝0， ∴， ∴，， ∵点B与点C关于y轴对称， ∴， ∵tan∠ACB＝2， ∴， ∴， 解得：k＝2， ∴直线AB的解析式为y＝2x+8， ∴B（﹣4，0），C（4，0）， 把A（0，8），C（4，0）代入直线AC解析式y＝mx+n（m≠0）中， 得， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝﹣2x+8． （2）∵点D在直线AC上，点D的横坐标为t， ∴D（t，﹣2t+8）， ∵DE⊥x轴于点E， ∴DE＝﹣2t+8， ∵A（0，8），B（﹣4，0），C（4，0）， ∴AO＝8，BC＝4﹣（﹣4）＝8， ∴S△ABD＝S△ABC﹣S△BDC ＝×BC×AO﹣×BC×DE ＝×8×8﹣×8×（﹣2t+8） ＝8t， 即S＝8t； （3）过点B作NB⊥BC于B，使得BN＝DK，连接AN，AK，FN， 过点N作NG⊥AB于G，过点K作KH⊥AC于点H， ∵BN⊥BC，AO⊥BC，DE⊥BC， ∴∠NBG＝∠BAO＝∠OAC＝∠CDE＝α， 在△BNG和△DKH中，， ∴△BNG≌△DKH（AAS）， ∴NG＝KH，BG＝DH， ∵BN∥DE， ∴∠FBN＝∠FDK， ∵点F是BD的中点，、 ∴BF＝DF， 在△BFN和△DFK中， ， ∴△BFN≌△DFK（AAS）， ∴NF＝KF，∠BFN＝∠DFK， ∵∠BFN+∠DFN＝180°， ∴∠DFK+∠DFN＝180°， ∴N、F、K三点共线， ∵AF⊥FK， ∴AN＝AK， 在Rt△ANG和Rt△AKH中， ， ∴Rt△ANG≌Rt△AKH（HL）， ∴∠ANG＝∠AKH，∠NAG＝∠KAH， 在△ABN和△ACK中， ， ∴△ABN≌△ACK（SAS）， ∴BN＝CK， ∵BN＝DK， ∴DK＝CK， ∴△CDK是等腰三角形，∠DCK＝∠CDK， ∴BN＝CK＝DK＝2.5，， ∵D（t，﹣2t+8），C（4，0）， ∴CE＝4﹣t，DE＝﹣2t+8， 在Rt△DCE中，CD2＝DE2+CE2， 在Rt△KCH中，设KH＝x，则CH＝2x， ∴， ∵CK＝2.5＝， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴（2）2＝（﹣2t+8）2+（4﹣t）2， ∴t2﹣8t+12＝0， 解得t1＝2，t2＝6（舍）， ∴E（2，0），D（2，4）， ∴DE为△AOC的中位线， ∴AD＝CD， 延长AF交x轴于点T，过点T作TR⊥AC于R， ∵F为BD中点，过点F作FL⊥x轴于点L， ∴FL为△BDE的中位线， ∴， ∴OL＝4﹣3＝1， ∴， ∴F（﹣1，2）， 设直线AF的解析式为y＝px+q，把A（0，8），F（﹣1，2）代入得， 解得， ∴直线AF为y＝6x+8， ∴， ∴， 在Rt△ATO中，由勾股定理得， 在Rt△TCR中，，设TR＝2a，则CR＝a， ∴， ∴， ∴， ∴， 在Rt△AOC中，， ∴， ∴tan∠FAD＝tan∠TAR＝＝＝． 23．问题情境：如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（a，b），且a和b满足a＝+﹣3；点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，连接BM． （1）求点A的坐标和菱形ABCO的边长； （2）求直线AC的解析式； 问题探究： （3）动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位长度/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒． ①求S与t之间的函数关系式； ②在点P运动过程中，当S＝3时，请求出t的值． 解：（1）由题意知：． 解得b＝4． ∴a＝﹣3． ∴点A的坐标是（﹣3，4）． 在Rt△AOH中， AO＝＝＝5，所以菱形边长为5； （2）∵四边形ABCO是菱形， ∴OC＝OA＝AB＝5，即C（5，0）． 设直线AC的解析式y＝kx+b，函数图象过点A、C，得 ， 解得， ∴直线AC的解析式y＝﹣x+； （3）①设M到直线BC的距离为h， 当x＝0时，y＝，即M（0，），HM＝HO﹣OM＝4﹣＝， 由S△ABC＝S△AMB+SBMC＝AB•OH＝AB•HM+BC•h， ×5×4＝×5×+×5h，解得h＝， （i）当0≤t＜时，BP＝BA﹣AP＝5﹣2t，HM＝OH﹣OM＝， S＝BP•HM＝×（5﹣2t）＝﹣t+， （ii）当2.5＜t≤5时，BP＝2t﹣5，h＝． S＝BP•h＝×（2t﹣5）＝t﹣． 综上所述，S＝． ②当S＝3时，代入S＝﹣t+中，得﹣t+＝3，解得t＝； 代入S＝t﹣．中，得t﹣＝3．解得t＝． 综上所述，t＝或． 24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与y＝kx+2分别交x轴于点A、B，两直线交于y轴上同一点C，点D的坐标为（﹣，0），点E是AC的中点，连接OE交CD于点F． （1）求点F的坐标． （2）若∠OCB＝∠ACD，求k的值． （3）在（2）的条件下，过点F作x轴的垂线l，点M是直线BC上的动点，点N是x轴上的动点，点P是直线l上的动点，使得以B、P、M、N为顶点的四边形是菱形，求点P的坐标． 解：（1）如图1， ∵令直线y＝x+2中的x＝0，则y＝2． 令y＝0，则x＝﹣2， ∴A（﹣2，0），C（0，2）， ∵点E是AC的中点， ∴AE＝EC， ∵由中点坐标公式得：E（﹣1，1）， ∴设直线OE的解析式为y＝kOEx，代入E（﹣1，1），得kOE＝﹣1， ∴直线OE的解析式是：y＝﹣x， 设直线CD的解析式为：y＝k1x+b1，代入点C、D可得：． 解得． ∴直线CD的解析式为y＝3x+2， 由，解得， ∴F（﹣，）； （2）如图2，过点D作DT⊥CD交BC于点T，过点T作TH⊥x轴于点H， ∵OA＝OC，故∠ACO＝45°， ∵∠OCB＝∠ACD， ∴∠DCB＝∠BCO+∠OCD＝∠ACD+∠DCO＝45°， 故△CDT为等腰直角三角形，则CD＝TD， ∵∠CDO+∠HDT＝90°，∠HDT+∠DTH＝90°， ∴∠CDO＝∠DTH， ∵∠COD＝∠DHT＝90°，CD＝TD， ∴△DHT≌△COD（AAS）， ∴HT＝OD＝，DH＝CO＝2． 则OH＝2﹣＝， ∴T（，﹣）， 把T（，﹣）， 代入y＝kx+2， 解得：k＝﹣2； （3）如图3， 当四边形BN1P1M1是菱形时，连接BP1交OC于K，作KH⊥BC于H． ∵∠KBO＝∠KBH，KO⊥OB，KH⊥BC， ∴KO＝KH， ∵BK＝BK，∠KOB＝∠KHB＝90°， ∴Rt△KBO≌Rt△KBH（HL）， ∴BO＝BH＝1，设OK＝KH＝x， ∵BC＝＝＝， ∴CH＝﹣1， 在Rt△CHK中，CK2＝KH2+CH2， ∴（2﹣x）2＝x2+（﹣1）2， ∴x＝， ∴设直线BK的解析式为y＝k2x+b2． 代入B（1，0），K（0，）得， k2＝，b2＝． ∴直线BK的解析式为y＝x+， 当x＝﹣时，y＝， ∴P1（﹣，）． 当四边形BN2P2M2是菱形时，可得直线BP2的解析式为y＝x﹣， 当x＝﹣时，y＝， ∴P2（﹣，）． 当四边形BP3N3M3是菱形时，M3在直线x＝﹣时， ∴M3（﹣，3）， ∵P3与M3关于x轴对称， ∴P3（﹣，﹣3）， 当线段BM作为菱形的对角线时，此时点P坐标为（﹣，﹣2）． 综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣，）或（﹣，）或（﹣，﹣3）或（﹣，﹣2）． 25．如图，直线l和直线l外一点P，过点P作PH⊥l于点H，任取直线l上点Q，点H关于直线PQ的对称点为点H'，称点H'为点P关于直线l的垂对点． 在平面直角坐标系xOy中， （1）已知点P（0，2），则点O（0，0），A（2，2），B（0，4）中是点P关于x轴的垂对点的是　点O和点A　； （2）已知点M（0，m），且m＞0，直线y＝﹣x+4上存在点M关于x轴的垂对点，求m的取值范围； （3）已知点N（n，2），若直线y＝x+n上存在两个点N关于x轴的垂对点，直接写出n的取值范围． 解：（1）由题意，点P关于x轴的垂对点组成的图形是以点P为圆心，半径为2的圆（该圆与y轴的交点除外）． ∵点O（0，0），A（2，2）在这个圆上， ∴点P关于x轴的垂对点的是：点O，点A． （2）由题意可知，点M关于x轴的垂对点形成的图形为以点M为圆心，以线段MO的长为半径的圆（射线OM与该圆的交点除外）． 此时⊙M与x轴相切． 当直线y＝﹣x+4与⊙M相切时，记切点为点E，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴的交点分别为点C和点D，连接ME，MC，如答图1， 对于y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝3． ∴点C（3，0），点D（0，4）． ∴OC＝3，OD＝4． ∴CD＝＝5． ∵CD，CO是⊙M的切线， ∴CE＝CO＝3，∠MEC＝∠MOC＝90°． ∴DE＝5﹣3＝2． ∵OM＝m， ∴ME＝m，DM＝4﹣m． 在Rt△DME中， ∵DE2+ME2＝MD2， ∴m2+22＝（4﹣m）2． 解得：m＝． ∵⊙M与直线y＝﹣+4有公共点， ∴m≥． （3）点N关于x轴的垂对点是以点N（n，2）为圆心，以2为半径的圆上的点，不包括点（n，4）． ①当n＝0时，⊙N与直线y＝x恰有两个交点，即存在两个点N关于x轴的垂对点； ②当n＞0时，如答图2所示． ⊙N与y＝x+n相切于左上方点A，为临界状态． 连接点N与切点A， 作NB⊥x轴于点B，作AE⊥x轴于点E，作ND⊥y轴于点D交AE于点C． 设直线y＝x+n交x轴于点F、交y轴于点G． 则OG＝OF＝n， 故∠GF0＝∠FGO＝45°． ∵AE∥y轴， ∴ND⊥AE于点C． ∴∠ACN＝90°，∠FGO＝∠FAE＝45°． ∵⊙N与y＝x+n相切于点A， ∴∠NAG＝90°， ∴∠CAN＝45°． 故△CAN为等腰直角三角形． ∴CA2+CN2＝AN2， 即2AC2＝22＝4， ∴AC＝． ∴AE＝AC+CE＝， DC＝DN﹣CN＝OB﹣AC＝n﹣． 则点A坐标为（n，2+）， ∵点A在直线y＝x+n上，代入点A坐标得： 2+＝n+n， 解得：n＝． 特别地，当n＝2时，直线与圆交于点（0，2）、（2，4），此时只有一个垂对点， 故n≠2． ③当n＜0时，如答图3所示， 直线y＝x+n与⊙N相切与右下方点A'，为临界状态． 设OF＝n，同情形②类似可得点A'坐标为（n+，2﹣）， 代入y＝x+n中，得2﹣＝n++n， 解得n＝1﹣． 综上所述，n的取值范围为：且n≠2． 26．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点B，AB＝10． （1）如图1，求b的值； （2）如图2，经过点B的直线y＝（n+4）x+b（﹣4＜n＜0）与直线y＝nx交于点C，与x轴交于点R，CD∥OA，交AB于点D，设线段CD长为d，求d与n的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，点F在第四象限，CF交OA于点E、交OB于点S，点P在第一象限，PH⊥OA，点N在x轴上，点M在PH上，MN交PE于点G，∠EGN＝45°，PH＝EN，过点E作EQ⊥CF，交PH于点Q，连接BF、RQ，BF交x轴于点V，若C为BR中点，EQ＝EF+2＝PM，∠ERQ＝∠ABF，求点V的坐标． 解：（1）如图（1）， 当y＝0时，x＝b；当x＝0时，y＝b． ∴A（b，0），B（0，b）． ∴OA＝b，OB＝b． ∵AB2＝OA2+OB2，即102＝（b）2+b2． 解得b＝8或b＝﹣8． ∵b＞0， ∴b＝8； （2）如图（2），过点C作CI⊥x轴于点I，过点D作DJ⊥x轴于点J， 设C（t，nt），则nt＝（n+4）t+8， ∴t＝﹣2． ∴点C（﹣2，﹣2n）． ∵∠CIR＝DJR＝90°， ∴CI∥DJ． ∵CD∥IJ， ∴四边形CIJD是平行四边形． ∴DJ＝CI＝﹣2n． ∴﹣2n＝﹣x+8． ∴x＝+6． ∴CD＝IJ＝+6﹣（﹣2）＝+8． ∴d＝+8． （3）如图（3），过点E作ET⊥PE，交过点N且垂直于x轴的垂线于点T，连接PT， ∵PH⊥EH， ∴∠PET＝∠ENT＝∠PHE＝90°． ∴∠PEH+∠TEN＝∠PEH+∠EPH＝90°． ∴∠TEN＝∠EPH． ∵PH＝EN， ∴△PHE≌△ENT（AAS）． ∴TN＝EH，PE＝ET． ∴∠EPF＝45°． ∵∠EGN＝45°， ∴∠EGN＝∠EPT． ∴MN∥PT． ∵∠ENT+∠PHE＝180°， ∴TN∥PM． ∴四边形PMNT为平行四边形． ∴TN＝PM． ∴PM＝EH． ∵EQ＝PM． ∴∠QEH＝45°． ∴∠CER＝45°． 过点C作CW⊥ON，CD⊥OB，可证明△CDB≌△CRW（AAS）． ∴CD＝RW＝OW＝2． ∴CW＝4． ∴OS＝OE＝2，SE＝2． ∵RE＝BS＝6，∠REQ＝∠BSF＝135°，SF＝2+EF＝EQ． ∴△REQ≌△BSE（SAS）． ∴∠ERQ＝∠ABF． ∵∠ERQ＝∠ABF， ∴∠FBS＝∠ABF． 过点V作VK⊥AB， 设OV＝a，则VK＝a． 在直角△AKV中，∠VKA＝90°，AK＝2，AV＝6﹣a， ∴VK2+AK2＝AV2，a2+22＝（6﹣a）2， 解得a＝． ∴V（，0）． 27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G， （1）求证：CF＝BG； （2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF； （3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长． 证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝45°， ∵CG平分∠ACB， ∴∠ACG＝∠BCG＝45°， ∴∠A＝∠BCG， 在△BCG和△CAF中， ∵， ∴△BCG≌△CAF（ASA）， ∴CF＝BG； （2）如图2，∵PC∥AG， ∴∠PCA＝∠CAG， ∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG， ∴△ACG≌△BCG（SAS）， ∴∠CAG＝∠CBE， ∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°， ∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°， ∴∠PCG＝∠PGC， ∴PC＝PG， ∵PB＝BG+PG，BG＝CF， ∴PB＝CF+CP； （3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M， ∵S△AEG＝AG•EM＝3， 由（2）得：△ACG≌△BCG， ∴BG＝AG＝6， ∴×6×EM＝3， EM＝， 设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°， ∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°， ∵∠ACH＝45°， ∴2x+x＝45， x＝15， ∴∠ACF＝∠GAC＝30°， 在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2， AM＝＝3， ∴M是AG的中点， ∴AE＝EG＝2， ∴BE＝BG+EG＝6+2， 在Rt△ECB中，∠EBC＝30°， ∴CE＝BE＝3+， ∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3． 解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6， 如图4，过G作GM⊥AC于M， 在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3， ∵∠ACG＝45°，∠GMC＝90°， ∴GM＝CM＝3， ∴AC＝AM+CM＝3+3． 28．【操作观察】 如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝8，AB＝12，AD＝13． 折叠四边形纸片ABCD，使得点C的对应点C′始终落在AD上，点B的对应点为B′，折痕与AB，CD分别交于点M，N． 【解决问题】 （1）当点C′与点A重合时，求B′M的长； （2）设直线B′C′与直线AB相交于点F，当∠AFC′＝∠ADC时，求AC′的长． 解：（1）如图1，过点C作CH⊥AD， 则CH＝AB＝12，AH＝BC＝8， ∴HD＝AD﹣AC′＝13﹣8＝5， ∴， ， 当点C′与点A重合时，由折叠的性质可得出MN垂直平分AC，N与D重合， 则有AM＝MC， 设B′M＝MB＝x，则AM＝MC＝12﹣x， ∵∠ABC＝90° ∴在Rt△MBC中x2+82＝（12﹣x）2， 解得：， 故； （2）如图2，当点F在AB上时，如图2： 由（1）可知， ∵∠AFC′＝∠ADC， ∴， 设AF＝5x，AC′＝12x，则C′F＝13x， 根据折叠的性质可得出：B′C′＝BC＝8，B′F＝8﹣13x． ∵∠B′FM＝∠AFC′， ∴， ∵∠ABC＝90° ∴在Rt△BFM中，，， 则， 解得：， ； 如图3，当点F在BA的延长线上时， 同上， 在Rt△AFC′中， 设AF＝5x，AC′＝12x，FC′＝13x，FB′＝13x﹣8， 在Rt△MFB′中， ，， 则， 解得， 则， 综上：AC′的值为：或． 29．【问题初探】（1）如图①，BC平分∠ABE，AC⊥BC交BE的延长线于点F，AD平行于BE交EC的延长线于点D，求证：EC＝DC． 【类比探究】（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，H是边AC上一点，HG⊥CD于点G，HG与AB交于点F，点F恰好是AB的中点，求证：． 【迁移运用】（3）如图③，P是△ABC内一点，PA＝PB，D在BC边上，连接PD，∠PDB＝∠PAB，过P作PE⊥AC，垂足为E，若∠DPE+∠APB＝180°，CD＝3，AE＝6，BD＝10，直接写出线段PD的长． （1）证明：∵BC平分∠ABE， ∴∠ABC＝∠CBF， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝∠BCF＝90°， ∵BC＝BC， ∴△ABC≌△FBC（ASA）， ∴AC＝FC， ∵AD∥BE， ∴∠DAF＝∠AFB，∠D＝∠DEF， ∴△ADC≌△FEC（AAS）， ∴EC＝DC； （2）证明：如图②，作BM⊥CD于M，交AC于E， ∵HG⊥CD， ∴∠HGC＝∠EMC＝90°， ∴FH∥BE， ∴△AFH∽△ABE， ∴＝， ∵F是AB的中点， ∴AB＝2AF， ∴BE＝2FH， 与（1）同理可证△CBM≌△CEM（ASA）， ∴CB＝CE， ∴Rt△BCE是等腰直角三角形， ∴BE＝BC， ∵BE＝2FH， ∴BE＝FH， ∴BC＝FH； （3）解：如图③，延长EP交BC于点F，连接AF，过P作PG⊥BC于G， ∴∠DPE+∠FPD＝180°， ∵∠DPE+∠APB＝180°， ∴∠APB＝∠DPE， ∵∠PAB+∠PBA+∠APB＝∠PDF+∠PFD+∠FPD＝180°，∠PDB＝∠PAB， ∴∠PFD＝∠PBA， ∵PA＝PB， ∴∠PAB＝∠PBA， ∴∠PFD＝∠PBA＝∠PAB＝∠PDB， ∴PF＝PD， ∵∠APB＝∠FPD， ∴∠BPD＝∠APF， ∵PA＝PB， ∴△APF≌△BPD（SAS）， ∴∠AFP＝∠BDP＝∠DFP，AF＝BD，PF＝PD， ∵PE⊥AC， 与（1）同理可证△AFE≌△CFE（ASA）， ∴AF＝CF，AE＝CE＝6， ∴AC＝2AE＝12， ∵BD＝10， ∴CF＝AF＝BD＝10， ∴FE＝＝＝8， ∴FD＝CF﹣CD＝10﹣3＝7， ∵PF＝PD，PG⊥BC， ∴FG＝DG＝FD＝3.5， ∵PG⊥BC，FE⊥AC， ∴cos∠EFC＝cos∠PFG， ∴＝， ∴＝， ∴PF＝， ∴PD＝PF＝． 30．如图，已知A（a，b），AB⊥y轴于B，且满足2a2﹣2ab+b2﹣6a+9＝0， （1）求A点坐标； （2）分别以AB，AO为边作等边三角形△ABC和△AOD，如图1，试判断线段AC和DC的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图2，若P为y轴上异于原点O和点B的一个动点，连接PA，过P点作PE⊥PA，且PE＝PA，连接AE，射线EO交AB延长线于Q，当P点在y轴上移动时，线段AQ的值是否发生变化．若不变化，求出AQ的值；若变化，请说明理由． 解：（1）∵2a2﹣2ab+b2﹣6a+9＝0， ∴（a﹣b）2+（a﹣3）2＝0， ∵（a﹣b）2≥0，（a﹣3）2≥0， ∴a＝b＝3， ∴A（3，3）； （2）结论：AC＝CD，AC⊥CD． 理由：∵△ABC，△AOD都是等边三角形， ∴∠BAC＝∠OAD＝60°，AB＝AC，AO＝AD， ∴∠BAO＝∠CAD， 在△BAO和△CAD中， ， ∴△BAO≌△CAD（SAS）， ∴BO＝CD，∠ABO＝∠ACD， ∵AB⊥y轴， ∴∠ABO＝∠ACD＝90°， ∵AB＝OB＝3， ∵AB＝AC， ∴AC＝CD，AC⊥CD； （3）结论：AQ是定值＝6． 理由：如图2中，过点E作ET⊥y轴于点T，在TE上截取TK＝PT，连接PK． ∵AB＝BO，TP＝TK，∠ABO＝∠PTK＝90°， ∴∠AOB＝∠PKT＝45°， ∴∠AOT＝∠PKE＝135°， ∵∠APE＝90°，∠TPK＝45°， ∴∠OPA+∠EPK＝45°， ∵∠OPA+∠OAP＝45°， ∴∠OAP＝∠EPK， ∵PA＝PE， ∴△AOP≌△PKE（AAS）， ∴OP＝kE， ∵TP＝TK， ∴OT＝ET， ∴∠TOE＝∠QOB＝45°， ∴∠Q＝∠OAB＝45°， ∴OQ＝OA， ∵OB⊥AQ， ∴AB＝BQ＝3， ∴AQ＝6． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/12/18 22:24:38；用户：李红；邮箱：13704675964；学号：20705407 学科网（北京）股份有限公司 $$