2.6应用一元二次方程的四大核心考点 2024--2025学年北师大版数学九年级上册

（2.6应用一元二次方程的四大核心考点） 考点一：面积问题 1. 用长为 100cm 的金属丝制作一个矩形框子，框子的面积为 625cm²，求这个矩形框子的长和宽。 2. 有一块长方形的土地，长比宽多 16 米，面积是 192 平方米，求这块土地的长和宽。 3. 一个正方形的花坛，边长增加 2 米后，面积增加了 20 平方米，原来正方形花坛的边长是多少？ 4. 要建一个面积为 150m² 的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一堵墙，墙长为 18m，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为 35m，求鸡场的长和宽。 5. 一块矩形铁皮，长 40cm，宽 30cm，现在把它的四角各剪去一个边长为 x cm 的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，若这个盒子的底面积是原来矩形面积的一半，求 x 的值。 6. 已知一个直角三角形的两条直角边的和是 14cm，面积是 24cm²，求两条直角边的长。 考点二：增长率问题 1. 某工厂今年 1 月份的产值是 50 万元，3 月份的产值达到了 72 万元，求这两个月产值的平均增长率。 2. 某公司去年的营业额为 500 万元，今年预计比去年增长 20%，明年预计比今年增长 30%，那么明年的营业额预计是多少万元？若设这两年营业额的平均增长率为 x，则可列方程是什么？ 3. 某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的 90 元降到了 40 元，求平均每次降价的百分率。 4. 一种药品经过两次降价，药价从原来每盒 60 元降至现在的 48.6 元，则平均每次降价的百分率是多少？ 5. 某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达 95 万人次，其中第一年培训了 20 万人次，设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为 x，根据题意列出方程并求解。 6. 某农场的粮食产量在两年内从 3000 吨增加到 3630 吨，平均每年增产的百分率是多少？ 考点三：销售利润问题 1. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件，若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ 2. 某商店将进价为 8 元的商品按每件 10 元售出，每天可售出 200 件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高 0.5 元其销售量就减少 10 件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为 640 元？ 3. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克，现该商场要保证每天盈利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 4. 某商场销售某种品牌的手机，每部进货价为 2500 元，市场调研表明：当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 部；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 部，若商场要想使这种手机的销售利润平均每天达到 5000 元，每部手机的定价应为多少元？ 5. 某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元），设每件商品的售价上涨 x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式，并求出每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ 6. 某文化用品商店用 2000 元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的 3 倍，但单价贵了 4 元，结果第二批用了 6300 元。 （1）求第一批购进书包的单价是多少元？ （2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是 120 元，全部售出后，商店共盈利多少元？ 考点四：数字问题 1. 两个连续奇数的积是 323，求这两个数。 2. 一个两位数，个位数字比十位数字大 3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数。 3. 有一个两位数，它的十位数字比个位数字小 2，十位数字与个位数字的积的 3 倍刚好等于这个两位数，求这个两位数。 4. 三个连续整数，两两相乘后再相加，其和为 146，求这三个数。 5. 已知两个数的和等于 8，积等于 9，求这两个数。 6. 一个三位数，百位数字为 x，十位数字比百位数字大 3，个位数字比十位数字的 2 倍少 1，这个三位数的各数位上的数字之和为 15，求这个三位数。 以下是上述《一元二次方程的应用》考点问题的完整解析： 解析： 考点一：面积问题 1. 设矩形框子的长为，则宽为。根据矩形面积公式，可得方程，即，因式分解为，解得，则宽为。所以矩形框子的长和宽均为。 2. 设宽为米，则长为米，由面积公式可得，即，因式分解，解得或（舍去），长为米。所以长是米，宽是米。 3. 设原来正方形花坛的边长为米，则，展开得，化简为，，解得米。 4. 设鸡场垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米。当时，，由面积可得，即，因式分解，解得（舍去）或，此时长为米；当时，，，解得（舍去）或（舍去）。所以鸡场的长为米，宽为米。 5. 盒子底面长为，宽为，根据题意可得，即，化简为，因式分解，解得（舍去）或。 6. 设一条直角边为，则另一条直角边为，根据直角三角形面积公式可得，即，因式分解，解得或，所以两条直角边分别为和。 考点二：增长率问题 1. 设平均增长率为，1 月份产值为万元，则 2 月份产值为万元，3 月份产值为万元，可得方程，即，，解得，（舍去）。 2. 今年营业额为万元，明年营业额为万元。设平均增长率为，则。 3. 设平均每次降价的百分率为，第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元，可得方程，即，，解得，（舍去）。 4. 设平均每次降价的百分率为，则，即，，解得，（舍去）。 5. 第二年培训人次为，第三年培训人次为，则，化简为，因式分解，解得，（舍去）。 6. 设平均每年增产的百分率为，则，即，，解得，（舍去）。 考点三：销售利润问题 1. 设每件衬衫应降价元，则每天可多销售件，每件利润为元，销售量为件。根据利润公式可得，即，化简为，因式分解，解得或。 2. 设每件售价定为元，每件利润为元，销售量为件，根据利润公式可得，化简为，展开得，即，因式分解，解得或。 3. 设每千克应涨价元，则每千克利润为元，销售量为千克，根据利润公式可得，即，化简为，因式分解，解得或，为使顾客得到实惠，取。 4. 设每部手机的定价应为元，每部利润为元，销售量为部，根据利润公式可得，化简求解过程较复杂，解得。 5. ，因为为正整数且每件售价不能高于元，当时，；当时，。所以每件商品的售价定为元或元时，每个月可获得最大利润，最大利润是元。 6. （1）设第一批购进书包的单价是元，则第二批购进书包的单价是元，根据数量关系可得，化简为，解得元。 （2）第一批数量为个，第二批数量为个，总盈利为元。 考点四：数字问题 1. 设较小的奇数为，则较大的奇数为，可得方程，即，因式分解，解得或，所以这两个数为和或和。 2. 设十位数字为，则个位数字为，可得方程，即，，因式分解，解得或，所以这个两位数为或。 3. 设个位数字为，则十位数字为，可得方程，即，，因式分解，解得（舍去）或，所以这个两位数为。 4. 设中间的整数为，则另外两个整数为，，可得方程，即，，，解得，所以这三个数为，，或，，。 5. 设其中一个数为，则另一个数为，可得方程，即，利用求根公式，所以这两个数为和。 6. 十位数字为，个位数字为，由各数位数字之和为可得，即，，解得（舍去），说明题目数据有误。若修改为数字之和为，则，，，这个三位数为。 学科网（北京）股份有限公司 $$