精品解析：云南省2024年7月普通高中学业水平考试数学试题

机密★考试结束前 【考试时间：2024年7月12日，上午，共100分钟】 云南省2024年春季学期期末普通高中学业水平考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．请在答题卡指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效． 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么． 如果事件A、B相互独立，那么． 球的表面积公式：，体积公式：，其中R表示球的半径． 柱体的体积公式：，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高． 锥体的体积公式：，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高． 选择题（共66分） 一、选择题：本大题共22个小题，每小题3分，共66分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应的位置上填涂． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集运算性质计算即可. 【详解】因为集合，，则. 故选：D 2. 函数的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的知识求得正确答案. 【详解】由于，所以， 所以的最大值为，此时. 故选：C 3. 某中学开展劳动实习，学生学习编织球体工艺品．若这种球体的半径为10cm，则这种球体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】由题意，这种球体的表面积为. 故选：D. 4. 已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义求解即可. 【详解】复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式可求解. 【详解】. 故选：A. 6. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标运算公式求解即可. 【详解】. 故选：C. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简求解即可. 【详解】. 故选：A. 8. 已知a、b、c都是实数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质以及特殊值法逐项对选项进行分析即可. 【详解】因为， 对于A，根据不等式的性质知，故A正确； 对于B，当时，；当时，；当时，，故B错误； 对于C，当时，，所以；当时，，所以，故C错误； 对于D，若，则，故D错误. 故选：A. 9. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则可得结果. 【详解】根据向量加法的三角形法则,得到. 故选：C. 10. 下列函数中，在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据常见函数的单调性分析判断即可. 【详解】对于，这里，其图象开口向下，对称轴为. 在上单调递增，在上单调递减，在上不为增函数. 故A错误. 对于函数，这里. 根据一次函数的单调性，在上单调递增， 故B正确. 是周期函数，它的周期是. 在上单调递增，在上单调递减，在上不为增函数， 故C错误. 也是周期函数，周期为. 在上单调递增，在上单调递减，在上不为增函数.故D错误. 故选：B. 11. 如图，在正方体中，直线与直线BD（ ） A. 异面 B. 平行 C. 相交且垂直 D. 相交但不垂直 【答案】A 【解析】 【分析】法一：根据异面直线的概念判断即可.法二：利用反证法可证明直线与直线异面. 【详解】法一：由图形可知，直线与直线不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线. 法二：（反证法）假设直线与直线不异面，则直线与直线共面， 设直线与直线确定的平面，又不共线，所以确定平面， 所以平面与平面重合，从而可得平面，与平面矛盾， 所以直线与直线异面. 故选：A 12. （ ） A. 5 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】由换底公式进行求解. 【详解】. 故选：C. 13. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 8.5 9 9.5 9.9 0.25 1 0.65 0.09 根据表中数据，若从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则应该选（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数和方差的意义分析求解. 【详解】从数据来看丁的平均成绩最高，方差最小， 因此丁成绩好且发挥稳定，应选择丁. 故选：D. 14. 若，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，解得， 则x的取值范围为. 故选：A. 15. 已知i为虚数单位，复数，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的模的计算公式求解即可. 【详解】复数，则. 故选：C. 16. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理解三角形. 【详解】中，由正弦定理，得. 故选：B 17. 函数定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的真数大于零列不等式求解即可. 【详解】由得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 18. 函数在上的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用指数函数的单调性，即可求解. 【详解】因为在定义域上单调递增，所以函数在上的最小值为， 故选：B. 19. 若，，，则（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性求解即可. 【详解】因为在上单调递增，所以， 而，所以， 因为在单调递增，所以， 所以. 故选：B. 20. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】由，， 得， 所以. 故选：D. 21. 某公司10名员工参加岗位技能比赛，获奖情况如下： 等级 一等奖 二等奖 三等奖 人数（单位：人） 3 6 1 现从这10名员工中任选1名员工参加经验交流活动．若每位员工被选到的概率相等，则选到获一等奖员工的概率为（ ） A. 0.1 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概率知识求得正确答案. 【详解】根据古典概型的知识可知，所求概率为. 故选：B 22. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理可求解. 【详解】因为在中，，，， 所以由余弦定理可得：， 所以. 故选：D. 【点睛】方法点睛：三角形中知道两边及夹角的余弦值求第三边直接利用余弦定理求解. 非选择题（共34分） 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请把答案写在答题卡相应的位置上． 23. 已知函数是奇函数．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】依题意，是奇函数， 所以 故答案为： 24. 某地区的高中学校分为A、B两类，A类高中学校共有学生6000人，B类高中学校共有学生2000人．现按A、B两类进行分层，用分层随机抽样的方法，从该地区的高中学校抽取学生40人进行调查研究．设抽到该地区A类高中学校学生x人，则__________． 【答案】30 【解析】 【分析】由分层抽样中各层样本数的确定方法求解即可. 【详解】由题意，. 故答案为：30. 25. 若，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 26. 若函数的最小正周期为，则常数__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知余弦型函数求周期问题，直接利用周期公式求解. 三、解答题：本大题共3个小题，第27题5分，第28题6分，第29题7分，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤． 27. 甲、乙两人独立地参加本次普通高中化学学业水平合格性考试，他们的考试成绩互不影响．甲的化学成绩得满分的概率为，乙的化学成绩得满分的概率为． （1）求甲、乙两人的化学成绩都得满分的概率； （2）求甲、乙两人至少有一人的化学成绩没有得满分的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式求解即可； （2）利用对立事件的概率公式直接求解即可. 【小问1详解】 由题意，甲、乙两人的化学成绩都得满分的概率为. 【小问2详解】 由题意，甲、乙两人至少有一人的化学成绩没有得满分的概率为. 28. 如图，在直三棱柱中，D是线段BC的中点，且． （1）求证：平面； （2）若，是边长为2的正三角形，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）结合题设易得，，进而结合线面垂直的判定定理求证即可； （2）利用等体积法求解即可. 【小问1详解】 证明：在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 又D是线段BC的中点，且，所以， 因为，平面, 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，平面， 因为是边长为2的正三角形， 所以，则， 则， 所以三棱锥的体积为. 29. 已知b、c是常数，函数，，．函数的零点是、2． （1）求b、c的值； （2）函数是否有零点？若有，请求出的所有零点；若没有，请说明理由． 【答案】（1） （2）函数有零点，为. 【解析】 【分析】（1）由题意可得和2为方程的根，进而结合韦达定理求解即可； （2）结合题意可得，令，因式分解可得，进而解方程即可求解. 【小问1详解】 由，因为函数的零点是和2， 所以和2为方程的根，则，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 令，即，即，即， 解得或或或， 即函数的零点为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 机密★考试结束前 【考试时间：2024年7月12日，上午，共100分钟】 云南省2024年春季学期期末普通高中学业水平考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．请在答题卡指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效． 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么． 如果事件A、B相互独立，那么． 球的表面积公式：，体积公式：，其中R表示球的半径． 柱体的体积公式：，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高． 锥体的体积公式：，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高． 选择题（共66分） 一、选择题：本大题共22个小题，每小题3分，共66分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应的位置上填涂． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 某中学开展劳动实习，学生学习编织球体工艺品．若这种球体的半径为10cm，则这种球体的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. （ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知a、b、c都实数，若，则（ ） A. B. C. D. 9. （ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中，在上为增函数的是（ ） A B. C. D. 11. 如图，在正方体中，直线与直线BD（ ） A. 异面 B. 平行 C. 相交且垂直 D. 相交但不垂直 12. （ ） A. 5 B. 2 C. 1 D. 0 13. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 8.5 9 9.5 9.9 0.25 1 0.65 0.09 根据表中数据，若从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则应该选（ ） A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 14. 若，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 15. 已知i虚数单位，复数，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 16. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（ ） A. B. C. D. 17. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 18. 函数在上的最小值为（ ） A. B. C. D. 19. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 20. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 21. 某公司10名员工参加岗位技能比赛，获奖情况如下： 等级 一等奖 二等奖 三等奖 人数（单位：人） 3 6 1 现从这10名员工中任选1名员工参加经验交流活动．若每位员工被选到的概率相等，则选到获一等奖员工的概率为（ ） A. 0.1 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.6 22. 内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 3 非选择题（共34分） 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请把答案写在答题卡相应的位置上． 23. 已知函数是奇函数．若，则__________． 24. 某地区的高中学校分为A、B两类，A类高中学校共有学生6000人，B类高中学校共有学生2000人．现按A、B两类进行分层，用分层随机抽样的方法，从该地区的高中学校抽取学生40人进行调查研究．设抽到该地区A类高中学校学生x人，则__________． 25. 若，则的最小值为__________． 26. 若函数的最小正周期为，则常数__________． 三、解答题：本大题共3个小题，第27题5分，第28题6分，第29题7分，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤． 27. 甲、乙两人独立地参加本次普通高中化学学业水平合格性考试，他们的考试成绩互不影响．甲的化学成绩得满分的概率为，乙的化学成绩得满分的概率为． （1）求甲、乙两人的化学成绩都得满分的概率； （2）求甲、乙两人至少有一人的化学成绩没有得满分的概率． 28. 如图，在直三棱柱中，D是线段BC的中点，且． （1）求证：平面； （2）若，是边长为2的正三角形，求三棱锥的体积． 29. 已知b、c是常数，函数，，．函数的零点是、2． （1）求b、c的值； （2）函数是否有零点？若有，请求出的所有零点；若没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$