期末重难点真题特训之易错必刷题型（117题34个考点）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版)

期末重难点真题特训之易错必刷题型（117题34个考点） 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、二次函数 1．（24-25九年级上·浙江·期中）下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如的函数，叫做二次函数是解题的关键．根据二次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．自变量的次数为1，不是二次函数，不符合题意； B．分母中含有未知数，不是二次函数，不符合题意； C．符合二次函数的定义，是二次函数，符合题意； D．分母中含有未知数，不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，设平均每月降价的百分率为x，则9月份的楼盘出售均价为元，则10月份的楼盘出售均价为元，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知函数． (1)当m为何值时，这个函数是二次函数？ (2)当m为何值时，这个函数是一次函数？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的概念，掌握一次函数和二次函数的结构特征是解题关键． （1）根据二次函数的二次项系数不为0列方程求解即可； （2）根据一次函数的自变量系数不为0，次数为1，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当函数为二次函数时， 则， 即． （2）解：当函数为一次函数时， 则， 解得：． 易错必刷题二、二次函数的图象 1．（24-25九年级上·重庆开州·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．当时，随的增大而增大 C．顶点的坐标为 D．图象与轴的交点坐标是 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，当时，图象开口向上，当时，图象开口向下．据此判断即可求解． 【详解】解：，， 该二次函数图象开口向下，对称轴是直线， 当时，随的增大而增大， 顶点坐标为， 当时，， ∴图象与轴的交点坐标是 观察四个选项，选项B正确，符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）若点在抛物线上，则的大小关系为 （用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据可求出函数的对称轴，点是抛物线的顶点，可以判断，而点C离对称轴最远，故的值最大，据此即可判断． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴点是抛物线的顶点，则， ∵， ∴点C离对称轴最远，最大， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）已知二次函数． (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； (3)当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据的对称轴为直线，顶点坐标为即可得； （2）列表、描点、连线即可画图； （3）根据增减性解答即可． 【详解】（1）解：的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：列表： 描点画图，得： （3）解：由抛物线开口向上，对称轴为直线， 则当随的增大而减小时，的取值范围为． 易错必刷题三、一次函数、二次函数图象综合判断 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象的综合判断，分别判断各个选项中两个函数的、的符号，看是否一致，即可得解，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、由图可得，函数经过一、二、三象限，故，，函数的图象开口向上，对称轴在轴左边，故，，即，故不符合题意； B、由图可得，函数经过一、二、四象限，故，，函数的图象开口向下，对称轴在轴右边，故，，即，故不符合题意； C、由图可得，函数经过一、二、三象限，故，，函数的图象开口向上，对称轴在轴右边，故，，即，故符合题意； D、由图可得，函数经过一、三、四象限，故，，函数的图象开口向下，对称轴在轴左边，故，，即，故不符合题意； 故选：C． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线与直线交于， ∴不等式的解集是． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图像的理解，谁大谁的图象在上面． 3．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，正比例函数y1=x与二次函数y2=x2-bx的图象相交于O（0，0），A（4，4）两点． (1)求 b 的值； (2)当 y1 y2 时，直接写出 x 的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点A（4，4）代入进行解答即可得； （2）由图像即可得． 【详解】（1）解：将点A（4，4）代入得， 解得． （2）解：由图像可知，当或时，． 【点睛】本题考查了正比函数，二次函数，解题的关键是掌握正比函数的性质和二次函数的性质． 易错必刷题四、待定系数法求二次函数解析式 1．（2024九年级上·云南·专题练习）已知是的二次函数，与的对应值如下表： 则其表达式为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是根据二次函数的对称性找到顶点坐标，设，代入，求即可． 【详解】解：由表可知：关于对称轴的对称点是， 二次函数对称轴是直线， 二次函数顶点坐标是， 设二次函数解析式是， 把代入得： ， 解得：， 二次函数解析式是， 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，先根据图象中顶点坐标和图象过原点，求出图中二次函数的解析式，然后再根据平移规律得出平移后的二次函数表达式． 【详解】解：根据图象可知，二次函数的顶点坐标为， ∴设图中二次函数解析式为：， ∵二次函数图象过原点， ∴把代入得：， 解得：， ∴图中二次函数解析式为， ∴将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为： ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）根据下列条件求二次函数的表达式． (1)图象过点，，． (2)顶点为，过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（）设二次函数的表达式为，把、、代入计算即可求解； （）设二次函数的表达式为，可得，，再把点代入计算即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的一般式和顶点式是解题的关键． 【详解】（1）解：设二次函数的表达式为， ∵图象过点，，， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：设二次函数的表达式为， ∵顶点为， ∴，， ∴， ∵过点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为． 易错必刷题五、抛物线与x轴的交点问题 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤的解为，．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，与轴的交点，此类题目，要注意利用好特殊自变量的函数值的应用．①利用抛物线与轴有2个交点可进行判断；②根据二次函数的开口方向确定的符号，根据对称轴确定的符号，根据二次函数的图象与轴的位置确定的符号即可判断；③根据对称轴是直线即可判断；④利用时，可进行判断；⑤根据抛物线与轴的交点即可判断． 【详解】解：①抛物线与轴有2个交点， ，所以①正确； ②图象开口向下，得， 对称轴， ， 图象与轴的交点在轴的上方，得， ，故②正确； ③抛物线的对称轴为直线， ， ，所以③正确； ④抛物线对称轴为直线，图象与轴的一个交点为， 图象与轴的另一个交点为， 当时，， ，故④错误； ⑤二次函数的图象过，， 方程的解是，，故⑤正确． 故选：C． 2．（24-25九年级上·天津·期中）已知一元二次方程的两实数根为和5，则抛物线的对称轴为 ． 【答案】直线 【分析】本题要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系．根据函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根，从而可得答案． 【详解】解：函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根， ∵方程的两个根为和5， ∴的图象与x轴的交点的横坐标为和5， 则对称轴为直线， 故答案为：直线． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．抛物线经过点A且交线段于点C． (1)求k的值． (2)求点C的坐标． (3)直接写出当x在何范围时，． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合： （1）根据二次函数解析式求出点A坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）联立两函数解析式求出对应的交点坐标即可得到答案； （3）根据函数图象找到一次函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，解得或， ∴， 把代入中得：，解得； （2）解：由（1）可得， 联立，解得或， ∴； （3）解：由函数图象可知，当或时，． 易错必刷题六、已知二次函数的函数值求自变量的值 1．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表，下列结论错误的是（　　） x … 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … A．对称轴是直线 B．与x轴的交点坐标是， C．抛物线开口向下 D．的解是 【答案】D 【分析】根据表格中的数据，结合二次函数的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.由图可知，抛物线的对称轴为直线，故A选项正确，不符合题意； B.由表格可知，抛物线图象与x轴的一个交点为，由抛物线的对称性可知，另一个交点为，故B选项正确，不符合题意； C.∵在对称轴左侧，y随x增大而增大， ∴抛物线的开口向下，则a＜0，抛物线开口方向向下，故C选项正确，不符合题意； D.由表格可知，，即时，x的值为或2，故的解为或，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，根据表格中的数据求出抛物线的对称轴为直线是解题的关键． 2．（23-24九年级上·北京通州·期末）如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线与于B、C两点，那么线段BC的长是 ． 【答案】2 【分析】根据题意，将分别代入 ，，求得的正数解，即求得的坐标，进而即可求得的长． 【详解】解：，则解得，即 解得，即 故答案为： 【点睛】本题考查了根据二次函数的函数值求自变量，联立解方程是解题的关键． 3．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系. （1）根据待定系数法即可求得； （2）令求出x的值，即可求解. 【详解】（1）解：将点代入得： ， 解得： . （2）令即， 解得：， 抛物线开口向上， 时，。 易错必刷题七、二次函数图象的平移 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）若抛物线平移后经过原点，则抛物线经过了（   ） A．向上平移个单位 B．向下平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，先把化为顶点式，再根据每个选项的平移情况得出对应的解析式，再把代入进行计算，算出时，则平移后经过原点，即可作答． 【详解】解：依题意，， A、向上平移个单位，得，把代入，不经过原点，故该选项不符合题意； B、向下平移个单位，得，把代入，经过原点，故该选项符合题意； C、向左平移个单位，得，把代入，不经过原点，故该选项不符合题意； D、向右平移个单位，得，把代入，不经过原点，故该选项不符合题意； 故选：B 2．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线的平移，根据“左加右减，上加下减”规则求解即可． 【详解】解：抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为：，即， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求h的值及点B的坐标； (2)将该抛物线向右平移个单位长度后，与y轴交于点C，过点B作x轴的平行线交新抛物线于点D，若，求m的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移∶ （1）将代入抛物线求得，再求当时，求得y的值，即可得点的坐标； （2）根据平移得点A的对应点为D的坐标，平移后抛物线的解析为，，求得点C的坐标，再根据，建立方程即可求得m的值． 【详解】（1）解：将代入抛物线中，得： ，解得：， 即：抛物线解析式为：， 当时，， ∴点B的坐标为； （2）解： ∵该抛物线向右平移个单位长度后，与y轴交于点C，且点A的对应点为D， ∴平移后抛物线解析式为，， 当时，， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴． 易错必刷题八、二次函数的应用（销售、增长、图形）问题 1．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【答案】(1) (2)当时，今年的总产值为万元． 【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式； （2）代入，求出y值即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：； （2）当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识．根据是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ，， ∴重叠部分也是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）． (1)请直接写出y关于x的函数表达式 ． (2)设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润＝总销售额﹣总成本）为w元，当销售单价为多少元时，可获得的总利润最大？最大总利润是多少？ (3)若该商铺要保证销售这批商品的利润不能低于4000元，则销售单价x（元）的取值范围是 ．（直接写答案） 【答案】(1)； (2)70元时，最大总利润是6000元； (3)． 【分析】（1）直接利用待定系数法求一次函数解析式得出即可； （2）利用总利润＝总销售额﹣总成本，进而得出w与x的函数关系式，进而得出最值； （3）利用二次函数的增减性得出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：（1）设y与x的函数关系式为：， ∵函数图象经过点和， ∴， 解得：． 故y与x之间的函数关系式为：； 故答案为：； （2）解：由题意可得出： ， 自变量取值范围：． ∵，． ∴函数图象开口向下，对称轴是直线． ∵，此时y随x的增大而增大， ∴当时，； 故当销售单价为70元时，可获得的总利润最大；最大总利润是6000元； （3）解：由， 当时，， 解得：， ∵， ∴， 又∵； ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式和二次函数增减性等知识，利用函数增减性得出是解题关键． 易错必刷题九、二次函数的应用（喷水、投球、拱桥）问题 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是．    (1)水流喷出的最大高度是多少？ (2)若不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？ 【答案】(1) (2)当米时，水流不落在池外 【分析】（1）水流喷出的最大高度是二次函数的顶点坐标的纵坐标，由此即可求解； （2）水池的半径是当二次函数时，自变量的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ∴二次函数的顶点坐标是， ∴水流喷出的最大高度是米． （2）解：原二次函数变形得，，即，解方程得，，， ∵， ∴，即当米时，水流不落在池外． 【点睛】本题主要考查二次函数一实际问题的综合应用，掌握二次函数图像的特点是解题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）如图，要修建一条截面为抛物线型的隧道，线段表示水平的路面，根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上同一高度处安装照明灯（即在该抛物线上的点，处分别安装照明灯）．若要求，处的照明灯水平距离为，求照明灯的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，把解析式设为顶点式，根据利用待定系数法求解即可； （2）先根据题意得到点A到对称轴的距离，即可得到点A的横坐标，再求出点A的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系． 由题意，得点，顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入，得， 解得， 满足设计要求的抛物线的函数表达式为． （2）解：点，在同一高度， 点，关于对称轴直线对称， ∵，处的照明灯水平距离为， ∴可知点距离对称轴个单位长度， 点的横坐标为， 在中，当时， 点的纵坐标为， 即照明灯的高度为． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）综合与实践 素材1：一年一度的科技节即将到来，小明所在的科技小组研制了一种航模飞机．通过多次实验，收集了飞机的水平飞行距离（单位：）与相对应的飞行高度（单位：）的数据（如表） 飞行水平距离（单位：） 0 20 40 60 80 100 … 飞行高度（单位：） 0 40 64 72 64 40 … 素材2：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞航模飞机，已知航模的飞行高度（单位：）与水平飞行距离（单位：）满足二次函数关系． 任务1：请求出关于的函数关系式（不用写自变量的取值范围），并求出航模的最远飞行距离； 任务2：在安全线上设置回收区域，点的右侧为回收区域（包括端点），．若飞机落在回收区域内，求发射平台相对于安全线的最低高度． 【答案】任务1：，航模的最远飞行距离为；任务2：发射平台相对于安全线的最低高度为 【分析】本题主要查了二次函数的实际应用： 任务1：根据题意可得顶点为．故可设抛物线为，再把代入解答，即可求解； 任务1：设发射平台相对于安全线的高度为，可得飞机相对于安全线的飞行高度为：，再由当时，，即可求解． 【详解】任务一：解：由题意，根据所给表格数据，可得抛物线的对称轴是直线， ∴顶点为． 故可设抛物线为， 又抛物线过， ∴， ∴， ∴所求抛物线为， 又令， ∴， ∴（舍去）或， 故航模的最远飞行距离为； 任务2：设发射平台相对于安全线的高度为， 飞机相对于安全线的飞行高度为：， 当时，， ∴，解得， ∴发射平台相对于安全线的最低高度为． 易错必刷题十、二次函数的（周长、面积、角度）问题 1．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A，B，已知点A的坐标为．    (1)求点B的坐标和抛物线的表达式． (2)将抛物线顶点向上平移m个单位得点P，过点P作的平行线交抛物线于点C，D．若，求m的值． 【答案】(1)点坐标为；抛物线解析式为 (2) 【分析】（1）把点坐标代入中求出得到抛物线解析式；解方程得点坐标； （2）利用配方法得到，则抛物线的顶点坐标为，则，利用和抛物线的对称性得到点坐标为，然后把代入得，最后解关于的方程即可． 【详解】（1）把代入得，解得， 抛物线解析式为， 当时，，解得，， 点坐标为； （2）， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线顶点向上平移个单位得点， ， ， 而点与点关于直线对称， 点坐标为，，即， 把代入得， 解得． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题． 2．（23-24九年级上·陕西延安·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点D是第三象限抛物线上一动点，连接，，，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)当时，最大，最大面积为． 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式、二次函数的应用－面积问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的表达式，设，则，求得的长，利用三角形的面积公式得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，过点D作轴于点F，交于点E，令，得， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入， 得，解得， ∴直线的表达式为， 设，则， ∴， ∴ ， ∴当时，最大，最大面积为． 3．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点（与点B、C不重合），作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标； (3)如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当时，请求出点Q的坐标． 【答案】(1)y＝﹣x2＋2x＋3 (2)M（，） (3)Q（﹣1，0）或（5，﹣12） 【分析】（1）根据二次函数的交点式，即可求解； （2）先求出C（0，3），可得直线BC的解析式为y＝-x＋3，然后设M的坐标（m，-m2＋2m＋3），则N（m，-m＋3），再利用二次函数的性质，即可求解； （3）过点Q作QH⊥y轴于点H，连接PC，先求出点P坐标（1，4），可得PC＝，PB＝，BC＝，从而得到△PBC为直角三角形，进而得到tan∠PBC＝，然后设点Q（x，﹣x2＋2x＋3），再由，列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0）， ∴函数的表达式为：y＝﹣（x＋1）（x﹣3）＝﹣x2＋2x＋3； （2）解：当 时， ， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为 ， 把点B（3，0），C（0，3）代入得： ，解得： ， ∴直线BC的解析式为y＝-x＋3， 设M的坐标（m，-m2＋2m＋3），则N（m，-m＋3）， ∴MN＝-m2＋2m＋3-（- m＋3）＝- m2＋3m＝ -（m -）2＋， 当m ＝时，MN的长度最大， 此时M（，）； （3）如图，过点Q作QH⊥y轴于点H，连接PC， ∵ ， ∴点P坐标（1，4）， ∵点B（3，0），C（0，3）， ∴PC＝，PB＝，BC＝， ∴ ， ∴△PBC为直角三角形， ∴tan∠PBC＝， 设点Q（x，﹣x2＋2x＋3）， ∵， 则， 解得：x＝0或5或﹣1（舍去0）， 故点Q（﹣1，0）或（5，﹣12）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数，熟练掌握二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数是解题的关键． 易错必刷题十一、二次函数的三角形问题 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上． (1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为 (2)不存在．理由见解析 【分析】本题考查抛物线的图象和性质，全等三角形的性质等： （1）抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为； （2）假设存在一点M，使，则点M和O关于直线对称， 求出点M的坐标，再判断点M是否在抛物线上即可． 【详解】（1）解：该抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为． （2）解：不存在．理由如下： 对于，令，则， 解得，， 点A的坐标为，点B的坐标为． 则， 是等腰直角三角形． 假设存在一点M，使， 为公共边，， 点M和O关于直线对称， 四边形是正方形， 点M的坐标为． 当时，， 即点M不在抛物线上， 在抛物线上不存在一点M，使． 2．（2024·陕西商洛·三模）如图，已知点，，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，，若点N在x轴上，要使以B，P，N为顶点的三角形与相似，求满足条件的点N的坐标． 【答案】(1)该抛物线的函数表达式为 (2)点N的坐标为或 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数与相似三角形综合，掌握求二次函数解析式和相似三角形的性质与判定是解题关键． （1）将点，，代入，用待定系数法求二次函数解析式； （2）连接，可得顶点P的坐标为，设，求出，进而得出，再分两种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：将点，，代入， 得解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解：如图，连接，顶点P的坐标为． 设， 当时，，解得，， ． ，，， ． 当时，， ，解得． 点N的坐标为． 当时，， ，解得， 点N的坐标为． 综上所述，点N的坐标为或． 3．（2024·山西·模拟预测）综合与探究 如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)存在点或或或 【分析】（1）把和代入求解即可． （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大即可解答． （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当为矩形一边时，且点D在x轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为，把B，C点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线下方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ； （3）由题意可得：， 的对称轴为. ∵，， ∴， 如图3.1：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作轴于点F， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点； 如图3.2：当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，的对称轴为与x轴交于点F， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点； 如图3.3：当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或. 综上，存在点或或或， 使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形． 【点睛】本题是二次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，利用平移的性质解决问题是解本题的关键． 易错必刷题十二、事件的可能性 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．“在标准大气压下，当温度降到时，水结成冰”属于随机事件 B．“13名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件 C．“某射击运动员射击一次，正中靶心”属于随机事件 D．“某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件 【答案】A 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的定义，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件，随机事件，不可能事件的定义进行判断． 【详解】解：A、“在标准大气压下，当温度降到时，水结成冰”属于必然事件，故本选项符合题意； B、“名同学至少有两名同学的出生月份是相同的”属于必然事件，故本选项不符合题意； C、“某射击运动员射击一次，正中靶心”属于随机事件，故本选项不符合题意； D、“某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）下列事件：①在足球比赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；③任取两个正整数，其和大于；④长分别为厘米、厘米、厘米的三条线段能围成一个三角形，其中是确定事件的有 个． 【答案】 【分析】本题考查确定事件和随机事件的概念．熟练应用确定事件和随机事件的概念进行判断是解题的关键．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 【详解】解：①在足球比赛中，弱队战胜强队，此事件为随机事件． ②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上，此事件为随机事件． ③任取两个正整数，其和大于1，此事件为必然事件，为确定事件． ④长分别为3厘米、5厘米、9厘米的三条线段能围成一个三角形，此事件不可能发生，为确定事件． ∴其中是确定事件的有2个． 故答案为：2． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）一幅张的扑克牌（无大、小王），从中任意取出一张，共有种可能的结果． (1)说出抽到A的所有可能的结果； (2)求抽到梅花A的可能性的大小； (3)求抽到A的可能性大小； (4)求抽到梅花的可能性大小． 【答案】(1)红桃A、方块A、梅花A、黑桃A (2) (3) (4) 【分析】本题考查了简单事件发生的可能性的求解，即用“可能性所求情况数总情况数”去解答． （1）根据扑克牌的特点求解即可； （2）用梅花A的数量除以总数量即可求解； （3）用A的数量除以总数量即可求解； （4）用梅花的数量除以总数量即可求解． 【详解】（1）抽到A的所有可能的结果有：红桃A、方块A、梅花A、黑桃A； （2）∵有1张梅花A，共有52张牌， ∴抽到梅花A的可能性的大小为； （3）∵有4张A，共有52张牌， ∴抽到A的可能性的大小为； （4）∵有13张梅花，共有52张牌， ∴抽到梅花的可能性的大小为． 易错必刷题十三、简单事件的概率 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）一个不透明的袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余相同．从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比，根据概率公式可知，用绿球的个数除以球的总数即可． 【详解】解：∵袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球，共有12个球， ∴从袋中任意摸出一个球是绿球的概率为． 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）一个不透明的袋子里装有2个红球和1个黑球，它们除了颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用红球的个数除以球的总数即可得到答案． 【详解】解：∵一共有3个球，其中红球有2个，且每个球被摸出的概率相同， ∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率是， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）某校运动会田赛部分由、、、四个项目组成，学生可以任选一项参加．为了了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图； (2)求区域扇形圆心角的度数； (3)已知每项比赛获奖取前3名，小丽和小杰都参加了项目的比赛，小丽取得了第一名的好成绩，求小杰获奖的概率． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了求概率，条形统计图，求扇形统计图圆心角的度数， （1）根据C项目所占百分比和人数，可求出总人数，即可求出B选项的人数，再补全统计图即可； （2）求出A选项所占的百分比，再乘以可得答案； （3）根据概率公式计算即可． 【详解】（1）样本的容量为， 则参加B项目的人数为． 补全统计图如下： （2）A区域扇形圆心角的度数为； （3）根据题意可知A项目有5个人参赛，小丽已获得第一名，所以小杰获奖的概率是． 易错必刷题十四、用频率估计概率 1．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为（   ） A．8 B．12 C．15 D．20 【答案】D 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可． 【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在， ∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为， ∴， ∴． 经检验，  是方程的解，且符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在正方形中，分别以点，为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成阴影部分，为了估计阴影部分的面积，小美同学在正方形内随机掷小石块，经过大量重复试验，发现小石块落在阴影部分的频率稳定在附近，则据此估计阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用频率估算频数，解决本题的关键是掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摇摆，即可估算频数． 【详解】解：由题意得，阴影部分的面积为； 故答案为：． 3．（2024·广东清远·模拟预测）【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留) 【答案】（1）0.305，0.3；（2）估计整个封闭图形的面积是平方米 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据圆的面积公式得到圆的面积（平方米），利用圆的面积频率值圆的面积即可得到结论． 【详解】解：（1）， 随着投掷次数增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.3附近， 故答案为：0.305，0.3； （2）∵圆的面积（平方米）， ∴整个封闭图形的面积（平方米）， 答：估计整个封闭图形的面积是平方米． 易错必刷题十五、概率的简单应用 1．（2024·湖北武汉·一模）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮同学随机地在大正方形及其内部区域投针，若直角三角形的两条直角边长分别是和，则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的两条直角边长分别是和，根据勾股定理，求出大正方形的边长：；根据小正方形的边长为：，求出小正方形的面积，根据针扎到小正方形（阴影）区域的概率为：，即可． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵小正方形的边长为：， ∴， ∴针扎到小正方形（阴影）区域的概率为：． 故选：C． 【点睛】本题考查概率的知识，解题的关键是掌握概率的运用，勾股定理的运用． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）在如图所示的3×3的方格中，任意涂黑一块白色方块，和原有的黑色方块恰好构成轴对称图形的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式求简单概率，设计轴对称图形．如图，把图中的①或②涂黑，所得图案是一个轴对称图形，再根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：如图，把图中的①或②涂黑，所得图案是一个轴对称图形， 所以所得图案是一个轴对称图形的概率是． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）某校九（1）班的余老师和九（3）班的王老师两人在玩转盘游戏时，把转盘、分成3等份、4等份，并在每一份内标有数字（如图）．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，余老师胜；指针所在区域的数字之积为偶数时，王老师胜．如果指针恰好在分割线上，则需重新转动转盘．      (1)用树状图或列表的方法，求余老师获胜的概率； (2)这个游戏规则对余老师、王老师双方公平吗？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏规则对余老师、王老师双方不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性： （1）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到转出的两个数字之积为奇数的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； （2）同（1）求出王老师获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中转出的两个数字之积为奇数的结果数有4种， ∴余老师获胜的概率为； （2）解：这个游戏规则对余老师、王老师双方不公平，理由如下： 由（1）可知，转出的两个数字之积为偶数的结果数有8种， ∴王老师获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏规则对余老师、王老师双方不公平． 易错必刷题十六、圆 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知的半径为1，，则点在（   ） A．内 B．上 C．外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，判断点与圆的位置关系．根据点在圆上，则；点在圆外，则；点在圆内，则（即点到圆心的距离，即圆的半径）进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴点与的位置关系是点在圆外， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）在的网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点记为格点．若一圆弧过格点，则该圆弧所在圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的基本概念，网格与勾股定理，作垂线，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作图找出圆心，再运用网格与勾股定理性质列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：分别连接和，再作它们的垂直平分线，交于一点O，该点即为该圆弧所在圆的圆心，连接， 结合网格特征，得出， ∴， ∴该圆弧所在圆的半径为， 故答案为：． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．求得到圆心的距离，与圆的半径进行比较即可作出判断． 【详解】解：连接． C在上； 在直角中，， 则A在的外部； ，则E在内部； ，则在直角中，，则F在的外部． 易错必刷题十七、图形的旋转 1．（24-25九年级上·浙江·期中）下列四个圆形图案中，旋转能与原图形完全重合且旋转角度最少的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转对称图形的知识，求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断． 【详解】解：A、最小旋转角度为； B、最小旋转角度为； C、最小旋转角度为； D、最小旋转角度为； 综上可得：旋转一定角度后，能与原图形完全重合，且旋转角度最小的是B． 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，，，．将绕点逆时针旋转得，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据旋转可得，得． 【详解】，， ． 将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上， ， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在的方格纸中，的三个顶点都在格点上．    (1)以点C为旋转中心，将按顺时针方向旋转，画出旋转后的 ； (2)在（1）的基础上， 求线段和线段夹角的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画旋转图形，旋转的性质： （1）根据网格的特点和旋转方式找到A、B对应点的位置，再顺次连接即可； （2）由旋转的性质可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：∵以点C为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴线段和线段夹角的度数为． 易错必刷题十八、垂径定理 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，半径交弦于点，点为中点，若，，则的长为（   ） A．8 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．根据垂径定理，可得，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵点为中点， ∴， ∴， 在中，， 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知圆O的弦的长为8，弦的弦心距的长为3，则圆O半径的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了垂径定理的性质和勾股定理，根据题意连接，根据垂径定理及勾股定理解答即可． 【详解】解：连接，由垂径定理知， ， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴的半径长为5． 故答案为：5． 3．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）唐代李皋发明了“桨轮船”（如图），该桨轮船的轮子被水面截得线段为，轮子的吃水深度为，求该桨轮船的轮子的直径． 【答案】该桨轮船的轮子的直径为 【分析】本题主要考查垂径定理与勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 根据题意，连接，则是圆的半径，，该桨轮船的轮子的直径为，由图形可得，由垂径定理可得，设，由勾股定理可得，由此可得半径，从而得到直径． 【详解】解：如图所示，连接，则是圆的半径，， ∴该桨轮船的轮子的直径为， 根据图示可得，，即， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴该桨轮船的轮子的直径为． 易错必刷题十九、圆心角 1．（2024·陕西西安·一模）如图，点A，B在以为直径的半圆上，B是的中点，连结交于点E，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是熟练掌握以上知识点并能灵活运用．连接，可得，进一步求得，再根据是的中点即可求出． 【详解】解：连接，   是直径， ， ， ， 是的中点， ． 故选：D． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 【答案】/150度 【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解； 【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E， 设圆的半径为， 由题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴弧的度数是 故答案为： 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，点A，B，C在上，顺次连结，，，且，， (1)求的度数； (2)若的半径为3．求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆中弧、弦、角的关系，垂径定理以及勾股定理等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据即可求解； （2）求出的度数可得，过点作交于点连接，分别求出即可求解． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， 如图，过点作交于点连接， 则过， 由（1）可得． ∴， ∵的半径为3， ∴， ∴， ∴ 易错必刷题二十、圆周角 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，点A，B，C在上，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再由圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， 故选：B． 2．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）图1为一圆形纸片，A、B、C为圆周上三点，其中为直径，以为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的，且交于点D，如图2所示，若弧为，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，折叠的性质，关键是由折叠的性质得到． 由折叠的性质得到：，又是圆的直径，即可求出的度数． 【详解】解：由折叠性质可得：， ， ， 为直径， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点是上一点，连接，，于，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的半径为 【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角，垂直的定义可得，结合同位角相等，两直线平行即可求证； （2）根据垂径定理可得，，设的半径为，则∴，在中，运用勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：设的半径为， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴的半径为． 【点睛】本题主要考查直径或半圆所对圆周角为直角，垂径定理，勾股定理，平行线的判定的综合运用，掌握直径或半圆所对圆周角为直角，垂径定理与勾股定理的结合求线段长的方法是解题的关键． 易错必刷题二十一、圆内接四边形 1．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，已知半圆的直径为，点，是半圆上两点，连结，，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 连接，得出，再根据圆内接四边形的对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵半圆的直径为， ∴， ∵，， ∴， 故选：B ． 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，为的劣弧上一点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，能正确作辅助线是解此题的关键．作圆周角，根据圆周角定理求出的度数，根据圆内接四边形性质求出即可． 【详解】解：如图作圆周角，使在优弧上， ， ， 、、、四点共圆， ， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）（1）如图1，是的直径、C、D是上的两点，若，弧弧． 求：①的度数； ②求的度数； （2）如图2，的弦垂直平分半径，若的半径为4，求弦的长． 【答案】（1）①； ；（2） 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）①根据圆周角定理得到，可得，根据圆内接四边形的性质即可求出；②根据得到，利用等腰三角形的性质计算即可； （2）连接，根据弦垂直平分半径，可求出的长，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：（1）①∵是直径， ∴， ∵， ∴． ∵四边形是的圆内接四边形， ∴， ∴， ②∵， ∴， ∴； （2）连接， ∵弦垂直平分半径，， ∴． ∵，即， 解得， ∴． 易错必刷题二十二、正多边形 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】B 【分析】连接，，根据正边形的性质知，得，则正边形中心角为，即可解决问题．本题主要考查了正边形和圆的知识，熟练掌握正边形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，， 多边形是正边形， ， ， 正边形中心角为， ， 故选：B． 2．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，正八边形中，连接，那么的度数为 °． 【答案】45 【分析】本题考查了求正多边形性质，等腰三角形的性质等知识，掌握正多边形的性质是关键；设正八边形的中心为O，连接，则；由正多边形的性质得，由得的度数，从而求得结果． 【详解】解：设正八边形的中心为O， 如图，连接，则； ； 又， ，， ； 故答案为：45． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆与正多边形，圆周角定理： （1）连接，根据中心角的计算公式求出的度数，圆周角定理，求出的度数即可； （2）勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：连接，    由题意得：， ∴； （2）由（1）知：， 又∵， ∴， 即正方形的边长为：． 易错必刷题二十三、求弧长 1．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到，则的长为（    ）   A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧长的计算、旋转的性质．由旋转的性质可知，再利用弧长公式，可求出的长． 【详解】解：由旋转的性质得，， 的长． 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动，则砝码被提起了 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键；因此此题可直接根据弧长公式及题意进行求解即可． 【详解】解：由题意得：； 故答案为． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过格点作一圆弧． (1)所在圆的圆心的坐标为______． (2)求的长（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了弧长的计算以及垂径定理． （1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心； （2）根据扇形的面积公式，即可求得． 【详解】（1）解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是； 故答案为：； （2）解：连接MA、MC，如图所示： ，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， 所以的长：． 易错必刷题二十四、求扇形面积与半径 1．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，边长为4的正方形的顶点B在上，顶点A，C在内，的延长线交于点D，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查求不规则图形的面积，掌握扇形的面积公式，是解题的关键．根据正方形的性质和勾股定理得的半径为，结合扇形与三角形的面积公式，即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴， 即：的半径为， ∴． 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为 ．（计算结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了求扇形面积，解题的关键是掌握扇形面积公式．根据扇形面积公式，求出大扇形和小扇形的面积，最后根据即可求解． 【详解】解：根据题意可得： ∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，以边为直径作分别交，于点D，E．若点D是中点，连接． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求弧的长和扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2), 【分析】（1）连接，由为直径，得到，继而得出是线段的中垂线，即可求解； （2）由等边对等角及三角形外角的性质求出，，再根据弧长公式和扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ∵为直径， ∴，即， 又∵D是的中点， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，弧长公式和扇形公式，垂直平分线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 易错必刷题二十五、成比例线段 1．（24-25九年级上·浙江·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，根据合分比性质，可得答案. 【详解】解：， ， 代入； 故选：A． 2．（24-25九年级上·上海·期中）在比例尺为的地图上，相距10厘米的两地实际距离为 千米． 【答案】1 【分析】本题考查了比例线段，根据比例尺正确进行计算并注意单位的转换是解题的关键． 根据比例尺图上距离实际距离，列出关系式即可得出实际的距离． 【详解】解：设两地实际距离为x厘米，得：， 所以相距10厘米的两地的实际距离是厘米千米， 故答案为：1． 3．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）计算： (1)已知比例式，求x的值． (2)已知线段， 线段，求线段a， b的比例中项线段c． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了比例的性质，成比例线段的定义： （1）根据比例的性质得到，据此解方程即可； （2）根据成比例线段的定义得到，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得； （2）解：∵求线段a， b的比例中项线段c， ∴， ∵线段， 线段， ∴， ∴或（舍去）， 易错必刷题二十六、黄金分割 1．（2024·广东·模拟预测）大自然是美的设计师，校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点 P是的黄金分割点，即 ，这个无理数约是（   ） A．0.505 B．0.618 C．0.707 D．0.828 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割的意义，无理数的估算．先估算得出，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 观察四个选项，选项B符合题意； 故选：B． 2．（2024·江苏常州·模拟预测）20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，．已知为2米，则线段的长为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为进行求解即可． 【详解】解：∵E为边的黄金分割点，， ∴米， 故答案为：． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，可以增加视觉美感．若图中b为2米，求a的值（保留小数点后两位）． 【答案】米 【分析】根据雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，图中为2米，即可求出的值． 【详解】解：雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，， ， ， 的值为米． 【点睛】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割的定义． 易错必刷题二十七、由平行线截得的比例线段 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，已知，它们依次交直线，于点A，D，F和点B，C，E，如果，，，那么的值为（    ）    A． B． C．9 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．由，的长，可求出的长，由，再利用“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”，即可求出的长． 【详解】解：，， ， ， ，即， ． 故选：A． 2．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，、、分别是、上的点，且，，，，求和的长．    【答案】， 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，代值求出，则，同理可得，由此求出，则． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键． 易错必刷题二十八、相似三角形 1．（2024·河北邢台·一模）如图，在由小正方形组成的网格中，以点O为位似中心，把放大到原来的2倍，则点A的对应点为（    ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】D 【分析】连接AO到A1，使A1O=2OA，即可得到A的对应点A1，同法得到其余点的对应点，顺次连接，即可得到把△ABC放大到原来的2倍的△A1B1C1． 【详解】解：如下图，连接AO并延长到A1，使A1O=2OA，即可得到A的对应点A1，即点A的对应点为G点， 故选：D． 【点睛】本题考查了作图-位似变换，解题的关键是根据位似中心和位似比确定对应点的位置． 2．（23-24九年级上·四川乐山·期末）如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ． 【答案】 【分析】根据是斜边上的高，于点，得，，再根据相似三角形的判定，即可． 【详解】∵是斜边上的高，于点， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 3．（23-24九年级上·北京·期中）小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程. 已知：如图，在△ABC和△中，∠A＝∠，∠B＝∠. 求证：△ABC∽△. 证明：在线段上截取，过点D作DE∥，交于点E. 由此得到△∽△. ∴∠＝∠， ∵∠B＝∠， ∴∠＝∠B， ∵∠＝∠A， ∴△≌△ABC， ∴△ABC∽△. 小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整： (1)首先，通过作平行线，依据__________，可以判定所作△与_________； (2)然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△与________； (3)最后，可证得△ABC∽△. 【答案】(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；△相似；(2)△ABC全等. 【分析】：在线段上截取，过点D作DE∥，交于点E.由此得到△∽△，然后再证明△≌△ABC即可. 【详解】(1)首先，通过作平行线，依据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可以判定所作△与△相似； (2)然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△与△ABC全等； (3)最后，可证得△ABC∽△. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键. 易错必刷题二十九、两个三角形相似的判定 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可． 【详解】解：由题意得， A、当时，，故本选项不符合题意； B、当时，，故本选项不符合题意； C、当时，不能推断，故本选项符合题意； D、当时，，则，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有 ．（请在横线上填上符合条件的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似； ④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似． 故答案为：①②④． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知：在和中， ．求证：． 【答案】见解析 【分析】直接在线段（或它的延长线）上截取，得出，再证明，进而得出答案． 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定，正确得出是解题关键． 【详解】证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E， ∵，∴， ∴， 又，， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 易错必刷题三十、在网格中画与已知三角形相似的三角形 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，的顶点均在正方形网格的格点上，下列阴影部分的三角形与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案． 【详解】解：在中， ，，， A、三边分别为，，，则，故与相似，符合题意； B、三边分别为，，，则，故与不相似，不符合题意； C、三边分别为，，，则，故与不相似，不符合题意； D、三边分别为，，，则，故与不相似，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握． 2．（23-24九年级上·上海虹口·期末）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在的网格中，是一个格点三角形，如果也是该网格中的一个格点三角形，它与相似且面积最大，那么与相似比的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，三角形相似的判定和性质，理解题意，在表格中作出相似三角形是解题关键．根据与相似且面积最大，即得出中边对应的边最长，且保证的每个顶点都在格点即可，据此画出图形，即可求解． 【详解】解：∵与相似且面积最大， ∴中边对应的边最长，且保证的每个顶点都在格点即可． 如图，在格点上取，，， ∴此时面积最大，且，即与相似比的值是． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形： (1)在图1中画，使得，且相似比为； (2)在图2中画，使得，且面积比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作相似三角形， （1）根据相似比得出各边均扩大2倍，通过计算求出扩大后三角形三边长再连接各点即可； （2）由面积的比得两三角形相似比为，画出所有对应边为原来倍的三角形即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． ； （2）解：如图：即为所求． ． 易错必刷题三十一、相似三角形的判定与性质综合 1．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在中，E，F分别是上的点且，若的面积为9，则四边形的面积为（   ） A．4 B．6 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 先根据，可知，再根据“相似三角形的性质”得，进而得出，然后结合已知条件，可得答案． 【详解】∵，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，点分别在边上，连结，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由题意可证四边形是平行四边形，可得，，由相似三角形的性质和平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：∵，， 四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知与交于点，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题很简单，解题时要注意细心，关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． （1）由，得出，，即可证得：； （2）由相似三角形的对应边成比例，即可求得的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ； （2）解：， ． ，，， ． 易错必刷题三十二、相似三角形——动点问题 1．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（     ） A． B． C．或3 D．或4 【答案】C 【分析】首先由∠ACD=∠ABC，得出∠A=∠DCE，然后由相似三角形的性质得出或，代入即可得解. 【详解】∵∠ACD=∠ABC， ∴∠A=∠DCE， ∵△DCE和△ABC相似， ∴或 ∵AC=6，AB=4，CD=2， ∴或 ∴CE的长为或3 故选：C. 【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解决此问题要注意分类讨论. 2．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．运动过程中，若以B、P、Q为顶点的三角形与相似，则运动时间为 s． 【答案】2或 【分析】设点P运动的时间为，则，，再分两种情况求t的值，一是，则，可列方程；二是，则，可列方程，解方程求出相应的t的值即可． 【详解】解：设点P运动的时间为，则， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， 解得； ∵， ∴当时，， ∴， ∴， 解得． 综上所述，运动时间为或． 故答案为：2或． 【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示相似三角形的对应边的长度是解题的关键． 3．（2024·安徽滁州·一模）在中，，，现有动点从点出发，沿线段向点方向运动：动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．求： (1)当时，、两点之间的距离是多少？ (2)若的面积为，求关于的函数关系式． (3)当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）在中，当秒，可知、的长，运用勾股定理可将的长求出； （2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知的长，可将用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解； （3）应分两种情况：当时，根据，可将时间t求出；当时，根据，可求出时间t． 【详解】（1）由题意得则 （1）当秒时，，， 由勾股定理得； 故、两点之间的距离是 （2）由题意得则 ∴ 由题意可知 ∴关于的函数关系式为 （3）当时 即 解得 当时 即 解得 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形性质以及勾股定理的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解防止漏解或错解，注意方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键． 易错必刷题三十三、相似多边形 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，四边形的内角和定理的应用，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，难度不大．根据相似多边形的对应角相等求解，进一步可得答案． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴， ∵，， ∴， 故选：D 2．（2024·广西柳州·模拟预测）如图是两个形状相同的飞机图案，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质求解即可，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得两个图形相似， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，有一种复印纸，整张称为纸，对折一分为二裁开成为纸，一分为二成为纸…，它们都是相似的矩形． (1)求的值． (2)若纸的周长为286厘米，求纸的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似多边形的性质 （1）由图可知纸的长为，宽为，纸的长为AB，宽为，再由相似四边形的对应边成比例列出比例式，求值即可． （2）由（1）可知四边形相似比进而可得出四边形的周长之比，直接计算即可． 【详解】（1）解：∵纸的长为，宽为，纸的长为AB，宽为， ∴、纸的长与宽对应比成比例，得， ∴； （2）∵纸的周长为286厘米，； ∴纸的周长． 易错必刷题三十四、图形的位似 1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，与是位似图形，点是位似中心，若位似比，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，由与是位似图形可得，进而得到相似比为，再根据相似三角形的性质即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：与是位似图形，点是位似中心， ∴， ∵位似比为， ∴相似比为， ∴， 即， ∴， 故选：． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角和是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，C在上，则点坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似定义及性质，等腰三角形性质等．根据题意得，再根据等腰直角三角形性质得到点的坐标，再根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵点，， ∴， ∵等腰直角和， ∴点的坐标为， ∵和是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为， ∴，即， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）在如图所示的网格中，已知和点． (1)以点为位似中心把三角形放大，位似比为2，画出的位似图形； (2)写出的各顶点坐标． 【答案】(1)作图见详解 (2)，， 【分析】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的性质得出对应点坐标是解题关键． （1）利用位似图形的性质即可位似比为2，进而得出各对应点位置； （2）利用所画图形得出对应点坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求： （2）解：的各顶点坐标分别为：，，． 1．（24-25九年级上·浙江·期中）下列四个圆形图案中，旋转能与原图形完全重合且旋转角度最少的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转对称图形的知识，求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断． 【详解】解：A、最小旋转角度为； B、最小旋转角度为； C、最小旋转角度为； D、最小旋转角度为； 综上可得：旋转一定角度后，能与原图形完全重合，且旋转角度最小的是B． 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查几何概率问题，首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率． 【详解】解：∵圆被等分成4份，其中红色部分占1份， ∴落在红色区域的概率=． 故选：A． 3．（23-24九年级上·天津北辰·阶段练习）二次函数在时有最小值3，则这个函数的图象可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，开口向下，二次函数在顶点处取得最大值．根据二次函数最值问题对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、函数值3不是最小值，故本选项错误； B、时有最小值3，故本选项正确； C、时有最大值3，故本选项错误； D、函数有最大值3，故本选项错误． 故选：B． 4．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形. 根据位似的定义判断即可得出答案． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 故选；C． 5．（24-25九年级上·浙江·期中）点在二次函数的图象上，小明在探究取不同值，点的存在性问题时，得到如下三个结论： ①当时，点的个数为0； ②当时，点的个数为1； ③当时，点的个数为2． 下列判断正确的是（    ） A．①错，②③对 B．①对，②③都错 C．①②对，③错 D．①②③对 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，判别式的应用，根据点在二次函数的图象上，得出，再求出判别式的值，即可作答． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， 即， ∴， 当时，则，此时无实数根， 即当时，点的个数为0； 故①是正确的； ②当时，则，此时有一个实数根， 即当时，点的个数为1； 故②是正确的； ③当时，则，此时有两个不相等的实数根， 即当时，点的个数为2． 故③是正确的； 故选：D． 6．（24-25九年级上·浙江温州·期末）若二次函数的图象经过，，，则，，的大小关系是 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，由得图象开口向下，对称轴为直线，结合，，，得出点A、C关于直线对称，则，再结合增减性和开口方向，即可作答． 【详解】解：由得图象开口向下，对称轴为直线， ∵二次函数的图象经过，，， ∴点A、C关于直线对称，则， ∵当时，y随x的增大而增大，， ∴， ∴． 故答案为： 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）学校组织去宋城秋游，安排给九年级4辆车，小高和小乔都可以从这4辆车中任选一辆搭乘．则小高和小乔不坐同一辆车的概率为 ． 【答案】/0.75 【分析】此题考查了利用树状图求概率，画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的结果数，进而求出概率，正确画出树状图或列表，找到所有等可能情况数和满足要求情况数是解题的关键．四辆车分别用1，2，3，4表示，画树状图得出所有等可能的结果数和符合条件的结果数，再利用概率公式得出答案． 【详解】解：四辆车分别用1，2，3，4表示， 画树状图： 所有等可能的结果数为16种，小高和小乔不坐同一辆车的结果有12种， ∴小高和小乔不坐同一辆车的概率为． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是 【答案】/8厘米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示： 根据题意得：， ∴， ∵烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是， ∴， ∴ 故答案为： 9．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）学校科学社团成员制作了一个物体发射器，可使用该发射器从地面竖直向上发射出物体，已知发射出的物体离地面的高度（单位：）满足关系式，其中（单位：）是物体运动的时间，（单位：）是物体被发射时的初始速度．若发射小球时的初始速度，当小球离地面的高度为时，的值为 s． 【答案】或 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 根据题意可得，整理得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得： ， 整理，得： ， 分解因式，得：， 解得：或， 故答案为：或． 10．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，圆心到水面的距离为4米，则该圆的半径为 ． 【答案】5米/ 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．如图，作 于点E，交⊙O于点D，设圆的半径为r米，利用勾股定理构建求解即可． 【详解】解：如图，过点O作交于点E， 交⊙O于点D，如图， ∵， ∴米， 根据题意得：米， 设圆的半径为r米， ∵， ∴米， 故答案为：5米． 11．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）某校运动会田赛部分由、、、四个项目组成，学生可以任选一项参加．为了了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图； (2)求区域扇形圆心角的度数； (3)已知每项比赛获奖取前3名，小丽和小杰都参加了项目的比赛，小丽取得了第一名的好成绩，求小杰获奖的概率． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了求概率，条形统计图，求扇形统计图圆心角的度数， （1）根据C项目所占百分比和人数，可求出总人数，即可求出B选项的人数，再补全统计图即可； （2）求出A选项所占的百分比，再乘以可得答案； （3）根据概率公式计算即可． 【详解】（1）样本的容量为， 则参加B项目的人数为． 补全统计图如下： （2）A区域扇形圆心角的度数为； （3）根据题意可知A项目有5个人参赛，小丽已获得第一名，所以小杰获奖的概率是． 12．（23-24九年级上·浙江台州·期末）景区有一口水井，距离井边米处是最深的井底，小明想知道井有多深，于是走进观察，在距离井边米处刚好能看见井底，如果小明眼睛离地面的高度米，你能计算出水井的深度吗？ 【答案】10米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用举例，先证明，可得，从而可得答案； 【详解】解：， ， ， ， ， ， 米． 13．（24-25九年级上·河南漯河·期中）已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴； (2)完成下表： x … 1 3 5 … y … ______ ______ ______ ______ ______ … (3)在平面直角坐标系中描点画出抛物线的图象． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线 (2)，，0，， (3)作图见详解 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的特点，计算函数值，描点连线作图，掌握二次函数顶点式的特点，代入求值，根据表格信息作图的方法是解题的关键． （1）根据二次函数的顶点坐标为，对称轴直线为，即可求解； （2）把自变量的值代入计算即可求解函数值； （3）根据表格信息，描点、连线即可求解． 【详解】（1）解：抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：把自变量的值代入求解， x … 1 3 5 … y … 0 … 故答案为：，，0，，； （3）解：根据表格信息，描点，连线，作图如下， 14．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，以边为直径作分别交，于点D，E．若点D是中点，连接． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求弧的长和扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2), 【分析】（1）连接，由为直径，得到，继而得出是线段的中垂线，即可求解； （2）由等边对等角及三角形外角的性质求出，，再根据弧长公式和扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ∵为直径， ∴，即， 又∵D是的中点， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，弧长公式和扇形公式，垂直平分线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 15．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与y轴交于点C． (1)求点C的坐标； (2)如图1，在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)如图2，点P在抛物线上，过点P作轴，交直线于点D，若以P，D，O，C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点Q的坐标为 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）令，即可求解； （2）先求出抛物线的对称轴为直线，设点A关于直线对称点为H，连接，则H的坐标为，，可得当点A，Q，H时，最小，此时的周长最小，再求出直线的解析式，即可求解； （3）设点P的坐标为，由直线的解析式为，可得点D的坐标为，从而得到，再根据，可得当，四边形是平行四边形，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：对于 当时，， ∴点C的坐标为； （2）解：解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，设点A关于直线对称点为H，连接，则H的坐标为，， ∴， 当点A，Q，H时，最小，此时的周长最小， 设直线的解析式为， 把代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点Q的坐标为； （3）解：设点P的坐标为 ∵，， ∴轴， ∴直线的解析式为， ∴点D的坐标为， ∴， ∵轴， ∴， 当，四边形是平行四边形， 即， 解得或， ∴点P的坐标为或． 【点睛】此题主要考查了二次函数的综合题，用到的知识点是二次函数的最值问题，平行四边形的性质，关键是根据题意作出辅助线，利用数形结合思想进行解答， 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末重难点真题特训之易错必刷题型（117题34个考点） 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、二次函数 1．（24-25九年级上·浙江·期中）下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式 ． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知函数． (1)当m为何值时，这个函数是二次函数？ (2)当m为何值时，这个函数是一次函数？ 易错必刷题二、二次函数的图象 1．（24-25九年级上·重庆开州·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．当时，随的增大而增大 C．顶点的坐标为 D．图象与轴的交点坐标是 2．（24-25九年级上·浙江·期中）若点在抛物线上，则的大小关系为 （用“”连接）． 3．（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）已知二次函数． (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； (3)当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 易错必刷题三、一次函数、二次函数图象综合判断 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是 ． 3．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，正比例函数y1=x与二次函数y2=x2-bx的图象相交于O（0，0），A（4，4）两点． (1)求 b 的值； (2)当 y1 y2 时，直接写出 x 的取值范围． 易错必刷题四、待定系数法求二次函数解析式 1．（2024九年级上·云南·专题练习）已知是的二次函数，与的对应值如下表： 则其表达式为 A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为 ． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）根据下列条件求二次函数的表达式． (1)图象过点，，． (2)顶点为，过点． 易错必刷题五、抛物线与x轴的交点问题 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤的解为，．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 2．（24-25九年级上·天津·期中）已知一元二次方程的两实数根为和5，则抛物线的对称轴为 ． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．抛物线经过点A且交线段于点C． (1)求k的值． (2)求点C的坐标． (3)直接写出当x在何范围时，． 易错必刷题六、已知二次函数的函数值求自变量的值 1．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表，下列结论错误的是（　　） x … 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … A．对称轴是直线 B．与x轴的交点坐标是， C．抛物线开口向下 D．的解是 2．（23-24九年级上·北京通州·期末）如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线与于B、C两点，那么线段BC的长是 ． 3．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 易错必刷题七、二次函数图象的平移 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）若抛物线平移后经过原点，则抛物线经过了（   ） A．向上平移个单位 B．向下平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 2．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为 ． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求h的值及点B的坐标； (2)将该抛物线向右平移个单位长度后，与y轴交于点C，过点B作x轴的平行线交新抛物线于点D，若，求m的值． 易错必刷题八、二次函数的应用（销售、增长、图形）问题 1．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）． (1)请直接写出y关于x的函数表达式 ． (2)设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润＝总销售额﹣总成本）为w元，当销售单价为多少元时，可获得的总利润最大？最大总利润是多少？ (3)若该商铺要保证销售这批商品的利润不能低于4000元，则销售单价x（元）的取值范围是 ．（直接写答案） 易错必刷题九、二次函数的应用（喷水、投球、拱桥）问题 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是．    (1)水流喷出的最大高度是多少？ (2)若不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？ 2．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）如图，要修建一条截面为抛物线型的隧道，线段表示水平的路面，根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上同一高度处安装照明灯（即在该抛物线上的点，处分别安装照明灯）．若要求，处的照明灯水平距离为，求照明灯的高度． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）综合与实践 素材1：一年一度的科技节即将到来，小明所在的科技小组研制了一种航模飞机．通过多次实验，收集了飞机的水平飞行距离（单位：）与相对应的飞行高度（单位：）的数据（如表） 飞行水平距离（单位：） 0 20 40 60 80 100 … 飞行高度（单位：） 0 40 64 72 64 40 … 素材2：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞航模飞机，已知航模的飞行高度（单位：）与水平飞行距离（单位：）满足二次函数关系． 任务1：请求出关于的函数关系式（不用写自变量的取值范围），并求出航模的最远飞行距离； 任务2：在安全线上设置回收区域，点的右侧为回收区域（包括端点），．若飞机落在回收区域内，求发射平台相对于安全线的最低高度． 易错必刷题十、二次函数的（周长、面积、角度）问题 1．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A，B，已知点A的坐标为．    (1)求点B的坐标和抛物线的表达式． (2)将抛物线顶点向上平移m个单位得点P，过点P作的平行线交抛物线于点C，D．若，求m的值． 2．（23-24九年级上·陕西延安·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点D是第三象限抛物线上一动点，连接，，，求面积的最大值． 3．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点（与点B、C不重合），作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标； (3)如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当时，请求出点Q的坐标． 易错必刷题十一、二次函数的三角形问题 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上． (1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·陕西商洛·三模）如图，已知点，，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，，若点N在x轴上，要使以B，P，N为顶点的三角形与相似，求满足条件的点N的坐标． 3．（2024·山西·模拟预测）综合与探究 如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 易错必刷题十二、事件的可能性 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．“在标准大气压下，当温度降到时，水结成冰”属于随机事件 B．“13名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件 C．“某射击运动员射击一次，正中靶心”属于随机事件 D．“某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）下列事件：①在足球比赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；③任取两个正整数，其和大于；④长分别为厘米、厘米、厘米的三条线段能围成一个三角形，其中是确定事件的有 个． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）一幅张的扑克牌（无大、小王），从中任意取出一张，共有种可能的结果． (1)说出抽到A的所有可能的结果； (2)求抽到梅花A的可能性的大小； (3)求抽到A的可能性大小； (4)求抽到梅花的可能性大小． 易错必刷题十三、简单事件的概率 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）一个不透明的袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余相同．从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）一个不透明的袋子里装有2个红球和1个黑球，它们除了颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率是 ． 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）某校运动会田赛部分由、、、四个项目组成，学生可以任选一项参加．为了了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图； (2)求区域扇形圆心角的度数； (3)已知每项比赛获奖取前3名，小丽和小杰都参加了项目的比赛，小丽取得了第一名的好成绩，求小杰获奖的概率． 易错必刷题十四、用频率估计概率 1．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为（   ） A．8 B．12 C．15 D．20 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在正方形中，分别以点，为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成阴影部分，为了估计阴影部分的面积，小美同学在正方形内随机掷小石块，经过大量重复试验，发现小石块落在阴影部分的频率稳定在附近，则据此估计阴影部分的面积为 ． 3．（2024·广东清远·模拟预测）【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留) 易错必刷题十五、概率的简单应用 1．（2024·湖北武汉·一模）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮同学随机地在大正方形及其内部区域投针，若直角三角形的两条直角边长分别是和，则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）在如图所示的3×3的方格中，任意涂黑一块白色方块，和原有的黑色方块恰好构成轴对称图形的概率是 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）某校九（1）班的余老师和九（3）班的王老师两人在玩转盘游戏时，把转盘、分成3等份、4等份，并在每一份内标有数字（如图）．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，余老师胜；指针所在区域的数字之积为偶数时，王老师胜．如果指针恰好在分割线上，则需重新转动转盘．      (1)用树状图或列表的方法，求余老师获胜的概率； (2)这个游戏规则对余老师、王老师双方公平吗？请判断并说明理由． 易错必刷题十六、圆 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知的半径为1，，则点在（   ） A．内 B．上 C．外 D．无法确定 2．（24-25九年级上·浙江·期中）在的网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点记为格点．若一圆弧过格点，则该圆弧所在圆的半径为 ． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由． 易错必刷题十七、图形的旋转 1．（24-25九年级上·浙江·期中）下列四个圆形图案中，旋转能与原图形完全重合且旋转角度最少的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，，，．将绕点逆时针旋转得，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在的方格纸中，的三个顶点都在格点上．    (1)以点C为旋转中心，将按顺时针方向旋转，画出旋转后的 ； (2)在（1）的基础上， 求线段和线段夹角的度数． 易错必刷题十八、垂径定理 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，半径交弦于点，点为中点，若，，则的长为（   ） A．8 B．5 C．4 D．3 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知圆O的弦的长为8，弦的弦心距的长为3，则圆O半径的长为 ． 3．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）唐代李皋发明了“桨轮船”（如图），该桨轮船的轮子被水面截得线段为，轮子的吃水深度为，求该桨轮船的轮子的直径． 易错必刷题十九、圆心角 1．（2024·陕西西安·一模）如图，点A，B在以为直径的半圆上，B是的中点，连结交于点E，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，点A，B，C在上，顺次连结，，，且，， (1)求的度数； (2)若的半径为3．求的面积． 易错必刷题二十、圆周角 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，点A，B，C在上，若，则为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）图1为一圆形纸片，A、B、C为圆周上三点，其中为直径，以为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的，且交于点D，如图2所示，若弧为，则的度数 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点是上一点，连接，，于，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 易错必刷题二十一、圆内接四边形 1．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，已知半圆的直径为，点，是半圆上两点，连结，，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，为的劣弧上一点，若，则 ． 3．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）（1）如图1，是的直径、C、D是上的两点，若，弧弧． 求：①的度数； ②求的度数； （2）如图2，的弦垂直平分半径，若的半径为4，求弦的长． 易错必刷题二十二、正多边形 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 2．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，正八边形中，连接，那么的度数为 °． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 易错必刷题二十三、求弧长 1．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到，则的长为（    ）   A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动，则砝码被提起了 ．（结果保留） 3．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过格点作一圆弧． (1)所在圆的圆心的坐标为______． (2)求的长（结果保留） 易错必刷题二十四、求扇形面积与半径 1．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，边长为4的正方形的顶点B在上，顶点A，C在内，的延长线交于点D，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为 ．（计算结果保留） 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，以边为直径作分别交，于点D，E．若点D是中点，连接． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求弧的长和扇形的面积． 易错必刷题二十五、成比例线段 1．（24-25九年级上·浙江·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·期中）在比例尺为的地图上，相距10厘米的两地实际距离为 千米． 3．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）计算： (1)已知比例式，求x的值． (2)已知线段， 线段，求线段a， b的比例中项线段c． 易错必刷题二十六、黄金分割 1．（2024·广东·模拟预测）大自然是美的设计师，校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点 P是的黄金分割点，即 ，这个无理数约是（   ） A．0.505 B．0.618 C．0.707 D．0.828 2．（2024·江苏常州·模拟预测）20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，．已知为2米，则线段的长为 米． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，可以增加视觉美感．若图中b为2米，求a的值（保留小数点后两位）． 易错必刷题二十七、由平行线截得的比例线段 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，已知，它们依次交直线，于点A，D，F和点B，C，E，如果，，，那么的值为（    ）    A． B． C．9 D．11 2．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，，，则的长为 ． 3．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，、、分别是、上的点，且，，，，求和的长．    易错必刷题二十八、相似三角形 1．（2024·河北邢台·一模）如图，在由小正方形组成的网格中，以点O为位似中心，把放大到原来的2倍，则点A的对应点为（    ） A．点D B．点E C．点F D．点G 2．（23-24九年级上·四川乐山·期末）如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ． 3．（23-24九年级上·北京·期中）小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程. 已知：如图，在△ABC和△中，∠A＝∠，∠B＝∠. 求证：△ABC∽△. 证明：在线段上截取，过点D作DE∥，交于点E. 由此得到△∽△. ∴∠＝∠， ∵∠B＝∠， ∴∠＝∠B， ∵∠＝∠A， ∴△≌△ABC， ∴△ABC∽△. 小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整： (1)首先，通过作平行线，依据__________，可以判定所作△与_________； (2)然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△与________； (3)最后，可证得△ABC∽△. 易错必刷题二十九、两个三角形相似的判定 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有 ．（请在横线上填上符合条件的序号） 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知：在和中， ．求证：． 易错必刷题三十、在网格中画与已知三角形相似的三角形 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，的顶点均在正方形网格的格点上，下列阴影部分的三角形与相似的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海虹口·期末）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在的网格中，是一个格点三角形，如果也是该网格中的一个格点三角形，它与相似且面积最大，那么与相似比的值是 ． 3．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形： (1)在图1中画，使得，且相似比为； (2)在图2中画，使得，且面积比为． 易错必刷题三十一、相似三角形的判定与性质综合 1．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在中，E，F分别是上的点且，若的面积为9，则四边形的面积为（   ） A．4 B．6 C．12 D．16 2．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，点分别在边上，连结，则 ． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知与交于点，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 易错必刷题三十二、相似三角形——动点问题 1．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（     ） A． B． C．或3 D．或4 2．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．运动过程中，若以B、P、Q为顶点的三角形与相似，则运动时间为 s． 3．（2024·安徽滁州·一模）在中，，，现有动点从点出发，沿线段向点方向运动：动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．求： (1)当时，、两点之间的距离是多少？ (2)若的面积为，求关于的函数关系式． (3)当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？ 易错必刷题三十三、相似多边形 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．（2024·广西柳州·模拟预测）如图是两个形状相同的飞机图案，则的值是 ． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，有一种复印纸，整张称为纸，对折一分为二裁开成为纸，一分为二成为纸…，它们都是相似的矩形． (1)求的值． (2)若纸的周长为286厘米，求纸的周长． 易错必刷题三十四、图形的位似 1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，与是位似图形，点是位似中心，若位似比，，则等于（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角和是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，C在上，则点坐标为 ．    3．（24-25九年级上·全国·单元测试）在如图所示的网格中，已知和点． (1)以点为位似中心把三角形放大，位似比为2，画出的位似图形； (2)写出的各顶点坐标． 1．（24-25九年级上·浙江·期中）下列四个圆形图案中，旋转能与原图形完全重合且旋转角度最少的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（   ） A． B． C． D．1 3．（23-24九年级上·天津北辰·阶段练习）二次函数在时有最小值3，则这个函数的图象可以是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25九年级上·浙江·期中）点在二次函数的图象上，小明在探究取不同值，点的存在性问题时，得到如下三个结论： ①当时，点的个数为0； ②当时，点的个数为1； ③当时，点的个数为2． 下列判断正确的是（    ） A．①错，②③对 B．①对，②③都错 C．①②对，③错 D．①②③对 6．（24-25九年级上·浙江温州·期末）若二次函数的图象经过，，，则，，的大小关系是 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）学校组织去宋城秋游，安排给九年级4辆车，小高和小乔都可以从这4辆车中任选一辆搭乘．则小高和小乔不坐同一辆车的概率为 ． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是 9．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）学校科学社团成员制作了一个物体发射器，可使用该发射器从地面竖直向上发射出物体，已知发射出的物体离地面的高度（单位：）满足关系式，其中（单位：）是物体运动的时间，（单位：）是物体被发射时的初始速度．若发射小球时的初始速度，当小球离地面的高度为时，的值为 s． 10．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，圆心到水面的距离为4米，则该圆的半径为 ． 11．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）某校运动会田赛部分由、、、四个项目组成，学生可以任选一项参加．为了了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图； (2)求区域扇形圆心角的度数； (3)已知每项比赛获奖取前3名，小丽和小杰都参加了项目的比赛，小丽取得了第一名的好成绩，求小杰获奖的概率． 12．（23-24九年级上·浙江台州·期末）景区有一口水井，距离井边米处是最深的井底，小明想知道井有多深，于是走进观察，在距离井边米处刚好能看见井底，如果小明眼睛离地面的高度米，你能计算出水井的深度吗？ 13．（24-25九年级上·河南漯河·期中）已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴； (2)完成下表： x … 1 3 5 … y … ______ ______ ______ ______ ______ … (3)在平面直角坐标系中描点画出抛物线的图象． 14．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，以边为直径作分别交，于点D，E．若点D是中点，连接． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求弧的长和扇形的面积． 15．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与y轴交于点C． (1)求点C的坐标； (2)如图1，在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)如图2，点P在抛物线上，过点P作轴，交直线于点D，若以P，D，O，C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$