期末重难点真题特训之易错必刷题型（111题32个考点）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练 （浙教版)

期末重难点真题特训之易错必刷题型（111题32个考点） 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、正切、正弦、余弦概念辨析 1．（23-24九年级下·浙江湖州·期末）如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角函数的正弦值，根据正弦值的定义即可得出答案，熟练掌握正弦值的定义是解决本题的关键． 【详解】解：在中，，， 故选：C． 2．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，作交边于点D．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】先求出，设，求出，在根据余弦的概念求出即可． 【详解】解：， ， ， 设， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数，解题的关键是求出的长度． 3．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了三角函数的定义； （1）根据三角函数的定义进行证明即可； （2）根据（1）中的结论得出，即，然后代入求值即可． 解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，在一个中，，则，，． 【详解】（1）证明：∵在中，，，，，的对边分别是，，， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 易错必刷题二、求角的正切、正弦、余弦值 1．（24-25九年级下·浙江温州·期中）如图，中，，于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求角的正弦值，先求出，从而得出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，矩形中，，．以点A为圆心，将边顺时针旋转，交于点E，得到扇形，扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆半径是 ．    【答案】/ 【分析】先求出，再由弧长公式求出的长，进一步求出该圆锥的底面圆半径． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 又 ∴ ∴的长， ∴该圆锥的底面圆半径为：， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解答本题的关键 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，a、b、c分别为的对边，且．试求最小角的三角函数值． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值，首先表示出各边长，进而求出锐角三角函数值即可． 【详解】解：∵a、b、c分别为的对边，且， ∴设，，， ∴， ∴最小， ∴，，． 易错必刷题三、三角函数的定义求边长 1．（24-25九年级下·浙江杭州·期中）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为，则此时雷达测得点R到发射点L的距离为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键． 根据锐角的余弦的定义即可求解． 【详解】解：由题意得：， 千米， 故选：C． 2．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，根据，结合，设，则，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， 设，则， ∴， ∴，解得：， ∴， 故答案为6． 3．（2024·浙江湖州·一模）如图，点在第一象限，轴，垂足为点，，反比例函数的图象经过的中点，与相交于点，． (1)求的值； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了反比例函数综合题，用到了锐角三角函数、勾股定理等知识，数形结合是解题的关键 （1）先利用求出，再利用勾股定理求出，可得到点C的坐标；求出，代入函数解析式即可得答案； （2）求出，直接利用三角形面积公式求出答案即可． 【详解】（1）解：∵轴，， ∴， ∵，点为的中点， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴，， ∵B是的中点， ∴， 将代入， ∴； （2）解：当时，， ∴， ∴， ∵． 易错必刷题四、特殊角三角函数值的混合运算 1．（24-25九年级下·浙江台州·期中）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角度的三角函数值计算，代入特殊角度的三角函数值计算即可，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式， 故选：． 2．（24-25九年级下·浙江嘉兴·期中）计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的计算，根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 3．（23-24九年级下·浙江绍兴·期末）求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握各个特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先求得各特殊角的三角函数值，再进行实数混合计算即可； （2）先求得各特殊角的三角函数值，再进行实数混合计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 易错必刷题五、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 1．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查特殊角三角函数，三角形内角和，三角形分类．熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 由特殊角三角函数值计算出和的角度来即可确定． 【详解】解：， ，， 即，， ， 即为直角三角形， 故选：D． 2．（23-24九年级下·浙江温州·期末）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰 【分析】根据绝对值和平方的非负性可得，，，求得，，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即，， 解得，，则 则为等腰三角形， 故答案为：等腰 【点睛】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 3．（23-24九年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，为的直径，E为的中点，弦于点E，连接并延长交于点F，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若的半径为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的判定定理“有一个内角是的等腰三角形是等边三角形”证明即可； （2）根据勾股定理和垂径定理“垂直于弦的直径平分弦”解答即可． 【详解】（1）证明：E为的中点， ， 弦于点E， ， ， 又， 是等边三角形； （2）解：在中，，， ， 是的直径，弦于点E， ， ． 【点睛】本题考查了圆的性质，特殊角的三角函数，等边三角形的判定，垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握相关的几何定理． 易错必刷题六、根据特殊角三角函数值求角的度数 1．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）在中，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．根据，，即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：C 2．（24-25九年级下·浙江衢州·阶段练习）将一把直尺与一把三角尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为 ． 【答案】150 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，平行线的性质，先根据特殊角的三角函数值求出的度数，互余求出的度数，平行线的性质求出的度数，再利用互补关系，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵直尺的对边平行， ∴， ∴； 故答案为： 3．（23-24九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB =6，BC=3，以点A为圆心，AB为半径的弧交CD于点E．    （1）求∠AED的度数． （2） 求扇形ABE的面积． 【答案】（1）30°；（2）． 【分析】（1）根据矩形的性质可得∠D＝90°，AD＝BC＝3，由AE＝AB＝6，可利用特殊角的三角函数求解∠AED的度数； （2）由∠AED的度数可得∠EAB的度数，则可利用扇形面积公式求解结果． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，BC=3， ∴∠D＝90°，AD＝BC＝3， ∵AB ＝6， ∴AE＝AB＝6， ∴sin∠AED＝． ∴∠AED＝30°． （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DE． ∴∠EAB＝∠AED＝30°． ∴S扇形ABE＝＝． 【点睛】本题考查了矩形性质的应用，掌握矩形的性质并能灵活应用所学知识是解题的关键． 易错必刷题七、根据三角函数值判断锐角的取值范围 1．（23-24九年级下·浙江绍兴·阶段练习）若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，以及余弦的性质，根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选C． 2．（23-24九年级下·浙江舟山·期末）已知，则锐角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的增减性即可求解．熟练掌握特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：由， ∴， ∵当时，随着的增大而减小， ∴， 故答案为： 3．（2024·浙江湖州·二模）（1）计算：|-|+（-）-1-2sin45°+（）0 （2）先化简，再求值：（）÷，其中a=． 【答案】（1）-1；（2）． 【详解】试题分析：（1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 试题解析：（1）原式=-2-2×+1=-1； （2）原式= = = = 当时，原式=． 考点：1．分式的化简求值,2．实数的运算,3．零指数幂,4．特殊角的三角函数值 易错必刷题八、利用同角三角函数关系求值 1．（23-24九年级下·山东泰安·期中）已知是锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，可知，计算即可得出结果． 【详解】解：是锐角，， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了互余两角的三角函数的关系，解题的关键是掌握一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即． 2．（2024·辽宁盘锦·二模）如图，点A，B，C，D在上，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】 本题考查了同弧所对的圆周角相等以及利用三角函数求值，连接，可得是直角三角形，利用圆周角定理可得，在中，，利用三角函数可求出的长 【详解】连接，如图所示， ， ∴ ， 在中， ，且， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级下·山东潍坊·期中）计算： (1)cos30°+sin45°； (2)； (3)已知：中，，tanA=2，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先把特殊角锐角三角函数值代入，再计算，即可求解； （2）先把特殊角锐角三角函数值代入，再计算，即可求解； （3）分子分母同时除以原式可变形为，再把tanA=2代入，即可求解． 【详解】（1）解：cos30°+sin45° ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值的混合运算，同角三角函数关系，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键． 易错必刷题九、求证同角三角函数关系式 1．（23-24九年级下·上海静安·课后作业）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论． 【详解】解：如下图所示 在Rt中，=，故A不符合题意； 在Rt中，=，故B不符合题意； ∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90° ∴∠A=∠BCD ∴=tan∠BCD=，故C不符合题意； ≠，故D符合题意． 故选D． 【点睛】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律 ． 【答案】 【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论． 【详解】根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半， 规律为：. 故答案为. 【点睛】本题考点：同角三角函数的关系. 3．（2024·甘肃武威·模拟预测）如图，在中，，请验证的结论． 【答案】见解析 【分析】本题考查同角的三角函数之间的关系，勾股定理以及互余两角三角函数的关系，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．根据直角三角形的边角关系求解即可． 【详解】证明：在中，， ∴ 易错必刷题十、互余两角三角函数的关系 1．（23-24九年级下·上海普陀·期中）在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用互余两角的三角函数关系求解，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系，解题关键是掌握一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 2．（24-25九年级下·吉林·阶段练习）如图，在中，，垂足为D．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．根据，可得，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ，故②正确；故③错误； ∵， ∴故④正确； 故答案为①②④． 3．（2024·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 【答案】(1)成立，见解析 (2)成立，见解析 (3) 【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可； （2）根据正弦函数的定义列出，，结合勾股定理整理化简即可证得结论； （3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合中，，，再变形代入整理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，结论成立； （2）解：成立．理由如下： 在中，，且， ∴，故结论成立； （3）解：，理由如下： 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定义，灵活变形构造是解题关键． 易错必刷题十一、三角函数综合 1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角三角函数，根据余割，正弦，余弦的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，原说法错误，不符合题意； B、，原说法错误，不符合题意； C、，原说法正确，符合题意； D、，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24九年级下·浙江宁波·期末）在中，，，则 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数和勾股定理，根据题意画图，由，设，，利用勾股定理求出，根据正切定义求解即可，熟练掌握各三角函数值的计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可画图如下： 在中，，， ． 设，，则， ， 故答案是：． 3．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，到达点停止，过点作延长线的垂线，垂足为以为边构造正方形，点在线段上，设点的运动时间为（秒）． (1)的面积为______，点到直线的距离为______． (2)当点落在上时，求的值． (3)设正方形与重叠部分图形的面积为，求与之间的关系式． (4)当点不与点重合时，连结，设点关于直线的对称点为，连结，当线段与的一边平行时，直接写出的值． 【答案】(1)10，4 (2) (3) (4)或 【分析】（1）作于，根据等腰三角形性质求得，进而根据勾股定理求得，根据面积法求得上的高； （2）推出为等腰三角形，从而，根据锐角三角函数表示出，进而列出的方程求得结果； （3）分为两种情形，一是重合部分为梯形，二是重合部分为五边形．当为梯形时，根据求得结果，当为五边形时，求出和的长，进而求得结果； （4）由（2）启发得出得出结果，当时，推出三角形为等腰三角形，根据求得结果． 【详解】（1）如图， 作于， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）如图， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 由得， ， ； （3）当时， ， 如图， 当时， ，， ， ， ， ； （4）如图， 当时，， 如图， 当时，作于， ， ， ， ， ， ， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，正方形性质，勾股定理的应用，三角函数综合等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形及较强的计算能力． 易错必刷题十二、解直角三角形 1．（24-25九年级下·广东汕头·期中）如图，是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是中心对称图形的性质，锐角三角函数的应用，先求解，再利用中心对称图形的性质可得答案. 【详解】解：∵，，， ∴， ∵该图是一个中心对称图形， ∴， ∴， 故选：A 2．（23-24九年级下·全国·期末）某盏灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高，母线与底面半径的夹角为，，则圆锥的底面积是 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查求圆锥的底面积，解直角三角形，掌握锐角三角函数的正切公式是解题的关键．利用锐角三角函数的正切公式求出底面半径，再圆锥的底面积公式求值即可． 【详解】解：， 且， 即， 解得， 圆锥的底面积为， 故答案为：． 3．（24-25九年级下·山东淄博·期中）如图，在中，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，直角三角形的性质，由勾股定理得：由得，即可求出结果． 【详解】解：，， 在中，由勾股定理得： 在中， ， ， 易错必刷题十三、解直角三角形的应用 1．（2024·贵州·模拟预测）黔东南“村超”足球赛自开赛以来，持续火爆，每场球赛吸引万名观众到场观看．如图，榕江县体育馆内一看台与地面所成夹角为，看台最低点到最高点的距离，，两点正前方有垂直于地面的旗杆，在，两点处用仪器测量旗杆顶端的仰角分别为和． (1)求的长； (2)求旗杆的高．（结果精确到，，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算是解题的关键． （1）根据题意可得，，在中，根据角的正切值的计算即可求解； （2）在中，，，根据正弦值的计算可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ， ， ， 在中，， ， 的长约为． （2）解：由题意得，在中，，， ， 旗杆的高约为． 2．（23-24九年级下·上海·阶段练习）如图，l为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时公路上由西向东匀速行驶，依次经过点．是一个观测点，米，，，测得该车从点点行驶到点所用时间为1秒．    (1)求两点间的距离； (2)试说明该车是否超过限速． 【答案】(1)20米 (2)该车没有超过限速，理由见解析 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，根据题意求出的长是解题的关键． （1）首先利用列方程求出米，然后求出米，进而求解即可； （2）首先求出该车的速度，进而比较求解即可． 【详解】（1）∵米， ∴，即 ∴米， ∵ ∴ ∴米， ∴米； （2）∵米千米，该车从点点行驶到点所用时间为1秒小时 ∴该车的速度为千米/小时， ∵ ∴该车没有超过限速． 3．（23-24九年级下·贵州黔南·开学考试）城市立交桥在缓解道路拥堵，让城市交通更加顺畅方面发挥了重要作用．如图，是某市立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为轴，横断面的对称轴为轴．桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为，和是两侧高为的支柱，和为两个方向的汽车通行区，宽都为，线段和为两段对称的上桥斜坡，其坡度为． (1)求桥拱所在抛物线的解析式及的长； (2)和为支撑斜坡的立柱，其高都为，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，试求和的宽； (3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于，今有一大型载货汽车，装载某大型设备后，其宽为，车载大型设备的顶部与地面的距离为，它能否从（或）区域安全通过？请说明理由． 【答案】(1)解析式为， (2)宽度都是 (3)该大型货车可以从（或）区域安全通过，见解析 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．求出关键点的坐标是解题的关键． （1）用待定系数即可出二次函数解析式，根据坡度的定义求出， 则 ； （2）由坡度定义即可，再根据线段和差计算即可； （3）把代入，求得，而，故该大型货车可以从（或）区域安全通过． 【详解】（1）解：设所在的抛物线的解析式为 由题意，得， ∴， 解得. ∴所在的抛物线解析式为 由题意得，且 ∴ ； （2）解：由题意得，且 ∴ ∴； （3）解：在中 当时， ∵ ∴该大型货车可以从（或）区域安全通过． 易错必刷题十四、判断直线和圆的位置关系 1．（24-25九年级下·广东惠州·期中）如图所示，A是上一点，且，，，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相割 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线的判定，勾股定理逆定理的应用，熟练掌握切线的判定，是解题的关键．先证明为直角三角形，，得出，即可证明与相切． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∵A是上一点， ∴与相切． 故选：B． 2．（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆心到直线的距离，直线与圆相离即可求解，掌握直线和圆的位置与和之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，点到直线的距离为， ∴， ∴与的位置关系是相离， 故答案为：相离． 3．（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段练习）如图，在等边中，D为边上一点，且，连接，，若以点A为圆心，r为半径作圆． (1)当半径时，求与的位置关系； (2)当半径时，求与的位置关系． 【答案】(1)相离 (2)相切 【分析】题目主要考查直线与圆的位置关系，根据等边三角形的性质求出点到直线的距离是解题的关键 （1）根据等边三角形的性质得出，再由勾股定理确定，然后与半径比较即可； （2）根据（1）中结果，与半径比较即可． 【详解】（1）解：∵等边中，D为边上一点，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 当半径时， ∵， ∴与的位置关系是相离； （2）当半径时， ∵， ∴与的位置关系是相切． 易错必刷题十五、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 1．（23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，中，，，，如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系．根据直线与圆的位置关系得出相切时只有一交点，经过点时有两个交点，再结合图形即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，， 过点作于点， ∴， ∴， ∴如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是， 故选：A． 2．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：∵的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，掌握直线和圆有公共点是解题的关键． 3．（2024·福建莆田·二模）如图，已知直线l与相离，于点A，交于点P．AB是的切线，B是切点，连接BP并延长，交直线l于点C． (1)求证：； (2)若，求PB的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接OB，根据切线的性质可得，再由，可得．然后根据，可得，即可求证； （2）根据，可得AC=2AP，从而得到AP=1，AB=AC=2，过A点作，根据，可得，再由等腰三角形的性质可得．即可求解． 【详解】（1）证明：连接OB， 直线AB与相切于点B， ， ， ． ， ， ． ， ． 又， ， ． （2）解∶ 在中，， ∴AC=2AP， ∵，， ∴ ． ∴， 过A点作， ∵， ∴， ∵， ． ， ． ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 易错必刷题十六、证明某直线是圆的切线 1．（23-24九年级下·浙江宁波·期末）如图，点P为外一点，连结，作以为直径的圆，两圆交于点Q，连接，可得是的切线，则判定其为切线的依据是（    ） A．经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 B．垂线段最短 C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过圆外一点所作的圆的两条切线长相等 【答案】A 【分析】连接，即可证得，即可证得是的切线，由此可得依据． 【详解】解：如图：连接， 作以为直径的圆，两圆交于点Q， ， 又是的半径， 是的切线，依据是：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线， 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定定理，熟练掌握和运用切线的判定定理是解决本题的关键． 2．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相切 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键． 作于E，则，由题意得出半径，由，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：作于E． 则， ， ， ，即圆心到直线的距离等于半径， 直线与相切． 故答案为：相切． 3．（24-25九年级下·浙江台州·期中）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为2，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】对于（1），连接，根据同弧所对的圆周角相等得，再根据等边对等角得，然后根据圆周角定理得，最后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），先根据垂径定理得，再根据直角三角形的性质得，然后根据勾股定理得，最后根据得出答案． 【详解】（1）连接， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵所对的圆周角是，圆心角是， ∴， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）∵是的直径，，垂足为M，的半径是2， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理得， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，直角三角形的性质，连接圆心和圆上的点是证明切线的作辅助线的基本思路． 易错必刷题十七、切线的性质定理 1．（2024·浙江·模拟预测）如图，是直径，与相切于点，与相交于点，连结，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质和圆周角定理．根据切线的性质定理得到，由圆周角定理得到，由直角三角形的性质即可求出． 【详解】解：是直径，与相切于点， ， ， ， ． 故选：B． 2．（24-25九年级下·浙江台州·期中）如图，是的直径，是的切线，交于点C，，，则 cm． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质．根据切线的性质得到，由勾股定理求出，再根据三角形面积求出即可． 【详解】解：是的直径，是的切线， ，， 在中，，， ， ， ， 即， 故答案为：． 3．（2024·浙江湖州·模拟预测）如图，的切线交直径的延长线于点，为切点，，连结，． (1)求的度数． (2)若，求的长 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，求弧长； （1）根据切线的性质得出，进而得出，根据三角形的外角的性质，即可求解； （2）先求得，进而根据弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：∵的切线交直径的延长线于点，为切点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， （2）解：∵，， ∴， ∴的长为 易错必刷题十八、切线的性质和判定的综合应用 1．（23-24九年级下·北京海淀·阶段练习）如图，中，，是底边的中点，若腰与相切，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】腰与相切，设切点为，连接，，过O点作，如图，如图，根据等腰三角形的性质得到平分，则利用角平分线的性质得，然后根据切线的判定定理可判断与相切． 【详解】解：∵， ∴为等腰三角形， ∵腰与相切，设切点为， ∴为⊙O的半径， ， 连接，，过O点作，如图， ∵O是等腰的底边的中点， ∴平分， ∵，， ∴， ∴与相切． 故选B． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和切线的判定． 2．（23-24九年级下·浙江杭州·期末）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，P为圆外一点，PC、PD均与圆相切，设∠A+∠B＝130°，∠CPD＝β，则β＝ ． 【答案】100° 【分析】连结OC，OD，则∠PCO＝90°，∠PDO＝90°，可得∠CPD＋∠COD＝180°，根据OB＝OC，OD＝OA，可得∠BOC＝180°−2∠B，∠AOD＝180°−2∠A，则可得出与β的关系式．进而可求出β的度数． 【详解】连结OC，OD， ∵PC、PD均与圆相切， ∴∠PCO＝90°，∠PDO＝90°， ∵∠PCO+∠COD+∠ODP+∠CPD＝360°， ∴∠CPD+∠COD＝180°， ∵OB＝OC，OD＝OA， ∴∠BOC＝180°﹣2∠B，∠AOD＝180°﹣2∠A， ∴∠COD+∠BOC+∠AOD＝180°， ∴180°﹣∠CPD+180°﹣2∠B+180°﹣2∠A＝180°． ∴∠CPD＝100°， 故答案为：100°． 【点睛】本题利用了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和为360度求解，解题的关键是熟练掌握切线的性质． 3．（24-25九年级下·江苏南通·期中）如图，为的直径，与相切于点C，过点B作于点D，连接． (1)求证平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)1 【分析】本题考查了切线的性质∶圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．勾股定理的应用 (1)连接，根据切线的性质，则，又因为，所以，又因为，得出则平分； (2)根据勾股定理可求出，根据利用相似比求出的长． 点评 【详解】（1）证明：连接， 与相切于点C 为的直径， AB为的直径 BC平分 （2）解：为的直径 ， ， ，， 易错必刷题十九、圆的综合问题 1．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，以为圆心，为半径的圆交于点，延长交于点． (1)求证∶． (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】（1）连接，可得，，根据平行四边形的性质，平行线的性质可得，根据同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等即可求证； （2）在同一个圆中，弧的度数等于它所对的圆心角的度数，由此可得，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理可得的度数，再根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题意可得，，且， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识的综合，掌握圆与几何图形的综合运用是解题的关键． 2．（23-24九年级下·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 【答案】(1)，； (2) (3)或或5 【分析】（1）连接，求出，可得的直径，根据M为中点，可得点M坐标； （2）连接，在证设，即，求出坐标；然后用待定系数法得直线所对应的函数表达式； （3）设，由，， 可得， ；分三种情况：①当时，②当时，③当时分类讨论即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵， ∴为的直径， ∵点A、点B的坐标分别为、， ∴， ∴的直径为， ∵M为中点， ∴ 故答案为：，； （2）连接， ， ， ， 设， ， ， 解得：， ， 设直线所对应的函数表达式为，将，代入，得 ， 解得， 直线所对应的函数表达式 （3）解：设， ，， 解得：，， ， ①当时，连接 ，， ， ， ， ， ， ， 点E和点P横坐标相同, ， ， ， ②当时，如图： ， ， ， ，， ， ， ， ③当时，如图： ， 即， ， ， 综上所述：得长度为或或5． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，圆的性质及应用，待定系数法，一元二次方程，相似三角形判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用； 3．（24-25九年级下·山东德州·期末）学习心得（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，长为半径作辅助圆，则、两点必在上，是的圆心角．是的圆周角，则______． 初步运用（2）如图，在四边形中，，，则_______； 问题迁移（3）①如图①，已知矩形，，，为边上的点，若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图②，在中，，是边上的高，且，，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②； 【分析】由圆周角定理可得出答案； 取的中点，连接、由直角三角形的性质证明点A、、、共圆，由圆的性质得出，则可得出答案； 在上截取，连接，以为直径，由图形可知，由勾股定理求出和的长，则可得出答案； 作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、由圆周角定理及勾股定理可得出答案； 【详解】解：是的圆心角，是的圆周角，， ； 故答案为：； 如图，取的中点，连接、， ， ，， ， 点、、、共圆， ， ， ， 故答案为：； 在上截取，连接，以为直径，交于，交于，连接，过圆心作于且交圆于，过作的切线交于交于，如图所示： ， ， 的半径为，即， ， ， ， ， ， ，即， 故答案为：； 如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、， ，， ， 在中，， ，为圆心， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质、垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 易错必刷题二十、切线长定理 1．（23-24九年级下·河南商丘·阶段练习）如图，从外一点引的两条切线，切点分别为．若，，则的周长是（    ）    A．16 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线长定理，等边三角形的性质与判定，先由切线长定理得到，进而证明是等边三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵是的两条切线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长， 故选B． 2．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，、、是的切线，切点分别是、、若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长．本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故答案为：3． 3．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．求： (1)大树到城堡南门的距离； (2)城堡外圆的半径． 【答案】(1)12里 (2)里 【分析】本题考查勾股定理，切线的性质，切线长定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由切圆于，切圆于，连接，得到，，里，由勾股定理求出（里）， （2）在中，由勾股定理列式，，所以求出（里），即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，表示圆形城堡， 由题意知：切圆于，切圆于，连接， ，，里， （里）， （里）， （里）， 则大树到城堡南门的距离里； （2）解：设城堡的半径为里， ∴里，（里）， ∵， ∴在中， ， （里）． 城堡的半径为里． 易错必刷题二十一、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．（23-24九年级下·江苏南京·期中）三边长分别为6、8、10的三角形的内切圆的半径长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据面积关系：，其中、是两直角边，是斜边，是直角三角形内切圆的半径，由此关系即可求得内切圆的半径． 【详解】设三角形内切圆的半径为，由于，所以此三角形是直角三角形， 则有： 解得：； 故选：A． 【点睛】本题考查了求三角形的内切圆半径，勾股定理的逆定理，利用面积关系是关键． 2．（23-24九年级下·浙江·期末）在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为 步． 【答案】6 【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握中，两直角边分别为为、，斜边为，其内切圆半径是解题的关键．根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径． 【详解】解：根据勾股定理得：斜边， 内切圆直径（步， 故答案为：6． 3．（2024·浙江丽水·一模）小陈同学从市场上购买了如图的花盆，花盆底部的横截面是直径为的圆，他家中有如图2的托盘，托盘底部的横截面是边长为的正三角形． (1)求正三角形一边的高线长； (2)这个托盘是否适用于该花盆?请判断并说明理由． 【答案】(1)； (2)这个托盘不适用该花盆，理由见解析． 【分析】（）过点作于，根据等边三线的性质及勾股定理即可求解； （）这个托盘不适用该花盆．设点为的内切圆的圆心，求出的内切圆的直径，跟花盆底部横截面的直径比较即可判断求解； 本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，等边三角形的内切圆，根据等边三角形的性质求出内切圆的半径是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于， ∵为正三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴正三角形一边的高线长为； （2）解：这个托盘不适用该花盆，理由如下： 设点为的内切圆的圆心， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴内切圆的半径为， ∴内切圆的直径为 ∵花盆底部横截面的直径为， 又∵， ∴这个托盘不适用该花盆． 易错必刷题二十二、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键；根据三角形面积三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半．进行列式计算即可． 【详解】解： 是的内切圆且半径为2，，， ， ， 则的面积为26， 故选：C 2．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，若的内切圆与分别相切于点，且，则的半径 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，再利用切线的性质得到，，所以四边形为正方形，设，利用切线长定理得到，，所以，然后求出,即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， 、与分别相切于点、， ，， 四边形为正方形， 设， 则， 的内切圆与、、分别相切于点、、， ，， ， ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理和切线的性质．解决本题的关键是掌握三角形的内切圆和内心． 3．（23-24九年级下·贵州黔西·期中）如图，已知O是的内心，连接，，．若内切圆的半径为2，的周长为12，求的面积． 【答案】12 【分析】设切点为D，E，F，连接，，，将三角形面积表示为，结合周长可得结果． 【详解】解：设切点为D，E，F，连接，，， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴的面积为： ． 【点睛】本题考查了三角形的面积，内切圆的性质，解题的关键是将面积用三个三角形的和表示． 易错必刷题二十三、三角形内切圆与外接圆综合 1．（23-24九年级下·浙江宁波·期末）中，斜边，其重心与外心之间的距离为（      ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据直角三角形的性质得到，根据重心的性质求解即可； 【详解】∵直角三角形的外心是斜边的中点， ∴， ∵M是的重心， ∴； 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形的重心和三角形的外心，准确计算是解题的关键． 2．（23-24九年级下·河南信阳·期末）在中，，则的外接圆半径R与内切圆半径r的差 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与外接圆，切线长定理．设分别为与内切圆的切点，则，根据勾股定理可求出的长，从而得到R的值，再证明四边形是矩形，根据切线长定理可得，可求出r，即可求解． 【详解】解：如图，设分别为与内切圆的切点，则，    在中，， 由勾股定理得， ∴外接圆半径． ∵分别为与内切圆的切点， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： 3．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）根据下列条件作图： （1）如图①，请用直尺和圆规作出△ABC的内切圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图②，点A为圆上一点，请用直尺和圆规作出直径AB（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）作∠ABC，∠ACB的角平分线交于点I，作IE⊥BC于E，以I为圆心，IE为半径作⊙I即可． （2）作弦AC，AD，作线段AC，AD的垂直平分线交于点O，作直线AO交⊙O于B，线段AB即为所求． 【详解】解：（1）如图①中，⊙I即为所求． （2）如图②中，线段AB即为所求． 【点睛】本题考查作图−复杂作图，三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 易错必刷题二十四、投影 1．（24-25九年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列各图中，在地面上形成的投影与其它三项不同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心投影和平行投影，解题的关键是熟练掌握投影的特点． 光线所形成的投影称为平行投影，中心放射状光线所形成的投影称为中心投影，据此求解即可． 【详解】解：根据题意得， 选项A，B，D是中心投影，选项C是平行投影 ∴在地面上形成的投影与其它三项不同的是C． 故选：C． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，身高的某学生沿着树影由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，则树的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心投影的应用，设树的高度为m，由题意得，据此即可求解． 【详解】解：设树的高度为，由题意得： ， ∵， ∴， 解得：， ∴树的高度为， 故答案为：． 3．（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面平行于投影面，圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于，底面圆的直径为，若． (1)画出该立体图形在投影面P上的正投影； (2)计算正投影的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了立体图形的有关知识，正投影的面积等于正方形和长方形的面积和是解本题的关键． （1）根据题中说明，画出立体图形在投影面上的正投影即可； （2）正投影的面积是由正方形和长方形组成，计算它们的面积和即可． 【详解】（1）如图所示： （2）正投影的面积正方形面积长方形面积． 易错必刷题二十五、判断简单三视图 1．（2024·浙江·中考真题）在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了俯视图．根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】 解：榫的俯视图是 故选：D． 2．（24-25九年级下·全国·课后作业）如图是由五个相同的正方体搭成的几何体． （1）这个几何体的主视图是 （填序号）； （2）这个几何体的左视图是 （填序号）； （3）这个几何体的俯视图是 （填序号）． 【答案】 ③ ⑤ ② 【分析】本题考查三视图．根据三视图的定义判断即可． 【详解】解：这个几何体的主视图是③，左视图是⑤，俯视图是②． 故答案为：③，⑤，②． 3．（23-24九年级下·甘肃白银·期末）如图，有4张除了正面图案不同，其余都相同的卡片． (1)这四张卡片上的立体图形中，主视图是矩形的有________（填字母序号）； (2)将这四张卡片背面朝上混合均匀，从中随机抽出一张后放回，混合均匀后再随机抽出一张，求两次抽出的卡片上的立体图形的主视图都是矩形的概率． 【答案】(1)A，D (2) 【分析】本题考查了由三视图判断几何体、概率的计算公式等知识，解题的关键是能够写出每个几何体的主视图及利用列表法将等可能的所有结果列举出来，难度不大． （1）分别写出每个几何体的主视图，然后即可确定答案； （2）列表后将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：A的主视图为矩形； B的主视图是圆； C主视图为等腰三角形； D的主视图为矩形， 故答案为：A，D； （2）解：列表可得 A B C D A B C D 由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上的立体图形的主视图都是矩形的有4种，所以两次抽出的卡片上的立体图形的主视图都是矩形的概率为． 易错必刷题二十六、画简单的三视图 1．（2024·安徽合肥·二模）用6个同样的小正方体摆成一个大的几何体，要求它的主视图如图所示，下面摆法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三视图画法，根据各个几何体三视图的特点进行求解即可，正确画三视图是解题的关键． 【详解】主视图分别为 故选B． 2．（23-24九年级下·全国·课前预习）三视图的具体画法为： ①确定主视图的位置，画出主视图； ②在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图 ； ③在主视图正右方画出左视图，注意与主视图 ，与俯视图 ； ④为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加画点划线表示对称轴． 注意：不可见的轮廓线，用虚线画出． 【答案】 长对正 高平齐 宽相等 【解析】略 3．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，添线补全下列几何体的三视图． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查画几何体的三视图，主视图是从正面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，即为所求； 易错必刷题二十七、求几何体视图的面积 1．（2024·四川广元·二模）如图，该几何体是由六个棱长为1的小正方体组合而成，则该几何体主视图的面积是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了立体几何中三视图求面积，掌握三视图的特点，面积的计算方法是解题的关键． 根据题意，确定主视图，再根据几何图形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：根据题意，该几何体的主视图如下所示， ∵小正方形的边长为1， ∴俯视图的面积为：， 故选：B ． 2．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题考查主视图的面积的求法．左视图可得到长方体的宽和高，俯视图可得到长方体的长和宽，主视图表现长方体的长和高，让长高即为主视图的面积． 【详解】解：由左视图可得长方体的高为3， 由俯视图可得长方体的长为5， 主视图表现长方体的长和高， 主视图的面积为， 故答案为：15． 3．（23-24九年级下·福建三明·期中）如图是由大小相同的小正方体组合成的简单几何体． （1）在下面的网格中画出该几何体从正面看和从左面看的形状图． （2）每个正方体棱长为1cm，那么搭成这个几何体的表面积是 　　cm2． 【答案】（1）图见解析；（2）38． 【分析】（1）由已知条件可知，从正面看的视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，2，据此可画出图形；从左面看的视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1； （2）根据三视图的面积和被挡住的面积即可计算总面积； 【详解】解:（1）如图所示： （2）搭成这个几何体的表面积是：6×2+6×2+6×2+2=38 cm2． 【点睛】本题考查从不同方向看几何体，几何体的表面积等知识．解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 易错必刷题二十八、已知三视图求体积 1．（23-24九年级下·浙江·期末）某几何体的三视图如图所示，则其体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由三视图还原图形，求几何体的体积，由三视图知该几何体是圆柱与圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积． 【详解】解：由三视图可知原图为圆锥和圆柱的组合体， ∴体积是， 故选C． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的体积是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何体的三视图，根据三视图得到几何体是圆柱，以及圆柱的底面半径和高，进而利用圆柱的体积等于底面积乘以高求解即可． 【详解】解：由三视图可得，该包装盒是一个底面直径为，高为的圆柱， ∴该包装盒的体积为， 故答案为：． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）在一次数学综合实践活动中，需要制作如图所示的零件（长方体和圆锥的组合体），为此方方同学画出了该零件的三视图． (1)请问方方所画的三个视图是否有错？如有错，请将错的视图改正． (2)根据图中尺寸，求出其体积．（注：长方体的底面为正方形，单位：，结果保留一位小数） 【答案】(1)有错，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据三视图求几何体的体积，解题的关键是熟练掌握几何体的三视图的定义． （1）根据几何体的三视图的定义及其画法进行判断即可； （2）根据三视图结合长方体的体积公式和圆锥的体积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：方方所画的三个视图中左视图错了， 正确的为： （2）解： ， 答：其体积为． 易错必刷题二十九、求圆锥侧面积与底面半径 1．（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的底面半径与母线的比为，则该圆锥的侧面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面积，熟练掌握求圆锥侧面积公式是解题关键．首先求得圆锥底面半径，然后根据圆锥侧面积公式，求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径与母线的比为，母线长为6， ∴圆锥的底面半径， ∴该圆锥的侧面积． 故选：C． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为米，高度为米，则此粮仓的侧面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算，先计算底面半径和母线长，然后根据扇形面积公式计算即可．熟知圆锥的侧面是扇形以及扇形的面积计算方法是关键． 【详解】解：∵底面周长为米 ∴底面半径为： 母线长为：米 故粮仓的侧面积为：， 故答案为：． 3．（23-24九年级下·浙江丽水·期中）如图所示，有一直径为的圆形纸片，要从中剪去一个最大的圆心角是90°的扇形ABC． (1)求被剪掉的阴影部分的面积； (2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连结BC，根据∠A＝90°，可得，再由勾股定理可得AB＝AC＝1，然后根据，即可求解； （2）设圆锥底面半径为r，则的长为2πr，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连结BC， ∵∠A＝90°， ∴BC为⊙O的直径．即， 在Rt△ABC中，AB＝AC，且AB2＋AC2＝BC2， ∴AB＝AC＝1， ∴＝； （2）解：设圆锥底面半径为r，则的长为2πr， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了求扇形面积，圆锥的底面半径，勾股定理，熟练掌握扇形面积公式，勾股定理是解题的关键． 易错必刷题三十、求圆锥侧面展开图的圆心角 1．（23-24九年级下·浙江台州·期中）一个圆锥的底面直径是6cm，母线长5cm，则其侧面展开图的圆心角为（    ） A．90° B．108° C．120° D．216° 【答案】D 【分析】本题考查求圆锥侧面展开图的圆心角度数．根据圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长，列式计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， 故选D． 2．（2024·浙江·一模）一个圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面展开图扇形的圆心角等于 度． 【答案】120 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角是， 由题意得：， 解得：． 故答案为：． 3．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】(1) (2)这根绳子的最短长度为 【分析】（1）结合侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为的距离． 本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题． 【详解】（1）解： 设的度数为， 底面圆的周长等于， 解得． （2）解：连接，过作于， ∴， ∵由（1）得 ∴ ∵ 则 由， ∴， ∴， ∴， 即这根绳子的最短长度是． 易错必刷题三十一、圆锥侧面上最短路径问题 1．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（　　） A．10 B．12 C．14 D．20 【答案】A 【分析】由于圆柱的高为12cm，S为BC的中点，故BS＝6cm，先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长． 【详解】解：沿着S所在的母线展开，如图， 连接AS，则AB＝×16＝8，BS＝BC＝6， 在Rt△ABS中，根据勾股定理AB2＋BS2＝AS2，即82＋62＝AS2， 解得AS＝10． ∵A，S两点之间线段AS最短， ∴点A到点S移动的最短距离为AS＝10cm． 故选：A． 【点睛】本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 2．（23-24九年级下·江西·阶段练习）如图，圆锥的轴截面是边长为8cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为 ． 【答案】 【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC=90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可． 【详解】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是BCπ＝8π， 以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l＝8π， 设展开后的圆心角是n°，则， 解得：， 即展开后∠BAC＝×180°＝90°， AP＝AC＝4，AB＝8， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 3．（23-24九年级·全国·课后作业）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展平，请画出所得侧面展开图． 【答案】详见解析． 【分析】利用圆锥的性质，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理． 【详解】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段， 又因为蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合， 如图所示： ． 【点睛】本题考查圆锥的性质，立意相对较新，考查了学生的空间想象能力，运用到两点间线段最短定理． 易错必刷题三十二、已知三视图求侧面积或表面积 1．（2024·宁夏吴忠·一模）如图②是图①正三棱柱的三视图，若用S表示面积，， ，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三视图的有关知识，实数的运算，先根据主视图的面积求出三棱柱的高，再根据俯视图的面积求出上底面等边三角形的高即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该三棱柱的高为，且上底面等边三角形的边长为， ∴上底面等边三角形的高的长为， ∴， 故选：D． 2．（2024九年级下·山东青岛·专题练习）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 【答案】/ 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先根据三视图得到几何体的形状，难度不大． 首先根据三视图判断几何体的形状，然后计算其表面积即可． 【详解】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱， 半圆柱的直径为6，高为6， 故其表面积为：． 故答案为：． 3．（24-25九年级下·山东济南·阶段练习）某物体的三视图如图： (1)此物体的几何名称是____________； (2)求此物体的全面积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题考查了由三视图判断几何体及几何体的全面积问题，解题的关键是了解圆柱的侧面积的计算方法． （1）根据该几何体的主视图与左视图是矩形，俯视图是圆可以确定该几何体是圆柱； （2）根据告诉的几何体的尺寸确定该几何体的侧面积即可． 【详解】（1）解：根据三视图的知识，主视图以及左视图都为矩形，俯视图是一个圆，故可判断出该几何体为圆柱； 故答案为：圆柱； （2）解：根据圆柱的全面积公式可得，． 1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）在中，，，，则的余弦值是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及求余弦值，解决本题的关键是熟练掌握三角函数，根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可． 【详解】解：由勾股定理得， ， 由锐角三角函数的定义可知， 的余弦值，即， 故选：B． 2．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线和相交，即可判断． 【详解】的半径为5，直线与相交， 圆心到直线的距离的取值范围是， 故选：A． 3．（24-25九年级下·广西南宁·阶段练习）如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设围成的圆锥的底面圆的半径为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：设围成的圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 即围成的圆锥的底面圆的半径为． 故选：B． 4．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，手电筒的灯泡A距离地面的高度为h，灯泡照亮范围的横截面是，且，，地面被照亮的区域是一个圆，则该圆的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正切函数，掌握等腰三角形的性质是关键；由等腰三角形的性质得，在中，利用正切函数即可求出． 【详解】解：，， ； 在中，， ， ； 故选：A． 5．（23-24九年级下·浙江宁波·期末）如图，是半圆O的直径，C为半圆上一点，过点C作半圆O的切线交延长线于点E，如果，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆与三角形综合问题，包括切线的性质定理，圆周角定理，理解题意，作出辅助线是解题的关键． 连接，根据切线的性质定理得到，结合图形，利用各角之间的关系求解即可． 【详解】解：连接， ∵与⊙O相切于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．（23-24九年级下·浙江金华·开学考试）已知为锐角，且，则度数等于 度． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值解决问题即可． 【详解】解：，为锐角， ， 故答案为：． 7．（23-24九年级下·浙江台州·期中）已知的半径是，若圆心O到直线的距离是，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线与的位置关系即可解答，掌握判断直线与圆的位置关系的方法是解题关键． 【详解】解：已知的半径为，圆心O到直线的距离是， 即半径小于圆心到直线的距离， 故直线与的位置关系为相离， 故答案为：相离． 8．（23-24九年级下·浙江宁波·开学考试）用若干个棱长为1cm的小正方体码放成图所示的立体，则这个立体的表面积（含下底面面积）等于( )． 【答案】60 【分析】本题考查求立体图形的表面积，注意分析图形，掌握表面积的计算公式，是解答此题的关键．求这个几何体的表面积，就要数出这个图形中小正方体露在外面的个数，从前、后、左、右、上、下等方向上来查数，然后用一个面的面积乘面的个数即可． 【详解】解：从前、后、左、右、上、下方向，看到的面的个数分别为：11、11、8、8、11、11，表面积是： 答：这个立体的表面积（含下底面面积）等于． 故答案为：60 9．（2024·浙江湖州·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，． 按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作圆弧，与的两边分别交于、两点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作两弧相交于点，过、两点作射线；③分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于、两点，过点、作直线分别交射线、边于点、．则的长是 【答案】 【分析】本题考查了作角平分线，垂直平分线，等腰三角形的性质以及勾股定理，根据作图得出，连接，可得，进而即可求解． 【详解】解：依题意，是的角平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 连接，如图所示 ∵是的垂直平分线， ∴ ∴ ∵ ∴ 又是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 10．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质、弧长公式； 由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理求出，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵转角为， ∴， ∵过点A，B的两条切线相交于点C， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 11．（2024·浙江宁波·三模）（1）计算：； （2）解不等式：． 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题主要考查实数的运算和解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． （1）先计算零指数幂、代入三角函数值、化简二次根式、去绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ， ， ， 则． 12．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的底面半径为_______，侧面积为_______；（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】(1)15； (2)所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形的弧长和面积． （1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解； （2）根据扇形的弧长公式得到，求出即可． 【详解】（1）解：∵母线长为、高为， ∴底面半径为， 侧面积为， 故答案为：15；； （2）解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， ∴， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 13．（23-24九年级下·浙江宁波·期末）如图， 菱形ABCD的顶点A，B，D在⊙O上， 点C在⊙O外， 对角线AC 过圆心O， 且 ∠DAB=60°． (1)求证： 直线CD是⊙O的切线； (2)若AB=6， 求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)阴影部分的面积为 【分析】（1）连接OD，只需证明∠ODC=90°，根据等腰三角形的性质即可证明； （2）阴影部分的面积= S△ABD-S△OBD+S扇形OBD，利用三角形面积公式以及扇形OBD的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接OD． ∵四边形ABCD是菱形，且 ∠DAB=60°， ∴AD=CD，∠CAD=∠ACD=30°， ∵OA=OD， ∴∠DOC=2∠CAD=60°． ∴∠ODC=∠ACD+∠DOC=90°．即OD⊥CD， ∴CD是⊙O的切线． （2）解：∵四边形ABCD是菱形，且 ∠DAB=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∵对角线AC 过圆心O， ∴BD⊥AC， 在Rt△EDA中，∠DAE=30°，AD=AB=BD=6， ∴DE=3，AE=， ∴S△ABD=BDAE=9， 在Rt△EDO中，∠DOE=60°，DE=3， ∴∠ODE=30°， ∴OD=2OE， ∵OD2=OE2+DE2，即4OE2=OE2+9， ∴OE=，OD=， ∴S△OBD=BDOE=3， ∵四边形ABCD是菱形，且 ∠DAB=60°， ∴∠DOB=120°， ∴S扇形OBD=， ∴阴影部分的面积= S△ABD-S△OBD+S扇形OBD=9-3+． ． 【点睛】本题综合考查了菱形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 14．（2024·浙江台州·二模）如图，斜面上的小正方体木块的重力大小和方向可以用从点到点的有向线段的表示，由于斜边的支撑，重力会分解成平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力（叫做木块对斜面的正压力），分别用从到的有向线段和从到的有向线段表示．线段的长表示正方体的重力大小，线段和的长分别表示两个分力的大小．根据科学原理，四边形是平行四边形．如果斜面的坡角，小正方体木块的重力为10牛．求：该正方体木块对斜面的正压力（垂直于斜面的分力）的大小． （温馨提示：，，，结果精确到0.1牛） 【答案】该正方体木块对斜面的正压力约为9.4牛． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题．根据题意求出，再根据余弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：，， ， 在中，，牛， ， （牛）， 答：该正方体木块对斜面的正压力约为9.4牛． 15．（2024·浙江舟山·模拟预测）如图1，是内接三角形，．点是弧上一点（不与重合），连结，过点作平行线交延长线于点，请完成以下几个问题：    (1)求证：； (2)若， ①求的半径； ②当是等腰三角形时，求． 【答案】(1)证明见详解 (2)①的半径是；②的长为或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，由此即可求解； （2）①如图所示，连接，并延长交于点，连接，设，根据等腰三角形的性质，勾股定理即可求解； ②分类讨论：当时；当时，如图所示，连接交于点，连接，运用全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①如图所示，连接，并延长交于点，连接，设，    根据等腰三角形的对称性得，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，， ∴，解得，， ∴的半径是； ②当时， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示，连接交于点，连接，    ∴根据对称可知，，， ∴由勾股定理得：，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查圆与几何的综合，掌握圆的基础知识，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末重难点真题特训之易错必刷题型（111题32个考点） 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、正切、正弦、余弦概念辨析 1．（23-24九年级下·浙江湖州·期末）如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，作交边于点D．若，则的值为 ． 3．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 易错必刷题二、求角的正切、正弦、余弦值 1．（24-25九年级下·浙江温州·期中）如图，中，，于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，矩形中，，．以点A为圆心，将边顺时针旋转，交于点E，得到扇形，扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆半径是 ．    3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，a、b、c分别为的对边，且．试求最小角的三角函数值． 易错必刷题三、三角函数的定义求边长 1．（24-25九年级下·浙江杭州·期中）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为，则此时雷达测得点R到发射点L的距离为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 2．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）在中，，，，则 ． 3．（2024·浙江湖州·一模）如图，点在第一象限，轴，垂足为点，，反比例函数的图象经过的中点，与相交于点，． (1)求的值； (2)连接，求的面积． 易错必刷题四、特殊角三角函数值的混合运算 1．（24-25九年级下·浙江台州·期中）的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·浙江嘉兴·期中）计算：= ． 3．（23-24九年级下·浙江绍兴·期末）求下列各式的值： (1)； (2)． 易错必刷题五、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 1．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 2．（23-24九年级下·浙江温州·期末）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 3．（23-24九年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，为的直径，E为的中点，弦于点E，连接并延长交于点F，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若的半径为2，求的长． 易错必刷题六、根据特殊角三角函数值求角的度数 1．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）在中，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·浙江衢州·阶段练习）将一把直尺与一把三角尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为 ． 3．（23-24九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB =6，BC=3，以点A为圆心，AB为半径的弧交CD于点E．    （1）求∠AED的度数． （2） 求扇形ABE的面积． 易错必刷题七、根据三角函数值判断锐角的取值范围 1．（23-24九年级下·浙江绍兴·阶段练习）若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·浙江舟山·期末）已知，则锐角的取值范围是 ． 3．（2024·浙江湖州·二模）（1）计算：|-|+（-）-1-2sin45°+（）0 （2）先化简，再求值：（）÷，其中a=． 易错必刷题八、利用同角三角函数关系求值 1．（23-24九年级下·山东泰安·期中）已知是锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（2024·辽宁盘锦·二模）如图，点A，B，C，D在上，，，，则的长为 ． 3．（23-24九年级下·山东潍坊·期中）计算： (1)cos30°+sin45°； (2)； (3)已知：中，，tanA=2，求的值． 易错必刷题九、求证同角三角函数关系式 1．（23-24九年级下·上海静安·课后作业）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律 ． 3．（2024·甘肃武威·模拟预测）如图，在中，，请验证的结论． 易错必刷题十、互余两角三角函数的关系 1．（23-24九年级下·上海普陀·期中）在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·吉林·阶段练习）如图，在中，，垂足为D．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 3．（2024·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 易错必刷题十一、三角函数综合 1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·浙江宁波·期末）在中，，，则 3．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，到达点停止，过点作延长线的垂线，垂足为以为边构造正方形，点在线段上，设点的运动时间为（秒）． (1)的面积为______，点到直线的距离为______． (2)当点落在上时，求的值． (3)设正方形与重叠部分图形的面积为，求与之间的关系式． (4)当点不与点重合时，连结，设点关于直线的对称点为，连结，当线段与的一边平行时，直接写出的值． 易错必刷题十二、解直角三角形 1．（24-25九年级下·广东汕头·期中）如图，是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D．4 2．（23-24九年级下·全国·期末）某盏灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高，母线与底面半径的夹角为，，则圆锥的底面积是 （结果保留）． 3．（24-25九年级下·山东淄博·期中）如图，在中，，求的长． 易错必刷题十三、解直角三角形的应用 1．（2024·贵州·模拟预测）黔东南“村超”足球赛自开赛以来，持续火爆，每场球赛吸引万名观众到场观看．如图，榕江县体育馆内一看台与地面所成夹角为，看台最低点到最高点的距离，，两点正前方有垂直于地面的旗杆，在，两点处用仪器测量旗杆顶端的仰角分别为和． (1)求的长； (2)求旗杆的高．（结果精确到，，，，） 2．（23-24九年级下·上海·阶段练习）如图，l为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时公路上由西向东匀速行驶，依次经过点．是一个观测点，米，，，测得该车从点点行驶到点所用时间为1秒．    (1)求两点间的距离； (2)试说明该车是否超过限速． 3．（23-24九年级下·贵州黔南·开学考试）城市立交桥在缓解道路拥堵，让城市交通更加顺畅方面发挥了重要作用．如图，是某市立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为轴，横断面的对称轴为轴．桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为，和是两侧高为的支柱，和为两个方向的汽车通行区，宽都为，线段和为两段对称的上桥斜坡，其坡度为． (1)求桥拱所在抛物线的解析式及的长； (2)和为支撑斜坡的立柱，其高都为，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，试求和的宽； (3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于，今有一大型载货汽车，装载某大型设备后，其宽为，车载大型设备的顶部与地面的距离为，它能否从（或）区域安全通过？请说明理由． 易错必刷题十四、判断直线和圆的位置关系 1．（24-25九年级下·广东惠州·期中）如图所示，A是上一点，且，，，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相割 2．（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是 ． 3．（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段练习）如图，在等边中，D为边上一点，且，连接，，若以点A为圆心，r为半径作圆． (1)当半径时，求与的位置关系； (2)当半径时，求与的位置关系． 易错必刷题十五、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 1．（23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，中，，，，如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 3．（2024·福建莆田·二模）如图，已知直线l与相离，于点A，交于点P．AB是的切线，B是切点，连接BP并延长，交直线l于点C． (1)求证：； (2)若，求PB的长． 易错必刷题十六、证明某直线是圆的切线 1．（23-24九年级下·浙江宁波·期末）如图，点P为外一点，连结，作以为直径的圆，两圆交于点Q，连接，可得是的切线，则判定其为切线的依据是（    ） A．经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 B．垂线段最短 C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过圆外一点所作的圆的两条切线长相等 2．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 3．（24-25九年级下·浙江台州·期中）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为2，求的长． 易错必刷题十七、切线的性质定理 1．（2024·浙江·模拟预测）如图，是直径，与相切于点，与相交于点，连结，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·浙江台州·期中）如图，是的直径，是的切线，交于点C，，，则 cm． 3．（2024·浙江湖州·模拟预测）如图，的切线交直径的延长线于点，为切点，，连结，． (1)求的度数． (2)若，求的长 易错必刷题十八、切线的性质和判定的综合应用 1．（23-24九年级下·北京海淀·阶段练习）如图，中，，是底边的中点，若腰与相切，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 2．（23-24九年级下·浙江杭州·期末）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，P为圆外一点，PC、PD均与圆相切，设∠A+∠B＝130°，∠CPD＝β，则β＝ ． 3．（24-25九年级下·江苏南通·期中）如图，为的直径，与相切于点C，过点B作于点D，连接． (1)求证平分； (2)若，，求的长． 易错必刷题十九、圆的综合问题 1．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，以为圆心，为半径的圆交于点，延长交于点． (1)求证∶． (2)若的度数为，求的度数． 2．（23-24九年级下·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 3．（24-25九年级下·山东德州·期末）学习心得（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，长为半径作辅助圆，则、两点必在上，是的圆心角．是的圆周角，则______． 初步运用（2）如图，在四边形中，，，则_______； 问题迁移（3）①如图①，已知矩形，，，为边上的点，若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图②，在中，，是边上的高，且，，求的长． 易错必刷题二十、切线长定理 1．（23-24九年级下·河南商丘·阶段练习）如图，从外一点引的两条切线，切点分别为．若，，则的周长是（    ）    A．16 B．24 C． D． 2．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，、、是的切线，切点分别是、、若，，则的长是 ． 3．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．求： (1)大树到城堡南门的距离； (2)城堡外圆的半径． 易错必刷题二十一、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．（23-24九年级下·江苏南京·期中）三边长分别为6、8、10的三角形的内切圆的半径长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24九年级下·浙江·期末）在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为 步． 3．（2024·浙江丽水·一模）小陈同学从市场上购买了如图的花盆，花盆底部的横截面是直径为的圆，他家中有如图2的托盘，托盘底部的横截面是边长为的正三角形． (1)求正三角形一边的高线长； (2)这个托盘是否适用于该花盆?请判断并说明理由． 易错必刷题二十二、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 2．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，若的内切圆与分别相切于点，且，则的半径 ． 3．（23-24九年级下·贵州黔西·期中）如图，已知O是的内心，连接，，．若内切圆的半径为2，的周长为12，求的面积． 易错必刷题二十三、三角形内切圆与外接圆综合 1．（23-24九年级下·浙江宁波·期末）中，斜边，其重心与外心之间的距离为（      ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（23-24九年级下·河南信阳·期末）在中，，则的外接圆半径R与内切圆半径r的差 ． 3．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）根据下列条件作图： （1）如图①，请用直尺和圆规作出△ABC的内切圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图②，点A为圆上一点，请用直尺和圆规作出直径AB（不写作法，保留作图痕迹）． 易错必刷题二十四、投影 1．（24-25九年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列各图中，在地面上形成的投影与其它三项不同的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，身高的某学生沿着树影由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，则树的高度为 ． 3．（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面平行于投影面，圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于，底面圆的直径为，若． (1)画出该立体图形在投影面P上的正投影； (2)计算正投影的面积． 易错必刷题二十五、判断简单三视图 1．（2024·浙江·中考真题）在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·全国·课后作业）如图是由五个相同的正方体搭成的几何体． （1）这个几何体的主视图是 （填序号）； （2）这个几何体的左视图是 （填序号）； （3）这个几何体的俯视图是 （填序号）． 3．（23-24九年级下·甘肃白银·期末）如图，有4张除了正面图案不同，其余都相同的卡片． (1)这四张卡片上的立体图形中，主视图是矩形的有________（填字母序号）； (2)将这四张卡片背面朝上混合均匀，从中随机抽出一张后放回，混合均匀后再随机抽出一张，求两次抽出的卡片上的立体图形的主视图都是矩形的概率． 易错必刷题二十六、画简单的三视图 1．（2024·安徽合肥·二模）用6个同样的小正方体摆成一个大的几何体，要求它的主视图如图所示，下面摆法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·全国·课前预习）三视图的具体画法为： ①确定主视图的位置，画出主视图； ②在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图 ； ③在主视图正右方画出左视图，注意与主视图 ，与俯视图 ； ④为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加画点划线表示对称轴． 注意：不可见的轮廓线，用虚线画出． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，添线补全下列几何体的三视图． 易错必刷题二十七、求几何体视图的面积 1．（2024·四川广元·二模）如图，该几何体是由六个棱长为1的小正方体组合而成，则该几何体主视图的面积是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为 ． 3．（23-24九年级下·福建三明·期中）如图是由大小相同的小正方体组合成的简单几何体． （1）在下面的网格中画出该几何体从正面看和从左面看的形状图． （2）每个正方体棱长为1cm，那么搭成这个几何体的表面积是 　　cm2． 易错必刷题二十八、已知三视图求体积 1．（23-24九年级下·浙江·期末）某几何体的三视图如图所示，则其体积是（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的体积是 ． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）在一次数学综合实践活动中，需要制作如图所示的零件（长方体和圆锥的组合体），为此方方同学画出了该零件的三视图． (1)请问方方所画的三个视图是否有错？如有错，请将错的视图改正． (2)根据图中尺寸，求出其体积．（注：长方体的底面为正方形，单位：，结果保留一位小数） 易错必刷题二十九、求圆锥侧面积与底面半径 1．（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的底面半径与母线的比为，则该圆锥的侧面积是（ ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为米，高度为米，则此粮仓的侧面积为 ．（结果保留） 3．（23-24九年级下·浙江丽水·期中）如图所示，有一直径为的圆形纸片，要从中剪去一个最大的圆心角是90°的扇形ABC． (1)求被剪掉的阴影部分的面积； (2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？ 易错必刷题三十、求圆锥侧面展开图的圆心角 1．（23-24九年级下·浙江台州·期中）一个圆锥的底面直径是6cm，母线长5cm，则其侧面展开图的圆心角为（    ） A．90° B．108° C．120° D．216° 2．（2024·浙江·一模）一个圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面展开图扇形的圆心角等于 度． 3．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 易错必刷题三十一、圆锥侧面上最短路径问题 1．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（　　） A．10 B．12 C．14 D．20 2．（23-24九年级下·江西·阶段练习）如图，圆锥的轴截面是边长为8cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为 ． 3．（23-24九年级·全国·课后作业）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展平，请画出所得侧面展开图． 易错必刷题三十二、已知三视图求侧面积或表面积 1．（2024·宁夏吴忠·一模）如图②是图①正三棱柱的三视图，若用S表示面积，， ，则（  ） A． B． C． D． 2．（2024九年级下·山东青岛·专题练习）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 3．（24-25九年级下·山东济南·阶段练习）某物体的三视图如图： (1)此物体的几何名称是____________； (2)求此物体的全面积．（结果保留） 1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）在中，，，，则的余弦值是（） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 3．（24-25九年级下·广西南宁·阶段练习）如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，手电筒的灯泡A距离地面的高度为h，灯泡照亮范围的横截面是，且，，地面被照亮的区域是一个圆，则该圆的直径为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级下·浙江宁波·期末）如图，是半圆O的直径，C为半圆上一点，过点C作半圆O的切线交延长线于点E，如果，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24九年级下·浙江金华·开学考试）已知为锐角，且，则度数等于 度． 7．（23-24九年级下·浙江台州·期中）已知的半径是，若圆心O到直线的距离是，则直线与的位置关系是 ． 8．（23-24九年级下·浙江宁波·开学考试）用若干个棱长为1cm的小正方体码放成图所示的立体，则这个立体的表面积（含下底面面积）等于( )． 9．（2024·浙江湖州·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，． 按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作圆弧，与的两边分别交于、两点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作两弧相交于点，过、两点作射线；③分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于、两点，过点、作直线分别交射线、边于点、．则的长是 10．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为 ． 11．（2024·浙江宁波·三模）（1）计算：； （2）解不等式：． 12．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的底面半径为_______，侧面积为_______；（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 13．（23-24九年级下·浙江宁波·期末）如图， 菱形ABCD的顶点A，B，D在⊙O上， 点C在⊙O外， 对角线AC 过圆心O， 且 ∠DAB=60°． (1)求证： 直线CD是⊙O的切线； (2)若AB=6， 求图中阴影部分的面积． 14．（2024·浙江台州·二模）如图，斜面上的小正方体木块的重力大小和方向可以用从点到点的有向线段的表示，由于斜边的支撑，重力会分解成平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力（叫做木块对斜面的正压力），分别用从到的有向线段和从到的有向线段表示．线段的长表示正方体的重力大小，线段和的长分别表示两个分力的大小．根据科学原理，四边形是平行四边形．如果斜面的坡角，小正方体木块的重力为10牛．求：该正方体木块对斜面的正压力（垂直于斜面的分力）的大小． （温馨提示：，，，结果精确到0.1牛） 15．（2024·浙江舟山·模拟预测）如图1，是内接三角形，．点是弧上一点（不与重合），连结，过点作平行线交延长线于点，请完成以下几个问题：    (1)求证：； (2)若， ①求的半径； ②当是等腰三角形时，求． 学科网（北京）股份有限公司 $$