期末重难点真题特训之压轴满分题型（99题29个考点）-2024-2025学年九年级数学上下册重难点专题提升精讲精练（浙教版)

期末重难点真题特训之压轴满分题型（99题29个考点） 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、二次函数的图象 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知，，三点都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， ∴图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 2．（2024·江苏扬州·二模）如图，已知，，，抛物线过点C，顶点M位于第二象限且在线段的垂直平分线上，若该抛物线与线段没有公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及线段垂直平分线的性质．由点、的坐标结合抛物线的顶点位于第一象限且在线段的垂直平分线上，即可得出值以及，分点在线段下方及点在线段上方两种情况考虑抛物线与线段无公共点，当点在线段下方时，根据点的坐标即可得出；当点在线段上方时，由抛物线过点及当时值大于3，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出，进而得解． 【详解】解：抛物线的顶点位于第二象限且在线段的垂直平分线上，且点，， ，． 抛物线与线段无公共点分两种情况： ①当点在线段下方时， 点的坐标为， ． ②当点在线段上方时， 有， 解得：． 综上所述：的取值范围为或． 故答案为：或． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数，若该函数图象的顶点坐标为． (1)求b，c的值． (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）由题意可设二次函数式为，化简即可得出答案； （2）根据二次函数的性质计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵函数图象的顶点坐标为， ∴设该二次函数式为，化简得， ∴，； （2）解：由题意得，对称轴， ∵， ∴当时，，；，， 即当时，． 压轴满分题二、二次函数图象综合判断 1．（2024·湖南长沙·一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即在第四象限可得，从而得到反比例函数的图象分布在二、四象限，由抛物线的开口方向和与的交点个数得到，从而得到一次函数的图象经过一、二、三象限，即可得到答案． 【详解】解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即在第四象限， ， 反比例函数的图象分布在二、四象限， 抛物线的开口向上， ， 抛物线与轴有两个交点， ， 一次函数的图象经过一、二、三象限， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数的图象与系数的关系，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为 ． 【答案】或 【分析】根据抛物线的图象与系数之间的关系得出，，，即可得出结果． 【详解】解：设这条抛物线的解析式为：， ∵这条抛物线与抛物线的顶点坐标相同， ∴，， 又∵这条抛物线与抛物线形状相同， ∴，即， ∴这条抛物线的解析式为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟记二次函数的性质是解题的关键． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）设二次函数，（，，是实数，）． (1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值． (2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：． (3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：． 【答案】(1)为2，为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据，对称轴，求出的值，再把点代入函数即可求出的值； （2）根据顶点坐标公式得出和，再利用得出； （3）分情况根据对称轴的位置推出结论即可． 【详解】（1）解：∵函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵函数的图象经过点， ∴， ∴； （2）∵函数的最大值为， ∴，， ∵函数的最小值为， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，且， ①若，， 则， 即， ∵，， ∴， ②若，， 则， 即， ∵，， ∴， 综上可知，． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标公式等知识是解题的关键． 压轴满分题三、待定系数法求二次函数解析式 1．（24-25九年级上·吉林·期中）函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（   ） A．①②④ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．二次函数的平移，待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的对称性，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．①根据图象与轴的两个交点，求出对称轴，即可得到结论；②由的图象可知：与轴的交点为，根据翻折特点，即可解题；③根据对称轴，判断的符号，结合，的符号，即可得到的符号；④先求出图象的顶点坐标，得到平移后的顶点坐标，即可得出结论． 【详解】解：由图知，函数（，）的图象与轴交于，， 函数对称轴为直线， ， 则，， 故①正确； 函数图象与轴交于， 由翻折性质可知，， 故②正确； ，对称轴为直线， ， ， ， 故③错误； 由图知，， 函数图象与轴交于， 过点， 即， 解得， 函数为， 即， 当时，， 即的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点， 故④正确． 综上所述，正确的有①②④， 故选：A． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解． 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的表达式． (2)利用函数图象，求当时，y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数的表达式； （2）利用配方法得到，根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，当时，y有最小值，当时，的值为1，从而可得结论． 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为 （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，y有最小值， 当时，的值为1， ∴当时，y的取值范围． 压轴满分题四、二次函数图象的平移 1．（24-25九年级上·广东惠州·期中）将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线表达式为， 故选：． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）若抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图形的平移，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图形平移的规律． 根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由二次函数平移“左加右减，上加下减”的原则可知：抛物线的解析式是． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，且，二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的表达式． (2)将该抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上，求与的关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，再利用待定系数法求解即可； （2）求出平移后得到抛物线，得其顶点坐标是．待定系数法求出直线的函数表达式是．代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴．       ∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得，       ∴二次函数的表达式是； （2）解：抛物线可化为．       ∵抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上， ∴平移后得到抛物线，其顶点坐标是． 设直线的函数表达式， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的函数表达式是．       ∴， ∴． 压轴满分题五、抛物线与x轴的交点问题 1．（24-25九年级上·全国·期中）如图，二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（   ） A．①④ B．①③④ C．①③ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可知：，对称轴为直线，则有，然后根据顶点坐标公式及二次函数的对称性可进行排除选项． 【详解】解：由图象可知：，对称轴为直线，则有， ∴，故①正确； 由顶点坐标在第一象限，可知， ∴，故②错误； 令，则有，即 ∵， ∴， ∴， 代入函数解析式得：，则有，故③正确； ∵点A、B关于对称轴对称，且， ∴， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴；故④正确； 故选B． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，那么m应满足条件 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键．由题意知，分①二次函数的图象与轴有1个公共点；②二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解作答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与坐标轴有两个公共点， ∴①二次函数的图象与轴有1个公共点；②二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解； ①当二次函数的图象与轴有1个公共点时， ， 解得； ②当二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点时， 则， 解得：， 综上所述，m的值为或3， 故答案为：或3． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）设二次函数（，是常数，），自变量与函数的部分对应值如下表所示． … 0 1 2 … … 5 0 … (1)该二次函数图象的开口方向是______； (2)根据你的解题经验，直接写出方程的解为______，不等式的解为______． 【答案】(1)向上 (2)； 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由表格求出该二次函数的对称轴是解题关键． （1）根据表格中数据即可直接判断该函数图象的开口方向向上； （2）由表格可求出该抛物线的对称轴为直线，从而可求出该抛物线与x轴的另一个交点坐标，进而可得出的解；根据图象即可求得不等式的解． 【详解】（1）解：∵当时，；当时，；当时，， ∴该函数图象的开口方向向上； 故答案为：向上； （2）解：∵当时，；当时，， ∴该抛物线的对称轴为直线． 又∵当时，， ∴当时，， ∴的解为：； 当， 该二次函数图象在直线的下方， ∴不等式的解为． 故答案为：；． 压轴满分题六、二次函数的应用 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，P点在上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P，Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：    (1)经过多少时间后，P，Q两点的距离最短，最短距离是多少？ (2)经过多少时间后，的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)经过秒后，P，Q两点的距离最短，最短距离是 (2)当时，的面积最大，最大面积是 【分析】（1）设运动时间为t秒，分别表示出，利用勾股定理的逆定理证明，进而利用勾股定理得到，据此利用二次函数的性质求解即可； （2）设运动时间为t秒，利用三角形面积公式即可表示出的面积，然后配方，根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒， 由题意得，， ∴ ∵在中，，， ∴是直角三角形，即， ∴ ， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴经过秒后，P，Q两点的距离最短，最短距离是 （2）解：设运动时间为t秒，则， ∴， ∴， ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积是． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，勾股定理和勾股定理的逆定理，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解决本题的关键． 2．（2024·浙江杭州·二模）“水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘，C919国产大飞机首航抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”．如图1，两辆车向飞机喷射水柱，形成的两条水柱形状相同，均可以看作是抛物线的一部分，当两辆车喷水口的水平距离为60米，两条水柱在抛物线的顶点处相遇．建立直角坐标系，如图2，此时顶点距离地面22米，喷水口，点距地面均为4米．（喷射水柱的动力和角度均保持不变） (1)请写出经过，，三点的抛物线的函数表达式． (2)若两辆车同时向后退10米，两条水柱形状及喷水口到地面的距离均保持不变，两条水柱的相遇点距离地面多少米？ (3)若水柱相遇点距离地面14米，两辆车应该在（2）的条件下再分别后退多少米？ 【答案】(1) (2)消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面米 (3)消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面米 【分析】本题考查二次函数的实际应用； （1）根据题干的平面直角坐标系，给出点、的坐标，设经过点A，B，H的抛物线的解析式为，将点、的坐标代入解析式求出解析式； （2）根据题意利用平移的规律给出经过点，的抛物线解析式，得出的纵坐标即可解题； （3）根据题意设两辆车应该在（2）的条件下再分别后退米，则经过点，的抛物线的解析式为，将代入解析式，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设经过点，，的抛物线的解析式为， 根据题意得，，将其代入得：，解得， ， （2）经过点，的抛物线是由抛物线向右平移得到的， 经过点，的抛物线的顶点为， 经过点，的抛物线的解析式为， 将代入，得，， 消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面米． （3）解：设两辆车应该在（2）的条件下再分别后退米，则经过点，的抛物线的解析式为， 将代入， 即， 解得：（舍去）或 消防车再分别后退10米后两条水柱相遇点距地面米． 3．（2024九年级上·浙江·专题练习）根据以下素材，探索完成任务． 柚子季将至，某超市购进一批柚子进行销售 素材1 超市以20元千克的批发价格购进柚子，准备在销售旺季里销售．根据食品保鲜度，商家决定在整个40天的销售旺季里，前15天以32元千克的销售单价进行销售，从第16天开始每天销售单价降低0.4元千克进行降价销售． 素材2 根据往年的销售数据，柚子在销售旺季40天内的日销数量（千克）与时间第（天）的关系如表． 时间第（天） 1 2 3 10 日销售量（千克） 30 35 40 75 问题解决 任务1 小明看到柚子降价销售“26元千克”，计算这是超市卖柚子到第几天了． 任务2 利用一次函数、二次函数、反比例函数的知识，直接写出日销售量（千克）与时间（天的关系式． 任务3 请你帮助超市算一算，在销售旺季里利润最大是第几天，最大的利润是多少． 【答案】任务1：超市卖柚子到第30天了；任务2：；任务3：在销售旺季里利润最大是第15天，最大的利润是1200元 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，同时本题还考查了待定系数法求一次函数的解析式、解一元二次方程等知识点，明确二次函数的相关性质并会数形结合是解题的关键． 任务1：由题意得，第柚子的价格为：，即可求解； 任务2：由待定系数法即可求解； 任务3：当时，则，当时，则，分别求出最大值，即可求解． 【详解】解：任务1：由题意得，第柚子的价格为：， 则， 解得：， 即超市卖柚子到第30天了； 任务2：由表格知，日销售量（千克）是时间（天的一次函数， 设函数的表达式为：， 将代入上式得：， 解得：， 故一次函数的表达式为：； 任务3：设销售旺季里利润为元， 当时，则， 当时，取得最大值为（元； 当时，则， 则函数的对称轴为， 故当时，函数取得最大值为：798元， 综上所述：当时，函数取得最大值为1200元， 即在销售旺季里利润最大是第15天，最大的利润是1200元． 压轴满分题七、二次函数的综合问题 1．（24-25九年级上·河北张家口·阶段练习）如图，直线与x轴、y 轴分别交于点B，A，抛物线经过点A，B，其顶点为C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积； (3)点P为直线上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交直线于点D，求线段的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)2.25， 【分析】（1）先求出，，再利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得：，求出直线的解析式为，得出与轴的交点的横坐标，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）设，则，，表示出，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， 由题意得：， 解得：， ∴抛物线的函数解析式； （2）解：由（1）可得：， 设直线的解析式为， 将，代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴； （3）解：∵点P为直线上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交直线于点D， ∴设，则，， ∴， ∴当时，有最大值，为，此时，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的图象与性质、二次函数综合—线段问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 2．（2024·山东东营·模拟预测）如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)求出直线，的函数表达式． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的函数表达式为，直线的函数表达式为 (2)存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或； 【分析】本题考查了二次函数图形的性质、一次函数图形的性质、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键． （1）分别令即可求出三点的坐标；根据三点的坐标求直线的函数表达式即可； （2）根据直线的表达式设点，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：当时 ， 故点 当时，有 解得： 设直线的表达式为：； 将代入得： ， 解得： 故直线的表达式为： ； 同理可得：直线的表达式为：； （2）解：①存在：设点D的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或； 3．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点，交于点N，连接．的面积记为，的面积记为，当时，求m的值； (3)在（2）的条件下，点Q在抛物线上，直线与直线交于点H，当与相似时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)2 (3)点Q的坐标为或或或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）求出，直线解析式为，由直线轴，，得，，，故，而，根据，有，即可解得的值； （3）由，，得，而与相似，且，可知在的右侧，且或，设，当时，，可解得，直线解析式为，联立解析式可解得的坐标；当时，同理得的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：抛物线与轴交于点， ， ， 设直线的解析式为，把，代入，得： ， 解得， 直线的解析式为， 直线轴，， ，， ， ， ，，， ， ， ， 解得或（与重合，舍去）， 的值为2； （3）解：，， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， 与相似，且， 在的右侧，且或， 设， 由（2）知，，，， ，，，， 当时，如图： ， 解得或（此时在左侧，舍去）， ， 由，，同（2）得直线解析式为， ， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当时，如图： ， 解得（舍去）或， ， 由，，同（2）得直线解析式为， ， 解得或， ∴点Q的坐标为或． 综上所述，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，三角形面积，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 压轴满分题八、圆的周长面积问题 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在△ABC中，∠ACB为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作弧BAC，如图所示．若AB=4，AC=2，图中两个新月形面积分别为S1，S2，两个弓形面积分别为S3，S4，S1-S2=，则S3-S4的值是(    )   A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据AB和AC的长和圆的面积公式可求得S1+S3，S2+S4的值，然后再两值相减即可得出结论． 【详解】解：∵AB=4，AC=2， ∴S1+S3=2，S2+S4=， ∴（S1+S3）﹣（S2+S4）=（S1﹣S2）+（S3﹣S4）= ∵S1-S2=， ∴S3-S4= ﹣= ， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的面积，正确表示出S1+S3，S2+S4的值是解答的关键． 2．（2024·浙江·模拟预测）以下是杭州亚运会的会标，其中的水纹我们可以把它抽象为一个圆环的三分之一，已知两圆的半径分别为，，那么亚运会标志的水纹的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆环，根据圆环的面积公式计算即可求解，关键是熟练掌握圆环的面积公式． 【详解】解： ． 故亚运会标志的水纹的面积为． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长，的面积． (1)探究：①把分成两条相等的线段，每个小圆的周长； ②把分成三条相等的线段，每个小圆的周长记作， ③把分成四条相等的线段，每个小圆的周长，… ④把分成条相等的线段，每个小圆的周长． 分别求出，，； (2)类比探究：仿照（1）的探索过程，当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，求每个小圆的面积与大圆面积之间的关系． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了圆的周长、面积．正确求出小圆的半径是解题的关键． （1）把分成三条相等的线段，则小圆半径为，每个小圆的周长为；同理，把分成四条相等的线段，每个小圆的周长为；把分成条相等的线段，每个小圆的周长为； （2）由题意知，把大圆直径平均分成等分时，小圆半径为，则每个小圆的面积． 【详解】（1）解：由题意知，把分成三条相等的线段，则小圆半径为， ∴每个小圆的周长为； 把分成四条相等的线段，则小圆半径为， ∴每个小圆的周长为； 把分成条相等的线段，则小圆半径为， ∴每个小圆的周长为； ∴，，； （2）解：由题意知，把大圆直径平均分成等分时，小圆半径为， ∴每个小圆的面积， ∴． 压轴满分题九、根据旋转的性质求解 1．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②，③，④，正确的有（  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．根据旋转的性质可得，，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可． 【详解】解：①绕点逆时针旋转得到， ，故①正确； ②绕点逆时针旋转， ． ， ． ， ． ，故②正确； ③在中， ，， ． ． 与不垂直，故③不正确； ④在中， ，， ． ，故④正确． ①②④这三个结论正确． 故选：B 2．（2024·浙江绍兴·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C为x轴正半轴上一点，将绕点A旋转得到，点C的对应点D恰好落在该函数图象上．若的面积为6，则k的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，旋转的性质，反比例函数解析式等知识．熟练掌握反比例函数与几何综合，旋转的性质，反比例函数解析式是解题的关键． 设，由，可求，则，由将绕点A旋转得到，可知为的中点，设，则，进而可得，计算求解即可． 【详解】解：设， ∵的面积为6， ∴，即， 解得，， ∴， ∵将绕点A旋转得到， ∴为的中点， 设，则， ∵均在函数图象上， ∴， 解得，， 故答案为：8． 3．（2024·浙江嘉兴·一模）综合与实践 （1）问题情境：如图①，在正方形中，已知，点E，F分别在上，．把绕点A逆时针旋转90°得到，使与重合，则能证得，请写出推理过程； （2）问题探究：如图②，若，都不是直角，则当与满足数量关系______时，仍有； （3）拓展应用：如图③，在中，，点D，E均在边上，且．若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据已知条件证明，进而得到，即可得到答案； （2）先作辅助线，把绕A点旋转到，使和重合，根据（1），要使，需证明，因此需证明F、D、G在一条直线上，即，即； （3）先作辅助线，把绕A点旋转到，使和重合，连接，根据已知条件证明，设，则，，然后再中根据勾股定理即可求出x的值，即的长． 【详解】解：（1）如图， ∵把绕点A逆时针旋转至，使与重合， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 理由是： 如图，把绕A点旋转到，使与重合， 则， ∵， ∴， ∴F、D、G在一条直线上， 和（1）类似，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵中，，， ∴，由勾股定理得：，     如图，把绕A点旋转到，使和重合，连接． 则， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：，即， 解得： ， 即． 【点睛】本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形． 压轴满分题十、旋转综合题 1．（2024九年级下·四川凉山·专题练习）在中，，，根据题意完成下列问题： (1)如图①，点为内的点，连接，，，将绕着点按逆时针方向旋转后得．连接，，若，，，求证：． (2)如图②，若点是中斜边上的点（点不与点、重合），试求、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到，根据旋转的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，根据平行线的判定定理得到； （2）根据旋转的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理得到结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∵将绕着点按逆时针方向旋转后得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 理由：将绕着点逆时针旋转得到，连接，， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，问：直线是否平分？请直接写出结论：直线 （平分或不平分）． (2)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则的值为 ．（直接写出结果） (3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当始终在的内部时（如图3），与的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明． 【答案】(1)平分 (2)或 (3)不变，差值是 【分析】（1）设的反向延长线为，由角平分线的性质和对顶角的性质可求得； （2）由直线恰好平分锐角可知旋转或时直线平分，根据旋转速度可求得需要的时间； （3）由，可知，最后求得两角的差，从而可做出判断． 【详解】（1）解：直线平分． 理由如下：设的反向延长线为， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，∴平分， 即直线平分，故答案为：平分； （2）∵，∴． ∴． 即旋转或时直线ON平分∠AOC． 由题意得，或． 解得：或， 故答案为：或； （3）的差不变． ∵， ∴， ∴． ∴与的差不变，这个差值是． 【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，掌握旋转的性质，数形结合是解题的关键． 3．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）将一副直角三角板和如图（1）放置，此时四点在同一条直线上，点在边上，其中，，．    (1)求的度数； (2)将图（1）中的三角板绕点A以每秒10°的速度，按顺时针方向旋转一定的角度后，记为三角板，设旋转的时间为t秒． ①如图（2），当旋转至，求a的值； ②若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①45°或225°；②6或9或18或24或27 【分析】（1）根据题意，由三角形外角定理即可求解； （2）①当时，分两种情况，第一种当旋转角度在之间时，根据三角形外角定理得，再根据即可求解；第二种情况当旋转角度在时，此时再旋转； ②分两种情况讨论：第一种情况当时，a为或a为，第二种情况当时，a为或a为，第三种情况，当时，根据角度转动速度分别求解t即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：①如图，   ， ， 由（1）知，，， ，， ， 如图，与延长线交于点，    由第一种情况知，这种情况是在第一种情况的基础上再旋转， 三角板绕点A以每秒的速度按顺时针方向旋转， ， 综上所述：，； 解：②I.如图，当时，   ， ， ， ， a为或a为， （秒），（秒）． II.如图，当时，   ， ， a为或a为， （秒），（秒）， III. 如图，当时，    此时与在同一条直线上， a为， （秒）， 综上所述：三角板的某一边恰好与所在的直线平行， t的值为：6或9或18或24或27． 【点睛】本题考查角的运动和角的运算及平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法及性质和角度的运算是解题的关键． 压轴满分题十一、垂径定理的实际应用 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.7m，地面入口宽为1.8m，求该门洞的半径． 【答案】该门洞的半径为． 【分析】本题主要考查垂径定理的应用．设半径为，根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设圆的半径为， 由题意可知，，，， 中，，即， 解得． 答：该门洞的半径为． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小明阿学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于、、、四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径． 【答案】纸杯的直径为． 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，，过圆心，连接，， ， ∵， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； (2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； (3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 【答案】(1) (2)12.5米 (3)①若设计成抛物线型时，货船不能顺利通过该桥；②若设计成圆弧型时，货船能顺利通过该桥；理由见解析 【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，将点代入，求出的值，即可确定函数的解析式； （2）设圆心为，连接交于点，连接，在中，，解得，即可求该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）①若设计成抛物线型时，当时，，由米米，可知货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时，设米，过点作交弧于点，过点作交于点，连接，在中，，求出米，可得米，再由2.5米米，即可判断货船能顺利通过该桥． 【详解】（1）解： ， ，， ， ， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为， 即； （2）解：设圆心为，连接交于点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， 该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）解：①若设计成抛物线型时，当时，， 米米， 货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时， 设米， 过点作交弧于点，过点作交于点，连接， 米， 在中，， ， 米， 米， 米， 米米， 货船能顺利通过该桥． 【点睛】本题考查二次函数的应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 压轴满分题十二、利用弧、弦、圆心角的关系求解与求证 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（　　） A．4 B．5.5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据垂径定理和点C是弧的中点得出，从而得出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图，设的半径为r， ∵， ∴，， ∵点C是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，解得， 即的半径为． 故选：C． 2．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则的直径长为 ．    【答案】15 【分析】根据点是弧的中点，得到；根据为的直径，，得到，从而得到，得到，得到，得到，设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，计算2R的值即可． 【详解】如图，因为点是弧的中点， 所以； 因为为的直径，   ， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到， 解得． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 3．（2024·浙江·模拟预测）请用无刻度直尺在以下两个图中画出对应射线： (1)如图①，若，A、B在圆上，请画出对应的弧的中点D； (2)如图②，若存在正六边形，连接、、，请画出和的垂直平分线，两者交于，连接，问和的关系并证明． 【答案】(1)见详解 (2)作图见详解，平分 【分析】本题考查了复杂作图，圆周角定理，掌握菱形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据“在同圆中，相等的圆周角所对的弧相等”进行作图； （2）先画出图形，再根据菱形的性质进行证明． 【详解】（1）如图1，作的平分线交圆于，点即为所求． （2），即为所求；平分． 理由：正六边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 是菱形， ∴平分． 压轴满分题十三、圆周角 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，点为圆上一点，，若将劣弧沿弦翻折交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理以及折叠问题的知识，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大．连接，根据直径所对的圆周角是直角求出和，根据翻折的性质，可知所对的圆周角为，所对的圆周角为，再根据，可得，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， 根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为， ∴， ∵， ， ． 故选：A． 2．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）如图，是半圆的直径，弦相交于点是的中点，则 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了圆周角定理、含角的直角三角形的性质等知识．由是半圆的直径得到，由得到，求出，由是的中点得到，则，得到，，根据含角的直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：是半圆的直径， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知是的直径，B，C是两侧圆上的动点，且，过点C作，交直径于点F，连结， (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）根据圆周角定理推出，进而结合题意推出，从而由等腰三角形的性质得到； （2）根据平行线的性质得出，进而推出，结合题意和全等三角形的性质得到四边形是平行四边形，再根据推出，从而得到四边形是菱形． 【详解】（1）证明：是直径， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ，， ， ∵， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形． 压轴满分题十四、圆内接四边形 1．（24-25九年级上·浙江·期中）在⊙中，点在圆上，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，先由得到平行四边形，得到，再由圆内接四边形得到，最后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，点A，B，C，D在上，若，，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补等知识．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补是解题的关键． 由，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知经过四边形的，两个顶点，并与四条边分别交于点，，，，且． (1)如图1所示，连结，若是直径，求证：． (2)如图2所示，若，，弧的度数为，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】此题考查了圆周角定理及圆内接四边形对角互补； （1）根据圆周角定理及同弧所对的圆周角相等，得到 ，然后利用外角的性质等量代换求证； （2）利用外角性质及圆内接四边形对角互补求解. 【详解】（1）证明：连结，      是直径，           （2）连结， 同（1）可得，且，     四边形是的内接四边形， ，     ，， ， ．     压轴满分题十五、正多边形和圆的综合 1．（23-24九年级下·江苏南京·开学考试）如图，在扇形中，是上一点，且分别是的内接正六边形、内接正五边形的边，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆、等腰三角形的性质，根据正多边形和圆的关系，利用正n边形的中心角为分别求得，，再根据等腰三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】解：连接， ∵分别是的内接正六边形、内接正五边形的边， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故选：C． 2．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图，正六边形内接于且半径为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是正六边形和圆、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握正六边形的性质是本题的关键． 如图：连接，证出是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵多边形是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为3． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹． (1)如图，为的弦，画一条与长度相等的弦； (2)如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）分别过、作直径和，连接，由得； （2）连接，，，交于点，作射线交圆于点，因为是正五边形内接于圆，，则，垂直平分，因为，所以垂直平分，得，从而得为直径． 本题主要考查了作图复杂作图，垂直平分线的性质与判定，垂径定理，圆周角定理，正多边形和圆，熟练掌握无刻度直尺作图，垂径定理是解题的关键． 【详解】（1）解：与长度相等的弦如图所示： （2）解：直径如图所示： 压轴满分题十六、弧长及扇形面积 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求； (1)求弧的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查扇形的面积、等腰三角形的性质、弧长的计算，掌握扇形的面积和弧长的计算公式及等腰三角形的性质、平行线的判定与性质是解题的关键． （1）连接，利用等腰三角形的性质和平行线的判定与性质求出，再由弧长公式计算弧的长； （2）利用扇形和三角形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积的面积”计算即可． 【详解】（1）解： 连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长， 弧的长是． （2）解： ， 阴影部分的面积是． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，E在上，经过A、B、E三点的交于点D，且． (1)求证：为的直径； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，扇形面积的计算，掌握圆周角定理、扇形面积公式是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的三线合一得到，根据圆周角定理的推论证明； （2）连接，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为的直径； （2）解：连接， ∵为的直径，，， ∴点在上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 3．（23-24九年级下·浙江湖州·阶段练习）现有成 角且足够长的墙角和可建总长为 围墙的建筑用料来修建储料场． (1)如图1，修建成一个半圆储料场，圆弧为新建围墙，求： ①储料场的半径； ②储料场的面积． (2)小林建议：把新建围墙建成如图2所示的以 为圆心的，这样修建的储料场会更大，你认为小林的建议合理吗？请说明理由． 【答案】(1)①， ② (2)小林的建议合理，理由见解析 【分析】本题考查圆的性质，扇形的面积，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据圆的周长和面积公式求解即可； （2）根据扇形面积求解，然后比较即可； 【详解】（1）解：① 设半圆的半径为，则 ， 解得 ， ② ； （2）设 的半径为，则 ， 解得 ， ， ， 小林的建议合理； 压轴满分题十七、由平行线截得的比例线段 1．（23-24九年级上·浙江·周测）如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，角平分线的性质，由勾股定理得，再由角平分线的性质得，进而由面积法求出，则，然后由勾股定理得，则，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，直线，直线依次交、、于、、三点，直线依次交、、于、、三点，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：， ， ， ，， ， 解得：， 故答案为：． 3．（2024·上海·三模）如图，正方形的边长为1．对角线、相交于点O，P是延长线上的一点，交于点E，交于点H，交于点F，且与平行． (1)求证：． (2)求证：四边形为平行四边形． (3)求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由正方形的性质得出，结合即可得证； （2）由得出，，由正方形的性质得出，，从而，即，推出，即可得证； （3）求出和的长，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴由勾股定理可得：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 压轴满分题十八、相似三角形的判定与性质综合 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知如图，在中，点在边上，是角平分线交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）角平分线得到，三角形的内角和定理，得到，进而得到即可； （2）根据，得到，，推出，证明，得到，进而得到，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 设，， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处，折痕与边交于点，连接，，． (1)求证：． (2)若，求边的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理与折叠，三角形相似的判定和性质，熟练掌握上述知识是解题关键． （1）根据矩形和折叠的性质易证，即可证，得出； （2）由相似三角形的性质得出，结合题意可求出，．设，则．在中，根据勾股定理可列出关于x的方程，求解即可． 【详解】（1）证明：在矩形中，， 由翻折可知，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴，． 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 3．（24-25九年级上·浙江·期中）如图1，由四个全等的直角三角形的直角边拼接成一个正方形，我们称这样的图形为“弦图”，“弦图”是中国古代数学的瑰宝，在如图2的“弦图”中，连结，交于点O，设与，的交点分别为M，N．吴老师和学生们对此“弦图”进行研究性学习时，有如下交流： 吴老师：利用弦图中的三角形全等关系可证明“四边形是正方形，O是和的中点．”； 小聪：这两个结论都能证明，我还发现“”； 小颖：我发现“已知，的长度，就能确定的长度”，如：“已知，，求的长．” 结合上述师生的交流： (1)请你证明小聪发现的结论； (2)请你解答小颖提出的问题“已知，，求的长．” 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）由四边形是正方形，四边形是正方形，可得，再由，可证明； （2）由，可得，由勾股定理得，由正方形得：，由正方形得：，又由O是和的中点，可得，，再由，可得， 即：，求出，再求解可得答案． 【详解】（1）解：由吴老师与小聪的交流可知： 四边形是正方形， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ， ， ； （2）， ， ， 由正方形得：， 由正方形得：， 由吴老师与小聪的交流可知：O是和的中点， ，， 由（1）得：， ， 即：， ， ∴由中心对称性，得：． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，全等三角形的性质，相似三角形的性质与判定，正方形的性质及勾股定理等知识点，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质及判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质． 压轴满分题十九、相似三角形的综合问题 1．（2024·浙江杭州·一模）如图，△ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，CE，AD交于点 F，BD＝AD，BE＝EC．    (1)求证：△ABD∽△CBE； (2)若CD＝CF，试求∠ABC的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知可得∠BAD＝∠BCE，结合∠B＝∠B，可以得到； （2）设∠B＝x ，则由（1）和已知条件可以得到关于x的方程，解方程即可得到问题解答． 【详解】（1）证明：∵BD＝AD，BE＝EC ∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠BCE   ∴∠BAD＝∠BCE 而∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBE （2）解：设∠B＝，由（1）可知∠B＝∠BAD＝∠BCE＝， ∴∠ADC＝ 又∵CD＝CF ∴∠ADC＝∠DFC＝   ∴    ∴ 即    【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，熟练掌握三角形相似的判定方法、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想方法的应用是解题关键． 法的应用是解题关键． 2．（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）（1）问题发现：如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在AD、AF上，此时BD与CF的数量关系是_________，位置关系是__________； （2）拓展探究：如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．已知AB=2，AD=，求线段DH的长． 【答案】（1）CF=BD，CF⊥BD；（2）成立，证明见解析；（3）． 【分析】（1）根据正方形和等腰直角三角形的性质和线段的和差即可得出结论； （2）只需要证明△ABD≌△ACF即可得出结论； （3）连接DF，延长AB，与DF交于点M．根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质求得DF、DM和DB，证明△BDM∽△FDH即可求得． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AF⊥AD，AF=AD，即CF⊥BD， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=AB， ∴CF=BD， 故答案为：CF=BD，CF⊥BD； （2）BD=CF成立． 理由：由旋转得：∠CAF=∠BAD=θ， 由（1）得AC=AB，AF=AD， 在△ABD和△ACF中， ∵ ∴△ABD≌△ACF， ∴BD=CF； （3）如图，连接DF，延长AB，与DF交于点M． ∵四边形ADEF是正方形， ∴∠MDA=45°， ∵∠MAD=45° ∴∠MAD=∠MDA，∠AMD=90°， ∴AM=DM， ∵AD=， 在△MAD中，AM2+DM2=AD2， ∴AM=DM=3， ∴MB=AM-AB=3-2=1， 在Rt△BMD中，BM2+DM2=BD2， ∴ 在Rt△ADF中，AD=， ∴， 由（2）得，△ABD≌△ACF， ∴∠HFN=∠ADN， ∵∠HNF=∠AND，∠AND+∠ADN=90° ∴∠HFN+∠HNF=90° ∴∠NHF=90°， ∴∠DHF=∠DMB=90°， ∵∠BDM=∠FDH， ∴△BDM∽△FDH， ∴， ∴． 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友爱四边形”，这条对角线叫“友爱线”． （1）如图1，在的正方形网格中，有一个网格和两个网格四边形与四边形，其中是被分割成的“友爱四边形”的是______． （2）如图2，四边形是“友爱四边形”，对角线是“友爱线”，同时也是的角平分线，若中，，，，求友爱四边形的周长． （3）如图3，在中，，，的面积为，点D是的平分线上一点，连接，．若四边形是被分割成的“友爱四边形”，求的长． 【答案】（1）四边形ABCE；（2）13或10；（2）2 【分析】（1）根据勾股定理分别求出三个三角形的各边长，根据三边对应成比例的三角形相似、“友爱四边形”的定义判断； （2）根据旋转变换的性质、平行线的性质、两角相等的两个三角形相似证明； （3）AM⊥BC，根据含30°的直角三角形的特殊性质及勾股定理用AB表示出AM，根据三角形的面积公式得到BC×AB＝12，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案． 【详解】解：（1）∵AB＝2，BC＝1，AD＝4， ∴由勾股定理得，AC＝＝，CD＝＝， AE＝＝2，CE＝＝5， ∴＝＝＝， ∴ABC∽EAC， ∴四边形ABCE是“友爱四边形”， ∵≠， ∴ABC与ACD不相似， ∴四边形ABCD不是“友爱四边形”， 故答案为：四边形ABCE； （2）∵AC平分∠BCD， ∴∠ACB=∠ACD， 当∠B=∠DAC时，ABC∽DAC， 则＝＝， ∵，，， ∴＝＝， 解得AD＝，CD＝， ∴友爱四边形的周长为； 当∠B=∠D时，ABC∽ADC， 则＝＝＝1， ∵，，， ∴＝＝1， 解得AD＝2，CD＝3， ∴友爱四边形的周长为， 综上所述，友爱四边形的周长为13或10； （3）如图3，过点A作AM⊥BC于M， 则∠AMB＝90°， ∵， ∴∠BAM＝30°， ∴BM＝AB， ∴在Rt△ABM中，AM＝ ＝ ＝AB， ∵ABC的面积为3， ∴BC×AB＝3， ∴BC×AB＝12， ∵四边形ABCD是被BD分割成的“友爱四边形”，且AB≠BC， ∴ABD∽DBC ∴， ∴BD2＝AB×BC＝12， ∴BD＝＝2． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质、三角形的面积计算，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、理解“友爱四边形”的定义是解题的关键． 压轴满分题二十、图形的位似 1．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似图形的周长比等于相似比是解题关键．由已知可得，再根据位似图形的性质，易证，得到相似比，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴和的周长之比为， 故选：D． 2．（23-24九年级上·四川·阶段练习）如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是3，则的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的性质，由题意得出和的位似比，从而得出和的面积的比是，即可得解． 【详解】解：点与点是对应点，原点是位似中心， 和的位似比， 和的面积的比是， 又的面积是3， 的面积是12． 故答案为：12． 3．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． (1)下列各图，是位似图形的有______ (2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图，，下列说法不正确的是（   ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为 D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 (3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形，使它与下列矩形的相似比是． 【答案】(1) (2)①一定是，不一定是；②C (3)图见解析 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的定义，是解题的关键： （1）根据位似图形的定义，进行判断即可； （2）①根据位似图形和相似图形之间的关系作答即可；②根据位似图形和位似比的定义进行判断即可； （3）连接，交于点，作线段的中垂线，交于点，以为圆心，的长为半径，画弧，分别交于点，则矩形即为所求． 【详解】（1）解：由题意，可知：为位似图形，③的对应点的连线没有交于一点，不是位似图形， 故答案为：； （2）①由（1）可知：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形； 故答案为：一定是，不一定是； ②∵， ∴， 又∵对应点和对应点的连线交于点， ∴两个三角形是位似图形，点为位似中心，点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点，位似比为； 综上，只有选项C的说法不正确，符合题意， 故选：C； （3）如图，矩形即为所求 由作图可知：， ∴矩形与矩形位似，位似中心为，且相似比为． 压轴满分题二十一、三角函数的定义求边长 1．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，，，求的长． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正弦，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，正弦，勾股定理是解题的关键． 如图，作于，由，可得，由，可求，由勾股定理得，，进而可求的长． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， 2．（23-24九年级上·江西·期末）如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，． (1)求的长． (2)求的正弦值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了正弦与余弦、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握正弦与余弦的概念是解题关键． （1）先根据余弦的定义可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得； （2）先求出，利用余弦可求出的长，从而可得的长，再在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， 所以的长为5． （2）解：∵是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 所以的正弦值为． 3．（23-24九年级上·河南郑州·期中）小明和小刚走进教室，跟随李老师探究“矩形折叠中的相似三角形”问题．请你一同作答：如图，已知在矩形中，，，点E为边上一点（不与点A、点B重合），先将矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H． (1)观察发现 写出图1中一个与相似的三角形： ． (2)迁移探究 当与的交点H恰好是的中点时，如图2．求阴影部分的面积． (3)拓展应用 当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，求的长． 【答案】(1)或（写出一个即可） (2)阴影部分的面积是 (3)的长为或 【分析】本题考查相似三角形综合应用，涉及矩形性质及应用，翻折变换，含特殊角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及性质定理． （1）由，，可得，故，从而； （2）点H是的中点，，，，再证，求出，根据三角形面积公式得阴影部分的面积即可； （3）分两种情况：①设的中点为K，的中点为T，直线为矩形的对称轴，当F在上时，求出，设，则， 再证明，即可求解；②设的中点为N，的中点为M，直线为矩形的对称轴，当F在直线上时，求得，得，，，故，根据，即可解答． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或（写出一个即可）； （2）∵点H是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是； （3）①设的中点为K，的中点为T，直线为矩形的对称轴，当F在上时，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得； ∴； ②设的中点为N，的中点为M，直线为矩形的对称轴，当F在直线上时，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； 综上所述，当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，的长为或． 压轴满分题二十二、三角函数综合 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）在如图所示的平行四边形中，射线、分别平分、，且分别交边、于点、，已知． (1)求证：四边形是菱形； (2)若为的中点，且的面积等于，求平行线与间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证，再证，从而四边形是平行四边形，又，于是四边形是菱形； （2）连接，先证明是等边三角形，得到，再证，，于是有，最后根据面积公式即可求得． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 、分别平分、， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接， 由（1）知，， ， 为的中点， ， 四边形是菱形， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 平行线与间的距离为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）已知，如图，点在上，； (1)求的度数， (2)若，，求的长， (3)若，求． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由三角形全等的性质得到，，再进一步得到，得出，再由即可求解； （2）先证明，得到，再由，即可求解； （3）根据，设，，得到，再得到，由，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ，， ，， ∵，， ， ∴， 在中，， ∴， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 在中， ， 又∵， ， ∴； （3）解：，设，， ， ， ∵ ∴， ， ， ∵， ∴， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角形函数等知识，掌握相关知识是解题的关键． 3．（2024·宁夏银川·二模）阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图所示的直角三角形，是锐角，那么，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图），在角α的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线绕点逆时针旋转后所得到的，和原点的距离为（总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中，分别是点的横、纵坐标）我们知道，图的三个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点在角α的终边位置无关． 比较图与图，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题． (1)如图3，若，则角α的三角函数值α、α、α，其中取正值的是 ． (2)已知α是钝角，则下列说法正确的是 ． ． ． ．α ．α (3)若角α的终边与直线重合，则αα ． (4)若角α是锐角，其终边上一点且，试求和α的值． 【答案】(1)α (2)A (3)或 (4)的值为；α的值为 【分析】（1）由点在第四象限，推出，根据，即可判断； （2）根据三角函数的定义分析求解即可； （3）分两种情形讨论即可解决问题； （4）根据α是锐角，终边上一点在第一象限，，进而得，进而得解得或（舍去），从而即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴点在第四象限， ∴， ∵， ∴， ∴取取正值的是， 故答案为：； （2）解：α是钝角，则α的终边在第二象限， ∴，， 而， ∴，故正确； ∵，， ∴，故不正确； ∵，，， ∴，故不正确； ，故不正确； 故答案为：； （3）解：由角α的终边与直线重合，设角α终边上一点为， ∴， 当时，，，， ∴； 当时，，，， ∴； 故答案为：或； （4）解：∵角α是锐角， ∴终边上一点在第一象限，， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）； 经检验，是原方程的解， ∴的值为； ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查一次函数综合题、三角函数的定义、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目． 压轴满分题二十三、解直角三角形的应用 1．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，辽宁舰在我国海域巡航，某时位于我国海域的A处，发现一艘国外军舰位于辽宁舰的北偏东方向，距离辽宁舰的B处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于辽宁舰正东方向的C处，国外军舰已进入我国海域边缘，此时，辽宁舰向国外军舰发出警示，国外军舰收到警示后，沿正南方向继续航行，到达辽宁舰的南偏东方向的D处． (1)求C处距离辽宁舰有多远； (2)求D处距离辽宁舰有多远（结果精确到）． （参考数据：，，；，，） 【答案】(1)C处距离辽宁舰约有 (2)D处距离辽宁舰约有 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． （1）在中，根据计算即可． （2）在中，根据计算即可． 【详解】（1）由题意：，，，． ∵， ∴． 在中， ∵， ∴． 答：C处距离辽宁舰约有． （2）在中， ∵， ∴． 答：D处距离辽宁舰约有． 2．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图1是位于青岛的山东省内最大的海景摩天轮“琴岛之眼”，游客可以在碧海蓝天之间领略大青岛的磅礴气势．图2是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，小红在E处测得摩天轮顶端A的仰角为，她沿水平方向向左行走到达点D，再沿着坡度的斜坡走了20米到达点C，然后再沿水平方向向左行走到达摩天轮最低点B处（A，B，C，D，E均在同一平面内）；（参考数据：，，） (1)求C点到地面的距离； (2)求摩天轮的高度．（结果保留整数） 【答案】(1)C点到地面的距离为； (2)摩天轮的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键． （1）延长交的延长线于M，于N，先在中，解直角三角形求出，； （2）在中，根据锐角三角函数构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，延长交的延长线于点M，于N， 由题意得：， 则，， 在中，， ∴设，， ∴， 解得， ∴，， 答：C点到地面的距离为； （2）解：由得，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴ ∴摩天轮的高度约为． 3．（2024·浙江·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)支点O到小竹竿的距离 (2)点A上升的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）作于点G，由题意可知，，在中，应用特殊角三角函数值求即可； （2）记交于点H，由题意推出，在中，求，在中求，则点A上升的高度可解． 【详解】（1）解：作于点G（图1）， ∵O为的中点，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴ ∴支点O到小竹竿的距离． （2）解：记交于点H（图2）， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 在中， ， 在中， m ∴点A上升的高度为． 压轴满分题二十四、直线与圆的位置关系 1．（23-24九年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若直线与圆相交；若．直线与圆相切；若直线与圆相离．过点作于E，作于F，作于G，作于H，由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切，则，，，，即可求解． 【详解】解：过点作于E，作于F，作于G，作于H， 由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切， 又∵的半径为6， ∴，，，， ∵点 到矩形某条边的距离为8，且， ∴点 到矩形某条边的距离为8，这条边可以是， 故选：C． 2．（23-24九年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，，分别与 相切于，两点，点为 上一点，连接 ，若，则的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质定理，多边形内角和，熟练掌握圆周角定理是解题的关键； 根据圆周角定理即可求解； 【详解】解：连接，，如图所示： ， ，分别交相切于，两点， ，， ， ， 故答案为： 3．（2024·广东韶关·二模）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，于点F，延长至点Q，连接，， (1)求证：是的切线； (2)若点P是上的一点，连接． ①求的值； ②若为的角平分线，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据，证明，再根据圆周角定理得出，即可证明，即可证明； （2）①连接，证明，设的半径为，利用相似三角形的性质得，，由勾股定理求得，得到，即可得到； ②过点作交于点，证明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，由即可求解． 本题考查圆的综合应用，主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ． ， ， ， ， 为的直径， ， ， 是的切线； （2）解：①如图，连接， 是的中点， ， ， 为的直径， ， ， ， ． ， 设的半径为，则， 解得， 经检验，是方程的解， ， ， ， ， ． ②如图，过点作交于点， ， ，是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ． 压轴满分题二十五、切线长定理 1．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，、、是的切线，点、、是切点，分别交、于、两点，若，则的度数（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查切线的性质、切线长定理和全等三角形的性质，根据切线性质，，可知，再根据为切线可知． 【详解】解：由题意得，连接、、， 由切线性质得，，，，，， ∴ 又， ，， ，， ， ， ， ． 故选：A． 2．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，已知是等边三角形，是的中点，分别与边，切于点和点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图，连接、、、，根据切线的性质得，，，再证明是等边三角形，得，，，进而利用三角函数得，，进而即可得解． 【详解】解：如图，连接、、、， ∵分别与边，切于点和点， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，点是的中点， ∴，， ∴，即，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，解直角三角形，三线合一，切线长定理及切线的性质，熟练掌握切线长定理及切线的性质是解题的关键． 3．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，矩形中，，．动点E在边上，以点E为圆心，以为半径作弧，点G是弧上一动点． (1)如图1，若点E与点A重合，且点F在上，当与弧相切于点G时，则的值是 　 　； (2)如图2，若连结，，分别取，，的中点P、Q，连接，M为的中点，则的最小值为 　． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）连接，则，勾股定理得，由切线长定理得，设，由勾股定理得，求解即可； （2）连接、，取的中点H，连接，由中位线性质得，，连接，取的中点I，连接，证四边形是平行四边形，得，取的中点J，可证四边形是平行四边形，得，确定点M在以J为圆心，为半径的圆弧上，由两点之间线段最短得，C，M，J三点共线时，最短，延长，，交，于点K，L，求得，由勾股定理计算即可． 【详解】（1）连接，则，， ， ， 与弧相切于点B， ， 设，则， 中，， 即， 解得，即， 故答案为：2； （2）如图，连接、，取的中点H，连接，则， ， 连接，取的中点I，连接，同理， ， ，， ∴四边形是平行四边形， ，， ∵P、Q是、的中点， ， ， 取的中点J，由， ∴四边形是平行四边形， ，即点M在以J为圆心，为半径的圆弧上， ∴当C，M，J三点共线时，最短，即最小值， 延长，，交，于点K，L，则， ∴点K，点L分别是，的中点， ，，， ，， 中， ， ∴最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中位线的性质，圆的定义，圆外一点与圆上点距离的最值问题，勾股定理解直角三角形、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等，结合题设条件确定动点的轨迹是解题的关键． 压轴满分题二十六、圆的综合问题 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图为⊙O的直径，点P为延长线上的点，过点P作⊙O的切线，切点为M，过A、B两点分别作垂线垂足分别为C、D，连接，则下列结论正确的是（      ）       ①平分；② ；③若，，则的长为 ；④若，则有 .      A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】①连接，由切线得，进一步可得，结合即可进行判断；②证即可进行判断；③求出即可进行判断；④由条件可推出，可证得，，设，则，求出即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为⊙O的切线， ∴， ∵， ， ， ， ， ∴平分，故①正确； ∵为⊙O的直径， ∴， ， ， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长为：，故③错误； ∵，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ∴， ， ， 由①得， ∴，故④正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、切线的性质、求正切值等知识点，综合性较强，熟记相关结论进行几何推理是解题关键． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，内接于，，于点，．若的半径为5，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，并延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出，根据，，，得出，根据勾股定理求出，证明，得出，代入数据即可得出答案． 【详解】解：连接，并延长交于点，连接， 为的直径， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是作出辅助线，构造相似三角形． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）【综合与探究】如图，内接于⊙O，是直径，射线相交于点D，连结． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点D作交直线于点F，连结，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，的延长线交于点H，，，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】 （1）由圆内接四边形性质得到又因为，进而得到，根据圆周角定理得到，即可求证； （2）过点O作于点G，根据圆周角定理以及已知条件可得，可得，进而证明，得出，根据等腰三角形的性质，得出，等量代换，即可得证； （3）延长交于点L，过点O作于点M，连接，证明，设的半径为r，根据相似三角形性质求得，根据中位线的性质得出，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如下图：连接， 四边形为的内接四边形， ， ， ， ， ； （2）如下图：过点O作于点G， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如下图：延长交于点L，过点O作于点M，连接， 四边形是的内接四边形， 。 ， ， ， ， ， 设的半径为r， ， ， 由(2)可得：， ， 解得：(不合题意，舍去)， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，垂径定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 压轴满分题二十七、已知三视图求体积 1．（2024九年级下·浙江·专题练习）从一个几何体的左面、上面看到的形状图如图所示，你能否根据图中提供的数据求出该几何体的体积？（π取3） 【答案】39600 【分析】根据左视图、俯视图的形状及所标注的数据可知，这个组合体是：下面是长为30，宽25，高为40的长方体，上面是底面直径为20，高为32的圆柱体，根据几何体的体积，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，组合体是：下面是长为30，宽25，高为40的长方体，上面是底面直径为20，高为32的圆柱体， ∴该几何体的体积 答：该几何体的体积约为39600． 【点睛】本题考查了组合体的三视图，组合体的体积．解题的关键在于识别组合体的组成部分． 2．（2024·陕西西安·三模）李明在参观某工厂车床工作间时发现了一个工件，通过观察并画出了此工件的三视图，借助直尺测量了部分长度．如图所示，该工件的体积是多少？ 【答案】 【分析】根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，体积是两个圆柱体的体积的和． 【详解】解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起， 底面直径分别是2和4， 高分别是4和1， 体积为：（cm3）． 答：该工件的体积是． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体和圆柱的计算，正确的得到几何体的形状是解题的关键． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）某直三棱柱零件如图①所示，张师傅根据此零件按的比例画出准确的三视图（如图②）．已知在中，，又知．求： (1)的长； (2)这个直三棱柱的体积． 【答案】(1)厘米 (2)立方厘米 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三棱柱的三视图及三棱柱的体积计算： （1）过点E作于点H，则根据题意可得出，然后由勾股定理计算即可得出答案； （2）根据三棱柱的体积等于底面积乘以棱柱的高进行计算即可． 【详解】（1）解：过点E作于点H，如图． 在中，， ∴． ∴． ∴由勾股定理，得， ∴． 由图形可知． （2）解：直三棱柱的体积． 压轴满分题二十八、圆锥侧面上最短路径问题 1．（23-24九年级上·江苏泰州·周测）如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解即可； （2）画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是90°； （2）根据侧面展开图的圆心角是90°，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知AB为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 【点睛】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4． （1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数． （2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的最短距离． 【答案】（1）90°；（2）4 【分析】（1）利用侧面展开图是以4为半径，2π为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角，进而即可求解； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得蚂蚁爬行的最短距离为AC的距离，进而即可求解． 【详解】解：（1）设∠ABC的度数为n，底面圆的周长等于2π×1＝，解得n＝90°； （2）连接AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD＝45°． ∴是等腰直角三角形， ∵AB＝4， ∴AD＝BD＝4÷=2， ∴AC＝2AD＝4， 即这只蚂蚁爬过的最短距离4． 【点睛】此题考查了圆锥的侧面展开图弧长的计算；得到圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解决本题的关键． 3．（2024·广东阳江·一模）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为，如图所示． ∴． ∵， ∴． ∴在中，由勾股定理得． ∴彩带长度的最小值为． 压轴满分题二十九、已知三视图求侧面积或表面积 1．（2024·浙江杭州·三模）已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆锥的三视图，求圆锥的侧面积，勾股定理，先由三视图得到该圆锥的高为，底面圆半径为，则由勾股定理可得母线长为，再根据圆锥侧面积底面周长母线长进行求解即可． 【详解】解：由三视图可知，该圆锥的高为，底面圆半径为， ∴母线长为， ∴这个圆锥的侧面积为， 故选：B． 2．（2024·浙江宁波·一模）一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的表面积为，则a的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查几何体的三视图复原几何体以及几何体的表面积的求法，根据三视图可知该正三棱柱底面等边三角形的高为，则底面等边三角形的边长为4，由此能根据该正三棱柱的表面积求得a的值． 【详解】解：∵由左视图知底面正三角形的高为， ∴底面正三角形的边长为4， ∴底面正三角形面积为， ∵这个正三棱柱的表面积为， ∴， ∴， 故答案为：2． 3．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图①是一个组合几何体，图②是它的两种视图． (1)在图②的横线．上填写出两种视图的名称； (2)根据两种视图中的数据（单位：），计算这个组合几何体的表面积． 【答案】(1)主，俯 (2)（） 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键． （1）根据三视图的定义判断即可； （2）根据图中数据，该几何体的表面积由一个长方体和一个圆柱组成，根据表面积计算公式进行计算即可． 【详解】（1）解：根据三视图的定义，第一个为主视图，第二个为俯视图； （2）解： （）． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）从，2，3，4这四个数中随机抽取两个不同的数，分别记作a和b．若点A的坐标记作，则点A在函数上的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是二次函数的性质，用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表得： 2 3 4 2 3 4 由表格可得，共有12种等可能出现的结果，其中在函数上的有种， 故若点A的坐标记作，则点A在函数上的概率是， 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，根据锐角三角函数的定义进行解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式不正确，符合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 故选：．    3．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，切于点，直线切于点，交于，交于点，若，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线长定理，根据切线长定理得，，，然后根据周长即可求解，理解切线长定理是解题的关键． 【详解】解：∵与相切，直线与相切， ∴，，， ∴的周长为 ， 故选：． 4．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廊线，为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点（即）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中不正确的是（   ） A．玻璃水杯轮廊线所在拋物线的解析式为 B．直线的解析式为 C．点到杯口的距离为 D．点到点的距离为 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，涉及待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，等腰三角形的判定，直线与抛物线的交点问题，难度较大，正确求出抛物线的表达式是解题的关键． 由题意得，，，，可求抛物线的解析式为，再求出直线的解析式，联立即可求出点坐标，继而可判断结论． 【详解】解：由题意得，，，， 设轮廓线，所在抛物线的解析式为，记与轴的交点为， 把、代入得 ，解得：， ∴，故A说法正确； ∵， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为 把、代入得： ，解得：， ∴直线：，故B说法正确； 由，解得，（舍） 当，， ∴， 此时点P到杯口的距离为，故C说法不正确； ，故D说法正确； 故选：C． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）是锐角，且，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了锐角三角函数和勾股定理，解题的关键是掌握根据已知三角函数值确定直角三角形的三边．根据题意画出图形，设，，由勾股定理得：，再利用三角函数的正切即可求解． 【详解】解：如图，，，      ∵， ∴设，， ∴由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 6．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图是由棱长相等的小立方体摆成的几何体从正面看与从上面看到的形状图，根据图形可以判断组成这个几何体最多要 个小立方块． 【答案】16 【分析】本题考查了由从不同方向看到的形状图来判断最多或最少得正方体的个数，由从上面看到的形状图可以判断底面小正方体的个数，由正面看到的形状图可以判断第二层和第三层小正方体的个数，进而计算作答即可． 【详解】解：由从上面看到的形状图可知，组成这个几何体的底面小正方体有7个，由从正面看到的形状图可知，第二层最少有2个，最多有6个；第三层最少有1个，最多有3个， ∴组成这个几何体最多要：个小立方块， 故答案为：16． 7．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，，在上截取，再在上截取，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割以及勾股定理；熟练掌握黄金分割和勾股定理是解题的关键．先由勾股定理求出，再由，得，即可得出结论． 【详解】解：，，， ， ， ， ， 故答案为： 8．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点，点是函数图象上的两点，则；④．其中正确结论有 （填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．观察图象可知，抛物线开口向下，故，对称轴在轴右侧，故，交点在轴正半轴，故，从而可判断①；根据对称轴和点坐标为，可得出抛物线与轴的另一交点坐标为，从而得故当时，，从而可判断②；找到点的对称点为，利用增减性可判断③；对称轴为直线，从而，当时，，即，即，又由，可得，即可判断④． 【详解】解：观察图象可知，抛物线开口向下，故，对称轴在轴右侧，故， 交点在轴正半轴，故， ，故①正确； 对称轴为直线．点坐标为， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 故当时，，即， 故②正确； 点的对称点为， 且，抛物线开口向下， ，故③错误； 对称轴为直线， ， 当时，， 即，即， 又由， ，即． 故④正确． 故答案为：①②④． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）解决下面问题． (1)计算：； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，比例的性质． （1）代入特殊角的三角函数值，根据二次根式的运算法则计算即可； （2）设，即，，代入即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：设，即，， ∴． 10．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将点和代入二次函数，得，解方程组即可求出与的值，进而可得该二次函数的表达式，然后将该二次函数的表达式化成顶点式，利用的图象与性质即可得出其顶点坐标； （2）由（1）可得，该二次函数的表达式为，可知其对称轴是直线，设点关于抛物线对称轴的对称点是，则由二次函数的对称性可得，然后根据函数图象即可直接写出当时的取值范围． 【详解】（1）解：将点和代入二次函数，得： ， 解得：， 该二次函数的表达式为：， ， 该二次函数图象的顶点坐标为：； （2）解：由（1）可得，该二次函数的表达式为：， 其对称轴是直线， 设点关于抛物线对称轴的对称点是， 由二次函数的对称性可知：， 根据轴对称的性质可得：， 解得：， ， 根据函数图象可知： 当时，的取值范围是：或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，把化成顶点式，的图象与性质，根据二次函数的对称性求函数值，轴对称的性质，解一元一次方程，从函数的图象获取信息等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象与性质是解题的关键． 11．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于为直径，上存在点，满足，连结并延长交的延长线于点与交于点． (1)设，请用含的代数式表示． (2)若，求证：． (3)在（2）的条件下，若，则的值为_______．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)详见解析 (3) 【分析】（1）根据得；根据为直径得；结合即可求解； （2）连接，可推出；结合，可得；证即可求解； （3）设，则，可推出，；设，可推出，即，；根据得，，即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴ （2）证明：连接，如图所示： ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， 由（1）得：， 设，则， ∵， ∴； ∴； 设， ∵， ∴ ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了圆与几何综合问题，涉及了圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识点，掌握相关几何结论是解题关键． 12．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）已知在中，．如图①，将的顶点与的顶点重合，边，分别落在的，上．如图②，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，当点到达点时，和点同时停止运动，设的运动时间为秒． (1)若，，请解答下列问题： ①连接，当秒时，求的长； ②当的面积为12时，求的值； ③当点在线段上运动时，点关于的对称点为，连接，，若与相似，求的值； (2)若，，当点在的平分线上时，连接，用含，的式子表示的长．（直接写出答案） 【答案】(1)①13；②或；③或 (2) 【分析】对于（1）①当秒时，点运动的路程为10，此时点的边上，可求，作，作，进而得出四边形为矩形，再说明，可得，然后根据勾股定理求，即可求出，，接下来可得，，最后根据勾股定理得出答案； ②当时，根据，当时，根据，分别求出答案即可； ③先表示出，，再根据当，当，两种情况得出两个三角形相似，然后根据相似三角形的对应边成比例得出答案； 对于（2），在的延长线上截取，在上截取，连接，，根据已知条件得，，再根据等边对等角及三角形内角和定理得，然后证明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】（1）解：①当秒时，点运动的路程为10， ， 此时点的边上，且， 如图，过点作于点，过点作于点， 由题意得，则四边形为矩形， ， ， ， ， 在中，， ， ，， ，， 在中，； ②当时，， ， 解得：， 当时，， ，解得， 当的面积为12时，的值为2或； ③点在边上， ， ， ， ， 当， 即， ， ， 解得：； 当， 即， ， ， 解得：， 若与相似，的值为或； （2）在的延长线上截取，在上截取，连接，， ，， ，， 平分， . ，， ，， . ，， ， ， . ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，求三角形的面积，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末重难点真题特训之压轴满分题型（99题29个考点） 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、二次函数的图象 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知，，三点都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏扬州·二模）如图，已知，，，抛物线过点C，顶点M位于第二象限且在线段的垂直平分线上，若该抛物线与线段没有公共点，则k的取值范围是 ． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数，若该函数图象的顶点坐标为． (1)求b，c的值． (2)当时，求的取值范围． 压轴满分题二、二次函数图象综合判断 1．（2024·湖南长沙·一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   2．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为 ． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）设二次函数，（，，是实数，）． (1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值． (2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：． (3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：． 压轴满分题三、待定系数法求二次函数解析式 1．（24-25九年级上·吉林·期中）函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（   ） A．①②④ B．①③ C．①② D．②③ 2．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的表达式． (2)利用函数图象，求当时，y的取值范围． 压轴满分题四、二次函数图象的平移 1．（24-25九年级上·广东惠州·期中）将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线表达式为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）若抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是 ． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，且，二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的表达式． (2)将该抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上，求与的关系．      压轴满分题五、抛物线与x轴的交点问题 1．（24-25九年级上·全国·期中）如图，二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（   ） A．①④ B．①③④ C．①③ D．②③④ 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，那么m应满足条件 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）设二次函数（，是常数，），自变量与函数的部分对应值如下表所示． … 0 1 2 … … 5 0 … (1)该二次函数图象的开口方向是______； (2)根据你的解题经验，直接写出方程的解为______，不等式的解为______． 压轴满分题六、二次函数的应用 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，P点在上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P，Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：    (1)经过多少时间后，P，Q两点的距离最短，最短距离是多少？ (2)经过多少时间后，的面积最大，最大面积是多少？ 2．（2024·浙江杭州·二模）“水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘，C919国产大飞机首航抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”．如图1，两辆车向飞机喷射水柱，形成的两条水柱形状相同，均可以看作是抛物线的一部分，当两辆车喷水口的水平距离为60米，两条水柱在抛物线的顶点处相遇．建立直角坐标系，如图2，此时顶点距离地面22米，喷水口，点距地面均为4米．（喷射水柱的动力和角度均保持不变） (1)请写出经过，，三点的抛物线的函数表达式． (2)若两辆车同时向后退10米，两条水柱形状及喷水口到地面的距离均保持不变，两条水柱的相遇点距离地面多少米？ (3)若水柱相遇点距离地面14米，两辆车应该在（2）的条件下再分别后退多少米？ 3．（2024九年级上·浙江·专题练习）根据以下素材，探索完成任务． 柚子季将至，某超市购进一批柚子进行销售 素材1 超市以20元千克的批发价格购进柚子，准备在销售旺季里销售．根据食品保鲜度，商家决定在整个40天的销售旺季里，前15天以32元千克的销售单价进行销售，从第16天开始每天销售单价降低0.4元千克进行降价销售． 素材2 根据往年的销售数据，柚子在销售旺季40天内的日销数量（千克）与时间第（天）的关系如表． 时间第（天） 1 2 3 10 日销售量（千克） 30 35 40 75 问题解决 任务1 小明看到柚子降价销售“26元千克”，计算这是超市卖柚子到第几天了． 任务2 利用一次函数、二次函数、反比例函数的知识，直接写出日销售量（千克）与时间（天的关系式． 任务3 请你帮助超市算一算，在销售旺季里利润最大是第几天，最大的利润是多少． 压轴满分题七、二次函数的综合问题 1．（24-25九年级上·河北张家口·阶段练习）如图，直线与x轴、y 轴分别交于点B，A，抛物线经过点A，B，其顶点为C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积； (3)点P为直线上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交直线于点D，求线段的最大值及此时点P的坐标． 2．（2024·山东东营·模拟预测）如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)求出直线，的函数表达式． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点，交于点N，连接．的面积记为，的面积记为，当时，求m的值； (3)在（2）的条件下，点Q在抛物线上，直线与直线交于点H，当与相似时，请直接写出点Q的坐标． 压轴满分题八、圆的周长面积问题 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在△ABC中，∠ACB为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作弧BAC，如图所示．若AB=4，AC=2，图中两个新月形面积分别为S1，S2，两个弓形面积分别为S3，S4，S1-S2=，则S3-S4的值是(    )   A． B． C． D． 2．（2024·浙江·模拟预测）以下是杭州亚运会的会标，其中的水纹我们可以把它抽象为一个圆环的三分之一，已知两圆的半径分别为，，那么亚运会标志的水纹的面积为 ． 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长，的面积． (1)探究：①把分成两条相等的线段，每个小圆的周长； ②把分成三条相等的线段，每个小圆的周长记作， ③把分成四条相等的线段，每个小圆的周长，… ④把分成条相等的线段，每个小圆的周长． 分别求出，，； (2)类比探究：仿照（1）的探索过程，当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，求每个小圆的面积与大圆面积之间的关系． 压轴满分题九、根据旋转的性质求解 1．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②，③，④，正确的有（  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2024·浙江绍兴·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C为x轴正半轴上一点，将绕点A旋转得到，点C的对应点D恰好落在该函数图象上．若的面积为6，则k的值为 ． 3．（2024·浙江嘉兴·一模）综合与实践 （1）问题情境：如图①，在正方形中，已知，点E，F分别在上，．把绕点A逆时针旋转90°得到，使与重合，则能证得，请写出推理过程； （2）问题探究：如图②，若，都不是直角，则当与满足数量关系______时，仍有； （3）拓展应用：如图③，在中，，点D，E均在边上，且．若，，求的长． 压轴满分题十、旋转综合题 1．（2024九年级下·四川凉山·专题练习）在中，，，根据题意完成下列问题： (1)如图①，点为内的点，连接，，，将绕着点按逆时针方向旋转后得．连接，，若，，，求证：． (2)如图②，若点是中斜边上的点（点不与点、重合），试求、、的数量关系，并说明理由． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，问：直线是否平分？请直接写出结论：直线 （平分或不平分）． (2)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则的值为 ．（直接写出结果） (3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当始终在的内部时（如图3），与的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明． 3．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）将一副直角三角板和如图（1）放置，此时四点在同一条直线上，点在边上，其中，，．    (1)求的度数； (2)将图（1）中的三角板绕点A以每秒10°的速度，按顺时针方向旋转一定的角度后，记为三角板，设旋转的时间为t秒． ①如图（2），当旋转至，求a的值； ②若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，直接写出t的值． 压轴满分题十一、垂径定理的实际应用 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.7m，地面入口宽为1.8m，求该门洞的半径． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小明阿学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于、、、四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； (2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； (3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 压轴满分题十二、利用弧、弦、圆心角的关系求解与求证 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（　　） A．4 B．5.5 C． D． 2．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则的直径长为 ．    3．（2024·浙江·模拟预测）请用无刻度直尺在以下两个图中画出对应射线： (1)如图①，若，A、B在圆上，请画出对应的弧的中点D； (2)如图②，若存在正六边形，连接、、，请画出和的垂直平分线，两者交于，连接，问和的关系并证明． 压轴满分题十三、圆周角 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，点为圆上一点，，若将劣弧沿弦翻折交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）如图，是半圆的直径，弦相交于点是的中点，则 ． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知是的直径，B，C是两侧圆上的动点，且，过点C作，交直径于点F，连结， (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 压轴满分题十四、圆内接四边形 1．（24-25九年级上·浙江·期中）在⊙中，点在圆上，，则为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，点A，B，C，D在上，若，，则 度． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知经过四边形的，两个顶点，并与四条边分别交于点，，，，且． (1)如图1所示，连结，若是直径，求证：． (2)如图2所示，若，，弧的度数为，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 压轴满分题十五、正多边形和圆的综合 1．（23-24九年级下·江苏南京·开学考试）如图，在扇形中，是上一点，且分别是的内接正六边形、内接正五边形的边，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图，正六边形内接于且半径为，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹． (1)如图，为的弦，画一条与长度相等的弦； (2)如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径； 压轴满分题十六、弧长及扇形面积 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求； (1)求弧的长； (2)求阴影部分的面积． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，E在上，经过A、B、E三点的交于点D，且． (1)求证：为的直径； (2)若，，求阴影部分的面积． 3．（23-24九年级下·浙江湖州·阶段练习）现有成 角且足够长的墙角和可建总长为 围墙的建筑用料来修建储料场． (1)如图1，修建成一个半圆储料场，圆弧为新建围墙，求： ①储料场的半径； ②储料场的面积． (2)小林建议：把新建围墙建成如图2所示的以 为圆心的，这样修建的储料场会更大，你认为小林的建议合理吗？请说明理由． 压轴满分题十七、由平行线截得的比例线段 1．（23-24九年级上·浙江·周测）如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，直线，直线依次交、、于、、三点，直线依次交、、于、、三点，若，，则 ． 3．（2024·上海·三模）如图，正方形的边长为1．对角线、相交于点O，P是延长线上的一点，交于点E，交于点H，交于点F，且与平行． (1)求证：． (2)求证：四边形为平行四边形． (3)求的长度． 压轴满分题十八、相似三角形的判定与性质综合 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知如图，在中，点在边上，是角平分线交于点． (1)求证：； (2)求证：． 2．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处，折痕与边交于点，连接，，． (1)求证：． (2)若，求边的长． 3．（24-25九年级上·浙江·期中）如图1，由四个全等的直角三角形的直角边拼接成一个正方形，我们称这样的图形为“弦图”，“弦图”是中国古代数学的瑰宝，在如图2的“弦图”中，连结，交于点O，设与，的交点分别为M，N．吴老师和学生们对此“弦图”进行研究性学习时，有如下交流： 吴老师：利用弦图中的三角形全等关系可证明“四边形是正方形，O是和的中点．”； 小聪：这两个结论都能证明，我还发现“”； 小颖：我发现“已知，的长度，就能确定的长度”，如：“已知，，求的长．” 结合上述师生的交流： (1)请你证明小聪发现的结论； (2)请你解答小颖提出的问题“已知，，求的长．” 压轴满分题十九、相似三角形的综合问题 1．（2024·浙江杭州·一模）如图，△ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，CE，AD交于点 F，BD＝AD，BE＝EC．    (1)求证：△ABD∽△CBE； (2)若CD＝CF，试求∠ABC的度数． 2．（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）（1）问题发现：如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在AD、AF上，此时BD与CF的数量关系是_________，位置关系是__________； （2）拓展探究：如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．已知AB=2，AD=，求线段DH的长． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友爱四边形”，这条对角线叫“友爱线”． （1）如图1，在的正方形网格中，有一个网格和两个网格四边形与四边形，其中是被分割成的“友爱四边形”的是______． （2）如图2，四边形是“友爱四边形”，对角线是“友爱线”，同时也是的角平分线，若中，，，，求友爱四边形的周长． （3）如图3，在中，，，的面积为，点D是的平分线上一点，连接，．若四边形是被分割成的“友爱四边形”，求的长． 压轴满分题二十、图形的位似 1．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（    ） A． B． C． D． B． 2．（23-24九年级上·四川·阶段练习）如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是3，则的面积是 ． 3．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． (1)下列各图，是位似图形的有______ (2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图，，下列说法不正确的是（   ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为 D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 (3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形，使它与下列矩形的相似比是． 压轴满分题二十一、三角函数的定义求边长 1．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，，，求的长． 2．（23-24九年级上·江西·期末）如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，． (1)求的长． (2)求的正弦值． 3．（23-24九年级上·河南郑州·期中）小明和小刚走进教室，跟随李老师探究“矩形折叠中的相似三角形”问题．请你一同作答：如图，已知在矩形中，，，点E为边上一点（不与点A、点B重合），先将矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H． (1)观察发现 写出图1中一个与相似的三角形： ． (2)迁移探究 当与的交点H恰好是的中点时，如图2．求阴影部分的面积． (3)拓展应用 当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，求的长． 压轴满分题二十二、三角函数综合 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）在如图所示的平行四边形中，射线、分别平分、，且分别交边、于点、，已知． (1)求证：四边形是菱形； (2)若为的中点，且的面积等于，求平行线与间的距离． 2．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）已知，如图，点在上，； (1)求的度数， (2)若，，求的长， (3)若，求． 3．（2024·宁夏银川·二模）阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图所示的直角三角形，是锐角，那么，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图），在角α的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线绕点逆时针旋转后所得到的，和原点的距离为（总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中，分别是点的横、纵坐标）我们知道，图的三个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点在角α的终边位置无关． 比较图与图，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题． (1)如图3，若，则角α的三角函数值α、α、α，其中取正值的是 ． (2)已知α是钝角，则下列说法正确的是 ． ． ． ．α ．α (3)若角α的终边与直线重合，则αα ． (4)若角α是锐角，其终边上一点且，试求和α的值． 压轴满分题二十三、解直角三角形的应用 1．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，辽宁舰在我国海域巡航，某时位于我国海域的A处，发现一艘国外军舰位于辽宁舰的北偏东方向，距离辽宁舰的B处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于辽宁舰正东方向的C处，国外军舰已进入我国海域边缘，此时，辽宁舰向国外军舰发出警示，国外军舰收到警示后，沿正南方向继续航行，到达辽宁舰的南偏东方向的D处． (1)求C处距离辽宁舰有多远； (2)求D处距离辽宁舰有多远（结果精确到）． （参考数据：，，；，，） 2．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图1是位于青岛的山东省内最大的海景摩天轮“琴岛之眼”，游客可以在碧海蓝天之间领略大青岛的磅礴气势．图2是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，小红在E处测得摩天轮顶端A的仰角为，她沿水平方向向左行走到达点D，再沿着坡度的斜坡走了20米到达点C，然后再沿水平方向向左行走到达摩天轮最低点B处（A，B，C，D，E均在同一平面内）；（参考数据：，，） (1)求C点到地面的距离； (2)求摩天轮的高度．（结果保留整数） 3．（2024·浙江·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 压轴满分题二十四、直线与圆的位置关系 1．（23-24九年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，，分别与 相切于，两点，点为 上一点，连接 ，若，则的度数是 ． 3．（2024·广东韶关·二模）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，于点F，延长至点Q，连接，， (1)求证：是的切线； (2)若点P是上的一点，连接． ①求的值； ②若为的角平分线，求的长． 压轴满分题二十五、切线长定理 1．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，、、是的切线，点、、是切点，分别交、于、两点，若，则的度数（　　） A． B． C． D． 2．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，已知是等边三角形，是的中点，分别与边，切于点和点．若，则的长为 ． 3．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，矩形中，，．动点E在边上，以点E为圆心，以为半径作弧，点G是弧上一动点． (1)如图1，若点E与点A重合，且点F在上，当与弧相切于点G时，则的值是 　 　； (2)如图2，若连结，，分别取，，的中点P、Q，连接，M为的中点，则的最小值为 　． 压轴满分题二十六、圆的综合问题 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图为⊙O的直径，点P为延长线上的点，过点P作⊙O的切线，切点为M，过A、B两点分别作垂线垂足分别为C、D，连接，则下列结论正确的是（      ）       ①平分；② ；③若，，则的长为 ；④若，则有 .      A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，内接于，，于点，．若的半径为5，则的长为 ． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）【综合与探究】如图，内接于⊙O，是直径，射线相交于点D，连结． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点D作交直线于点F，连结，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，的延长线交于点H，，，求的长． 压轴满分题二十七、已知三视图求体积 1．（2024九年级下·浙江·专题练习）从一个几何体的左面、上面看到的形状图如图所示，你能否根据图中提供的数据求出该几何体的体积？（π取3） 2．（2024·陕西西安·三模）李明在参观某工厂车床工作间时发现了一个工件，通过观察并画出了此工件的三视图，借助直尺测量了部分长度．如图所示，该工件的体积是多少？ 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）某直三棱柱零件如图①所示，张师傅根据此零件按的比例画出准确的三视图（如图②）．已知在中，，又知．求： (1)的长； (2)这个直三棱柱的体积． 压轴满分题二十八、圆锥侧面上最短路径问题 1．（23-24九年级上·江苏泰州·周测）如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ 2．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4． （1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数． （2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的最短距离． 3．（2024·广东阳江·一模）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 压轴满分题二十九、已知三视图求侧面积或表面积 1．（2024·浙江杭州·三模）已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·浙江宁波·一模）一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的表面积为，则a的值是 ． 3．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图①是一个组合几何体，图②是它的两种视图． (1)在图②的横线．上填写出两种视图的名称； (2)根据两种视图中的数据（单位：），计算这个组合几何体的表面积． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）从，2，3，4这四个数中随机抽取两个不同的数，分别记作a和b．若点A的坐标记作，则点A在函数上的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，切于点，直线切于点，交于，交于点，若，则的周长是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廊线，为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点（即）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中不正确的是（   ） A．玻璃水杯轮廊线所在拋物线的解析式为 B．直线的解析式为 C．点到杯口的距离为 D．点到点的距离为 5．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）是锐角，且，则 ． 6．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图是由棱长相等的小立方体摆成的几何体从正面看与从上面看到的形状图，根据图形可以判断组成这个几何体最多要 个小立方块． 7．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，，在上截取，再在上截取，则的值为 ． 8．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点，点是函数图象上的两点，则；④．其中正确结论有 （填序号） 9．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）解决下面问题． (1)计算：； (2)已知，求的值． 10．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出的取值范围． 11．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于为直径，上存在点，满足，连结并延长交的延长线于点与交于点． (1)设，请用含的代数式表示． (2)若，求证：． (3)在（2）的条件下，若，则的值为_______．（直接写出答案） 12．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）已知在中，．如图①，将的顶点与的顶点重合，边，分别落在的，上．如图②，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，当点到达点时，和点同时停止运动，设的运动时间为秒． (1)若，，请解答下列问题： ①连接，当秒时，求的长； ②当的面积为12时，求的值； ③当点在线段上运动时，点关于的对称点为，连接，，若与相似，求的值； (2)若，，当点在的平分线上时，连接，用含，的式子表示的长．（直接写出答案） 学科网（北京）股份有限公司 $$