热点10 求数列的通项公式及求和的方法-2024-2025学年高二第一学期数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版）

热点10 求数列的通项公式及求和的方法 知识点一 数列的通项公式求法 1、累加法 适用于，求 具体过程：两边分别相加得 2、累乘法 适用于，求 具体过程：，两边分别相乘得 3、型及型 形如且化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. 形如且化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. 4、取倒数法 数列满足:,则有. 所以是以为首项,为公差的等差数列,即.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点). 5、利用与的关系 用消的3个步骤： ①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并. 知识点二 数列求和 1、倒序相加法 如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和 2、分组求和法 （1）适用于的形式,其中数列是等差数列或等比数列 （2）适用于的形式 3、并项相加法 适用于通项公式中含或，该数列的相邻两项(三项或多项)并成“大项”之后,各个“大项”又呈现出有规律特征,进而通过“大项”的求和得出结果 4、裂项相消法 （1）等差型: （2）根式型： （3）指数型：， 具体过程：两边分别相加得 5、错位相减法 适用于,其中中一个是等差数列,另一个是等比数列-求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比,然后再将所得新和式与原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和. 热点一 累加法 【例1】已知数列首项为2，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知得，，则当时，有 ， 经检验当时也符合该式．∴. 故选：D 【例2】已知数列中，，且是等差数列，则（    ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【详解】因为，所以， 又是等差数列，故首项为3，公差为2， 所以， 所以． 故选：A. 【变式1-1】（多选）已知数列满足：且.数列满足.设的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．数列的前和为 【答案】AD 【详解】， 累加得： 所以 所以， 所以,n=1成立 所以，故A正确 ，故B错误 因为为等差数列，所以，故选项C错误； 由 可 得 ， 则该数列的前 项 和 为 ，故D.正确. 故选：AD. 【变式1-2】如图，在杨辉三角中，斜线的上方从1按箭头方向可以构成一个“锯齿形”的数列记其前项和为，则的值为 . 【答案】361 【详解】由题意，设“锯齿形”数列的奇数项构成数列，由 ，可得，由累加法可得，时，也满足 所以, 因为“锯齿形”数列的偶数项构成以3为首项，1为公差的等差数列 所以 故答案为：361 【变式1-3】在数列中，若，，则的通项公式为 ． 【答案】 【详解】由题意可知数列中，，， 故， 所以 ， 故答案为： 热点二 累乘法 【例3】已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 累乘可得， 即，所以， 当时，也成立， 所以. 故答案为： 【例4】已知数列满足，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，， 因为时，，所以， 因此当或时，取得最小值，为. 故答案为：. 【变式2-1】已知数列{}满足：，，，且其前项和为，求与. 【答案】，. 【详解】由得， 当n2时， ， 又也满足上式，故(n). ∴ 相减得， ∴， 【变式2-2】已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】当时，； 当时，由，可得， 两式相除得 故答案为： 【变式2-3】数列中，，当时，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】解：因为， 所以， ，，， 累乘得：， ， 所以，． 由于，所以，． 显然当时，满足， 所以，． 故答案为： 热点三 与的关系 【例5】记为非零数列的前项和，若，，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】在非零数列中，，由，，得数列是等比数列，， 因此，所以. 故选：C 【例6】在数列中，，且，则 【答案】 【详解】由， 则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 即， 所以， 当时，， ， 当时，满足上式， 综上所述， 故答案为：. 【变式3-1】在数列中，，则的通项公式为 . 【答案】 【详解】数列中，， 时，有， 时，由，得， 两式相减得，即， 时，也满足. 所以. 故答案为： 【变式3-2】已知数列满足，且，则 ， . 【答案】 24 【详解】因为，所以当时，，所以，即， 所以当时，是以2为公比的等比数列， 当时，，所以当时， 因此，所以 ， 发现也满足， 故答案为： 【变式3-3】已知数列的前项和，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】因为①， 则当时，②， ①②得，则， 当时，，符合上式， 故. 故答案为：. 热点四 待定系数法 【例7】设数列满足，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】. ，则数列是以3为首项，3为公比的等比数列. ，所以. 故答案为： 【例8】已知数列的递推公式为且，则数列的前n项和= 【答案】 【详解】当时，， 则，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 数列的前n项和. 故答案为： 【变式4-1】已知数列满足，，则 ． 【答案】 【详解】设，令得，所以； 故，所以； ，所以是首项为，公比为的等比数列， 从而，故． 故答案为：. 【变式4-2】若在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；依次构造，第次得到的数列的所有项的积记为，令，则 ， . 【答案】 14 【详解】解：设第次构造后得到的数列为1，，，…，，2.则， 则第次构造后得到的数列为1，，，，，…，，，，2. 则，∴， ∴，又∵，∴数列是以为首项，3为公比的等比数列， ∴，，. 故答案为：； 【变式4-3】已知数列的前项和为，，且满足，则 . 【答案】 【详解】由得出， 即，得，， 所以数列是以1为首项，以3为公比的等比数列，则， 所以， ， 故答案为：. 热点五 取倒法 【例9】已知数列满足，若，则 ． 【答案】 【详解】法一：由，可得：， 由,可得:, 又，可得：. 法二：由题得，则等式两边同取倒数得， 则，，则数列为公差为2的等差数列， 则，当，则，则， 故答案为：. 【例10】在数列中，已知，，则的通项公式为 ． 【答案】 【详解】由， 两边取倒数得， 即， 又因为， 所以是首项为，公差为的等差数列， 所以， 故， 故答案为： 【变式5-1】已知数列的首项，且满足，求． 【答案】 【详解】由，，得，， 所以，又 故数列是首项、公比均为的等比数列， 则，故． 【变式5-2】在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 【答案】C 【详解】因为，，所以， 即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 所以. 故选：C 【变式5-3】已知数列的首项,且,则满足条件的最大整数 . 【答案】2024 【详解】因为，所以，所以， 所以数列是等比数列，首项为,公比为， 所以,即， 所以 ， 而当时，单调递增， 又因为,且， 所以满足条件的最大整数. 故答案为：2024. 热点六 分组求和法 【例11】已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则 ． 【答案】 【详解】设等差数列的公差为．由，得①， 由得②， 联立①②，，解得， 所以． 则， 所以 ． 故答案为： 【例12】已知等差数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）（1）设数列等差数列的公差为d， 因为，所以，则， 因为，即，所以， 所以，， 所以，即 . （2）因为，所以， 所以 ． 【变式6-1】已知数列的前项和为且满足；等差数列满足，且成等比数列. (1)求数列与的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）， ， ，又， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，则， 设等差数列的公差为， 则由，得， 解得：或， 时，，此时，构不成等比数列，舍去， 所以； （2）， . 【变式6-2】已知与都是正项数列，的前项和为，且满足，等比数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，求满足不等式的自然数的最小值． 【答案】(1)， (2)8 【详解】（1）由可得， 两式相减可得， 化简得，因为是正项数列，, 所以， 又，解得； 可得数列是以为首项，公差为的等差数列， 因此； 又，数列为等比数列，设其公比为， 所以，解得或； 是正项数列，所以（舍），即； 所以； 因此数列的通项公式为，； （2）易知 ； 易知， 作差可得，； 即当时，为递增数列， 当时，，当时，； 所以的最小值可取8, 可因此满足不等式的自然数的最小值为8. 【变式6-3】设数列的前项和为，已知. (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列满足求数列的前20项的和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）数列的前项和为，已知，①， 当时，，解得， 故，②， ②-①得：， 即， 故， 故数列是以1为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）得：， 整理得. 数列满足 故且， 当为偶数时，， 整理得， 故 热点七 并项求和法 【例13】设数列的通项公式为，其前n项和为，则 . 【答案】2024 【详解】当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，. ， . . 故答案为：2024 【例14】已知数列的前n项和为，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前100项的和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，， 整理得， 又，得 则数列是以-2为首项，-2为公比的等比数列. 则， （2）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 则 【变式7-1】已知数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前100项的和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，，整理得，又，得 则数列是以-2为首项，-2为公比的等比数列. 则 （2）当时， 当时，， 当时，， 当时，， 则 【变式7-2】已知是等差数列的前n项和，且，. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前100项和. 【答案】(1) (2)200 【详解】（1）设公差为d，结合题设有， 解得， 则 故的通项公式为. （2）， 所以 . 【变式7-3】已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列. (1)求数列的通项公式; (2)设，数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的公差为成等比数列， ，即 ， 又，即， 化简，得，又，故 ， . （2）. . 热点八 倒序求和法 【例15】已知函数，若等比数列满足，则（    ） A．2020 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】等比数列满足，则， 函数， ， 所以， 所以． 故选：A． 【例16】函数，则的值为（    ）． A．2012 B． C．2013 D． 【答案】B 【详解】由可得：， 所以，， 所以设 ， 则两式相加可得：． 故选：B. 【变式8-1】已知函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】函数的定义域为， ， 由，得， 则， 因此函数图象的对称中心是； 由，得， 当时，， ， ， 于是，即，， 所以数列的通项公式为. 故答案为：；. 【变式8-2】设，若，试求： （1） ； （2） ． 【答案】 1 500 【详解】（1）因为，， 所以，. （2）由（1）可得，. 所以，， 所以. 故答案为：1；500. 【变式8-3】“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则 . 【答案】46 【详解】因为函数的定义域为， 设是函数图象上的两点，其中，且，则有， 从而当时，有：，当时，， ， 相加得 所以，又， 所以对一切正整数，有； 故有. 故答案为：46. 热点九 裂项相消法 【例17】南宋数学家杨辉在《解析九章算法•商功》一书中记载的三角垛､方垛､刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，，，，， 于是有， 所以，，， ，，， 将以上个式子相加，得， 所以， 所以 . 故选：D. 【例18】等比数列中，，则数列的前2022项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比是，则，即，解得， 于是，， 于是的前项和为. 故选：C 【变式9-1】已知数列的前项和为，则数列的前项和 . 【答案】 【详解】由，当时，，即； 当时，，即， 所以数列为等比数列，首项为2，公比为2， 则，， 所以， 则. 故答案为：. 【变式9-2】若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数、、依次成调和数列，则称是和的调和中项. (1)求和2的调和中项； (2)已知调和数列，，，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设和2的调和中项为，依题意得：4、、成等差数列， 所以，解得： 故和2的调和中项为； （2）依题意，是等差数列，设其公差为， 则， 所以， 故.则， ， . 【变式9-3】已知数列满足，. (1)证明：是等比数列； (2)设，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为，，则，，… 以此类推可知，对任意的，， 由已知得，即， 所以，且， 所以是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知，，， ， . 热点十 错位相减法 【例19】已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列为等比数列； (2)求和：. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）时，， 有，又时，，有， 所以数列是以1为首项，公比为2的等比数列． （2）由（1）得数列的通项公式， 设 则① ② ①②得： . 【例20】设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 得， 所以， 各式相乘得，又，所以； （2）由（1）知， 所以， ， 两式相减，得， 所以. 【变式10-1】已知数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得（，）， ，（，）． 又，，，整理得． 数列是首项为1，公比为2的等比数列， 数列的通项公式为． （2）由（1）得，．， 即，， 两式相减，得，． 【变式10-2】已知函数的所有正数零点构成递增数列. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 令，解得：， 故当时，为数列的首项， 由于，故是公差为1，首项为的等差数列， 故； （2）， 故①， 则②， ①②得： ， 则. 【变式10-3】已知数列的前n项和为，且，. (1)求实数的值和数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，，又，则，所以； 当时，，整理得， 因此数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，， 则， 于是， 两式相减得 ， 所以. 1．（2023-24高二上·河北邢台·期末）在数列中，，，若，则M的一个值可能是 ． 【答案】1（或8或13或16，只需写出一个答案即可） 【详解】当时， ， 当时，也满足， 故， 所以，，，． 故答案为：1（或8或13或16，只需写出一个答案即可）. 2．（2023-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知数列中，，其前项和满足，则 ； . 【答案】 【详解】因为， 令，则， 即， 得，解得； 由，， 可得， 化简得， 即，， 所以是一个以2为首项，1为公差的等差数列， ，， 所以. 故答案为：； 【点睛】方法点睛：在涉及与的题目时，要充分利用前和的定义及. 3．（2023-24高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）设数列的前项和是，如果它的前项和，那么 【答案】 【详解】当时，， 当时，， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 4．（2023-24高三下·广东·阶段练习）在数列中，，且，则的通项公式为 ． 【答案】 【详解】因为，设，其中、， 整理可得， 所以，，解得，所以，， 且，所以，数列是首项为，公比也为的等比数列， 所以，，解得. 故答案为：. 5．（2023-24高三上·山东德州·阶段练习）数列满足，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵，，则， ∴，两式相除得：， 当时，， ∴，即， 当时，， ∴，即， 综上所述，的通项公式为：； （2）由题设及（1）可知：， 6．（2023-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，. 当时，， 又符合上式，所以. （2）由（1）知， 所以. 7．（2023-24高二下·重庆沙坪坝·期中）已知数列{}的前n项和为，通项公式为，则 【答案】2024 【详解】当为奇数时， 当为偶数时，， 所以. 故答案为：. 8．（2023-24高三上·四川达州·阶段练习）记数列的前项和为，且.数列是等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和： 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）当时，， 当时，， 验证当时，，成立， 所以， 设等比数列的首项为，公比为， 所以，得，， 则； （2）， 所以 . 9．（2023-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知数列满足，. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）由，，知， 则， 所以是首项、公比均为3的等比数列， 故. （2）由（1）有，则， 所以， 两式相减，得， 所以. 10．（2023-24高三上·陕西西安·期末）已知数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)= 【详解】（1）当时，. 当时，由，得， 则. 因为，所以. （2）（方法一）由（1）可得. 则，① 则，② ①，得 ， 从而. （方法二）由（1）可得， 令，则 令，且， 则， 整理得， 则，解得， 故. . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点10 求数列的通项公式及求和的方法 知识点一 数列的通项公式求法 1、累加法 适用于，求 具体过程：两边分别相加得 2、累乘法 适用于，求 具体过程：，两边分别相乘得 3、型及型 形如且化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. 形如且化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. 4、取倒数法 数列满足:,则有. 所以是以为首项,为公差的等差数列,即.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点). 5、利用与的关系 用消的3个步骤： ①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并. 知识点二 数列求和 1、倒序相加法 如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和 2、分组求和法 （1）适用于的形式,其中数列是等差数列或等比数列 （2）适用于的形式 3、并项相加法 适用于通项公式中含或，该数列的相邻两项(三项或多项)并成“大项”之后,各个“大项”又呈现出有规律特征,进而通过“大项”的求和得出结果 4、裂项相消法 （1）等差型: （2）根式型： （3）指数型：， 具体过程：两边分别相加得 5、错位相减法 适用于,其中中一个是等差数列,另一个是等比数列-求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比,然后再将所得新和式与原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和. 热点一 累加法 【例1】已知数列首项为2，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知得，，则当时，有 ， 经检验当时也符合该式．∴. 故选：D 【例2】已知数列中，，且是等差数列，则（    ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【详解】因为，所以， 又是等差数列，故首项为3，公差为2， 所以， 所以． 故选：A. 【变式1-1】（多选）已知数列满足：且.数列满足.设的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．数列的前和为 【答案】AD 【详解】， 累加得： 所以 所以， 所以,n=1成立 所以，故A正确 ，故B错误 因为为等差数列，所以，故选项C错误； 由 可 得 ， 则该数列的前 项 和 为 ，故D.正确. 故选：AD. 【变式1-2】如图，在杨辉三角中，斜线的上方从1按箭头方向可以构成一个“锯齿形”的数列记其前项和为，则的值为 . 【答案】361 【详解】由题意，设“锯齿形”数列的奇数项构成数列，由 ，可得，由累加法可得，时，也满足 所以, 因为“锯齿形”数列的偶数项构成以3为首项，1为公差的等差数列 所以 故答案为：361 【变式1-3】在数列中，若，，则的通项公式为 ． 【答案】 【详解】由题意可知数列中，，， 故， 所以 ， 故答案为： 热点二 累乘法 【例3】已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 累乘可得， 即，所以， 当时，也成立， 所以. 故答案为： 【例4】已知数列满足，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，， 因为时，，所以， 因此当或时，取得最小值，为. 故答案为：. 【变式2-1】已知数列{}满足：，，，且其前项和为，求与. 【答案】，. 【详解】由得， 当n2时， ， 又也满足上式，故(n). ∴ 相减得， ∴， 【变式2-2】已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】当时，； 当时，由，可得， 两式相除得 故答案为： 【变式2-3】数列中，，当时，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】解：因为， 所以， ，，， 累乘得：， ， 所以，． 由于，所以，． 显然当时，满足， 所以，． 故答案为： 热点三 与的关系 【例5】记为非零数列的前项和，若，，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】在非零数列中，，由，，得数列是等比数列，， 因此，所以. 故选：C 【例6】在数列中，，且，则 【答案】 【详解】由， 则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 即， 所以， 当时，， ， 当时，满足上式， 综上所述， 故答案为：. 【变式3-1】在数列中，，则的通项公式为 . 【答案】 【详解】数列中，， 时，有， 时，由，得， 两式相减得，即， 时，也满足. 所以. 故答案为： 【变式3-2】已知数列满足，且，则 ， . 【答案】 24 【详解】因为，所以当时，，所以，即， 所以当时，是以2为公比的等比数列， 当时，，所以当时， 因此，所以 ， 发现也满足， 故答案为： 【变式3-3】已知数列的前项和，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】因为①， 则当时，②， ①②得，则， 当时，，符合上式， 故. 故答案为：. 热点四 待定系数法 【例7】设数列满足，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】. ，则数列是以3为首项，3为公比的等比数列. ，所以. 故答案为： 【例8】已知数列的递推公式为且，则数列的前n项和= 【答案】 【详解】当时，， 则，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 数列的前n项和. 故答案为： 【变式4-1】已知数列满足，，则 ． 【答案】 【详解】设，令得，所以； 故，所以； ，所以是首项为，公比为的等比数列， 从而，故． 故答案为：. 【变式4-2】若在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；依次构造，第次得到的数列的所有项的积记为，令，则 ， . 【答案】 14 【详解】解：设第次构造后得到的数列为1，，，…，，2.则， 则第次构造后得到的数列为1，，，，，…，，，，2. 则，∴， ∴，又∵，∴数列是以为首项，3为公比的等比数列， ∴，，. 故答案为：； 【变式4-3】已知数列的前项和为，，且满足，则 . 【答案】 【详解】由得出， 即，得，， 所以数列是以1为首项，以3为公比的等比数列，则， 所以， ， 故答案为：. 热点五 取倒法 【例9】已知数列满足，若，则 ． 【答案】 【详解】法一：由，可得：， 由,可得:, 又，可得：. 法二：由题得，则等式两边同取倒数得， 则，，则数列为公差为2的等差数列， 则，当，则，则， 故答案为：. 【例10】在数列中，已知，，则的通项公式为 ． 【答案】 【详解】由， 两边取倒数得， 即， 又因为， 所以是首项为，公差为的等差数列， 所以， 故， 故答案为： 【变式5-1】已知数列的首项，且满足，求． 【答案】 【详解】由，，得，， 所以，又 故数列是首项、公比均为的等比数列， 则，故． 【变式5-2】在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 【答案】C 【详解】因为，，所以， 即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 所以. 故选：C 【变式5-3】已知数列的首项,且,则满足条件的最大整数 . 【答案】2024 【详解】因为，所以，所以， 所以数列是等比数列，首项为,公比为， 所以,即， 所以 ， 而当时，单调递增， 又因为,且， 所以满足条件的最大整数. 故答案为：2024. 热点六 分组求和法 【例11】已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则 ． 【答案】 【详解】设等差数列的公差为．由，得①， 由得②， 联立①②，，解得， 所以． 则， 所以 ． 故答案为： 【例12】已知等差数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）（1）设数列等差数列的公差为d， 因为，所以，则， 因为，即，所以， 所以，， 所以，即 . （2）因为，所以， 所以 ． 【变式6-1】已知数列的前项和为且满足；等差数列满足，且成等比数列. (1)求数列与的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）， ， ，又， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，则， 设等差数列的公差为， 则由，得， 解得：或， 时，，此时，构不成等比数列，舍去， 所以； （2）， . 【变式6-2】已知与都是正项数列，的前项和为，且满足，等比数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，求满足不等式的自然数的最小值． 【答案】(1)， (2)8 【详解】（1）由可得， 两式相减可得， 化简得，因为是正项数列，, 所以， 又，解得； 可得数列是以为首项，公差为的等差数列， 因此； 又，数列为等比数列，设其公比为， 所以，解得或； 是正项数列，所以（舍），即； 所以； 因此数列的通项公式为，； （2）易知 ； 易知， 作差可得，； 即当时，为递增数列， 当时，，当时，； 所以的最小值可取8, 可因此满足不等式的自然数的最小值为8. 【变式6-3】设数列的前项和为，已知. (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列满足求数列的前20项的和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）数列的前项和为，已知，①， 当时，，解得， 故，②， ②-①得：， 即， 故， 故数列是以1为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）得：， 整理得. 数列满足 故且， 当为偶数时，， 整理得， 故 热点七 并项求和法 【例13】设数列的通项公式为，其前n项和为，则 . 【答案】2024 【详解】当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，. ， . . 故答案为：2024 【例14】已知数列的前n项和为，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前100项的和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，， 整理得， 又，得 则数列是以-2为首项，-2为公比的等比数列. 则， （2）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 则 【变式7-1】已知数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前100项的和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，，整理得，又，得 则数列是以-2为首项，-2为公比的等比数列. 则 （2）当时， 当时，， 当时，， 当时，， 则 【变式7-2】已知是等差数列的前n项和，且，. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前100项和. 【答案】(1) (2)200 【详解】（1）设公差为d，结合题设有， 解得， 则 故的通项公式为. （2）， 所以 . 【变式7-3】已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列. (1)求数列的通项公式; (2)设，数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的公差为成等比数列， ，即 ， 又，即， 化简，得，又，故 ， . （2）. . 热点八 倒序求和法 【例15】已知函数，若等比数列满足，则（    ） A．2020 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】等比数列满足，则， 函数， ， 所以， 所以． 故选：A． 【例16】函数，则的值为（    ）． A．2012 B． C．2013 D． 【答案】B 【详解】由可得：， 所以，， 所以设 ， 则两式相加可得：． 故选：B. 【变式8-1】已知函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】函数的定义域为， ， 由，得， 则， 因此函数图象的对称中心是； 由，得， 当时，， ， ， 于是，即，， 所以数列的通项公式为. 故答案为：；. 【变式8-2】设，若，试求： （1） ； （2） ． 【答案】 1 500 【详解】（1）因为，， 所以，. （2）由（1）可得，. 所以，， 所以. 故答案为：1；500. 【变式8-3】“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则 . 【答案】46 【详解】因为函数的定义域为， 设是函数图象上的两点，其中，且，则有， 从而当时，有：，当时，， ， 相加得 所以，又， 所以对一切正整数，有； 故有. 故答案为：46. 热点九 裂项相消法 【例17】南宋数学家杨辉在《解析九章算法•商功》一书中记载的三角垛､方垛､刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，，，，， 于是有， 所以，，， ，，， 将以上个式子相加，得， 所以， 所以 . 故选：D. 【例18】等比数列中，，则数列的前2022项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比是，则，即，解得， 于是，， 于是的前项和为. 故选：C 【变式9-1】已知数列的前项和为，则数列的前项和 . 【答案】 【详解】由，当时，，即； 当时，，即， 所以数列为等比数列，首项为2，公比为2， 则，， 所以， 则. 故答案为：. 【变式9-2】若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数、、依次成调和数列，则称是和的调和中项. (1)求和2的调和中项； (2)已知调和数列，，，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设和2的调和中项为，依题意得：4、、成等差数列， 所以，解得： 故和2的调和中项为； （2）依题意，是等差数列，设其公差为， 则， 所以， 故.则， ， . 【变式9-3】已知数列满足，. (1)证明：是等比数列； (2)设，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为，，则，，… 以此类推可知，对任意的，， 由已知得，即， 所以，且， 所以是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知，，， ， . 热点十 错位相减法 【例19】已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列为等比数列； (2)求和：. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）时，， 有，又时，，有， 所以数列是以1为首项，公比为2的等比数列． （2）由（1）得数列的通项公式， 设 则① ② ①②得： . 【例20】设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 得， 所以， 各式相乘得，又，所以； （2）由（1）知， 所以， ， 两式相减，得， 所以. 【变式10-1】已知数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得（，）， ，（，）． 又，，，整理得． 数列是首项为1，公比为2的等比数列， 数列的通项公式为． （2）由（1）得，．， 即，， 两式相减，得，． 【变式10-2】已知函数的所有正数零点构成递增数列. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 令，解得：， 故当时，为数列的首项， 由于，故是公差为1，首项为的等差数列， 故； （2）， 故①， 则②， ①②得： ， 则. 【变式10-3】已知数列的前n项和为，且，. (1)求实数的值和数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，，又，则，所以； 当时，，整理得， 因此数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，， 则， 于是， 两式相减得 ， 所以. 1．（2023-24高二上·河北邢台·期末）在数列中，，，若，则M的一个值可能是 ． 【答案】1（或8或13或16，只需写出一个答案即可） 【详解】当时， ， 当时，也满足， 故， 所以，，，． 故答案为：1（或8或13或16，只需写出一个答案即可）. 2．（2023-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知数列中，，其前项和满足，则 ； . 【答案】 【详解】因为， 令，则， 即， 得，解得； 由，， 可得， 化简得， 即，， 所以是一个以2为首项，1为公差的等差数列， ，， 所以. 故答案为：； 【点睛】方法点睛：在涉及与的题目时，要充分利用前和的定义及. 3．（2023-24高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）设数列的前项和是，如果它的前项和，那么 【答案】 【详解】当时，， 当时，， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 4．（2023-24高三下·广东·阶段练习）在数列中，，且，则的通项公式为 ． 【答案】 【详解】因为，设，其中、， 整理可得， 所以，，解得，所以，， 且，所以，数列是首项为，公比也为的等比数列， 所以，，解得. 故答案为：. 5．（2023-24高三上·山东德州·阶段练习）数列满足，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵，，则， ∴，两式相除得：， 当时，， ∴，即， 当时，， ∴，即， 综上所述，的通项公式为：； （2）由题设及（1）可知：， 6．（2023-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，. 当时，， 又符合上式，所以. （2）由（1）知， 所以. 7．（2023-24高二下·重庆沙坪坝·期中）已知数列{}的前n项和为，通项公式为，则 【答案】2024 【详解】当为奇数时， 当为偶数时，， 所以. 故答案为：. 8．（2023-24高三上·四川达州·阶段练习）记数列的前项和为，且.数列是等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和： 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）当时，， 当时，， 验证当时，，成立， 所以， 设等比数列的首项为，公比为， 所以，得，， 则； （2）， 所以 . 9．（2023-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知数列满足，. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）由，，知， 则， 所以是首项、公比均为3的等比数列， 故. （2）由（1）有，则， 所以， 两式相减，得， 所以. 10．（2023-24高三上·陕西西安·期末）已知数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)= 【详解】（1）当时，. 当时，由，得， 则. 因为，所以. （2）（方法一）由（1）可得. 则，① 则，② ①，得 ， 从而. （方法二）由（1）可得， 令，则 令，且， 则， 整理得， 则，解得， 故. . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$