3.3.2 垂径定理（2） 导学案2024-2025学年北师大版数学九年级下册

《有理数及其运算》 班级 姓名 《有理数及其运算》课堂案 班级 姓名 《圆》导学案 第五节 垂径定理(2) 【知识回顾】 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧； 2.垂径定理的推论 平分弦(不是直径的弦)的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧； 3.补充结论（需证明后再用）： （1）弦的垂直平分线必过圆心，并且平分弦所对的弧； （2）平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦； （3）圆的两条平行弦所夹的弧相等. 【新知探究】 ★知识点一 垂径定理的推论 1.垂径定理的推论：满足下面五个条件中 条件的直线，必有另外 结论（简称“知二推三”）； ①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对 的一条弧；⑤平分弦所对的另一条弧； 2.注意：“知二推三”中有一个情况除外：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧. 例1.如图，在平面直角坐标系中,所在圆的圆心P的坐标为（3，4），与x轴交于点（1，0），则⊙O与x轴的另一交点坐标是 . 变式训练一：·P 1.下面四个命题中正确的一个是（ ） A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径; B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦; C.弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心; D.在一圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心. 2.如图，在⊙O中，弦AB＝2，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为　 　． （第1题图） （第2题图） 3.如图，水平放置的圆形管道横截面圆半径为50cm，现在水面宽度AB为60cm,当水面宽度为80cm时，则水面比原来上涨的高度为 . ★知识点二 垂径定理的运用 例2.如图，⊙O的直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动（点C与点A、点D与点B不重合），且CE⊥CD交AB于点E，DF⊥CD交AB于点F. （1）求证：AE=BF； （2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是，请说明理由. 变式训练二： 4.如图，工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位cm,将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A、B、E三个接触点，该球的半径是 . ★知识点三 利用垂径定理及推论解决实际问题 例3.如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C． （1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） （2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R． 变式训练二： 5.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如下图所示，正常水位下水面宽AB＝60m，水面到拱项距离CD＝18m，当洪水泛滥时，水面宽MN＝32m时，高度为5m的船是否能通过该桥？请说明理由． 【典例精析】 例4.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于点E，交圆于点D，连接AC、BD． （1）请写出五个不同类型的正确结论； （2）若BC=8，ED=2，求⊙O的半径． 例5.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是 . 【挑战自我】 1.如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6,8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为 . 2.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是弧BC上任意一点（不与B，C重合），AH=1，CH=2．延长线段BM交DC的延长线于点E，直线MH交⊙O于点N，连结BN交CE于点F，则OC= ，HE·HF= ． （第1题图） （第2题图） 3.赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，赵州桥主桥拱半径R约为 . 4.如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E．AE过圆心O，OA=1．则四边形BEOF的面积 . （第3题图） （第4题图） 5.如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，此时有OA//PE. （1）求证: AP=AO； （2）若以图中已标明的点(即P、A、B、C、D、O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为 . （3）若tan∠OPB=，求弦AB的长度； 6.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F （1）求证：CE＝DF； （2）若AB＝10，CD＝8，求BF﹣AE的值． 7.人工浮床又称人工浮岛，自20年前人类开发出第一个人工浮床之后，就将人工浮床应用于地表水体的污染治理和生态修复．近年来，我国的人工浮床技术开发及用于正好处于快速发展时期．如图所示，是我市在某湖面上为净化水质而搭建的一个水上圆形人工浮床示意图，其中圆和三块边长为16米的正方形是浮岛框架部分，被分割成的7部分将运用无土技术分别栽培7种不同的水生植物，正方形的顶点A、B、C、D都在圆上，且整个浮床成轴对称图形，求这个圆形人工浮床的半径． 学科网（北京）股份有限公司 $$