期末专项复习：专题01 有理数-2024-2025学年七年级上册数学人教（2024）版（原卷+解析版）

第1章 有理数 （易错点、重难点、常考点专项练习） 经典题型一：正负数的意义 【经典例题1-1】（七年级上·广西桂林·期中）在数，，，，，，，中，负数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【经典例题1-2】（七年级上·云南昭通·期中）在，，0，2.2这四个数中，负数有（   ） A．3个 B．1个 C．4个 D．2个 【经典例题1-3】（七年级上·江苏南通·期中）在，，0，，11中，负分数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 经典题型二：具有相反意义的量 【经典例题2-1】（七年级上·浙江杭州·期中）下列各对量中，不具有相反意义的量是（   ） A．收入200元与支出2元 B．增长2岁与减少2千克 C．超过与不足 D．上升10米与下降7米 【经典例题2-2】（七年级上·辽宁大连·期中）下面两个量中，不具有相反意义的是（    ） A．进三个球和输三场比赛 B．浪费水和节约水 C．盈利400元和亏损400元 D．上升和下降 【经典例题2-3】（七年级上·山东德州·期中）下列各组数据中，不是具有相反意义的量的是（   ） A．前进5和后退5 B．节约3吨和浪费3吨 C．身高增加2和体重减少2 D．气温下降和气温上升 经典题型三：正负数的实际应用 【经典例题3-1】（七年级上·全国·期中）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出1000元记作元，那么元表示（      ） A．支出80元 B．收入 80元 C．支出1080元 D．收入1080元 【经典例题3-2】（2024·湖南长沙·模拟预测）立春以后我市出现冻雨天气，最低温度低于零度，若把气温零上记为，则表示气温为（    ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 【经典例题3-3】（七年级上·辽宁营口·期中）下列说法正确的是（    ） A．“向东10米”与“向西5米”不是相反意义的量 B．如果气球上升25米记作米，那么米的意义就是下降米 C．如果气温下降，记为，那么的意义就是下降 D．若将高1米设为标准0，高1.20米记作米，那么米所表示的高是0.95米 经典题型四：有理数的概念 【经典例题4-1】（七年级上·江苏淮安·期中）下列个数：、、0、、…（每两个之间依次多一个），其中有理数有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【经典例题4-2】（七年级上·江苏宿迁·期中）在，，，，，，，（每两个1之间依次多一个4）这8个数中非负有理数的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【经典例题4-3】（七年级上·全国·期中）下列说法正确的是（　　） A．正分数和负分数统称为分数 B．正整数和负整数统称为整数 C．零既可以是正整数，也可以是负整数 D．一个有理数不是整数就是负数 经典题型五：有理数的分类 【经典例题5-1】（七年级上·广东江门·期中）把下列各数按要求分类．，、、、101，2、、0、、、7． 负整数集合：｛                                  …｝； 正分数集合：｛                                  …｝； 负分数集合：｛                                  …｝； 整数集合：｛                                  …｝； 有理数集合：｛                                  …｝． 【经典例题5-2】（七年级上·河北石家庄·期中）把下列各数填入相应的大括号里． 正数集合：｛                                              …｝ 整数集合：｛                                              …｝ 负数集合：｛                                              …｝ 分数集合：｛                                              …｝ 【经典例题5-3】（七年级上·山西大同·期中）把下列各数分别填入相应的大括号内： ，，，，0，，，，10，， 自然数集合： …； 整数集合： …； 正有理数集合： …； 非正数集合： …； 有理数集合： …． 经典题型六：判断数轴是否正确 【经典例题6-1】（七年级上·四川绵阳·期中）下列数轴中，画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【经典例题6-2】（七年级上·山东德州·期中）下列图形中是数轴的是（　　） A．   B．   C．   D．   【经典例题6-3】（七年级上·陕西西安·期中）下列各图中，是数轴的是（  ） A． B． C． D． 经典题型七：利用数轴比较有理数的大小 【经典例题7-1】（七年级上·安徽合肥·期中）已知下列各有理数：． (1)画出数轴，在数轴上标出这些数表示的点； (2)用“”号把这些数连接起来． 【经典例题7-2】（七年级上·吉林长春·期中）先把下列各数在数轴上表示出来，再用“”把它们连接起来： ，，，，． 【经典例题7-3】（七年级上·甘肃平凉·期中）如图，数轴的单位长度为1，点A 表示的数是． (1)在数轴上标出原点O，并写出点B表示的数为： ． (2)在此数轴上表示下列各数：、3、、、3.5，并将这些数及点A、B表示的数用“”连接起来． 经典题型八：数轴上两点之间的距离 【经典例题8-1】（七年级上·全国·期中）数轴上点，，，对应的有理数都是整数．若点对应有理数，点对应有理数，且，则数轴上原点应是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【经典例题8-2】（七年级上·广西南宁·期中）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，则该动点运动到第2025秒时所对应的数是（    ） A． B． C． D． 【经典例题8-3】（七年级上·山东德州·期中）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的四等分点处分别标有0，1，2，3，先让圆上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2024的点与圆上表示哪个数的点重合？（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 经典题型九：根据点在数轴上的位置判断式子的正负 【经典例题9-1】（七年级上·广东佛山·期中）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【经典例题9-2】（七年级上·浙江金华·期中）如图，数轴上点，表示的数为，，且，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【经典例题9-3】（七年级上·山东青岛·期中）如图，、在数轴上的位置如图，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 经典题型十：判断是否为相反数 【经典例题10-1】（七年级上·陕西西安·期中）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．3与 D．与 【经典例题10-2】（七年级上·陕西宝鸡·期中）下列各组数中，互为相反数的是（） A．与 B．与0.5 C．与 D．与 【经典例题10-3】（七年级上·山西吕梁·期中）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．2与 B．与 C．与 D．与 经典题型十一：相反数性质的应用 【经典例题11-1】（七年级上·江苏徐州·期末）若代数式和互为相反数，则（     ） A．3 B． C．5 D． 【经典例题11-2】（七年级上·河南新乡·期中）当 时，代数式与的值互为相反数． 【经典例题11-3】（七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果互为倒数，互为相反数，那么 ． 经典题型十二：绝对值的非负性 【经典例题12-1】（七年级上·全国·期中）若，则 ； ． 【经典例题12-2】（七年级上·云南文山·期中）已知与互为相反数，则 【经典例题12-3】（七年级上·河南洛阳·期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，，求的值． 经典题型十三：绝对值和数轴化简 【经典例题13-1】（七年级上·广东茂名·期中）在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，． (1)确定符号：a 0，b 0，c 0， 0 ； (2)化简：； 【经典例题13-2】（七年级上·江苏无锡·期中）有理数在数轴上的位置如图，化简：． 【经典例题13-3】（七年级上·四川攀枝花·期中）有理数，，，且． (1)在数轴上将a，b，c三个数在数轴上表示出来如图所示； (2)化简：． 经典题型十四：有理数比较大小 【经典例题14-1】（七年级上·吉林长春·期中）用“”或“”或“”填空 (1)_____0； (2)0______0.61； (3)_____； (4)_____； (5)_____； (6)_____． 【经典例题14-2】（七年级上·贵州黔东南·期中）比较下列每组数的大小． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【经典例题14-3】（七年级上·贵州黔东南·期中）比较下列各组数的大小： (1)与3； (2)与； (3)与； (4)与． 经典题型十五：数轴上的动点问题（压轴题） 【经典例题15-1】（七年级上·江西南昌·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数______对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为_______，点对应的数为_______； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒．动点从点向右出发，为何值时，、点之间的距离为15个单位长度； 【经典例题15-2】（七年级上·陕西西安·期中）如图，已知数轴上有两点，点表示的数是，点表示的数是，动点分别从两点同时出发，在数轴上匀速相向而行，它们的速度分别为个单位长度秒、个单位长度秒，设运动时间为． (1)当时，点对应的数是______，点对应的数是______； (2)当为何值时，两点之间相距个单位长度； (3)当时，若线段和线段同时以个单位长度秒的速度同时相向匀速运动，是否存在某一时刻？使得．若存在，求出此时的距离，若不存在，请说明理由． 【经典例题15-3】（七年级上·全国·期中）阅读材料并回答问题： 对于数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离之间恰好满足倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点，，表示的数分别为，，，点与点的距离是，点与点的距离是，此时点是点，的“关联点”． (1)若点表示，点表示．，，，对应的点分别是，，，，则其中哪几个点是点，的“关联点”？ (2)点表示的数是，点表示的数是，为数轴上一个动点．若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，则点表示的数是____________． 经典题型十六：绝对值的几何意义（压轴题） 【经典例题16-1】（七年级上·山东临沂·期中）阅读材料： 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．若a，b为有理数，则│a一b│表示数a与数b的差的绝对值，也可以理解为a与b在数轴上所对应的两点之间的距离． 例如：如图，在数轴上，有理数3与1对应两点之间的距离为│3-1│=2，有理数5与-2对应两点之间的距离为│5-（-2）│=7，有理数-2与3对应两点之间的距离为│-2-3│=5；…… 解决问题∶ （1）在数轴上，有理数2和6两点之间的距离是__________ （2）在数轴上，有理数x与对应两点之间的距离用含x的式子表示为__________ （3）在解决上述问题的过程中所体现的数学思想有_________(写出一条即可)； 联系拓广： （4）若数轴上有理数a与对应两点A，B之间的距离为2，则_________； （5）若数轴上表示数a的点位于表示数与2的点之间，请直接你写出的最小值． 【经典例题16-2】（七年级上·山西太原·期中）数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值．例：点，在数轴上对应的数分别为，，则，两点间的距离表示为．那么式子的几何意义是数轴上表示的点与表示2的点之间的距离：式子的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离．根据以上知识解题： (1)如果点在数轴上表示3，点在数轴上表示2，点表示，那么______，______； (2)如果在数轴上表示数的点与的距离是3，那么______； (3)如果数轴上表示数的点位于和2之间，那么______． 【经典例题16-3】（七年级上·广东深圳·期中）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，  A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和6两点之间的距离是_______；表示1和的两点之间的距离是_______． (2)数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为________；数轴上表示x和的两点之间的距离表示为________． (3)若，则________；若x表示一个有理数，则的最小值=________． 1．（七年级上·全国·期中）下列各数中，属于正整数的是（    ） A． B． C． D． 2．（七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列各组量中，互为相反意义的量是（） A．上升与减少 B．增产10吨与减产吨 C．篮球比赛，胜5场与负3场 D．向东走3米与向南走3米 3．（七年级上·浙江·期中）下列各组量中，具有相反意义的是（    ） A．向东走3米和向北走5米 B．气温上升3度和气温上升4度 C．胜1局和亏损2万元 D．收入500元和支出400元 4．（七年级上·河南南阳·期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤是无限不循环小数，所以不是有理数其中错误的说法的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（七年级上·山东枣庄·期中）下列说法正确的是（    ） A．正有理数、负有理数统称为有理数 B．整数和分数统称有理数 C．正数和负数统称有理数 D．正整数和负整数统称整数 6．在，，，，（每两个之间依次增加一个）中，有理数有（    ）个． A． B． C． D． 7．（七年级上·广东惠州·期中）如图所示，所函数轴完全正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（七年级上·北京·期中）如图，圆的周长为4个单位长，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合⋯）依次环绕，则数轴上表示的点与圆周上重合的数字是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（七年级上·河南安阳·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 10．（七年级上·吉林长春·期中）已知，两数在数轴上的位置如图所示，下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（七年级上·江苏无锡·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 12．（七年级上·全国·期中）下列各对数中，互为相反数的有（   ） 与；与；与；与；与 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 13．（七年级上·浙江金华·期中）的最小值是，，那么的值为（   ） A． B． C．0 D．不确定 14．（七年级上·浙江杭州·期中）如果，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（七年级上·浙江宁波·期中）一次身高测量，全班同学的平均身高是，如果老师把记作，那么记作 ． 16．（七年级上·广西桂林·期中）实验小学的同学们参加劳动实践，老师将蔬菜小组的同学栽种的蔬菜以成活8棵为标准，西红柿组成活10棵记作棵，茄子组成活7棵记作( )，彩椒组成活8棵记作( )． 17．（七年级上·全国·期中）已知下列各数：，，，0，，，6，，其中正数有 ；负数有 ． 18．（七年级上·吉林·期中）在，，（每两个6之间依次多1个1）…，中，有理数有 个． 19．（七年级上·山东枣庄·期中）如图，在一条可以折叠的数轴上，，两点表示的数分别是，4，以点为折点，将此数轴向右对折，若对折点在点的右边，且，两点相距1，则点表示的数是 ． 20．（七年级上·广东深圳·期中）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是 ． 21．（七年级上·陕西西安·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为0和1，若正方形绕着顶点顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2，则翻转2024次后，数轴上数2024所对应的点是 ． 22．（七年级上·江苏无锡·期中）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示数的点与圆周上表示数字 的点重合． 23．如果、互为相反数，、互为倒数，那么 ． 24．（七年级上·全国·期中）在，，，，，，，，，中，哪些是正数，哪些是负数？ 25．（七年级上·江苏无锡·期中）把下列各数填入相应的括号内：，8，，，，，2，0，3.14，，，0.618， 正数：{　　　　　　　　　　...}； 负数：{　　　　　　　　　　...}； 整数：{　　　　　　　　　　...}； 负分数：{　　　　　　　　　　...}． 26．（七年级上·山东青岛·期中）在数轴上把下列各数表示出来，并用“”连接各数： ，，，， 27．（七年级上·江西吉安·期中）有以下个数：，，，，，． (1)在数轴上画出表示各数的点； (2)用“”号把它们连接起来． 28．（七年级上·陕西西安·期中）如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等，已知点表示的数是，点表示的数是． (1)表示原点的是点______，点表示的数是______； (2)在点的右侧有两点，点到点的距离是；点到点的距离是，则点，之间的距离是多少？ 29．（七年级上·河南南阳·期中）已知：a与3互为相反数，b的绝对值为最小的正整数，回答以下问题． (1)______，______； (2)已知，求． 30．（七年级上·四川广安·期中）已知，求的值． 31．（七年级上·全国·期中）已知有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，化简： 32．（24-25七年级上·全国·课后作业）先比较下列各式的大小，再回答问题． (1)_____； (2)______； (3)_______； (4)再举出一些类似的比较大小的算式，归纳出当a，b为有理数时，与的大小关系． 33．（七年级上·河北邯郸·期中）如图，已知数轴的单位长度为1，的长度为1个单位长度． (1)如果点A，B表示的数是互为相反数，求点C表示的数． (2)若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数． (3)如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 34．（七年级上·陕西西安·期中）学习过绝对值之后，我们知道表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究解决以下问题： (1)探究： ①数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③可以理解为 与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离； (2)归纳： 一般的，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于 ． (3)应用： ①如果表示数和的两点之间的距离是，则可记为：，那么 ． ②求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 有理数 （易错点、重难点、常考点专项练习） 经典题型一：正负数的意义 【经典例题1-1】（七年级上·广西桂林·期中）在数，，，，，，，中，负数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的认识，比0小的数为负数，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴负数的个数为4个， 故选：C． 【经典例题1-2】（七年级上·云南昭通·期中）在，，0，2.2这四个数中，负数有（   ） A．3个 B．1个 C．4个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查的是负数概念，掌握在正数前面加负号“－”，叫做负数是解题的关键．根据负数的定义解答即可． 【详解】解：在，，0，2.2这四个数中，负数是． 故选B． 【经典例题1-3】（七年级上·江苏南通·期中）在，，0，，11中，负分数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数，根据分数的定义逐个判断即可． 【详解】解：在，，0，，11中，负分数有，共2个， 故选：B 经典题型二：具有相反意义的量 【经典例题2-1】（七年级上·浙江杭州·期中）下列各对量中，不具有相反意义的量是（   ） A．收入200元与支出2元 B．增长2岁与减少2千克 C．超过与不足 D．上升10米与下降7米 【答案】B 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，根据具有相反意义的量逐项判断即可． 【详解】因为收入200元与支出2元是具有相反意义的量，所以A不符合题意； 因为增加2岁与减少2千克中单位不一致，不是具有相反意义的量，所以B符合题意； 因为超过0.05mm与不足0.03mm是具有相反意义的量，所以C不符合题意； 因为上升10米与下降7米是具有相反意义的量，所以D不符合题意． 故选：B． 【经典例题2-2】（七年级上·辽宁大连·期中）下面两个量中，不具有相反意义的是（    ） A．进三个球和输三场比赛 B．浪费水和节约水 C．盈利400元和亏损400元 D．上升和下降 【答案】A 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：A．进三个球和输三场比赛, 不是具有相反意义的量，故选项符合题意． B．浪费水和节约水，是互为相反意义的量，故选项不符合题意； C．盈利400元和亏损400元，是具有相反意义的量，故选项不符合题意； D．上升和下降，不是具有相反意义的量，故选项符合题意． 故选：A． 【经典例题2-3】（七年级上·山东德州·期中）下列各组数据中，不是具有相反意义的量的是（   ） A．前进5和后退5 B．节约3吨和浪费3吨 C．身高增加2和体重减少2 D．气温下降和气温上升 【答案】C 【分析】本题考查了具有相反意义的量．熟练掌握具有相反意义的量是解题的关键． 根据具有相反意义的量对各选项判断作答即可． 【详解】解：由题意知，前进5和后退5是具有相反意义的量，故A不符合要求； 节约3吨和浪费3吨是具有相反意义的量，故B不符合要求； 身高增加2和体重减少2不是具有相反意义的量，故C符合要求； 气温下降和气温上升是具有相反意义的量，故D不符合要求； 故选：C． 经典题型三：正负数的实际应用 【经典例题3-1】（七年级上·全国·期中）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出1000元记作元，那么元表示（      ） A．支出80元 B．收入 80元 C．支出1080元 D．收入1080元 【答案】D 【分析】此题考查了正负数的应用，根据正负数是表示一对意义相反的量进行辨别，解题的关键是能准确问题间的数量关系和具有意义相反的量． 【详解】解：∵支出1000元记作元， ∴元表示表示收入1080元， 故选：D． 【经典例题3-2】（2024·湖南长沙·模拟预测）立春以后我市出现冻雨天气，最低温度低于零度，若把气温零上记为，则表示气温为（    ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 【答案】B 【分析】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 根据题意可知气温零上为正，气温零下记为负，即可得出答案． 【详解】解：∵规定气温零上为正，气温零上可以记为， ∴气温为表示气温为零下， 故选：B． 【经典例题3-3】（七年级上·辽宁营口·期中）下列说法正确的是（    ） A．“向东10米”与“向西5米”不是相反意义的量 B．如果气球上升25米记作米，那么米的意义就是下降米 C．如果气温下降，记为，那么的意义就是下降 D．若将高1米设为标准0，高1.20米记作米，那么米所表示的高是0.95米 【答案】D 【分析】此题考查了正数和负数的实际意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，依次判断各可． 【详解】解：“向东10米”与“向西5米”是相反意义的量；故A不符合题意； 如果气球上升25米记作米，那么米的意义就是下降米；故B不符合题意； 如果气温下降，记为，那么的意义就是上升；故C不符合题意； 若将高1米设为标准0，高1.20米记作米，那么米所表示的高是0.95米，正确，故D符合题意； 故选D 经典题型四：有理数的概念 【经典例题4-1】（七年级上·江苏淮安·期中）下列个数：、、0、、…（每两个之间依次多一个），其中有理数有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查有理数定义，根据题中所给的数及有理数定义即可判断答案，熟记有理数定义是解决问题的关键． 【详解】解：下列个数：、、0、、…（每两个之间依次多一个），其中有理数是、、0，即有理数有3个， 故选：C． 【经典例题4-2】（七年级上·江苏宿迁·期中）在，，，，，，，（每两个1之间依次多一个4）这8个数中非负有理数的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的定义，根据非负有理数包括和正有理数，正有理数包括正整数和正分数，据此即可作答． 【详解】解：依题意，，，，这个数都是非负有理数， 故选：B． 【经典例题4-3】（七年级上·全国·期中）下列说法正确的是（　　） A．正分数和负分数统称为分数 B．正整数和负整数统称为整数 C．零既可以是正整数，也可以是负整数 D．一个有理数不是整数就是负数 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的分类．有理数的分类：①有理数可以分为正有理数，0，负有理数；正有理数可以分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数；②有理数可以分为整数和分数；整数分为正整数，0负整数；分数分为正分数和负分数；按两种分类一一判断即可．据此分析逐一判断即可． 【详解】解：A、正分数和负分数统称为分数，说法正确，本选项符合题意； B、正整数、负整数和零统称为整数，原说法错误，本选项不符合题意； C、零既不是正整数，也不是负整数，原说法错误，本选项不符合题意； D、零既不是正数，也不是负数，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：A． 经典题型五：有理数的分类 【经典例题5-1】（七年级上·广东江门·期中）把下列各数按要求分类．，、、、101，2、、0、、、7． 负整数集合：｛                                  …｝； 正分数集合：｛                                  …｝； 负分数集合：｛                                  …｝； 整数集合：｛                                  …｝； 有理数集合：｛                                  …｝． 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的分类．根据有理数的分类进行判断即可． 【详解】解：负整数集合：｛，，…｝； 正分数集合：｛，，，…｝； 负分数集合：｛，，…｝； 整数集合：｛，，101，2，0，7，…｝； 有理数集合：｛，，，，101，2，，0，，，7，…｝． 【经典例题5-2】（七年级上·河北石家庄·期中）把下列各数填入相应的大括号里． 正数集合：｛                                              …｝ 整数集合：｛                                              …｝ 负数集合：｛                                              …｝ 分数集合：｛                                              …｝ 【答案】见解析 【分析】本题考查了对有理数的有关概念的应用，注意：有理数包括整数和分数，整数包括正整数、0、负整数，分数包括正分数和负分数．根据整数，正数，负数，分数的意义选出后填上即可． 【详解】解：在，，，，，，，，中， 正数集合：｛，，，， …｝ 整数集合：｛，，，， …｝ 负数集合：｛， ， ， …｝ 分数集合：｛，，，，…｝ 【经典例题5-3】（七年级上·山西大同·期中）把下列各数分别填入相应的大括号内： ，，，，0，，，，10，， 自然数集合： …； 整数集合： …； 正有理数集合： …； 非正数集合： …； 有理数集合： …． 【答案】见解析 【分析】分别根据自然数、整数、正有理数、非正数、有理数的定义得出即可． 此题主要考查了有理数的分类，熟练掌握自然数、整数、正有理数、非正数、有理数的定义是解题关键． 【详解】解：自然数集合：； 整数集合：； 正有理数集合：； 非正数集合：； 有理数集合：． 经典题型六：判断数轴是否正确 【经典例题6-1】（七年级上·四川绵阳·期中）下列数轴中，画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了画数轴，根据数轴的三要素：单位长度，正方向和原点进行求解即可． 【详解】解：A、没有正方向，不是正确的数轴，不符合题意； B、没有原点，不是正确的数轴，不符合题意； C、单位长度不统一，不是正确的数轴，不符合题意； D、是正确的数轴，符合题意； 故选：D． 【经典例题6-2】（七年级上·山东德州·期中）下列图形中是数轴的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了数轴的三要素，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据数轴三要素一一判断即可． 【详解】解：A、缺少了正方向，故错误； B、缺少了原点，故错误； C、单位长度不统一，故错误； D、符合数轴三要素，故正确． 故选：D． 【经典例题6-3】（七年级上·陕西西安·期中）下列各图中，是数轴的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 根据数轴的定义即可解答． 【详解】解：A、没有方向，不是数轴，不符合题意； B、单位长度不一致，不是数轴，不符合题意； C、没有原点，不是数轴，不符合题意； D、是数轴，符合题意． 故选D． 经典题型七：利用数轴比较有理数的大小 【经典例题7-1】（七年级上·安徽合肥·期中）已知下列各有理数：． (1)画出数轴，在数轴上标出这些数表示的点； (2)用“”号把这些数连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点． （1）根据数轴上点特点把各数表示在数轴上即可； （2）根据数轴上点的特点，用“”连接即可． 【详解】（1）解：，把各数表示在数轴上，如图所示： （2）解：用“”连接为：． 【经典例题7-2】（七年级上·吉林长春·期中）先把下列各数在数轴上表示出来，再用“”把它们连接起来： ，，，，． 【答案】数轴表示见解析， 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较，先在数轴上表示出各个数，再比较即可．解题的关键是掌握数轴右边点表示的数总比左边点表示的数大． 【详解】解：如图所示， ∴． 【经典例题7-3】（七年级上·甘肃平凉·期中）如图，数轴的单位长度为1，点A 表示的数是． (1)在数轴上标出原点O，并写出点B表示的数为： ． (2)在此数轴上表示下列各数：、3、、、3.5，并将这些数及点A、B表示的数用“”连接起来． 【答案】(1)数轴见解析， (2)数轴见解析， 【分析】本题主要考查了数轴的特点，有理数的比较大小，在数轴上表示有理数，解题的关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据点A表示的数是即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）先在数轴上确定表示各数的点的位置，再根据数轴上右边的数总比左边的数大，用“”号把这些数连接起来即可． 【详解】（1）解：点A 表示的数是，数轴的单位长度为1， 数轴上原点O如下图所示： 点B表示的数为：， 故答案为：； （2）解：数轴上表示下列各数如下图所示： 由数轴可知． 经典题型八：数轴上两点之间的距离 【经典例题8-1】（七年级上·全国·期中）数轴上点，，，对应的有理数都是整数．若点对应有理数，点对应有理数，且，则数轴上原点应是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上点表示数的运用，熟练掌握相关概念是解题关键．由数轴可知，结合即可求出与的值，从而进一步确定原点的位置即可． 【详解】由数轴可得：点在点右侧且距离点个单位长度， ∴，即：， ∵， ∴，即， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴点表示， ∴数轴上原点为点， 故选：． 【经典例题8-2】（七年级上·广西南宁·期中）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，则该动点运动到第2025秒时所对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用运动周期找出规律，解题关键是抓住运动周期5秒．一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，可知该点运动周期为5秒，每5秒向左运动一个单位，，即可求解． 【详解】解：一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒， 该点运动周期为5秒，每5秒向左运动一个单位， ， 该点运动到2025秒时对应的数为， 故选：A． 【经典例题8-3】（七年级上·山东德州·期中）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的四等分点处分别标有0，1，2，3，先让圆上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2024的点与圆上表示哪个数的点重合？（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，根据圆的周长为4个单位长度，先求出此圆在数轴上向右滚动的距离，再除以4，然后根据余数判断与圆周上哪个数字重合，找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解答本题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， ， ∴数轴上表示2024的点与圆周上数字1重合， 故选：B． 经典题型九：根据点在数轴上的位置判断式子的正负 【经典例题9-1】（七年级上·广东佛山·期中）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加减法、数轴，根据题意，得出，，根据有理数运算法则中结果符号的确定方法，可得正确选项． 【详解】解：根据数轴，可得：，， ∴，，， ∴选项A、B、D正确，不符合题意，选项C错误，符合题意， 故选：C． 【经典例题9-2】（七年级上·浙江金华·期中）如图，数轴上点，表示的数为，，且，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的知识，此类题目的难点在于根据 数轴判断出、的正负情况以及绝对值的大小．根据数轴判断出，，并且，然后对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：由图可知，，，， 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意． 故选：B． 【经典例题9-3】（七年级上·山东青岛·期中）如图，、在数轴上的位置如图，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴与有理数的运算法则，掌握有理数与数轴的基本知识是解题的关键．根据数轴上a、b的位置判断a、b的大小和符号，然后据此进行解答即可； 【详解】解：由数轴上a、b的位置可知： ，且， A．由 ，得该选项错误，不符合题意； B．由得，该选项正确，符合题意； C．由 ，且，得 ，选项错误，不符合题意； D．由 ，且，得，选项错误，不符合题意； 故选：B． 经典题型十：判断是否为相反数 【经典例题10-1】（七年级上·陕西西安·期中）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．3与 D．与 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的定义， 化简多重符号，先化简多重符号，然后再根据相反数的定义只有符号不同的两个数叫互为相反数判断即可． 【详解】解：．，1与互为相反数，故该选项符合题意； ．，与为同一个数，故该选项不符合题意； ．，3和3为同一个数，故该选项不符合题意； ．，与为同一个数，故该选项不符合题意； 故选：A． 【经典例题10-2】（七年级上·陕西宝鸡·期中）下列各组数中，互为相反数的是（） A．与 B．与0.5 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数和多重符号化简，正确使用相反数的意义对每个数字进行化简是解题的关键．利用相反数的意义对每个选项中的两个数进行化简比较即可得出结论． 【详解】解：A．，，两个数相等， 选项不符合题意； B．，与0.5不是互为相反数， 选项不符合题意； C．，，与是互为相反数， 选项符合题意； D．，与不是互为相反数， 选项不符合题意． 故选：C 【经典例题10-3】（七年级上·山西吕梁·期中）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．2与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查相反数的判断，根据只有符号不同两个数互为相反数直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：2与互为倒数，不符合题意， ∵，，是同一个数，故不符合题意， ∵与互为相反数，故符合题意， ∵与，是同一个数，故不符合题意， 故选：C． 经典题型十一：相反数性质的应用 【经典例题11-1】（七年级上·江苏徐州·期末）若代数式和互为相反数，则（     ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． 利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：根据题意得：， 移项合并得：， 故选：B． 【经典例题11-2】（七年级上·河南新乡·期中）当 时，代数式与的值互为相反数． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，利用互为相反数的两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到结果．掌握“互为相反数的两数的和为0”是关键． 【详解】解：根据题意得：， 去括号得： 移项合并得：， 解得：． 故答案为：． 【经典例题11-3】（七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果互为倒数，互为相反数，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查倒数和相反数的概念，代数式求值；首先根据倒数的概念，可知，根据相反数的概念可知，然后把它们分别代入，即可求出代数式的值. 【详解】若，互为倒数，则， ，互为相反数，则， 那么， 故答案为：． 经典题型十二：绝对值的非负性 【经典例题12-1】（七年级上·全国·期中）若，则 ； ． 【答案】 3 2 【分析】根据有理数的非负性解答即可． 本题考查了有理数的非负性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故答案为：3，2． 【经典例题12-2】（七年级上·云南文山·期中）已知与互为相反数，则 【答案】 【分析】本题考查相反数的定义、非负数的性质、解一元一次方程，根据相反数的定义可得，再根据绝对值和平方的非负性求得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【经典例题12-3】（七年级上·河南洛阳·期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，，求的值． 【答案】1或 【分析】本题考查的是相反数及倒数的应用、绝对值的性质，解答此题的关键是先根据题意得出，及． 先根据相反数及倒数的定义得到，，再根据绝对值的性质得出m的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数， ∴，， ∵， ∴， ∴当时，原式； 当时，原式． 经典题型十三：绝对值和数轴化简 【经典例题13-1】（七年级上·广东茂名·期中）在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，． (1)确定符号：a 0，b 0，c 0， 0 ； (2)化简：； 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题考查数轴，绝对值，有理数的加减法，关键是掌握相关概念与运算，数形结合． （1）根据数轴确定数的正负，根据有理加法法则判断式子的正负； （2）根据绝对值的性质化简即可求解． 【详解】（1）解：由数轴知，， ∵， ∴， 故答案为：，，，； （2）解：∵，，，， ∴ ． 【经典例题13-2】（七年级上·江苏无锡·期中）有理数在数轴上的位置如图，化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查根据数轴判定式子的符合，绝对值的化简，根据图示可得，，，再根据绝对值的性质化简即可求解． 【详解】解：根据图示可得，， ， ∴ ． 【经典例题13-3】（七年级上·四川攀枝花·期中）有理数，，，且． (1)在数轴上将a，b，c三个数在数轴上表示出来如图所示； (2)化简：． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据所给的范围确定数在数轴上的位置即可； （2）由题意可知，，，再化简即可． 本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，有理数，，，且 ∴如图所示： （2）解：，，，且， ，，， ． 经典题型十四：有理数比较大小 【经典例题14-1】（七年级上·吉林长春·期中）用“”或“”或“”填空 (1)_____0； (2)0______0.61； (3)_____； (4)_____； (5)_____； (6)_____． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据有理数的大小比较方法求解即可． 本题考查了有理数的大小比较，绝对值的意义，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：∵，， ∴； （4）解：； （5）解：∵，， ∴； （6）解：． 【经典例题14-2】（七年级上·贵州黔东南·期中）比较下列每组数的大小． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的大小比较、绝对值、相反数、分数的基本性质，熟练掌握有理数比较大小是解决本题的关键． （1）先通分，再比较大小； （2）先通分，再比较大小； （3）先进行化简，然后比较大小； （4）先化为假分数，再进行通分，然后比较大小． 【详解】（1）解：根据分数的基本性质，得， 根据有理数的大小关系，得，即． （2）解：根据分数的基本性质，得，， 根据有理数的大小关系，得，即． （3）解：根据绝对值以及相反数，得，， 那么． （4）解：根据分数的基本性质，得，， 根据有理数的大小关系，得，即． 【经典例题14-3】（七年级上·贵州黔东南·期中）比较下列各组数的大小： (1)与3； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的大小比较、绝对值、化简多重符号，熟练掌握正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数进行比较，绝对值大的反而小，是解此题的关键． （1）根据正数大于一切负数即可得出答案； （2）先根据绝对值的意义将两个数化简，再根据两个负数进行比较，绝对值大的反而小即可得解； （3）先将两个数化简，再根据正数大于一切负数即可得出答案； （4）先将两个数化简，再根据两个负数进行比较，绝对值大的反而小即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：，， ∵， ∴，即； （3）解：，， ∵， ∴； （4）解：，， ∵， ∴． 经典题型十五：数轴上的动点问题（压轴题） 【经典例题15-1】（七年级上·江西南昌·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数______对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为_______，点对应的数为_______； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒．动点从点向右出发，为何值时，、点之间的距离为15个单位长度； 【答案】(1)3 (2)，4.5 (3)为2时，、两点之间的距离为15个单位长度 【分析】本题考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间的距离． （1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，再根据两点之间的距离求解； （3）根据题意，，点对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得对称中心是原点，则数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3； （2）解：∵折叠后数2对应的点与数对应的点重合， ∴对称中心是数对应的点， ∵数轴上、两点之间的距离为11（点在点的右侧）， ∴点到对称中心的距离为，且点在的左边，点到对称中心的距离为，且点在的右边， ∴点对应的数为，点对应的数为， 故答案为：，4.5； （3）解：根据题意，， 点对应的数为， ， 解得：， 答：为2时，、两点之间的距离为15个单位长度． 【经典例题15-2】（七年级上·陕西西安·期中）如图，已知数轴上有两点，点表示的数是，点表示的数是，动点分别从两点同时出发，在数轴上匀速相向而行，它们的速度分别为个单位长度秒、个单位长度秒，设运动时间为． (1)当时，点对应的数是______，点对应的数是______； (2)当为何值时，两点之间相距个单位长度； (3)当时，若线段和线段同时以个单位长度秒的速度同时相向匀速运动，是否存在某一时刻？使得．若存在，求出此时的距离，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)当或秒时，此时的距离为或． 【分析】（）由题意得：点沿数轴正方向移动，点沿数轴负方向移动，然后求解即可； （）根据题意得点对应的数是，点对应的数是，再根据两点之间相距个单位长度列出绝对值方程，然后求解即可； （）由题意知点对应的数是，点对应的数是，设再运动秒后，则得出平移后对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数，然后分当线段和线段相遇前，当线段和线段相遇后两种情况，列出方程，然后求解即可； 本题考查了一元一次方程的应用，数轴上表示数，数轴两点间的距离，列代数式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：点沿数轴正方向移动，点沿数轴负方向移动， 当时，点对应的数是，点对应的数是， 故答案为：，； （2）解：由题意得：点沿数轴正方向移动，点沿数轴负方向移动， ∴点对应的数是，点对应的数是， ∵两点之间相距个单位长度， ∴，整理得：， ∴或， 解得：或； （3）存在，理由如下： 当时，点对应的数是，点对应的数是， 由题意知点对应的数是，点对应的数是， 设再运动秒后， ∴平移后对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数， 当线段和线段相遇前， ，， ∵， ∴，解得：； 此时点表示的数，对应点表示的数， ∴距离为； 当线段和线段相遇后， ，， ∵， ∴，解得：； 此时点表示的数，对应点表示的数， ∴距离为； 综上可知：当或秒时，此时的距离为或． 【经典例题15-3】（七年级上·全国·期中）阅读材料并回答问题： 对于数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离之间恰好满足倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点，，表示的数分别为，，，点与点的距离是，点与点的距离是，此时点是点，的“关联点”． (1)若点表示，点表示．，，，对应的点分别是，，，，则其中哪几个点是点，的“关联点”？ (2)点表示的数是，点表示的数是，为数轴上一个动点．若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，则点表示的数是____________． 【答案】(1)，； (2)或或． 【分析】（）根据题意求得与的关系，然后逐一判断即可； （）设表示的数为，则由题意得，则，，然后分当时，即，当时，即，解出方程即可； 本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是理解“关联点”的概念，读懂题意并根据题意列出方程． 【详解】（1）解：∵，， ∴不是点，的“关联点”， ∵，， ∴， ∴是点，的“关联点”， ∵，， ∴ ∴是点，的“关联点”， ∵，， ∴不是点，的“关联点”， 综上可知：，是点，的“关联点”； （2）设表示的数为，则由题意得， ∴，， ∵点是点，的“关联点”， ∴当时，即， 则或， 解得：或； 当时，即， 则或， 解得：或（不合题意，舍去）； 综上可知：点表示的数是或或， 故答案为：或或． 经典题型十六：绝对值的几何意义（压轴题） 【经典例题16-1】（七年级上·山东临沂·期中）阅读材料： 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．若a，b为有理数，则│a一b│表示数a与数b的差的绝对值，也可以理解为a与b在数轴上所对应的两点之间的距离． 例如：如图，在数轴上，有理数3与1对应两点之间的距离为│3-1│=2，有理数5与-2对应两点之间的距离为│5-（-2）│=7，有理数-2与3对应两点之间的距离为│-2-3│=5；…… 解决问题∶ （1）在数轴上，有理数2和6两点之间的距离是__________ （2）在数轴上，有理数x与对应两点之间的距离用含x的式子表示为__________ （3）在解决上述问题的过程中所体现的数学思想有_________(写出一条即可)； 联系拓广： （4）若数轴上有理数a与对应两点A，B之间的距离为2，则_________； （5）若数轴上表示数a的点位于表示数与2的点之间，请直接你写出的最小值． 【答案】（1）4  （2）  （3）数形结合思想（答案不唯一） （4）或1 （5）6 【分析】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确绝对值的定义，利用绝对值的知识和分类讨论的数学思想解答 （1）根据题目中的式子和绝对值的定义可以解答本题； （2）根据绝对值的定义可以解答本题； （3）根据绝对值的定义可以解答本题； （4）根据绝对值的定义和分类讨论的数学思想可以解答本题； （5）根据绝对值的定义和两点间的距离可以解答本题 【详解】（1）解：， 故答案为：4； （2）在数轴上，有理数x与对应两点之间的距离用含x的式子表示为， 故答案为：； （3）在解决上述问题的过程中所体现的数学思想有数形结合思想， 故答案为：数形结合思想（答案不唯一）； （4）由题意得，， 解得或1， 故答案为：或1； （5）∵数轴上表示数a的点位于与2之间， ∴的值是数轴上2与之间的距离， 数轴上表示数a的点位于表示数与2的点之间时值最小，则最小值为： ， 即的最小值为6． 【经典例题16-2】（七年级上·山西太原·期中）数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值．例：点，在数轴上对应的数分别为，，则，两点间的距离表示为．那么式子的几何意义是数轴上表示的点与表示2的点之间的距离：式子的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离．根据以上知识解题： (1)如果点在数轴上表示3，点在数轴上表示2，点表示，那么______，______； (2)如果在数轴上表示数的点与的距离是3，那么______； (3)如果数轴上表示数的点位于和2之间，那么______． 【答案】(1)1；7 (2)或1 (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解绝对值方程，化简绝对值： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意推出，据此化简绝对值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点在数轴上表示3，点在数轴上表示2，点表示， ∴，， 故答案为：1；7； （2）解：由题意得，， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：或1； （3）解：∵数轴上表示数的点位于和2之间， ∴， ∴， 故答案为：． 【经典例题16-3】（七年级上·广东深圳·期中）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，  A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和6两点之间的距离是_______；表示1和的两点之间的距离是_______． (2)数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为________；数轴上表示x和的两点之间的距离表示为________． (3)若，则________；若x表示一个有理数，则的最小值=________． 【答案】(1)4，5 (2)， (3)1或；5 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值方程，绝对值的几何意义．熟练掌握数轴上两点之间的距离，绝对值方程，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上表示2和6两点之间的距离是；表示1和的两点之间的距离是，计算求解即可； （2）由题意知，数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为；数轴上表示x和的两点之间的距离表示为； （3）由，可得，计算求解即可；当时，；当时，；当时，；进而可求的最小值为5． 【详解】（1）解：由题意知，数轴上表示2和6两点之间的距离是；表示1和的两点之间的距离是； 故答案为：4，5； （2）解：由题意知，数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为；数轴上表示x和的两点之间的距离表示为； 故答案为：，； （3）解：∵， ∴， 解得，或； 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，的最小值为5， 故答案为：1或；5． 1．（七年级上·全国·期中）下列各数中，属于正整数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正整数的概念的识别，熟练掌握正数和负数、整数的概念是解题的关键．利用正整数的概念依次判别即可． 【详解】解：A中，是负整数，不符合题意； B中，是正整数，符合题意； C中，是小数，不符合题意； D中，是分数，不符合题意； 故选：B． 2．（七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列各组量中，互为相反意义的量是（） A．上升与减少 B．增产10吨与减产吨 C．篮球比赛，胜5场与负3场 D．向东走3米与向南走3米 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，解题的关键是明确什么是相反意义的量．根据相反意义的量指的是就是两个数字，它们的正负符号相反，可以判断四个选项的是否正确． 【详解】解：A.上升和减少不具有相反意义，故选A错误； B.增产10吨与减产吨不是具有相反意义的量，故选项B错误； C.篮球比赛胜5场与负3场是相反的量，故选项C正确； D.向东和向南不具有相反意义，3和3也不具有相反意义，故选项D错误； 故选：C 3．（七年级上·浙江·期中）下列各组量中，具有相反意义的是（    ） A．向东走3米和向北走5米 B．气温上升3度和气温上升4度 C．胜1局和亏损2万元 D．收入500元和支出400元 【答案】D 【分析】本题考查正数和负数，熟练掌握其实际意义是解题的关键．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：A．向东走3米和向北走5米不具有相反意义，则A不符合题意； B．气温上升3度和气温上升4度不具有相反意义，则B不符合题意； C．胜1局和亏损2万元不具有相反意义，则C不符合题意； D．收入500元和支出400元具有相反意义，则D符合题意； 故选：D． 4．（七年级上·河南南阳·期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤是无限不循环小数，所以不是有理数其中错误的说法的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．①根据0的意义进行解答即可；②有理数包括正有理数、零和负有理数，据此来判断即可；③根据有理数的分类进行解答即可，据此判断即可；④非负数包括正数和0，据此判断即可；⑤是无限循环小数，据此判断即可． 【详解】解：0不是最小的整数，没有最小的整数， ∴①不正确； ∵有理数包括正有理数、负有理数和0， ∴②不正确； ∵整数、负整数和零、正分数、负分数统称为有理数， ∴③不正确； ∵非负数包括正数和0， ∴④不正确； ∵是无限循环小数， ∴⑤不正确． ∴综上，①②③④⑤不正确，共5个， 故选∶D． 5．（七年级上·山东枣庄·期中）下列说法正确的是（    ） A．正有理数、负有理数统称为有理数 B．整数和分数统称有理数 C．正数和负数统称有理数 D．正整数和负整数统称整数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的概念及分类判定即可． 【详解】解：．正有理数、零、负有理数统称为有理数，原说法错误，故该选项不符合题意； ．整数和分数统称有理数，原说法正确，故该选项符合题意； ．零是有理数，但零既不是正数也不是负数，原说法错误，故该选项不符合题意； ．正整数与负整数、0统称为整数，原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 6．在，，，，（每两个之间依次增加一个）中，有理数有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的概念，熟练掌握有理数的概念是解题的关键．利用有理数的概念依次进行判断即可． 【详解】解：是有理数， 是有理数， 不是有理数， 是有理数， （每两个之间依次增加一个）不是有理数， 故有理数共个， 故选：B． 7．（七年级上·广东惠州·期中）如图所示，所函数轴完全正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴的三要素和画法．根据数轴的特点“规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴”进行解答即可． 【详解】解：（1）（3）单位长度不统一，错误； （2）不符合数轴上右边的数总比左边的数大的特点，错误； （4）符合数轴的特点，正确． 综上，只有一个是正确． 故选：A． 8．（七年级上·北京·期中）如图，圆的周长为4个单位长，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合⋯）依次环绕，则数轴上表示的点与圆周上重合的数字是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了数轴与动圆．找出圆运动的周期与数轴上的数字的对应关系，是解答此类题目的关键． 由于圆的周长为4个单位长度，所以只需用此圆在数轴上环绕的距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3，则分别与圆周上表示数字0，3，2，1的点重合． 【详解】解：由图可知，每4个数为一组循环组，按照0，3，2，1依次循环， ∵， ∴数轴上表示的点和表示的点与圆周上同一个点重合， ∴数轴上该点在圆上的数为2． 答案：C． 9．（七年级上·河南安阳·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】此题考查了利用数轴解决问题的能力，关键是能确定出此题的变化规律． 找出在翻转的过程中，顶点A、B、C、D分别对应数的规律，再根据可以得到答案． 【详解】∵每4次翻转为一个循环组依次循环， ∴， ∴翻转2016次后正方形在数轴上的方向和题干中一致， ∴此时点A对应的数为2016 ∴翻转2017次后，数轴上数2017所对应的点是B． ∴翻转2018次后，数轴上数2018所对应的点是C． ∴翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是D． 故选D． 10．（七年级上·吉林长春·期中）已知，两数在数轴上的位置如图所示，下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与有理数的对应关系，根据数轴的特点可得，由此即可求解． 【详解】解：根据图示可得，， ∴，，，， ∴只有D选项正确，符合题意； 故选：D ． 11．（七年级上·江苏无锡·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，根据数轴可知，，据此可得． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， 故选：B． 12．（七年级上·全国·期中）下列各对数中，互为相反数的有（   ） 与；与；与；与；与 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】各数能化简的先进行化简，然后根据相反数的概念进行判断．本题考查了化简多重符号，相反数，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答本题的关键． 【详解】解：与互为相反数； ∵，， ∴与互为相反数； ∵，， ∴与相等，不互为相反数； ∵，， ∴与相等，不互为相反数； ∵，， ∴与互为相反数； 即互为相反数的有3对． 故选：C． 13．（七年级上·浙江金华·期中）的最小值是，，那么的值为（   ） A． B． C．0 D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的应用，解决本题的关键是判断出、、的大小．根据题意，因为的最小值是，求出，得出，因为，所以，得出，所以，，所以，，，，求出，据此解答． 【详解】解：， 的最小值是0， 的最小值是， ． ， ， ， ， ，， ． 故选：C． 14．（七年级上·浙江杭州·期中）如果，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故选：B． 15．（七年级上·浙江宁波·期中）一次身高测量，全班同学的平均身高是，如果老师把记作，那么记作 ． 【答案】 【分析】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：全班同学的平均身高是，如果老师把记作，那么记作， 故答案为： 16．（七年级上·广西桂林·期中）实验小学的同学们参加劳动实践，老师将蔬菜小组的同学栽种的蔬菜以成活8棵为标准，西红柿组成活10棵记作棵，茄子组成活7棵记作( )，彩椒组成活8棵记作( )． 【答案】 棵 0棵 【分析】本题考查了正数和负数．解决问题的关键是熟练掌握超过标准的部分记作正数，不足的部分记作负数，有理数的减法计算． 根据“以8棵为标准，超过的部分记作正数，不足的部分记作负数”，7、8分别减去8计算出它们的值即可． 【详解】解：∵，， ∴7棵记作棵，8棵记作0棵． 故答案为：棵， 0棵 17．（七年级上·全国·期中）已知下列各数：，，，0，，，6，，其中正数有 ；负数有 ． 【答案】 ，，6， ，， 【分析】本题主要考查正数与负数，属于基础题． 根据正数与负数的特征可判定求解． 【详解】解：在，，，0，，，6，中， 正数，，6，；负数有，，． 故答案为：，，6，，，， 18．（七年级上·吉林·期中）在，，（每两个6之间依次多1个1）…，中，有理数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了有理数的定义．熟练掌握有理数的定义是解题的关键． 根据有理数的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，是有理数，故符合要求； （每两个6之间依次多1个1）…，不是有理数，故不符合要求； 故答案为：2． 19．（七年级上·山东枣庄·期中）如图，在一条可以折叠的数轴上，，两点表示的数分别是，4，以点为折点，将此数轴向右对折，若对折点在点的右边，且，两点相距1，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点距离，数形结合是解题的关键．根据与表示的数求出的长，再由折叠后的长，求出的长，即可确定出表示的数． 【详解】解：∵表示的数为， ∴， ∵折叠后， ∴， ∵点在的左侧， ∴C点表示的数为． 故答案为：． 20．（七年级上·广东深圳·期中）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是 ． 【答案】或1 【分析】本题主要考查的数轴上两点之间的距离，折叠的性质，掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键． 根据折叠分类讨论，当点A落在4和16对应的点时，结合数轴上两点之间的距离即可求解． 【详解】解：，， 当点A落在数4对应的点时，则点C表示的数为：， 当点A落在数16对应的点时，则点C表示的数为：， 综上所述，点C表示的数是或1， 故答案为：或1． 21．（七年级上·陕西西安·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为0和1，若正方形绕着顶点顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2，则翻转2024次后，数轴上数2024所对应的点是 ． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上动点问题、数轴上两点的距离，先求得正方形的边长为1，再根据前几次翻滚的数对应的点的变化找到变化规律，进而可求解． 【详解】解：∵点、对应的数分别为0和1， ∴，即该正方形的边长为1， ∴第1次翻转后，点B对应的点为2， 第2次翻转后，点C对应的点为3， 第3次翻转后，点D对应的点为4， 第4次翻转后，点A对应的点为5， 第5次翻转后，点B对应的点为6， ……， 依次类推，翻转4次为一个循环周期， ∵， ∴翻转2024次后，数轴上数2024所对应的点是点D， 故答案为：D． 22．（七年级上·江苏无锡·期中）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示数的点与圆周上表示数字 的点重合． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴．由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3，则分别与圆周上表示数字0，1，2，3的点重合． 【详解】解：∵，， ∴数轴上表示数的点与圆周上表示数字2重合． 故答案为：2． 23．如果、互为相反数，、互为倒数，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数、倒数、求代数式的值，解答本题的关键是明确相反数和倒数的定义． 根据、互为相反数，、互为倒数，可以得到，，然后即可计算出所求式子的值． 【详解】解：、互为相反数，、互为倒数， ，， ， 故答案为：． 24．（七年级上·全国·期中）在，，，，，，，，，中，哪些是正数，哪些是负数？ 【答案】正数有：，，，；负数有：，，，，． 【分析】本题是对正数和负数的区分，熟练掌握正数和负数的定义是解题的关键． 正数前边有“”或省略“”的形式，比要大，根据定义可以找到符合条件的正数； 负数是比零小的数，有负号“”，据此可找到负数，注意既不是正数，也不是负数． 【详解】解：根据正数的定义可得正数有：，，，； 根据负数的定义可得负数有：，，，，． 25．（七年级上·江苏无锡·期中）把下列各数填入相应的括号内：，8，，，，，2，0，3.14，，，0.618， 正数：{　　　　　　　　　　...}； 负数：{　　　　　　　　　　...}； 整数：{　　　　　　　　　　...}； 负分数：{　　　　　　　　　　...}． 【答案】8，，，2，3.14，，0.618；，，，，；，8，2，0，，；， 【分析】本题考查有理数的分类及定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．根据有理数的分类及定义即可求得答案． 【详解】解：正数：{8，，，2，3.14，，0.618，...}； 负数：{，，，，...}； 整数：{，8，2，0，，...}； 负分数：{，，...}． 故答案为：8，，，2，3.14，，0.618；，，，，；，8，2，0，，；， 26．（七年级上·山东青岛·期中）在数轴上把下列各数表示出来，并用“”连接各数： ，，，， 【答案】数轴见解析； 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点．根据数轴上点的特点把各数表示在数轴上，并用“”连接即可． 【详解】解：，，，把各数表示在数轴上，如图所示： 用“”连接为：． 27．（七年级上·江西吉安·期中）有以下个数：，，，，，． (1)在数轴上画出表示各数的点； (2)用“”号把它们连接起来． 【答案】(1)数轴表示见解析 (2) 【分析】（）化简有理数，再在数轴上表示即可； （）根据数轴即可求解； 本题考查了利用数轴比较有理数的大小，正确画出数轴是解题的关键． 【详解】（1）解：，，， 数轴表示如下： （2）由数轴可得，． 28．（七年级上·陕西西安·期中）如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等，已知点表示的数是，点表示的数是． (1)表示原点的是点______，点表示的数是______； (2)在点的右侧有两点，点到点的距离是；点到点的距离是，则点，之间的距离是多少？ 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据数轴特点即可求解； （）根据数轴特点求出点各表示上午数，然后用数轴见得距离即可求解； 本题考查了数轴表示数，数轴上两点间的距离，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵点表示的数是，点表示的数是， ∴中点即为原点， ∴原点的是点， ∴点表示的数是， 故答案为：，； （2）由题意，得点表示的数为， 因为点在点的右侧，点到点的距离是；点到点的距离是， 所以点表示的数是，点表示的数是， 所以点，之间的距离是． 29．（七年级上·河南南阳·期中）已知：a与3互为相反数，b的绝对值为最小的正整数，回答以下问题． (1)______，______； (2)已知，求． 【答案】(1) (2)或3 【分析】本题主要考查相反数、绝对值的非负性； （1）根据相反数及绝对值可直接进行求解a、b的值； （2）根据（1）及绝对值的非负性可得m、n的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）∵a与3互为相反数，b的绝对值为最小的正整数， ∴ （2）∵ ∴ ∴ 当时，； 当时，； 综上：或3； 30．（七年级上·四川广安·期中）已知，求的值． 【答案】5 【分析】本题主要考查了绝对值非负的性质、代数式求值等知识，正确确定的值是解题关键．首先根据绝对值非负的性质求得的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， 又∵，，， ∴，，， 解得，，， ∴． 31．（七年级上·全国·期中）已知有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，化简： 【答案】 【分析】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先观察数轴，得到，从而得到，，，然后根据绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， ∴ 32．（24-25七年级上·全国·课后作业）先比较下列各式的大小，再回答问题． (1)_____； (2)______； (3)_______； (4)再举出一些类似的比较大小的算式，归纳出当a，b为有理数时，与的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了绝对值的意义，比较有理数的大小，熟练掌握绝对值的意义是解此题的关键． （1）根据绝对值的意义得到，，即可得解； （2）根据绝对值的意义得到，，即可得解； （3）根据绝对值的意义得到，，即可得解； （4）根据前面的结论即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ∴； （2）解：，， ∴； （3）解：，， ∴； （4）解：例如，，故， 故当a，b为有理数时，与的大小关系为． 33．（七年级上·河北邯郸·期中）如图，已知数轴的单位长度为1，的长度为1个单位长度． (1)如果点A，B表示的数是互为相反数，求点C表示的数． (2)若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数． (3)如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 【答案】(1)点C表示的数为5； (2)点表示的数为或1； (3)运动4秒后，点P可以追上点Q． 【分析】本题考查了相反数、数轴及两点间的距离、数轴上的动点问题，解题的关键是利用数形结合的思想及分类讨论的思想进行求解． （1）、互为相反数，就知道、分别表示，从而确定原点位置，即而得出表示的数； （2）分两种情况进行讨论，当点在点左边时，当点在点的右边时； （3）、E表示绝对值相等，则到原点距离相等，从而确定出原点位置，根据追及问题即可求得点P追上点Q所用时间． 【详解】（1）解：、互为相反数，且，如图： 表示，表示1， 表示的数为5； （2）解：由题意，可知点在点的左边或右边： 当点在点的左边时，如图： 由图可知点表示的数是； 当点在点的右边时，如图： 由图可知点表示的数为1， 故当时，点表示的数为或1； （3）解：、E表示的数的绝对值相等，即互为相反数，可确定原点为点A， 则点B表示的数为，点C表示的数为， ∴点P追上点Q所用时间为， 答：运动4秒后，点P可以追上点Q． 34．（七年级上·陕西西安·期中）学习过绝对值之后，我们知道表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究解决以下问题： (1)探究： ①数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③可以理解为 与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离； (2)归纳： 一般的，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于 ． (3)应用： ①如果表示数和的两点之间的距离是，则可记为：，那么 ． ②求的最小值． 【答案】(1)①；②；③， (2) (3)①10或；② 【分析】本题主要考查了有理数和数轴、绝对值的意义、解绝对值方程等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）①、②绝对值的意义列式计算即可；③对绝对值的理解即可解答； （2）根据上步计算过程，联系绝对值的知识进行总结归纳即可； （3）①根据绝对值的定义先去掉绝对值号，然后解方程即可求出a的值； ②根据绝对值表示的含义求解即可． 【详解】（1）解：①表示和的两点之间的距离是； ②表示和的两点之间的距离是， ③可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 故答案为：4，7，，． （2）解：可知数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． （3）解：由题意可得，或，求出的值10或； 根据绝对值的几何意义，当时，的最小值是． 学科网（北京）股份有限公司 $$