12.3 角的平分线的性质-【提优精练】2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

智学酷提优精练数学八年级上册(RJ) 12.3 角的平分线的性质 优基础培优题 挖抵教材，高于牧材 一题两用（理解知识·激活思维） 1.在△ABC中，∠ACB=90 A.4 B.3 C.2 D.1 4.(教材P48下面思考变式)如图，OP为 图① 图四 ∠AOB的平分线，PC⊥OA,PD⊥OB,垂足 基础设问 分别是C,D,则下列结论错误的是() 1)如图①，若AM平分∠CAB交CB于 点M,MN⊥AB于点N,CM=2,则 MN= D B (2)如图①，若点M在BC上，MN⊥AB 于点N,AC=AN,则∠CMA与∠NMA A.PC=PD 的大小关系是 B.∠CPD=∠DOP 延展设问 C.∠CPO=∠DPO (3)如图②，在△ABC中，∠ACB=90°， D.OC=OD AB=13,AC=5,BC=12,O是∠ABC 5.如图（示意图），在△ABC中，CD是AB边上 的平分线与∠CAB的平分线的交点，则 的高，BE平分∠ABC,交CD于点E.若 点O到边AB的距离为 BC=5,DE=2,则△BCE的面积为 知识点一三用尺规作已知角的平分线 2.如图，AB∥CD,以点A为圆心，小于AC长 D 为半径画弧，分别交AB,AC于E,F两点 再分别以E,F为圆心，大于EF的长为半 径画弧，两弧交于点P,作射线AP,交CD于 知识点三角的平分线的判定 点M,若∠C=150°，则∠CMA等于 6.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示， 到∠AOB两边距离相等的点应是() M D B 知识点二角的平分线的性质 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6,DC 吉AD,BD平分∠ABC,则点D到AB的距 A.点M B点N 离等于 C点P D.点Q ◆36 第⊕治章 全等三角形 7.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于点C,QD⊥OB 于点D,若QC=QD,则∠AOQ= A.111 B.1:2:3 C.2:3:4 D.3:4:5 11.如图（示意图），AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB于点E,S△=10，DE=2, D B AB=4,则AC的长是 () 8.如图，在△ABC中，外角∠CBD和∠BCE 的平分线交于点F,且FM⊥AD于点M, FN⊥AE于点V.求证：点F在∠BAC的平 分线上 B A.9 B.8 C.7 D.6 12.如图，AD平分∠BAC,BD平分∠ABC,DE⊥1 D AB,垂足为E.若△ABC的周长为54cm,面积 为108cm,则DE= cm 中数数字科技 13.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP 与内角∠ABC的平分线BP交于点P.若 ∠BPC=36°，则∠CAP= 忧能力提升题 综合应用，提升能力 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，利用尺规 在BC,BA上分别截取BE,BD,使BE= C 14.(棕合与实践)没有量角器，利用刻度尺或三 BD,分别以D,E为圆心，以大于DE的长 角尺能画出一个角的平分线吗？下面是小 为半径画弧，两弧在∠CBA内交于点F,作 彬与小红的画法，他们的画法正确吗？请与 射线BF交AC于点G.若CG=2,P为AB 同伴交流一下你的判断，并说明这些画法的 上一动点，则GP可能的值为 道理。 (1)小彬的画法如下： ①如图①，利用刻度尺在∠AOB的两边 OA,OB上分别取OC,OD,使OC=OD: ②连接CD,利用刻度尺画出CD的中点E; A.1 B.1.5 C.1.8 D.2.5 ③画射线OE,则射线OE为∠AOB的平 10.如图，△ABC的三边AB,BC,AC的长分别 分线. 为12,18,24，O是△ABC三条角平分线的交 (2)小红的画法如下： 点，则Senw:S△：S△ax= ①如图②，利用三角尺在∠AOB的两边 37 智学酷提优精练数学八年级上册(RJ) OA,OB上分别取OM,ON,使OM=ON: 16.如图，P为OC上一点，PD=PE,∠ODP ②分别过点M,N画OM,ON的垂线，交 与∠OEP互补. 点为P:③画射线OP,则射线OP为 求证：OP平分∠AOB. ∠AOB的平分线， N B 图① 图② 优素养创新题 桃战创新，素养发展 17.(探究题)已知∠MON=a,P 是∠MON的平分线上一点， 点A在射线OM上，作 ∠APB=180°-a,交直线 ON于点B,PC⊥ON于点C (1)如图①，若∠MON=90°，求证：PA=PB. (2)如图②，若∠MON=60°，写出线段OB, 15.如图，在△ABC中，D为BC OA和BC之间的数量关系，并说明理由. 的中点，DE⊥BC交∠BAC (3)如图③，若∠MON=60°，点B在射线 的平分线于点E,EF⊥AB交 ON的反向延长线上，(2)中的结论还成立 AB的延长线于点F,EGI 吗？若不成立，请直接写出线段OB,OA和 AC于点G.求证：BF=CG. BC之间的数量关系（不需要证明）， G C BO C 中数数字科技 图① 图② 图③ ◆38因为$DF-$DG. FDE=GDE-90{* $ 所以点D到AC,AB,BC的距离相等,都为 DE-DE. DE的长. 所以△EDF2△EDG(SAS). 因为△ABC的周长为54cm,面积为 所以EF-EG. 108 cm. 在△BEG中,BG+BE>EG 因为EF=EG,BG=CF. 所以S△uc-Sae+Sacoa+Saoa 所以BE+CF>EF. 12.3 角的平分线的性质 1.(1)2(2)CMA- NMA (3)2 2.15{* 3.C 4.B 5.5 6.A 7.35* 8.证明:如图,过点F作FO1BC于点O. 所以DE-4cm. 13.54 解析:如图,过点 P作PF BA于点 F.PN BD于点N.PM AC于点M.设 PCD-x”。 数数字科技 因为BF 平分 /CBD,CF平分 BCE FM I AD.FN IAE. 所以FM=FO,FO-FN. D 所以FM-FN. 所以点F在BAC的平分线上. 因为CP平分/ACD. 9.D 解析:由题中作图过程可知,BG是 所以 ACP=/PCD=”.PM=PN ABC的平分线.因为当GP 1AB时,GP 所以 /ACD= ACP+PCD=2* 取最小值,所以GP的最小值一CG一2.故 因为BP乎分/ABC. 选D. 所以 ABP- PBC,PF-PN 10.C 解析:因为O是△ABC三条角平分线的 所以PF-PM. 交点,所以点O到入ABC三边的距离相等, 又因为PF 1 BA,PM |AC. 所以Sow·Soc.Soc=AB:BC: 所以AP平分/FAC. 所以/FAP=/PAC AC-12:18:24-2:3:4. 中数数字科 11.D 解析:过点D作DF |AC于点F(图略). 因为 /BPC-36{. 因为AD是△ABC的角平分线,DE1AB. 所以 ABP- PBC-x*-36° 所以DF-DE-2. 所以 BAC- ACD- ABC=2r^*- (r*-36)-(*-36)-72 因为Sn= 所以CAF-108*。 Sc-10. 所以CAP-FAP-54 所以S△c=Sc-Swn-10-4-6 14.解:(1)小彬的画法正确 fOC-OD. 在△COE和△DOE中.CE一DE, 所以AC-6. OE-OE, 12.4 解析:连接CD(图略). 所以△COE△DOE(SSS). 因为AD平分 BAC,BD平分 ABC. 所以COE=DOE 中数数字科 *24- 所以OE是/AOB的平分线 所以 APB-90{}CPD=360*- (2)小红的画法正确 PDO- DOC- PCO=90”. OP=OP. 在Rt△POM和Rt△PON中. 所以 APB- DPB=CPD- DPB, OM-ON. 即/APD-/BPC. 所以Rt△POM2Rt△PON(HL). 在△APD和△BPC中, 所以 MOP= NOP. APD- BPC. 所以OP是AOB的平分线. PD-PC. 15.证明:连接BE,EC(图略). ADP- BCP. 由ED1BC,且D为BC的中点: 所以△APD△BPC(ASA). 易证BEDACED. 所以PA-PB 所以BE-CE. 因为EF] AB,EGAC,且 AE平 ##### 分乙BAC, ### 所以FE-GE BE-CE. 在Rt△BFE和Rt△CGE中. FE-GE, 图① 图② 所以Rt△BFE2Rt△CGE(HL). 所以BF-CG. (2)解:OA=OB+2BC.理由如下: 16.证明:如图,过点P作PM1OA,PN1OB,垂 如图②,过点P作PD OM于点D 足分别为M.N,则 PMD=PNE=90° 因为P是MON的平分线上一点,PC1 ON.PD IOM. 所以 PC=PD, PDO= ADP= 乙PCO-90”. 因为 MON=60{*}=.{APB=180{*-$$ 所以APB=120”。CPD=360*- 因为 ODP+ /PEN=180{./ODP+ PDO- DOC-PCO=120{。 乙PDM-180*. 所以 APB- DPB= CPD- DPB, 所以PEN= PDM. 即APD=BPC. 在△PDM和△PEN中. 数 在△APD和△BPC中. PMD-PNE. (乙APD=乙BPC, 中数数字科 PDM- PEN. IPD-PE. {PD-PC. ADP= BCP, 所以△PDM2△PEN(AAS). 所以PM-PN. 所以△APD△BPC(ASA). 又因为PM1OA,PN 1OB. 所以AD-BC 所以OP平分乙AOB. 在Rt△OPD和R△OPC中. OP-OP. 17.(1)证明:如图①,过点P作PD1OM于 PD-PC. 点D. 所以Rt△OPD2Rt△OPC(HL). 因为P是MON的平分线上一点,PC1 所以OD-OC ON.PD |OM. 所以OA-AD=OB+BC. 所以 PC=PD,PDO=ADP 所以OA-OB+2BC. PCO-90{。 (3)解:不成立 因为 MON-90”-a.乙APB-180*-, OA-2BC-OB. 中数数字科 25 善