专题培优 全等三角形的常见模型-【提优精练】2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

[AB-DA. DPB-CPB. 在△ABG和△DAC中, ABG= DAC, 在△BDP和△BCP中 PB=PB, BG=AC. 3-4. 所以△ABG△DAC(SAS). 所以△BDP△BCP(ASA). 所以 G- ACD (2)由(1)知,△BDP△BCP. 因为 ACG-180$- $ACB-90 所以DP=CP. 所以 ACD+/GCD=90*.$$$ [AP-AP, 所以 G+GCD=90$$ 在△ADP和△ACP中, 1-乙2 所以直线AF1CD. DP-CP. 所以△ADP△ACP(SAS). 所以AD=AC. 5.证明:连接CD(图略). CG CE-CF, 在Rt△ECD和Rt△FCD中, 专题培优 全等三角形的常见模型 CD=CD. 1.证明:因为点E是AC的中点; 所以Rt△ECD:2Rt△FCD(HL). 所以AE-FC. 所以 CDE- CDF. 因为D是AB的中点; 因为BA | AC,DE |AC. 中数数字科 所以 BAE= DEC-90{$ 所以AD-BD. 在△ABE和△EDC中. 又因为CA=CB,CD-CD. [BAE- DEC, 所以△ACD△BCD(SSS) B- D. 所以CDA=CDB. AE-EC. 所以 CDA- CDF= CDB-CDE,即 所以△ABE△EDC(AAS) 乙ADF= BDE. 所以BE-DC. 6.证明:因为AB AC,AD ]AE. 2.解:AC=DF,AC//DF. 所以BAE +CAE=90{,BAE+ 证明:因为BE一CF. BAD-90. 所以BF+FC=CF+FC,即BC=FF 所以/CAE-/BAD (AB=DE, (ABD= ACE. 在△ABC和△DEF中, B=DEF, 在△ABD和△ACE中.AB=AC. BC-EF: BAD= CAE. 所以ABCDEF(SAS). 所以ABDACE(ASA). 所以AC-DF,ACB- F 所以BD-CE. 所以AC/DF. 7.证明:设BF交AE于点O 3.证明:因为 1-2. 因为 BAC= DAE. 所以 ADC=/AEB. 所以 BAC- DAC= DAE- DAC. (乙A=乙A. 即BAD- CAE AEB=乙ADC. 在△ABE和△ACD中. (AB-AC. BE-CD. 在△BAD和△CAE中.BAD=CAE. 所以/ABF2ACD(AAS) AD-AE, 所以AB-AC. 所以△BAD2△CAE(SAS) 4.证明:(1)因为1-2 所以 ADB= AEC 所以 DPB=CPB. 所以 ADO-FEO 中数数字科 * 20- 因为/AOD=/FOF. 所以 A= D.因为AC-DF, 所以 DAO=F. 所以AC-FC-DF-FC,即AF-DC 因为 DAO-BAC. [AF-DC. 所以 /F-/BAC 在△ABF和△DEC中. A=乙D. 8.(1)证明:因为 BAC- DAE. AB-DE. 所以 BAC- DAC- DAE- DAC. 所以△ABFC△DEC(SAS). 即 BAD- CAE 所以 AFB= DCE 在△ABD和△ACE中. 所以 BFC-/ECF. [AB-AC, 所以BF/CE BAD-CAE, 10.证明:因为DEC=DEF+CEF= AD-AE, BDE+ B./DEF= B. 所以 /BDE=/CEF 所以△ABD△ACE(SAS). 所以 B- ACE. 在△BDE和△CEF中. 因为乙BCE-a. B=/C. BDE=CEF. 所以 ACB十 ACE-a. IED-FE. 所以 B十乙ACB-a. 所以△BDE△CEF(AAS). 因为 BAC+B+ACB=180{ 所以BD=CE,BE-CF. BAC-. 所以BC=CE+BE=BD+CF 所以a十③-180”。 11.(1)证明:因为BDI直线n.CEI直线m. (2)解:a一3.如图 所以 BDA-AEC-90” 因为BAC- DAE. 因为 BAC-90*, 所以 BAC- BAE=DAE- BAE. 所以 BAD+CAE-90{。 即/EAC= DAB. 因为 BAD+ABD-90{$ {AD-AE, 所以CAE= ABD 在△ABD和△ACE中. DAB-EAC. 在Rt△ADB和Rt△CEA中. AB-AC. BDA-乙AEC, 所以△ABD△ACE(SAS). ABD-CAE. 所以ABD=ACE. AB-CA. 因为 ABD= BAC+ ACB 所以Rt△ADB:2Rt△CEA(AAS). 所以 BAC+ACB= ACE=ACB十BCE 所以AE-BD,AD-CE. 所以 BAC= BCE,即。-$$ 所以DE-AE+AD-BD+CE (2)解:成立,证明如下: 因为 BDA- BAC-. 所以 ABD+BAD= BAD+CAE= 180*-. 所以/CAE= /ABD 在△ADB和△CEA中. BDA-AEC. 9.证明:因为AB1 BC,DE1 EF. ABD- CAE, 所以 ABC=/DEF-90” AB-CA. (AB-DE. 所以△ADB2△CEA(AAS). 在Rt△ABC和Rt△DEF中, AC-DF, 所以AE-BD,AD-CE. 所以DE-AE+AD-BD+CE. 所以Rt△ABC2Rt△DEF(HL) 数数字科 *21-智学酷提优精练数学八年级上册(RJ) 专题培优！全等三角形的常见模型 模型一平移模型 模型二对称模型 沿同一直线平移可得两三角形重合 沿公共边所在直线（或垂直平分线）或经 解題思路：加（减）公共部分可得线段相 过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形重合 等，利用平行线的性质找对应角相等 解题思路：(1)找公共角、垂直、对顶角等 常见图形如下： 条件得对应角相等：(2)我公共边、中点、相等 边、线段的和差等条件得对应边相等。 常见图形如下： B C(B)C B A(A) 图① 图② B 图① 图② B A( 图③@ 1.如图，点E是AC的中点，BA⊥AC于点A, B(C) C(B) DE⊥AC于点E,∠B=∠D.求证： 图③ 图④ BE=DC. 3.如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC 上，且满足BE=CD,∠1=∠2.求证： AB=AC. 2.如图，点E,C在BF上，BE=CF,AB= DE,∠B=∠DEF,判断AC与DF之间的 关系，并证明。 ◆30 第⊕为章 全等三角形 4.如图，在四边形ACBD中，点P在对角线 常见图形如下： AB上，连接PC,PD,∠1=∠2.∠3=∠4 求证：(1)△BDP≌△BCP: (2)AD=AC. 图① 图② A( 中数数字剂技 图③ 图④ 图⑤ 图⑥ 5.如图，在△ABC中，CA=CB,D是AB的中 点，∠CED=∠CFD=90°，CE=CF.求证： ∠ADF=∠BDE. B (P)P 中数数 图⑦ (1)手拉手全等（△ABP≌△A'B'P'): (2)手拉手线相等(AB=A'B). 6.如图，AB=AC,AB⊥AC,AD⊥AE,且 ∠ABD=∠ACE.求证：BD=CE. 模型三手拉手模型（共顶点旋转模型） 两个具有公共顶点的多边形，在绕着公共 顶，点旋转的过程中，产生伴随的全等三角形， 这样的图形称为共，点旋转模型，为了更加直观， 我们称其为“手拉手”模型，一般有一对相等的 角隐含在平行线、对顶角、某些角的和或差中 解题思路：加（减）共顶点的角的共角部分 得一组对应角相等， 31 智学酷提优精练数学八年级上册(RJ) 7.如图，AB=AC,AD=AE,∠BAC= 模型四不共顶点旋转模型 ∠DAE,延长BD交CE的延长线于点F. 解题思路：①加（减）公共部分得对应线段 求证：∠F=∠BAC. 相等：②利用平行线的性质找对应角相等 常见图形如下： 中数数字技 图① 图@ 9如图，A,F,C,D四点在同一条直线上， AB⊥BC,DE⊥EF,AC=DF,AB=DE.连 接BF,CE.求证：BF∥CE. 8.如图，在△ABC中，AB=AC, D是直线BC上的一点（不与 点B,C重合)，以AD为一边 在AD的右侧画△ADE,使 AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.设 ∠BCE=a,∠BAC=3. (1)当点D在线段BC上移动时，求证：a十 3=180° (2)当点D在射线BC的反向延长线上移动 时，a,3有怎样的数量关系？说明理由. 中数数字科 B 模型五一线三等角模型 “一线三等角”是一个常见的模型，两个相 等角的一边在同一条直线上，另一边在该直线 的同侧或异侧，第三个与之相等的角的顶点在 前面相等两角的顶点所确定的线段或线段延 长线上，两边分别位于直线的同侧或异侧，且 与两等角的两边相交（一条直线上有三个相等 的角一般可证全等). 对于“一线三等角”有的叫“K型图”，也有 的叫“M型图”. ◆32 第为章 全等三角形 忧 常见图形如下： 11.(1)如图①，在△ABC中， (1)锐角型：△APC≌△BDP ∠BAC=90°，AB=AC,直线 D m经过点A,BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为D, (2 E.求证：DE=BD十CE. (2)如图②，将(1)中的条件改为在△ABC 图① 图② 中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m (2)钝角型：△APC≌△BDP 上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,其 中&为任意钝角，请问结论DE=BD十CE 是否成立？若成立，请给出证明：若不成 立，请说明理由. 图① 图② (3)直角型（一线三垂直）：△ABC≌△CDE 图① 图② 图① 图② 10.如图，在△ABC中，点D,E,F分别在边 中数数字 AB,BC,AC上，且ED=FE,∠DEF= ∠B=∠C.求证：BC=BD+CF. 中数数字科技 2 中数 中数数字科技 33