专题培优 构造全等三角形的常用方法-【提优精练】2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

智学酷提优精练数学八年级上册(RJ) 专题培优构造全等三角形的常用方法 方法一一翻折法 方法三构造基本图形法 1.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线， 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= AD⊥BE,垂足为D. BC,∠B=45°，D为BC的中点，CE⊥AD 求证：∠2=∠1+∠C. 于点E,延长CE交AB于点F,连接DF,求 证：∠ADC=∠BDF. 中数数 D 方法二旋转法 中数数字 2.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C ∠D=90°，AB=AD,E为BC上的一点，F 方法四截长补短法 为CD上的一点，BE+DF=EF,求∠EAF 4.如图，在△ABC中，AB>AC,∠1=∠2，P 的度数. 为AD上任意一点： 求证：AB-AC>PB-PC. 中数数字科技 中数 34 第为章 全等三角形 忧 5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,AC= 7,(综合与实践)某数学兴趣小组 AB+BD,判断∠B和∠C的数量关系，并说 在一次活动中进行了探究试验 明理由. 活动. 【探究与发现】 (1)如图①，AD是△ABC的中线，延长AD 至点E,使ED=AD,连接BE,求证： △ACD≌△EBD. 中数数字剂技 【理解与应用】 (2)如图②，EP是△DEF的中线.若EF= 5,DE=3,求EP的取值范围. (3)如图③，AD是△ABC的中线，E,F分别 在AB,AC上，且DE⊥DF.求证：BE+ CF>EF. 方法五倍长中线法 6.如图，CE,CB分别是△ABC,△ADC的中 线，且∠ACB=∠ABC,AB=AC. 求证：CD=2CE. 图① 图网 图③ 中数数字科技 中数/存科技 中数数字科技专题培优构造全等三角形的常用方法 3证明：如图，过点B作BG⊥CB,交CF的延 1.证明：如图，延长AD交BC于点F. 长线于点G. G B 因为BE平分∠ABC, D 所以∠ABE=∠CBE, 因为∠ACB=90°，CF⊥AD, 因为BD⊥AD, 所以∠CAD+∠ADC=∠BCG十∠ADC= 所以∠ADB=∠FDB=90°. 90°. 在△ABD和△FBD中， 所以∠CAD=∠BCG. ∠ABD=∠FBD, 在△ACD和△CBG中， BD=BD. ∠CAD=∠BCG. ∠ADB=∠FDB=90, AC=CB. 所以△ABD≌△FBD(ASA). ∠ACD=∠CBG=90°， 所以∠2=∠DFB. 所以△ACD≌△CBG(ASA). 又因为∠DFB=∠1+∠C, 所以CD=BG,∠ADC=∠G. 所以∠2=∠1+∠C. 因为D为BC的中点，所以CD=BD 2.解：如图，延长CB到点H,使BH=DF,连 所以BG=BD. 接AH. 因为∠ABC=45, 所以∠FBG=∠FBD=45. BG=BD. 在△BFG和△BFD中， ∠FBG=∠FBD, H:--B E BF=BF. 所以△BFG≌△BFD(SAS). 因为∠ABE=90°，∠D=90, 所以∠G=∠BDF. 所以∠ABH=∠D=90. 所以∠ADC=∠BDF 在△ABH和△ADF中， 4.证明：如图，延长AC至点M,使AM=AB, (AB=AD. 连接PM. ∠ABH=∠D=90°， BH=DF. 所以△ABH≌△ADF(SAS)】 所以AH=AF,∠BAH=∠DAF 所以∠BAH+∠BAF=∠DAF+∠BAF 即∠HAF=∠BAD=90° 因为BE十DF=EF。 所以BE+BH=EF,即HE=EF AH=AF. AB=AM. 在△AEH和△AEF中，{AE=AE. 在△ABP和△AMP中，∠1=∠2， EH=EF. AP=AP. 所以△AEH≌△AEF(SSS). 所以△ABP≌△AMP(SAS), 所以∠EAH=∠EAF 所以PB=PM. 所以∠EAF=2∠HAF=45 在△PCM中，根据三角形的三边关系 得CM>PM-PC, 22 所以AM-AC>PB-PC 所以∠A=∠EBF,AC=BF, 所以AB-AC>PB-PC. 因为∠ABC=∠ACB, 5.解：∠B=2∠C.理由如下： 所以∠CBD=∠A+ ∠ACB=∠EBF+ 如图，在AC上取一点E,使AE=AB,连接 ∠ABC=∠CBF. DE,过点E作EF⊥CD,垂足为点F,则 因为CB是△ADC的中线， ∠EFD=∠EFC=90°· 所以AB=BD 因为AB=AC,AC=BF, 所以BF=BD. (CB=CB. 在△CBF和△CBD中，∠CBF=∠CBD. D BF=BD. 因为AD平分∠BAC, 所以△CBF≌△CBD(SAS), 所以∠BAD=∠EAD 所以CD=CF=CE+EF=2CE. (AB-AE. 7.(1)证明：因为AD是△ABC的中线， 在△ADB和△ADE中，∠BAD=∠EAD, 所以CD=BD. AD-=AD. 在△ACD和△EBD中， 所以△ADB≌△ADE(SAS). 因为CD=BD,∠ADC=∠EIDB,AD=ED, 所以BD=ED,∠B=∠AED 所以△ACD≌△EBD(SAS. 因为AC=AB+BD,AC=AE+CE, (2)解：如图①，延长EP至点M.使PM=EP 连接DM.则EM=2EP. 所以AB十BD=AE十CE. 所以BD=CE. 因为EP是△EFD的中线， 所以FP=PD. 所以DE=CE. 在△EPF和△MPD中， 在R△DEF和R△CEF中，EF=EF, DE=CE. 因为EP=MP,∠EPF=∠MPD,FP=DP, 所以△EPF≌△MPD(SAS),. 所以R1△DEF≌RI△CEF(HL). 所以DM=EF=5. 所以∠FDE=∠C 在△EMD中，DM-ED<EM<ED+DM, 因为∠C+十∠FDE=∠AED,∠B=∠AED, 所以5-3<2EP<5+3. 所以∠B=2∠C. 所以1<EP<4. 6.证明：如图，延长CE到点F,使EF一CE,连 接FB. 图① 图② (3)证明：如图②，延长FD至点G,使得 GD=DF,连接BG,EG. 因为AD是△ABC的中线， 因为CE是△ABC的中线， 所以DC=DB. 所以AE=BE 在△DFC和△DGB中， (AE=BE, 因为DF=DG,∠CDF=∠BDG,DC=DB, 在△AEC和△BEF中，{∠AEC=∠BEF, 所以△DFC2△DGB(SAS), EC-EF. 所以CF=BG. 所以△AEC2△BEF(SAS), 在△EDF和△EDG中， 23 因为DF=DG,∠FDE=∠GDE=90°， 所以点D到AC,AB,BC的距离相等，都为 DE=DE. DE的长. 所以△EDF≌△EDG(SAS), 因为△ABC的周长为54cm,面积为 所以EF=EG 108cm2. 在△BEG中，BG+BE>EG. 因为EF=EG,BG=CF, 所以S△Mr=S△Ax十S△n十S△Mw 所以BE+CF>EF, 12.3角的平分线的性质 -AC,DE+BC·DE+AB,DE 1.(1)2(2)∠CMA=∠NMA(3)2 -DE (AC+BC+AB). 2.15°3.C4.B5.56.A7.35 8.证明：如图，过点F作FO LBC于点O. 中108=号DE×5. 所以DE=4cm. 13.54解析：如图，过点P作PF⊥BA于点 F,PN⊥BD于点N,PM⊥AC于点M.设 D ∠PCD=x° 因为BF平分∠CBD,CF平分∠BCE, FM⊥AD.FN⊥AE. 所以FM=FO,FO=FN. D 所以FM=FN, C N 所以点F在∠BAC的平分线上. 因为CP平分∠ACD, 9.D解析：由题中作图过程可知，BG是 所以∠ACP=∠PCD=x",PM=PN. ∠ABC的平分线.因为当GP⊥AB时，GP 所以∠ACD=∠ACP+∠PCD=2x. 取最小值，所以GP的最小值=CG=2.故 因为BP平分∠ABC, 选D. 所以∠ABP=∠PBC,PF=PN. 10.C解析：因为O是△ABC三条角平分线的 所以PF=PM. 交，点，所以点O到△ABC三边的距离相等， 又因为PF⊥BA,PM⊥AC 所以S△0m:SMr￥S△0e=AB:BC: 所以AP平分∠FAC. AC=12:18:24=2:3:4. 所以∠FAP=∠PAC. 11D解析：过点D作DF⊥AC于点F(图略). 因为∠BPC=36°， 因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB, 所以∠ABP=∠PBC=x°-36 所以DF=DE=2. 所以∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°- 周为5m-号AB,DE-×4X2- (.x°-36)-(x°-36)=72 所以∠CAF=108 S△=10， 所以∠CAP=∠FAP=54 所以S△c=S△Ar-S△w=10-4=6. 14.解：(1)小彬的画法正确。 所以宁AC.DF=6,即号ACX2=6 1 OC-OD. 在△COE和△DOE中，CE=DE, 所以AC=6. OE=OE. 12.4解析：连接CD(图略)， 所以△COE≌△DOE(SSS). 因为AD平分∠BAC,BD平分∠ABC, 所以∠COE=∠DOE. 24