第4课时 三角形全等的判定(HL)-【提优精练】2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

所以∠DBG=∠C 180, 因为点D是BC的中点， ∠BEC+∠BCE+∠CBE=180°， 所以BD=CD, ∠ACB=∠BCE+∠ACF, ∠BDG=∠CDF, 所以∠CBE=∠ACF. 在△DBG和△DCF中， BD-CD. I∠EBC=∠FCA, ∠DBG=∠C. 在△BCE和△CAF中. ∠BEC=∠CFA, 所以△DBG≌△DCF(ASA). BC-CA. 所以BG=CF. 所以△BCE2△CAF(AAS), (2)解：BE+CF>EF,理由： 所以BE=CF,CE=AF, 因为由(1)，知△DBG≌△DCF, 所以EF=CF一CE=BE一AF 所以DG=DF 当点E在点F右侧时，同理可证EF= 因为DE⊥DF, AF-BE. 所以∠EDG=∠EDF=90 综上，BE=CF,EF=|BE-AF| 又因为ED=ED, (2)猜想：EF=BE十AF 所以△EDG2△EDF(SAS). 第4课时三角形全等的判定(HL) 所以EG=EF. 1.(1)AB=CD (2)30 在△EBG中，BE+BG>EG. (3)AB∥CD 又因为BG=CF,EG=EF, 2.C 所以BE十CF>EF. 3.证明：因为AD是△ABC的高， 10.解：(1)①当点E在点F左侧时，如图所示. 所以∠ADB=∠ADC=90° 证明如下： 在R△BFD和R△ACD中，FD=CD, BF=AC. 因为BE⊥CD,AF⊥CD, 所以∠BEC=∠AFC=90°， 所以Rt△BFD2R1△ACD(HL). 所以∠CBE+∠BCE=90. 4.B 因为∠BCA=90°， 5.证明：(1)因为AB⊥AC,AC⊥DC, 所以∠BCE+∠ACF=90°， 所以∠BAC=∠DCA=90. 所以∠CBE=∠ACF 在Rt△BAC和Rt△DCA中， ∠EBC=∠FCA, 因为BC=DA,AC=CA, 在△BCE和△CAF中， ∠BEC=∠CFA, 所以Rt△BAC≌R△DCA(HL). BC=CA. 所以AB=CD. 所以△BCE≌△CAF(AAS), (2)由(1)知，R△BAC2Rt△DCA, 所以BE=CF,CE-AF, 所以∠ACB=∠CAD 所以EF=CF一CE=BE一AF 所以AD∥BC. 当点E在点F右侧时，同理可证EF= 6.D解析：因为BE⊥AD,CF⊥ADAB=DC AF-BE. 综上，BE=CF,EF=|BE-AFI 所以∠AEB=∠CFD=90. 选择①可利用AAS证明R1△ABE≌ B Rt△DCF:选择②可得∠A=∠D,可利用 AAS证明R1△ABE≌Rt△DCF:选择③可 利用HL证明Rt△ABE≌Rt△DCF:选择④ 可得AE=DF,可利月HL证明Rt△ABE☑ ②@∠a+∠BCA=180 Rt△DCF. 当点￡在点F左侧时，如题图②， 7.B解析：连接BD(图略) 因为∠BEC=∠CFA=∠a,∠a十∠ACB 因为DE⊥AB ◆18 所以∠BED=∠C=90 AE=CF. 在Rt△BED和Rt△BCD中， 在R△ABE和R△CBF中，AB=CB. BE=BC. 所以R△ABE≌R△CBF(HL). BD=BD. (2)解：AE⊥CF理由：延长AE交CF于点 所以Rt△BED≌RI△BCD. D(图略). 所以DE=DC. 因为R△ABE≌Rt△CBF, 所以AD十DE=AD+DC=AC=8. 所以∠BAE=∠BCF 8.42°解析：因为∠AFD=132, 又因为∠AEB=∠CED, 所以∠CFD=180'-∠AFD=48°. 所以∠ABE=∠ADC=90. 图为FD⊥BC,DE⊥AB, 所以AE⊥CF, 所以∠FDC=∠DEB=∠FDB=90 (3)解：因为Rt△ABE≌R1△CBF, 在R△BDE和R△CFD中.BD=CF, 所以∠BAE=∠BCF=25. BE=CD. 因为AB=BC,∠ABC=90 所以Rt△BDE≌R1△CFD(HL), 所以∠ACB=45. 所以∠BDE=∠CFD=A8, 所以∠ACF=25°+45=70 所以∠EDF=∠FDB-∠BDE=9O°- 12.证明：(1)因为AC⊥BC, 48°=42 所以∠ACB=90°=∠E. 9.7解析：因为AB⊥PQ, (AB=AD. 所以∠EBC=90 在R△ABC和R△ADE中，BC=DE, 因为MN∥PQ. 所以Rt△ABC≌R1△ADE(HL). 所以∠DAE=180°-∠EBC=90. 所以AC=AE. 在R△ADE和R△BEC中，AD-BE, DE=EC. (2)如图，延长AF,BC交于点G. 所以Rt△ADE≌R△BEC(HL). 因为AC⊥BC, 所以AE=BC. 所以∠ACB=90 图为AD十BC=7, 所以∠ABC+∠BAC=90 所以AB=BE+AE=AD+BC=7. 由(1)，得RI△ABC≌Rt△ADE. 10,证明：因为AD,AF分别是钝角三角形ABC 所以∠BAC=∠DAE. 和钝角三角形ABE的高， 又因为∠ABC=∠CAD, 所以△ADC,△AFE,△ADB,△AFB均为 所以∠CAD+∠DAE=∠ABC+∠BAC= 直角三角形. 90. 在R1△ADC和R1△AFE中， 所以∠CAE=∠ACB. 因为AD=AF,AC=AE 所以BG∥AE 所以R△ADC≌R△AFE(HL), 所以∠EAF=∠G. 所以CD=EF. 因为AF为△ABE的边BE上的中线， 在R△ABD和R△ABF中， 所以EF=BF 因为AB=AB,AD=AF, ∠AFE=∠GFB. 所以RL△ABD≌Rt△ABF(HL), 在△AEF和△GBF中，∠EAF=∠G, 所以BD=BF EF-BF. 所以BD一CD=BF一EF, 所以△AEF≌△GBF(AAS). 所以BC=BE 所以AE=GB. 之天 11.(1)证明：因为∠ABC=90°， 因为AC=AE 所以∠CBF=90 所以BG=AC. ◆19 (AB-DA. ∠DPB=∠CPB. 在△ABG和△DAC中， ∠ABG=∠DAC, 在△BDP和△BCP中，PB=PB, BG=AC. ∠3=∠4 所以△ABG≌△DAC(SAS). 所以△BDP≌△BCP(ASA). 所以∠G=∠ACD (2)由(1)知，△BDP≌△BCP, 因为∠ACG=180°-∠ACB=90°， 所以DP=CP 所以∠ACD+∠GCD=90°. (AP-AP. 所以∠G+∠GCD=90 在△ADP和△ACP中，∠1=∠2， 所以直线AF⊥CD. DP=CP. 所以△ADP≌△ACP(SAS), 所以AD=AC, 5.证明：连接CD(图略). 在R△ECD和R△FCD中.CD=CD, CE=CF 专题培优全等三角形的常见模型 1证明：因为点E是AC的中点， 所以Rt△ECD≌R△FCD(HL). 所以AE=EC. 所以∠CDE=∠CDF 因为BA⊥AC,DE⊥AC, 因为D是AB的中点， 所以∠BAE=∠DEC=90° 所以AD=BD. 在△ABE和△EDC中， 又因为CA=CB,CD=CD. ∠BAE=∠DEC, 所以△ACD≌△BCD(SSS). ∠B=∠D, 所以∠CDA=∠CDB. AE=EC. 所以∠CDA一∠CDF=∠CDB一∠CDE,即 所以△ABE≌△EDC(AAS). ∠ADF=∠BDE. 所以BE=DC. 6证明：因为AB⊥AC.AD⊥AE, 2.解：AC=DF,AC∥DF 所以∠BAE+∠CAE=90°，∠BAE+ 证明：因为BE=C下， ∠BAD=90°， 所以BE+EC=CF十EC,即BC=EF 所以∠CAE=∠BAD. (AB=DE. |∠ABD=∠ACE 在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF, 在△ABD和△ACE中，AB=AC, BC=EF. ∠BAD=∠CAE· 所以△ABC≌△DEF(SAS). 所以△ABD2△ACE(ASA). 所以AC=DF,∠ACB=∠F. 所以BD=CE. 所以AC∥DF. 7.证明：设BF交AE于点O. 3证明：因为∠1=∠2， 因为∠BAC=∠DAE, 所以∠ADC=∠AEB. 所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, ∠A=∠A, 即∠BAD=∠CAE. 在△ABE和△ACD中， ∠AEB=∠ADC, (AB=AC. BE=CD. 在△BAD和△CAE中，∠BAD=∠CAE. 所以△ABE2△ACD(AAS). AD=AE. 所以AB=AC. 所以△BAD≌△CAE(SAS). 4.证明：(1)因为∠1=∠2， 所以∠ADB=∠AEC. 所以∠DPB=∠CPB. 所以∠ADO=∠FEO. ◆20智学酷 提优精练 数学 八年级 上册(BJ) 第4课时 三角形全等的判定(HL) 基础培优题 挖据教材,高于教材 知识点二-斜边、直角边(HL)的应用 4.如图,在△ABC中.C=90{*},AD=AC.DE 一题两用(理解知识·激活思维) AB交BC于点E,若 /B=28{},则 /AFC= 1.如图,AE1BD,CF1BD,垂足分别为 ( E,F,BE-DF. #行## #7# A.28* B.59* C.60{* D.62。 基础设问 5.如图,AB |AC,AC DC,AD=BC.求证; (1)若用“HL”判定Rt/\AEBRtCFD. (1)AB-CD: 可添加条件 . (2)AD/BC. (2)在(1)条件下,若A=60{,则 D- 延展设问 (3)在(1)条件下,AB与CD的位置关系 为 二科枝 知识点一 斜边、直角边(HL) 2.(教材P42例5变式)如图,AC1BC,BD1 中数数字科技 AD,垂足分别为C.D,要根据“HL”证明 Rt△ABC与Rt△BAD全等,则还需要添加 一个条件是 ( ) 能力提升题 综合应用,提升能力 A. CAB= DBA B.AB-BD 6.如图,已知AB=DC,BE AD于点E C.BC-AD D. ABC- BAD CF AD于点F,有下列条件:① B 3.如图,AD为△ABC的高,E为AC上一点 C;②AB/CD;③BE=CF;④AF-DE BE交AD于点F,且 BF=AC,FD=CD.求 其中,选择一个就可以判断Rt△ABE 证:Rt△BFD-Rt△ACD ( Rt△DCF的是 ) A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②③④ 28第 中数数字科支 中数数字科技 全等三角形 7.如图,在Rt△ABC中,C=90{*},E是AB (2)猜想AE,CF的位置关系,并说明理由. 上一点,且BE=BC,DE|AB于点E.若 (3)若 BAE-25*},求 ACF的度数 AC-8,则AD+DE的值为 ( ) C.9 A.7 B.8 D.10 8.如图,BD=CF,FD |BC于点D,DE 1AB 科枝 于点E,BE=CD,若 AFD=132^*,则$$ EDF- 中数数字科技 #。# 第8题图 第9题图 素养创新题 挑战创新,素养发展 9.如图,MN//PQ.AB PQ:点A.D在直线 12.如图①,在五边形ABCDE中. MN上,点B.C在直线PQ上,点E在AB E-90{},BC=DE,连接AC. 上.AD+BC=7,AD=EB,DE=EC.则 AD.AB-AD.AC BC AB- (1)求证:AC-AE. 10.如图,已知AD,AF分别是钝角三角形 (2)如图②,连接BE,分别交AC,AD于点 ABC和钝角三角形ABE的高,AD一AF. M.N,若 ABC=CAD,AF为△ABE AC-AE.求证:BC-BE. 的边BE上的中线.求证:直线AF |CD. 图① 图② 中数数字科技 中数数科枝 中数数字科支 11.如图,在△ABC中,AB=BC ABC=90{*},F为AB延长 线上一点:点E在BC上,目 AE-CF. (1)求证:△ABE△CBF. 数数学科技