第2课时 三角形的高、中线与角平分线-【提优精练】2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

第什0章 三角形 第2课时 三角形的高、中线与角平分线 基础培优题 挖摇教村，高于教材 △ABC的三条中线，则下列结论正确的是 一题两用（理解知识·激活思维） A.BC=2AD B.AB=2AF 1.如图，已知△ABC,点D,E,F分别在边 C.AD-CD D.BE=CF BC,AB,AC上，且∠ADC=90°，AE BE,∠ABF=∠CBF 第4题图 第5题图 5,如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的 D 三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形 基础设问 卡片的 () (1)△ABC中BC边上的高是线段 A三条高的交点 B三条角平分线的交点 ,AB边上的中线是线段 C.任意一点 D.三条中线的交点 ,∠ABC的平分线是线 知识点三。三角形的角平分线 段 6如图，∠1=∠2，∠3=∠4.下列结论中，错误 (2)若点D与点F同时还是边BC与AC 的是 的中点，则线段AD,CE,BF (填“会”或“不会”)交于同一点，若会，则 这个点是△ABC的 延展设问 (3)若△ACE的面积为6，BC=6,则AD 的长为 A.BD是△ABC的角平分线 知识点三一三角形的高 B.CE是△BCD的角平分线 2.如图，AD⊥BD,GC⊥BD,CF⊥AB,则图中 是△ABC的高的线段有 C∠3=∠ACB D.CE是△ABC的角平分线 G 状能力提升题 综合应用，提升能力 7.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD 的中线，DF是△CDE的中线.若S△F=4, A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 则S△r为 () 3.若一个三角形的三边长的比为2：3：4，则 这个三角形三条边上的高的比为 A.2:3:4 B.6:4:3 C.4:3:2 D.4:9:6 知识点三一三角形的中线 A.16 B.24 4.(数材P5T2(1)变式)如图，AD,BE,CF是 C.32 D.30 3 智学酷提优精练数学八年级上册(RJ) 8.(易错题)在△ABC中，AD是边BC上的高. △PAC的面积为6cm2? 若AD=2,BD=3,CD=1,则△ABC的面 积为 9.如图，DE∥BC,若CD是△ACB的角平分 线，∠B=72,∠AED=40,则∠ADC B 10.已知某等腰三角形的底边长为8，一腰上的 片素养创新题 挑战创断，素养发展 中线把其周长分成的两部分的差为5，求此 13.(探究题)已知等边三角形 等腰三角形的腰长。 ABC和点P,设点P到 △ABC的三边AB,AC,BC 的距离分别为h1,h:,h3, △ABC的高为h. (1)如图①，当点P在边BC上时，此时 h3=0,可得结论 (结论用含 11.如图，AD是△ABC的角平分线，E,F分别 h1,h,h,h的关系式表示). 是边AC,AB上的点，DE∥AB,DF∥AC, (2)如图②，当点P在△ABC内时，此时可 EF交AD于点O. 得结论 (结论用含h1,h, (1)求证：DO是△EDF的角平分线. h3,h的关系式表示). (2)若将(1)中的结论与“AD是△ABC的 (3)如图③，当点P在△ABC外时，上述(2) 角平分线”“DE∥AB”“DF∥AC”中的任何 中的结论是否成立？若成立，请予以证明： 一个条件交换，所得结论正确吗？请选择一 若不成立，请写出h1,h:,h:和h之间的关 个进行证明. 系，并说明理由. 图① 图② 图③ 12.如图，在△ABC中，∠BCA= 90°，BC=6cm,AC=8cm, AB=10cm,CD为△ABC 的高. (1)求△ABC的面积和CD的长. (2)若点P从点A出发，以1cm/s的速度 沿边AB,BC运动，到达点C后即刻停止运 动，设运动时间为1s,则当t为何值时，(c+b)-al=b+c-a+a+c-b+c+ 所以BP,+P,P:+PC<BP,+P,N+ b-a=-a十b+3c. P:N+P:C=BN+CN. (2)因为(6-5)2+1c-71=0. 所以BP,+P1P2+P,C+BC<BN+ 所以b一5=0，c一7=0，解得b=5,e=7. CN+BC<AB+AC+BC. 因为a为方程引a一31=2的解， 即四边形BP:P,C的周长<△ABC的 所以a=5或a=1. 周长 当a=1,b=5.c=7时. 第2课时三角形的高、中线与角平分线 1+5<7,不能构成三角形， 1.(1)AD CE BF 所以a=1不合题意，舍去 (2)会重心(3)4 当a=5,6=5.c=7时 2.B3.B4.B5.D6.D 【易错】本题：的值有两种情况，解凝时要注 7.C解析：图为DF是△CDE的中线， 意分类对论，并要验证是否满足三前形的三 所以CF=EF 边关系，不要漏解，也不要多解， 所以S△T=S△m=4. 5十5>7，能构成三角形， 因为CE是△ACD的中线， 所以a=5. 所以AE=DE. 所以△ABC的周长为5+5+7=17， 所以S△CE=SmE=4+4=8. 此时△ABC是等腰三角形， 因为AD是△ABC的中线， 13.解：(1)BP+PC<AB+AC.理由如下： 所以BD=CD. 在△ABC中，AB+AC>BC. 所以S△A地=S△Mm=8+8=16. 因为BP+PC=BC, 所以S△x=S△Mm十S△Km=16+16=32. 所以BP+PC<AB+AC. 8.4或2解析：当△ABC是锐角三角形时， (2)△BPC的周长<△ABC的周长. 图为BD=3.CD=1, 理由如下： 所以BC=BD十CD=4 如图①，延长BP交AC于点M. 又图为AD是边BC上的高，AD=2, 在△ABM中，BP+PM<AB+AM: 在△PMC中，PC<PM+MC, 所以Sam=BC,AD=专×4X2=4 所以BP+PM+PC<AB+AM+ 当△ABC是钝角三角形，且∠ACB是纯 PM+MC, 角时， 所以BP+PC<AB+AM+MC=AB+AC, 【易错】本题△ABC的形辣并表确定，则高 所以BP+PC+BC<AB+AC+BC, AD有可能在△ABC的内邮，也可能在外第， 即△BPC的周长<△ABC的周长 故需分情况进行讨论，否则会造成漏解， 因为BD=3,CD=1, 所以BC=BD一CD=2. 又因为AD是边BC上的高，AD=2, 图① 所以Sm=号BC·AD=号×2X2=2 图② 综上所递，△ABC的面积为4或2 (3)四边形BP,PC的周长<△ABC的周 9.92°解析：因为DE∥BC.∠B=72°， 长理由如下： ∠AED=40°. 如图②，分别延长BP,,CP:,两线交于 所以∠ADE=∠B=72,∠ACB= 点N. ∠AED=40°，∠EDC=∠DCB. 由(2)知，BN+CN<AB+AC. 因为CD是△ACB的角平分线， 在△NP,P,中， 因为PP<P,N+P:N, 所以∠DCB=2∠ACB=20 2 所以∠EDC=20 所以∠ADC=∠ADE+∠EDC=72°+ 12.解：I)由题意，得△ABC的面积为乞AB· 20°=92 10.解：如图（示意图），设腰AB=AC=x,则 CD=AC·BC=号×8X6=24(cm). AD-DC-立，积据题意，得(AB+AD) 所以cD-2g-48am (BC+CD)=5 (BC+CD)-(AB+ (2)①当点P在AB上时， AD)=5. SAP CD-6cm. 所以AP-2X5=2.5cm. 4.8 所以1=2.5÷1=2.5. ②当点P在BC上时，Se= ①若(AB+AD)-(BC+CD)=5,则(x+ CP=6 cm, 之)-(8+7)=5，解得x=13, 所以Cp=2X6=1.5(cm. 8 所以t=(10+6-1.5)÷1=14.5. 因为8+13>13，所以能构成三角形，故符合 综上所述，当1的值为2.5或14.5时， 题意. △PAC的而积为6cm, ②若(BC十CD)-(AB十AD)=5,则(8+ 13.(1)h=h,十hz十h:解析：如图①，连 接AP 合)-(：+宁)=5，解得x=3 图为S△r=S△A博十S△P, 因为3十3=6<8，所以不能构成三角形，故 所以吃BC·M=2AB·PD+AC, 不符合题意，舍去。 综上所述，此等腰三角形的腰长为13. PE,即吃Ch=专ABA,+方ACa 11,(1)证明：因为AD是△ABC的角平分线， 因为△ABC是等边三角形， 所以∠EAD=∠FAD. 所以BC=AB-AC. 因为DE∥AB,所以∠EDA=∠FAD. 所以h=h1十h: 因为DF∥AC,所以∠EAD=∠ADF. 又因为方1=0，所以h=h1十h十hs, 所以∠EDA=∠ADF. (2)h=h,十h:十h1解析：如图②，连接 所以DO是△EDF的角平分线， AP.BP.CP. (2)解：所得结论正确证明如下： 因为SAe=S△m十S△n十S△a严， 答案不唯一，如将“DO是△EDF的角平分 线”与“DF∥AC”交换 所以号BC·AM-AB·PD+AC: 因为AD是△ABC的角平分线， 所以∠EAD=∠FAD. PE+号BC·PE,即号BC·A=AB· 因为DE∥AB, 所以∠EDA=∠FAD h+ACh:+BCh. 因为DO是△EDF的角平分线， 又因为△ABC是等边三角形， 所以∠EDA=∠ADF. 所以BC=AB=AC. 所以∠EAD=∠ADF 所以h=h:十h:十h 所以DF∥AC (3)解：不成立，h=h,十h:一h.理由如下： 3 如图③，连接AP,BP,CP, 6解：三种方案如图所示（答案不唯一）. 因为S△=S△P+S△MP一S△P· 所以号BC·AM=2AB·PD+AC PE-专BC·PF, 方案一 方案二 方案三 7解：易知四边形木架至少要再钉上1根木条， 即号BC·A=号AB·A:+号AC·A: 五边形木架至少要再钉上2根木条，故八边 形木架至少要再钉上5根木条，九边形木架 号ch 至少要再钉上6根木条，n边形木架至少要再 钉上(m一3)根木条。 又因为△ABC是等边三角形， 8.解：一根3cm长的木条能满足要求.理由 所以BC=AB=AC. 如下： 所以h=h,十h:一hs. 如图，连接AC,BD D 因为BC=8cm.CD=6cm,AB=4cm, 图① 图② AD=5 cm, 所以BC-AB<AC<AB十BC, CD-AD<AC<AD+CD. 所以4cm<AC<12cm,1cm<AC< 11cm, 所以AC的取值范围是4cm<AC<11cm. 同理，BD的取值范围是2cm<BD<9cm 所以将这根3cm长的木条钉在BD上，能把 图③ 这个四边形木框固定 11.2与三角形有关的角 第3课时 三角形的稳定性 第1课时三角形的内角 1.(1)不会(2)会 (3)1 1.(1)80°(2)100°钝角(3)25 2.D3.A 2.B3.C4.19°5.20 4.C解析：当木条钉在H,F两点处时，原长 6.C解析：如图，因为∠3+∠4+∠A=180°， 方形ABCD被分成两个四边形，因四边形不 ∠A=30°.∠4=∠1=84°， 具有稳定性，不能起到稳固的作用，而当木条 所以∠3=180°-∠A-∠4=180°-30°- 钉在E,F两点处或B,D两点处或A,F两 84=66. 点处时，都可以构成三角形，利用三角形的稳 因为直线11∥1， 定性可以起到稳固的作用. 所以∠2=∠3=66. 5.abedef解析：观察图形可知，图形b,d,f中 所加的三根钢管把图形分成的都是三角形， 能保持该六边形钢架稳定且形状不变，a中的 两个三角形具有稳定性，则AC,CE固定不 动，故四边形ACEF具有稳定性，即该六边形 钢架具有稳定性.同理，c,e也具有稳定性.