第05讲 空间直线、平面的垂直（4个知识点+9大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年高一数学寒假衔接讲义（人教版2019必修第二册）

第05讲 空间直线、平面的垂直（4个知识点+9大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 异面直线所成的角的概念及辨析 题型二 求异面直线所成的角 题型三 判断线面是否垂直 题型四 证明线面垂直 题型五 线面垂直证明线线平行 题型六 线面垂直证明线线垂直 题型七 线面垂直证明面面平行 题型八 证明面面垂直 题型九 面面垂直证线面垂直 知识点一 直线与平面垂直的定义 一条直线与一个平面垂直，当且仅当这条直线与平面内任意一条直线都垂直。换句话说，如果一条直线垂直于平面内两条相交直线，那么这条直线就与这个平面垂直。 知识点二 直线与平面垂直的性质 1.无交点性：直线与平面垂直时，它们之间不会有交点，除非直线穿过平面。 投影性质：当一条直线与一个平面垂直时，这条直线在该平面上的投影是一个点。 2.垂线段最短性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 3.相互性：如果一条直线垂直于一个平面，那么该平面也垂直于这条直线。 知识点三 直线与平面垂直的判定方法 1.定义法：根据直线与平面垂直的定义，如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就与这个平面垂直。这种方法适用于能够明确判断直线与平面内两条相交直线垂直的情况。 2.垂线法：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线上任意一点作该平面的垂线，这条垂线与原直线的夹角为90度，即这条垂线与原直线垂直。这种方法常用于解决涉及平行和垂直关系的几何问题。 3.向量法：在空间中，如果直线的方向向量与平面的法向量平行或共线，则这条直线与该平面垂直。这种方法在解决涉及向量运算的几何问题时非常有用。 知识点四 平面与平面垂直 1.定义：两个平面所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角） 2.判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 3.性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 【核心考点一 异面直线所成的角的概念及辨析】 【例1】（24-25高二上·上海·阶段练习）为异面直线，且所成角为，过空间一点作直线，直线与均异面，且所成角均为，若这样的共有四条，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高二上·山西朔州·阶段练习），，是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（    ） A．若直线，异面，，异面，则，异面 B．若直线，相交，，相交，则，相交 C．若，则，与所成的角相等 D．若，，则 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）直线与直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线 直线a与直线b垂直，记作 . 【例4】（22-23高二上·上海普陀·期中）如果异面直线、所成角为，那么的取值范围是 ．(用弧度表示) 【例5】（23-24高一·全国·课堂例题）两不重合的直线所成的角是0°时，两直线的位置关系是什么？ 【核心考点二 求异面直线所成的角】 【例1】（2024高二下·安徽·学业考试）如图，在长方体，中，，，则异面直线CD与所成的角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，若，则异面直线和所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高二上·上海·阶段练习）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也”，意思是：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍是茅草屋顶”.现有一个刍甍如图所示，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【例4】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，异面直线与的夹角是 . 【例5】（24-25高二上·上海·期中）已知正方体 的棱长为2，，分别为，的中点，求异面直线与所成角.    【核心考点三 判断线面是否垂直】 【例1】（24-25高三上·山东潍坊·阶段练习）设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【例2】（24-25高二上·广东韶关·期中）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例3】（24-25高二上·上海·阶段练习）在三棱锥中，有五条棱长均为1，则该三棱锥体积的最大值为 ． 【例4】（2024高三·全国·专题练习）直线与平面垂直的充要条件：直线与平面内的 都垂直.符号表示为：. 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）我们能说若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直吗？ 【核心考点四 证明线面垂直】 【例1】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是弧的中点，设是弧上的一点，且，则与所成角的大小为（   ）    A． B． C． D． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）三棱柱中，平面，，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）如图，在三棱锥中， ，，，为的中点，过作平面，则平面截三棱锥外接球所得截面面积的最小值为 .    【例4】（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长均相等的正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论： ①PC∥平面OMN； ②平面PCD∥平面OMN； ③OM⊥PA； ④直线PD与直线MN所成角的大小为90°. 其中正确结论的序号是 . 【例5】（2024高二上·云南·学业考试）如图，在三棱锥中，，，.    (1)证明：平面； (2)若，，，求三棱锥的体积. 【核心考点五 线面垂直证明线线平行】 【例1】（23-24高二下·贵州铜仁·期末）已知空间中三条不同的直线和平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例2】（23-24高一下·重庆·期末）已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【例3】（2025高三·全国·专题练习）直线与平面垂直 （1）直线和平面垂直的定义：如果直线与平面内的 一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直. （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线与一个平面内的 垂直，那么该直线与此平面垂直 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 【例4】（24-25高二上·上海·阶段练习）垂直于同一平面的两条直线的位置关系是 . 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习） （1）如图，已知直线a，b和平面，如果，，那么直线a，b一定平行吗？ （2）你能证明吗？ 【核心考点六 线面垂直证明线线垂直】 【例1】（24-25高三上·天津和平·阶段练习）已知正方体，，是线段上的点，且，分别过点，作与直线垂直的平面，，则正方体夹在平面与之间的部分占整个正方体体积的（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知三棱柱的棱长均为3，为的中点，在上，且平面，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【例3】（21-22高一下·福建福州·期末）如图，在三棱柱中，已知平面，当底面满足条件 时，有. 【例4】（21-22高二·全国·课后作业）如图，正方体的棱长为，以下结论正确的是 .（填序号） ①异面直线与所成的角为； ②直线与垂直； ③直线与平行. 【例5】（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，平面平面． 证明：； 【核心考点七 线面垂直证明面面平行】 【例1】（2024高二下·湖南株洲·学业考试）垂直于同一直线的两个平面（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面 【例2】（23-24高二上·北京·期中）已知是两个不同的平面，的一个充要条件是（    ） A．内有无数条直线平行于 B．存在平面 C．存在平面，且 D．存在直线 【例3】（24-25高二上·上海·期中）空间中垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是 . 【例4】（21-22高三上·河南开封·阶段练习）已知，是两条直线，、、是三个不同的平面，给出下列命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，且，，则； ④若，为异面直线，且，，，，则． 其中正确命题的序号是 ． 【例5】（22-23高二上·上海闵行·阶段练习）已知四面体的所有棱长为2，E，F分别为棱BC，AD的中点.则 (1)求证直线EF与直线AB是异面直线； (2)求EF和AB所成的角. 【核心考点八 证明面面垂直】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，已知平面，，则图中互相垂直的平面共有（   ）对. A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知m，n是空间中两条不同的直线，平面α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若， 则 B．若， 则 C．若， 则 D．若， 则 【例3】（24-25高三上·福建南平·期中）如图所示，在正方体中，若分别是的中点，则与所成的角为 ；平面与平面关系 .（填垂直或不垂直）.    【例4】（2024高三·全国·专题练习）如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，点是圆上的任意一点，图中有 对平面与平面垂直.    【例5】（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，是正三角形，．证明：平面平面. 【核心考点九 面面垂直证线面垂直】 【例1】（24-25高三上·湖北·阶段练习）如图，底面同心的圆锥高为，A，B在半径为1的底面圆上，C，D在半径为2的底面圆上，且，，当四边形面积最大时，点O到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·四川内江·期中）在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，点为线段中点.在翻折的过程中，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（   ） A．三棱锥的体积最大值为 B．异面直线、所成角始终为 C．翻折过程中存在某个位置，使得大小为 D．点在某个圆上运动 【例3】（2024高三·全国·专题练习）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一个平面经过另外一个平面的一条 ，则这两个平面互相垂直 性质 定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们 的直线垂直于另一个平面 如果则. 【例4】（2024高三·全国·专题练习）已知三棱台的上、下底面均为正三角形，且平面平面，，为的中点，则直线与夹角的余弦值为 ． 【例5】（2024高三·全国·专题练习）如图，正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面平面 (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式训练1 异面直线所成的角的概念及辨析】 1．（22-23高一下·全国·课后作业）在三棱锥A­BCD中，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，若AD与BC所成的角为60°，则∠FEG为（    ） A．30° B．60° C．120° D．60°或120° 2．（22-23高一下·全国·课后作业）已知两异面直线所成的角为，过空间一点作直线，使得与的夹角均为，那么这样的直线有（     ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 3．（24-25高一下·全国·课前预习）异面直线所成的角：如图 定义 前提 两条异面直线a，b 作法 经过空间任意一点P，作直线， 结论 我们把与所成的 叫作异面直线a与b所成的角 范围 记异面直线a与b所成的角为，则 特殊情况 当时，异面直线a，b互相垂直，记作 4．（24-25高一下·全国·课前预习）空间中直线与直线的位置关系 位置关系 是否在同一平面内 公共点个数 共面直线 相交直线 1 平行直线 是 0 异面直线 0 5．（23-24高一·全国·课堂例题）在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置有关系吗？ 【变式训练2 求异面直线所成的角】 1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆柱的母线长为2，底面的半径为，四边形为其轴截面，若点为下底面圆弧的中点，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若都是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏·期末）在正方体中，直线和直线所成的角为 . 4．（24-25高二上·江苏南通·期中）在正四面体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 5．（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍（méng）”的五面体（如图），其中四边形为矩形，.若，和都是正三角形，且，求异面直线与所成角的大小.    【变式训练3 判断线面是否垂直】 1．（2024高三·全国·专题练习）若和分别为空间中的直线和平面，则“”是“垂直内无数条直线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二上·上海·期中）已知直线和平面，则“垂直于内的两条直线”是“”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 3．（2024高三·全国·专题练习）定义：一般地，如果直线与平面相交于一点，且对平面内任意一条过点的直线，都有 ，则称直线与平面垂直（或是平面的一条垂线，是直线的一个垂面），记作，其中为垂足. 4．（24-25高二上·上海·期中）命题：若直线与平面上的无数条直线垂直，则，是 命题（选填“真”或“假”）． 5．（23-24高一·全国·课堂例题）如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，l与α垂直吗？ 【变式训练4 证明线面垂直】 1．（2024高三·全国·专题练习）在中，，是的中点，将沿翻折，若在翻折的过程中，三棱锥体积的最大值为，则当翻折到两点间距离为1时，三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆·期中）正方体的棱长为是的中点，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D．2 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知正方体的棱长为，分别为棱、的中点，为体对角线所在直线上一动点，则△绕直线旋转而成的几何体体积的最小值为 ． 4．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）若在长方体中，.则四面体与四面体公共部分的体积为 . 5．（21-22高一下·江苏扬州·阶段练习）如图所示，平面为圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的任意一点． (1)求证：平面； (2)若为的中点，求证：平面． 【变式训练5 线面垂直证明线线平行】 1．（23-24高二上·北京怀柔·期中）已知表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高三上·福建·开学考试）用a、b、c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题，正确的有（    ） ①若，，则；    ②若，，则； ③若，，则；    ④若，，则. A．①② B．②④ C．①④ D．③④ 3．（24-25高一下·全国·课前预习）直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线 符号语言 若，，则 图形语言 作用 线面垂直线线平行，②作平行线． 4．（24-25高二·上海·随堂练习）已知，，则a与b的位置关系是 ． 5．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在长方体中，棱，，，所在直线都垂直于平面，它们之间具有什么位置关系？ 【变式训练6 线面垂直证明线线垂直】 1．（24-25高二上·河南许昌·期中）在棱长为1的正方体中，点到的距离为（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川成都·期中）在四棱柱中，平面，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为，为侧棱上的动点（包括端点），则（   ）    A．对任意的，存在点，使得 B．当且仅当时，存在点，使得 C．当且仅当时，存在点，使得 D．当且仅当时，存在点，使得 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，矩形ABCD的长，宽，若平面ABCD，矩形的边CD上至少有一个点Q，使得，则x的范围是 . 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）在正方体中，与垂直的面对角线有 条. 5．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，E为的中点. 求证：平面；    【变式训练7 线面垂直证明面面平行】 1．（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）平面，互相平行的一个充分条件是（    ） A．，都垂直于同一平面 B．某一直线与，所成角相等 C．，都平行于同一直线 D．，都垂直于同一直线 2．（21-22高一下·江西上饶·期末）设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 3．（21-22高二上·北京·阶段练习）设，是两个不同的平面，直线l ⊥ α且 ，可以推出“”. 4．（22-23高一上·陕西渭南·期末）下列四个命题： ①平行于同一平面的两个平面平行； ②一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； ③垂直于同一平面的两个平面平行； ④若直线平面，直线平面，则．（是不同的平面） 其中正确命题的序号是 ． 5．（21-22高三上·四川成都·阶段练习）如图，长方体中，，，，，分别是，上的点，且，过直线的平面与，分别交于点，. （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是正方形，求四棱锥的体积. 【变式训练8 证明面面垂直】 1．（23-24高三上·江西九江·期末）已知空间中，是互不相同的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高二上·黑龙江·开学考试）图，在九面体中，平面平面，平面平面，底面为正六边形，下列结论错误的是（    ）      A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 3．（24-25高二·上海·课堂例题）如果四边形ABCD是矩形，SD⊥平面ABCD，D是垂足，那么图中互相垂直的平面的组数是 ． 4．（23-24高一下·福建龙岩·期中）在四面体中，，，平面，分别为线段的中点，现将四面体以为轴旋转，则线段在平面上投影长度的取值范围是 . 5．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，，，，于，沿将折起，使得点到点P位置，，是棱上的动点（与点不重合）.判断在棱上是否存在一点，使平面平面，若存在，求；若不存在，说明理由；    【变式训练9 面面垂直证线面垂直】 1．（24-25高二上·广东肇庆·期中）在四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面底面，四棱锥的体积为，线段的长是（   ） A．3 B． C． D．6 2．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知平面平面，点，则过点且垂直于平面的直线（    ） A．只有一条，不一定在平面内 B．有无数条，不一定在平面内 C．只有一条，一定在平面内 D．有无数条，一定在平面内 3．（24-25高二上·山东·期中）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于 . 4．（24-25高二上·上海·期中）命题：“若两个平面垂直，那么过第一个平面上一点且垂直于第二个平面的直线，不一定在第一个平面上.”上述命题为 （选填“真命题”或“假命题”）． 5．（2024高三·全国·专题练习）在底面是菱形的四棱锥中，已知，，过作侧面的垂线，垂足恰为棱的中点. 在棱上是否存在一点，使得平面，若存在求的长；若不存在，说明理由. 1．（22-23高一下·全国·课后作业）在正方体各个面的对角线中与所成的角为的有（     ） A．5条 B．6条 C．8条 D．10条 2．（22-23高二上·广东汕头·期中）给出下列条件（为直线，为平面）： ①垂直于内五边形的两条边； ②垂直于内三条不都平行的直线； ③垂直于内无数条直线； ④垂直于内正六边形的三条边. 其中能推出的所有条件的序号是 A．② B．①③ C．②④ D．③ 3．（2022高二下·河北·学业考试）如图，在正方体中，分别为棱，的中点.下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 4．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）过空间一定点可以作与已知直线垂直的平面的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 5．（24-25高三上·湖北·阶段练习）在四棱锥中，底面为正方形，，，，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D．16 6．（24-25高二上·上海·期中）在长方体中，，则直线与直线所成角的余弦值为 . 7．（21-22高三下·湖北·阶段练习）已知两条异面直线a，b所成角为60°，在直线a上取点C，E．在直线b上取点D，F，使，且．已知，则线段EF的长为 ． 8．（21-22高一·全国·单元测试）已知是不重合的平面，l是直线，给出下列条件：①；②；③；④；⑤．当满足条件 时，有；当满足条件 时，有．（填序号） 9．（24-25高一下·全国·课前预习）面面垂直的定义 （1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直．若平面，互相垂直，则记作 ． （2）画法：在画两个垂直的平面时，通常把表示直立平面的平行四边形的竖边画成与表示水平平面的平行四边形的横边 ． 10．（24-25高一上·全国·期中）如图，已知棱长为的正方体，顶点在平面内，其余顶点都在平面同侧，且顶点到平面的距离分别为，则等于 ． 11．（24-25高二上·云南昭通·期中）如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 12．（2024高三·全国·专题练习）在四面体中，E、F 分别是的中点.若所成的角为，且，求的长. 13．（22-23高一·全国·课后作业）在四棱柱中，侧面都是矩形，底面是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求. 14．（22-23高一下·安徽马鞍山·阶段练习）如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 15．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，是正三角形，．证明：平面平面. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 空间直线、平面的垂直（4个知识点+9大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 异面直线所成的角的概念及辨析 题型二 求异面直线所成的角 题型三 判断线面是否垂直 题型四 证明线面垂直 题型五 线面垂直证明线线平行 题型六 线面垂直证明线线垂直 题型七 线面垂直证明面面平行 题型八 证明面面垂直 题型九 面面垂直证线面垂直 知识点一 直线与平面垂直的定义 一条直线与一个平面垂直，当且仅当这条直线与平面内任意一条直线都垂直。换句话说，如果一条直线垂直于平面内两条相交直线，那么这条直线就与这个平面垂直。 知识点二 直线与平面垂直的性质 1.无交点性：直线与平面垂直时，它们之间不会有交点，除非直线穿过平面。 投影性质：当一条直线与一个平面垂直时，这条直线在该平面上的投影是一个点。 2.垂线段最短性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 3.相互性：如果一条直线垂直于一个平面，那么该平面也垂直于这条直线。 知识点三 直线与平面垂直的判定方法 1.定义法：根据直线与平面垂直的定义，如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就与这个平面垂直。这种方法适用于能够明确判断直线与平面内两条相交直线垂直的情况。 2.垂线法：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线上任意一点作该平面的垂线，这条垂线与原直线的夹角为90度，即这条垂线与原直线垂直。这种方法常用于解决涉及平行和垂直关系的几何问题。 3.向量法：在空间中，如果直线的方向向量与平面的法向量平行或共线，则这条直线与该平面垂直。这种方法在解决涉及向量运算的几何问题时非常有用。 知识点四 平面与平面垂直 1.定义：两个平面所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角） 2.判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 3.性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 【核心考点一 异面直线所成的角的概念及辨析】 【例1】（24-25高二上·上海·阶段练习）为异面直线，且所成角为，过空间一点作直线，直线与均异面，且所成角均为，若这样的共有四条，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设平面上两条直线分别满足，则相交，且夹角为，讨论的取值范围，从而确定c的情况以及条数，即可得答案. 【详解】设平面上两条直线分别满足， 则相交，设交点为，且夹角为， 如图示：过空间中一点作直线，若直线与均异面，且所成角均为， 则直线与直线所成角均为， 当时，不存在这样的直线， 当时，这样的直线只有一条， 当时，这样的直线有两条， 当时，这样的直线有三条， 当时，这样的直线有四条， 当时，这样的直线只有一条. 所以的范围为. 故选：A. 【例2】（22-23高二上·山西朔州·阶段练习），，是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（    ） A．若直线，异面，，异面，则，异面 B．若直线，相交，，相交，则，相交 C．若，则，与所成的角相等 D．若，，则 【答案】C 【分析】由空间中直线与直线的位置关系进行分析判断即可. 【详解】 对于A，若直线，异面，，异面，则，可能是平行、相交、异面的任意一种， 如在正方体中，与异面，与异面，， 或与异面，与异面，与相交于点， 或与异面，与异面，与异面，故选项A错误； 对于B，若直线，相交，，相交，则，可能是平行、相交、异面的任意一种， 如在正方体中，与相交于点，与相交于点，， 或与相交于点，与相交于点，与相交于点， 或与相交于点，与相交于点，与异面，故选项B错误； 对于C，由异面直线所成角的定义，选项C正确； 对于D，若，，则与可能是平行、相交、异面的任意一种， 如在正方体中，，，， 或 ，，与相交于点， 或 ，，与异面，故选项D错误. 故选：C. 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）直线与直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线 直线a与直线b垂直，记作 . 【答案】 互相垂直 【分析】略. 【详解】略. 【例4】（22-23高二上·上海普陀·期中）如果异面直线、所成角为，那么的取值范围是 ．(用弧度表示) 【答案】. 【分析】用异面直线所成角的定义判断. 【详解】过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)就是异面直线所成的角，故两异面直线所成角的范围是. 故答案为：. 【例5】（23-24高一·全国·课堂例题）两不重合的直线所成的角是0°时，两直线的位置关系是什么？ 【答案】平行． 【详解】两不重合的直线所成的角是0°时，两直线的位置关系是平行. 【核心考点二 求异面直线所成的角】 【例1】（2024高二下·安徽·学业考试）如图，在长方体，中，，，则异面直线CD与所成的角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据异面直线所成角的定义求解：说明是异面直线CD与所成的角或其补角，然后在直角三角形中求得这个角． 【详解】∵， ∴是异面直线CD与所成的角或其补角， 在直角中，， ，所以， 所以异面直线CD与所成的角是， 故选：A． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，若，则异面直线和所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据异面直线的定义，转化为相交直线所成的角，即可求解. 【详解】连接，由题得且， 故四边形是平行四边形，所以且， 则的余弦值即为所求． 由可得，故有，解得． 故选：D 【例3】（24-25高二上·上海·阶段练习）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也”，意思是：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍是茅草屋顶”.现有一个刍甍如图所示，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】作平行四边形，得到，找到异面直线与所成角为，在中求出三边边长，利用余弦定理即可求解. 【详解】 在CD上取点H使DH=2CH，连接EH，GH，如图所示. 设EF=1，则由题知AD=2，AB=3，DH=2，CH=1. ，底面为矩形，. 又，∴底面为平行四边形，，， 或其补角即为异面直线与所成角. 和是正三角形，为的中点， . 在中，， 由余弦定理可得， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 【例4】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，异面直线与的夹角是 . 【答案】 【分析】将正方体纸盒展开图还原成正方体，利用异面直线所成角的定义可得结果. 【详解】将正方体纸盒展开图还原成正方体，如下图所示： 因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，， 所以，异面直线、所成角为或其补角， 易知为等边三角形，故. 因此，异面直线与的夹角. 故答案为：. 【例5】（24-25高二上·上海·期中）已知正方体 的棱长为2，，分别为，的中点，求异面直线与所成角.    【答案】 【分析】取中点，可证明，从而异面直线与所成角即为直线与所成角，为，再通过余弦定理求解即可. 【详解】取中点，连接，，，    因为是中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 所以异面直线与所成角即为直线与所成角，为. 由题意知，， 故在△ 中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角为. 【核心考点三 判断线面是否垂直】 【例1】（24-25高三上·山东潍坊·阶段练习）设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可. 【详解】对于A中，由，只有当与相交时才能得到，所以A错误； 对于B中，由，，可得，又由，所以，所以B错误； 对于C中，若，，所以，又，所以，所以C正确； 对于D中，由，，则或， 当时，由，则或与异面； 当时，由，则或与相交，所以D错误． 故选：C 【例2】（24-25高二上·广东韶关·期中）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据每个选项中给出的直线与平面的关系，运用相应的定理来判断结论是否正确. 【详解】对于A，若，则，该选项正确； 对于B，若，则或 与相交，该选项错误； 对于C，若，则或，该选项错误； 对于D，若，则或，该选项错误； 故选：A. 【例3】（24-25高二上·上海·阶段练习）在三棱锥中，有五条棱长均为1，则该三棱锥体积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】如图，取中点，连接，得到，计算得到答案. 【详解】 如图所示，设，由题设有， 取中点，连接，则， 又因为为等边三角形，故， ， 当且仅当平面时等号成立，此时， 故答案为： 【例4】（2024高三·全国·专题练习）直线与平面垂直的充要条件：直线与平面内的 都垂直.符号表示为：. 【答案】任意直线 【分析】略 【详解】略 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）我们能说若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直吗？ 【答案】不能． 【详解】由线面垂直的定义知， 直线与平面内的任意一条直线垂直，则直线与平面垂直, 因此直线与平面内的无数条直线垂直，不能判断直线与平面垂直， 比如当这无数条直线平行时，就不能判断直线与平面垂直. 【核心考点四 证明线面垂直】 【例1】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是弧的中点，设是弧上的一点，且，则与所成角的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线面垂直判定定理可证明平面，再由异面直线所成角的定义可得结果. 【详解】取为弧的中点，连接，如下图所示：    由圆柱性质可得平面， 又平面，所以， 又因为，且，且平面， 可得平面，又平面， 所以，即， 易知，所以； 显然，所以与所成的角的即为与所成的角； 易知，所以. 故选：C 【例2】（2024高三·全国·专题练习）三棱柱中，平面，，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在三棱柱中，先由勾股定理得，接着由题设得，然后由线面垂直判定定理得平面，再由得或其补角为异面直线与所成角或补角，从而由计算即可. 【详解】三棱柱中，， 满足，∴，即. ∵平面，平面，∴， ，平面，∴平面. 平面，∴，∴. ∵，∴或其补角为异面直线与所成角. 在中，. 所以异面直线与所成角的正弦值为. 故选：C    【例3】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）如图，在三棱锥中， ，，，为的中点，过作平面，则平面截三棱锥外接球所得截面面积的最小值为 .    【答案】 【分析】先求得三棱锥外接球半径，进而求得平面截三棱锥外接球所得截面面积的最小值. 【详解】取中点F，连接. 由，，可得,, 又，则， 又，，则， 又面，则面， 又F为外心，则三棱锥外接球球心O在直线上， 延长交球O于，连接， 则，设球O半径为R，则， 解之得，，则， 又为的中点，则， ， 则平面截三棱锥外接球所得截面面积的最小时 即为以为直径的圆的面积，该圆面积为    故答案为： 【例4】（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长均相等的正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论： ①PC∥平面OMN； ②平面PCD∥平面OMN； ③OM⊥PA； ④直线PD与直线MN所成角的大小为90°. 其中正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】根据线面平行的判定可判定①；由面面平行的判定可判断②；由勾股定理可得PC⊥PA，结合PC⊥PA可判断③；通过线面直线所成角的定义及题设可证得∠PDC即为直线PD与直线CD所成的角，结合△PDC为等边三角形可判断④. 【详解】连接AC，如图 ∵O为底面正方形的中心，∴是的中点， 又M为侧棱PA的中点，∴PC∥OM， 又PC⊄平面OMN，OM⊂平面OMN，所以PC∥平面OMN， 故结论①正确； 同理PD∥平面OMN，又PCPD＝P，PC，PD平面PCD， 所以平面PCD∥平面OMN，故结论②正确； 由于四棱锥的棱长均相等，所以，所以. 又∥，所以，故结论③正确； 由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB. 又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，所以MN∥CD， 所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，即∠PDC. 又△PDC为等边三角形，所以，故④错误. 故答案为：①②③. 【例5】（2024高二上·云南·学业考试）如图，在三棱锥中，，，.    (1)证明：平面； (2)若，，，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）求出的面积，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：因为，，，、平面， 因此平面. （2）因为，且，，则， 又因为平面，且， 故，即三棱锥的体积为. 【核心考点五 线面垂直证明线线平行】 【例1】（23-24高二下·贵州铜仁·期末）已知空间中三条不同的直线和平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】通过空间想象，对ACD举出反例即可；根据线面垂直性质定理可判断B. 【详解】对A，，，则有可能相交、异面、平行，故A错误； 对B，由线面垂直性质定理可知B正确； 对C，若，，则与平行、相交或异面，故C错误. 对D，若，，则有可能平行，有可能异面，故D错误. 故选：B 【例2】（23-24高一下·重庆·期末）已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据线线，线面，面面的平行关系，垂直关系，判断选项. 【详解】A中可能在内，错误；B中由线面垂直的性质显然正确；C中与可能相交，错误； D中可能在内，可能平行于，可能与斜交，错误. 故选： 【例3】（2025高三·全国·专题练习）直线与平面垂直 （1）直线和平面垂直的定义：如果直线与平面内的 一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直. （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线与一个平面内的 垂直，那么该直线与此平面垂直 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 【答案】 任意 两条相交直线 平行 【分析】略. 【详解】略. 【例4】（24-25高二上·上海·阶段练习）垂直于同一平面的两条直线的位置关系是 . 【答案】平行 【分析】根据题意，利用线面垂直的性质定理，即可求解. 【详解】根据线面垂直的性质定理，可得到垂直于同一个平面的两条直线平行. 故答案为：平行. 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习） （1）如图，已知直线a，b和平面，如果，，那么直线a，b一定平行吗？ （2）你能证明吗？ 【答案】（1）a与b平行（2）证明见解析 【详解】如图，假设b与a不平行，设，显然点O不在直线a上， 所以点O与直线a确定一个平面，在该平面内过点作直线， 则直线与是相交于点的两条不同直线，所以直线与可确定平面， 设，则． 因为，，所以，． 又，所以． 这样在平面内，经过直线上同一点就有两条直线，与垂直，显然不可能． 因此． 【核心考点六 线面垂直证明线线垂直】 【例1】（24-25高三上·天津和平·阶段练习）已知正方体，，是线段上的点，且，分别过点，作与直线垂直的平面，，则正方体夹在平面与之间的部分占整个正方体体积的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方体的棱长为2，连接，利用线面垂直的判定定理可得平面，平面，再由体积相等可得被平面、平面三等分，所以平面、平面可看作平面、，再求体积之比可得答案. 【详解】设正方体的棱长为2， 连接， 可得，平面，因为平面， 所以，又，平面， 所以平面平面，又平面平面， 可得，同理可得，，， 且，平面，所以平面， 且，平面，所以平面， ， ， 因为， 所以， 分别设到平面、平面的距离为， 则， 即，解得， ，又， 可得被平面、平面三等分， 所以平面、平面可看作平面、， 正方体夹在平面与之间的部分的体积为， 则正方体夹在平面与之间的部分占整个正方体体积的. 故选：C.    【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知三棱柱的棱长均为3，为的中点，在上，且平面，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等体积法进行转化，求出，证明出⊥平面，故点到平面的距离为，利用得到答案. 【详解】如图，因为三棱柱的棱长均为3，所以是边长为3的等边三角形， 因为为的中点，所以⊥，， 因为平面，且，平面，所以，， 则在中，， ． 因为，平面，平面，所以平面， 则上所有点到平面的距离相等， 因为⊥，，，平面， 所以⊥平面， 又因为在上，故点到平面的距离为， 所以. 故选：D 【例3】（21-22高一下·福建福州·期末）如图，在三棱柱中，已知平面，当底面满足条件 时，有. 【答案】 【分析】根据线面垂直的判定定理来确定正确答案. 【详解】当底面满足条件时，有. 理由如下：平面，，平面， 面，. ，四边形是正方形，，， 又平面， 平面. 平面. 平面， . 平面， 平面,平面,. 当底面满足条件时，有. 故答案为： 【例4】（21-22高二·全国·课后作业）如图，正方体的棱长为，以下结论正确的是 .（填序号） ①异面直线与所成的角为； ②直线与垂直； ③直线与平行. 【答案】①② 【分析】连接，，，则可得出为等边三角形，则与所成角等于与所成角，其大小为；证明，再由可得；证明平面，得出，从而证得. 【详解】对于①，连接，则根据正方体的特点可知，且， 则为等边三角形，所以与所成角等于与所成角，其大小为，故①正确； 对于②，如图所示，因为，又，所以，故②正确； 对于③，由②可知，又，且，平面，平面， 所以平面，所以，则，故③错误. 故答案为：①② 【例5】（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，平面平面． 证明：； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的判定可得平面，然后利用线面垂直性质定理即可得证. 【详解】连接，由四边形为菱形，得，由，得， 又平面平面，平面平面，面ABC， 则平面，又平面，于是，而，则， 又，平面，因此平面，又平面， 所以 【核心考点七 线面垂直证明面面平行】 【例1】（2024高二下·湖南株洲·学业考试）垂直于同一直线的两个平面（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面 【答案】A 【分析】利用线面垂直的性质判断得解. 【详解】由线面垂直的性质知，垂直于同一直线的两个平面互相平行，A正确，BCD错误. 故选：A 【例2】（23-24高二上·北京·期中）已知是两个不同的平面，的一个充要条件是（    ） A．内有无数条直线平行于 B．存在平面 C．存在平面，且 D．存在直线 【答案】D 【分析】 通过举反例说明A，B，C错误，根据线面垂直证明面面平行即可判断D正确． 【详解】对于A，由于内有无数条直线平行于，不一定得到，与也可能相交，如图所示，故A错误；    对于B，若存在平面，不一定得到，与也可能相交，如图所示，故B错误；    对于C，存在平面，且，不一定得到，与也可能相交，如图所示，故C错误；      对于D，存在直线，由垂直于同一直线的两个平面互相平行，可得，故D正确； 故选：D． 【例3】（24-25高二上·上海·期中）空间中垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是 . 【答案】平行 【分析】利用线面垂直的性质定理可得结论. 【详解】由线面垂直的性质定理可知，空间中垂直于同一条直线的两个平面平行. 故答案为：平行. 【例4】（21-22高三上·河南开封·阶段练习）已知，是两条直线，、、是三个不同的平面，给出下列命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，且，，则； ④若，为异面直线，且，，，，则． 其中正确命题的序号是 ． 【答案】②④ 【分析】作出一个正方体，进而根据各个面的位置关系并结合条件可以判断①； 根据线面垂直的性质定理可以判断②； 根据面面平行的判定定理可以判断③④. 【详解】如图1，记平面为平面，平面，平面，显然，，但.所以①错误； 垂直于同一条直线的两个平面平行.所以②正确； 一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行.所以③错误； 如图2，因为，过m作平面，使得，所以，易知，所以，又异面，则相交，设交点为M，又，，所以.所以④正确. 故答案为：②④. 【例5】（22-23高二上·上海闵行·阶段练习）已知四面体的所有棱长为2，E，F分别为棱BC，AD的中点.则 (1)求证直线EF与直线AB是异面直线； (2)求EF和AB所成的角. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)利用异面直线的定义进行证明，既不平行也不相交即可得证 (2)取BD的中点O，连接OF，OE，将异面直线EF和AB所成的角转化为OF与EF的夹角，在中求出即可 【详解】（1）证明：取BD的中点O，连接OF，OE，又E，F分别为棱BC，AD的中点， OF为中位线，即，由，推出不平行， 平面中，平面中，平面，又平面， 所以与没有交点，综合得出与既不平行也不相交，所以直线EF与直线AB 是异面直线，从而得证. （2），则EF和AB所成的角可转化为与AB所成的角即为，由四面体 的所有棱长为2，所以四面体为正四面体，过点做平面的投影，点也是底面 正三角形的中心连接并延长交与点， ，又平面，，由，平面， .，，可得.由题意得，则， ，即EF和AB所成的角为 【核心考点八 证明面面垂直】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，已知平面，，则图中互相垂直的平面共有（   ）对. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用面面垂直的判定定理，找到线面垂直，进而证明出面面垂直，统计对数即可. 【详解】∵平面，且平面和平面， ∴平面平面，平面平面， ∵平面，平面，∴， 又∵，，∴平面， ∵平面，∴平面平面. 故选：C. 【例2】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知m，n是空间中两条不同的直线，平面α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若， 则 B．若， 则 C．若， 则 D．若， 则 【答案】C 【分析】根据线面平行的判定定理判断A，根据面面垂直及线面垂直判断B，根据线面垂直的性质及面面垂直的判定判断C，由面面平行的判定判断D. 【详解】若，则满足，推不出，故A错误； 若，可能，推不出，故B错误； 由 ，必有，所以由可得，由可得， 又，所以，故C正确； 若不相交时，满足，不能推出，故D错误. 故选：C 【例3】（24-25高三上·福建南平·期中）如图所示，在正方体中，若分别是的中点，则与所成的角为 ；平面与平面关系 .（填垂直或不垂直）.    【答案】 垂直 【分析】连接，运用中位线定理推出，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，即为所求角，在中求解即可；然后结合线面平行和垂直的判定定理和性质定理以及面面垂直的判定定理即可得 【详解】连接， 因为为正方形，所以既是中点，又是的中点，所以， 所以与所成的角为，而为等边三角形，所以， 因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，所以， 又，，，都在平面内， 所以平面， 又因为，所以平面，又平面， 所以平面平面，    故答案为：；垂直 【例4】（2024高三·全国·专题练习）如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，点是圆上的任意一点，图中有 对平面与平面垂直.    【答案】3 【分析】利用面面垂直的判定定理求解即可. 【详解】平面，平面， 平面平面， 同理可证平面平面， 又，，且， 平面，由平面， 从而平面平面， 故图中相互垂直的平面有3对. 故答案为：3 【例5】（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，是正三角形，．证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】取中点，连接，根据是正三角形可得，由余弦定理求长，再由勾股定理的逆定理得，结合面面垂直判定定理证得结论. 【详解】取中点，连接， 因为是正三角形，为中点， 所以， 由已知，则，， 又， 由余弦定理得， 则，故， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 【核心考点九 面面垂直证线面垂直】 【例1】（24-25高三上·湖北·阶段练习）如图，底面同心的圆锥高为，A，B在半径为1的底面圆上，C，D在半径为2的底面圆上，且，，当四边形面积最大时，点O到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，确定四边形的形状，再求出四边形面积最大时，圆心O到边BC的距离，然后在几何体中作出点O到平面的垂线段，借助直角三角形计算作答. 【详解】如图，设直线AB交大圆于点F，E，连接CE，DF，由，知四边形为等腰梯形， 取AB，CD的中点M，N，连接MN，则， 因为，所以， 因为，所以四边形是矩形， 因此四边形为矩形，过O作于，连接OB，OC，OA，OD， 从而四边形的面积， 当且仅当，即时取等号， 此时， 如图，在几何体中，连接PQ，PO，因为平面，平面， 所以，又， ，，平面，所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 显然平面平面，在平面内过作于， 从而平面，即OR长即为点到平面的距离， 在中，，， 所以， 所以点O到平面的距离是. 故选：C 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离可以利用几何法，作出点到平面的垂线段求解；也可以用向量法，求出平面的法向量，再求出这一点与平面内任意一点确定的向量在法向量的投影即可. 【例2】（24-25高二上·四川内江·期中）在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，点为线段中点.在翻折的过程中，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（   ） A．三棱锥的体积最大值为 B．异面直线、所成角始终为 C．翻折过程中存在某个位置，使得大小为 D．点在某个圆上运动 【答案】D 【分析】当二面角为直二面角，三棱锥的体积最大值，过作于，求出，从而求出点到平面的距离，再由锥体的体积公式计算，即可判断A；取的中点，取的中点，连接，，即可得到、，是异面直线，所成的角，利用余弦定理求出，即可判断B、C，再根据，为定值，即可判断D. 【详解】对于A，当二面角为直二面角，过作于， 所以平面平面．又平面平面，所以平面． 由题意可得，．由勾股定理可得． 由，即，解得． 因为为线段的中点，所以到平面的距离为． 又，所以，即三棱锥的体积最大值为，故A错误． 对于B、C选项，取的中点，则，且，，所以． 因为，所以是异面直线，所成的角． 取的中点，连接，，可得，， 所以． 在中，可得． 由余弦定理可得，所以． 在中，由余弦定理可得， 所以，所以异面直线，所成的角为，故B，C均错误． 对于D选项，由B，C选项可知，，均为定值，则的轨迹为以，为球心的球面的交线， 即点在某个圆上运动，故D正确． 故选：D 【例3】（2024高三·全国·专题练习）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一个平面经过另外一个平面的一条 ，则这两个平面互相垂直 性质 定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们 的直线垂直于另一个平面 如果则. 【答案】 垂线 交线 【分析】略 【详解】略 故答案为：垂线；交线 【例4】（2024高三·全国·专题练习）已知三棱台的上、下底面均为正三角形，且平面平面，，为的中点，则直线与夹角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】因为，所以直线与的夹角即为直线与的夹角，结合面面垂直的性质，等边三角形的性质，确定的大小，结合余弦定理即可得夹角余弦值. 【详解】如图所示， 因为，所以直线与的夹角即为直线与的夹角， 取的中点为，由题知和为等边三角形， 则， 又，则也是等边三角形，故， 设为在平面上的投影，则平面， 因为平面平面，交线为，因为为的中点，所以 又平面，所以平面， 则，且，故四边形为矩形， 故，且，则， 又，所以，则， 又，所以， 又，则， 所以在中，由余弦定理得， 所以直线与夹角的余弦值为． 故答案为：． 【例5】（2024高三·全国·专题练习）如图，正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面平面 (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据线面垂直、面面垂直的判定定理可证平面平面； （2）在平面内过点作交于点，根据面面垂直的性质定理可得平面，根据相似可得. 【详解】（1）在正三棱柱中，因为点为的中点， 则， 又平面，平面， 则有， 而，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， （2）在平面内过点作交于点， 因为平面平面，平面， 所以平面，则点即为所要找的点， 如下图所示，因为，， 所以与相似， 因此， 即有，于是，，所以. 【变式训练1 异面直线所成的角的概念及辨析】 1．（22-23高一下·全国·课后作业）在三棱锥A­BCD中，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，若AD与BC所成的角为60°，则∠FEG为（    ） A．30° B．60° C．120° D．60°或120° 【答案】D 【分析】根据异面直线的定义找到AD与BC所成的角与∠FEG的关系，从而得到∠FEG的大小. 【详解】如图： 因为E，F，G分别是AB，AC，BD的中点， 所以, 由于AD与BC是异面直线， 根据异面直线所成角的定义可知， ∠FEG为异面直线AD与BC所成角或其补角， 因为AD与BC所成的角为60°， 所以∠FEG为60°或120°. 故选：D. 【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 2．（22-23高一下·全国·课后作业）已知两异面直线所成的角为，过空间一点作直线，使得与的夹角均为，那么这样的直线有（     ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】B 【解析】先将异面直线，平移到点，结合图形可知，当使直线在面的射影为的角平分线时存在2条满足条件，当直线在面的射影为的角平分线时，没有满足条件的直线． 【详解】解：作，，与相交于点，如图所示，则，，则的平分线与直线，所成的角均为，的平分线与直线，所成的角均为.因为，所以与直线所成的角均为的直线有且只有条（直线）， 故选：. 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，以及射影等知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于中档题． 3．（24-25高一下·全国·课前预习）异面直线所成的角：如图 定义 前提 两条异面直线a，b 作法 经过空间任意一点P，作直线， 结论 我们把与所成的 叫作异面直线a与b所成的角 范围 记异面直线a与b所成的角为，则 特殊情况 当时，异面直线a，b互相垂直，记作 【答案】 锐角或直角 【分析】略 【详解】略 4．（24-25高一下·全国·课前预习）空间中直线与直线的位置关系 位置关系 是否在同一平面内 公共点个数 共面直线 相交直线 1 平行直线 是 0 异面直线 0 【答案】 是 否 【分析】略 【详解】略 5．（23-24高一·全国·课堂例题）在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置有关系吗？ 【答案】答案见解析 【详解】根据等角定理可知，异面直线与所成角的大小与点O的位置无关．但是为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上，特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等)． 【变式训练2 求异面直线所成的角】 1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆柱的母线长为2，底面的半径为，四边形为其轴截面，若点为下底面圆弧的中点，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由得与所成角即为或其补角，在中计算可得答案.. 【详解】连接， 与所成角即为或其补角. 为圆弧的中点，，又. 又为等边三角形，. 与所成角为. 故选：D. 2．（2024高三·全国·专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若都是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据得或其补角为异面直线与所成的角，在直角中利用余弦定理可得答案. 【详解】如图，连接. 因为为中点，且，所以四边形为矩形， 所以，所以或其补角为异面直线与所成的角. 设圆的半径为1，则. 因为，所以. 所以在直角中，，，. 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 3．（23-24高一下·江苏·期末）在正方体中，直线和直线所成的角为 . 【答案】 【分析】利用异面直线所成角的定义可知即为所求的角. 【详解】如下图所示： 由正方体性质可得， 所以直线和直线所成的角等于， 又易知为等边三角形，所以. 故答案为： 4．（24-25高二上·江苏南通·期中）在正四面体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】取的中点，连接，则与所成的角为异面直线与所成角，结合余弦定理可求得结果. 【详解】取的中点，连接如图所示： ， 因为点分别是的中点，所以， 即与所成的角为异面直线与所成角， 设正四面体的棱长为， 则， 在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 故答案为：. 5．（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍（méng）”的五面体（如图），其中四边形为矩形，.若，和都是正三角形，且，求异面直线与所成角的大小.    【答案】 【分析】在上取一点，使得，可得为异面直线与所成角或其补角，设出边长可得，即可求解. 【详解】    如图，在上取一点，使得， 因为，，四边形为矩形， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以为异面直线与所成角或其补角， 设，所以，， 因为和都是正三角形，所以， 由，所以， 所以，所以， 所以异面直线与所成角为. 【变式训练3 判断线面是否垂直】 1．（2024高三·全国·专题练习）若和分别为空间中的直线和平面，则“”是“垂直内无数条直线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用线面垂直的定义、线面垂直的判定定理结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若，则垂直内所有直线，则“”“垂直内无数条直线”， 若垂直内无数条直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交， 此时直线可以在平面内， 则“” “垂直内无数条直线”， 所以，“”是“垂直内无数条直线”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（24-25高二上·上海·期中）已知直线和平面，则“垂直于内的两条直线”是“”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【分析】利用直线与平面垂直的判定定理，即可得出结论. 【详解】根据直线与平面垂直的判定定理可知： 如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面. 而“垂直于内的两条直线”，没有满足相交， 所以不一定能推出直线与平面垂直， 但是如果一条直线与平面垂直，一定能推出这条直线垂直于平面内的所有直线， 即可得：“垂直于内的两条直线”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2024高三·全国·专题练习）定义：一般地，如果直线与平面相交于一点，且对平面内任意一条过点的直线，都有 ，则称直线与平面垂直（或是平面的一条垂线，是直线的一个垂面），记作，其中为垂足. 【答案】 【分析】略 【详解】略 4．（24-25高二上·上海·期中）命题：若直线与平面上的无数条直线垂直，则，是 命题（选填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】根据空间中线面的位置关系判断即可. 【详解】当时，在平面内存在无数条直线与直线垂直，但是与不垂直，故命题为假命题. 故答案为：假. 5．（23-24高一·全国·课堂例题）如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，l与α垂直吗？ 【答案】答案见解析 【详解】不一定．若平面内的这无数条直线是平行的，则直线l与平面可能平行，也可能垂直，也可能是相交但不垂直，也可能直线l在平面内． 【变式训练4 证明线面垂直】 1．（2024高三·全国·专题练习）在中，，是的中点，将沿翻折，若在翻折的过程中，三棱锥体积的最大值为，则当翻折到两点间距离为1时，三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三棱锥的体积公式可知，体积最大时，平面平面，因此可解得，再根据条件计算时的体积即可. 【详解】    在中，由可知，又因为为的中点，所以． 在折叠的过程中，当三棱锥的体积最大时，平面平面． 又平面平面，，平面，所以平面． 设，则， 解得，所以，． 当时，为等边三角形，如图，取的中点为，连接，则． ．连接，， 则有，即． 又，，平面，故平面， 故． 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据翻折的特点可知，与的垂直关系不变，即，． 2．（24-25高二上·重庆·期中）正方体的棱长为是的中点，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据图形几何关系，分别找出三棱锥的底面面积和高，根据公式计算得出体积大小. 【详解】如图所示， 连结，连结与AC交于点O，连结. 由图可知，因为正方体棱长为2，所以根据图中几何关系与勾股定理易得， ，，， ，， ，， 所以在中，， 即. 又因为在正方体中，，O是AC中点， 所以， 又平面ACF， 所以平面ACF， 于是三棱锥的高即为. 又在中，， 所以， 所以三棱锥的体积， 故答案选：D. 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知正方体的棱长为，分别为棱、的中点，为体对角线所在直线上一动点，则△绕直线旋转而成的几何体体积的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先取的中点，并设，根据平面，旋转后的几何体为两个同底的圆锥，由图求最小的半径以及高，即可求解圆锥体积. 【详解】取的中点， 因为平面，平面， 所以，且，且，平面， 所以平面，平面，所以， 同理，，平面， 所以平面， 设， 由图可知，此时的高为，且此时的高最短，绕旋转成的几何体体积最小，该几何体为两个相同的圆锥的组合体，圆锥底面半径为，高为，   ， 在中，， 在中，，得， ， ， 形成的几何体的体积为. 故答案为： 【点睛】关键点点击：本题的关键是找到点的位置，使圆锥底面半径最小. 4．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）若在长方体中，.则四面体与四面体公共部分的体积为 . 【答案】 【分析】先判断出公共部分的位置，然后利用锥体体积公式来求得正确答案. 【详解】记， 由于， 则为的第一个三等分点（靠近），连，是的中点， 由于平面， 所以到平面的距离是到平面的独立的一半， 则公共部分是三棱锥， 又，作，垂足为， 根据长方体的性质可知平面， 所以面，由等面积法可得， 所以，故. 故答案为：    【点睛】方法点睛： 几何图形的公共部分和体积计算：通过分析两个几何体公共部分的几何位置，逐步构造关键点，利用三角形面积和锥体体积公式，最终得出公共部分的体积，此方法清晰有效，能充分展示逻辑推理与代数运算等解题技巧. 5．（21-22高一下·江苏扬州·阶段练习）如图所示，平面为圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的任意一点． (1)求证：平面； (2)若为的中点，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）为的直径，点为上的异于，的任意一点，可得, 又圆柱中，底面可得，得证． （2）取中点，连结、，应用三角形中位线定理得，又圆柱中，，且，推出为平行四边形，得到即得证． 【详解】（1）∵为的直径，点为上的异于，的任意一点， ∴．又在圆柱中，底面，底面， ∴，又，平面， ∴平面． （2）取的中点，连接，， ∵为的中点，∴在中，，且， 又在圆柱中，，且， ∴，，∴四边形为平行四边形， ∴．而平面，平面， ∴平面. 【变式训练5 线面垂直证明线线平行】 1．（23-24高二上·北京怀柔·期中）已知表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用空间直线与平面间的位置关系即可判断得解. 【详解】对于A，若，则也有可能，故A错误； 对于B，若，则也有可能，故B错误； 对于C，由线面垂直的性质可知，若，则，故C正确； 对于D，若，则也有可能，故D错误； 故选：C. 2．（24-25高三上·福建·开学考试）用a、b、c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题，正确的有（    ） ①若，，则；    ②若，，则； ③若，，则；    ④若，，则. A．①② B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】对于①，根据平行公理判断，对于②③，举例判断，对于④，利用线面垂直的性质判断. 【详解】对于①，因为，，所以，所以①正确， 对于②，若a、b、c三条直线在同一个平面，则当，时，∥，所以②错误，    对于③，如图当，时，与相交，所以③错误，    对于④，因为，，所以，所以④正确. 故选：C 3．（24-25高一下·全国·课前预习）直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线 符号语言 若，，则 图形语言 作用 线面垂直线线平行，②作平行线． 【答案】 平行 【分析】略 【详解】略 4．（24-25高二·上海·随堂练习）已知，，则a与b的位置关系是 ． 【答案】 【分析】由线面垂直的性质，垂直于同一个平面的两条直线平行. 【详解】由线面垂直的性质，垂直于同一个平面的两条直线平行. 因此，由直线，直线，则. 故答案为： 5．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在长方体中，棱，，，所在直线都垂直于平面，它们之间具有什么位置关系？ 【答案】平行 【分析】根据长方体的性质即可求解. 【详解】根据长方体的性质可得：. 【变式训练6 线面垂直证明线线垂直】 1．（24-25高二上·河南许昌·期中）在棱长为1的正方体中，点到的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正方体的结构特征，结合线面垂直的性质，求出斜边上的高即可. 【详解】在正方体中，连接， 由平面，平面，得， 因此点到的距离为斜边上的高， 而， 所以. 故选：C    2．（24-25高二上·四川成都·期中）在四棱柱中，平面，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为，为侧棱上的动点（包括端点），则（   ）    A．对任意的，存在点，使得 B．当且仅当时，存在点，使得 C．当且仅当时，存在点，使得 D．当且仅当时，存在点，使得 【答案】C 【分析】若存在点，使得，则必有，且由题设条件易得平面,得到,再通过△∽△即可求得的范围. 【详解】连接，在四棱柱中，因为平面， 所以平面，则,又由底面是正方形，得， 所以平面，得. 若存在点，使得，则平面,得, 则△∽△，得，即，所以    故选：C. 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，矩形ABCD的长，宽，若平面ABCD，矩形的边CD上至少有一个点Q，使得，则x的范围是 . 【答案】 【分析】由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得，再由勾股定理可得的关系，结合二次函数的值域，即可得到结果. 【详解】 连接，因为平面，平面，所以， 又，且，平面， 由线面垂直的判定定理可得平面， 且平面，所以， 设，则， 在直角三角形中，由勾股定理可得， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，，即， 化简可得，其中， 即，解得， 又，所以，即x的范围是. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）在正方体中，与垂直的面对角线有 条. 【答案】 【分析】平面、平面，平面，再由线面垂直的判定定理及性质定理即可求解. 【详解】由正方体性质知，平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面， 所以，又面对角线， 所以， 同理平面，平面， 可得，， 所以与垂直的面对角线共有6条. 故答案为：6. 5．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，E为的中点. 求证：平面；    【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直性质以及菱形性质可得，，根据线面垂直判定定理即可得出平面. 【详解】因为平面，平面， 所以， 因为底面是菱形，所以， 因为，平面， 所以平面. 【变式训练7 线面垂直证明面面平行】 1．（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）平面，互相平行的一个充分条件是（    ） A．，都垂直于同一平面 B．某一直线与，所成角相等 C．，都平行于同一直线 D．，都垂直于同一直线 【答案】D 【分析】根据面面平行的判定定理及线面垂直的性质逐一分析判断即可. 【详解】对于A，若，都垂直于同一平面，则平面，相交或平行，故A错误； 对于B，若某一直线与，所成角相等，则平面，相交或平行，故B错误； 对于C，若，都平行于同一直线，则则平面，相交或平行，故C错误； 对于D，，都垂直于同一直线，则平面，互相平行，故D正确. 故选：D. 2．（21-22高一下·江西上饶·期末）设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】D 【分析】举例说明判断ABC；利用线面垂直的性质判断D作答. 【详解】对于A，在长方体中，平面为平面，分别为直线， 显然满足，而，此时不成立，A错误； 对于B，在长方体中，平面，平面分别为平面，为直线， 显然满足，而，此时不成立，B错误； 对于C，在长方体中，平面，平面分别为平面，为直线， 显然满足，而，此时不成立，C错误； 对于D，因为，由线面垂直的性质知，，D正确. 故选：D 3．（21-22高二上·北京·阶段练习）设，是两个不同的平面，直线l ⊥ α且 ，可以推出“”. 【答案】⊥ 【分析】利用垂直关系，可转化面面平行. 【详解】当直线，且时，可以推出“”. 故答案为： 4．（22-23高一上·陕西渭南·期末）下列四个命题： ①平行于同一平面的两个平面平行； ②一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； ③垂直于同一平面的两个平面平行； ④若直线平面，直线平面，则．（是不同的平面） 其中正确命题的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】①④可通过平面平行的性质和线面垂直的性质可证得，②③可举出反例. 【详解】①根据平面平行的性质可得，平行于同一平面的两个平面平行，①正确； ②一个平面内的无数条直线若都为平行直线，则两平面不一定平行，②错误； ③垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，③错误； ④直线平面，直线平面，由线面垂直的性质可得．（是不同的平面），④正确. 故答案为：①④ 5．（21-22高三上·四川成都·阶段练习）如图，长方体中，，，，，分别是，上的点，且，过直线的平面与，分别交于点，. （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是正方形，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 且平面平面，所以, 因为在矩形中，，所以, 又因为平面，所以平面, 由平面，所以， 同理可证， 又因为，平面，所以，所以四边形是矩形. （2）因为四边形是正方形，所以， 过点作于点，则， 所以，所以， 所以 【变式训练8 证明面面垂直】 1．（23-24高三上·江西九江·期末）已知空间中，是互不相同的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】在长方体中举反例可知ABC错误；由线面垂直关系推证面面垂直可得D正确. 【详解】如图，长方体.    A项，在长方体中取平面为，平面为，满足， 取，，但与异面并不平行，故A错误；    B项，在长方体中取平面为，平面为， 取，但，不满足，故B错误；    C项，在长方体中取平面为，平面为， 取，满足. 取中点，取中点，连接，记， 则，，， 则，故满足，但，不满足，故C错误；    D项，过直线作平面，使， ，，由，则，， 则，故D项正确．    故选：D． 2．（24-25高二上·黑龙江·开学考试）图，在九面体中，平面平面，平面平面，底面为正六边形，下列结论错误的是（    ）      A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】运用面面垂直，结合面面平行得到面面垂直，判定C；证明平面.同理可得平面，则，运用线面平行判定判断A； 证明平面，结合，得到平面，判断B；利用反证法，得到平面，不成立，判断D. 【详解】取的中点的中点，连接.因为平面平面， 平面平面，所以平面平面，C正确. 因为，所以，面， 平面平面，又平面平面，所以平面. 同理可得平面，则，因为 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面平面，所以平面正确. 连接，易得，则平面，面，则. 因为且都在面内，所以平面. 因为，所以平面，B正确. 连接，则，若平面平面成立， 根据面面垂直的性质易得平面，再由线面垂直的性质有. 因为，根据线面垂直的判定得平面，这显然不成立， 所以平面平面不成立，D错误. 故选：D.    3．（24-25高二·上海·课堂例题）如果四边形ABCD是矩形，SD⊥平面ABCD，D是垂足，那么图中互相垂直的平面的组数是 ． 【答案】6 【分析】根据题意结合面面垂直的判定定理分析判断. 【详解】因为SD⊥平面，平面，平面，平面， 所以平面平面，平面平面，平面平面， 因为SD⊥平面，平面，所以， 因为四边形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 同理可证得平面平面， 因为SD⊥平面，平面，所以， 四边形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 所以图中互相垂直的平面的组数是6. 故答案为：6 4．（23-24高一下·福建龙岩·期中）在四面体中，，，平面，分别为线段的中点，现将四面体以为轴旋转，则线段在平面上投影长度的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先证明，取中点为，连接、，则，，可得，在旋转过程中，与的垂直性保持不变，当与平面垂直时，在平面上的射影取得最小值为，当与平面平行时，在平面上的射影长取得最大值，则答案可求． 【详解】如图，取的中点的中点，连接， ∵分别是线段的中点，∴，， ∵，，∴，， 则，，且，平面，∴平面，又平面，∴，∴， 在中，， 当四面体绕旋转时， ∵，平面，平面， ∴平面，与的垂直性保持不变，且，长度不变. 当与平面垂直时，在平面上的投影长最短为0， 此时在平面上的投影的长取得最小值，最小值为， 当与平面平行时，在平面上的投影长最长为， 此时在平面上的投影的长取得最大值，最大值为， 线段在平面上的投影长的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据等腰三角形证明，，进而得平面，即可根据当与平面垂直时以及当与平面平行时，求解的最值. 5．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，，，，于，沿将折起，使得点到点P位置，，是棱上的动点（与点不重合）.判断在棱上是否存在一点，使平面平面，若存在，求；若不存在，说明理由；    【答案】存在， 【分析】根据题意，先证明平面，再证明平面，再利用面面垂直的性质定理作，得平面，再计算求解即可； 【详解】存在，； 理由如下：由，，，平面， 所以平面，又平面， 故，又，平面，故平面， 又平面，故平面平面，又平面平面， 作，则平面，又平面， 故平面平面，由题意，不妨设， 则中，由等面积得，所以， 则，所以.    【变式训练9 面面垂直证线面垂直】 1．（24-25高二上·广东肇庆·期中）在四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面底面，四棱锥的体积为，线段的长是（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】设，作出四棱锥的高，并用求出高，再用体积解出即可. 【详解】 如图所示，设，则矩形的面积， 取中点，连接， 因为是等边三角形，，所以，且, 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，即是四棱锥的高， 所以四棱锥的体积 所以解得，，所以. 故选：D. 2．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知平面平面，点，则过点且垂直于平面的直线（    ） A．只有一条，不一定在平面内 B．有无数条，不一定在平面内 C．只有一条，一定在平面内 D．有无数条，一定在平面内 【答案】C 【分析】利用面面垂直的性质可得对应的结论. 【详解】根据面面垂线的性质定理可知，当平面垂直平面时， 过平面上一点且垂直于平面的直线，在平面内只有一条. 故选：C. 3．（24-25高二上·山东·期中）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于 . 【答案】 【分析】取的中点，连接，可得面，即角为直线与侧面所成的角，然后即可求解. 【详解】在正三棱柱中，取的中点，连接， 由底面为正三角形，得， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面， 于是在侧面上的射影为， 为直线与侧面所成的角， 设底面边长为，则，， 在直角三角形中，. 故答案为：    4．（24-25高二上·上海·期中）命题：“若两个平面垂直，那么过第一个平面上一点且垂直于第二个平面的直线，不一定在第一个平面上.”上述命题为 （选填“真命题”或“假命题”）． 【答案】假命题 【分析】利用面面垂直的性质求解即可. 【详解】如图，我们将垂直的两个平面记为，两条直线分别记为，点记为， 由题意得，，且设， 过点作，故， 由面面垂直的性质得，因为过一点有且只有一条直线与垂直， 所以直线与直线重合，故. 故答案为：假命题. 5．（2024高三·全国·专题练习）在底面是菱形的四棱锥中，已知，，过作侧面的垂线，垂足恰为棱的中点. 在棱上是否存在一点，使得平面，若存在求的长；若不存在，说明理由. 【答案】存在， 【分析】连接AO，易得，再由，得到平面AOD，再过O作，易得，再由，得到面SBC，然后在中求解. 【详解】解：如图所示： 连接AO，，O是BS的中点， ， 面ABS，面ABS，，    又平面AOD， 平面AOD， 过O作于E，则， 平面AOD，， 又平面SBC，面SBC， 在中，， ， ∵，∴， ∴． 1．（22-23高一下·全国·课后作业）在正方体各个面的对角线中与所成的角为的有（     ） A．5条 B．6条 C．8条 D．10条 【答案】C 【分析】根据题意画出直观图，结合图形分析可得. 【详解】解：由图可知和均是等边三角形，所以，，，与成角.根据平行关系，可知，，，也与成角，故满足题意的面对角线共有8条，故选：C.    【点睛】本题考查两直线所成的角的辨析，属于基础题. 2．（22-23高二上·广东汕头·期中）给出下列条件（为直线，为平面）： ①垂直于内五边形的两条边； ②垂直于内三条不都平行的直线； ③垂直于内无数条直线； ④垂直于内正六边形的三条边. 其中能推出的所有条件的序号是 A．② B．①③ C．②④ D．③ 【答案】C 【详解】试题分析：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直. ①③都有可能垂直的是平行直线，不能推出.故选②④. 考点：空间点线面位置关系. 3．（2022高二下·河北·学业考试）如图，在正方体中，分别为棱，的中点.下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】A 【分析】根据线面平行、线面垂直的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，连接，由于是的中点，是的中点， 所以，而， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以，由于平面，平面， 所以平面，所以A选项正确. 由A选项的分析可知，而平面， 所以与平面相交，所以C选项错误. 由于与的夹角为，所以与平面不垂直，D选项错误. 设正方体的边长为，则，不满足勾股定理， 所以与不垂直，而平面，所以与平面不垂直， 所以B选项错误. 故选：A 4．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）过空间一定点可以作与已知直线垂直的平面的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】B 【分析】利用线面垂直的性质判断. 【详解】与已知直线垂直的不同的平面都互相平行，其中过空间一定点的且与已知直线垂直的有且只有一个. 故选：B 5．（24-25高三上·湖北·阶段练习）在四棱锥中，底面为正方形，，，，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D．16 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用几何法求出点到平面的距离，再利用锥体的体积公式计算即可. 【详解】在四棱锥中，取，的中点，连接， 由底面为正方形，得，由，得， 而平面，则平面，又平面， 于是平面平面，在平面内过点P作于O， 而平面平面， 因此平面，连接，平面，则，    设，由，得，， ，于是， 在中，， ， 因此，解得，则， 所以四棱锥的体积为. 故选：C 6．（24-25高二上·上海·期中）在长方体中，，则直线与直线所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】根据异面直线所成角的定义可得或其补角即为所求的角，再由余弦定理计算可得结果. 【详解】如图所示： 不妨设，则由长方体性质可得， 易知直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即为或其补角； 在中，可得， 由余弦定理可知. 故答案为： 7．（21-22高三下·湖北·阶段练习）已知两条异面直线a，b所成角为60°，在直线a上取点C，E．在直线b上取点D，F，使，且．已知，则线段EF的长为 ． 【答案】或2 【分析】先结合异面直线所成角的定义过点D作DK∥CE，则（或其补角）为异面直线a，b所的成角，进而分两种情况并结合勾股定理和余弦定理求得答案. 【详解】如图，过点D作DK∥CE，使得，则四边形是平行四边形，所以，且， 由异面直线所成角的定义，（或其补角）为异面直线a，b所成的角，不妨设，则，或． 先求，易知是正三角形，则 因为，所以，又，且，所以平面,而，于是平面，所以，于是. 再求，在中，由余弦定理可得，由前面推理可知，，所以. 于是或2. 故答案为：或2. 8．（21-22高一·全国·单元测试）已知是不重合的平面，l是直线，给出下列条件：①；②；③；④；⑤．当满足条件 时，有；当满足条件 时，有．（填序号） 【答案】 ③⑤ ②⑤ 【分析】由面面平行的性质与线面垂直的判定求解即可 【详解】若，，则有； 若，，则有； 故答案为：③⑤；②⑤ 9．（24-25高一下·全国·课前预习）面面垂直的定义 （1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直．若平面，互相垂直，则记作 ． （2）画法：在画两个垂直的平面时，通常把表示直立平面的平行四边形的竖边画成与表示水平平面的平行四边形的横边 ． 【答案】 直二面角 垂直 【分析】略 【详解】略 10．（24-25高一上·全国·期中）如图，已知棱长为的正方体，顶点在平面内，其余顶点都在平面同侧，且顶点到平面的距离分别为，则等于 ． 【答案】 【分析】证明平面，进而可得平面平面，即可根据，在平面的射影，与共线，利用锐角三角函数求解. 【详解】设，显然是的中点， 因为平面，到的距离为4， 所以到的距离分别为2，而到的距离为2， 因此，即，设平面， 所以，因为四边形是正方形，所以， 又平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，因此有平面，而， 所以平面平面，平面平面，， 所以，在平面的射影，与共线， 显然，如图所示： 由，， 由（负值舍去）， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据，即，设平面，根据线线垂直证明平面，因此有平面，即可得平面平面，利用投影共线，即可根据锐角三角函数求解. 11．（24-25高二上·云南昭通·期中）如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据当两直线所成的角是直角时，两直线垂直即可证明 （2）根据异面直线的定义可得 【详解】（1）如图所示，连接，   为正方体， ， 平面为平行四边形， . 为正方形， ， . （2）由面，面，且面面， 又与不平行，与是异面直线. 12．（2024高三·全国·专题练习）在四面体中，E、F 分别是的中点.若所成的角为，且，求的长. 【答案】 【分析】作出辅助线，找到或两种情况，结合余弦定理即可求解. 【详解】取的中点，连接， 因为E、F 分别是的中点，所以， 因为所成的角为，所以或， 如图1，，则， 如图，，则. 故的长为. 13．（22-23高一·全国·课后作业）在四棱柱中，侧面都是矩形，底面是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求. 【答案】 【分析】连接、，分析可知异面直线和所成的角为，设，计算出三边边长，利用勾股定理可得出关于的等式，即可求得的长. 【详解】解：连接、， 在四棱柱中，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 所以，异面直线和所成的角为， 因为四边形、均为矩形，则，， 在菱形中，，， 由余弦定理可得， 设，则， 因为，由勾股定理可得，即，解得. 14．（22-23高一下·安徽马鞍山·阶段练习）如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)点是的中点时，平面. 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，构造平行四边形，证明线线平行； （2）根据垂直关系的转化，转化为构造. 【详解】（1）取的中点，连结， 因为点分别是和的中点，所以，， 且，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面， 所以平面； （2）假设存在点，使平面， 因为，且点是的中点，所以， 且平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以四边形是正方形，则； 取的中点，连结，则， 则，，平面， 所以平面， 所以点是的中点时，平面. 15．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，是正三角形，．证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】取中点，连接，根据是正三角形可得，由余弦定理求长，再由勾股定理的逆定理得，结合面面垂直判定定理证得结论. 【详解】取中点，连接， 因为是正三角形，为中点， 所以， 由已知，则，， 又， 由余弦定理得， 则，故， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 学科网（北京）股份有限公司 $$