第04讲 空间直线、平面的平行（4个知识点+10大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年高一数学寒假衔接讲义（人教A版2019必修第二册）

第04讲 空间直线、平面的平行（4个知识点+10大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 等角定理的应用 题型二 判断线面平行 题型三 补全线面平行的条件 题型四 线面平行的性质 题型五 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 题型六 由线面平行求线段长度 题型七 判断面面平行 题型八 补全面面平行的条件 题型九 面面平行证明线线平行 题型十 面面平行证明线面平行 知识点一 直线与平面平行的定义 一条直线与一个平面平行，当且仅当这条直线不在该平面上，且与该平面没有交点。换句话说，如果一条直线与平面内的任意一条直线都不相交，则称这条直线与该平面平行。 知识点二 直线与平面平行的性质 无交点性：直线与平面平行时，它们之间不会有任何交点。这是判断直线与平面是否平行的重要依据。 距离恒定：平行于同一平面的所有直线到该平面的距离都相等。这个性质在解决空间几何问题时非常有用。 投影性质：当一条直线与一个平面平行时，这条直线在该平面上的投影是一条与该直线平行的直线。 知识点三 直线与平面平行的判定方法 1.斜率法：在平面直角坐标系中，如果一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，那么这条直线与该平面平行。具体来说，如果直线的方向向量为(\vec{d} = (a, b, c))，平面的法向量为(\vec{n} = (A, B, C))，则有(\vec{d} \cdot \vec{n} = aA + bB + cC = 0)。 2.平面外一点法：过平面外一点作与平面内一条直线平行的直线，则该直线与该平面平行。这个方法在几何作图中常用。 3.异面直线法：两条异面直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与该平面平行。这是根据异面直线的性质得出的判定方法。 知识点四 平面与平面平行 定义：两个平面没有公共点 判定：一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行 性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面；如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 常利用三角形中位线、平行四边形对边、已知直线作一平面找其交线 【核心考点一 等角定理的应用】 【例1】（23-24高二·上海·课堂例题）如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．全等 B．相似 C．相似但不全等 D．不相似 【答案】B 【分析】根据等角定理进行判断. 【详解】根据等角定理：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 两个三角形的两边分别平行，那么这两个三角形的三个角可能出现以下情况： （1）三组角对应相等，那么这两个三角形相似； （2）三组角中有一组对应角互补，如，，， 又，则，所以，此时两个三角形相似； （3）三组角中有两组对应角互补，如，，， 由，则，这与矛盾，故这种情况不会出现. （4）三组对应角都互补，即，，， 这与，矛盾，所以该情况也不会出现. 综上可知，两个三角形相似. 故选：B 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）若两等角的一组对应边平行，则（    ） A．另一组对应边平行； B．另一组对应边不平行； C．另一组对应边也可能垂直； D．以上皆有可能． 【答案】D 【分析】举例分析判断即可. 【详解】在长方体中， ，两组对应边分别是平行， ，一组对应边平行，另一组对应边不平行，且垂直， 故选：D 【例3】（24-25高二上·上海静安·期中）若与的两边分别平行且方向相同，若，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等角定理求解即可. 【详解】由与的两边分别平行且方向相同，得. 故答案为： 【例4】（24-25高二上·上海·期中）空间中两个角和，若，则的大小是 【答案】或 【分析】根据和相等或者互补即可求解. 【详解】因为， 所以和相等或者互补， 所以或. 故答案为:或. 【例5】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在两个相交平面、的交线上任意取两点O与．在平面上，过O与分别作射线OA与垂直于；在平面上，过O与分别作射线OB与垂直于．求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，利用等角定理推理得证. 【详解】依题意，，，则， 又，同理， 观察图形知，射线方向相同，射线方向相同，即的方向相同， 所以. 【核心考点二 判断线面平行】 【例1】（21-22高三上·陕西西安·期中）如图，在正方形中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【分析】连接，设，连接,，证明四边形为平行四边形可得,从而即可证明平面. 【详解】连接交于，连接，，，而，分别是，的中点， 所以，即，且，即， 则四边形为平行四边形，故，由平面平面，则平面. 故选：B. 【例2】（24-25高二上·上海崇明·期中）正方体中，与的交点称为正方体的中心，若平面经过该正方体的中心，且顶点，到平面的距离相等，则符合条件的平面的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．12个 D．无数个 【答案】D 【分析】根据题意只需作出过点并且和平行的平面即可得出平面的个数. 【详解】分别在上取点，使得，连接，如下图所示： 易知平面即为平面，此时，到平面的距离相等， 显然这样的平面可以作出无数个. 故选：D 【例3】（24-25高二上·上海·期中）如果平面外有两点、，它们到平面的距离都是3，则直线和平面的位置关系是 ． 【答案】平行或相交. 【分析】若在平面的同侧，可判断直线和平面平行；若在平面的两侧，可判断直线和平面相交； 【详解】若、在平面的同侧，因为平面外有两点、到平面的距离相等， 所以直线和平面平行； 若、在平面的两侧，因为平面外有两点、到平面的距离相等， 所以直线和平面相交； 综上所述:直线和平面的位置关系一定是平行或相交 故答案为：平行或相交. 【例4】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，，，，分别是正方体和正四面体所在棱的中点，则这四个点共面的图形是 ．（填序号）    【答案】①②③ 【分析】图①中，四点在梯形中，即可判定；图②中，四点在正六边形中，即可判定；图③中，四点在平行四边形中，可判定；图④中，由面，可判断. 【详解】图①中，连接，    易知①中四边形为梯形，故①共面； 图②中，可补齐为正六边形．    故②共面； 图③中，连接， 因为为中点，故且， 因为为中点，故且， 所以且，    所以四边形为平行四边形，故共面； 在图④中，因为为中点，故， 因为面，面，故面， 因此，，，四点不共面．    故答案为：①②③ 【例5】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在四面体ABCD中，E、F分别是、的重心．该四面体中，哪些面与EF平行？请说明理由． 【答案】平面、平面与EF平行，理由见解析 【分析】根据三角形重心的性质，结合三角形中位线定理、线面平行的判定定理进行判断证明即可. 【详解】设是的中点，因为E、F分别是、的重心． 所以为E、F分别在、上， 由三角形重心的性质可知：， 于是有， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 因此在四面体中，平面、平面与EF平行. 【核心考点三 补全线面平行的条件】 【例1】（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】在上取点，使得，在上取点，使得，则、，根据线面、面面平行的判定定理可证明平面平面，则点M的轨迹为线段，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，，在上取点，使得， 则且，所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 在上取点，使得， 有，所以，则， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，则点M的轨迹为线段. 在中，，由余弦定理， 得， 即点M的轨迹长度为. 故选：B 【例2】（22-23高一下·山东泰安·阶段练习）如图，在长方体中，分别是棱的中点，若点是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，建立空间坐标系，求出各点和各线段的坐标，求出平面的法向量，利用向量法表示线面平行得出，结合二次函数的性质即可得出结果. 【详解】如图设立空间坐标系，由题意可知： ， ，设， 则 ， 设平面的一个法向量为， 由，即，令，得， 又，PE平面， 所以，解得，所以， 故 ， 所以. 故选：C. 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）直线与平面平行的判定定理 直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与 ，那么该直线与此平面平行 符号语言 且 图形语言 【答案】此平面内的一条直线平行 【分析】略 【详解】略 【例4】（22-23高一下·江西·期末）在直线与平面平行的判定定理中，假设为平面，为两条不同直线，若要得到，则需要在条件“”之外补充的一个条件是 . 【答案】 【分析】根据线面平行的判断，即可补全. 【详解】由直线与平面平行的判断定理可知，还要保证直线在平面外，即. 故答案为： 【例5】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，点在棱上，平面. (1)试确定点的位置，并说明理由； (2)是否存在实数，使三棱锥体积为，若存在，请求出具体值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)点是的中点，理由见解析 (2)存在，使三棱锥体积为 【分析】（1）连接，交于点，连结，根据线面平行的性质定理，证出，再结合是的中点，判断出点是的中点，可得答案；（2）若三棱锥体积为，则可推出三棱锥的体积为，进而利用棱锥的体积公式与底面，列式算出实数的值，即可得到答案. 【详解】（1）点是的中点，理由如下： 连接，交于点，连结， 底面是正方形，、相交于点， 是的中点， 平面，含于平面，平面平面， ， 中，是的中点， 是的中点. （2）为中点， . 若，则   底面，，      ，解得.    存在，使三棱锥体积为. 【核心考点四 线面平行的性质】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线面平行的性质定理得到，故，转化为求即可． 【详解】    连接 交 于 ，连接 ， 因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 ，所以 . 又 ， 为 的中点， 所以 ， 所以 . 故选：D. 【例2】（2024·山东·一模）如图所示，在四棱锥中，分别为上的点，且平面，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上均有可能 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用线面平行的性质推理判断即可. 【详解】直线平面，平面，平面平面， 所以. 故选：B 【例3】（2025高三·全国·专题练习）直线与平面平行 （1）直线与平面平行的定义 直线与平面没有公共点，则称直线与平面平行. （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果平面外一条直线与此平面内的 平行，那么该直线与此平面平行 性质定理 一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与 平行 【答案】 一条直线 交线 【分析】略 【详解】略 【例4】（2024·辽宁·模拟预测）已知四棱锥的底面是边长的正方形，，平面，为线段的中点，若空间中存在平而满足，，记平面与直线，分别交于点，，则= ，四边形的面积为 ． 【答案】 / 【分析】根据题意作出平面即平面，取中点，利用平行线成比例式可得进而求出的值；通过线面平行的性质得到，，推理得到，故可间接法求得四边形的面积. 【详解】 如图，过点作的平行线分别交的延长线于点， 则分别为的中点，连接，分别交于点，则平面即平面， 取的中点，由是正方形，得连接，则， ，，因此； 连接，因为，平面平面，平面，所以， 所以，， 依题意，,由，得，由，得,从而， 由，得为的中点，由，得,, ,因, 故四边形的面积． 故答案为：； 【点睛】思路点睛：解题思路在于正确理解题意，作出合理的截面，充分利用平行与垂直的判定、性质定理，借助于相似三角形和三角形之间的面积关系计算即得. 【例5】（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面为正方形，且面.设平面与平面的交线为. 证明：. 【答案】证明见解析 【分析】由线线平行得到线面平行，再用线面平行证明线线平行. 【详解】因为为正方形，∴ ， 又∵ 平面，平面. ∴平面， 又 ∵平面，平面平面， ∴. 【核心考点五 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，交于点O，E为中点，F在上，，∥平面，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据∽，得到，利用平面，得到，结合比例式的性质，得到，即可求解. 【详解】设与交于点，连接，如图所示，    因为为的中点，则， 由四边形是平行四边形，可得，则∽， 所以，所以， 又因为平面，平面，平面平面， 所以，所以. 故选：D. 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）在空间四边形中，，，，分别是，，，上的点，当平面时，下列结论中正确的是（    ） A．，，，一定是各边的中点 B．，一定是，的中点 C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】运用线面平行的性质，结合平行线分线段成比例定理可解. 【详解】∵在三棱锥中，分别是上的点. 平面，平面,平面平面 ∴，同理. ∴且． 由题意无法确定其余选项是否正确， 故选：D．    【例3】（24-25高三上·湖南长沙·期中）在棱长为 4的正四面体中，为其外接球的球心，过点 作平面使得 .若，则截正四面体所得截面的面积为 . 【答案】 【分析】根据正四面体的对称性确定截面，分析计算截面三角形的底和高，利用公式求面积. 【详解】 如图，即为截面三角形，取中点，连接 ，，连接. 由对称性得，为等边的中心、重心， 三点共线，. ∵平面，平面，平面平面， ∴，分别为线段上靠近点的三等分点，. 在 中，， 由为的中心得平面， ∵平面，平面，∴，， 由题意得，，故， ∴的面积为：. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查正四面体截面问题，具体思路如下： （1）利用正四面体的对称性，确定截面三角形各个顶点的位置. （2）利用线面平行的性质转线线平行，得到截面三角形为等腰三角形，计算等腰三角形的底和高，结合公式求面积. 【例4】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 ． 【答案】2 【分析】连接相交于，根据线面平行的性质、可得答案. 【详解】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 可得. 故答案为：. 【例5】（21-22高一下·山东青岛·期中）如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析， 【分析】（1）由已知结合线面平行的判定定理可得出结论； （2）连接交于，连接，由线面平行的性质定理可得出，利用计算出的值，进而可求得的值. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面； （2）连接交于，连接， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 则，可得， 又因为，可知，则， 因此，. 【核心考点六 由线面平行求线段长度】 【例1】（22-23高三上·湖南湘潭·开学考试）已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱 上的点， 且 ， 当 平面 时， 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作交于，利用线面平行的性质可得，进而可得四边形为平行四边形，，即得. 【详解】过作交于，连接， 因为，∴，故共面, 因为 平面 ，平面平面 ，平面， 所以，又, ∴四边形为平行四边形， 又， ∴， 所以. 故选：B． 【例2】（21-22高一·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线面平行的性质定理及三角形的中位线定理，结合勾股定理即可求解. 【详解】连接，，则过点.如图所示 ∵平面，平面平面，平面， ∴，∵， ∴. 故选：B. 【例3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是梯形，，且平面，，与平面分别交于点，，且点是的中点，，，则 ． 【答案】5 【分析】运用线面平行的性质得到线线平行，结合梯形中位线性质解题即可. 【详解】因为平面，平面，平面平面，所以， 又点是的中点，，所以是梯形的中位线，结合已知有． 故答案为：5. 【例4】（2024·浙江·模拟预测）三棱锥的所有棱长均为2，E，F分别为线段BC与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若平面ABD，则线段MN长度的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】延长CM交AB于点I，设，由余弦定理得，根据角平分线定理以及平行线性质可知，运用换元法和二次函数性质可得线段MN长度的最小值． 【详解】延长CM交AB于点I，因为平面ABD， 由线面平行性质定理可知，设， 因为三棱锥的所有棱长均为2， 所以，且E为线段BC的中点， 所以AE平分∠BAC，由角平分线定理可知， 所以， 因为F为线段AD的中点，所以， 由余弦定理可知， 所以， 令，，化简可得， 因为，所以， 则在时取得最小值， 所以， 综上当，即时MN取得最小值． 故答案为：． 【例5】（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，依题意可得为的中点，从而得到，再由正方体的性质得到，从而得到，即可得证； （2）求出和时的长度，即可得到的取值范围. 【详解】（1）连接， 因为为的中点，当时， 所以为的中点，所以， 又且，所以四边形为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）当时为的中点，连接交于点，连接， 连接交于点，取的中点，连接、， 因为分别为的中点，所以， 则为的中点，所以， 又且，所以为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面平面，平面， 所以，所以和重合， 又，此时， 当时与点重合，在上取点使得，连接， 由前述说明可知为的中点，则， 又，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以， 综上可得当时，求长度的取值范围为. 【核心考点七 判断面面平行】 【例1】（24-25高一下·全国·课前预习）如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一定成立的是（    ） A．这两个角相等 B．这两个角互补 C．这两个角所在的两个平面平行 D．这两个角所在的两个平面平行或重合 【答案】D 【分析】根据等角定理结合面面平行的判定定理分析判断即可 【详解】若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补； 若这两个角分别在两个平面，则由面面平行的判定定理可知，这两个角所在的两个平面平行， 若两个角在同一个平面，则这两个角所在的两个平面重合. 故选：D 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知，是两条直线，，是两个平面，有以下三个命题： ①，相交且都在平面，外，，，，，则； ②若，，则； ③若，，，则． 其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据面面平行的判定定理判断即可. 【详解】①因为相交，所以共面，设这个平面为， 因为，，，，相交，所以， 同理可得， 所以，故①正确； ②，有可能相交，若平行，的交线，此时也满足，， 故②错； ③，有可能相交，若，平行，的交线，此时也满足，，，故③错. 故选：B. 【例3】（24-25高二上·内蒙古兴安盟·开学考试）如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中， ①平面；②平面； ③平面平面；④平面平面. 以上四个命题中，正确命题的序号是 .    【答案】①②③④ 【分析】先把正方体的平面展开图还原成正方体，命题①②，利用线面平行的判定定理，即可判断；命题③④，利用面面平行的判定定理，即可判断. 【详解】把正方体的平面展开图还原成正方体，如图所示， 对于①，因为，平面，平面，所以平面，命题①正确； 对于②，，平面，平面，所以平面，命题②正确； 对于③，，面，面，，面，面， 所以面，面，又，、平面， 所以平面平面，命题③正确； 对于④，，面，面，，面，面， 所以面，面，又，、平面， 所以平面平面，命题④正确.    故答案为：①②③④. 【例4】（24-25高一下·全国·课前预习）平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的__________与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 图形语言 【答案】两条相交直线；；； 【分析】略 【详解】略 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）如图（1），a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图（2），c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？ 【答案】答案见解析 【详解】根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系，如图所示． 硬纸片和桌面不一定平行，三角尺和桌面一定平行，． 【核心考点八 补全面面平行的条件】 【例1】（21-22高一下·河北张家口·期末）已知为直线，、为两个不同的平面，下面的条件能得出的是（    ） A．， B．， C．， D．与、所成角相等 【答案】C 【分析】根据平面的基本性质，由线面关系判断面面关系判断A、B、D，利用线面垂直的性质及面面平行的判定即可判断C. 【详解】A：由，，则、可能相交或平行，不合要求； B：由，，则、可能相交或平行，不合要求； C：由，若、且相交，则，又，故，所以，符合. D：由与、所成角相等，则、可能相交或平行，不合要求； 故选：C 【例2】（22-23高二下·吉林·阶段练习）平面α与平面β平行的充分条件可以是（    ） A．α内有无穷多条直线都与β平行 B．直线aα，aβ，且直线a不在α与β内 C．直线 ，直线，且bα，aβ D．α内的任何直线都与β平行 【答案】D 【分析】由平面的基本性质，结合线面、面面间的关系判断是否有面面平行即可. 【详解】A：α内有无穷多条直线都与β平行，则面α与面β可能平行也可能相交，错误； B：直线aα，aβ，且直线a不在α与β内，则面α与面β可能平行也可能相交，错误； C：直线 ，直线，且bα，aβ，则面α与面β可能平行也可能相交，错误； D：α内的任何直线都与β平行，α内任取两条相交的直线平行于β，由面面平行的判定知，正确. 故选：D. 【例3】（24-25高二上·湖北随州·阶段练习）设，为两个平面，则的充要条件是 . 【答案】内有两条相交直线与平行（答案不唯一） 【分析】根据空间面面平行的判定定理即可判断. 【详解】根据面面平行的判定定理可知：的充要条件是内有两条相交直线与平行. 故答案为：内有两条相交直线与平行（答案不唯一） 【例4】（21-22高二上·上海浦东新·期中）在两平面平行的判定定理中，假设为两不同平面，为两不同直线，若要得到，则需要在条件“”之外补充条件 . 【答案】 【分析】确定为平面内的两条相交直线，，故，得到答案. 【详解】因为一个平面内两条相交直线平行于另一个面，则这两个面平行， 所以要证，需要，，以及，共五个条件， 所以需要在条件“”之外补充条件是. 故答案为：. 【例5】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．若，则在线段上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，． 【分析】过作∥，交于，连接，，则可得，由已知可得，则得，所以，在中可求得，所以∥，然后利用面面平行的判定定理可证得结论. 【详解】在线段上存在一点，使平面∥平面．理由如下： 如图，过作∥，交于，连接，， 因为，所以是上靠近点的三等分点，是上靠近点的三等分点， 因为，所以． 因为，，， 所以， 因为，所以，， 所以，所以， 因为， 所以，所以∥． 因为平面，平面，所以∥平面， 又∥，平面，平面， 所以∥平面， 因为，，平面， 所以平面∥平面， 所以在线段上存在一点，使平面∥平面， 此时． 【核心考点九 面面平行证明线线平行】 【例1】（22-23高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于，结合面面平行性质定理证明，证明，结合相似三角形性质证明结论. 【详解】解析如图所示，延长交于，连接， 则，所以. 因为平面平面，平面平面， 平面平面， 所以，又四边形是平行四边形， 所以，所以. 因为，所以. 因为，所以， 所以， 故选：B.    【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知P为△所在平面外一点，平面∥平，且交线段于点，若，则:（    ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 【答案】D 【分析】根据平行平面的性质得出线线平行，再由面积比等于相似比的平方计算. 【详解】∵平面∥平面，平面平面，平面平面， ，同理可得， ∴:， 又，∴， ∴:. 故选：D 【例3】（2024高三·全国·专题练习）已知平面平面平面，两条直线分别与平面相交于点和，若，则 . 【答案】15 【分析】根据面面平行的性质可以得到线线平行，从而利用平行线分线段成比例即可求解. 【详解】如图，连接与平面交于点，连接， 因为，且平面平面，平面平面， 所以所以， 同理可得，所以， ，由，得， 又， . 故答案为：. 【例4】（24-25高二上·上海·期中）已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为 . 【答案】或 【分析】由可知，根据两平面在点的同侧和异侧分别讨论，结合相似可得解. 【详解】 由已知，平面，平面， 所以， 当平面，在点同侧时，由可知点在靠近平面一侧， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 当平面，在点异侧时， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 综上所述或， 故答案为：或. 【例5】（2025高三·全国·专题练习）在三棱锥中，平面，是上一点，且，连接与，为中点. 过点的平面平行于平面且与交于点，求； 【答案】. 【分析】先作图由线面平行得出面面平行，再由面面平行性质定理得出线线平行即可得出线线比例. 【详解】 过作，交于，交于；过作交于. 因为，平面，平面，则平面， 同理平面， 由，且 、平面，所以平面平面， 平面即为题中所述平面. 因为平面平面，平面平面，所以， 所以. 因为，所以. 因为为中点，且，所以为中点，所以， 所以，则. 【核心考点十 面面平行证明线面平行】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）若平面α∥平面β，l⊂α，则l与β的位置关系是（    ） A．l与β相交 B．l与β平行 C．l在β内 D．无法判定 【答案】B 【分析】根据面面平行的性质定理即可得结果. 【详解】∵α∥β，∴α与β无公共点. ∵l⊂α，∴l与β无公共点， ∴l∥β. 故选：. 【例2】（23-24高一下·陕西西安·期末）设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，且，，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用面面平行的性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，，，则且， 反之，当且时，若，则或与相交， 所以“”是“且”的充分不必要条件. 故选：A 【例3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形的边上及其内部运动，则满足 时，有平面． 【答案】在线段上 【分析】根据平面平面，可知平面内任意一条直线都与平面平行，而点在四边形上及其内部运动，所以满足条件． 【详解】 连接，，，,． 由题易知,，平面,平面, 平面 又，同理可证平面, 又，，平面， 平面平面． 点在四边形的边上及其内部运动，平面平面,． 故答案为：在线段上, 【例4】（24-25高一下·全国·课后作业）四棱锥中，底面是边长为的菱形ABCD，平面ABCD，且，E是棱BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持平面SAC，则动点P的轨迹的周长为 ． 【答案】 【分析】应用面面平行得出线面平行，再计算边长进而得出周长. 【详解】取AB中点F，SB中点G，连接EF，FG，GE． 因为E，F分别是BC，BA中点，所以，又平面SAC，平面SAC，所以平面SAC，同理平面SAC， 又平面EFG，所以平面平面SAC， 所以平面中任意直线平行于平面SAC，则平面EFG． 又点P在四棱锥表面上运动，所以动点P的轨迹周长即为的周长 因为四边形ABCD是边长为的菱形且，所以，则，又，所以，，则， 所以的周长为．    故答案为：. 【例5】（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，E为PC的中点．求证：平面PAD．    【答案】证明见解析 【分析】方法一：取PD的中点F，连接EF，FA，先证明，得到四边形ABEF为平行四边形，进而得到，进而求证即可； 方法二：延长DA，CB相交于H，连接PH，结合题设可得B为HC的中点，进而得到，进而求证即可； 方法三：取CD的中点H，连接BH，HE，可得，进而得到平面PAD，再结合题设得到，进而得到平面PAD，进而得到平面平面PAD，进而求证即可. 【详解】方法一：如图，取PD的中点F，连接EF，FA．    由题意知EF为的中位线， ∴，且． 又∵，， ∴，且， ∴四边形ABEF为平行四边形，∴． 又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD． 方法二：如图，延长DA，CB相交于H，连接PH，    ∵，，， ∴， 即B为HC的中点， 又E为PC的中点，∴， 又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD． 方法三：如图，取CD的中点H，连接BH，HE，    ∵E为PC的中点， ∴， 又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD， 又由题意知且， ∴四边形ABHD为平行四边形，∴， 又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD， 又，BH，平面BHE， ∴平面平面PAD， 又平面BHE，∴平面PAD． 【变式训练1 等角定理的应用】 1．（21-22高一·全国·课前预习）在三棱锥P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【分析】由分别为的中点，得到，结合题意得出，即可求解. 【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得， 又因为，所以，所以. 故选：D. 2．（21-22高一·全国·课后作业）给出下列命题： ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补． 其中正确的命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】对于①，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，据此判断；对于②，根据等角定理判断；对于③，空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不互补，据此判断. 【详解】对于①，这两个角也可能互补，故①错误；根据等角定理，②显然正确； 对于③，如图所示， BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误．所以正确的命题有1个． 故选：B 3．（24-25高二上·上海·期中）已知角的两边和角的两边分别平行且，则 . 【答案】或 【分析】由等角定理求解即可. 【详解】角的两边和角的两边分别平行且， 由等角定理可知，或， 则或， 故答案为：或 4．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知角的两边和角的两边分别平行且，则 ． 【答案】或 【分析】由等角定理即可求解 【详解】由题意可知或 所以或 故答案为：或 5．（22-23高一·全国·课后作业）如图，三棱柱中，，，分别为，，的中点.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】通过平行以及长度关系证明，，然后根据等角定理证明. 【详解】证明：因为，分别是，的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以. 同理可证， 又与方向相同，所以. 【变式训练2 判断线面平行】 1．（24-25高二上·河南周口·开学考试）已知为异面直线，则过空间一点且与都平行的平面有（   ） A．个或个 B．个 C．个 D．无数个 【答案】A 【分析】在直线上任取一点， 过点作直线，在直线上任取一点，过点作直线，直线可以确定一平面， 记该平面为，直线可以确定一平面，记该平面为，讨论点的位置，确定满足条件的平面的个数. 【详解】在直线上任取一点，由已知， 过点作直线， 因为，故直线可以确定一平面，记该平面为， 在直线上任取一点，由已知， 过点作直线， 因为，故直线可以确定一平面，记该平面为， 当点或时，过点不存在与都平行的平面， 当点且时，如图，    过点作， 因为直线，所以直线，可以确定一个平面，记为平面， 因为，，， 所以直线，同理可证， 此时过点有且仅有一个平面与都平行. 故选：A. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线线平行证明线面平行. 【详解】A选项： 如图所示，由中位线性质可知，且平面，则与平面不平行，A选项满足题意； B选项：由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知B不满足题意； C选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知C不满足题意； D选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知D不满足题意， 故选：A． 3．（2024高三·全国·专题练习）如图甲，在梯形中，，分别为的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论是 . ①平面；②平面；③平面. 【答案】①③ 【分析】利用线面平行的判定定理一一判定选项即可. 【详解】对于①，由题意得， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面，故①正确； 对于②，取的中点G，连接， ∵E是的中点，， ∴， ∴四边形为梯形， ∴直线与直线相交， ∴与平面相交，故②错误； 对于③，连接，交于点O，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴O是的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面，故③正确． 故答案为：①③ 4．（2024高三·全国·专题练习）如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是 【答案】平行 【分析】根据题意，可得把三条线段放在正方体中，结合线面平行的判定定理，即可得到结论. 【详解】如图所示，把这三条线段放在正方体内， 因为分别为的中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面.    故答案为：平行. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知下列四个命题： （1）直线与平面没有公共点，则直线与平面平行； （2）直线上有两个点到平面的距离（不为0）相等，则直线与平面平行； （3）直线与平面上任意一条直线不相交，则直线与平面平行； （4）直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行. 指出其中正确的命题，并说明理由． 【答案】（1）（3）正确，（2）（4）错误，理由见解析. 【分析】根据直线与平面平行的定义判断（1）（3）（4）；举例说明判断（2）. 【详解】对于（1），当直线与平面没有公共点时，由直线与平面平行的定义，得直线与平面平行，（1）正确； 对于（2），当直线与平面相交时，若直线上的两个点的中点在平面上， 则这两个点到平面的距离（不为零）相等，（2）错误； 对于（3），直线与平面上任意一条直线不相交，说明直线与平面没有公共点，则直线与平面平行，（3）正确； 对于（4），当直线与平面内的无数条直线不相交时，直线可能在平面内，或与平面相交，或与平面平行，（4）错误， 【变式训练3 补全线面平行的条件】 1．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）在空间中，直线平面的一个充要条件是（    ） A．内有一条直线与平行 B．内有无数条直线与平行 C．任意一条与垂直的直线都垂直于 D．存在一个与平行的平面经过 【答案】D 【分析】根据线面平行的性质即可结合选项求解. 【详解】对于A，B，C，直线都可能在内， 故选:D． 2．（2022高三·全国·专题练习）已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点为的中点，取的中点，连接，，然后证明平面即可. 【详解】如图，设点为的中点，取的中点，连接，，    则，又平面，平面，∴平面， 易知，故平面与平面是同一个平面， ∴平面，此时， 故选：B 3．（22-23高一上·河南商丘·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件： 时，平面. 【答案】答案表述不唯一) 【分析】当为的中点，为的中点时，根据三角形中位线的性质即可判断，从而可得平面，由此可得出点满足条件的结论. 【详解】连接交于O，连接OE， 平面平面，平面平面 ， . 又 底面为平行四边形，为对角线与的交点， 故为的中点, 为的中点， 故当满足条件: 时，面. 故答案为: 答案表述不唯一) 4．（21-22高一·全国·课后作业）如图，在三棱台中，，E，F分别是的中点，点M在上，，若点N在平面内，且平面，则点N的位置是 ．（写出一种即可） 【答案】N是线段上靠近点的三等分点（答案不唯一） 【分析】当时，连接，利用线面平行的判定定理可得答案. 【详解】当时，连接，因为，所以， 因为E，F分别为的中点，所以，从而， 又平面平面，所以平面． 故答案为：N是线段上靠近点的三等分点（答案不唯一）. 5．（2023高三·全国·专题练习）如图，已知正方体，点是棱的中点．在棱上找一个点，使直线与平面平行并证明． 【答案】点为棱中点时，证明见解析 【分析】根据题意确定点为棱中点，通过线面平行的判断定理证明即可. 【详解】当点为棱中点时，此时直线与平面平行， 证明如下：∵点分别为棱和中点， ∴，∵平面，平面， ∴平面． 【变式训练4 线面平行的性质】 1．（2024高三·全国·专题练习）下列命题中正确的个数是(    ) ①若直线上有无数个点不在平面内，则；②若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都平行；③若直线直线，直线平面，则直线平面； ④若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】对于①，由线面位置关系的定义判断；对于②，由线面平行的性质判断；对于③，由线面平行的判定定理判断；对于④，由线面平行的定义判断. 【详解】对于①，若直线上有无数个点不在平面内，则直线可能与平面相交，也可能与平面平行，①错误； 对于②，当直线 平面时，直线与平面内的直线平行或异面，②错误； 对于③，当直线直线，直线平面，则直线平面，或直线在平面内，③错误； 对于④，当直线平面时，则直线与平面无公共点，所以直线与平面内的任意一条直线都没有公共点，④正确. 故选：B. 2．（24-25高二上·北京·期中）如图，在四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面平行的性质分析判断即可. 【详解】因为平面，平面，平面平面， 所以. 故选：B. 3．（24-25高一下·全国·课前预习）直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面 ，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与 平行． 符号语言 若， ，则 图形语言 【答案】 平行 交线 ， 【详解】略 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，分别为线段，上一点，若，且平面，则的值为 ． 【答案】2 【分析】运用线面平行的性质,结合平行线性质可解 【详解】如图，连接交于点，连接交于点，连接． 由平面，平面，平面平面，得． ，，为的中点． 作，交于点，． ，， ． 故答案为：2. 5．（2024高三·全国·专题练习）如图，且，，且，且，平面，，设平面与平面的交线为，求证：； 【答案】证明见解析 【分析】由线面平行的判定定理和性质定理证明即可； 【详解】因为，，所以， 又平面，平面， 所以平面，又平面，平面平面， 所以. 【变式训练5 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 1．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可. 【详解】 如图，连接交于点，连接 因为平面平面，平面平面所以， 所以，因为为的三等分点， 则即. 故选：D. 2．（23-24高二上·上海·阶段练习）在棱长为10的正方体中，为左侧面上一点，已知点到的距离为2，点到的距离为3，则过点且与平行的直线交正方体于两点，则点所在的平面是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面的基本性质，确定点与直线所确定的平面，即直线所确定的平面，延长，交于点M，即得Q所在的平面. 【详解】如图，由条件可知直线交线段于点，连接，过点作的平行线，必与相交，那么也与平面相交. 故选：C. 3．（21-22高二下·江西南昌·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点O，E为的中点，F在上，，平面，则的值为 . 【答案】3 【分析】根据，得到，利用平面，得到，结合比例式的性质，得到，即可求解. 【详解】解：设与交于点，连接，如图所示，因为为的中点，则， 由四边形是菱形，可得，则， 所以，所以， 又因为平面，平面，平面平面， 所以，所以. 故答案为：3. 4．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面α，使SB∥α，设α与SM交于点N，则的值为 ． 【答案】 【详解】连接MB交AC于点D，连接ND，NA，NC， 则平面NAC即为平面α.因为SB∥α，平面SMB∩α＝DN，SB⊂平面SMB，所以SB∥DN.因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，所以∠ABM＝∠BMC＝∠MBC＝∠BAC＝30°，MC＝BC＝AB，所以MC∥AB且MC＝AB，所以＝＝.又SB∥DN，所以＝＝，所以＝. 5．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面相交于CD，是上异于C，D的点．在线段AM上是否存在点，使得平面？说明理由． 【答案】存在；理由见解析 【分析】如图，连接AC，BD交于点，可得，则可得平面． 【详解】存在，当为AM的中点时，平面． 理由如下： 如图，连接AC，BD交于点，因为四边形为矩形，所以为AC的中点， 连接OP，因为为AM的中点，所以， 又不在平面内，平面，所以平面． 【变式训练6 由线面平行求线段长度】 1．（2022高三·全国·专题练习）空间四边形的两条对角线，的长分别为4，，则平行于两条对角线的截面四边形在平移过程中，其周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可证四边形为平行四边形，设，即可表示出、，从而表示出四边形的周长，即可求出周长的取值范围； 【详解】解：依题意平面，平面，平面平面，所以，又平面，平面平面，所以，所以，同理可得，所以四边形为平行四边形， 设，， ，， ． 又， 所以 周长的范围为． 故选：B． 3．（2021·山西吕梁·三模）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过A1B且与AC1平行的平面交B1C1于点P，则PC1＝（　　） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】首先根据线面平行的性质定理，作辅助线，找到包含的平面与平面的交线，即可计算的值. 【详解】连结，交于点，连结和，， 因为平面，又平面，且平面平面， 所以，又点是的中点，所以是的中点， 所以 故选：D 3．（22-23高二上·四川巴中·期末）如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则 . 【答案】 【分析】根据线面平行的性质定理，可得到，即可求的长. 【详解】根据题意，因为平面，平面， 且平面平面 所以. 又是的中点，所以是的中点. 因为在中，，故. 故答案为： 4．（22-23高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且∥平面，则线段MN的最大值为 .    【答案】 【分析】利用面面平行的性质，通过平面平面，得出点在线段上，从而求出线段的最大值． 【详解】如图，    取的中点，取的中点，连接，，，所以， 又面，面，所以平面， 又为的中点，所以， 又面，面，所以平面， 又，面，面，所以平面平面， 又因为是侧面上一点，且平面， 所以在线段上， 因为正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是 所以平面，因为平面，所以 又M为的中点，所以 所以 则，又 所以线段的最大值为． 故答案为：． 5．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在四面体中，分别是四面体的棱上的点，且、在同一个平面上，已知四边形平行于四面体的一组对棱和，若，求四边形的周长． 【答案】 【分析】设，利用线面平行的性质定理得到，可得四边形是平行四边形，然后利用线段成比例，即可求解. 【详解】设， 平面，面面， 且面面，面面， ，，同理可得． 四边形是平行四边形， ， ，， 四边形的周长为． 【变式训练7 判断面面平行】 1．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知正四面体中，是棱上一点，过作平面，满足，若到平面的距离分别是3和9，则正四面体的外接球被平面截得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】补形成正方体，求出正方体棱长，然后可得外接球半径，然后可解. 【详解】将正四面体补形成正方体，如图， 因为，，所以， 又是平面内的相交直线，所以平面平面， 因为到平面的距离分别是3和9，所以正方体棱长为， 结合正方体对称性可知，球心到平面的距离为3， 记正四面体的外接球的半径为，则，解得， 则外接球被平面截得的截面半径， 所以，截面面积为. 故选：A 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在下列四个正方体中，，，，，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与，，三点所在平面平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，经过，，三点的平面如图，截面为六边形（，，为所在棱的中点），然后逐个分析判断即可. 【详解】由题意可知，经过，，三点的平面如图，截面为六边形（，，为所在棱的中点）， 对于A，由图可知与是相交直线，所以A错误； 对于BC，由图可知在经过，，三点的平面上，所以B，C错误； 对于D，因为分别为的中点， 所以∥，∥， 因为平面，平面， 所以∥平面，∥平面， 因为平面，所以平面∥平面，所以D正确. 故选：D 3．（24-25高一下·全国·课前预习）两个平面平行的定义 如果两个平面，没有 ，就称这两个平面平行，记作 ，用集合语言描述，就是 . 【答案】 公共点 【分析】略 【详解】略 4．（24-25高二上·上海·课前预习）平面与平面的位置关系 两个平面与的位置关系只有两种：相交于一条公共直线l，记作 ；没有公共点，即与平行，记作 ． 【答案】 或 【分析】略 【详解】略 5．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，在三棱锥中，、分别为、的中点，求证： (1)∥平面； (2)若点为棱上一点，是确定点的位置，使得平面∥平面，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)点为棱的中点时，平面∥平面；理由见解析. 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得∥，进而根据线面平行的判定定理可得∥平面； （2）根据面面平行的判定，先找到线面平行，当为中点时，运用三角形中位线特征可得线面平行，进而得到面面平行． 【详解】（1）证明：因为在中，、分别为、的中点， 则有∥， 又平面，平面， 所以∥平面． （2）解：当点为棱的中点时，平面∥平面，理由如下： 由（1）知，∥平面， 同理：∥平面， 又平面，平面，， 所以平面∥平面． 【变式训练8 补全面面平行的条件】 1．（22-23高一·全国·课后作业）在三棱台A1B1C1﹣ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是内（含边界）的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，则动点M的轨迹是（    ）    A．平面 B．直线 C．线段，但只含1个端点 D．圆 【答案】C 【分析】利用面面平行的判定定理构造平面平面，由此确定点的轨迹. 【详解】过D作DN∥A1C1，交B1C1于N，连结BN， 由于平面,平面，所以平面. ∵在三棱台A1B1C1﹣ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD， 且平面,平面， ∴平面. ∵AA1∩A1C1＝A1，BD∩DN＝D， ∴平面BDN∥平面A1C， ∵点M是内（含边界）的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C， ∴M的轨迹是线段DN，且M与D不重合， ∴动点M的轨迹是线段，但只含1个端点. 故选：C    【点睛】本小题主要考查面面平行的判定定理，属于基础题. 2．（2022高一上·全国·专题练习）已知平面α内的两条直线a，b，a∥β，b∥β，若要得出平面α∥平面β，则直线a，b的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 【答案】A 【分析】根据面面平行的判定：如果平面α内的两条直线a，b相交，且a∥β，b∥β，则平面α∥平面β，得到结论． 【详解】根据面面平行的判定：如果平面α内的两条直线a，b相交，且a∥β，b∥β， 则平面α∥平面β， 则直线a，b的位置关系是相交， 故选：A． 【点睛】考查了面面平行的判定定理，基础题 3．（2022高三·江苏·专题练习）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且，G在CC1上且平面AEF平面BD1G，则 【答案】 【分析】先推导出，EFBD1，平面平面，由在上且平面平面，可得，从而 【详解】∵平面AEF平面BD1G，且平面AEF∩平面BB1D1D=EF，平面BD1G∩平面BB1D1D=BD1，∴EFBD1，∴ 易得平面ADD1A1平面BCC1B1，又BG⊂平面BCC1B1，∴BG平面ADD1A1， 又∵平面AEF平面BD1G，BG⊂平面BD1G，∴BG平面AEF， ∵平面AEF∩平面ADD1A1=AF， ∴BGAF，∴BG､AF可确定平面ABGF， 又知平面ABB1A1平面CDD1C1， 平面ABGF∩平面ABB1A1=AB，平面ABGF∩平面CDD1C1=FG， ∴ABFG，∴CDFG. ∴. 故答案为：. 4．（2021·江西·二模）如图，在平行六面体中，所有棱长均为a，且，点E在楼上，且，平面α过点E且平行于平面，则平面α与平行六面体各表面交线围成的多边形的面积是 . 【答案】 【分析】根据题意作出截面，由此可求得答案． 【详解】如图，符合条件的截面是六边形EFGHMN， ，且六边形内角均为， 连接EG，GM，ME，可知△EGM为等边三角形， ， 所以面积为. 故答案为：． 5．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在正方体中，为的中点．能否同时过，B两点作平面，使平面平面？证明你的结论．    【答案】能，证明见解析 【分析】连接，取的中点，连接，则与所确定的平面即为满足条件的平面，由面面平行的判定即可证明. 【详解】能作出满足条件的平面，其作法如下： 如图，连接，取的中点，连接，则与所确定的平面即为满足条件的平面．    证明如下：连接交于，连接，则为的中点，又为的中点，则． 因为平面，平面，故平面． 又因为为的中点， 所以，则四边形是平行四边形，故，又平面，平面，从而平面． 又因为，，，所以平面平面． 【变式训练9 面面平行证明线线平行】 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在三棱柱中，点在棱上，且，点为的中点，点在棱上，若平面，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可得结论. 【详解】依题意，作出图形如图所示 设为的中点，因为为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 连接，又因为平面，，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面， 所以，又，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，又， 所以，所以，所以. 故选：B. 2．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知正方体，平面与平面的交线为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用面面平行的性质定理可得，再逐项分析求解即可. 【详解】正方体中，平面平面， 平面平面，平面平面，所以， 正方体中，且，四边形为平行四边形， 则有，所以，C选项正确； 都与相交，则与都不平行，ABD选项都错误. 故选：C. 3．（24-25高二·上海·随堂练习）已知平面∥平面∥平面，平面在平面、平面之间，和的距离为5，和的距离为3，直线l和、、分别交于点A、B、C，且，则 ． 【答案】 【分析】如图，过点作于，交于，则可得∥，然后利用平行线分线段成比例定理可求得结果. 【详解】如图，过点作于，交于， 因为平面∥平面∥平面，平面在平面、平面之间， 所以， 则由题意可得， 分别连接，因为，所以与可确定平面， 因为平面∥平面，平面平面，平面平面， 所以∥， 所以， 所以，解得. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·课前预习）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线 ． 【答案】平行 【分析】由面面平行的判定定理，即可得到结果. 【详解】由面面平行的判定定理可知，如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 故答案为：平行 5．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，平面平面，，分别在，内，线段，，共点于，在平面和平面之间，若，，，，求的面积． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用面面平行的性质证得线线平行，进而证得三角形相似，再利用相似三角形性质求出面积. 【详解】由，则，确定的平面与平面，平面的交线分别为，， 而平面平面，则有，，同理，， 因此，它们的面积之比为，又的面积为， 所以的面积为. 【变式训练10 面面平行证明线面平行】 1．（2024·四川乐山·三模）在三棱柱中，点在棱上，且，点在棱上，且为的中点，点在直线上，若平面，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可求解. 【详解】依题意，作出图形如图所示 设为的中点， 因为为的中点， 所以, 又平面，平面， 所以平面， 过点作，交于,则易知平面， 又因为平面，平面， 所以平面平面. 又平面, 所以平面. 因为, 所以四边形为平行四边形， 所以, 因为， 所以, , 所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：利用线面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性质定理，求出四边形为平行四边形即可. 2．（22-23高二上·湖北武汉·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面平行的条件构造面面平行从而得到点的轨迹，在根据平面几何知识求出的范围. 【详解】如图，取的中点，的中点，连接，显然，且， 所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面,所以平面，因为，平面， 平面,所以平面，又因为，所以平面平面， 因为平面，所以平面，点在侧面上，所以点位于线段上， 因为， ，所以当点位于点时，最大， 当点位于的中点时，最小， 此时， 所以，所以线段长度的取值范围是. 故选：B 3．（23-24高一下·浙江嘉兴·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E，F分别为和的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，，，即可证明平面平面，从而得到点的轨迹为线段，求出，，即可求出的取值范围. 【详解】 如图所示，分别取的中点，连接，，， 因为为所在棱的中点， 所以，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 因为 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 又因为，且平面，平面, 所以平面平面， 因为是侧面内一点，且平面，则点必在线段上， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 又， 在中，由余弦定理得 ， 所以为钝角，所以当在线段运动时，最短为，最长为， 所以线段长度的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：对于立体几何中动点问题，关键是确定动点的轨迹，主要是确定面面平行，得到线面平行. 4．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为 . 【答案】 【分析】根据面面平行的性质证明出点的轨迹为线段，在根据平面几何知识计算出的最值。 【详解】下图所示： 分别取棱、的中点、，连接，连接， 、、、为所在棱的中点，，， ，又平面，平面， 平面； ，，四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面， 又，平面，平面平面， 是侧面内一点，且平面， 则必在线段上， 在中，， 同理，在中，求得， 为等腰三角形， 当在中点时，此时最短，位于、处时最长， ， ， 所以线段长度的是大值与最小值之和为． 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在正方体中，E，F，P，Q分别是，，，的中点．求证：    (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，即可证明； （2）方法一，根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，利用构造平行四边形，证明线线平行；方法二，利用面面平行的性质定理，构造面面平行，即可证明线面平行. 【详解】（1）如图，连接，．    因为四边形是正方形，且是的中点， 所以是的中点，又是的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）方法一  取的中点，连接，，如图所示， 则有且． 又且，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． 方法二  取的中点，连接，，如图所示， 因为点是，的中点，所以， 平面，平面， 所以平面， 因为点，分别是和的中点， 所以，平面，平面， 所以平面， 且，，平面， 所以平面平面． 又平面，所以平面． 1．（24-25高一下·全国·课后作业）若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据空间等角定理判断即可. 【详解】因为，，且， 所以或. 故选：C 2．（24-25高二上·四川达州·期中）在空间中，设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】举反例，运用线面平行的性质可判断. 【详解】如图正三棱柱，面为，面为，， 则，运用线面平行性质知道，A正确，B错误， 由图可知相交，没有垂直和平行. 故选：A.    3．（2023·河南·模拟预测）正三棱锥的各棱长均为2，D为的中点，M为的中点，E为上一点，且，平面交于点Q，则截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中位线可得线面平行，进而根据线面平行的性质可得线线平行，进而可得四边形为等腰梯形，即可由边角关系求解. 【详解】因为M，D分别为AB，BC的中点，故，又平面,平面，所以平面， 由于平面,平面平面,故， 又，故．在等腰梯形MDEQ中，，， 在中，，，则，故梯形的高为，故． 故选:D． 4．（2022·重庆·模拟预测）设，是空间中的两个平面，，是两条直线，则使得成立的一个充分条件是（    ） A．，， B．，， C．，，， D．，， 【答案】D 【分析】根据面面平行的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A，由，，，不一定得到，与也可能相交，如图， 对于B，由，，，不一定得到，与也可能相交， 如图， 对于C，，，，，不一定得到，只有添加条件与相交时，才有； 对于D，由，，又，可得. 所以使得成立的一个充分条件是D. 故选：D 【点睛】本小题主要考查面面平行，考查充分条件的判断，属于中档题. 5．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知正方体的棱长为，，，若平面，则线段的长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意作出相应平面平面，从而可知点在线段上，从而可得，即可求解. 【详解】由题可知点在正方形内（含边界）.取棱上靠近点的四等分点， 棱上靠近点的四等分点，连接，，易得， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面， 所以过线段且与平面平行的截面为如图所示的平面， 所以，所以点在线段上， 所以， 又因为，， 所以的取值范围是，故B正确. 故选：B. 6．（24-25高二上·上海崇明·期中）已知空间两个角与，若，，，则 . 【答案】或 【分析】根据等角定理可求角的值. 【详解】因为，，故或， 故答案为：或 7．（2024高三·全国·专题练习）直线与平面平行 （1）直线与平面平行的定义 直线与平面没有公共点，则称直线与平面平行． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果平面外的一条直线和 的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行    如果，，，则 性质定理 如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面 ，那么这条直线就与两平面的 平行    如果，，，则 【答案】 平面内 相交 交线 【分析】略 【详解】略 8．（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到要使平面，则四边形为平行四边形，故，设，表达出，求出最小值. 【详解】过点分别作交于点，交于点， 连接， 要想平面，则四边形为平行四边形，故， 设，则，故， 由勾股定理得， 其中， 当且仅当时，等号成立， 故. 故答案为： 9．（23-24高一下·天津·期中）已知，是两个不重合的平面，给出下列条件： ①，是平面内的两条直线，且，； ②，都平行于平面； ③内不共线的三点到的距离相等； ④，是两条异面直线，，，且，． 其中可判断的是 ．（填序号） 【答案】②④ 【分析】对于①，一个平面内的两条直线平行于两一个平面不一定得到两平面平行；对于②，由平面平行的传递性可知正确；对于③，内不共线的三点到的距离相等，有可能两平面相交，也不一定平行；对于④，两平面内的两条异面直线分别平行于另一个平面，则两平面平行. 【详解】，，，是平面内的两条直线， 此条件没有排除两条直线平行的情况，故不能得出面面平行，故①不行； 平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确； 内不共线的三点到的距离相等，此三点在两平面相交时也可以找出， 故不能保证两平面平行，故③不对； ，是两条异面直线，，，且，， 能得到，故④正确. 故答案为：②④. 10．（23-24高一下·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，在长方体中，，.一平面截该长方体，所得截面为OPQRST，其中O，P分别为AD，CD的中点，，则 ， . 【答案】 /0.5 /0.4 【分析】设,,则,利用截面六边形的对边分别平行，然后利用,求出,由，,分别求出和,得到和的关系，求出的值，即可得到 【详解】设, ,则, 由题意可知，由面面平行的性质定理可得该截面六边形的对边分别平行，即, , 则, 又因为, , 所以, 则, 由 , 可 得 , 所以, 由~,可得, 所以, 则, 解得, 所以 故答案为 11．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，设P为矩形ABCD所在平面外的一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点．判断下列结论是否正确，并说明理由： (1)； (2)平面； (3)平面； (4)平面； (5)平面． 【答案】(1)正确，理由见解析； (2)正确，理由见解析； (3)正确，理由见解析； (4)错误，理由见解析； (5)错误，理由见解析； 【分析】先证明，根据线面平行判定定理证明（2）（3）；由条件平面，平面，结合线面平行定义证明（4）（5）． 【详解】（1）由于为的中点，为的中点，则，正确； （2）由于， 平面，平面，则平面，正确； （3）由于，平面，平面，则平面，正确； （4）由于平面，平面错误； （5）由于平面，平面错误； 12．（2023高一·全国·专题练习）已知直角梯形中，，，，，，为的中点，，如图，将四边形沿向上翻折，使得平面平面．在上是否存在一点，使得平面？ 【答案】为的中点时，平面. 【分析】 通过构造平行四边形的方法，结合线面平行的判定定理来确定点的位置. 【详解】 当点为的中点时，平面，证明如下： 由已知， 所以四边形为矩形， 所以，， 已知，点为的中点，则， 又，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 所以在上存在一点，使得平面. ’ 13．（2024高三·全国·专题练习）如图，两个正三角形，所在平面互相垂直，分别为的中点，点在棱上，，直线与平面相交于点.证明：； 【答案】证明见解析 【分析】首先利用线面平行判定定理证明平面，再由线面平行的性质证明即可. 【详解】因为、分别为、的中点，所以， 又平面，平面，则平面， 由直线与平面相交于点， 则平面，且平面， 又点在棱上，则平面，又平面， 所以平面平面，又平面， 所以. 14．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，在三棱锥中，、分别为、的中点，求证： (1)∥平面； (2)若点为棱上一点，是确定点的位置，使得平面∥平面，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)点为棱的中点时，平面∥平面；理由见解析. 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得∥，进而根据线面平行的判定定理可得∥平面； （2）根据面面平行的判定，先找到线面平行，当为中点时，运用三角形中位线特征可得线面平行，进而得到面面平行． 【详解】（1）证明：因为在中，、分别为、的中点， 则有∥， 又平面，平面， 所以∥平面． （2）解：当点为棱的中点时，平面∥平面，理由如下： 由（1）知，∥平面， 同理：∥平面， 又平面，平面，， 所以平面∥平面． 15．（2024高三·全国·专题练习）如图1，直角梯形中，，将直角梯形绕旋转一周得到如图2的圆台，为圆台的母线，且是的中点．在线段上是否存在一点，使平面？说明理由；    【答案】存在，理由见解析 【分析】作辅助平面找点，再由线线平行证明线面平行，然后利用面面平行的判定定理、性质定理可证得点满足平面. 【详解】线段上存在一点，使平面．理由如下： 过作，垂足为，过作，垂足为， 由为中点，又， 所以为靠近点的四等分点. 取靠近点的四等分点，连接， 则，又， 所以，而平面平面，所以平面． 同理平面，又，平面， 所以平面平面，平面， 所以平面， 故线段上存在一点，使平面，且.    学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 空间直线、平面的平行（4个知识点+10大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 等角定理的应用 题型二 判断线面平行 题型三 补全线面平行的条件 题型四 线面平行的性质 题型五 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 题型六 由线面平行求线段长度 题型七 判断面面平行 题型八 补全面面平行的条件 题型九 面面平行证明线线平行 题型十 面面平行证明线面平行 知识点一 直线与平面平行的定义 一条直线与一个平面平行，当且仅当这条直线不在该平面上，且与该平面没有交点。换句话说，如果一条直线与平面内的任意一条直线都不相交，则称这条直线与该平面平行。 知识点二 直线与平面平行的性质 无交点性：直线与平面平行时，它们之间不会有任何交点。这是判断直线与平面是否平行的重要依据。 距离恒定：平行于同一平面的所有直线到该平面的距离都相等。这个性质在解决空间几何问题时非常有用。 投影性质：当一条直线与一个平面平行时，这条直线在该平面上的投影是一条与该直线平行的直线。 知识点三 直线与平面平行的判定方法 1.斜率法：在平面直角坐标系中，如果一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，那么这条直线与该平面平行。具体来说，如果直线的方向向量为(\vec{d} = (a, b, c))，平面的法向量为(\vec{n} = (A, B, C))，则有(\vec{d} \cdot \vec{n} = aA + bB + cC = 0)。 2.平面外一点法：过平面外一点作与平面内一条直线平行的直线，则该直线与该平面平行。这个方法在几何作图中常用。 3.异面直线法：两条异面直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与该平面平行。这是根据异面直线的性质得出的判定方法。 知识点四 平面与平面平行 定义：两个平面没有公共点 判定：一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行 性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面；如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 常利用三角形中位线、平行四边形对边、已知直线作一平面找其交线 【核心考点一 等角定理的应用】 【例1】（23-24高二·上海·课堂例题）如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．全等 B．相似 C．相似但不全等 D．不相似 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）若两等角的一组对应边平行，则（    ） A．另一组对应边平行； B．另一组对应边不平行； C．另一组对应边也可能垂直； D．以上皆有可能． 【例3】（24-25高二上·上海静安·期中）若与的两边分别平行且方向相同，若，则 . 【例4】（24-25高二上·上海·期中）空间中两个角和，若，则的大小是 【例5】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在两个相交平面、的交线上任意取两点O与．在平面上，过O与分别作射线OA与垂直于；在平面上，过O与分别作射线OB与垂直于．求证：． 【核心考点二 判断线面平行】 【例1】（21-22高三上·陕西西安·期中）如图，在正方形中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 【例2】（24-25高二上·上海崇明·期中）正方体中，与的交点称为正方体的中心，若平面经过该正方体的中心，且顶点，到平面的距离相等，则符合条件的平面的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．12个 D．无数个 【例3】（24-25高二上·上海·期中）如果平面外有两点、，它们到平面的距离都是3，则直线和平面的位置关系是 ． 【例4】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，，，，分别是正方体和正四面体所在棱的中点，则这四个点共面的图形是 ．（填序号）    【例5】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在四面体ABCD中，E、F分别是、的重心．该四面体中，哪些面与EF平行？请说明理由． 【核心考点三 补全线面平行的条件】 【例1】（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 【例2】（22-23高一下·山东泰安·阶段练习）如图，在长方体中，分别是棱的中点，若点是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）直线与平面平行的判定定理 直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与 ，那么该直线与此平面平行 符号语言 且 图形语言 【例4】（22-23高一下·江西·期末）在直线与平面平行的判定定理中，假设为平面，为两条不同直线，若要得到，则需要在条件“”之外补充的一个条件是 . 【例5】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，点在棱上，平面. (1)试确定点的位置，并说明理由； (2)是否存在实数，使三棱锥体积为，若存在，请求出具体值，若不存在，请说明理由. 【核心考点四 线面平行的性质】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（    ）    A． B． C． D． 【例2】（2024·山东·一模）如图所示，在四棱锥中，分别为上的点，且平面，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上均有可能 【例3】（2025高三·全国·专题练习）直线与平面平行 （1）直线与平面平行的定义 直线与平面没有公共点，则称直线与平面平行. （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果平面外一条直线与此平面内的 平行，那么该直线与此平面平行 性质定理 一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与 平行 【例4】（2024·辽宁·模拟预测）已知四棱锥的底面是边长的正方形，，平面，为线段的中点，若空间中存在平而满足，，记平面与直线，分别交于点，，则= ，四边形的面积为 ． 【例5】（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面为正方形，且面.设平面与平面的交线为. 证明：. 【核心考点五 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，交于点O，E为中点，F在上，，∥平面，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D．3 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）在空间四边形中，，，，分别是，，，上的点，当平面时，下列结论中正确的是（    ） A．，，，一定是各边的中点 B．，一定是，的中点 C．，且 D．，且 【例3】（24-25高三上·湖南长沙·期中）在棱长为 4的正四面体中，为其外接球的球心，过点 作平面使得 .若，则截正四面体所得截面的面积为 . 【例4】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 ． 【例5】（21-22高一下·山东青岛·期中）如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 【核心考点六 由线面平行求线段长度】 【例1】（22-23高三上·湖南湘潭·开学考试）已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱 上的点， 且 ， 当 平面 时， 的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（21-22高一·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是梯形，，且平面，，与平面分别交于点，，且点是的中点，，，则 ． 【例4】（2024·浙江·模拟预测）三棱锥的所有棱长均为2，E，F分别为线段BC与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若平面ABD，则线段MN长度的最小值为 ． 【例5】（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 【核心考点七 判断面面平行】 【例1】（24-25高一下·全国·课前预习）如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一定成立的是（    ） A．这两个角相等 B．这两个角互补 C．这两个角所在的两个平面平行 D．这两个角所在的两个平面平行或重合 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知，是两条直线，，是两个平面，有以下三个命题： ①，相交且都在平面，外，，，，，则； ②若，，则； ③若，，，则． 其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例3】（24-25高二上·内蒙古兴安盟·开学考试）如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中， ①平面；②平面； ③平面平面；④平面平面. 以上四个命题中，正确命题的序号是 .    【例4】（24-25高一下·全国·课前预习）平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的__________与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 图形语言 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）如图（1），a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图（2），c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？ 【核心考点八 补全面面平行的条件】 【例1】（21-22高一下·河北张家口·期末）已知为直线，、为两个不同的平面，下面的条件能得出的是（    ） A．， B．， C．， D．与、所成角相等 【例2】（22-23高二下·吉林·阶段练习）平面α与平面β平行的充分条件可以是（    ） A．α内有无穷多条直线都与β平行 B．直线aα，aβ，且直线a不在α与β内 C．直线 ，直线，且bα，aβ D．α内的任何直线都与β平行 【例3】（24-25高二上·湖北随州·阶段练习）设，为两个平面，则的充要条件是 . 【例4】（21-22高二上·上海浦东新·期中）在两平面平行的判定定理中，假设为两不同平面，为两不同直线，若要得到，则需要在条件“”之外补充条件 . 【例5】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．若，则在线段上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【核心考点九 面面平行证明线线平行】 【例1】（22-23高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ）    A． B． C． D． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知P为△所在平面外一点，平面∥平，且交线段于点，若，则:（    ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 【例3】（2024高三·全国·专题练习）已知平面平面平面，两条直线分别与平面相交于点和，若，则 . 【例4】（24-25高二上·上海·期中）已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为 . 【例5】（2025高三·全国·专题练习）在三棱锥中，平面，是上一点，且，连接与，为中点. 过点的平面平行于平面且与交于点，求； 【核心考点十 面面平行证明线面平行】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）若平面α∥平面β，l⊂α，则l与β的位置关系是（    ） A．l与β相交 B．l与β平行 C．l在β内 D．无法判定 【例2】（23-24高一下·陕西西安·期末）设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，且，，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形的边上及其内部运动，则满足 时，有平面． 【例4】（24-25高一下·全国·课后作业）四棱锥中，底面是边长为的菱形ABCD，平面ABCD，且，E是棱BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持平面SAC，则动点P的轨迹的周长为 ． 【例5】（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，E为PC的中点．求证：平面PAD．    【变式训练1 等角定理的应用】 1．（21-22高一·全国·课前预习）在三棱锥P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 2．（21-22高一·全国·课后作业）给出下列命题： ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补． 其中正确的命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25高二上·上海·期中）已知角的两边和角的两边分别平行且，则 . 4．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知角的两边和角的两边分别平行且，则 ． 5．（22-23高一·全国·课后作业）如图，三棱柱中，，，分别为，，的中点.求证：. 【变式训练2 判断线面平行】 1．（24-25高二上·河南周口·开学考试）已知为异面直线，则过空间一点且与都平行的平面有（   ） A．个或个 B．个 C．个 D．无数个 2．（24-25高一下·全国·课后作业）在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）如图甲，在梯形中，，分别为的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论是 . ①平面；②平面；③平面. 4．（2024高三·全国·专题练习）如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知下列四个命题： （1）直线与平面没有公共点，则直线与平面平行； （2）直线上有两个点到平面的距离（不为0）相等，则直线与平面平行； （3）直线与平面上任意一条直线不相交，则直线与平面平行； （4）直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行. 指出其中正确的命题，并说明理由． 【变式训练3 补全线面平行的条件】 1．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）在空间中，直线平面的一个充要条件是（    ） A．内有一条直线与平行 B．内有无数条直线与平行 C．任意一条与垂直的直线都垂直于 D．存在一个与平行的平面经过 2．（2022高三·全国·专题练习）已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·河南商丘·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件： 时，平面. 4．（21-22高一·全国·课后作业）如图，在三棱台中，，E，F分别是的中点，点M在上，，若点N在平面内，且平面，则点N的位置是 ．（写出一种即可） 5．（2023高三·全国·专题练习）如图，已知正方体，点是棱的中点．在棱上找一个点，使直线与平面平行并证明． 【变式训练4 线面平行的性质】 1．（2024高三·全国·专题练习）下列命题中正确的个数是(    ) ①若直线上有无数个点不在平面内，则；②若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都平行；③若直线直线，直线平面，则直线平面； ④若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高二上·北京·期中）如图，在四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课前预习）直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面 ，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与 平行． 符号语言 若， ，则 图形语言 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，分别为线段，上一点，若，且平面，则的值为 ． 5．（2024高三·全国·专题练习）如图，且，，且，且，平面，，设平面与平面的交线为，求证：； 【变式训练5 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 1．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A．3 B．4 C． D． 2．（23-24高二上·上海·阶段练习）在棱长为10的正方体中，为左侧面上一点，已知点到的距离为2，点到的距离为3，则过点且与平行的直线交正方体于两点，则点所在的平面是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高二下·江西南昌·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点O，E为的中点，F在上，，平面，则的值为 . 4．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面α，使SB∥α，设α与SM交于点N，则的值为 ． 5．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面相交于CD，是上异于C，D的点．在线段AM上是否存在点，使得平面？说明理由． 【变式训练6 由线面平行求线段长度】 1．（2022高三·全国·专题练习）空间四边形的两条对角线，的长分别为4，，则平行于两条对角线的截面四边形在平移过程中，其周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2021·山西吕梁·三模）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过A1B且与AC1平行的平面交B1C1于点P，则PC1＝（　　） A．2 B． C． D．1 3．（22-23高二上·四川巴中·期末）如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则 . 4．（22-23高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且∥平面，则线段MN的最大值为 .    5．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在四面体中，分别是四面体的棱上的点，且、在同一个平面上，已知四边形平行于四面体的一组对棱和，若，求四边形的周长． 【变式训练7 判断面面平行】 1．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知正四面体中，是棱上一点，过作平面，满足，若到平面的距离分别是3和9，则正四面体的外接球被平面截得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在下列四个正方体中，，，，，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与，，三点所在平面平行的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课前预习）两个平面平行的定义 如果两个平面，没有 ，就称这两个平面平行，记作 ，用集合语言描述，就是 . 4．（24-25高二上·上海·课前预习）平面与平面的位置关系 两个平面与的位置关系只有两种：相交于一条公共直线l，记作 ；没有公共点，即与平行，记作 ． 5．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，在三棱锥中，、分别为、的中点，求证： (1)∥平面； (2)若点为棱上一点，是确定点的位置，使得平面∥平面，并说明理由． 【变式训练8 补全面面平行的条件】 1．（22-23高一·全国·课后作业）在三棱台A1B1C1﹣ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是内（含边界）的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，则动点M的轨迹是（    ）    A．平面 B．直线 C．线段，但只含1个端点 D．圆 2．（2022高一上·全国·专题练习）已知平面α内的两条直线a，b，a∥β，b∥β，若要得出平面α∥平面β，则直线a，b的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 3．（2022高三·江苏·专题练习）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且，G在CC1上且平面AEF平面BD1G，则 4．（2021·江西·二模）如图，在平行六面体中，所有棱长均为a，且，点E在楼上，且，平面α过点E且平行于平面，则平面α与平行六面体各表面交线围成的多边形的面积是 . 5．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在正方体中，为的中点．能否同时过，B两点作平面，使平面平面？证明你的结论．    【变式训练9 面面平行证明线线平行】 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在三棱柱中，点在棱上，且，点为的中点，点在棱上，若平面，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知正方体，平面与平面的交线为，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二·上海·随堂练习）已知平面∥平面∥平面，平面在平面、平面之间，和的距离为5，和的距离为3，直线l和、、分别交于点A、B、C，且，则 ． 4．（24-25高二上·上海·课前预习）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线 ． 5．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，平面平面，，分别在，内，线段，，共点于，在平面和平面之间，若，，，，求的面积． 【变式训练10 面面平行证明线面平行】 1．（2024·四川乐山·三模）在三棱柱中，点在棱上，且，点在棱上，且为的中点，点在直线上，若平面，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（22-23高二上·湖北武汉·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江嘉兴·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E，F分别为和的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是 ． 4．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为 . 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在正方体中，E，F，P，Q分别是，，，的中点．求证：    (1)平面； (2)平面． 1．（24-25高一下·全国·课后作业）若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 2．（24-25高二上·四川达州·期中）在空间中，设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·河南·模拟预测）正三棱锥的各棱长均为2，D为的中点，M为的中点，E为上一点，且，平面交于点Q，则截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 4．（2022·重庆·模拟预测）设，是空间中的两个平面，，是两条直线，则使得成立的一个充分条件是（    ） A．，， B．，， C．，，， D．，， 5．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知正方体的棱长为，，，若平面，则线段的长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·上海崇明·期中）已知空间两个角与，若，，，则 . 7．（2024高三·全国·专题练习）直线与平面平行 （1）直线与平面平行的定义 直线与平面没有公共点，则称直线与平面平行． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果平面外的一条直线和 的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行    如果，，，则 性质定理 如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面 ，那么这条直线就与两平面的 平行    如果，，，则 8．（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为 ． 9．（23-24高一下·天津·期中）已知，是两个不重合的平面，给出下列条件： ①，是平面内的两条直线，且，； ②，都平行于平面； ③内不共线的三点到的距离相等； ④，是两条异面直线，，，且，． 其中可判断的是 ．（填序号） 10．（23-24高一下·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，在长方体中，，.一平面截该长方体，所得截面为OPQRST，其中O，P分别为AD，CD的中点，，则 ， . 11．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，设P为矩形ABCD所在平面外的一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点．判断下列结论是否正确，并说明理由： (1)； (2)平面； (3)平面； (4)平面； (5)平面． 12．（2023高一·全国·专题练习）已知直角梯形中，，，，，，为的中点，，如图，将四边形沿向上翻折，使得平面平面．在上是否存在一点，使得平面？ 13．（2024高三·全国·专题练习）如图，两个正三角形，所在平面互相垂直，分别为的中点，点在棱上，，直线与平面相交于点.证明：； 14．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，在三棱锥中，、分别为、的中点，求证： (1)∥平面； (2)若点为棱上一点，是确定点的位置，使得平面∥平面，并说明理由． 15．（2024高三·全国·专题练习）如图1，直角梯形中，，将直角梯形绕旋转一周得到如图2的圆台，为圆台的母线，且是的中点．在线段上是否存在一点，使平面？说明理由；    学科网（北京）股份有限公司 $$