第03讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（5个知识点+8大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年高一数学寒假衔接讲义（人教版2019必修第二册）

第03讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（5个知识点+8大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 平面的概念及其表示 题型二 平面的基本性质的有关计算 题型三 异面直线的概念及辨析 题型四 异面直线的判定 题型五 判断图形中的线面关系 题型六 用定义证明线面关系 题型七 判断图形中的面面关系 题型八 面面关系有关命题的判断 知识点一 平面的概念 生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的． (1)平面具有无限延展性，它是理想的、绝对的平且无大小、厚薄之分，是不可度量的． (2)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念． (3)通常情况下，可借助平面图形表示平面，但是要把平面图形想象成是无限延展的． 知识点二 空间点的位置关系 空间点是三维空间中具有确定坐标的点，其位置关系可以通过坐标来描述。在空间中，任意两点可以确定一条直线，三点可以确定一个平面，四点可以确定一个三维空间。空间点的位置关系主要包括距离和方位两个方面。 距离：两点间的距离可以通过两点坐标的差的平方和再开方求得。 知识点三 直线与直线的位置关系 平行关系：两条直线平行的充要条件是它们的方向向量平行且它们不重合。 相交关系：两条直线相交的充要条件是它们的方向向量不平行且它们不在同一平面上。此时，两条直线有且仅有一个交点。 异面直线：两条直线异面的充要条件是它们不在同一平面上且它们不平行。异面直线之间没有交点，但可以通过平移使它们相交。 知识点四 直线与平面的位置关系 平行关系：直线与平面平行的充要条件是直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面上。 相交关系：直线与平面相交的充要条件是直线与平面有且仅有一个交点。此时，直线的方向向量与平面的法向量不垂直。 直线在平面上：直线完全位于平面上的充要条件是直线的任意一点都满足平面的方程。此时，直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线上有一点在平面上。 知识点五 平面与平面的位置关系 平行关系：两个平面平行的充要条件是它们的法向量平行（或共线）。 相交关系：两个不平行的平面必定相交于一条直线。这条交线可以通过联立两个平面的方程求得。 重合关系：两个平面重合的充要条件是它们的方程完全相同。此时，两个平面的法向量平行且比例系数为1。 【核心考点一 平面的概念及其表示】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）构成空间几何体的基本元素为（    ） A．点 B．线 C．面 D．点、线、面 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）点A在直线l上，而直线l在平面β上．用集合符号表示为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高二上·上海·期中）用集合语言表述“直线和直线相交于点”： ． 【例4】（24-25高二上·上海·期中）“一个点和一条直线确定一个平面”是 命题.（填“真”、“假”） 【例5】（2024高一下·全国·专题练习）根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系. (1)点与直线； (2)点与直线； (3)点与平面； (4)点与平面； 【核心考点二 平面的基本性质的有关计算】 【例1】（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高一下·全国·课后作业）设，，，当P、Q分别在平面、内运动时，线段PQ的中点X也随着运动，则所有的动点X（    ） A．不共面 B．当且仅当P、Q分别在两条平行直线上移动时才共面 C．当且仅当P、Q分别在两条互相垂直的异面直线上移动时才共面 D．无论P、Q如何运动都共面 【例3】（23-24高三下·江西·阶段练习）如图，在正三棱锥中，侧棱，过点作与棱DB，DC均相交的截面AEF．则周长的最小值为 ，记此时的面积为，则 ．    【例4】（22-23高一下·河南郑州·阶段练习）在四棱锥中，，，为中点，平面交于，则 【例5】（22-23高一·全国·课后作业）在空间四边形中，分别是的中点，分别是的中点，若，，求． 【核心考点三 异面直线的概念及辨析】 【例1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①③④ 【例2】（24-25高三上·上海·期中）已知空间三条直线、、.若与异面，且与异面，则（） A．与异面 B．与相交 C．与平行 D．与异面、相交、平行均有可能 【例3】（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，正六棱柱中与直线异面的侧棱共有 条． 【例4】（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，与直线异面的直线是 ．（写出一个即可）. 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）观察你所在的教室． (1)教室内同一列的灯管所在的直线是什么位置关系？ (2)教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是平行直线吗？是相交直线吗？ 【核心考点四 异面直线的判定】 【例1】（23-24高二下·云南·期末）如图，在正方体中，直线与直线BD（   ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 【例2】（24-25高二上·上海·期中）已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 【例3】（24-25高二上·上海·阶段练习）三棱柱的9条棱中，与AB异面的棱有 条. 【例4】（24-25高二上·上海·期中）如图，在正方体的所有棱所在直线中，与直线异面的共有 条． 【例5】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，M、N分别是棱、的中点．判断下列结论是否成立，并说明理由： (1)直线与是相交直线； (2)直线与是平行直线； (3)直线与是异面直线． 【核心考点五 判断图形中的线面关系】 【例1】（24-25高二上·重庆·期中）已知直线为空间中一条直线，平面，，为两两相互垂直的三个平面，则（    ） A．若，则与和相交 B．若，则或 C．若，则，且 D．若，则 【例2】（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）如图，下列几何关系表达正确的是（    ）    A．，，m，n共面 B．，，m，n共面 C．，，m，n异面 D．，，m，n异面 【例3】（24-25高二上·上海·期中）若点直线，且直线平面，则 .（填合适的符号） 【例4】（24-25高二上·上海·阶段练习）直线与平面的位置关系有 . 【例5】（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，点E在上，点M在平面上，画出与截面的交点P． 【核心考点六 用定义证明线面关系】 【例1】（2022·陕西渭南·模拟预测）已知点直线，又平面，则直线与平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．或 【例2】（22-23高二上·天津和平·期中）如果直线平面，直线平面，，则（    ） A． B． C． D． 【例3】（22-23高一·全国·课后作业）设平面与平面相交于直线，直线，直线，则 (用下列符号之一表示：、、、． 【例4】（21-22高一·全国·单元测试）若直线a与平面内无数条直线平行，则a与的位置关系是 ． 【例5】（22-23高二·全国·课堂例题）如图，m，n是平面内的两条相交直线.如果，，求证：.      【核心考点七 判断图形中的面面关系】 【例1】（24-25高一下·全国·随堂练习）两个相交平面画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）平面与平面相交于直线，点在平面上，点在平面上但不在直线上，直线与直线相交于点．设三点确定的平面为，则与的交线是（    ）    A．直线； B．直线； C．直线； D．以上均不正确． 【例3】（2024高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为B′C′，A′D′的中点，则平面与平面 ． 【例4】（22-23高一·全国·课后作业）空间两个不重合平面位置关系是 ． 【例5】（24-25高二·上海·课堂例题）已知长方体． (1)画出两个平面与的交线； (2)求证：． 【核心考点八 面面关系有关命题的判断】 【例1】（青海省部分学校2024-2025学年高三上学期教学质量检测数学试题）已知是不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例2】（2022·陕西宝鸡·一模），是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中真命题个数为（   ） ①若，，则与所成的角等于与所成的角； ②若，，，则与是异面直线； ③若，，，则； ④若，，，则． A． B． C． D． 【例3】（24-25高二上·上海静安·期中）“若平面与平面平行，则平面与平面没有公共点.”是 命题.（填“真”或“假”） 【例4】（24-25高一下·全国·课前预习）如果在两个不重合的平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是 . 【例5】（24-25高二·上海·假期作业）将下列文字语言转化为符号语言： (1)点在平面内，但不在平面内； (2)直线经过平面外一点； (3)直线在平面内，又在平面内.（即平面和相交于直线） 【变式训练1 平面的概念及其表示】 1．（23-24高一下·广东广州·期中）如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示的平行四边形表示的平面不能记为（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 3．（24-25高二上·上海·期中）用符号表示“平面与相交于直线” ． 4．（24-25高一下·全国·课前预习）平面的概念 平面是从现实世界的一些物体中抽象出来的几何概念．它没有 ，是向四周 的． 5．（23-24高二上·新疆阿克苏·阶段练习）用集合符号表示下列语句： (1)点在直线上，点不在直线上； (2)平面与平面相交于过点的直线． 【变式训练2 平面的基本性质的有关计算】 1．（21-22高三上·河南·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，，点､分别为棱､的中点，则平面与直四棱柱各侧面矩形的交线所围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知长方体中，，，点P为的中点，设平面，平面，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·福建三明·期末）已知正三棱柱木料各棱长都为2，如图所示，，分别为和的中心，为线段上的点，且，过三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为 ．    4．（2023·陕西西安·模拟预测）在直四棱柱中，，，M，N在棱，上，且，，过的平面交于G，则截面的面积为 ． 5．（21-22高二·全国·课后作业）已知AC的长为定值，点B是直线AC外一点，平面ABC，点M､N分别是和的重心，则当点B和D的位置变化时，线段MN的长是否为定值？请说明理由. 【变式训练3 异面直线的概念及辨析】 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知平面、满足，若异面直线、满足，，则与、的位置关系是（    ） A．至多与、中的一条相交 B．至少与、中的一条相交 C．至少与、中的一条异面 D．至少与、中的一条平行 2．（2024·江西新余·模拟预测）空间中有三条两两异面的直线，为其中一条直线上一定点，过引直线使其与这三条异面直线都相交，则对于任意的定点，存在的直线有（     ）条. A． B． C． D．无数 3．（23-24高二下·全国·课前预习）公垂线段 一般地，如果与是空间中的两条异面直线，，则称为与的 .空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一，两条异面直线的公垂线段的长，称为两条异面直线之间的 . 4．（22-23高二下·上海金山·阶段练习）如果一条直线和两条异面直线中的一条平行，那么它和另一条直线的位置关系是 ． 5．（22-23高三·全国·课后作业）如图，点，，，，求证：直线AB与直线l是异面直线． 【变式训练4 异面直线的判定】 1．（2023·上海·模拟预测）如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期中）在正方体的12条棱、12条面对角线中，总共可以组成（   ）对异面直线． A．72 B．96 C．102 D．126 3．（24-25高二上·上海静安·阶段练习）若直线，为异面直线，、为直线上相异两点，、为直线上相异两点，则直线、直线的位置关系是 . 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）在空间四边形的边与对角线六条边所在的直线中，异面直线共有 对 5．（24-25高一上·上海·期中）如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.    (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. 【变式训练5 判断图形中的线面关系】 1．（21-22高一下·北京通州·期末）如图，在长方体中，则下列结论正确的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线与直线是相交直线 D．直线与直线是异面直线 2．（22-23高一下·浙江台州·阶段练习）“点在平面上，直线与相交于点”可以用符号表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（22-23高三·全国·课后作业）若直线l与直线m垂直，平面，则l与的位置关系是 ． 4．（21-22高二上·上海普陀·期中）已知直线、及平面，若且，则与平面的位置关系为 . 5．（22-23高二下·广西桂林·期中）是正角形所在平面外一点，分别是和的中点，且.    (1)求证：是和的公垂线； (2)求异面直线和之间的距离. 【变式训练6 用定义证明线面关系】 1．（22-23高二上·四川乐山·期末）若直线与平面有两个公共点，则与的位置关系是（    ） A． B． C．与相交 D． 2．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知两直线m，n，两平面，，若，，，则m与n的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 3．（21-22高一·全国·课后作业）空间中直线与平面的位置关系分为： 若直线与平面没有交点，则直线与平面 ； 若直线与平面有且仅有1个交点，则直线与平面 ； 若直线与平面有无数多个公共点，则直线 ． 4．（22-23高一下·全国·课后作业）已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，表示不同的平面，则下列推理错误的是 （填序号）. ①； ②； ③. 5．（22-23高二上·重庆·期末）如图，棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点. （1）求证：直线平面； （2）求异面直线和所成角的余弦值. 【变式训练7 判断图形中的面面关系】 1．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，用符号语言可表达为（     ）． A．，，， B．，， C．，，， D．，，， 2．（22-23高一下·全国·课后作业）在四棱台中，平面与平面的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．不确定 D．异面 3．（22-23高三·全国·课后作业）如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是 ． 4．（21-22高二上·上海杨浦·期中）若面，面，面，则平面与平面的位置关系 . 5．（24-25高二上·上海·课后作业）观察图①、②、③中的三个图形，指出它们所表示的平面与平面的位置关系的区别. 【变式训练8 面面关系有关命题的判断】 1．（23-24高一下·安徽亳州·阶段练习）设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高二上·云南昭通·期中）若平面平面，且直线，直线，则直线，的关系为（    ） A． B． C．无公共点 D．即不平行也不相交 3．（24-25高二·上海·课堂例题）平面α上有三个不共线的点到平面β的距离相等，则平面的位置关系为 ． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题： ① 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n； ② 若m，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β； ③ m，n是两条异面直线，若m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β. 其中，真命题是 ．(填序号) 5．（23-24高二·上海·课堂例题）已知直线和平面、，判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，，则； (2)若，，则； (3)若，，则． 1．（24-25高二上·上海·课后作业）若一直线a在平面上，则正确的作图是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·安徽宣城·期末）如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·随堂练习）如果空间两条直线互相垂直，那么它们可能是（    ） A．相交直线 B．异面直线 C．平行直线 D．相交或异面直线 4．（22-23高二上·云南曲靖·期中）如图所示，用符号语言可表达为（    ） A．，， B．，， C．，，， D．，，， 5．（2024高三·全国·专题练习）下列命题中不正确的是（   ） A．如果平面平面，且直线平面，则直线平面 B．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 C．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D．如果平面平面，平面平面，，那么 6．（23-24高二·上海·课堂例题）用集合符号表述下列语句，并将语句所描述的图形画在图中：    （1）点A在平面上： ； （2）平面经过直线AC： ； （3）点B不在平面上： ； （4）直线BC平行于平面： ． 7．（22-23高一下·江西南昌·阶段练习）如图，正方体的棱长为分别是的中点，设过三点的平面与交于点的长为 .    8．（24-25高二上·上海·期中）在正方体各个表面的对角线所在直线中，与直线异面的直线有n条，则 9．（24-25高二·上海·随堂练习）在空间四边形的边上分别取点，如果相交于一点，那么一定在直线 上． 10．（24-25高二下·全国·课后作业）有三个给定的经过原点的平面．过原点作第四个平面，使之与给定的三个平面形成的三个二面角均相等，则这样的的个数是 ． 11．（24-25高二上·上海·期中）正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 12．（22-23高三·全国·课后作业）如图，正方体的棱长为4cm，分别是和的中点． (1)画出过点的平面与平面及平面的两条交线； (2)设过的平面与交于点P，求PM+PN的值． 13．（2024高三·全国·专题练习）已知直线为异面直线，且与不相交，求证：为异面直线． 14．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，分别是的中点，则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么？ (1)所在的直线与平面的位置关系； (2)所在的直线与平面的位置关系； (3)所在的直线与平面的位置关系； (4)平面与平面的位置关系； (5)平面与平面的位置关系. 15．（22-23高一下·全国·课后作业）如图所示，在正方体中M，N分别是和的中点，则下列直线、平面间的位置关系是什么？    (1)AM所在的直线与CN所在的直线的位置关系； (2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系； (3)AM所在的直线与平面的位置关系； (4)平面ABCD与平面的位置关系. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（5个知识点+8大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 平面的概念及其表示 题型二 平面的基本性质的有关计算 题型三 异面直线的概念及辨析 题型四 异面直线的判定 题型五 判断图形中的线面关系 题型六 用定义证明线面关系 题型七 判断图形中的面面关系 题型八 面面关系有关命题的判断 知识点一 平面的概念 生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的． (1)平面具有无限延展性，它是理想的、绝对的平且无大小、厚薄之分，是不可度量的． (2)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念． (3)通常情况下，可借助平面图形表示平面，但是要把平面图形想象成是无限延展的． 知识点二 空间点的位置关系 空间点是三维空间中具有确定坐标的点，其位置关系可以通过坐标来描述。在空间中，任意两点可以确定一条直线，三点可以确定一个平面，四点可以确定一个三维空间。空间点的位置关系主要包括距离和方位两个方面。 距离：两点间的距离可以通过两点坐标的差的平方和再开方求得。 知识点三 直线与直线的位置关系 平行关系：两条直线平行的充要条件是它们的方向向量平行且它们不重合。 相交关系：两条直线相交的充要条件是它们的方向向量不平行且它们不在同一平面上。此时，两条直线有且仅有一个交点。 异面直线：两条直线异面的充要条件是它们不在同一平面上且它们不平行。异面直线之间没有交点，但可以通过平移使它们相交。 知识点四 直线与平面的位置关系 平行关系：直线与平面平行的充要条件是直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面上。 相交关系：直线与平面相交的充要条件是直线与平面有且仅有一个交点。此时，直线的方向向量与平面的法向量不垂直。 直线在平面上：直线完全位于平面上的充要条件是直线的任意一点都满足平面的方程。此时，直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线上有一点在平面上。 知识点五 平面与平面的位置关系 平行关系：两个平面平行的充要条件是它们的法向量平行（或共线）。 相交关系：两个不平行的平面必定相交于一条直线。这条交线可以通过联立两个平面的方程求得。 重合关系：两个平面重合的充要条件是它们的方程完全相同。此时，两个平面的法向量平行且比例系数为1。 【核心考点一 平面的概念及其表示】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）构成空间几何体的基本元素为（    ） A．点 B．线 C．面 D．点、线、面 【答案】D 【分析】根据空间合体的基本元素判断即可 【详解】构成空间几何体的基本元素为：点、线、面. 故选：D 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）点A在直线l上，而直线l在平面β上．用集合符号表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合结合元素、集合之间的关系分析判断. 【详解】由题意可知：点为元素，线和面均为集合， 结合元素、集合之间的关系可知. 故选：B. 【例3】（24-25高二上·上海·期中）用集合语言表述“直线和直线相交于点”： ． 【答案】且 【分析】根据点与直线的位置关系的符号表示可得结论. 【详解】由点与直线的位置关系可得“直线和直线相交于点”可表述为且； 故答案为：且 【例4】（24-25高二上·上海·期中）“一个点和一条直线确定一个平面”是 命题.（填“真”、“假”） 【答案】假 【分析】根据平面的基本性质即得. 【详解】当点在直线上不能确定一个平面，故此命题为假命题. 故答案为：假. 【例5】（2024高一下·全国·专题练习）根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系. (1)点与直线； (2)点与直线； (3)点与平面； (4)点与平面； 【答案】(1) (2) (3)平面 (4)平面 【分析】先判断位置关系，再根据符号语言表示即可. 【详解】（1）点在直线上，所以 ； （2）点不在直线上，所以 ； （3）点在平面内，所以平面； （4）点不在平面内，所以平面. 【核心考点二 平面的基本性质的有关计算】 【例1】（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球相关知识，即可判断． 【详解】考虑平面上个点两两距离相等，构成等边三角形，成立； 若平面内个点两两距离相等，则其中有三个点、、构成等边三角形， 第四个点到等边三角形三个顶点的距离相等，则第四个点必为等边三角形的中心， 则，易知，则，矛盾， 当时，也不成立； 在空间中，个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立； 当时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点与它们距离相等， 必为正四面体的外接球的球心， 将棱长为的正四面体置于正方体中，则正方体的棱长为， 正四面体的外接圆半径为，矛盾， 同理时不成立． 故选：C． 【例2】（22-23高一下·全国·课后作业）设，，，当P、Q分别在平面、内运动时，线段PQ的中点X也随着运动，则所有的动点X（    ） A．不共面 B．当且仅当P、Q分别在两条平行直线上移动时才共面 C．当且仅当P、Q分别在两条互相垂直的异面直线上移动时才共面 D．无论P、Q如何运动都共面 【答案】D 【分析】过点X作直线，构造三角形证明点X到平面、的距离相等可知. 【详解】过点X作直线，记，与所确定的平面为. 因为，， 所以，所以， 又，，所以，所以， 因为X为PQ的中点，所以，所以， 所以，即X在到平面、的距离相等的平面上. 故选：D    【例3】（23-24高三下·江西·阶段练习）如图，在正三棱锥中，侧棱，过点作与棱DB，DC均相交的截面AEF．则周长的最小值为 ，记此时的面积为，则 ．    【答案】 【分析】利用展开图，将周长的最小值转化为两点间距离；根据展开图的几何关系，求的三边，即可求三角形的面积. 【详解】把正三棱锥的侧面展开，两点间的连接线是截面周长的最小值.    正三棱锥中，，所以， 所以，故周长的最小值为. 又，所以，则. 故答案为：；. 【例4】（22-23高一下·河南郑州·阶段练习）在四棱锥中，，，为中点，平面交于，则 【答案】2 【分析】延长直线、，交于点，平面变为，连接，交于点，再根据三角形中线的性质，求的值. 【详解】延长、，交于点，连接，交于点， ，且，可得点、分别是、的中点， 又点是的中点，和是的中线， 点是的重心，所以.    故答案为： 【例5】（22-23高一·全国·课后作业）在空间四边形中，分别是的中点，分别是的中点，若，，求． 【答案】 【分析】根据三角形中位线性质和余弦定理可用表示出，结合可化简得到结果. 【详解】分别为中点，分别为中点， ，，，， 在中，由余弦定理得：， 即； 同理：在中，由余弦定理得：； ，， . 【核心考点三 异面直线的概念及辨析】 【例1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】利用空间中平行关系的转化可判断①②③，根据异面直线的定义可判断④. 【详解】对于①，分别连接， 在长方体中，因为，，，分别是所在棱的中点， 所以，，则，所以四点共面. 对于②，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得，， 故平面，平面，所以六点共面. 对于③，连接，因为，，，分别是所在棱的中点， 所以， ， 故，所以四点共面. 对于④，连接，因为平面，平面，且不过点， 所以为异面直线， 所以四点不共面. 故选：A. 【例2】（24-25高三上·上海·期中）已知空间三条直线、、.若与异面，且与异面，则（） A．与异面 B．与相交 C．与平行 D．与异面、相交、平行均有可能 【答案】D 【分析】根据题意作出图形,进行判断即可. 【详解】空间三条直线. 若与异面,且与异面,则可能平行（图1）,也可能相交（图2）,也与可能异面（图3）, 故选：D. 【例3】（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，正六棱柱中与直线异面的侧棱共有 条． 【答案】 【分析】分别写出与平行的侧棱，以及相交的侧棱，即可得出答案. 【详解】根据正六棱柱的性质结合图象可得， 侧棱中，没有与平行的直线； 与相交的有，共2条. 又正六棱柱的侧棱，共有6条， 所以与直线异面的侧棱共有条. 故答案为：4. 【例4】（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，与直线异面的直线是 ．（写出一个即可）. 【答案】（或或或，答案不唯一） 【分析】根据图形，利用异面直线的定义，即可求解. 【详解】如图，由异面直线的定义知，直线异面的直线是等， 故答案为：（或或或，答案不唯一）. 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）观察你所在的教室． (1)教室内同一列的灯管所在的直线是什么位置关系？ (2)教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是平行直线吗？是相交直线吗？ 【答案】(1)（1）平行． (2)既不是平行直线，也不是相交直线． 【分析】根据空间中两条直线的位置关系即可求解. 【详解】（1）平行 （2）既不是平行直线，也不是相交直线． 【核心考点四 异面直线的判定】 【例1】（23-24高二下·云南·期末）如图，在正方体中，直线与直线BD（   ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】根据异面直线的概念判断即可. 【详解】由图形可知，与直线BD不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线. 故选：A. 【例2】（24-25高二上·上海·期中）已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 【答案】B 【分析】根据空间中线线的位置关系判断即可. 【详解】因为与相交，所以与确定一个平面，不妨设为， 又，所以或， 若，则与相交，若，则与异面； 综上可得与的位置关系是相交或异面. 故选：B 【例3】（24-25高二上·上海·阶段练习）三棱柱的9条棱中，与AB异面的棱有 条. 【答案】3 【分析】根据三棱柱的结构特征以及异面直线的定义分析判断. 【详解】如图，    与AB异面的棱有，共3条. 故答案为：3. 【例4】（24-25高二上·上海·期中）如图，在正方体的所有棱所在直线中，与直线异面的共有 条． 【答案】 【分析】直接找出与直线异面的棱即可. 【详解】与直线有公共点的棱均与直线不异面，有、、、、、共条， 与直线异面的棱有、、、、、共条. 故答案为： 【例5】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，M、N分别是棱、的中点．判断下列结论是否成立，并说明理由： (1)直线与是相交直线； (2)直线与是平行直线； (3)直线与是异面直线． 【答案】(1)结论不成立，直线与是异面直线， (2)结论不成立，直线与是异面直线， (3)结论成立． 【分析】（1）（2）（3）由正方体的结构特征，分析直线与直线的位置关系，即可得答案． 【详解】（1）结论不成立， 直线与既不是相交也不平行， 则直线与是异面直线； （2）结论不成立， 直线与既不是相交也不平行， 直线与是异面直线， （3）结论成立，直线与是异面直线． 【核心考点五 判断图形中的线面关系】 【例1】（24-25高二上·重庆·期中）已知直线为空间中一条直线，平面，，为两两相互垂直的三个平面，则（    ） A．若，则与和相交 B．若，则或 C．若，则，且 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间线面的位置关系的判定方法，逐项判断即可. 【详解】对A选项，由，则与和相交或平行或在面内，所以A选项错误； 对B选项，当时，且且，所以B选项错误； 对C选项，当时，与，可以成任意角，所以C选项错误； 对D选项，如图，易得，所以D选项正确； 故选：D 【例2】（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）如图，下列几何关系表达正确的是（    ）    A．，，m，n共面 B．，，m，n共面 C．，，m，n异面 D．，，m，n异面 【答案】D 【分析】根据点线面的位置关系，正确应用数学符号即可判断. 【详解】因是直线，是点，故它们与平面的关系应该是 ， 而且从虚线看，m，n异面，故A, B，C均错误；故答案为D. 故选：D. 【例3】（24-25高二上·上海·期中）若点直线，且直线平面，则 .（填合适的符号） 【答案】 【分析】由点线面的位置关系判断即可. 【详解】点直线，且直线平面，则， 故答案为： 【例4】（24-25高二上·上海·阶段练习）直线与平面的位置关系有 . 【答案】直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行 【分析】根据空间中的线面关系概念即可求解. 【详解】按照直线与平面公共点的个数为无数个，1个，和0个可知， 空间中直线与平面的位置关系有三种：. 故答案为：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行 【例5】（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，点E在上，点M在平面上，画出与截面的交点P． 【答案】作图见解析 【分析】把问题转化成平面平面，再利用即为所求． 【详解】连接，连接延长与相交于，连接交于，再连接交于点，即为所求，如下图： 【核心考点六 用定义证明线面关系】 【例1】（2022·陕西渭南·模拟预测）已知点直线，又平面，则直线与平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】 确定直线和平面至少有一个交点，得到答案. 【详解】直线，又平面，故直线和平面至少有一个交点，故或. 故选：D 【例2】（22-23高二上·天津和平·期中）如果直线平面，直线平面，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点线、线面关系可得，再结合已知即可判断的关系. 【详解】∵， ∴，同理，. 又，则. 故选：A. 【例3】（22-23高一·全国·课后作业）设平面与平面相交于直线，直线，直线，则 (用下列符号之一表示：、、、． 【答案】 【分析】确定，，得到答案. 【详解】，故，，故； ，故，，故； 故 故答案为： 【例4】（21-22高一·全国·单元测试）若直线a与平面内无数条直线平行，则a与的位置关系是 ． 【答案】或 【分析】分直线在平面外与直线在平面内分别讨论，即可得到结果. 【详解】若直线在平面外，则； 若直线在平面内，符合条件. 或 故答案为: 或 【例5】（22-23高二·全国·课堂例题）如图，m，n是平面内的两条相交直线.如果，，求证：.      【答案】证明见解析 【分析】要证明，就是要证明l垂直于内的任意一条直线g（直线与平面垂直的定义）.如果我们能在g和m，n之间建立某种联系，并由，，得到，那么就能解决此问题. 【详解】在平面内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量，，，. 因为直线m与n相交，所以向量，不平行. 由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对，使. 将上式两边分别与向量作数量积运算， 得. 因为，， 所以. 所以. 这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线， 所以. 【核心考点七 判断图形中的面面关系】 【例1】（24-25高一下·全国·随堂练习）两个相交平面画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相交平面的画法逐一判断即可. 【详解】对于A，需要画出两相交平面的交线，故A错误； 对于B，两平面的交线需从平面的上边界画到平面的下边界，故B错误； 对于C，需要画出两相交平面的交线，故C错误； 对于D，因被挡住的部分应画虚线，不被挡住的画出实线， 且两平面的交线需从平面的上边界画到平面的下边界，故D正确. 故选：D 【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）平面与平面相交于直线，点在平面上，点在平面上但不在直线上，直线与直线相交于点．设三点确定的平面为，则与的交线是（    ）    A．直线； B．直线； C．直线； D．以上均不正确． 【答案】C 【分析】根据已知得既在平面上又在平面可得答案. 【详解】因为直线与直线相交于点，，所以平面， 又点在平面上，所以平面， 因为平面，点在直线上，所以平面， 又平面，所以平面， 所以与的交线是直线. 故选：C.    【例3】（2024高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为B′C′，A′D′的中点，则平面与平面 ． 【答案】相交 【分析】根据平面与平面的位置关系判断出正确答案. 【详解】在正方体中，E为的中点，所以与不平行， 则延长与BB′必相交于一点，设交点为H， 所以，， 又平面，平面， 所以平面，H∈平面， 故平面与平面相交． 故答案为：相交 【例4】（22-23高一·全国·课后作业）空间两个不重合平面位置关系是 ． 【答案】相交或平行 【分析】根据面面位置关系分析理解. 【详解】空间两个不重合平面位置关系是相交或平行. 故答案为：相交或平行. 【例5】（24-25高二·上海·课堂例题）已知长方体． (1)画出两个平面与的交线； (2)求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接交于，交于，连接即为所求； （2）证明四边形为平行四边形，得到，又根据正方体的性质得到，由等角定理即可证明． 【详解】（1）解：连接交于，交于，连接，即为所求交线，如下图； （2）解：， 四边形为平行四边形， ， 又，并且射线方向相同，根据等角定理， ． 【核心考点八 面面关系有关命题的判断】 【例1】（青海省部分学校2024-2025学年高三上学期教学质量检测数学试题）已知是不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据线面的位置关系判定定理和性质逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，不正确. 对于B，当时，与可能平行､异面､相交，B不正确. 对于C，当时，或，C不正确. 对于D，当，时，，D正确. 故 选 ：D. 【例2】（2022·陕西宝鸡·一模），是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中真命题个数为（   ） ①若，，则与所成的角等于与所成的角； ②若，，，则与是异面直线； ③若，，，则； ④若，，，则． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出示意图，进而根据点线面的位置关系得到答案. 【详解】对①，结合异面直线所成角的定义，因为，所以与所成的角等于与所成的角，而，于是与所成的角等于与所成的角，故①正确； 对②，根据题意，既不平行也不相交，故，异面，所以②正确； 如图，在正方体中，若为平面，为平面，取为，为，显然异面，所以③错误； 若为平面，为平面，则为，取为，则，所以④错误. 故选：B. 【例3】（24-25高二上·上海静安·期中）“若平面与平面平行，则平面与平面没有公共点.”是 命题.（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】根据给定条件，利用平行平面的定义即可得解. 【详解】由平行平面的定义知，“若平面与平面平行，则平面与平面没有公共点.”是真命题. 故答案为：真 【例4】（24-25高一下·全国·课前预习）如果在两个不重合的平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是 . 【答案】平行或相交 【分析】根据图象即可确定这两个平面的位置关系. 【详解】    由图可知，两个平面平行或相交， 故答案为：平行或相交. 【例5】（24-25高二·上海·假期作业）将下列文字语言转化为符号语言： (1)点在平面内，但不在平面内； (2)直线经过平面外一点； (3)直线在平面内，又在平面内.（即平面和相交于直线） 【答案】(1)且 (2)且 (3) 【分析】（1）（2）（3）根据点与平面、直线的关系为，直线与平面的关系为，由此可得. 【详解】（1）由题意得且； （2）由题意得且； （3）由题意得. 【变式训练1 平面的概念及其表示】 1．（23-24高一下·广东广州·期中）如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点、线、面的位置关系，及其符号表示逐一判断即可. 【详解】点和面、点和线的关系用“”或“”表示，故A错误； 线面关系用“”或“”表示，故BD错误； 根据图形有，C正确. 故选：C 2．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示的平行四边形表示的平面不能记为（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】A 【分析】根据平面的表示方法即可选择正确答案. 【详解】表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP． 由题可知A错误，BCD正确. 故选：A. 3．（24-25高二上·上海·期中）用符号表示“平面与相交于直线” ． 【答案】 【分析】由点、线、面位置关系的符号表示即可得解. 【详解】“平面与相交于直线”的符号表示， 故答案为：. 4．（24-25高一下·全国·课前预习）平面的概念 平面是从现实世界的一些物体中抽象出来的几何概念．它没有 ，是向四周 的． 【答案】 厚度 无限延展 【分析】略 【详解】略 5．（23-24高二上·新疆阿克苏·阶段练习）用集合符号表示下列语句： (1)点在直线上，点不在直线上； (2)平面与平面相交于过点的直线． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】根据集合的关系及运算表示即可. 【详解】（1）点在直线上，点不在直线上可表示为： （2）平面与平面相交于过点的直线可表示为： 【变式训练2 平面的基本性质的有关计算】 1．（21-22高三上·河南·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，，点､分别为棱､的中点，则平面与直四棱柱各侧面矩形的交线所围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面的性质可得四边形为直角梯形，将直四棱柱补成一个长方体即可求出. 【详解】如图，因为在直四棱柱中，，所以平面平面，设平面线段，连接，又因为平面平面，所以，延长，交的延长线于点，则，连接，，则平面平面，易知四边形为直角梯形，且. 如图，再将直四棱柱补成一个长方体， 由图及题中数据可得，，， 所以，所以， 故交线围成的图形的面积为. 故选:. 2．（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知长方体中，，，点P为的中点，设平面，平面，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意，找到点，，与的交点即为点，与的交点即为点，根据勾股定理即可求出． 【详解】解：因为平面，平面， 所以与的交点即为点， 延长线与的延长线交于点， 因为，且为的中点， 所以， 同理可得与的延长线交于点， 所以， 如图所示，连接， 在长方体中， ， 则， 故选：C． 3．（22-23高一下·福建三明·期末）已知正三棱柱木料各棱长都为2，如图所示，，分别为和的中心，为线段上的点，且，过三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为 ．    【答案】 【分析】连接，延长分别交于，利用 得出的延长线交于，作，从而得到梯形为过三点的平面截正三棱柱的截面，再利用三棱柱为正三棱柱且棱长为2，求出梯形的上底和高即可求出结果. 【详解】如图，连接，延长分别交于，易知， 连接并延长交于，过作交于，连接， 因为，所以，故梯形为过三点的平面截正三棱柱的截面， 因为，分别为和的中心，， 又，所以， 又是等边三角形，所以， 故，即是的中点，所以， 易知四边形为等腰梯形，所以为等腰梯形的高， 又正三棱柱各棱长都为2， 所以，，， 所以，    故答案为：. 4．（2023·陕西西安·模拟预测）在直四棱柱中，，，M，N在棱，上，且，，过的平面交于G，则截面的面积为 ． 【答案】 【分析】 作出图形，根据线线平行得平行四边形，进而确定出截面为平行四边形，进而求出面积， 【详解】 取上靠近点的一个四等分点，连接，， 因为，所以且，则四边形为平行四边形， 所以且，过点作，因为，所以四边形为平行四边形， 则且，所以且，则截面为平行四边形， 由直四棱柱的性质可得， ， ，， 在△中，由余弦定理得，， 所以， 则截面的面积为； 故答案为：6    5．（21-22高二·全国·课后作业）已知AC的长为定值，点B是直线AC外一点，平面ABC，点M､N分别是和的重心，则当点B和D的位置变化时，线段MN的长是否为定值？请说明理由. 【答案】是定值，理由见解析. 【分析】延长DM交AB于点E，延长DN交BC于点F，连接EF.由三角形重心的性质可得且，由此可得结论. 【详解】解：如图，延长DM交AB于点E，延长DN交BC于点F，连接EF. 因为M､N为重心，所以E､F分别为AB､BC的中点， 所以且. 又中，，得且， 所以且， 即MN的长是与点B､D位置无关的定值. 【变式训练3 异面直线的概念及辨析】 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知平面、满足，若异面直线、满足，，则与、的位置关系是（    ） A．至多与、中的一条相交 B．至少与、中的一条相交 C．至少与、中的一条异面 D．至少与、中的一条平行 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义直接判断. 【详解】异面直线、满足，，， 则与平行或相交，与平行或相交， 但直线与，不能同时平行， 若直线与，同时平行，则与平行，与两直线异面矛盾， 所以至少与、中的一条相交， 故选：B. 2．（2024·江西新余·模拟预测）空间中有三条两两异面的直线，为其中一条直线上一定点，过引直线使其与这三条异面直线都相交，则对于任意的定点，存在的直线有（     ）条. A． B． C． D．无数 【答案】A 【分析】过点作过另两条直线的平面，则两平面有唯一交线，可判断直线的条数. 【详解】如图：在正方体中，不妨设三条两两异面的直线为， 令，作平面过，则过与相交的直线都在平面内， 作平面过，则过与相交的直线都在平面内，. 平面与平面不平行且不重合，有且仅有一条公共直线， 所以直线只有1条. 故选：A. 3．（23-24高二下·全国·课前预习）公垂线段 一般地，如果与是空间中的两条异面直线，，则称为与的 .空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一，两条异面直线的公垂线段的长，称为两条异面直线之间的 . 【答案】 公垂线段 距离 【分析】略 【详解】略 4．（22-23高二下·上海金山·阶段练习）如果一条直线和两条异面直线中的一条平行，那么它和另一条直线的位置关系是 ． 【答案】异面或相交 【分析】根据空间中线线的位置关系得解. 【详解】如果一条直线和两条异面直线中的一条平行， 那么它和另一条直线的位置关系是异面或相交. 故答案为：异面或相交 5．（22-23高三·全国·课后作业）如图，点，，，，求证：直线AB与直线l是异面直线． 【答案】证明见解析 【分析】利用反证法即可证明. 【详解】假设直线AB与直线l不是异面直线，设它们所在的平面为． 由，，而，，且，则与重合． 又，则，得，与矛盾． 所以假设不成立，即直线AB与直线l是异面直线． 【变式训练4 异面直线的判定】 1．（2023·上海·模拟预测）如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义一一判断即可. 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点， 而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意； 因为，即共面， 易知平面，而平面，，， 故与异面，故B符合题意； 当重合时，易知， 则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意； 当重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B. 2．（24-25高二上·上海·期中）在正方体的12条棱、12条面对角线中，总共可以组成（   ）对异面直线． A．72 B．96 C．102 D．126 【答案】D 【分析】根据异面直线的定义，分每条棱与其他棱构成异面直线，每条棱与面对角线构成异面直线，每条面对角线每条面对角线与其他面对角线构成异面直线，三种情况讨论即可. 【详解】每条棱与其他棱构成异面直线，共有条； 每条棱与面对角线构成异面直线，共有条； 每条面对角线每条面对角线与其他面对角线构成异面直线，共有条， 所以共有条. 故选：D. 【点睛】思路点睛：根据异面直线的定义结合图形分类讨论求解. 3．（24-25高二上·上海静安·阶段练习）若直线，为异面直线，、为直线上相异两点，、为直线上相异两点，则直线、直线的位置关系是 . 【答案】异面 【分析】利用反证法，即可判断. 【详解】若，不是异面直线，则，是共面直线， 则四点共面，所以，是共面直线， 这与，是异面直线相矛盾，所以，是异面直线. 故答案为：异面 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）在空间四边形的边与对角线六条边所在的直线中，异面直线共有 对 【答案】3 【分析】根据异面直线的定义和空间四边形的结构作出判断. 【详解】如图所示，为异面直线，为异面直线，为异面直线， 其他各对直线不为异面直线，异面直线共有3对. 故答案为：3 5．（24-25高一上·上海·期中）如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.    (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上. （2）利用反证法可证明与是异面直线. 【详解】（1）平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点在直线上. （2）假设与不是异面直线. 则与是共面直线，又在直线外， 则过与直线有唯一平面，所以可得平面， 这与在平面外矛盾，故与是异面直线. 【变式训练5 判断图形中的线面关系】 1．（21-22高一下·北京通州·期末）如图，在长方体中，则下列结论正确的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线与直线是相交直线 D．直线与直线是异面直线 【答案】D 【分析】根据给定图形，利用点、线、面的位置关系判断作答. 【详解】在长方体中， 直线平面，点，且不重合，即点平面，A不正确； 点平面，点平面，即直线平面，B不正确； 直线平面，则与平面无公共点，直线平面， 所以直线与直线没有公共点，C不正确； 直线平面，即直线与平面无公共点，直线平面， 则直线与直线没有公共点，又，直线，即直线与直线不平行， 因此直线与直线是异面直线，D正确. 故选：D 2．（22-23高一下·浙江台州·阶段练习）“点在平面上，直线与相交于点”可以用符号表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用集合中对应的符号正确表示即可. 【详解】点在平面上，可表示为：. 直线与相交于点，可表示为：. 所以“点在平面上，直线与相交于点”可以用符号表示为：，. 故选：    A 3．（22-23高三·全国·课后作业）若直线l与直线m垂直，平面，则l与的位置关系是 ． 【答案】或 【分析】画出空间图形判断得解. 【详解】解：若直线l与直线m垂直，平面，则l与的位置关系是或. 故答案为：或 4．（21-22高二上·上海普陀·期中）已知直线、及平面，若且，则与平面的位置关系为 . 【答案】或 【分析】根据已知条件结合线面位置关系判断可得出结论. 【详解】因为且，直线与平面的位置关系为或. 故答案为：或. 5．（22-23高二下·广西桂林·期中）是正角形所在平面外一点，分别是和的中点，且.    (1)求证：是和的公垂线； (2)求异面直线和之间的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明即可求证是和的公垂线； （2）由（1）知在等腰三角形中，直接求出异面直线和之间的距离. 【详解】（1）连接，如下图所示：    易知与是全等的正三角形， 又是的中点，所以； 又是的中点，可得； 同理可证 又； 所以是和的公垂线； （2）在等腰三角形中， 易知， 所以 即异面直线和之间的距离为. 【变式训练6 用定义证明线面关系】 1．（22-23高二上·四川乐山·期末）若直线与平面有两个公共点，则与的位置关系是（    ） A． B． C．与相交 D． 【答案】A 【分析】根据直线与平面之间的位置关系即可得出选项. 【详解】若直线与平面有两个公共点， 则直线在平面内，即. 故选：A 2．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知两直线m，n，两平面，，若，，，则m与n的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 【答案】D 【分析】由平面与平面平行的定义及空间中两直线的位置关系得答案． 【详解】解：，与没有公共点， 又，，与没有公共点， 则与的关系为平行或异面． 故选：． 【点睛】本题考查空间中直线与直线位置关系的应用，考查空间想象能力与思维能力，属于基础题． 3．（21-22高一·全国·课后作业）空间中直线与平面的位置关系分为： 若直线与平面没有交点，则直线与平面 ； 若直线与平面有且仅有1个交点，则直线与平面 ； 若直线与平面有无数多个公共点，则直线 ． 【答案】 平行 相交 在平面内 【分析】略 【详解】略 4．（22-23高一下·全国·课后作业）已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，表示不同的平面，则下列推理错误的是 （填序号）. ①； ②； ③. 【答案】③ 【分析】由点线、点面关系，根据平面的基本性质判断点面、线面关系即可. 【详解】①由A，B表示不同的点，且，即有，故正确； ②由A，B表示不同的点，且，即有，故正确； ③由，则，即为经过点A的一条直线而不是点A，故错误. 故答案为：③ 5．（22-23高二上·重庆·期末）如图，棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点. （1）求证：直线平面； （2）求异面直线和所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）连接，则，又，可得，即可证明直线平面； （2）取棱的中点，连接，，，易知，，则异面直线与所成的角即为，利用余弦定理求出即可. 【详解】（1）连接，则，又， ∴，又平面，平面， 故直线平面； （2）取棱的中点，连接，，， 易知，， 故异面直线与所成的角即为， 由题知，，， ∴. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查异面直线夹角的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 【变式训练7 判断图形中的面面关系】 1．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，用符号语言可表达为（     ）． A．，，， B．，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】点为元素，线和面是集合，根据点与集合、集合与集合之间的关系判断各个选项． 【详解】点为元素，线和面是集合，根据点与集合、集合与集合之间的关系易得． A正确，BCD错误； 故选：A. 2．（22-23高一下·全国·课后作业）在四棱台中，平面与平面的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．不确定 D．异面 【答案】A 【分析】根据棱台的定义即可得出结果. 【详解】解：如图所示，由棱台的定义可知，平面与平面一定相交. 故选：A. 3．（22-23高三·全国·课后作业）如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是 ． 【答案】平行或相交 【分析】直接通过空间想象画图得解. 【详解】解：如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是平行或相交. 故答案为：平行或相交 4．（21-22高二上·上海杨浦·期中）若面，面，面，则平面与平面的位置关系 . 【答案】相交 【分析】根据给定条件利用平面的基本事实直接判断即可. 【详解】因面，面，面，则面与面有公共点A，且不重合， 所以面与面的位置关系是相交. 故答案为：相交 5．（24-25高二上·上海·课后作业）观察图①、②、③中的三个图形，指出它们所表示的平面与平面的位置关系的区别. 【答案】答案见解析 【分析】略 【详解】图①表示两个相交的半平面； 图②表示开口向内的两个相交的半平面； 图③表示开口向外的两个相交的半平面. 【变式训练8 面面关系有关命题的判断】 1．（23-24高一下·安徽亳州·阶段练习）设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】作出满足条件的图，举出反例，排除ABD选项，作出满足条件的图，并证明，得到C选项正确. 【详解】A选项：如图：    在正方体中，，此时与夹角为，A选项错误； B选项：如图：    在正方体中，，此时，B选项错误； D选项：如图：    在正方体中：，此时，D选项错误； C选项：如图：    过作平面，使得，，∵，∴，则， 又∵，∴，∴，C选项正确. 故选：C. 2．（24-25高二上·云南昭通·期中）若平面平面，且直线，直线，则直线，的关系为（    ） A． B． C．无公共点 D．即不平行也不相交 【答案】C 【分析】根据面面平行可知直线，可能平行或异面，即可得结果. 【详解】因为平面平面，直线，直线， 可知直线，不可能相交，但可能平行或异面，即没有公共点. 故选：C. 3．（24-25高二·上海·课堂例题）平面α上有三个不共线的点到平面β的距离相等，则平面的位置关系为 ． 【答案】平行或相交 【分析】分三点分布于平面的同侧和异侧两种情况讨论求解. 【详解】若三点分布于平面的同侧，则α与平行； 若三点分布于平面的两侧，则α与相交． 故α与的位置关系为平行或相交. 故答案为：平行或相交 4．（2024高三·全国·专题练习）已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题： ① 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n； ② 若m，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β； ③ m，n是两条异面直线，若m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β. 其中，真命题是 ．(填序号) 【答案】③ 【详解】若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故①错误；m，n⊂α，m∥β，n∥β，但m与n不一定相交，α∥β不一定成立，故②错误；m，n是两条异面直线，若m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则过m的平面与平面α相交于直线m′，有m∥m′，过n的平面与平面α相交于直线n′，有n∥n′，m，n异面，m′，n′一定相交，m′⊂α，m′∥β，n′⊂α，n′∥β，如图所示，由面面平行的判定可知α∥β，故③正确． 【考查意图】面面平行的判定和性质． 5．（23-24高二·上海·课堂例题）已知直线和平面、，判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，，则； (2)若，，则； (3)若，，则． 【答案】(1)假命题，理由见解析 (2)假命题，理由见解析 (3)假命题，理由见解析 【分析】根据线线、线面及面面的位置关系逐一判断即可. 【详解】（1）命题为假命题，理由如下： 例如，如图所示，平面，，平面. （2）命题为假命题，理由如下： 例如，如图所示，平面平面， 平面，平面. （3）命题为假命题，理由如下： 例如，如图所示，平面， ，平面. 1．（24-25高二上·上海·课后作业）若一直线a在平面上，则正确的作图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线在平面的定义即可判断. 【详解】B选项中直线超出平面，故B选项错误； C选项中没有画出直线，故C选项错误； D选项直线与平面相交，故D选项错误. 故选：A. 2．（23-24高一下·安徽宣城·期末）如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，则，推出，，，四点共面，再计算即可得出答案． 【详解】延长交于点，则， 即为的中点， 连接，取中点，连接，则，    所以，，，四点共面，故梯形即为截面图形， ，， ， 记边上的高为，      则解得 所以． 故选：D． 3．（24-25高一下·全国·随堂练习）如果空间两条直线互相垂直，那么它们可能是（    ） A．相交直线 B．异面直线 C．平行直线 D．相交或异面直线 【答案】D 【分析】根据空间两条直线的位置关系可得答案. 【详解】如果空间两条直线互相垂直，那么它们可能是相交直线、异面直线， 不可能是平行直线. 故选：D. 4．（22-23高二上·云南曲靖·期中）如图所示，用符号语言可表达为（    ） A．，， B．，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】结合图形及点、线、面关系的表示方法判断即可． 【详解】如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点， 故用符号语言可表达为，，， 故选：A 5．（2024高三·全国·专题练习）下列命题中不正确的是（   ） A．如果平面平面，且直线平面，则直线平面 B．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 C．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D．如果平面平面，平面平面，，那么 【答案】A 【分析】根据线面位置关系，结合举反例的方法，逐一判别，可得答案. 【详解】对于A，由题意可作图如下：    设平面为平面，平面为平面，直线为直线， 显然平面平面，且直线平面，但此时直线平面，故A错误； 对于B，设平面平面直线，一定存在直线平面，使得直线直线， 由平面平面，则直线平面，故B正确； 对于C，当平面内存在一条直线垂直于平面，则两个平面必定垂直，故C正确； 对于D，由平面平面，平面平面，则存在，使得，存在，使得， 即，因为，，所以，因为，，所以， 则，故D正确. 故选：A. 6．（23-24高二·上海·课堂例题）用集合符号表述下列语句，并将语句所描述的图形画在图中：    （1）点A在平面上： ； （2）平面经过直线AC： ； （3）点B不在平面上： ； （4）直线BC平行于平面： ． 【答案】 ，    【分析】略 【详解】略 7．（22-23高一下·江西南昌·阶段练习）如图，正方体的棱长为分别是的中点，设过三点的平面与交于点的长为 .    【答案】/ 【分析】设三点确定的平面为，直线与直线交于点，连接，如图所示，由题意知，与的交点为，连接，可得直线是平面与平面的交线，在中求解即可. 【详解】设三点确定的平面为，则与平面的交线为直线. 设直线与直线交于点，连接，如图所示， 则直线是与平面的交线. 由题意知，与的交点为，连接， 则直线是平面与平面的交线. 由题意知. 因为，所以， 所以. 在中，， 所以. 故答案为：    8．（24-25高二上·上海·期中）在正方体各个表面的对角线所在直线中，与直线异面的直线有n条，则 【答案】5 【分析】由异面直线的性质结合图形观察可得. 【详解】观察可得，与直线异面的直线有，共5条， 所以. 故答案为：5. 9．（24-25高二·上海·随堂练习）在空间四边形的边上分别取点，如果相交于一点，那么一定在直线 上． 【答案】BD 【分析】根据题意，直线分别为平面、平面内的直线，所以直线的交点一定在平面与平面的交线上，故得解. 【详解】由题意，且， 因为点分别在上，而是平面内的直线， 所以平面，平面， 所以直线平面， 所以平面 因为点分别在上，而是平面内的直线， 所以平面，平面， 所以直线平面， 所以平面， 因此，直线与的公共点在平面与平面的交线上， 因为平面平面， 所以点直线． 故答案为：BD. 10．（24-25高二下·全国·课后作业）有三个给定的经过原点的平面．过原点作第四个平面，使之与给定的三个平面形成的三个二面角均相等，则这样的的个数是 ． 【答案】1或4 【分析】分给定的三个平面的法向量共面和不共面两种情况讨论，当法向量共面时，平面与给定的三个平面都垂直，只有1个，当法向量不共面时，考虑空间直角坐标系中的三个平面，则的法向量诶每个卦限的中分线，有4条，所以有4个平面. 【详解】①若三个平面法向量共面（记平面为），则只有一个和它们均垂直的平面满足要求． 这是因为的法向量在上的投影必须在这三个平面法向量两两形成的角的角平分线上， 因此投影只能是零向量，也就是的法向量需要与垂直． ②若三个平面法向量不共面，则任意两个法向量所在基线均有两个角分面． 我们考虑第一个平面和第二个平面的两个角分面，以及第二个平面和第三个平面的两个角分面， 一共可以产生四条交线，这四条交线即为第四个平面法向量的基线． 取极特殊情况，前三个平面如果两两垂直，即可以考虑空间直角坐标系中， 与它们三个夹角一样的第四个平面法向量的方向，即为每个卦限的中分线， 一共四条，对应四个平面． 故答案为：1或4 11．（24-25高二上·上海·期中）正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)作图见解析，理由见解析， (2)证明见解析. 【分析】（1）根据平面确定定理证明即可. （2）根据等腰梯形的证明方法证明即可. 【详解】（1） 连接，并延长直线，交射线于， 因为， 所以确定一个平面， 平面和平面的交线为. （2）连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 又因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以四边形是等腰梯形. 12．（22-23高三·全国·课后作业）如图，正方体的棱长为4cm，分别是和的中点． (1)画出过点的平面与平面及平面的两条交线； (2)设过的平面与交于点P，求PM+PN的值． 【答案】(1)图象见解析； (2) 【分析】（1）由平面的性质，作出过点的平面与正方体的截面，即可求出； （2）利用三角形相似分别求出，即可求得. 【详解】（1）如图所示，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，交延长线于点，连接交于点，连接，则即为所求作的截面． 如图示：平面与平面的交线为，平面与平面的交线为. （2）由N为的中点，易得，所以， 因为，所以，得， 所以，，， 所以，． 所以． 13．（2024高三·全国·专题练习）已知直线为异面直线，且与不相交，求证：为异面直线． 【答案】证明见解析 【分析】利用反证法，结合平行的传递性即可得矛盾求解，或者分类讨论直线与平面的关系，结合异面直线的定义求解. 【详解】方法一：证明：如图，假设为共面直线，∵不相交，∴， 但，∴，这与为异面直线矛盾，故假设不成立，∴为异面直线． 方法二：∵，故两直线确定了一个平面． 若，则为异面直线，∴不平行，且不相交，∴为异面直线． 若，则不相交，∴，因此与为异面直线． 综上所述，为异面直线． 14．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，分别是的中点，则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么？ (1)所在的直线与平面的位置关系； (2)所在的直线与平面的位置关系； (3)所在的直线与平面的位置关系； (4)平面与平面的位置关系； (5)平面与平面的位置关系. 【答案】(1)相交 (2)相交 (3)平行 (4)平行 (5)相交 【分析】根据直线与平面的位置关系的判定、平面与平面位置关系的判定直接判断答案即可. 【详解】（1）由于A点在平面内，M不在平面内，所以所在的直线与平面相交. （2）由于C点在平面内，N不在平面内，所在的直线与平面相交. （3）由正方体的结构特征得平面平面，， 所以所在的直线与平面平行. （4）由正方体的结构特征得平面平面， 所以平面与平面平行. （5）由正方体的结构特征得平面平面， 而平面平面， 所以平面与平面相交. 15．（22-23高一下·全国·课后作业）如图所示，在正方体中M，N分别是和的中点，则下列直线、平面间的位置关系是什么？    (1)AM所在的直线与CN所在的直线的位置关系； (2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系； (3)AM所在的直线与平面的位置关系； (4)平面ABCD与平面的位置关系. 【答案】(1)异面 (2)相交 (3)平行 (4)相交 【分析】根据正方体的几何结构特征，结合线面位置关系的判定与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】（1）解：因为平面，平面，平面，且直线， 所以直线与为异面直线. （2）解：因为平面，且平面，所以与平面相交于点， 即直线平面，即直线与平面相交. （3）解：在正方体中，可得平面平面， 因为平面，所以平面. （4）解：在正方体中，可得平面平面，即两平面相交. 学科网（北京）股份有限公司 $$