第10讲 空间的垂直关系-【寒假预科讲义】2024年高一数学寒假精品课（人教A版2019必修第二册）

第10讲 空间的垂直关系 【人教A版2019】 ·模块一 空间直线、平面的垂直（一） ·模块二 空间直线、平面的垂直（二） ·模块三 课后作业 模块一 空间直线、平面的垂直（一） 1．异面直线所成的角 (1)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的 角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<. (3)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记 作a⊥b. 2．直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫 做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. (2)点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的 长度叫做这个点到该平面的距离. 3．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 4．直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的 直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所 成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<. ④直线与平面所成的角的取值范围是. 5．直线与平面垂直的性质定理 (1)直线与平面垂直的性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)性质定理的作用 ①由线面垂直证明线线平行. ②构造平行线. 【考点1 异面直线所成的角】 【例1.1】（2023下·陕西安康·高二统考期末）在正方体中，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023下·山东枣庄·高一校考阶段练习）在长方体中，，，则异面直线与所成的角为（     ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023下·宁夏银川·高一校考期末）如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在正三角形中，分别为各边的中点，分别为的中点.将沿折成三棱锥以后，与所成角的度数为（    ） A． B． C． D． 【考点2 线线垂直的判定】 【例2.1】（2023下·全国·高一专题练习）如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直 【例2.2】（2023·江苏·高一专题练习）如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ ） A．与垂直 B．与垂直 C．与异面 D．与异面 【变式2.1】（2023上·江西·高三统考期中）如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E, F分别是点A在P B, P C上的射影，给出下列结论： ①；②；③；④.正确命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2.2】（2023下·江西九江·高一统考期末）如图，正方体中，是底面的中心，，，，分别为棱，，，的中点，则下列与垂直的是（    ）    A． B． C． D． 【考点3 线面垂直的判定】 【例3.1】（2023·全国·高一专题练习）如图，圆柱中，是侧面的母线，AB是底面的直径，C是底面圆上一点，则（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【例3.2】（2023上·河南郑州·高三校联考期末）已知在正方体中，，交于点，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D． 【变式3.1】（2023下·福建宁德·高一校考阶段练习）如图，已知正方体，，分别是，的中点，则（    ）    A．直线与直线相交，