第02讲 一元一次不等式组（5个知识点+9大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年八年级数学寒假衔接讲义（北师大版）

第02讲 一元一次不等式组（5个知识点+9大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 一元一次不等式组的定义 题型二 求不等式组的解集 题型三 解特殊不等式组 题型四 求一元一次不等式组的整数解 题型五 由一元一次不等式组的解集求参数 题型六 由不等式组解集的情况求参数 题型七 不等式组和方程组结合的问题 题型八 列一元一次不等式组 题型九 一元一次不等式组的其他应用 知识点一．一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 知识点二．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 知识点三．一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点四．由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 知识点五．一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 【核心考点一 一元一次不等式组的定义】 【例1】（22-23七年级下·四川凉山·期末）下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：是一元一次不等式组． 故选：B． 【例2】（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）文天祥在《端午即事》中写道过“五月五日午，赠我一枝艾．故人不可见，新知万里外．丹心照夙昔，鬓发日已改．我欲从灵均，三湘隔辽海．”诗中写出了端午节欢愉的背后作者的一丝无奈，尽管在这种境况中，作者在内心深处仍然满怀着“丹心照夙昔”的壮志．端午节是中国传统节日之一，丹东市气象台发布端午节的天气情况，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为t（），则t的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列不等式组，根据题意列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：t的变化范围是， 故选D． 【例3】（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组解集的意义；由题意知，温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个范围的公共部分． 【详解】解：这两个温度范围的公共部分是：； 故答案为：． 【例4】（22-23七年级下·甘肃庆阳·阶段练习）下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个． 【答案】2 【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ③是一元一次不等式组； ④不是一元一次不等式组； ⑤，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有2个， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 【例5】（22-23六年级下·全国·课后作业）判断下列不等式组是否为一元一次不等式组． （1）    （2）    （3） 【答案】（1）是；（2）不是；（3）不是 【分析】（1）由题意根据一元一次不等式组的定义即几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组进行分析作答； （2）由题意根据一元一次不等式组的定义即几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组进行分析作答； （3）由题意根据一元一次不等式组的定义即几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组进行分析作答． 【详解】解：（1），符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组； （2）中，是一元二次不等式，故不是一元一次不等式组； （3）中，是方程，不是不等式，故不是一元一次不等式组． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的定义，注意掌握把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组叫做一元一次不等式组． 【核心考点二 求不等式组的解集】 【例1】（24-25八年级上·江西·开学考试）已知三个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则它们组成的不等式组的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握不等式的公共部分就是不等式组的解集是解题的关键．由图可知，数轴上表示出来的三个不等式解集的公共部分，即可得出不等式组的解集． 【详解】解：由图可知，三个不等式解集的公共部分为， 所以它们组成的不等式组的解集是． 故选：D． 【例2】．（24-25八年级上·福建福州·期中）已知实数满足，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，先利用完全平方公式求出的取值范围，再把代入即可求解，灵活运用完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【例3】（2025九年级下·全国·专题练习）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知实数x、y满足值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及乘方的运算，关键是掌握二次根式中被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，进而可得出，然后可得，再进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴，则， ∴． 故答案为：． 【例5】（23-24八年级下·全国·期中）解不等式(组)： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据不等式的性质进行计算即可； （2）分别解不等式，将解集联立起来即可． 【详解】（1）解：去分母，得：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 故不等式组的解集为． 【核心考点三 解特殊不等式组】 【例1】（23-24七年级下·江苏南通·期中）若关于x的不等式的最小整数解是，则实数的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，解不等式得出，根据不等式的最小整数解是即可确定的取值范围，继而得出结论．解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解． 【详解】解：∵， 解得：， ∵关于x的不等式的最小整数解是， ∴， ∴， ∴实数的值可能是． 故选：C． 【例2】（2023七年级下·江苏·专题练习）已知有理数，且，则使始终成立的有理数的取值范围是（    ） A．小于或等于的有理数 B．小于的有理数 C．小于或等于的有理数 D．小于的有理数 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义先求出的取值范围，再根据始终成立，求出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∵始终成立， ∴的取值范围是小于或等于的有理数． 故选：． 【点睛】本题结合绝对值考查了解不等式，掌握绝对值不等式的解法是解题的关键． 【例3】（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用．首先将变形为．再将代入不等式，，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系，联立求得的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，且，， ∵， ∴，即， 解得：， 将代入，得，即， 解得， 的取值范围为：． 故答案为：． 【例4】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值方程，解不等式，分类讨论是解题的关键．根据绝对值的意义，将方程转化为一般的方程，然后求解，再解不等式即可． 【详解】解：根据题意，当时， 解得： 此时，解得 当时， 解得： 此时，解得或 综上所述，或 故答案为：或． 【例5】（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： (1)阅读理解：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得；解不等式组，得． 原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上材料，解不等式． (2)已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 【答案】(1) (2)可取的整数值为，． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及二元一次方程组的解法，熟练掌握求不等式组的解集及二元一次方程组的解的方法是解题关键． （1）根据阅读材料可得：当和异号时不等式成立，据此即可转化为不等式问题求解即可； （2）根据题意求出方程组的解，然后代入不等式组求解即可． 【详解】（1）解：根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化为：或． 解不等式组，不等式组无解； 解不等式组 ，解得． 所以原不等式组的解集为：； （2）解： 得：，解得， 将代入①得，， ∴方程组的解为， ∵， ∴， 解不等式组得：， ∴可取的整数值为，． 【核心考点四 求一元一次不等式组的整数解】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）在不等式组的解集中，整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解．解题的关键是正确求出不等式组的解集． 先求出不等式组的解集，然后再求出其范围内的整数解，即可． 【详解】解：， 解①，得， 解②，得， ∴， ∴整数有：0、1、2，共3个． 故选：B． 【例2】．（22-23七年级下·山东日照·期末）若关于的不等式组的整数解共有2个，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组的应用，先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解进而求得的取值范围，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：不等式组整理得：，即， ∵不等式组的整数解共有2个， ∴不等式组的整数解为，， ∴的取值范围为：， 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·重庆长寿·期中）若整数m使得关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于x、y的二元一次方程组有整数解，则符合条件的所有m的和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等组和二元一次方程组，及其整数解，熟练掌握解一元一次不等组和二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】由不等式组 可得， ∵关于x的不等式组有且只有四个整数解， ∴这四个整数解为： ， 解得：， 由 可得， ∵关于x、y的二元一次方程组有整数解， ∴或， ∴符合条件的所有m的和是 故答案为： 【例4】（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）已知甲、乙都是长方形，它们的边长如图所示（a为正整数），甲、乙的面积分别为，．若满足条件的整数n有且只有2个，则a的值为 ． 【答案】1012 【分析】本题主要考查了整式的加减，不等式组的解集， 先求出，再不等式组有两个整数解得出答案即可． 【详解】∵， ∴． ∵的整数解有且只有2个， 即的整数解是2025，2024，且a为正整数， ∴， 解得． 故答案为：1012． 【例5】．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）解不等式组，并求出它的整数解． 【答案】； 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先分别求出两个不等式的解集，再得出不等式组的解集，最后求出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为． 【核心考点五 由一元一次不等式组的解集求参数】 【例1】（24-25八年级上·浙江·期中）若关于的不等式组有解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求不等式组的解集，掌握不等式的性质，取值方法是解题的关键． 根据不等式的性质，及取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”的方法即可求解． 【详解】解：关于的不等式组有解， ∴， 故选：D ． 【例2】（24-25八年级上·浙江金华·期中）关于的不等式组恰好有个整数解，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，由一元一次不等式组的解集求参数等知识点，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 首先求不等式组的解集，得到，由该不等式组恰好有个整数解可知其整数解是和，于是可得，解之，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 对于，解得：， 对于，解得：， 不等式组的解集为， 该不等式组恰好有个整数解， 其整数解是和， ， 对于，解得：， 对于，解得：， ， 故选：． 【例3】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）不等式组的解集是，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集．熟练掌握一元一次不等式组的解集是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：∵不等式组的解集是， ∴， 解得，， 故答案为：． 【例4】（23-24七年级下·全国·单元测试）若关于 x 的不等式组的解集为，则 n 的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，分当时，当，即时，当，即时，三种情况根据不等式组的解集可知和中较大的数的值为进行求解即可． 【详解】解：当时，则，此时， ∴不等式组的解集为，不符合题意； 当，即时， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴（舍去）； 当，即时， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； 综上所述，， 故答案为：． 【例5】（2024八年级上·全国·专题练习）含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了不等式组有无解集的问题， 对于（1），根据不等式组有解集，即两个不等式有交集； 对于（2），（3），根据不等式组中的两个不等式没有交集解答. 【详解】（1）解：关于的不等式组有解， 即的取值范围是； （2）解：关于的不等式组无解， ， 解得， 即的取值范围是； （3）解： 解不等式①，得，解不等式②，得． 关于的不等式组无解， ， 即的取值范围是． 【核心考点六 由不等式组解集的情况求参数】 【例1】（22-23八年级下·山东济南·期中）若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组的整数解，列出关于的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍．首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【详解】解：由得，， ， 故原不等式组的解集为：， 不等式组的正整数解有4个， 其整数解应为：3、4、5、6， 的取值范围是． 故选：D 【例2】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解，根据不等式的性质先求出，，再求出原不等式组的整数解为，，，，最后作答即可． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组有四个整数解， 原不等式组的整数解为，，，， ， ． 故答案为：A． 【例3】（24-25八年级上·浙江金华·期中）关于的不等式组的解集是，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，由不等式组的解集求参数，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先解第一个不等式得到，由于不等式组的解集为，则利用同大取大可得到的范围． 【详解】解：解不等式， 得， 而不等式组的解集是， ∴． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·重庆·期中）已知关于x、y的方程组的解满足，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的和为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和解一元一次不等式组，解关于x，y的方程组，结合，可求得的取值范围，解关于x的不等式组，根据不等式组无解，可再次可求得的另一取值范围，求解即可得到答案； 【详解】解关于x，y的方程组，得 ， 则， 即 解得， 解关于x的不等式组 由不等式①，得 ， 由不等式②，得， ， 因为关于x的不等式组无解，可得 ， 解得， 综上所述可知 ， ∴所有符合条件的整数a为，，0，1，2，3，4，这些整数的和为，， 故答案为：7． 【例5】（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于的不等式组恰好只有4个整数解． (1)若，求的取值范围； (2)若，则的取值范围为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数： （1）先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据只有4个整数解列出不等式组求解即可； （2）先求出不等式组的解集为 ，再根据只有4个整数解得到，解得，则，再讨论的范围并建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解；当时，原不等式组为， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组恰好只有4个整数解， ∴， ∴； （2）解：当时，原不等式组为 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组恰好只有4个整数解 ∴不等式组的解集为 ， ， 解得， 当，即时， 必须满足， 解得； 当，即时， 必须满足， 解得． 综上所述，． 【核心考点七 不等式组和方程组结合的问题】 【例1】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知平面直角坐标系上的动点，满足，，其中，则下列结论：①；②；③；④若，则 其中正确的有 （   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，先分别用x、y表示a得到，，则根得，，于是解两个不等式组可对①②进行判断；先计算出，则，所以，然后解关于的不等式组可对③进行判断；当，则，解得，则a的范围为，然后解不等组可对④进行判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：，故①正确； ∵， ∴， ∴， 解得：，故②错误； ， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴，解得：， ∴， 即， 解得：，故④正确； 综上所述正确的为①④； 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 【例4】（23-24七年级下·山东威海·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程组的解集的情况求参数的范围，求不等式组的解集，根据方程组的解集的情况，得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：， 得：，即， 得：， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【例5】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知关于、的二元一次方程组． (1)若方程组的解、互为相反数．求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）将两个方程相加可得，由相反数的性质知，据此可得关于的方程，解之可得； （2）将两个方程相加可得，即，结合题意得出的不等式组，解之可得． 【详解】（1）解： 得：， 、互为相反数， ， 则， ， 解得； （2） 得：，即， ， ， 解得：． 【核心考点八 列一元一次不等式组】 【例1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，理解不超过为小于等于，不少于为大于等于是解题关键．设购买篮球个，则购买排球个，再结合题意列出不等式组即可． 【详解】解：设购买篮球个，则购买排球个， 由购买资金不超过3600元，可列， 由购买篮球的数量不少于排球数量的一半，可列， 即可列不等式组为． 故选C． 【例2】（23-24八年级上·全国·单元测试）小明在天气预报网上，查询到今年3月8日重庆市最高气温是，最低气温是，则当天重庆市气温的变化范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．理解题意是解题的关键．最高气温是，即气温小于或等于，最低气温即温度大于或等于，据此即可判断． 【详解】解：某天最高气温是，最低气温，则当天重庆市的气温t℃的变化范围是． 故答案为：D． 【例3】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 【例4】（2024七年级下·安徽·专题练习）的5倍在3与7之间（不包括3和7）用不等式（组）表示： ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题列出一元一次不等式组，理解题意并能列出相应的不等式组是解答本题的关键．根据题意写出相应的不等式组即可． 【详解】解：的5倍在3与7之间（不包括3和）用不等式（组）表示是 故答案为：． 【例5】（23-24八年级下·广东揭阳·阶段练习）在数轴上有A，B两点，其中点A所对应的数是a，点B所对应的数是1．已知A，B两点的距离小于3，请你利用数轴． (1)写出a所满足的不等式； (2)数，0，4所对应的点到点B的距离小于3吗？说明理由． 【答案】(1) (2)数所对应的点到点B的距离大于3，数0所对应的点到点B的距离小于3，数4所对应的点到点B的距离等于3 【分析】 本题考查了数轴上两点之间的距离，旨在考查学生的数形结合能力． （1）找到数轴上与B点距离等于3的两点即可求解； （2）由（1）可知，当，数所对应的点到点B的距离小于3；当或，数所对应的点到点B的距离大于3；当或，数所对应的点到点B的距离等于3． 【详解】（1）解：如图所示： 数轴上两点与B点距离等于3， ∵A，B两点的距离小于3， ∴点A在之间， ∴； （2）解：∵ 由（1）可知：数所对应的点到点B的距离大于3，数0所对应的点到点B的距离小于3，数4所对应的点到点B的距离等于3． 【核心考点九 一元一次不等式组的其他应用】 【例1】（2024八年级上·浙江·专题练习）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用．设有x人，由于每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，则苹果有个；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果，就是苹果数大于0，并且小于8，然后即可列出相应的不等式组． 【详解】解：设有x人，则苹果有个， 由题意得：， 故选：C． 【例2】（23-24八年级下·全国·单元测试）某商店计划用不超过2000元的资金，购进甲、乙两种单价分别为30元、60元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利5元、15元，两种商品均售完．若所获利润大于380元，则该店进货方案有（     ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的不等关系，并据此列出不等式组．设该店购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据“购进甲乙商品不超过2000元的资金、两种商品均售完所获利润大于380元”列出关于的不等式组，解之求得整数的值即可得出答案． 【详解】解：设该店购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 根据题意，得：， 解得：， ∵为整数， ∴、35、36， ∴该店进货方案有3种， 故选：A． 【例3】（23-24八年级下·全国·期中）甲种蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜适宜的温度是，将两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式解集的应用，掌握相关知识是解题的关键．找出甲乙两种蔬菜保鲜适宜的温度范围的公共部分即可． 【详解】解：甲种蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是， 将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）云谷的自营餐饮在保证菜品的新鲜程度上很重视．某日发现甲种蓅菜保鲜的适宜温度（单位：）是，乙种蔬菜保鲜的适宜温度是，如果将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，则保鲜的适宜温度t（单位：）的范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组，求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故保鲜的适宜温度t（单位：）的范围是， 故答案为：． 【例5】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜．我们把含糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度，甜度越大糖水越甜．小观现在有一杯质量为100克的糖水，其中含有a克糖（）；他试了一下感觉不够甜，又向其中添加了10克糖，并搅拌至完全溶解． (1)原来的甜度为 ，加糖后的甜度为 ． (2)根据加糖前后的甜度，请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了． (3)要使糖水口感好，又比较健康，甜度应不低于，又不超过．如果上述操作后甜度符合要求，那么a应该在什么范围？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出原来的甜度及加糖后的甜度；（2）作差后，找出；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．（1）根据甜度公式计算即可得到含a的代数式表示出原来的甜度及加糖后的甜度； （2）二者作差后，可得出，结合，进而可证出加糖后确实变甜了； （3）根据加糖后的甜度不低于又不超过，可列出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意得：原来的甜度为，加糖后的甜度为； （2）解：加糖前的甜度为，加糖后的甜度为， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴加糖后确实变甜了； （3）解：根据题意得：， 解得：， ∴a的取值范围为． 【变式训练1 一元一次不等式组的定义】 1．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图是青岛市2024年6月6日的天气，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为，则的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的定义．根据气温为，可得的范围是． 【详解】解：图中温度为：，则， 故选：D． 2．（22-23八年级下·河南郑州·期中）某日我市最高气温是，最低气温是，则当天气温的变化范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最高气温和最低气温得出答案即可． 【详解】解：某日我市最高气温是，最低气温是， 当天气温的变化范围是， 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式组的定义，能理解题意是解此题的关键． 3．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）我们规定任意两点M、N之间的距离记作，已知点A在数轴上，对应的数是，点B在数轴上对应的点是1；如果点Q在数轴上，而且满足，请用不等式表示出所有符合条件的点Q所对应数x的范围 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，有理数的减法等知识，分“当点Q在A点的左边，即时，当点Q在线段上，当点Q在B点的右边”三种情况讨论即可得解，运用数形结合与分类讨论思想解题是解题的关键． 【详解】解：当点Q在A点的左边，即时，； 当点Q在线段上，即时，； 当点Q在B点的右边，即时，； 故答案为： 4．（22-23七年级·全国·单元测试）一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个 ．一元一次不等式组中各个不等式的解集的 ，叫做这个一元一次不等式组的 ． 【答案】 一元一次不等式组 公共部分 解集 【分析】根据一元一次不等式组的定义，及一元一次不等式组解集的定义，进行填空即可． 【详解】一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集. 故答案为一元一次不等式组；公共部分；解集. 【点睛】考查一元一次不等式组的相关概念，比较基础，难度不大. 5．（22-23七年级下·全国·单元测试）判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？ (1)；(2)；(3)；(4)；(5). 【答案】见解析 【分析】（1）中含有等号，是方程不是不等式； （2）x2的次数是二次，故不是一元一次不等式组； （3）符合一元一次不等式组的定义； （4）含有两个未知数，故不是一元一次不等式组； （5）符合一元一次不等式组的定义. 【详解】解：(1)中x＝42是方程，不是不等式，故不是一元一次不等式组； (2)中x2＜81是一元二次不等式，故不是一元一次不等式组； (3)符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组； (4)含有两个未知数，是二元一次不等式组，故不是一元一次不等式组； (5)符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组． 综上，可知(3)(5)是一元一次不等式组． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组. 【变式训练2 求不等式组的解集】 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求解不等式组并在数轴上正确表示出解集是关键；分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解答：解：由，得：， 由，得：， 则不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如下： 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若x是整数，且有意义，则的值是（　　） A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和解不等式组，先根据为整数和二次根式有意义求出x的值，再分别代入求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， ∵x是整数， ∴或4或5， 原式或1， 故选：C． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据确定不等式组解集的原则“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”确定得出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集是 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江·期中）定义运算表示求不超过的最大整数．如，，，．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，根据题意得出，即，据此可得，解之即可，解题的关键是根据新定义列出关于的不等式组． 【详解】解：根据题意得： ∴， ∴， ∴则， 解得：， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·四川成都·期中）解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来 (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： （2）由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： 【变式训练3 解特殊不等式组】 1．（22-23七年级下·福建龙岩·期末）定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新定义列出关于x的不等式组2≤＜3，再解之即可． 【详解】解：∵[]=2， ∴由题意得2≤＜3， 解得5≤x＜7， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确列出关于x的不等式组是解答此题的关键． 2．（2022·山东淄博·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集． 【详解】 解不等式①得：x≤﹣1，解不等式②得：x＞2，在数轴上表示为： 则不等式组的为空集． 故选B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 3．（22-23七年级上·甘肃武威·阶段练习）若是关于的一元一次方程，则的值是 ． 【答案】-2 【分析】根据一元一次方程的定义列出关于m的方程组求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ，解得m=-2． 故答案为-2． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义和不等式组的解法，根据一元一次方程的定义列出关于m的方程组成为解答本题的关键． 4．（2022八年级下·全国·专题练习）对于正整数a、b、c、d，符号表示运算ac-bd，已知1<<3，则b+d= ． 【答案】3 【分析】首先根据运算符号的定义以及b、d是整数求得b、d的值，然后代入求解即可． 【详解】解：根据题意得：1＜4-bd＜3， 则-3＜-bd＜-1，即1＜bd＜3， ∵b、d是整数， ∴bd是整数． ∴bd=2， 则或（舍去）或或， 则b+d=3． 故答案是：3． 【点睛】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定，正确求得b、d的值是关键． 5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了因式分解式不等式的求解，解题的关键在于熟练掌握两式之积大于0，则两式为同号，两式之积小于0则两式为异号． （1）利用两式之积大于0，推出两式同号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大大取大，小小取小即可求出原不等式的解集． （2）利用两式之积小于0，推出两式异号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大小小大取中间，即可求出原不等式的解集． 【详解】（1）解：①当，则， ，解不等式组得． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：或． （2）解：①当，则， ， 不等式组无解． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：． 【变式训练4 求一元一次不等式组的整数解】 1．（2024·广东·模拟预测）下列数值不是不等式组 的整数解的是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，最后求其整数解即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解为：， ∴整数解为：， 不符合的整数为， 故选A． 2．（23-24七年级下·全国·期中）不等式组的整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查解不等式组．根据题意解出不等式组即可找到整数解． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴不等式组的整数解有：， 故选：B． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）不等式组的整数解有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握求一元一次不等式组的整数解的一般步骤是解题的关键：先求出不等式组的解集，再从解集中找出所有整数解． 按照求一元一次不等式组的整数解的一般步骤进行计算即可，即：先求出不等式组的解集，再从解集中找出所有整数解． 【详解】解：， 由解得：， 由解得：， 不等式组的解集为：， 它的整数解有：，，，，共个， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）关于x的不等式有5个整数解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解．按照解一元一次不等式的步骤进行计算可得，然后再根据题意可得：，从而进行计算即可解答． 【详解】解：， ∴， ∵关于x的不等式有5个整数解， 即2,3，4，5，6， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）解不等式组并求它的所有整数解的和． 【答案】 【分析】本题考查截一元一次不等式组，先求出两个不等式的解集，再求其公共部分，然后找出整数解，即可求解． 【详解】解：解不等式得； 解不等式得； ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为，，，，， ∴所有整数解的和为． 【变式训练5 由一元一次不等式组的解集求参数】 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，据此即可确定m的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 不等式组的解集为， ， 故选：A． 2．（23-24七年级下·安徽黄山·期末）关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及整数解，正确掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 先求出的不等式组的解集，然后根据的不等式组只有3个整数解进行列不等式作答即可． 【详解】解：， 解得：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴． 故选：B 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图（m为正整数），甲、乙的面积分别为，．若满足条件的整数n有且只有4个，则m的值为 ． 【答案】1011 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的乘法法则、解不等式组，先表示出，，从而得出，结合满足的整数n有且只有4个得出，解不等式组即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：，， ， 为正整数， ， 满足的整数n有且只有4个，， 整数的值为，，，， ， ， ， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式组整数解有4个，则b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了与不等式组有关的整数解问题．先表示出不等式组的解集，再由整数解的个数，可得b的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 因为不等式组的整数解共有4个，所以整数解为，6，7，8， ∴， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知不等式组的整数解是，，，，确定字母的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题的关键是掌握不等式组的解法．先分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的整数解是，，，，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得： ， ， ， ， 解不等式②得： ， ， 不等式组的整数解是，，，， 不等式组的解集是， ， 解得：． 【变式训练6 由不等式组解集的情况求参数】 1．（24-25八年级上·浙江金华·期中）若不等式组无解，则m的值可能（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集，由不等式组无解得出是解题的关键．解不等式组可得，，由不等式组无解可得，求出m的范围即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组无解， ， ， 故选：． 2．（24-25七年级下·山西大同·期末）若不等式组有解，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查已知不等式的解集求参数，根据求不等式组解集的方法“大中取大，小中取小，大小小大中间找，大大小小找不到” 的原则求解即可． 【详解】不等式组有解， 两个不等式的解有公共部分， 故选：A． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）若关于x的不等式组的所有整数解的和为12，则整数a的值为 ． 【答案】3或 【分析】此题考查的是一元一次不等式的解法，求不等式组的解集，首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后根据整数解的和为12，确定整数解，即可求得整数a的值． 【详解】解：解得， 解得． ∴不等式组的解集为， ∵所有整数解的和为12， ∴整数解是3，4，5或，，0，1，2，3，4，5． 当整数解是3，4，5时，，整数， 当整数解是，，0，1，2，3，4，5时，，整数， ∴整数a的值为3或． 故答案为：3或． 4．（2024·浙江·中考真题）关于x的一元一次不等式组的解为，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】此题考查解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组的解集为， ， 故答案为：． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）若关于的不等式组有且只有三个整数解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法． 解不等式组得出其解集为，根据不等式组有且只有三个整数解得出，解之可得答案． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为：， ∵不等式组有且只有三个整数解， ， 解得：， 故答案为：． 【变式训练7 不等式组和方程组结合的问题】 1．（22-23七年级下·江苏南通·期中）已知关于的方程组的解都为非负数，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先解方程组得到，再根据方程组的解为非负数得到，则，再由已知条件得到，据此求解即可． 【详解】解： 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴方程组的解为， ∵关于的方程组的解都为非负数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 2．（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次不等式组与二元一次方程组的综合．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出关于a、b的方程组，解之求得a、b的值即可得出答案． 【详解】解： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故选：D 3．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，先求出方程组的解，再把解代入到不等式中，最后解不等式即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键． 【详解】解： 得，， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为， ∵方程组的解满足， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为 ． 【答案】// 【分析】本题考查了二元一次不等式组表示平面区域，根据条件作出平面区域是解题的关键．作出 不等式组所对应的平面区域，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，作出不等式组对应的平面区域，则， 由， 得， 即， 由， 得， 即， 设直线与轴的交点为，， ， ， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知关于的方程组（为常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组和方程组，弄清题意，找到解决问题的方法，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）两式相加，得，于是有，进而求解即可； （2）两式相减，得，另根据，即可求得求的取值范围． 【详解】（1）解： ，得：，故， 又由，则，得． （2）解： ，得：， 又由，得， 解得． 【变式训练8 列一元一次不等式组】 1．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）东明县某日最高气温是，最低气温是 ，则东明县当日气温：的变化范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了将实际问题抽象出一元一次不等式组，抓住关键词语、列出不等式组是解答本题的关键．先根据最高气温与最低气温列出不等式组，然后再确定其解集即可解答． 【详解】解：由题意可得： 当天气温的变化范围是． 故选：A． 2．（23-24八年级下·广东深圳·期末）小明一家驾驶一辆小轿车外出旅游，经过某段高速公路时看到该段路对行驶车辆的限速规定如图所示，设小明家车辆经过该路段的速度为v千米/小时，则符合限速规定的v应 满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查看图列不等式，解题的关键是看懂图中最低和最高限速并作答．本题是看图列不等式，要不低于最低限速，自驾游的车属于小客车最高速不超过120，进而作答． 【详解】解：由图可知最低限速60， ∴， 又自驾游的车属于小轿车， 小轿车的最高速不超过120， 即， 综上， 故选：C． 3．（21-22七年级下·全国·单元测试）列不等式组：与的和不小于，且与的差是负数 ． 【答案】 【分析】表示出与3的和，与6的差即可． 【详解】解：与3的和不小于4， ； 与6的差是负数， ． 所列不等式组为． 故答案为：． 【点睛】本题考查列不等式组；“不小于4”及“负数”用数学语言表示是解决本题的易错点． 4．（22-23八年级下·山西运城·阶段练习）盐湖区今天的最高气温是，最低气温是，当天盐湖区气温的变化范围用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】根据题意列出不等式组即可． 【详解】根据题意知：盐湖区今天的最高气温是，最低气温是， ∴当天盐湖区气温的变化范围为： 故答案为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 5．（22-23七年级下·全国·单元测试）某班名学生上体育课，老师出了一道题：现在我拿出一些篮球，如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人．请写出篮球数x与人数的不等关系． 【答案】 【分析】如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打，就有；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人，就有即可． 【详解】解：设篮球数为x，根据题意可得：， 解得： ， 【点睛】本题主要考查的是一元一次不等式的实际应用，正确列出满足题意的不等式是解题的关键． 【变式训练9 一元一次不等式组的其他应用】 1．（22-23七年级下·山东济宁·期末）把一些书分给几名同学，若__________；若每人分本，则不够．依题意，设有名同学列不等式，则横线的信息可以是（    ） A．每人分本，则可多分个人 B．每人分本，则剩余本 C．每人分本，则剩余本 D．其中一个人分本，则其他同学每人可分本 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列不等式，根据不等式表示的意义解答即可求解，理解题意和不等式是解题的关键． 【详解】解：由不等式，可得：把一些书分给几名同学，若每人分本，则剩余本；若每人分本，则不够， ∴横线的信息可以是每人分本，则剩余本， 故选：． 2．（22-23七年级下·山东济宁·期末）对一个实数按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于？”为一次操作，如果操作恰好进行三次才停止，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组即可求解，看懂题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故选：． 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）我校学生会计划组织初一学生给某边远山区小学生捐赠书籍，已经筹到图书若干．若每位小学生2本书，则余7本；若前面每人分5本，则除了有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本．则共有小学生 人． 【答案】5 【详解】本题考查的是一元一次不等式组的应用，设出未知数，找出不等关系：有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本，据此列出不等式组求解即可． 【分析】解：设有小学生x个，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴， ∴共有小学生5人． 故答案为：5． 4．（23-24八年级下·全国·期中）《国家学生体质健康标准》规定：体重指数 一个学生正常的体重指数为，则身高2米的小逸的体重m（千克）满足 才算合格． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意可得，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·重庆·期中）学校计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买台平板电脑比购买台学习机多元，购买台平板电脑和台学习机共需元． (1)求购买台平板电脑和台学习机各需多少元？ (2)学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共台，要求购买的总费用不超过元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？ 【答案】(1)购买一台平板电脑需元，一台学习机需元 (2)3种方案，见解析；购买平板电脑台，学习机台最省钱 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，以及二元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． （1）设购买一台平板电脑需元，一台学习机需元，根据题意列出方程组，解方程组即可求出和的值，即可； （2）设购买平板电脑台，则购买学习机台，根据题意列出不等式组，解不等式组求出的取值范围，即可得出购买方案，进而得出最省钱的方案． 【详解】（1）解：设购买一台平板电脑需元，一台学习机需元． 由题意得：， 解得：， 故购买一台平板电脑需元，一台学习机需元． （2）解：设购买平板电脑台，则购买学习机台． 由题意得：， 解得：， ∵是整数， ∴，，． 方案：购买平板电脑台，学习机台，费用为（元）； 方案：购买平板电脑台，学习机台，费用为（元）； 方案：购买平板电脑台，学习机台，费用为（元）； 则购买平板电脑台，学习机台最省钱． 1．（2024·四川雅安·模拟预测）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集等知识．熟练掌握解一元一次不等式组，在数轴上表示解集是解题的关键． 分别计算两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，然后判断作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， ， 解得，， ∴不等式组的解集为， ∴在数轴上表示解集如下； 故选：A． 2．（2025·山东日照·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：解：，由①得，x≤﹣1，由②得，x＞﹣5，故﹣5＜x≤﹣1． 在数轴上表示为： ． 故选A． 考点：1．在数轴上表示不等式的解集；2．解一元一次不等式组． 3．（2023·河南信阳·模拟预测）不等式组的整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，根据不等式组的解集确定整数解及其个数即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是：． 则整数解是1、2、3、4，共有4个． 故选：D． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）若关于x的不等式组的解集为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得到a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解含有参数的二元一次方程组和一元一次不等式组，根据题意，求出k的范围是解题的关键．先求出关于x，y的方程组的解，再根据，，列不等式求出k的范围，再根据关于k的不等式的解集为，可得，进一步缩小k的范围，最后再根据k为整数，即可得出k的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵，， ∴， 解得， 又∵关于k的不等式的解集为：， ∴， 解得， ∴k的范围为． 又∵k为整数， ∴． 故选：B． 6．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）若x，y为实数，且，则 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，继而解得，则，再代入求值． 【详解】解：由题意得， ∴解得：， ∴， ∴， 故答案为：2024． 7．（23-24八年级下·全国·期末）已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式 的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握不等式的基本性质即可获得答案．将整理为，结合可得，，进而可得，然后将其代入并求解，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 8．（2021·山东潍坊·一模）对于实数，用表示不大于的最大整数，例如，，，若，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据表示不大于的最大整数可列不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义最大整数问题，掌握表示不大于的最大整数的定义，抓住是解题关键． 9．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共 只 【答案】83 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用．解题的关键是熟练掌握不等关系列出不等式组． 设该村共有x户，则母羊共有只，根据“每户发放母羊7只时有一户可分得母羊但不足3只”得，解得：， ，即可计算批种羊共有只数． 【详解】设该村共有x户，则母羊共有只， 由题意知， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴． ∴这批种羊共有83只． 故答案为：83． 10．（23-24七年级下·广西梧州·期末）把一批书分给若干名同学，如果每人分3本，那么剩余6本；如果前面的同学每人分5本，那么最后一人就分不到3本，则这批书共有 本． 【答案】21 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，找准等量关系、正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 设共有x人，则这些书有本，根据“如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本”，可列出关于x的一元一次不等式组可得出x的取值范围，结合x为正整数，可得出分书的人数，再将其代入中即可解答． 【详解】解：设共有x人，则这些书有本， 根据题意得： ，解得：， 又∵x为正整数， ∴， ∴， ∴这些书有21本． 故答案为：21． 11．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）解不等式与不等式组： (1)解不等式：． (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组）．熟练掌握解一元一次不等式（组）是解题的关键． （1）先去分母，然后去括号、移项合并，最后系数化为1即可； （2）分别求出两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， ∴， 解得：； （2）解：， 由①得：， 解得：， 由②得：， ∴， ∴， 解得：， ∴不等式组的解集为：. 12．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】，在数轴上表示见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集是：， 不等式组的解集在数轴上表示为： 13．（23-24七年级下·安徽六安·期中）已知，若，则称x为a，b的偏小值；若，则称x为a，b的偏大值． (1)已知x为和3的偏小值，且x为整数，求x的值； (2)若m为整数，且在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数，请直接写出所有符合条件的m的值． 【答案】(1)0 (2)，，1，2 【分析】题目主要考查新定义的不等式的计算，理解新定义是解题关键． （1）根据题意得出，然后求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，根据题意列出不等式，结合题意求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴； （2）当时，根据题意得：， 当时，即，不成立； ∴，即， ∵在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数， ∴， ∵m为整数， ∴或， ∴或； 当时，根据题意得：， 当时，即，不成立； ∴，即， 当时，，不成立； 当时，，此时，成立； 当时，，此时，成立； 当时，，不成立； 综上可得：或2或或． 14．（2024·湖北武汉·模拟预测）求不等式组的最大整数解． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解法．求出各个不等式的解集，再寻找解集的公共部分即可． 【详解】解： 由①得， 由②得， ∴， ∴不等式组的最大整数解为． 15．（22-23七年级下·广东广州·阶段练习）已知关于的方程组． (1)求方程组的解（用含的式子表示）； (2)若方程组的解满足，，且是整数，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用加减法解答即可求解； （）由题意可得关于的一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围，进而根据是整数可得的值； 本题考查了解二元一次方程组，求不等式组的整数解，掌握解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为； （2）解：∵，， ∴， 由①得，， 由②得，， ∴， ∵是整数， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 一元一次不等式组（5个知识点+9大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 一元一次不等式组的定义 题型二 求不等式组的解集 题型三 解特殊不等式组 题型四 求一元一次不等式组的整数解 题型五 由一元一次不等式组的解集求参数 题型六 由不等式组解集的情况求参数 题型七 不等式组和方程组结合的问题 题型八 列一元一次不等式组 题型九 一元一次不等式组的其他应用 知识点一．一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 知识点二．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 知识点三．一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点四．由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 知识点五．一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 【核心考点一 一元一次不等式组的定义】 【例1】（22-23七年级下·四川凉山·期末）下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）文天祥在《端午即事》中写道过“五月五日午，赠我一枝艾．故人不可见，新知万里外．丹心照夙昔，鬓发日已改．我欲从灵均，三湘隔辽海．”诗中写出了端午节欢愉的背后作者的一丝无奈，尽管在这种境况中，作者在内心深处仍然满怀着“丹心照夙昔”的壮志．端午节是中国传统节日之一，丹东市气象台发布端午节的天气情况，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为t（），则t的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【例4】（22-23七年级下·甘肃庆阳·阶段练习）下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个． 【例5】（22-23六年级下·全国·课后作业）判断下列不等式组是否为一元一次不等式组． （1）    （2）    （3） 【核心考点二 求不等式组的解集】 【例1】（24-25八年级上·江西·开学考试）已知三个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则它们组成的不等式组的解集是（  ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25八年级上·福建福州·期中）已知实数满足，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025九年级下·全国·专题练习）不等式组的解集是 ． 【例4】（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知实数x、y满足值是 ． 【例5】（23-24八年级下·全国·期中）解不等式(组)： (1) (2) 【核心考点三 解特殊不等式组】 【例1】（23-24七年级下·江苏南通·期中）若关于x的不等式的最小整数解是，则实数的值可能是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2023七年级下·江苏·专题练习）已知有理数，且，则使始终成立的有理数的取值范围是（    ） A．小于或等于的有理数 B．小于的有理数 C．小于或等于的有理数 D．小于的有理数 【例3】（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知，则的取值范围是 ． 【例4】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 【例5】（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： (1)阅读理解：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得；解不等式组，得． 原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上材料，解不等式． (2)已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 【核心考点四 求一元一次不等式组的整数解】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）在不等式组的解集中，整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【例2】．（22-23七年级下·山东日照·期末）若关于的不等式组的整数解共有2个，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·重庆长寿·期中）若整数m使得关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于x、y的二元一次方程组有整数解，则符合条件的所有m的和是 ． 【例4】（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）已知甲、乙都是长方形，它们的边长如图所示（a为正整数），甲、乙的面积分别为，．若满足条件的整数n有且只有2个，则a的值为 ． 【例5】．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）解不等式组，并求出它的整数解． 【核心考点五 由一元一次不等式组的解集求参数】 【例1】（24-25八年级上·浙江·期中）若关于的不等式组有解，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江金华·期中）关于的不等式组恰好有个整数解，则满足（   ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）不等式组的解集是，则a的取值范围是 ． 【例4】（23-24七年级下·全国·单元测试）若关于 x 的不等式组的解集为，则 n 的值为 ． 【例5】（2024八年级上·全国·专题练习）含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【核心考点六 由不等式组解集的情况求参数】 【例1】（22-23八年级下·山东济南·期中）若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·浙江金华·期中）关于的不等式组的解集是，那么的取值范围是 ． 【例4】（24-25八年级上·重庆·期中）已知关于x、y的方程组的解满足，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的和为 ． 【例5】（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于的不等式组恰好只有4个整数解． (1)若，求的取值范围； (2)若，则的取值范围为___________． 【核心考点七 不等式组和方程组结合的问题】 【例1】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知平面直角坐标系上的动点，满足，，其中，则下列结论：①；②；③；④若，则 其中正确的有 （   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 【例2】（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【例3】（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【例4】（23-24七年级下·山东威海·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【例5】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知关于、的二元一次方程组． (1)若方程组的解、互为相反数．求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 【核心考点八 列一元一次不等式组】 【例1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·全国·单元测试）小明在天气预报网上，查询到今年3月8日重庆市最高气温是，最低气温是，则当天重庆市气温的变化范围是（　　） A． B． C． D． 【例3】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 【例4】（2024七年级下·安徽·专题练习）的5倍在3与7之间（不包括3和7）用不等式（组）表示： ． 【例5】（23-24八年级下·广东揭阳·阶段练习）在数轴上有A，B两点，其中点A所对应的数是a，点B所对应的数是1．已知A，B两点的距离小于3，请你利用数轴． (1)写出a所满足的不等式； (2)数，0，4所对应的点到点B的距离小于3吗？说明理由． 【核心考点九 一元一次不等式组的其他应用】 【例1】（2024八年级上·浙江·专题练习）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·全国·单元测试）某商店计划用不超过2000元的资金，购进甲、乙两种单价分别为30元、60元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利5元、15元，两种商品均售完．若所获利润大于380元，则该店进货方案有（     ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【例3】（23-24八年级下·全国·期中）甲种蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜适宜的温度是，将两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）云谷的自营餐饮在保证菜品的新鲜程度上很重视．某日发现甲种蓅菜保鲜的适宜温度（单位：）是，乙种蔬菜保鲜的适宜温度是，如果将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，则保鲜的适宜温度t（单位：）的范围是 ． 【例5】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜．我们把含糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度，甜度越大糖水越甜．小观现在有一杯质量为100克的糖水，其中含有a克糖（）；他试了一下感觉不够甜，又向其中添加了10克糖，并搅拌至完全溶解． (1)原来的甜度为 ，加糖后的甜度为 ． (2)根据加糖前后的甜度，请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了． (3)要使糖水口感好，又比较健康，甜度应不低于，又不超过．如果上述操作后甜度符合要求，那么a应该在什么范围？ 【变式训练1 一元一次不等式组的定义】 1．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图是青岛市2024年6月6日的天气，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为，则的变化范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·河南郑州·期中）某日我市最高气温是，最低气温是，则当天气温的变化范围是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）我们规定任意两点M、N之间的距离记作，已知点A在数轴上，对应的数是，点B在数轴上对应的点是1；如果点Q在数轴上，而且满足，请用不等式表示出所有符合条件的点Q所对应数x的范围 ． 4．（22-23七年级·全国·单元测试）一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个 ．一元一次不等式组中各个不等式的解集的 ，叫做这个一元一次不等式组的 ． 5．（22-23七年级下·全国·单元测试）判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？ (1)；(2)；(3)；(4)；(5). 【变式训练2 求不等式组的解集】 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若x是整数，且有意义，则的值是（　　） A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）不等式组的解集是 ． 4．（24-25八年级上·浙江·期中）定义运算表示求不超过的最大整数．如，，，．若，则的取值范围是 ． 5．（24-25八年级上·四川成都·期中）解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来 (1)； (2)． 【变式训练3 解特殊不等式组】 1．（22-23七年级下·福建龙岩·期末）定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2022·山东淄博·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·甘肃武威·阶段练习）若是关于的一元一次方程，则的值是 ． 4．（2022八年级下·全国·专题练习）对于正整数a、b、c、d，符号表示运算ac-bd，已知1<<3，则b+d= ． 5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【变式训练4 求一元一次不等式组的整数解】 1．（2024·广东·模拟预测）下列数值不是不等式组 的整数解的是（   ） A． B． C．0 D．1 2．（23-24七年级下·全国·期中）不等式组的整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025九年级下·全国·专题练习）不等式组的整数解有 个． 4．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）关于x的不等式有5个整数解，则a的取值范围为 ． 5．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）解不等式组并求它的所有整数解的和． 【变式训练5 由一元一次不等式组的解集求参数】 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·安徽黄山·期末）关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图（m为正整数），甲、乙的面积分别为，．若满足条件的整数n有且只有4个，则m的值为 ． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式组整数解有4个，则b的取值范围是 ． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知不等式组的整数解是，，，，确定字母的取值范围． 【变式训练6 由不等式组解集的情况求参数】 1．（24-25八年级上·浙江金华·期中）若不等式组无解，则m的值可能（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 2．（24-25七年级下·山西大同·期末）若不等式组有解，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）若关于x的不等式组的所有整数解的和为12，则整数a的值为 ． 4．（2024·浙江·中考真题）关于x的一元一次不等式组的解为，则m的取值范围为 ． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）若关于的不等式组有且只有三个整数解，求的取值范围． 【变式训练7 不等式组和方程组结合的问题】 1．（22-23七年级下·江苏南通·期中）已知关于的方程组的解都为非负数，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 2．（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围 ． 4．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为 ． 5．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知关于的方程组（为常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【变式训练8 列一元一次不等式组】 1．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）东明县某日最高气温是，最低气温是 ，则东明县当日气温：的变化范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东深圳·期末）小明一家驾驶一辆小轿车外出旅游，经过某段高速公路时看到该段路对行驶车辆的限速规定如图所示，设小明家车辆经过该路段的速度为v千米/小时，则符合限速规定的v应 满足的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·全国·单元测试）列不等式组：与的和不小于，且与的差是负数 ． 4．（22-23八年级下·山西运城·阶段练习）盐湖区今天的最高气温是，最低气温是，当天盐湖区气温的变化范围用不等式表示为 ． 5．（22-23七年级下·全国·单元测试）某班名学生上体育课，老师出了一道题：现在我拿出一些篮球，如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人．请写出篮球数x与人数的不等关系． 【变式训练9 一元一次不等式组的其他应用】 1．（22-23七年级下·山东济宁·期末）把一些书分给几名同学，若__________；若每人分本，则不够．依题意，设有名同学列不等式，则横线的信息可以是（    ） A．每人分本，则可多分个人 B．每人分本，则剩余本 C．每人分本，则剩余本 D．其中一个人分本，则其他同学每人可分本 2．（22-23七年级下·山东济宁·期末）对一个实数按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于？”为一次操作，如果操作恰好进行三次才停止，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）我校学生会计划组织初一学生给某边远山区小学生捐赠书籍，已经筹到图书若干．若每位小学生2本书，则余7本；若前面每人分5本，则除了有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本．则共有小学生 人． 4．（23-24八年级下·全国·期中）《国家学生体质健康标准》规定：体重指数 一个学生正常的体重指数为，则身高2米的小逸的体重m（千克）满足 才算合格． 5．（24-25八年级上·重庆·期中）学校计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买台平板电脑比购买台学习机多元，购买台平板电脑和台学习机共需元． (1)求购买台平板电脑和台学习机各需多少元？ (2)学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共台，要求购买的总费用不超过元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？ 1．（2024·四川雅安·模拟预测）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东日照·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（2023·河南信阳·模拟预测）不等式组的整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）若关于x的不等式组的解集为，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）若x，y为实数，且，则 ． 7．（23-24八年级下·全国·期末）已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式 的解集为 ． 8．（2021·山东潍坊·一模）对于实数，用表示不大于的最大整数，例如，，，若，则的取值范围 ． 9．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共 只 10．（23-24七年级下·广西梧州·期末）把一批书分给若干名同学，如果每人分3本，那么剩余6本；如果前面的同学每人分5本，那么最后一人就分不到3本，则这批书共有 本． 11．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）解不等式与不等式组： (1)解不等式：． (2)解不等式组： 12．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 13．（23-24七年级下·安徽六安·期中）已知，若，则称x为a，b的偏小值；若，则称x为a，b的偏大值． (1)已知x为和3的偏小值，且x为整数，求x的值； (2)若m为整数，且在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数，请直接写出所有符合条件的m的值． 14．（2024·湖北武汉·模拟预测）求不等式组的最大整数解． 15．（22-23七年级下·广东广州·阶段练习）已知关于的方程组． (1)求方程组的解（用含的式子表示）； (2)若方程组的解满足，，且是整数，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$