第01讲 不等式与一元一次不等式（6个知识点+11大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年八年级数学寒假衔接讲义（北师大版）

第01讲 不等式与一元一次不等式（6个知识点+11大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 不等式的定义 题型二 不等式的性质 题型三 不等式的解集 题型四 一元一次不等式的定义 题型五 求一元一次不等式的解集 题型六 求一元一次不等式的整数解 题型七 求一元一次不等式解的最值 题型八 列一元一次不等式 题型九 用一元一次不等式解决实际问题 题型十 用一元一次不等式解决几何问题 题型十一 在数轴上表示不等式的解集 知识点一 不等式 1.不等式的概念：一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 特别说明： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 2.不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 特别说明： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 3.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 4.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 注意： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 知识点二 一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等式属于不等式． 知识点三 解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 知识点四 一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 知识点五 由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含着不同的不等关系． 知识点六 一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【核心考点一 不等式的定义】 【例1】（24-25八年级上·山东滨州·期中）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的定义．根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：，故D正确． 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·河北张家口·期中）若m●4是不等式，则符号“●”可以是（   ） A．+ B．= C．× D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．用符号“，”或“、”表示大小关系的式子，叫做不等式． 如． 像这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式． 根据不等式的定义即可求解． 【详解】解：∵若m●4是不等式，则符号“●”可以是． 故选：D． 【例3】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了把文字语言转化为数学语言，理解好题意是解题关键． 根据x与5的差不小于x的3倍，可知x与5的差大于等于x的3倍，从而可以用相应的不等式表示出来. 【详解】解：“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为， 故答案为：. 【例4】（24-25八年级上·甘肃武威·开学考试）针织衫洗涤要求：水温不高于．根据以上信息，写出一个关于温度的不等式： ． 【答案】 【分析】此题主要考查不等式的定义．根据“水温不高于”可以写为． 【详解】解：根据“水温不高于”可以写为． 故答案为：． 【例5】（23-24七年级下·全国·课后作业）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)52； (7)． 【答案】(1)既不是等式也不是不等式 (2)是不等式 (3)是等式 (4)是不等式 (5)是等式 (6)既不是等式也不是不等式 (7)是不等式 【分析】本题主要考查不等式的定义，掌握等式和不等式的定义是解题的关键．根据所学知识，可知：含有等号的式子叫做等式，用不等号连接的式子叫做不等式，根据上述定义，找出用等号和不等号连接的式子即可找出等式和不等式，进而找出既不是等式也不是不等式的式子． 【详解】（1）解：既不是等式也不是不等式； （2）解：是不等式； （3）解：是等式； （4）解：是不等式； （5）解：是等式； （6）解：52既不是等式也不是不等式 （7）解：是不等式． 【核心考点二 不等式的性质】 【例1】（23-24八年级下·江西景德镇·期中）观察下图，下面四个判断正确的是（   ） A．小兰体重小云体重 B．小云体重小冬体重 C．小兰体重小冬体重 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，从跷跷板可以看出三个小朋友的体重之间的关系是小兰小云，小云小冬，从而得到小兰和小冬的体重之间的关系 ． 【详解】解：从跷跷板可以看出三个小朋友的体重之间的关系是小兰小云，小云小冬， 可得：小兰小冬 故选：C． 【例2】．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）若，则下列各不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．根据不等式性质直接判断即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， 故A、错误，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， 故B、错误，不符合题意； C、当时，则，故不符合题意； D、∵， ∴，正确，符合题意， 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习） （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较、不等式的基本性质．首先根据，可得，根据不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变可得：． 【详解】解：， ， 故答案为： ． 【例4】（24-25八年级上·重庆·期中）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数．若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为，则 ，若“倍和数”千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”中的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 774 9357 【分析】此题主要考查了新定义，二元一次方程以及不等式的性质，根据题意列出相关式子是解本题的关键． 第一空，根据题意直接计算，即可求出答案；第二空，设的千位数字为，百位数字为得出，（，且为整数），则可得，故可推得，能被7整除，进而分类讨论即可． 【详解】解：， 故答案为：774； 设m的千位数字为a，百位数字为b， ∵“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8， ∴m的个位数字为， ∵千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍， ∴百位上的数字与十位上的数字之和为4， ∴m的十位数字为， ∴，（，且为整数）， ∴ ， ∵ ∴能被7整除， ∵，且为整数， ∴， ∴或0， ∴或， 当时，由， 故或（舍去） 则此， 当时， ∴或或（不符合题意）， 或， 所有满足条件的“倍和数”m的最大值与最小值的和为， 故答案为：． 【例5】（24-25八年级上·浙江舟山·期中）仿例：已知，试比较与的大小． 方法一解：∵， ∴（不等式的基本性质3） 根据仿例，请解答：已知，试比较与的大小，两种方法解答． 【答案】，两种方法见解析 【分析】本题考查了不等式的基本性质，比较与的大小，可以利用不等式的基本性质比较即可． 【详解】解：法一∵，（已知）， ∴（不等式的基本性质3）； 法二：∵， ∴，即（不等式的基本性质1，不等式两边同时加）． 【核心考点三 不等式的解集】 【例1】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中不包含，不符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中包含，符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：C． 【例2】（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 【例3】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，小童爸爸开货车走右侧车道，建议车速为 ． 【答案】答案不唯一 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据题意可知，车速限制为，取其中任意数即可求解． 【详解】解：设车速为， 小童爸爸开货车走右侧车道，车速应该在， 建议车速为． 故答案为：答案不唯一． 【例4】（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是的整式方程是一元一次方程，可得，且，据此即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴，且， 解得， 故答案为：． 【例5】（2024八年级·全国·竞赛）定义运算“”，规定（其中均为常数），例如．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式恰有2个正整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据，，以及关于的不等式恰有2个正整数解，即可得到答案； 此题考查了二元一次方程组的应用、求不等式的解集等知识，读懂题意，正确列出方程组和理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由得到， ， 解得 （2）由题意可得，， ∵，，，关于的不等式恰有2个正整数解， ∴. 【核心考点四 一元一次不等式的定义】 【例1】（24-25八年级上·浙江金华·期中）下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键．根据一元一次不等式的概念逐项判断即可． 【详解】解：①，是一元一次不等式；②，有2未知数，不是一元一次不等式；③，是代数式，不是一元一次不等式；④，未知数的次数是2，不是一元一次不等式． 综上可知只有①是一元一次不等式． 故选D． 【例2】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列各式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，不等号的左右两边都是整式，并且未知数的次数都是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A、未知数的次数不是1，不是一元一次不等式，不符合题意； B、不是不等式，不是一元一次不等式，不符合题意； C、是一元一次不等式，符合题意； D、不等式左边不是整式，不是一元一次不等式，不符合题意； 故选：C． 【例3】（21-22八年级下·陕西咸阳·期中）若是关于x的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义可知，，从而可求得m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴． 解得：． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·期中）“m的平方比m的5倍小”用不等式表示为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系是关键． x的5倍即为，小即“”，据此列不等式． 【详解】解：根据题意得： 故答案为：． 【例5】（22-23七年级下·全国·假期作业）若(m-2)-2≥7是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【答案】m=-2 【分析】由题意可知：m2-3=1，m-2≠0，即可解答. 【详解】解∵不等式(m-2) -2≥7是关于x的一元一次不等式， ∴m2-3=1，m-2≠0， 解得m=-2 当m=-2时，不等式是关于x的一元一次不等式 【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 【核心考点五 求一元一次不等式的解集】 【例1】（23-24八年级下·河南郑州·期中）成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件可得出， 解一元一次不等式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：， 解得∶， 故选：B. 【例2】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）下列各数中，能使有意义的是（   ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式等知识点，深刻理解二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：要使有意义，则， 解得：， 故选：D． 【例3】（2024·云南昆明·模拟预测）要使代数式有意义，则x的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵使代数式有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点，当时，对应的数为 ，如果点与原点的距离大于2025，那么n的值至少是 ． 【答案】 10 1350 【分析】本题考查了数字的变化规律探究、不等式，根据点的移动规律，通过计算，由所表示的数找到规律，把代入即可解答；根据点与原点的距离大于，分是奇数和偶数两种情况列出对应的不等式，解之即可求解；通过计算探究出移动后的点表示的数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题可得：表示的数是， 表示的数是， 表示的数是， 表示的数是， 表示的数是， 表示的数是 ， 第次移动表示的数为，当是奇数时，表示的数是； 当是偶数时，表示的数是； ∴时，， 故答案为：； 当时，解得，此时的最小值为； 当时，解得，此时的最小值为； ∴的最小值为， 故答案为：． 【例5】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）解下列不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）移项合并同类项进行计算即可； （2）先去分母再移项合并同类项进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【核心考点六 求一元一次不等式的整数解】 【例1】（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）已知正整数a，b，c满足，，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式组的指数解问题，根据，得到，，结合a，b，c是正整数列不等式求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴，， ∵a，b，c是正整数， ∴，，， 解得：， ∵a，b，c是正整数， ∴当时是使a，b，c都是正整数的最小值， 故选：B． 【例2】（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）不等式的最大整数解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查解不等式的方法步骤，熟练掌握解不等式的方法步骤是解题关键．先将不等式进行求解，然后根据解集即可得出最大整数解． 【详解】解： 移项，合并同类项得： 系数化为1得： ∴不等式的最大整数解是， 故选：C． 【例3】（23-24八年级下·江西景德镇·期中）满足不等式的正整数有 ； 【答案】，，，， 【分析】本题考查了不等式的正整数解．最小的正整数是，所以满足不等式的正整数中最小的数是、最大的数是，在这两个数之间还有、、，所以满足不等式的正整数有：、、、、． 【详解】解：满足不等式的正整数有：、、、、． 故答案为：、、、、． 【例4】（22-23六年级下·上海虹口·期中）不等式的非负整数解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了求不等式的非负整数解．先解不等式求出不等式的解集，再找出非负整数解即可． 【详解】解： 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴不等式的非负整数解是． 故答案为：． 【例5】（24-25七年级上·吉林松原·阶段练习）计算的结果为． (1)若．求P的值； (2)若P的值为正数，请你写出一个的整数值，并求出P的值． 【答案】(1) (2)2；3（答案不唯一） 【分析】（1）根据求代数式的值的基本步骤解答即可； （2）根据P的值为正数，得到，解不等式，确定整数解，后计算即可． 本题考查了求代数式的值，解不等式求整数解，熟练掌握解不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：当时， ． （2）解：根据题意，得， 解得， 当时， ． 【核心考点七 求一元一次不等式解的最值】 【例1】（23-24七年级下·广西贺州·阶段练习）已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解． 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴的最小整数值为， 故选：A． 【例2】（21-22七年级下·山东威海·期末）下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 小强：求得不等式的最小整数解为． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再求出不等式的最小整数解，最后得出选项即可． 【详解】解：A．， ， ， ， ， （不等号的方向改变）， 所以不等式的最小整数解不是，故本选项不符合题意； B．， ， ， ， （不等号的方向改变了）， 所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意； C．， ， ， ， （不等号的方向改变了）， 所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意； D．， ， ， ， （不等号的方向改变）， 所以不等式的最小整数解是，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键． 【例3】（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为 ． 【答案】578 【分析】本题考查一元一次不等式，根据平方的非负性，求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∵， ∴时，的值最小， ∴，此时，满足题意； 故答案为：578． 【例4】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式求出x的取值范围，再根据题意得出关于n的方程，求解即可． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， ∴， 故答案为：． 【例5】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程的的解．    (1)求a的值． (2)若y的取值范围如图所示，求x的最小值． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）将代入二元一次方程的可得一个关于的方程，解方程即可得； （2）先求出，再根据数轴可得，从而可得，解一元一次不等式即可得． 【详解】（1）解：将代入二元一次方程的得：， 解得． （2）解：由（1）得：， 则， 由数轴得：， 则， 解得， 所以的最小值是0． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次不等式等知识点，熟练掌握不等式的解法是解题关键． 【核心考点八 列一元一次不等式】 【例1】（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）语句“的与的和不小于”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据题意列出不等式即可，认真审题理清运算关系是解题的关键． 【详解】解：语句“的与的和不小于”可以表示为， 故选：． 【例2】（2024八年级上·全国·专题练习）小明拿40元购买雪糕和矿泉水．已知每瓶矿泉水2元，每支雪糕3元，他买了5瓶矿泉水，支雪糕．下面关于的不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，根据雪糕的费用和矿泉水的费用之和不超过40元列出不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）根据语句列不等式：的倍与的差小于． ． 【答案】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，熟知先读的先写这一原则是解题的关键． 根据先读的先写这一原则，表示出“x的3倍与2的差”，据此可得出不等式． 【详解】解：由题知， “的倍与的差”可表示为：， 所以“的倍与的差小于”可表示为：． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）小明准备用零花钱购买一个学生眼镜，他已经存有60元，从现在起计划每月平均存25元．他想购买的这款眼镜至少需要480元，如果存钱个月，不等式可列为 ． 【答案】 【分析】本题考查列不等式，每月存25元，则x个月存元，与已存的60元之和大于等于480元即可． 【详解】解：由题意知，已存的60元与x个月存的钱之和大于等于480元， 因此， 故答案为：． 【例5】（23-24八年级下·江西景德镇·期中）用适当的不等式表示下列数量关系： (1)减去大于； (2)的倍与的差是负数； (3)的与的和是非负数； (4)的倍与的差不大于． 【答案】(1)x－3＞10； (2)3x-5＜0； (3)x+1≥0 ； (4)3y-(-9)≤-1． 【分析】本题主要考查了列不等式．解决本题的关键是读懂题目中各量之间的关系列出代数式，再根据题目中所列代数式表示的数的特征得出不等式． 【详解】（1）解：根据减去大于，可得：； （2）解：根据的倍与的差是负数，可得：； （3）解：根据的与的和是非负数，； （4）解：根据的倍与的差不大于，可得：． 【核心考点九 用一元一次不等式解决实际问题】 【例1】（22-23九年级下·重庆·自主招生）小丽同学准备用自己的零花钱购买一台学生平板电脑，她原有750元，计划从本月起每月存入30元，直到她至少存有1080元，设x个月后小丽至少有1080元，则可列计算月数的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，弄清不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 根据已存的钱与每月节省的钱数之和至少为1080元列不等式即可． 【详解】解：根据题意得． 故选B． 【例2】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）小玲搭飞机出国旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为800公斤，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车.依据下图的信息，假设小玲每日上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总距离皆为20公里，则与驾驶汽车相比，她至少要改搭公交车上下班几天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？（   ） 每人使用各种交通工具每移动1公里产生的碳排放量 ●自行车：0公斤      ●公交车：0.04公斤 ●机车：0.05公斤     ●汽车：0.17公斤 A．310天 B．309天 C．308天 D．307天 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设改搭公交车上下班天，利用减少产生的碳排放量每天减少产生的碳排放量改搭公交车上下班的天数，结合减少产生的碳排放量超过她搭飞机产生的碳排放量，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】解：设改搭公交车上下班天， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为308， 至少要改搭公交车上下班308天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量． 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·云南文山·期中）某次知识竞赛共道题，每一题答对得分，答错或不答都扣分，小明得分要超过分．设他答对了道题，则根据题意可列不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等关系，认真审题，找到题目中隐藏的不等关系并正确建立不等关系式是解题关键； 根据答对题的得分：；答错题的得分：，得出不等关系：得分要超过分，即可求解． 【详解】解：根据题意，得； 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）“”是美国十年级数学竞赛的缩写．共有道选择题，每一道选择题答对得分，留空得分，答错不得分．预估得分达到分的参赛者有机会被邀请参加美国高中数学邀请赛，那么至少需要答对 题才有机会进入邀请赛． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，利用得分答对题目数留空题目数，结合得分不少于分，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设答对题才有机会进入邀请赛， 根据题意得：， 解得：， ∴至少需要答对题才有机会进入邀请赛， 故答案为：． 【例5】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）商店里一种12瓦（即千瓦）节能灯的亮度相当于60瓦（即千瓦）的炽灯．节能灯售价20元，白炽灯售价5元．如果电价是0.5元千瓦时，问节能灯使用多少小时后，总费用（售价加电费）比选用白炽灯的费用节省（电灯的用电量千瓦数用电时数）？ 【答案】小时 【分析】本题考查了用一元一次不等式解决实际问题，认真审题，找出题中的不等关系并正确列出不等式是解题的关键． 设节能灯使用x小时后，总费用比选用白炽灯的费用节省，依据题意列出不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】解：设节能灯使用x小时后，总费用比选用白炽灯的费用节省， 依据题意可得： ， 解得：， 答：节能灯使用小时后，总费用比选用白炽灯的费用节省． 【核心考点十 用一元一次不等式解决几何问题】 【例1】（22-23八年级上·湖南益阳·期末）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 【例2】（2022·江苏苏州·一模）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，计算p的值，代入中，利用不等式求出它的最大值． 【详解】∵a=3，b+c=5， ∴p=； =4（bc-4）==9， 当且仅当b=c=2.5时取等号， ∴, ∴这个三角形的面积的最大值是3． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式和基本不等式的应用问题，也考查了运算求解能力，解题的关键是列出不等式． 【例3】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：一颗玻璃球的体积为， ∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ∴， 解得：； ∵五颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴， 解得：； ∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：， 故答案为：． 【例4】（22-23七年级下·江苏淮安·期末）将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 【例5】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒． (1)求点整个运动过程共需多少秒？ (2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值； (3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围． 【答案】(1)12秒 (2)2或6 (3)或 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，注意分情况讨论是解题的关键． （1）利用速度、路程、时间的关系求解； （2）当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，，分点P在点D左侧与右侧两种情况，根据列方程，即可求解； （3）点运动总路程为，分“点在边上运动”和“点在边上运动”两种情况，根据的长大于点运动总路程的列不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：， （秒）， 即点整个运动过程共需12秒； （2）解：是边上的高， 当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，， 当点P在点D左侧时，，即， 解得； 当点P在点D右侧时，，即， 解得； 综上可知，的值为2或6； （3）解：点运动总路程为， 当点在边上运动时，， 则， 解得； 当点在边上运动时，， 则， 解得， 点整个运动过程共需12秒， ， 综上可知，的取值范围为或． 【核心考点十一 在数轴上表示不等式的解集】 【例1】（24-25七年级上·吉林长春·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，再由不等式的解集在数轴上的表示方法进行判断即可．不等式的解集在数轴上表示出来大于或大于等于向右画；小于或小于等于向左画；注意在表示解集时大于等于，小于等于要用实心圆点表示；大于、小于要用空心圆点表示． 【详解】解：， 解得， ∴该不等式的解集在数轴上如下： 故选B． 【例2】（24-25八年级上·浙江温州·期中）不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 求出不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，不包括端点用空心，包括端点用实心”的原则将解集在数轴上表示出来． 【详解】解：解不等式，得， 表示在数轴上如图： 故选：A． 【例3】（23-24八年级下·江西景德镇·期中）如图，数轴上表示的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用数轴表示不等式的解集．从数轴上可以看出所表示的数在的右边、的左边，因为处是空心圆，所以不等于，点处是实心点，所以可以等于． 【详解】解：如下图所示， 不等式的解集是． 故答案为： ． 【例4】（24-25九年级上·海南·期中）关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，两个不等式的解集分别为，， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 【例5】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【分析】本题主要考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式的一般步骤，是解题的关键．先去括号，然后移项，合并同类项，再将系数化为1，最后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 将解集表示在数轴上，如图所示： 【变式训练1 不等式的定义】 1．（23-24七年级下·全国·期中）在下列数学表达式中∶⑤．不等式的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由不等号，，，，连接的式子叫不等式．本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：不等式有：①；②；④；⑤； ∴共有4个． 故选：C． 2．（22-23八年级下·贵州六盘水·期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义，有理数的大小比较，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．根据不等式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有：①②③⑥，共有4个， 故选：B． 3．（23-24八年级下·广东梅州·期末）如图，则 80．（填“”“”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查不等式，根据图示得到，进而得到，即可解题． 【详解】解：由题可得：， 即， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）据气象台报道，2024年6月28日双流区的最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列不等式，根据题意列出不等式即可求出答案，解题的关键是正确理解不等式的定义． 【详解】由于最高气温是，最低气温是， ∴， 故答案为：． 5．（2023七年级下·江苏·专题练习）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）52；（7）． 【答案】等式有：（3）（5），不等式有：（2）（4）（7），既不是等式也不是不等式的有：（1）（6）． 【分析】根据所学知识，可知：含有等号的式子叫做等式，用不等号（）连接的式子叫做不等式，根据上述定义，找出用等号和不等号连接的式子即可找出等式和不等式，进而找出既不是等式也不是不等式的式子． 【详解】解：等式有：（3）（5）， 不等式有：（2）（4）（7）， 既不是等式也不是不等式的有：（1）（6）． 【点睛】本题主要考查不等式的定义，掌握等式和不等式的定义是解题的关键． 【变式训练2 不等式的性质】 1．（24-25七年级上·江苏常州·期中）若，则下列结论中正确得是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的性质、绝对值等知识点，通过解不等式确定大小关系是解题的关键． 先确定a、b的大小关系，然后根据不等式的性质再逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴可得∶，即A选项错误； ∵， ∴， ∵， ∴，即B选项正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即C选项错误； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即 故在A，B，C，D四个选项中成立． 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期中）若，则下列式子中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：A、若，而，故该选项不符合题意； B、若，而，故该选项不符合题意； C、∵， ∴，故该选项不符合题意； D、∵， ∴，正确，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）下列说法正确的是 （只填序号）． ①如果，则a一定是负数； ②如果，则a一定是负数； ③如果，则a一定是负数： ④如果，则a一定是负数或大于1的正数． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质对四个说法逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：①如果，则a一定是负数，①说法正确； ②如果，则a一定是负数，②说法正确； ③如果，则a是负数或大于0小于1的数，③说法错误； ④如果，则a一定是负数或大于1的正数，④说法正确． 故答案为：①②④． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质．由，推出，由，得到，由此求得，进一步计算说明当，也成立，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，，即， ∴时，成立， 即时，． 综上，时，． 故答案为：． 5．（2024七年级上·浙江·专题练习）（1）如果，那么a b；如果，那么a b；如果，那么a b．（填、、） （2）试用（1）提供的方法比较与的大小． 【答案】（1）；；；（2） 【分析】 本题考查等式的性质，整式加减运算，不等式的性质，掌握等式、不等式的性质是正确判断的前提． （1）根据不等式的性质逐项进行判断即可； （2）将两个式子作差计算，即可得到结论． 【详解】 解：（1）如果，那么， 如果，那么， 如果，那么； （2）， ∴， 即． 【变式训练3 不等式的解集】 1．（23-24七年级下·四川眉山·期中）下列不等式的解集中，不包括的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查了不等式的解集的概念：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，称为这个不等式的解集．根据不等式的解集的概念进行判断即可． 【详解】解：不等式的解集中，不包括的是， 故选：C． 2．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）下面各数中，是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的解集，根据不等式的解集为，即找出满足不小于的数即可，熟练掌握不等式的解集的意义是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级下·广东揭阳·期中）请写出一个关于x的不等式，使，3都是它的解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查不等式的解集．由，3均小于4可得． 【详解】解：由，3均小于3可得， 所以符合条件的不等式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（2023八年级上·浙江·专题练习）我们定义，例如，若x，y均为整数，且满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】先根据题意列出不等式，根据x的取值范围及x为整数求出x的值，再把x的值代入求出y的值即可． 【详解】解：由题意得，，即， ∴， ∵x、y均为整数， ∴为整数， ， 时，， 时，， 或． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式，解答此题的关键是根据题意列出不等式，根据均为整数求出的值即可． 5．（22-23七年级下·全国·课后作业）试写出一个不等式，使它的解集满足下列条件： （1）是不等式的一个解； （2），，0都是不等式的解； （3）不等式的正整数解只有1，2，3； （4）不等式的非正整数解只有，，0； （5）不等式的解中不含0． 【答案】（1）（答案不唯一）  （2）（答案不唯一）  （3）（答案不唯一）  （4） （答案不唯一） （5）（答案不唯一） 【分析】（1）只要解集中含有-2这个解的不等式均可以； （2）只要解集中含有-2，-1，0这三个整数解的不等式均可以； （3）只要不等式的解集中恰好含有1，2，3这三个正整数解的不等式均可以； （4）只要不等式的解集中恰好含有-2，-1，0这三个非正整数解的不等式均可以； （5）只要不等式的解集中不含0的不等式均可以． 【详解】（1）满足题意的不等式为（答案不唯一）； （2）满足题意的不等式为（答案不唯一）； （3）满足题意的不等式为（答案不唯一）； （4）满足题意的不等式为（答案不唯一）； （5）满足题意的不等式为（答案不唯一）； 【点睛】本题根据不等式的解集要求写出一个不等式，考查了不等式的概念． 【变式训练4 一元一次不等式的定义】 1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，不等号的左右两边都是整式，并且未知数的次数都是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是一元一次不等式，故符合题意；     B．不含不等号，不是一元一次不等式，故不符合题意；     C．不含未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意；     D．的未知数在分母里，不是一元一次不等式，故不符合题意； 故选A． 2．（22-23八年级下·山东菏泽·阶段练习）下列式子：①，②，③，④，⑤中是一元一次不等式的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可． 【详解】解：①，是方程； ②，不含未知数，不是一元一次不等式； ③，是代数式，不是不等式； ④，是一元一次不等式； ⑤，是一元一次不等式． 故选：A． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）若是关于的一元一次不等式，则= ． 【答案】0 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的定义和零指数幂，根据一元一次不等式的定义可知，从而可求得m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴． 解得：． 故答案为：0． 4．（22-23八年级下·辽宁丹东·阶段练习）下列各式是一元一次不等式的有 个． ，，，，， 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，关键是掌握含有一个未知数，未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式．利用一元一次不等式的定义进行判断即可． 【详解】解：是一元一次不等式； 是不等式，但不是一元一次不等式； 是一元一次不等式； 是不等式，但不是一元一次不等式； 是等式，不是一元一次不等式； 是不等式，但不是一元一次不等式； 故是一元一次不等式的有个， 故答案为：． 5．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）解方程组或不等式 （1）                       （2）解不等式，并在数轴上表示解集 【答案】（1）；（2）x＜－2，数轴见解析 【分析】（1）根据加减消元法即可求解；                       （2）先解出不等式的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】（1）           ①×2得4x-2y=-8③ ③-②得3y=15 解得y=5 把y=5代入①得2x-5=-4 解得x=     ∴原方程组的解为        （2） x-6＞2x-4 -x＞2 x＜-2， 解集在数轴上表示如下： 【点睛】此题主要考查方程组与不等式的求解，解题的关键是熟知其运算法则． 【变式训练5 求一元一次不等式的解集】 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）二次根式中的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题的关键． 由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得答案． 【详解】解：由有意义，则， 解得：． 故选D． 2．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）要使二次根式有意义，则x的值可以是（   ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数得出，求解即可得解． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴x的值可以是7， 故选：D． 3．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）能使有意义的x的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·广东江门·期末）使代数式有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（22-23六年级下·上海虹口·期中）解不等式： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，关键是能根据不等式的性质解出不等式．根据不等式的性质求出不等式的解即可． 【详解】解：两边同时乘以6得，， 去括号得，， 移项得，， 整理得， 系数化为1得，． 【变式训练6 求一元一次不等式的整数解】 1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式的正整数解有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式的整数解．先求出不等式的解集，然后找出正整数解即可． 【详解】解：， 解得：， ∴正整数解有1，2，3共3个． 故选：B． 2．（22-23七年级下·广西崇左·期中）满足的正整数有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的解法，并根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式，再根据解集求出特殊值．此题可先根据一元一次不等式组解出的取值，根据是正整数解得出的可能取值即可． 【详解】解：， ， ， 故正整数有，，，．共个． 故选：． 3．（23-24六年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解是 ； 【答案】0，1，2 【分析】本题考查解一元一次不等式，解出不等式的解集即可求解． 【详解】解： ， ∴不等式的非负整数解是：0，1，2． 故答案为：0，1，2． 4．（23-24六年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解为 ． 【答案】0，1 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的非负整数解，先解不等式求出不等式的解集，再求出其对应的非负整数解即可． 【详解】解：解不等式得， ∴原不等式得非负整数解有0，1， 故答案为：0，1． 5．（2024·河北·模拟预测）数学课上，老师给出如下运算程序： 运算规则：如果结果不大于0，就把结果作为输入的数进行第二次运算，依此运行，直到结果大于0输出结果，运算程序停止． (1)当输入的数是时，需要经过几次运算才能输出结果，并求出输出的结果； (2)当输入后，经过一次运算，结果即符合要求，求出x的非正整数值． 【答案】(1)次，输出的结果是 (2)的值为， 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，解一元一次不等式，根据上述运算规则和顺序进行求解是解题的关键． （1）根据运算顺序和规则逐步计算即可； （2）根据题意，可得，求解即可． 【详解】（1）解：第一次运算得：， 第二次运算得：， 第三次运算得：， ∴需要经过次运算才能输出结果，输出的结果是； （2）解：根据题意可得， 解得：， ∵为非正整数， ∴x的值为，． 【变式训练7 求一元一次不等式解的最值】 1．（22-23七年级下·河南南阳·期末）已知二元一次方程组，，则的最小值是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】先解二元一次方程组，再根据条件列出不等式，解不等式即可求得答案． 【详解】 ①②得： ①②得： 解得 的最小值为． 故选B． 【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解题的关键． 2．（22-23八年级下·全国·课后作业）若，，则的最大值是（    ） A．21 B．2 C．12 D．126 【答案】D 【分析】要想使最大，则应该尽量使分子b最大，而分母a最小，代入b的最大值和a的最小值求值即可． 【详解】要想使最大，则应该尽量使分子b最大，而分母a最小， ∵， ∴的最大值是 故选：D． 【点睛】本题主要考查分数的最大值，掌握分子越大，分母越小，分数值越大是解题的关键． 3．（2022八年级·全国·竞赛）若质数、满足：，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了质数的定义以及不等式的解法等知识，根据已知分别得出，的取值范围，进而结合质数的定义得出，的最值，进而得出答案，分别得出，的取值范围是解题关键． 【详解】由得， ∴，显然的值随着质数的增大而增大， 当且仅当取得最大值时取得最大值， ∵，即， ∴， ∵为质数， ∴的可能的取值为，，，，，，，，， 当时，，不是质数； 当时，，是质数， ∴的最大值为，的最大值为， 故答案为：． 4．（22-23八年级上·陕西西安·期末）不等式的最大整数解是 ． 【答案】4 【分析】求出不等式的解集，即可得出答案． 【详解】解：不等式两边同时乘以6得：，即 解得 故该不等式的最大整数解是4 故答案为：4 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解等知识点，能求出不等式的解集是解此题的关键． 5．（21-22七年级下·河南信阳·期末）已知、满足和，求的最小值． 【答案】3 【分析】解方程组得出，再根据知，解之即可． 【详解】解方程组，得， ∵， ∴，即， 解得：， ∴的最小值为3． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，正确解方程组和不等式是解题的关键． 【变式训练8 列一元一次不等式】 1．（23-24八年级下·福建三明·期中）下列由题意列出的不等关系中，错误的是（    ） A．“a不是负数”表示为； B．“m与4的差是非负数”表示为； C．“x不大于3”表示为； D．“代数式大于”表示为． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象一元一次不等式，根据文字语言叙述，将不等关系转化为用数学符号表示的不等式，注意不是负数、非负数即为大于或等于0的数；不大于即小于或等于． 【详解】A、a不是负数，表示为，故本选项错误； B、m与4的差是非负数，表示为，故本选项正确； C、x不大于3，表示为，故本选项正确； D、代数式大于，表示为，故本选项正确， 故选：A． 2．（23-24七年级下·广西梧州·期末）一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A地需要不到5小时．已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式，正确找出不等关系是解题的关键． 由题意知顺水速度为每小时千米，逆水速度为每小时千米，间的距离为千米，根据“逆流而上返回A是需要不到5小时”，即可列出一元一次不等式． 【详解】水流速度是每小时千米，船在静水中的速度是每小时千米， 顺水速度为每小时千米，逆水速度为每小时千米，间的距离为千米， ∴． 故选C． 3．（24-25八年级上·浙江·期中）用不等式表示“2与的3倍的和是正数”： ． 【答案】 【分析】本题考查的是列不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式；根据和是正数，那么最后算的和应大于0，列出不等式即可． 【详解】解：根据题意，得：． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期中）用不等式表示“的3倍与5的差大于1”： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据题意得出正确不等关系是解题关键． 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不大于（不小于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）根据下列数量关系，列出不等式． (1)x的3倍加上2的和大于． (2)4与x的5倍的和不大于6． (3)y的与的差小于y的2倍． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式，根据关键词得到相应的关系式是解题的关键． （1）根据关系式x的3倍加2大于列不等式即可； （2）根据关系式为4加x的5倍小于等于6列不等式即可； （3）根据关系式为：减去小于列不等式即可. 【详解】（1）解：∵x的3倍为, ∴x的3倍加上2的和为， ∴x的3倍加上2的和大于列出的不等式为：. （2）解：∵x的5倍为, ∴4与x的5倍的和为, ∴4与x的5倍的和不大于6列出的不等式为. （3）解：∵y的为， ∴y的与的差为， ∴y的与的差小于y的2倍的不等式为. 【变式训练9 用一元一次不等式解决实际问题】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）某商品进价为700元，出售时标价为1100元，后由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打（ ） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 【答案】B 【分析】设最多可打x折，根据题意，得，求整数解即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，打折问题，正确理解，列出不等式解答是关键． 【详解】解：设最多可打x折， 根据题意，得， 解得． 故最多打7折， 故选B． 2．（23-24八年级下·广东深圳·期中）为落实《深圳市教育局关于义务教育阶段学校实行每天一节体育课的通知》文件要求，某学校决定开设篮球、足球两门选修课，需要购进一批篮球和足球，学校的预算经费是5400元，已知篮球的单价是120元，足球的单价是90元，购买30个篮球后，最多还能购买多少个足球？设还能购买x个足球，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，正确列出不等式是解题的关键． 根据篮球的单价、个数，足球的单价、个数以及总经费即可列出不等式． 【详解】解：根据题意得，， 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）一种荔枝的进价是每千克元，销售中估计有的荔枝正常损耗（包含剪枝），商家把售价至少定为每千克 元，才能避免亏本． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，设商家把售价定为每千克元，则，解出，即可． 【详解】解：设商家把售价定为每千克元， ∴， 解得：， ∴商家把售价至少定为每千克元，才能避免亏本 故答案为：． 4．（21-22八年级下·陕西咸阳·期中）商场的某种商品标价为1200元，进价为800元，商场准备打折销售，要使利润率不低于5%，则最多打 折． 【答案】七/7 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设打x折销售，根据利润售价进价，结合利润率不低于，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：设打x折销售，依题意得， ， 解得：， 则最多打七折． 故答案为：七． 5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）随着哈尔滨市全力打造旅游城市政策的实施，哈尔滨这座历史悠久的北方名城，吸引了国内外多方友人奔赴而来，极大促进了哈市经济的发展，中央大街某商家抓住了这一商机，该商家决定购进甲､乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元． (1)求购进甲､乙两种纪念品每件各需要多少元？ (2)该商场决定购进甲､乙两种纪念品共件，若每件甲种纪念品的售价为元，每件乙种纪念品的售价为元，销售完这件纪念品所获得的利润不低于元，则该商场最少购进甲种纪念品多少件？ 【答案】(1)购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元 (2)该商场最少购进甲种纪念品件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．找准等量关系，正确列出二元一次方程组与根据各数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元，根据“购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元，购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元”，可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该商场购进件甲种纪念品，则购进件乙种纪念品，利用总利润每件的销售利润销售数量，结合利润不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元， 根据题意得：， 解得：． 答：购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元． （2）设该商场购进件甲种纪念品，则购进件乙种纪念品， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为． 答：该商场最少购进甲种纪念品件． 【变式训练10 用一元一次不等式解决几何问题】 1．（22-23七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在数轴上，已知点，分别表示数1，，那么数轴上表示数的点应落在(    )    A．点的左边 B．线段上 C．点的右边 D．数轴的任意位置 【答案】B 【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得不等式，根据解不等式，可得答案；根据不等式的性质，可得点在A点的右边，根据作差法，可得点在B点的左边． 【详解】解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得：-2x+3＞1， 解得x＜1； -x＞-1． -x+2＞-1+2， 解得-x+2＞1． 所以数轴上表示数-x+2的点在A点的右边； 作差，得：-2x+3-（-x+2）=-x+1， 由x＜1，得：-x＞-1， -x+1＞0， -2x+3-（-x+2）＞0， ∴-2x+3＞-x+2， 所以数轴上表示数-x+2的点在B点的左边,点A的右边． 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，解题的关键是利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出不等式． 2．（22-23七年级下·江苏南京·期末）某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是，则的值分别为（   ） 用法用量：口服，每天．分次服用． 规格：□□□□□□ 贮藏：□□□□□□ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用每天服用的最低剂量除以最多次数，用最高剂量除以最少次数． 【详解】解：每天最少服用30药品，最多服用3次，则每次最少服用， 同理每天最多服用60药品，最少服用2次，则每次最多服用. ∴x=10，y=30， 故选：D. 【点睛】本题考查一元一次不等式，关键是理解题意，用最小的药品剂量除以最大的次数得到每次最小的服用量，用最大的药品剂量除以最小的次数得到每次最大的服用量． 3．（22-23七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，A点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对A点做如下移动：第1次向左移动3个单位长度至B点，第2次从B点向右移动6个单位长度至C点，第3次从C点向左移动9个单位长度至D点，第4次从D点向右移动12个单位长度至E点，…，依此类推．这样第 次移动到的点到原点的距离为2020． 【答案】1346 【分析】根据前几次移动得出的数据，得到移动次数为奇数和偶数时的规律，即可求解． 【详解】解：第1次点A向左移动3个单位长度至点B，则B表示的数，1﹣3＝﹣2； 第2次从点B向右移动6个单位长度至点C，则C表示的数为﹣2+6＝4； 第3次从点C向左移动9个单位长度至点D，则D表示的数为4﹣9＝﹣5； …； 由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：﹣（3n+1）， 当移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足：， 当移动次数为奇数时，﹣（3n+1）＝﹣2020，n＝（舍去）， 当移动次数为偶数时，＝2020，n＝1346． 故答案为：1346． 【点睛】本题考查与数字相关的规律问题，根据前几次的数据得出规律的代数式是解题的关键． 4．（22-23七年级下·北京·期末）在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b＝2a﹣b，已知不等式x△k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是 ． 【答案】-4 【分析】根据新运算法则得到不等式2x﹣k≥2，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的值． 【详解】解：根据图示知，已知不等式的解集是x≥﹣1． 则2x﹣1≥﹣3 ∵x△k＝2x﹣k≥2， ∴2x﹣1≥k+1且2x﹣1≥﹣3， ∴k＝﹣4． 故答案填：﹣4． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 5．（23-24九年级下·河北沧州·期中）数轴上有M，N两点，点M表示的数为，点N表示的数为． (1)当时，求点N表示的数； (2)若点N在点M的左侧，求m的最大整数值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查数轴上点表示数、代数式求值、一元一次不等式等知识点，掌握数轴上点表示数的大小与位置关系列出一元一次不等式解法是解题关键． （1）直接将代入即可解答； （2）根据点N在点M的左侧以及数轴上左侧的数小于右侧的数列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，求点N表示的数为． （2）解：∵若点N在点M的左侧， ∴， 解得：， ∴m的最大整数值为2． 【变式训练11 在数轴上表示不等式的解集】 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）已知关于的不等式的解在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，解题关键是理解并掌握在数轴上表示不等式的解集的方法．在数轴上表示不等式的解集时，“，”要用实心圆点表示；“，”要用空心圆点表示；“，”向右画；“，”向左画．据此可得答案． 【详解】解：由数轴可得不等式的解集为：． 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）在数轴上表示不等式，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用数轴表示不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集，进行判断即可． 【详解】解：在数轴上表示不等式，如图： ； 故选A． 3．（23-24八年级下·福建三明·期中）如图所示是一个关于x的一元一次不等式的解集，则该解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用数轴表示不等式的解集，把不等式的解集在数轴上表示出来（向右画；向左画），在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示，据此可得答案． 【详解】解：由数轴可知，表示的不等式的解集为， 故答案为：． 4．（22-23八年级下·辽宁丹东·期中）关于的不等式的解集如图所示，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据数轴得出，求出，再求出答案即可． 【详解】解不等式得：， 根据数轴可知：， 所以， 解得：． 故答案为：2． 5．（24-25八年级上·浙江舟山·期中）解不等式，并把解表示在数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】解：， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1可得，， 将不等式的解集表示在数轴上如下： 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键； 根据不等式的性质：（1）不等式两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、和均大于，但不一定大于，故选项错误 B、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，加减法不改变不等号的符号，故选项错误； C、不等式两边乘以负数，不等号方向改变，加减法不改变不等号的符号，故选项正确； D、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，故选项错误； 故选：C 2．（21-22九年级上·福建福州·开学考试）已知，，若，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】把两个等式相减得，结合，可得关于a的不等式，结合完全平方公式，即可求解． 【详解】解：∵①，②， ∴①-②得：，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴，解得：a=3． 故选C． 【点睛】本题主要考查不等式以及完全平方式的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键． 3．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）式子有意义，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，以及解一元一次不等式，解题的关键在于理解二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零．根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可． 【详解】解：有意义， ， 解得：， 故选：A． 4．（22-23七年级·全国·假期作业）某闹市区新建一个小吃城，设计一个进口和一个出口，内设个摊位，预估进口和出口的客流量都是每分钟10人，每人消费25元，摊位的毛利润为，若平均每个摊位一天（按10个小时计）的毛利润不低于1000元，则的最大值为　　 A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【分析】由每日的总消费额及平均每个摊位一天的毛利润不低于1000元，即可得出关于n的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论． 【详解】依题意，得：， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 5．（22-23七年级下·全国·课后作业）某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，若一次服用这种药品的剂量范围是，则，的值分别为（    ） 用法与用量：口服，每天30~60，分2~3次服用． 规格：□□□□□□ 贮藏：□□□□□□ A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】略 6．（2024八年级下·全国·专题练习）用不等式表示“x的平方与a的平方之差不是正数”为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，根据“x与a的平方差不是正数”，即“x与a的平方差小于等于0”即可． 【详解】解：x与a的平方差不是正数可表示为： 故答案为： 7．（24-25七年级上·湖北孝感·期中）若，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查有理数的加法和绝对值．熟练掌握绝对值的性质，有理数的大小比较，加法法则，是解题的关键． 由绝对值的性质和可求解对应的m，n值，再分别代入计算即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 当时，； 当时，． 故答案为：或． 8．（24-25八年级上·上海·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的应用，解不等式，根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】解： ∴ ∴ ∵ ∴ 9．（23-24七年级下·云南德宏·期末）x的2倍与3的差不大于5，用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式，把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式成为解题的关键． 根据x的3倍与2的差不大于5列出不等式即可． 【详解】解：x的2倍为，则x的2倍与3的差为，所以x的2倍与3的差不大于5可表示为． 故答案为：． 10．（2024·山东聊城·三模）如图数轴上表示了某个关于的不等式的解集，若是该不等式的一个解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用数轴表示不等式的解集，一元一次不等式的解法，熟练的建立不等式解题是解本题的关键． 由数轴可得不等式的解集为，再结合是该不等式的一个解，可得， 再解不等式可得答案． 【详解】不等式的解集为，且是该不等式的一个解 解得： 故答案为： 11．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知数，表示的点在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上表示出，的相反数的位置； (2)假设，且，化简． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】（1）根据相反数的定义即可得解； （2）先判断、、的正负号，再化简即可． 【详解】（1）解：根据相反数的定义，在数轴上表示出，的相反数的位置如下： （2）解：，，， ，，， ，，， ． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，用数轴上的点表示有理数，不等式的性质，化简绝对值，整式的加减等知识点，确定、、的正负性是解题的关键． 12．（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）下面是航航解不等式的过程： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题 (1)航航的解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出这个不等式的正确解法，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)一 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集： （1）第一步去分母时等式右边的数字3没有乘以6，据此可得答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，航航的解题过程从第一步开始出现错误的，原因是去分母时不等式左边的数字3没有乘以6， 故答案为：一； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 数轴表示如下所示： 13．（22-23八年级下·山东菏泽·阶段练习）解不等式，把解表示在数轴上，并求满足不等式的最小整数解． 【答案】，数轴表示见解析，满足不等式的最小整数解是 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集，再根据数轴求出最小整数解即可． 【详解】解：， 数轴表示如下所示： 满足不等式的最小整数解是． 14．（21-22八年级下·陕西咸阳·阶段练习）关于x的不等式①与②． (1)若两个不等式的解集相同，求a的值； (2)若不等式②的解都是不等式①的解，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查不等式的解集，解一元一次不等式： （1）解不等式①，②，根据两个不等式的解集相同，得到关于a的方程，解方程即可； （2）根据不等式②的解都是不等式①的解，得到关于a的不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 两个不等式的解集相同， ， 解得； （2）解：由（1）知不等式①的解集为，不等式②的解集为， 不等式②的解都是不等式①的解， ， 解得． 15．（24-25八年级上·浙江金华·期中）红糖是义乌特产，为促进销量，某批发商销售A、B两种包装的红糖，若购买9箱A种包装和6箱B种包装共需390元；若购买5箱A包装和8箱B包装需310元． (1)A种包装、B种包装每箱价格分别是多少元？ (2)若某公司购买A、B两种包装共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)A种包装每箱价格是30元，B种包装每箱价格是20元 (2)购买A种包装18箱，购买B种包装12箱，才能使总费用最少，最少费用为780元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，正确建立方程组和不等式组是解题关键． （1）设A种包装每箱价格是m元，B种包装每箱价格是n元，根据题意建立方程组求解即可； （2）设购买A种包装x箱，总费用为y元，则购买B种包装箱，根据题意建立不等式组，解不等式组可得x的取值范围，再结合为正整数可得m所有可能的取值，然后根据（1）的结果逐个计算总费用，找出总费用最少的购买方案即可． 【详解】（1）解：设A种包装每箱价格是m元，B种包装每箱价格是n元， 根据题意得：，解得：． ∴A种包装每箱价格是30元，B种包装每箱价格是20元． （2）解：设购买A种包装x箱，总费用为y元，则购买B种包装箱， ∵A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍， ∴，解得：， ∵x为整数， ∴当，19或20 ∴当时，此时，费用为（元）： 当时，此时，费用为（元）； 当时，此时，费用为（元）： ∵ ∴购买A种包装18箱，购买B种包装12箱，才能使总费用最少，最少费用为780元． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 不等式与一元一次不等式（6个知识点+11大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 不等式的定义 题型二 不等式的性质 题型三 不等式的解集 题型四 一元一次不等式的定义 题型五 求一元一次不等式的解集 题型六 求一元一次不等式的整数解 题型七 求一元一次不等式解的最值 题型八 列一元一次不等式 题型九 用一元一次不等式解决实际问题 题型十 用一元一次不等式解决几何问题 题型十一 在数轴上表示不等式的解集 知识点一 不等式 1.不等式的概念：一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 特别说明： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 2.不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 特别说明： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 3.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 4.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 注意： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 知识点二 一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等式属于不等式． 知识点三 解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 知识点四 一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 知识点五 由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含着不同的不等关系． 知识点六 一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【核心考点一 不等式的定义】 【例1】（24-25八年级上·山东滨州·期中）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·河北张家口·期中）若m●4是不等式，则符号“●”可以是（   ） A．+ B．= C．× D． 【例3】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为 ． 【例4】（24-25八年级上·甘肃武威·开学考试）针织衫洗涤要求：水温不高于．根据以上信息，写出一个关于温度的不等式： ． 【例5】（23-24七年级下·全国·课后作业）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)52； (7)． 【核心考点二 不等式的性质】 【例1】（23-24八年级下·江西景德镇·期中）观察下图，下面四个判断正确的是（   ） A．小兰体重小云体重 B．小云体重小冬体重 C．小兰体重小冬体重 D．以上都不对 【例2】．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）若，则下列各不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习） （填“”或“”）． 【例4】（24-25八年级上·重庆·期中）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数．若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为，则 ，若“倍和数”千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”中的最大值与最小值的和为 ． 【例5】（24-25八年级上·浙江舟山·期中）仿例：已知，试比较与的大小． 方法一解：∵， ∴（不等式的基本性质3） 根据仿例，请解答：已知，试比较与的大小，两种方法解答． 【核心考点三 不等式的解集】 【例1】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【例3】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，小童爸爸开货车走右侧车道，建议车速为 ． 【例4】（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知关于的方程是一元一次方程，则 ． 【例5】（2024八年级·全国·竞赛）定义运算“”，规定（其中均为常数），例如．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式恰有2个正整数解，求实数的取值范围． 【核心考点四 一元一次不等式的定义】 【例1】（24-25八年级上·浙江金华·期中）下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【例2】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列各式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（21-22八年级下·陕西咸阳·期中）若是关于x的一元一次不等式，则 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·期中）“m的平方比m的5倍小”用不等式表示为 ． 【例5】（22-23七年级下·全国·假期作业）若(m-2)-2≥7是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【核心考点五 求一元一次不等式的解集】 【例1】（23-24八年级下·河南郑州·期中）成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）下列各数中，能使有意义的是（   ） A． B．0 C．3 D．6 【例3】（2024·云南昆明·模拟预测）要使代数式有意义，则x的取值范围是 【例4】（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点，当时，对应的数为 ，如果点与原点的距离大于2025，那么n的值至少是 ． 【例5】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）解下列不等式： (1) (2) 【核心考点六 求一元一次不等式的整数解】 【例1】（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）已知正整数a，b，c满足，，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）不等式的最大整数解为（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·江西景德镇·期中）满足不等式的正整数有 ； 【例4】（22-23六年级下·上海虹口·期中）不等式的非负整数解是 ． 【例5】（24-25七年级上·吉林松原·阶段练习）计算的结果为． (1)若．求P的值； (2)若P的值为正数，请你写出一个的整数值，并求出P的值． 【核心考点七 求一元一次不等式解的最值】 【例1】（23-24七年级下·广西贺州·阶段练习）已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【例2】（21-22七年级下·山东威海·期末）下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 小强：求得不等式的最小整数解为． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　） A． B． C． D． 【例3】（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为 ． 【例4】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 【例5】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程的的解．    (1)求a的值． (2)若y的取值范围如图所示，求x的最小值． 【核心考点八 列一元一次不等式】 【例1】（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）语句“的与的和不小于”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024八年级上·全国·专题练习）小明拿40元购买雪糕和矿泉水．已知每瓶矿泉水2元，每支雪糕3元，他买了5瓶矿泉水，支雪糕．下面关于的不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）根据语句列不等式：的倍与的差小于． ． 【例4】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）小明准备用零花钱购买一个学生眼镜，他已经存有60元，从现在起计划每月平均存25元．他想购买的这款眼镜至少需要480元，如果存钱个月，不等式可列为 ． 【例5】（23-24八年级下·江西景德镇·期中）用适当的不等式表示下列数量关系： (1)减去大于； (2)的倍与的差是负数； (3)的与的和是非负数； (4)的倍与的差不大于． 【核心考点九 用一元一次不等式解决实际问题】 【例1】（22-23九年级下·重庆·自主招生）小丽同学准备用自己的零花钱购买一台学生平板电脑，她原有750元，计划从本月起每月存入30元，直到她至少存有1080元，设x个月后小丽至少有1080元，则可列计算月数的不等式为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）小玲搭飞机出国旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为800公斤，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车.依据下图的信息，假设小玲每日上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总距离皆为20公里，则与驾驶汽车相比，她至少要改搭公交车上下班几天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？（   ） 每人使用各种交通工具每移动1公里产生的碳排放量 ●自行车：0公斤      ●公交车：0.04公斤 ●机车：0.05公斤     ●汽车：0.17公斤 A．310天 B．309天 C．308天 D．307天 【例3】（24-25七年级上·云南文山·期中）某次知识竞赛共道题，每一题答对得分，答错或不答都扣分，小明得分要超过分．设他答对了道题，则根据题意可列不等式 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）“”是美国十年级数学竞赛的缩写．共有道选择题，每一道选择题答对得分，留空得分，答错不得分．预估得分达到分的参赛者有机会被邀请参加美国高中数学邀请赛，那么至少需要答对 题才有机会进入邀请赛． 【例5】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）商店里一种12瓦（即千瓦）节能灯的亮度相当于60瓦（即千瓦）的炽灯．节能灯售价20元，白炽灯售价5元．如果电价是0.5元千瓦时，问节能灯使用多少小时后，总费用（售价加电费）比选用白炽灯的费用节省（电灯的用电量千瓦数用电时数）？ 【核心考点十 用一元一次不等式解决几何问题】 【例1】（22-23八年级上·湖南益阳·期末）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【例2】（2022·江苏苏州·一模）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【例3】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 【例4】（22-23七年级下·江苏淮安·期末）将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．    【例5】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒． (1)求点整个运动过程共需多少秒？ (2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值； (3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围． 【核心考点十一 在数轴上表示不等式的解集】 【例1】（24-25七年级上·吉林长春·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江温州·期中）不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·江西景德镇·期中）如图，数轴上表示的解集为 ． 【例4】（24-25九年级上·海南·期中）关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ． 【例5】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【变式训练1 不等式的定义】 1．（23-24七年级下·全国·期中）在下列数学表达式中∶⑤．不等式的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（22-23八年级下·贵州六盘水·期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（23-24八年级下·广东梅州·期末）如图，则 80．（填“”“”或“=”） 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）据气象台报道，2024年6月28日双流区的最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是 ． 5．（2023七年级下·江苏·专题练习）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）52；（7）． 【变式训练2 不等式的性质】 1．（24-25七年级上·江苏常州·期中）若，则下列结论中正确得是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期中）若，则下列式子中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）下列说法正确的是 （只填序号）． ①如果，则a一定是负数； ②如果，则a一定是负数； ③如果，则a一定是负数： ④如果，则a一定是负数或大于1的正数． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）若，则x的取值范围是 ． 5．（2024七年级上·浙江·专题练习）（1）如果，那么a b；如果，那么a b；如果，那么a b．（填、、） （2）试用（1）提供的方法比较与的大小． 【变式训练3 不等式的解集】 1．（23-24七年级下·四川眉山·期中）下列不等式的解集中，不包括的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）下面各数中，是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东揭阳·期中）请写出一个关于x的不等式，使，3都是它的解 ． 4．（2023八年级上·浙江·专题练习）我们定义，例如，若x，y均为整数，且满足，则的值是 ． 5．（22-23七年级下·全国·课后作业）试写出一个不等式，使它的解集满足下列条件： （1）是不等式的一个解； （2），，0都是不等式的解； （3）不等式的正整数解只有1，2，3； （4）不等式的非正整数解只有，，0； （5）不等式的解中不含0． 【变式训练4 一元一次不等式的定义】 1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·山东菏泽·阶段练习）下列式子：①，②，③，④，⑤中是一元一次不等式的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）若是关于的一元一次不等式，则= ． 4．（22-23八年级下·辽宁丹东·阶段练习）下列各式是一元一次不等式的有 个． ，，，，， 5．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）解方程组或不等式 （1）                       （2）解不等式，并在数轴上表示解集 【变式训练5 求一元一次不等式的解集】 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）二次根式中的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）要使二次根式有意义，则x的值可以是（   ） A． B．1 C．3 D．7 3．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）能使有意义的x的取值范围是 4．（23-24八年级下·广东江门·期末）使代数式有意义的x的取值范围是 ． 5．（22-23六年级下·上海虹口·期中）解不等式： 【变式训练6 求一元一次不等式的整数解】 1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式的正整数解有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（22-23七年级下·广西崇左·期中）满足的正整数有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 3．（23-24六年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解是 ； 4．（23-24六年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解为 ． 5．（2024·河北·模拟预测）数学课上，老师给出如下运算程序： 运算规则：如果结果不大于0，就把结果作为输入的数进行第二次运算，依此运行，直到结果大于0输出结果，运算程序停止． (1)当输入的数是时，需要经过几次运算才能输出结果，并求出输出的结果； (2)当输入后，经过一次运算，结果即符合要求，求出x的非正整数值． 【变式训练7 求一元一次不等式解的最值】 1．（22-23七年级下·河南南阳·期末）已知二元一次方程组，，则的最小值是（　　） A．1 B． C．0 D． 2．（22-23八年级下·全国·课后作业）若，，则的最大值是（    ） A．21 B．2 C．12 D．126 3．（2022八年级·全国·竞赛）若质数、满足：，，则的最大值为 ． 4．（22-23八年级上·陕西西安·期末）不等式的最大整数解是 ． 5．（21-22七年级下·河南信阳·期末）已知、满足和，求的最小值． 【变式训练8 列一元一次不等式】 1．（23-24八年级下·福建三明·期中）下列由题意列出的不等关系中，错误的是（    ） A．“a不是负数”表示为； B．“m与4的差是非负数”表示为； C．“x不大于3”表示为； D．“代数式大于”表示为． 2．（23-24七年级下·广西梧州·期末）一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A地需要不到5小时．已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江·期中）用不等式表示“2与的3倍的和是正数”： ． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期中）用不等式表示“的3倍与5的差大于1”： ． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）根据下列数量关系，列出不等式． (1)x的3倍加上2的和大于． (2)4与x的5倍的和不大于6． (3)y的与的差小于y的2倍． 【变式训练9 用一元一次不等式解决实际问题】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）某商品进价为700元，出售时标价为1100元，后由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打（ ） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 2．（23-24八年级下·广东深圳·期中）为落实《深圳市教育局关于义务教育阶段学校实行每天一节体育课的通知》文件要求，某学校决定开设篮球、足球两门选修课，需要购进一批篮球和足球，学校的预算经费是5400元，已知篮球的单价是120元，足球的单价是90元，购买30个篮球后，最多还能购买多少个足球？设还能购买x个足球，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）一种荔枝的进价是每千克元，销售中估计有的荔枝正常损耗（包含剪枝），商家把售价至少定为每千克 元，才能避免亏本． 4．（21-22八年级下·陕西咸阳·期中）商场的某种商品标价为1200元，进价为800元，商场准备打折销售，要使利润率不低于5%，则最多打 折． 5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）随着哈尔滨市全力打造旅游城市政策的实施，哈尔滨这座历史悠久的北方名城，吸引了国内外多方友人奔赴而来，极大促进了哈市经济的发展，中央大街某商家抓住了这一商机，该商家决定购进甲､乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元． (1)求购进甲､乙两种纪念品每件各需要多少元？ (2)该商场决定购进甲､乙两种纪念品共件，若每件甲种纪念品的售价为元，每件乙种纪念品的售价为元，销售完这件纪念品所获得的利润不低于元，则该商场最少购进甲种纪念品多少件？ 【变式训练10 用一元一次不等式解决几何问题】 1．（22-23七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在数轴上，已知点，分别表示数1，，那么数轴上表示数的点应落在(    )    A．点的左边 B．线段上 C．点的右边 D．数轴的任意位置 2．（22-23七年级下·江苏南京·期末）某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是，则的值分别为（   ） 用法用量：口服，每天．分次服用． 规格：□□□□□□ 贮藏：□□□□□□ A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，A点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对A点做如下移动：第1次向左移动3个单位长度至B点，第2次从B点向右移动6个单位长度至C点，第3次从C点向左移动9个单位长度至D点，第4次从D点向右移动12个单位长度至E点，…，依此类推．这样第 次移动到的点到原点的距离为2020． 4．（22-23七年级下·北京·期末）在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b＝2a﹣b，已知不等式x△k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是 ． 5．（23-24九年级下·河北沧州·期中）数轴上有M，N两点，点M表示的数为，点N表示的数为． (1)当时，求点N表示的数； (2)若点N在点M的左侧，求m的最大整数值． 【变式训练11 在数轴上表示不等式的解集】 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）已知关于的不等式的解在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集为　　 A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）在数轴上表示不等式，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·福建三明·期中）如图所示是一个关于x的一元一次不等式的解集，则该解集是 ． 4．（22-23八年级下·辽宁丹东·期中）关于的不等式的解集如图所示，则 ． 5．（24-25八年级上·浙江舟山·期中）解不等式，并把解表示在数轴上． 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（21-22九年级上·福建福州·开学考试）已知，，若，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．4 3．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）式子有意义，则（   ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级·全国·假期作业）某闹市区新建一个小吃城，设计一个进口和一个出口，内设个摊位，预估进口和出口的客流量都是每分钟10人，每人消费25元，摊位的毛利润为，若平均每个摊位一天（按10个小时计）的毛利润不低于1000元，则的最大值为　　 A．30 B．40 C．50 D．60 5．（22-23七年级下·全国·课后作业）某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，若一次服用这种药品的剂量范围是，则，的值分别为（    ） 用法与用量：口服，每天30~60，分2~3次服用． 规格：□□□□□□ 贮藏：□□□□□□ A．， B．， C．， D．， 6．（2024八年级下·全国·专题练习）用不等式表示“x的平方与a的平方之差不是正数”为 ． 7．（24-25七年级上·湖北孝感·期中）若，且，则 ． 8．（24-25八年级上·上海·期中）不等式的解集为 ． 9．（23-24七年级下·云南德宏·期末）x的2倍与3的差不大于5，用不等式表示为 ． 10．（2024·山东聊城·三模）如图数轴上表示了某个关于的不等式的解集，若是该不等式的一个解，则的取值范围是 ． 11．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知数，表示的点在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上表示出，的相反数的位置； (2)假设，且，化简． 12．（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）下面是航航解不等式的过程： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题 (1)航航的解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出这个不等式的正确解法，并将解集在数轴上表示出来． 13．（22-23八年级下·山东菏泽·阶段练习）解不等式，把解表示在数轴上，并求满足不等式的最小整数解． 14．（21-22八年级下·陕西咸阳·阶段练习）关于x的不等式①与②． (1)若两个不等式的解集相同，求a的值； (2)若不等式②的解都是不等式①的解，求a的取值范围． 15．（24-25八年级上·浙江金华·期中）红糖是义乌特产，为促进销量，某批发商销售A、B两种包装的红糖，若购买9箱A种包装和6箱B种包装共需390元；若购买5箱A包装和8箱B包装需310元． (1)A种包装、B种包装每箱价格分别是多少元？ (2)若某公司购买A、B两种包装共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 学科网（北京）股份有限公司 $$