精品解析：江苏省泰州市兴化市东南片区第二次月考2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

常青藤学校联盟2024~2025学年度第一学期第2次月度抽测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟，满分：150分） 第一部分选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 一组数据：31，32，35，37，35，这组数据的平均数和中位数分别是（ ） A 34，34 B. 35，35 C. 34，35 D. 35，34 3. 已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（ ） A B. C. D. 4. 如图，E，F，G为圆上的三点，，P点可能是圆心的是(　　) A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ） A. 可以找到一个实数，使得 B. 无论实数取什么值，都有 C. 可以找到一个实数，使得 D. 无论实数取什么值，都有 第二部分非选择题部分（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 7. 抛物线与轴的交点坐标是_________． 8. 二次函数，当时，y随x的增大而______．（填“增大”或“减小”） 9. 科学家们通过研究发现，当外界环境温度与人体正常体温（）之比等于黄金分割比时，人体感觉最舒适，这个气温约为_________（精确到）． 10. 如图，正六边形内接于，若边的长为6，则半径的长为______． 11. 某单位要招聘1名英语翻译，小亮参加招聘考试的各门成绩如表所示若把听、说、读、写的成绩按计算平均成绩，则小亮的平均成绩为 ____． 项目 听 说 读 写 成绩（分） 70 90 85 85 12. 如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛高为6cm，则像的长__________cm． \ 13. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是________． 14. 如图，在中，，是的内切圆，切点分别为D、E、F，若，，则的半径为______． 15. 如图，在中，是边上中线，F是线段上一点，且，连接并延长交于E，则______． 16. 矩形中，，，连接，，分别在边，上，连接，分别交于点，，若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）将该抛物线左右平移，若平移一次后的抛物线经过原点，试写出平移方案． 18. 射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环） 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩制作如下尚不完整的统计表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 0.4 乙 9 C 3.2 根据以上信息，解答下面的问题： （1）_____；_____；_____； （2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛．教练的理由是什么？ （3）若乙选手再射击第六次，命中的成绩是8环．则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会有何变化？（变大，变小或不变）并说明理由． 19. 如图，在中，D是上一点，已知． （1）求证：； （2）已知，，求的度数． 20. 如图，某农户准备用一段长16米的篱笆（虚线部分），靠墙（墙足够长）围成一个的矩形场地，设矩形的一边长x米，矩形的面积为S平方米． （1）当所围成矩形的面积是60平方米时，求的值； （2）当x为何值时，S有最大值？最大值多少？ 21. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴；（用含t的式子表示） （2）若点，在抛物线上，试比较m、n的大小； 22. 如图，中，． （1）利用尺规作图，过点A作一条直线，使其交于点D，且使（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求的长． 23. 如图，是的外接圆，，平分，且交于点D，过点D作，交的延长线于点E，连接、． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 24. 如图，在等边中，点D是边上的一个动点（不与点A、B重合），以为边作等边，与交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 25. 根据以下素材，探索完成任务． 柚子季将至，某超市购进一批柚子进行销售 素材1 超市以20元千克的批发价格购进柚子，准备在销售旺季里销售．根据食品保鲜度，商家决定在整个40天的销售旺季里，前15天以32元千克的销售单价进行销售，从第16天开始每天销售单价降低0.4元千克进行降价销售． 素材2 根据往年销售数据，柚子在销售旺季40天内的日销数量（千克）与时间第（天）的关系如表． 时间第（天） 1 2 3 10 日销售量（千克） 30 35 40 75 问题解决 任务1 小明看到柚子降价销售“26元千克”，计算这是超市卖柚子到第几天了． 任务2 利用一次函数、二次函数、反比例函数的知识，直接写出日销售量（千克）与时间（天的关系式． 任务3 请你帮助超市算一算，在销售旺季里利润最大是第几天，最大的利润是多少． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线(其中)，交轴于、两点(点在点的左侧)，交轴负半轴于点． （1）若， ①分别求出、、三点的坐标； ②如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点，使得，求点的坐标； （2）如图2，平面上一点，过点作任意一条直线交抛物线于、两点，连接、，分别交轴于、两点，则与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 常青藤学校联盟2024~2025学年度第一学期第2次月度抽测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟，满分：150分） 第一部分选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题．设，，，代入求解即可． 【详解】解：， 可以假设，， ． 故选：B． 2. 一组数据：31，32，35，37，35，这组数据的平均数和中位数分别是（ ） A. 34，34 B. 35，35 C. 34，35 D. 35，34 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数与中位数的定义，根据平均数与中位数的定义求解即可． 【详解】解：这组数据的平均数是：， 这组数据从小大到大排序为：31，32，35，35，37， ∵一共有5个数据， ∴中位数为第3位数，即35， 故选：C． 3. 已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形周长之比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵与相似，且相似比为， ∴与的周长比为， 故选B． 4. 如图，E，F，G为圆上的三点，，P点可能是圆心的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理求出当点P为圆心时的度数，从而得解． 【详解】解：∵，P点为圆心， ∴， 故选：C． 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 6. 已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ） A. 可以找到一个实数，使得 B. 无论实数取什么值，都有 C. 可以找到一个实数，使得 D. 无论实数取什么值，都有 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，再分情况讨论，当时，当时，， 的大小情况，即可解题． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为， 当时，， 当时，， ， 当时，， ， 故A、B错误，不符合题意； 当时，， 由二次函数对称性可知，， 当时，，由二次函数对称性可知，，不一定大于， 故C正确符合题意；D错误，不符合题意； 故选：C． 第二部分非选择题部分（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 7. 抛物线与轴的交点坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入求出值是解题的关键． 代入，求出值，进而可得出抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴抛物线与轴的交点坐标是． 故答案为：． 8. 二次函数，当时，y随x的增大而______．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性．根据，得函数图象开口向上，当时，y随x的增大而减小，即可得答案． 【详解】解：∵，对称轴为直线， ∴函数图象开口向上，当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小， 故答案为：减小． 9. 科学家们通过研究发现，当外界环境温度与人体正常体温（）之比等于黄金分割比时，人体感觉最舒适，这个气温约为_________（精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金比的值知，身体感到特别舒适的温度应为的倍，即可． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为： 【点睛】本题考查了黄金分割在实际生活中的应用，根据黄金分割比的意义得出身体感到特别舒适的温度应为的倍是解题的关键． 10. 如图，正六边形内接于，若边的长为6，则半径的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查圆内接正多边形，等边三角形的判定与性质，根据正多边形求出，即可得到是等边三角形，即可得到答案； 【详解】解：∵多边形是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵的长为6， ∴， 故答案为：6． 11. 某单位要招聘1名英语翻译，小亮参加招聘考试的各门成绩如表所示若把听、说、读、写的成绩按计算平均成绩，则小亮的平均成绩为 ____． 项目 听 说 读 写 成绩（分） 70 90 85 85 【答案】82分 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数公式即可求解，熟练掌握加权平均数公式是解题的关键． 【详解】解：小亮的平均成绩为： （分）． 故小亮的平均成绩为82分． 故答案为：82分． 12. 如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛高为6cm，则像的长__________cm． \ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．由题意得，列出比例式，代入数据即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：3． 13. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（−1，0）， ∴与x轴的另一个交点坐标为（3，0）， ∴y＞0时，x的取值范围为：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标，难度不大． 14. 如图，在中，，是的内切圆，切点分别为D、E、F，若，，则的半径为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，切线长定理，正方形的性质和判定，勾股定理，掌握三角形内切圆的性质是解题关键．连接，设，可证四边形为正方形，用r表述出的长，列方程求解即可． 【详解】解：连接，则， 设， 在中，， 是的内切圆，切点分别为D、E、F， ∴， 又∵， ∴四边形为正方形， ， ， ∴， 而， ， ，即的半径为1 故答案为：1． 15. 如图，在中，是边上中线，F是线段上一点，且，连接并延长交于E，则______． 【答案】 【解析】 【详解】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，过点过点D作，交于H，，先根据平行线分线段成比例定理得到，再根据平行线分线段成比例定理得到，进一步即可得到答案． 【分析】解：如图，过点D作，交于H， ∵是边上中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 矩形中，，，连接，，分别在边，上，连接，分别交于点，，若，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先把绕点顺时针旋转，得到，延长交的延长线于点，延长交于点，连接，则四边形为正方形，且，由旋转可得，，根据可证，根据全等三角形对应边相等可得，，，利用勾股定理可以求出，根据可证，根据相似三角形的性质可以求出的长度． 【详解】解：如下图所示，把绕点顺时针旋转，得到， 延长交延长线于点，延长交于点，连接， 则四边形为正方形，且， 由旋转可知，， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ，， ，， ， ， 解得：， ， ， ， ， ∴ 在中， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）将该抛物线左右平移，若平移一次后的抛物线经过原点，试写出平移方案． 【答案】（1） （2）向左平移个单位或个单位 【解析】 【分析】（）把点代入抛物线解析式求出的值即可求解； （）求出抛物线与轴的交点坐标即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，求出二次函数与轴的交点坐标是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴该抛物线函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴将该抛物线向左平移个单位或个单位，平移后的抛物线经过原点． 18. 射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环） 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩制作如下尚不完整的统计表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 0.4 乙 9 C 3.2 根据以上信息，解答下面的问题： （1）_____；_____；_____； （2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛．教练的理由是什么？ （3）若乙选手再射击第六次，命中的成绩是8环．则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会有何变化？（变大，变小或不变）并说明理由． 【答案】（1）8，8，9 （2）见解析 （3）变小，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了求方差，中位数，平均数，众数，方差与稳定性之间的关系，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据中位数，平均数，众数的定义求解即可； （2）二人平均成绩相同，但是甲的方差更小，即成绩更稳定； （3）根据方差计算公式求出选手乙再射击第6次后，6次成绩的方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题可得，； 甲的成绩7，8，8，8，9中，8出现的次数最多，故众数； 而乙的成绩5，7，9，9，10中，中位数； 故答案为：8，8，9； 【小问2详解】 解：教练选择甲参加射击比赛的理由是两人的平均成绩相同，而甲的成绩的方差小，即甲的成绩较稳定， 答：甲的成绩较稳定． 【小问3详解】 解：由题可得，选手乙这6次射击成绩5，9，7，10，9，8的方差， ， 选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会变小． 19. 如图，在中，D是上一点，已知． （1）求证：； （2）已知，，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据“两边对应成比例且它们的夹角相等”可判断三角形相似； （2）由三角形内角和可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解 【小问1详解】 证明：，， ， 【小问2详解】 解：，， ， ， ． 20. 如图，某农户准备用一段长16米的篱笆（虚线部分），靠墙（墙足够长）围成一个的矩形场地，设矩形的一边长x米，矩形的面积为S平方米． （1）当所围成矩形的面积是60平方米时，求的值； （2）当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？ 【答案】（1）或 （2）当矩形的长是时，矩形的面积S有最大值，最大值是 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意列出对应的式子求解是解题的关键． （1）先表示出的长，再根据矩形面积公式列出方程求解即可； （2）设矩形场地的面积为S，根据矩形面积公式列出S关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设矩形的一边长，则另一条边长为， 由题意得：， 解得：， 或6． 答：的值是或； 【小问2详解】 解：根据题意，得：， ∵， ∴S有最大值， ∴当时，S取得最大值64， 答：当矩形的长是时，矩形的面积S有最大值，最大值是． 21. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴；（用含t的式子表示） （2）若点，在抛物线上，试比较m、n的大小； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数性质．熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）直接配方，即可求对称轴； （2）比较点，到对称轴的距离即可判断． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵点，在抛物线上， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， 又∵， ∴点离抛物线的对称轴距离较大， ∴． 22. 如图，在中，． （1）利用尺规作图，过点A作一条直线，使其交于点D，且使（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，尺规作图——作已知角的平分线： （1）直接作出的角平分线进而得出，进而得出答案； （2）根据相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，为所求作， 理由：根据作法得：平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 23. 如图，是的外接圆，，平分，且交于点D，过点D作，交的延长线于点E，连接、． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，如图：根据，得出是的直径，从而得出，由平分，根据圆周角定理得出，从而得出是等腰直角三角形，垂径定理得出，结合，得出，即可证明是的切线； （2）在直角三角形中，勾股定理算出，由（1）知是等腰直角三角形，从而算出． 【小问1详解】 证明：连接，如图： ∵， ∴是直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是圆的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：在直角三角形中，，，， ∴， 由（1）知：是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的知识点是切线的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识点，解题关键是掌握圆周角定理． 24. 如图，在等边中，点D是边上的一个动点（不与点A、B重合），以为边作等边，与交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，可推出，由三角形的内角和定理可得，进而可得，于是结论得证； （2）过点作于点，由垂线的性质可得，由等边三角形的性质及已知条件，可得，，，进而可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，根据勾股定理可得，利用三角形的面积公式可得，由（1）可知，由相似三角形的性质可得，据此即可求出． 【小问1详解】 证明：和是等边三角形， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ， 是等边三角形，，， ，，， ， 在中，， ， ， ， ， 由（1）可知：， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等式的性质，相似三角形的判定与性质，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，勾股定理，三角形的面积公式，等式的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 25. 根据以下素材，探索完成任务． 柚子季将至，某超市购进一批柚子进行销售 素材1 超市以20元千克的批发价格购进柚子，准备在销售旺季里销售．根据食品保鲜度，商家决定在整个40天的销售旺季里，前15天以32元千克的销售单价进行销售，从第16天开始每天销售单价降低0.4元千克进行降价销售． 素材2 根据往年的销售数据，柚子在销售旺季40天内的日销数量（千克）与时间第（天）的关系如表． 时间第（天） 1 2 3 10 日销售量（千克） 30 35 40 75 问题解决 任务1 小明看到柚子降价销售“26元千克”，计算这是超市卖柚子到第几天了． 任务2 利用一次函数、二次函数、反比例函数的知识，直接写出日销售量（千克）与时间（天的关系式． 任务3 请你帮助超市算一算，在销售旺季里利润最大是第几天，最大的利润是多少． 【答案】任务1：超市卖柚子到第30天了；任务2：；任务3：在销售旺季里利润最大是第15天，最大的利润是1200元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，同时本题还考查了待定系数法求一次函数的解析式、解一元二次方程等知识点，明确二次函数的相关性质并会数形结合是解题的关键． 任务1：由题意得，第柚子的价格为：，即可求解； 任务2：由待定系数法即可求解； 任务3：当时，则，当时，则，分别求出最大值，即可求解． 【详解】解：任务1：由题意得，第柚子的价格为：， 则， 解得：， 即超市卖柚子到第30天了； 任务2：由表格知，日销售量（千克）是时间（天一次函数， 设函数的表达式为：， 将代入上式得：， 解得：， 故一次函数的表达式为：； 任务3：设销售旺季里利润为元， 当时，则， 当时，取得最大值为（元； 当时，则， 则函数的对称轴为， 故当时，函数取得最大值为：798元， 综上所述：当时，函数取得最大值为1200元， 即在销售旺季里利润最大是第15天，最大的利润是1200元． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线(其中)，交轴于、两点(点在点的左侧)，交轴负半轴于点． （1）若， ①分别求出、、三点的坐标； ②如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点，使得，求点的坐标； （2）如图2，平面上一点，过点作任意一条直线交抛物线于、两点，连接、，分别交轴于、两点，则与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）①，，；②； （2）与的积是定值． 【解析】 【分析】（1）①当时，，分别令，解方程即可求解； ②过点作，过点作轴，得到，再根据得到抛物线解析式，证明，得到的坐标为，再设直线的解析式为，根据坐标和建立方程求解，得到直线的解析式，即可解题； （2）设直线的解析式为，记，，联立，得到，，作轴，作轴，证明 ，利用相似的性质得到，，即可解题． 【小问1详解】 解：①当时，， 当时，， 当时，， 解得：或， ∴，，； ②如图1，过作交于点，作轴于点， ， ，即， ， ， ， ，， ， ，， 的坐标为， 设直线的解析式为：， 将和代入解析式有， ，解得， 直线的解析式为， 当时，解得（不合题意舍去）或， 当时，， 点D的坐标为； 【小问2详解】 解：与的积是定值，为2，理由： 抛物线（其中），交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）， ，解得，， 即，， 过点作任意一条直线交抛物线于P、Q两点， 设直线的解析式为，记，， 有点在图象上， ，即， 直线的解析式为， 联立， 整理得， ，， 作轴，作轴，如图所示 ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ，为定值． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判断，等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，一元二次方程根与系数的关系，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$