精品解析：湖南省长沙市第十五中学2024-2025学年九年级上学期第三次月考数学试卷

2024年下学期初三年级12月份错题重做 考试时长：120分钟 一、单选题（共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 将二次函数的图象向下平移个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，且分别交，于点D，E，若，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果关于x的一元二次方程无实数根，那么a的值可以为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 6. 如图，在中，点分别在边的反向延长线上，且．若，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 7. 如图，的半径为，为弦，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，是斜边上的高，，那么等于（ ） A. B. C. 6 D. 9. 已知，抛物线在平面直角坐标系中的位置如图，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图像大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．⑤，其中正确的有（）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（共18分） 11. 要使二次根式有意义，则x的取值范围为____________. 12. 分解因式：__________． 13. 如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为，若的面积等于，则的值等于_____． 14. 如图，四边形是的内接四边形，对角线是的直径，，，则的半径长为_______． 15. 如图4，我国现代数学著作《九章算术》中有“井深几何”问题如下：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？它的题意可以由如图所示获得，井深为_________尺． 16. 如图在中，，点P是内部的一个动点，连接，且满足，过点P作交于点D当线段最短时，的面积为______． 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，途中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）在图中画出位似中心点O，△ABC与△A′B′C′的相似比是　 　． （2）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的相似比等于2：1． 20. 为增强学生爱国意识，激发爱国情怀，某校9月开展了“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育活动，活动方式有：A．主题征文，B．书法绘画，C．红歌传唱，D．经典诵读．为了解最受学生喜爱的活动方式，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）参与此次抽样调查的学生人数是_______，扇形统计图中A部分圆心角的度数是_______； （2）请补全条形统计图； （3）学校从1班，2班，3班，4班中随机选取两个班参加“红歌传唱”的活动，求恰好选中2班和3班的概率． 21. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． （1）求证：． （2）当时，求的长． 22. 某超市以每千克30元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当这种干果每千克降价多少元时，超市获利最大，最大利润是多少元？ 23. 如图，中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点，分别在、上，与的交点为，且矩形长是宽的3倍． （1）求证：； （2）试求矩形的周长． 24. 新定义：有两边之比为的三角形叫做“勤业三角形”． （1）下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③含角的直角三角形；④含角的等腰三角形． （2）如图1，是的内接三角形，为直径，D为上一点，且，作，交线段于点F，交于点E，连接交于点G．试判断和是否是“勤业三角形”并证明． （3）如图2，在（2）的条件下，当时，求的值 25. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点点和点，与y轴交于点C，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求此二次函数的解析式； （2）如图1，连结，，求的面积的最大值； （3）如图2，过点P作x轴的垂线交于点D，与交于点Q．探究是否存在点P，使得以点P、C、Q为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期初三年级12月份错题重做 考试时长：120分钟 一、单选题（共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； C．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合． 2. 点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了关于轴对称的点的坐标特点，根据关于轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，即点关于轴的对称点的坐标是，据此解答即可求解，掌握关于轴对称的点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为， 故选：． 3. 将二次函数的图象向下平移个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 图象的平移规律：左加右减，上加下减；用规律求解析式即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移个单位长度，得到的解析式是． 故选：B． 4. 如图，在中，，且分别交，于点D，E，若，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的性质与判定及平行线所截线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴； 故选D． 5. 如果关于x的一元二次方程无实数根，那么a的值可以为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关键可得：, 从而列不等式可得答案． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴， 解得：，只有选项A符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 6. 如图，在中，点分别在边的反向延长线上，且．若，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理是解本题的关键． 7. 如图，的半径为，为弦，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理、弧长的计算，掌握以上知识是解题的关键． 连接、，利用圆周角定理得出，再利用弧长公式求得即可． 【详解】解：连接、， ， ， 的长． 故选：D． 8. 如图，中，，是斜边上的高，，那么等于（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键根据同角的余角相等证明，利用两角对应相等证明，列比例式可得结论． 【详解】解：， ， 是斜边上的高， ，． ． ． ． ． ， 故选：C． 9. 已知，抛物线在平面直角坐标系中的位置如图，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图像开口向上得到，再根据对称轴左同右异确定出，根据与y轴的交点确定出，然后确定出一次函数图像与反比例函数图像的情况，即可得解． 【详解】解：∵二次函数图像开口方向向上， ∴， ∵对称轴位置在y轴左侧， ∴， ∴， ∵， ∴的图像经过第一、二、三象限， ∵抛物线与y轴的负半轴相交， ∴， ∴反比例函数图像在第二、四象限， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数与反比例函数的图像，掌握确定抛物线系数符号的方法，利用抛物线系数符号确定一次函数与反比例函数的图像是解题关键． 10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．⑤，其中正确的有（）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小；当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；当与同号时，对称轴在轴左侧；当与异号时，对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．也考查了数形结合的思想．由抛物线的开口方向得到，由抛物线的性质得到对称轴，则利用对称轴方程得到，由抛物线与轴的交点位置得，则可对①进行判断；再利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点为，即时，，则可对②进行判断；由于抛物线与轴的交点坐标为，利用抛物线的对称性得到点关于直线的对称点为，则利用函数图象，当时，，于是可对③进行判断；由于当，，加上，，所以，然后用表示，用表示，从而可对④进行判断；由题意可得二次函数的最小值为，所以，从而可对⑤进行判断， 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴的负半轴， ， ，所以①正确； 抛物线与轴的一个交点为，抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的一个交点为， 即时，， ，所以②正确； 抛物线与轴的交点坐标为， 而点关于直线的对称点为， 当时，则，所以③正确； 当时，， ，， ， ， 而， ，所以④正确． 抛物线的顶点坐标为，， 二次函数的最小值为， ， ， ∴⑤错误． 故选：B． 二、填空题（共18分） 11. 要使二次根式有意义，则x的取值范围为____________. 【答案】x≥8 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】∵二次根式有意义， ∴x﹣8≥0， 解得：x≥8 故答案为x≥8 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的被开方数为非负数的性质是解题关键. 12. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式分解因式，即可． 【详解】解：， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． 13. 如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为，若的面积等于，则的值等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的系数的几何意义是解题的关键．根据的面积等于，结合反比例函数的系数的几何意义可得，再根据反比例函数的图象经过第二象限，即可确定的值． 【详解】解：轴，的面积等于， ， ， 反比例函数的图象经过第二象限， ， ． 故答案为：． 14. 如图，四边形是的内接四边形，对角线是的直径，，，则的半径长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆周角定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理可得，由此即可得． 【详解】是的直径， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， 则的半径长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 15. 如图4，我国现代数学著作《九章算术》中有“井深几何”问题如下：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？它的题意可以由如图所示获得，井深为_________尺． 【答案】57.5 【解析】 【分析】由题意可得△AFB∽△ADC，根据相似三角形的性质和已知条件即可得到井深尺寸． 【详解】解：由题意可知：△AFB∽△ADC，∴， 可设BC=x，则有，解之可得：BC=57.5（尺）， 故答案为57.5． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题关键 ． 16. 如图在中，，点P是内部的一个动点，连接，且满足，过点P作交于点D当线段最短时，的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，，则点在以为直径的圆上运动，如图，记的中点为，连接，交于，此时线段最短，由题意知，，由勾股定理得，，则，证明，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 如图，记的中点为，连接，交于，此时线段最短， 由题意知，， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，勾股定理．确定点的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、算术平方根、绝对值、零指数幂的法则，掌握相关运算法则是解题关键．根据题意利用负整数指数幂、算术平方根、绝对值、零指数幂的法则进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分是解题的关键．先因式分解，后变除法为乘法，约分化简，后代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，途中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）在图中画出位似中心点O，△ABC与△A′B′C′的相似比是　 　． （2）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的相似比等于2：1． 【答案】（1）1：2； （2）如图2，△A1B1C1为所作． 【解析】 【分析】（1）根据△ABC与△A′B′C′的位似比等于OA与OA′的比，即可求解. （2）要画△A1B1C1，先确定点A1的位置，因为△A1B1C1与△ABC的位似比等于2，因此OA1=2OA，所以OA1=12．再过点A1画A1B1∥AB交O B′于B1，过点A1画A1C1∥AC交O C′于C1． 【详解】解：（1）如图1，点O为所作； ∴OA：OA′＝6：12＝1：2， ∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2； 故答案为1：2； （2）略 【点睛】本题考查了作图-位似变换，掌握根据条件画图是解题的关键. 20. 为增强学生爱国意识，激发爱国情怀，某校9月开展了“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育活动，活动方式有：A．主题征文，B．书法绘画，C．红歌传唱，D．经典诵读．为了解最受学生喜爱的活动方式，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）参与此次抽样调查的学生人数是_______，扇形统计图中A部分圆心角的度数是_______； （2）请补全条形统计图； （3）学校从1班，2班，3班，4班中随机选取两个班参加“红歌传唱”的活动，求恰好选中2班和3班的概率． 【答案】（1）40， （2） 补全条形统计图如图所示， （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． （1）由C类型人数及其所占百分比可得总人数，用乘以A类型人数所占比例即可； （2）根据（1）的结果即可补全条形统计图； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：总人数（人）， A类型人数（人） 扇形统计图中A部分圆心角的度数为， 故答案为40，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将1班，2班，3班，4班分别记为1，2，3，4. 根据题意，列表如下： 班级 1 2 3 4 1 2 3 4 如表，所有可能发生的结果共有12种，并且它们发生的可能性相等，其中恰好选中2班和3班的有2种， 恰好选中2班和3班的概率是． 21. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． （1）求证：． （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，再由，可得，即可求证； （2）根据，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 22. 某超市以每千克30元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当这种干果每千克降价多少元时，超市获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当这种干果每千克降价10元时，超市获利最大，最大利润是4000元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的应用： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）设利润为w，根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出关系式，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数解析式为． 把代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得： ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答∶当这种干果每千克降价10元时，超市获利最大，最大利润是4000元． 23. 如图，中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点，分别在、上，与的交点为，且矩形长是宽的3倍． （1）求证：； （2）试求矩形的周长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为矩形， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质， （1）由矩形的性质可得，即得，，进而可得，再根据相似三角形的性质即可求证； （2）设设，，由相似三角形的性质可得，解方程求出即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，，则， ∵； ∴， 解得， 这个矩形的周长； 24. 新定义：有两边之比为的三角形叫做“勤业三角形”． （1）下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③含角的直角三角形；④含角的等腰三角形． （2）如图1，是的内接三角形，为直径，D为上一点，且，作，交线段于点F，交于点E，连接交于点G．试判断和是否是“勤业三角形”并证明． （3）如图2，在（2）的条件下，当时，求的值 【答案】（1）③④ （2） 解：和都是“勤业三角形”， 证明如下： 如图：连接，设， ， ， ， 又， ，即， ， 又， ， ， ， ， ， ，， 和都是“勤业三角形”； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“勤业三角形”的定义进行计算，即可一一判定； （2）如图，连接，设．，可证得，可得，结合，可得，即可判定和都是“勤业三角形”； （3）如图，过点G作交于点I，可得，可证得，设，则，利用，可求得，，从而可得答案． 【小问1详解】 解：①等边三角形各边的比值为1，故等边三角形不是“勤业三角形”； ②等腰直角三角形两直角边的比值为1，直角边与斜边的比为，故等腰直角三角形不是“勤业三角形”； ③设含角的直角三角形的最短边长为a，则斜边长为，另一条直角边长为，，故含角的直角三角形是“勤业三角形”； ④如图：中，，过点A作于点D， ， 设，则， ， ， 含角的等腰三角形是“勤业三角形”； 故答案为：③④； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：过点G作交于点I， ， ， ， ， ， ， 设， 由（2）知，， ， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题主要考查了新定义问题，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，勾股定理等有关知识，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 25. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点点和点，与y轴交于点C，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求此二次函数的解析式； （2）如图1，连结，，求的面积的最大值； （3）如图2，过点P作x轴的垂线交于点D，与交于点Q．探究是否存在点P，使得以点P、C、Q为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可； （2）过点P作轴，交直线于点E，结合抛物线，直线解析式，设，则，则，表示出，利用二次函数的最值解答即可． （3）根据点，点，得到，继而得到，分和两种情况解答，设，则列出比例式计算即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：过点P作轴，交直线于点E， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则，则， ∴， ∴当，的面积最大，且最大值为． 故当，的面积取得最大值，且最大值为． 【小问3详解】 点、、为顶点的三角形与相似，且或． 理由如下： 当时， 得， ∴， ∵点，， ∴点是抛物线上的一对对称点， 设，则， 解得， 此时； 当时， ∵点，点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得（舍去），或（舍去），（舍去）， 此时； 综上所述，点、、为顶点的三角形与相似，且或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，构造二次函数，配方法求最值；两点间距离公式；三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，构造二次函数求最值，准确解方程是解题的关键． 第1页/共1页 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