第22讲　菱形、矩形 课件 2025年九年级中考数学一轮考点探究（广东）

第二部分 图形与几何 第五章　四边形 第22讲　菱形、矩形 · 数 学 01 命题分析 04 课堂精讲 03 考点梳理 02 课前预习 05 广东中考 06 一题到底(一题多设问） · 数 学 广东省卷近年中考数学命题分析 命题点 2024 2023 2022 2021 2020 菱形的性质 题15，3分   题13，3分   题15，2分 菱形的判定           矩形的性质 题18，2分 题23，3分 题22，3分     题22(2)， 2分 矩形的判定         ◇链接教材◇人教版：八下第十八章P52－P58 北师版：九上第一章P2－P19 · 数 学 1．(2024甘孜州)如图，在菱形ABCD中，AB=2，则菱形ABCD的周长为　　　　．  第1题图 8 · 数 学 2．(2024济宁)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE=3，则菱形的边长为(　 ) A.6 B.8 C.10 D.12 第2题图 A　 · 数 学 3．(2024海南二模)如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形，则a的值为(　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 第3题图 B　 · 数 学 4．(2024成都)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(　 ) A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠ACB=∠ACD 第4题图 C　 · 数 学 5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠ACB=25°，则∠AOB的大小是　　　　．  第5题图 50°　 · 数 学 6．(2024甘肃)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD=60°，AB=2，则AC的长为(　 ) A.6 B.5 C.4 D.3 第6题图 C · 数 学 7．(2024北京模拟)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG=EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是__________________________(写出一个即可)． 第7题图 DE=FG（答案不唯一） · 数 学 考点复习 回练课本（人教、北师） 1．菱形 (1)定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． (2)性质：菱形的四条边　　　　　，两条对角线互相　　　　　，且每一条对角线平分一组　　　　　．  1．(1)如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于点H，则DH的长为　　　　；  第(1)题图 相等 垂直平分 对角 4.8 · 数 学 考点复习 回练课本（人教、北师） (3)判定方法： ①一组　　　　　相等的平行四边形是菱形；  ②对角线互相　　　　　的平行四边形是菱形；  ③四条边都　　　　　的四边形是菱形．  (4)设菱形对角线长分别为l1，l2，则S菱形=l1l2．  (2)如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3，则▱ABCD是 　　　　形．  第(2)题图 邻边 垂直 相等 菱 · 数 学 考点复习 回练课本（人教、北师） 2．矩形 (1)定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形． (2)性质：矩形的对角线互相______　　　　且相等，四个角都是　　　　　．   2．(1)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，则矩形对角线的长为　　　　；  第(1)题图 平分 直角 8 · 数 学 考点复习 回练课本（人教、北师） (3)判定方法： ①有　　个角是直角的四边形是矩形；  ②对角线　　　　　的平行四边形是矩形；  ③有　　　　　个角是直角的平行四边形是矩形．  (4)设矩形的长和宽分别为a，b，则S矩形=ab．  (2)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°，则∠OAB的度数为　　　　．  第(2)题图 三 相等　 一 40° · 数 学 1．(2024南通)若菱形的周长为20 cm，且有一个内角为45°，则该菱 形的高为　　　　cm．  2．(2024绥化)如图，四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，AE⊥BC于点E，则AE的长是(　 ) A． B.6 C． D.12 菱形的性质和判定  A · 数 学 3． (2024扬州)如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD． (1)试判断四边形ABCD的形状，并说明理由； 解：四边形ABCD是菱形，理由如下： 作CH⊥AB于点H，作CG⊥AD于点G，则CH=CG， ∵两个纸条都为矩形，∴AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵S▱ABCD=AB·CH=AD·CG，且CH=CG， ∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形. · 数 学 (2)已知矩形纸条的宽度为2 cm，将矩形纸条旋转至如图2的位置时，四边形ABCD的面积为8 cm2，求此时直线AD，CD所夹锐角∠1的度数． 解：作AM⊥CD于点M，则AM=2 cm， ∵S菱形ABCD=CD·AM=8 cm2， ∴CD=4 cm，∴由（1）得AD=CD=4 cm， 在Rt△ADM中，sin∠1==，∴∠1=30°. · 数 学 答 题 规 范 作答区域 答题模板与评分标准 示范题：(人教8下P57练习、北师9上P4知识技能) 如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8．求菱形ABCD的周长和面积． 解：____________________ 解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8， ∴AC⊥BD，AO=AC=3，BO=BD=4， ………………………………………………………2分 ∴AB===5，…………………4分 ∴菱形ABCD的周长=4AB=20，……………………..5分 菱形ABCD的面积=AC·BD=× 6× 8=24． ……………………………………………………………7分 满分：7分 实得：　　　　分  · 数 学 矩形的性质和判定 4．(2024陕西一模)如图，在矩形ABCD中，点O，M分别是AC，AD的中点，OM=3，OB=5，则AD的长为(　 ) A.12 B.10 C.9 D.8 D · 数 学 5．(2024榆林三模)如图，在矩形ABCD中，AB=5，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则BC的长为(　 ) A.5 B.5 C.5 D.10 C · 数 学 6． (2024兰州)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC． (1)求证：四边形ADCE是矩形； 证明：∵在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，即∠ADC=∠ADB=90°， ∵CE∥AD，∴∠ECD=∠ADB=90°， ∵AE⊥AD，∴∠EAD=90°， ∴∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°， ∴四边形ADCE是矩形. · 数 学 (2)若BC=4，CE=3，求EF的长． 解：∵在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，BC=4， ∴BD=CD=BC=2，由（1）可知四边形ADCE是矩形， ∴AE=CD=2，∠AEC=90°， ∵在Rt△AEC中，AE=2，CE=3， ∴由勾股定理得AC==， ∵EF⊥AC，∴S△AEC=AC·EF=AE·CE， ∴EF===. · 数 学 7．(2022广东)菱形的边长为5，则它的周长为　　　　．  8．(2020广东)如图，在菱形ABCD中，∠A=30°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图所示)，连接BE，BD，则∠EBD的度数为　 　．  第8题图 20 45° · 数 学 9．(2024广东)如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为　　　　．  第9题图 10 · 数 学 10．(2017 广东)如图，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角． (1)求证：AD⊥BF； 证明：如图1，连接DB，DF.∵四边形ABCD，ADEF都是菱形， ∴AB=BC=CD=DA，AD=DE=EF=FA. 在△BAD和△FAD中， ∴△BAD≌△FAD（SAS）.∴DB=DF， ∴D在线段BF的垂直平分线上. ∵AB=AF，∴A在线段BF的垂直平分线上， ∴AD是线段BF的垂直平分线.∴AD⊥BF. · 数 学 (2)若BF=BC，求∠ADC的度数． 解：如图2，设AD⊥BF于点H，作DG⊥BC于点G， 则四边形BGDH是矩形.∴DG=BH=BF. ∵BF=BC，BC=CD，∴DG=CD. 在Rt△CDG中，∠CGD=90°，DG=CD，∴∠C=30°. ∵BC∥AD，∴∠ADC=180°－∠C=150°. · 数 学 11．(2021广州)下列命题中，为真命题的是(　 ) (1)对角线互相平分的四边形是平行四边形； (2)对角线互相垂直的四边形是菱形； (3)对角线相等的平行四边形是菱形；　　　 (4)有一个角是直角的平行四边形是矩形． A．(1)(2) B．(1)(4) C．(2)(4) D．(3)(4) B · 数 学 12．(2018广东)如图，在矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE． (1)求证：△ADE≌△CED； 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AB=CD. 由折叠的性质可得BC=CE，AB=AE， ∴AD=CE，AE=CD. 在△ADE和△CED中， ∴△ADE≌△CED（SSS）. · 数 学 (2)求证：△DEF是等腰三角形． 证明：由（1）得△ADE≌△CED， ∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF. ∴EF=DF.∴△DEF是等腰三角形. · 数 学 13．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD． (1)求证：四边形ABCD是菱形； 证明：∵AB∥DC，∴∠CAB=∠DCA. ∵AC为∠BAD的平分线，∴∠CAB=∠DAC， ∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD. ∵AB=AD，∴CD=AD=AB. ∵AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形. ∵AD=AB，∴平行四边形ABCD是菱形. 菱形有关的证明与计算 · 数 学 (2)如图，过点C作CE∥DB，交AB的延长线于点E，求证：BC=BE； 证明：由（1）知四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD， ∵CE∥DB，∴∠ACE=∠AOB=90°， ∴∠ACB+∠BCE=∠CAE+∠AEC=90°. ∵在菱形ABCD中，AB=BC， ∴∠ACB=∠CAE，∴∠BCE=∠AEC，∴BC=BE. · 数 学 (3)如图，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE，若AB=5，BD=2，BE=3． ①求OE的长； ①解：由（1）可知四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC，BD⊥AC.∵CE⊥AB，∴OE=OA=OC. ∵BD=2，∴OB=BD=.在Rt△AOB中，AB=5，OB=， ∴OA===2，∴OE=OA=2. · 数 学 ②求tan∠OEC的值； 解：由①得在Rt△AOB中，∠OEC=∠OCE， ∴tan∠OEC=tan∠OCE=. 在Rt△BCE中，CE===4， ∴tan∠OEC====2. · 数 学 (4)如题(3)图，若CE=，∠ADC=120°，求四边形ABCD的面积． 解：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°， ∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∠DAB=60°， ∴∠CAB=∠DAB=30°， ∴AC=2CE=2，AB=2BO，∴AO=CO=CE=. ∵AB2－BO2=AO2，∴4BO2－BO2=3， ∴BO=1（负值舍去），∴BD=2， ∴菱形ABCD的面积=AC·BD=×2×2=2. · 数 学 14．如图，在▱ABCD中，过点A作AF⊥CD，交CD的延长线于点F，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E． (1)求证：四边形AECF是矩形； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD. ∵AF⊥CD，∴∠F=90°，∴∠FAE=180°－∠F=90°， ∵CE⊥AB，∴∠E=90°， ∴四边形AECF是矩形. 矩形有关的证明与计算 · 数 学 (2)如图，连接AC，BD交于点O，点G是线段AE的中点，连接OG．若AC=3，OG=2，求矩形AECF的面积； 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO. ∵点G是线段AE的中点，∴AG=EG， ∴OG是△ACE的中位线，∴CE=2OG=4. ∵AC=3， ∴在Rt△AEC中，AE===， ∴矩形AECF的面积为×4=4. · 数 学 (3)如图，连接AC，BD交于点O，若AB=AD，∠FAD=30°，FD=1，请判断DC与AC的数量关系； 解：在Rt△ADF中，∠FAD=30°，FD=1， ∴AD=2，AF=. ∵AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形. ∴DC=AD=2，∠DAC=∠CAE=∠DAE. ∵∠FAD=30°，∠FAE=90°， ∴∠DAE=90°－30°=60°，∴∠CAE=30°，∴AC=2CE. ∵在矩形AECF中，CE=AF=， ∴AC=2CE=2AF=2.∴AC=DC. · 数 学 (4)如图，四边形ABCD是菱形，M是AD的中点，点N，G在AB上，MN⊥AB，OG∥MN，连接OM． ①求证：四边形OMNG是矩形； ①证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD， ∵M是AD的中点， ∴OM是△ABD的中位线，∴OM∥AB，即OM∥NG， ∵OG∥MN，∴四边形OMNG是平行四边形， ∵MN⊥AB，∴∠MNG=90°， ∴平行四边形OMNG是矩形. · 数 学 ②若AD=10，MN=4，则OM的长为　　　　，BG的长为　　　　．  5 2 · 数 学 $$