第03讲 平面向量基本定理及坐标表示(思维导图+知识梳理+10类核心考点+过关测)-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

第03讲 平面向量基本定理及坐标表示 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握平面向量基本定理，不仅仅局限在直角坐标系，更应该学会用基底表示平面向量 2．会利用坐标法，理解和掌握两个向量是否共线的判断. 3．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算； 知识点 1 平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理 如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使. 若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 知识点2 平面向量基本定理的有关结论 （1）设,是平面内一组基底，若，当时，与共线；当时，与共线；当时，，同样的时，. （2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则. 知识点3平面向量的正交分解 （1）把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解. （2）在不共线的两个向量中,垂直是一种特殊的情形,向量的正交分解是向量分解常用且重要的一种分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,会给问题的研究带来方便. 知识点4平面向量的坐标表示 （1）向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个不共线单位向量、作为基底， 对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数，使得，则把有序数对，叫做向量的坐标．记作，此式叫做向量的坐标表示，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 注意：①对于，有且仅有一对实数与之对应 ②两向量相等时，坐标一样 ③，， ④从原点引出的向量的坐标就是点的坐标 （2）点的坐标与向量的坐标的关系 区别：①表示形式不同向量中间用等号连接，而点中间没有等号 ②意义不同点的坐标表示点在平面直角坐标系中的位置，的坐标既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点或向量. 联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 知识点5平面向量的坐标表示 （1）两个向量和（差）的坐标表示 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）. 坐标表示：，则： ； （2）任一向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 ，，则. （3）向量数乘的坐标表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 坐标表示:,则. 知识点6平面向量共线的坐标表示 设,,其中,则当且仅当存在唯一实数,使得； 用坐标表示,可写为,即： 消去得到：. 这就是说,向量()共线的充要条件是. 知识点7平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 知识点8两个向量平行、垂直的坐标表示 已知非零向量， （1）． （2） 知识点9向量模的坐标表示 （1）向量模的坐标表示 若向量，由于，所以． 其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根． （2）两点间的距离公式 已知原点，点，则，于是． 其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离． （3）向量的单位向量的坐标表示 设，表示方向上的单位向量 知识点10两向量夹角余弦的坐标表示 已知非零向量，是与的夹角，则． 考点一：用基底表示向量 例1．（24-25高三上·陕西汉中·期中）如图，在中，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式1-1】（2024高三·全国·专题练习）在△ABC中，点D为AB的中点，记，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·福建福州·期末）在平行四边形中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一下·湖北武汉·期末）平行四边形ABCD中，点M是线段BC的中点，N是线段CD的中点，则向量为（    ） A． B． C． D． 考点二：根据平面向量基本定理求参数 例2.（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）在中，D为边的中点，E，F分别为边，上的点，且，，若，，则值为（    ） A．1 B． C．3 D．5 【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025高三·全国·专题练习）在三角形OAB中，点为边AB上的一点，且，点为直线OP上的任意一点(与点和点不重合)，且满足，则 . 【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，点D，E分别在，上，且，，若，则 ． 考点三：平面向量正交分解及坐标表示 例3.（2024高一下·全国·专题练习）如图，向量，，的坐标分别是 ， ， . 【变式3-1】（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）若向量，则对应的位置向量的终点坐标是 ． 【变式3-2】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，设为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量，，，，并求出它们的坐标. 考点四：平面向量坐标运算 例4.（2024·山东·一模）已知向量，若，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）若，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一下·新疆·期中）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一下·广西南宁·期末）已知向量，，若满足，则 ． 考点五：根据坐标求模运算 例5.（23-24高一·上海·课堂例题）已知向量，，求的坐标及． 【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-2】（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）平面内给定两个向量. (1)求； (2)求. 【变式5-3】（23-24高一下·江苏徐州·期末）已知向量，，则 ． 考点六：平面向量数量积的坐标表示 例6.（24-25高三上·广东深圳·期中）设，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式6-1】（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）向量，，则 （    ） A． B．0 C． D．1 【变式6-2】（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知平面向量，则（    ） A．2 B．10 C． D． 【变式6-3】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，则 ． 考点七：向量垂直的坐标表示 例7.（24-25高三上·浙江·开学考试）已知向量，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式7-1】（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知向量，，且，则（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 【变式7-2】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，．若，则 ． 【变式7-3】（24-25高三上·安徽·期中）已知平面向量，满足，则 ． 考点八：向量投影 例8.（23-24高二下·河北石家庄·期末）设向量，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二上·陕西·期中）已知向量，满足，且，则在上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高一下·河北·期末）已知是夹角为的单位向量，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高三上·辽宁·期中）已知向量，，则在方向的投影向量为 . 考点9：向量夹角 例9.（23-24高一下·河北邯郸·阶段练习）已知向量. (1)求与; (2)求与的夹角的余弦值. 【变式9-1】（24-25高二上·云南昭通·期中）若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高三上·贵州黔东南·开学考试）已知向量，，则向量与夹角的余弦值为 ． 【变式9-3】（23-24高一下·吉林·期末）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 . 【变式9-4】（2024高二下·湖北）已知平面内两个向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ． 考点10：向量数量积的最值范围问题 例10.（23-24高一下·浙江台州·期末）已知是边长为2的正六边形内（含边界）一点，为边的中点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24高一下·上海·期中）如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为 . 一、单选题 1．（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）设向量.若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）若，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·吉林·期中）已知，，则（   ） A． B．2 C． D．10 4．（24-25高三上·海南·阶段练习）已知向量，，，若与平行，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．3 5．（2024高二下·安徽·学业考试）已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·广东·模拟预测）已知向量，若，则实数的值为（    ） A．4 B．或1 C． D．4或 8．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知点、、，其中，则（   ） A．若、、三点共线，则 B．若，则 C．若，则 D．当时， 10．（2024·江西·一模）已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，共线，则 C．不可能是单位向量 D．若，则 11．（24-25高二上·湖南郴州·开学考试）设向量，则下列说法错误的是（    ） A．若与的夹角为钝角，则 B．的最小值为9 C．与共线的单位向量只有一个，为 D．若，则 三、填空题 12．（浙江省杭州市S9联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题）已知，，向量与垂直，则实数的值为 . 13．（24-25高三上·上海·期中）如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 14．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为 ． 15．（24-25高三上·上海松江·期中）已知向量，则在方向上的数量投影为 ． 16．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知向量与的夹角为，，，则 . 四、解答题 17．（23-24高一下·江苏·期末）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 18．（21-22高一下·天津·阶段练习）已知向量，，，且. (1)求实数m的值； (2)求； (3)求向量与的夹角. 19．（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知向量在同一平面上，且. (1)若，且，求向量的坐标； (2)若，且与垂直，求实数的值. 20．（23-24高一下·广西贺州·阶段练习）已知向量的夹角为． (1)求； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 平面向量基本定理及坐标表示 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握平面向量基本定理，不仅仅局限在直角坐标系，更应该学会用基底表示平面向量 2．会利用坐标法，理解和掌握两个向量是否共线的判断. 3．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算； 知识点 1 平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理 如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使. 若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 知识点2 平面向量基本定理的有关结论 （1）设,是平面内一组基底，若，当时，与共线；当时，与共线；当时，，同样的时，. （2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则. 知识点3平面向量的正交分解 （1）把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解. （2）在不共线的两个向量中,垂直是一种特殊的情形,向量的正交分解是向量分解常用且重要的一种分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,会给问题的研究带来方便. 知识点4平面向量的坐标表示 （1）向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个不共线单位向量、作为基底， 对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数，使得，则把有序数对，叫做向量的坐标．记作，此式叫做向量的坐标表示，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 注意：①对于，有且仅有一对实数与之对应 ②两向量相等时，坐标一样 ③，， ④从原点引出的向量的坐标就是点的坐标 （2）点的坐标与向量的坐标的关系 区别：①表示形式不同向量中间用等号连接，而点中间没有等号 ②意义不同点的坐标表示点在平面直角坐标系中的位置，的坐标既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点或向量. 联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 知识点5平面向量的坐标表示 （1）两个向量和（差）的坐标表示 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）. 坐标表示：，则： ； （2）任一向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 ，，则. （3）向量数乘的坐标表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 坐标表示:,则. 知识点6平面向量共线的坐标表示 设,,其中,则当且仅当存在唯一实数,使得； 用坐标表示,可写为,即： 消去得到：. 这就是说,向量()共线的充要条件是. 知识点7平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 知识点8两个向量平行、垂直的坐标表示 已知非零向量， （1）． （2） 知识点9向量模的坐标表示 （1）向量模的坐标表示 若向量，由于，所以． 其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根． （2）两点间的距离公式 已知原点，点，则，于是． 其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离． （3）向量的单位向量的坐标表示 设，表示方向上的单位向量 知识点10两向量夹角余弦的坐标表示 已知非零向量，是与的夹角，则． 考点一：用基底表示向量 例1．（24-25高三上·陕西汉中·期中）如图，在中，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用基底表示向量、向量加法的法则、向量减法的法则、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据向量加减、数乘的几何意义，数形结合求解. 【详解】因为， 所以. 故选：D 【变式1-1】（2024高三·全国·专题练习）在△ABC中，点D为AB的中点，记，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、向量减法法则的几何应用、用基底表示向量 【分析】利用向量线性运算的几何表示即得. 【详解】因为点为中点，，， 所以. 故选：C. 【变式1-2】（23-24高一下·福建福州·期末）在平行四边形中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】直接根据平行四边形的性质分解向量即可. 【详解】 . 故选：C 【变式1-3】（23-24高一下·湖北武汉·期末）平行四边形ABCD中，点M是线段BC的中点，N是线段CD的中点，则向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】根据三角形中位线性质和向量线性运算即可. 【详解】根据三角形中位线知：. 故选：C. 考点二：根据平面向量基本定理求参数 例2.（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）在中，D为边的中点，E，F分别为边，上的点，且，，若，，则值为（    ） A．1 B． C．3 D．5 【答案】A 【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数、平面向量基本定理的应用 【分析】由向量的线性运算分别求出的值即可. 【详解】，因为D为边的中点， 所以，所以，从而. 故选：A. 【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量基本定理的应用、利用平面向量基本定理求参数 【分析】作出辅助线，得到，，从而，，得到，得到答案. 【详解】连接DE， 由题意可知，，所以，则， 所以，所以， 则， 故. 又，所以，则. 故选：A 【变式2-2】（2025高三·全国·专题练习）在三角形OAB中，点为边AB上的一点，且，点为直线OP上的任意一点(与点和点不重合)，且满足，则 . 【答案】/ 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量基本定理的应用 【分析】以，为基底，其他向量用基底表示后，结合，，共线列式可解. 【详解】由已知， ，因为，共线，所以，所以. 故答案为： 【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，点D，E分别在，上，且，，若，则 ． 【答案】 【知识点】向量加法的法则、平面向量基本定理的应用、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据已知条件知，再根据平面向量基本定理，把向量与向量作为一组基底表示出向量即可 【详解】因为，， 所以， 所以，，则． 故答案为：. 考点三：平面向量正交分解及坐标表示 例3.（2024高一下·全国·专题练习）如图，向量，，的坐标分别是 ， ， . 【答案】 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】结合图象运用平面向量坐标表示求解即可. 【详解】如图， 将各向量分别向单位正交基底，所在直线分解， 则，∴， ，∴， ，∴， 故答案为：；；. 【变式3-1】（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）若向量，则对应的位置向量的终点坐标是 ． 【答案】 【知识点】平面向量有关概念的坐标表示 【分析】利用向量运算法则进行求解即可. 【详解】，所以对应的位置向量的终点坐标是. 故答案为： 【变式3-2】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，设为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量，，，，并求出它们的坐标. 【答案】答案见解析 【知识点】用基底表示向量、用坐标表示平面向量 【分析】根据各向量在水平和竖直方向上的分解向量，将其分别用表示，即得其坐标. 【详解】由图可知；； ；. 考点四：平面向量坐标运算 例4.（2024·山东·一模）已知向量，若，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用向量的坐标运算求解. 【详解】向量，若， 则. 故选：D. 【变式4-1】（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）若，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据减法的坐标运算即可得解. 【详解】， 故选：C 【变式4-2】（23-24高一下·新疆·期中）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：C 【变式4-3】（23-24高一下·广西南宁·期末）已知向量，，若满足，则 ． 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】依题意可得，根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】因为，且， 所以. 故答案为： 考点五：根据坐标求模运算 例5.（23-24高一·上海·课堂例题）已知向量，，求的坐标及． 【答案】， 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】根据平面向量的坐标运算，模长公式求解即可. 【详解】根据向量的坐标运算公式， ， . 【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】由平面向量线性运算的坐标表示，利用摸长公式，可得答案. 【详解】因为，所以． 故选：D. 【变式5-2】（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）平面内给定两个向量. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【知识点】坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】（1）先求出、和，接着由向量夹角余弦公式即可得解. （2）由坐标形式的向量模长公式即可计算得解. 【详解】（1）由题，， 所以. （2）由题得， 所以. 【变式5-3】（23-24高一下·江苏徐州·期末）已知向量，，则 ． 【答案】1 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，结合向量模的坐标表示求解即得. 【详解】向量，，则， 所以. 故答案为：1 考点六：平面向量数量积的坐标表示 例6.（24-25高三上·广东深圳·期中）设，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】根据向量相加的坐标运算以及向量相乘的坐标运算可求得结果. 【详解】因为，， 所以，又， 所以， 故选：C. 【变式6-1】（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）向量，，则 （    ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】用坐标表示出，再由向量的数量积的坐标运算得出结果. 【详解】由题可知， ∴. 故选：D. 【变式6-2】（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知平面向量，则（    ） A．2 B．10 C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】根据向量数量积的坐标运算公式求解即可. 【详解】， . 故选：A. 【变式6-3】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，则 ． 【答案】2 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】根据题意先求，，再结合数量积的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，则，， 所以． 故答案为：2. 考点七：向量垂直的坐标表示 例7.（24-25高三上·浙江·开学考试）已知向量，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】利用向量垂直求参数、向量垂直的坐标表示 【分析】利用向量数量积的坐标表示解方程即可得出结果. 【详解】易知， 由可得， 即，解得 故选：C 【变式7-1】（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知向量，，且，则（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 【答案】C 【知识点】利用向量垂直求参数、向量垂直的坐标表示 【分析】应用向量垂直数量积坐标公式计算即可. 【详解】由或, 故选:C． 【变式7-2】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，．若，则 ． 【答案】/ 【知识点】向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式计算得解. 【详解】依题意，，所以． 故答案为： 【变式7-3】（24-25高三上·安徽·期中）已知平面向量，满足，则 ． 【答案】 【知识点】向量垂直的坐标表示 【分析】由向量垂直可得，求出m即可． 【详解】由题意知，解得. 故答案为： 考点八：向量投影 例8.（23-24高二下·河北石家庄·期末）设向量，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】利用求投影向量的公式进行求解即可. 【详解】在方向上的投影向量为 . 故选：C. 【变式8-1】（24-25高二上·陕西·期中）已知向量，满足，且，则在上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求投影向量 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求出答案. 【详解】依题意，在上的投影向量为. 故选：A 【变式8-2】（23-24高一下·河北·期末）已知是夹角为的单位向量，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求投影向量 【分析】直接利用投影向量定义及数量积的几何意义进行求解即可． 【详解】因为． 故选：B． 【变式8-3】（24-25高三上·辽宁·期中）已知向量，，则在方向的投影向量为 . 【答案】 【知识点】求投影向量 【分析】根据投影向量的公式求解即可. 【详解】在方向的投影向量为. 故答案为： 考点9：向量夹角 例9.（23-24高一下·河北邯郸·阶段练习）已知向量. (1)求与; (2)求与的夹角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【知识点】数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】（1）根据数量积的坐标公式及模的坐标公式计算即可； （2）根据向量夹角的坐标公式计算即可. 【详解】（1）由，得， 而，则； （2）， 即与的夹角的余弦值为. 【变式9-1】（24-25高二上·云南昭通·期中）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】利用向量夹角余弦的计算公式即可求得的值. 【详解】， 故选：A. 【变式9-2】（23-24高三上·贵州黔东南·开学考试）已知向量，，则向量与夹角的余弦值为 ． 【答案】 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】根据向量的夹角公式直接求解即可 【详解】因为，， 所以． 故答案为： 【变式9-3】（23-24高一下·吉林·期末）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】向量夹角的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示 【分析】由题意列出关于的不等式组即可求解. 【详解】由题可知且与不共线，即，得. 故答案为：. 【变式9-4】（2024高二下·湖北）已知平面内两个向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】向量夹角的坐标表示、向量夹角的计算 【分析】当两向量的夹角是钝角时，其数量积是负数，但必须排除两向量反向（夹角为 ）. 【详解】由题意， ， 当 反向时，有 ，解得 ， ∴k的取值范围是 ； 故答案为：. 考点10：向量数量积的最值范围问题 例10.（23-24高一下·浙江台州·期末）已知是边长为2的正六边形内（含边界）一点，为边的中点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示、平面向量数量积的几何意义 【分析】通过数量积定义得出与重合时取得最大值，与重合时，取得最小值，然后建立如图所示的平面直角坐标系，用坐标法求数量积． 【详解】如图，过作于，则，当与同向时为正，当与反向时为负， 分别过作，，为垂足， 则得当与重合（即与重合）时，取得最大值，当与重合（即与重合）时，取得最小值， 是正六边形，因此以为轴，为建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，是中点，则， ，，， ，， 所以的范围是， 故选：B． 【变式10-1】（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用定义求向量的数量积、向量与几何最值、平面向量数量积的几何意义 【分析】由投影向量的定义得到当在上时，取得最大值，进而得到答案. 【详解】由投影向量的定义可知，当在上时，取得最大值， 延长交的延长线于点， 的最大值为， 其中正八边形的外角为，故， 故，， 故， 所以最大值为. 故选：B 【变式10-2】（23-24高一下·上海·期中）如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义、求投影向量 【分析】借助于正方形建系，利用平面向量数量积的几何意义，找到使在方向上的投影向量的数量最大和最小的点即得的取值范围. 【详解】 如图，以点为原点，分别以所在直线为轴建立坐标系. 因， 而表示在方向上的投影向量的数量， 由图不难发现，设过正方形的中心作与轴平行的直线与左右两个半圆分别交于点， 则当点与点重合时，投影向量的数量最大，当点与点重合时，投影向量的数量最小. 易得，则的最大值为6，最小值为， 故. 故答案为：. 一、单选题 1．（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）设向量.若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得：， 故选：A 2．（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）若，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据减法的坐标运算即可得解. 【详解】， 故选：C 3．（23-24高二上·吉林·期中）已知，，则（   ） A． B．2 C． D．10 【答案】A 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】根据求出的坐标，再计算其模. 【详解】因为，， 所以，所以. 故选：A 4．（24-25高三上·海南·阶段练习）已知向量，，，若与平行，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由平面向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】因为，，，所以， 由与平行，得，解得. 故选：C. 5．（2024高二下·安徽·学业考试）已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的计算 【分析】根据数量积的定义求解． 【详解】由已知，又， ∴， 故选：A． 6．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求投影向量 【分析】根据题意，结合向量投影向量公式直接计算即可. 【详解】设与的夹角为， 则向量在方向上的投影向量为 . 故选：A. 7．（2024·广东·模拟预测）已知向量，若，则实数的值为（    ） A．4 B．或1 C． D．4或 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、利用数量积求参数 【分析】将平方化简得，然后利用数量积的坐标公式列式计算即可. 【详解】将两边平方，得， 由得， 即，解得或1. 故选：B. 8．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂直关系的向量表示 【分析】根据向量的坐标表示进行计算并判断． 【详解】由题意，， 因为， 所以，所以C正确，A错误. ∵，所以D错误 ∵，所以B错误. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知点、、，其中，则（   ） A．若、、三点共线，则 B．若，则 C．若，则 D．当时， 【答案】ABD 【知识点】由坐标解决三点共线问题、坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示、已知向量垂直求参数 【分析】利用共线向量的坐标表示可判断A选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断B选项；利用平面向量的模长公式可判断C选项；利用平面向量夹角余弦的坐标公式可判断D选项. 【详解】因为、、，其中，则，， 对于A选项，若、、三点共线，则，则，解得，A对； 对于B选项，若，则，解得，B对； 对于C选项，若，即，可得， 解得或，C错； 对于D选项，当时，，则， 因为，故，D对. 故选：ABD. 10．（2024·江西·一模）已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，共线，则 C．不可能是单位向量 D．若，则 【答案】AD 【知识点】利用向量垂直求参数、坐标计算向量的模、由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据给定条件，利用垂直关系、向量共线的坐标表示计算判断AB；利用单位向量的意义判断C，利用向量线性运算的坐标表示及利用坐标求模判断D. 【详解】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由，共线，得，解得，B错误； 对于C，当时，是单位向量，C错误； 对于D，当时，，则，D正确． 故选：AD 11．（24-25高二上·湖南郴州·开学考试）设向量，则下列说法错误的是（    ） A．若与的夹角为钝角，则 B．的最小值为9 C．与共线的单位向量只有一个，为 D．若，则 【答案】BC 【知识点】由向量共线（平行）求参数、零向量与单位向量、向量夹角的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】A选项，且不反向共线，得到不等式，求出；B选项，利用模长公式得到的最小值为3；C选项，求出，从而得到利用求出答案；D选项，利用模长公式得到方程，求出. 【详解】A选项，与的夹角为钝角，故且不反向共线， 则且，解得且， 综上，，A正确； B选项，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为3，B错误； C选项，，与共线的单位向量有2个， 为，C错误； D选项，若，则，解得，D正确. 故选：BC 三、填空题 12．（浙江省杭州市S9联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题）已知，，向量与垂直，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用向量垂直求参数、向量垂直的坐标表示 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示列式求解即可. 【详解】向量，，则，， 由向量与垂直，得，所以. 故答案为： 13．（24-25高三上·上海·期中）如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标运算求得最值． 【详解】解：在正方形中，建立如图所示坐标系， 由正方形边长为3且， 可得， 设，，则， 则， 故， 故当时，取得最小值为． 故答案为：． 14．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】数量积的坐标表示、向量与几何最值 【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，设，是中点， 则, 由可得,故， 所以， 故当时，取到最小值， 故答案为： 15．（24-25高三上·上海松江·期中）已知向量，则在方向上的数量投影为 ． 【答案】 【知识点】求投影向量、向量夹角的坐标表示 【分析】根据数量投影的定义及计算公式直接可得解. 【详解】由已知，， 则 则在方向上数量投影为， 故答案为：. 16．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知向量与的夹角为，，，则 . 【答案】 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】先求，展开将已知条件代入即可求解. 【详解】 . 故答案为：. 四、解答题 17．（23-24高一下·江苏·期末）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、已知数量积求模 【分析】（1）根据题设条件得到，然后利用数量积的定义求夹角； （2）将表示为的函数，然后求该函数的最小值. 【详解】（1）由，可得， 又，所以，又，所以； （2）因为， 所以. 所以的最小值为，且取到最小值时. 18．（21-22高一下·天津·阶段练习）已知向量，，，且. (1)求实数m的值； (2)求； (3)求向量与的夹角. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用向量垂直求参数、坐标计算向量的模、数量积的坐标表示、向量夹角的计算 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示计算可得结果； （2）根据向量模长的坐标表示计算可得结果； （3）由向量夹角的坐标表示计算即可. 【详解】（1）由题意可知， 又，可得， 解得 （2）由（1）可知， 可得， 因此； （3）易知， 又，可得. 所以向量与的夹角. 19．（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知向量在同一平面上，且. (1)若，且，求向量的坐标； (2)若，且与垂直，求实数的值. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】向量模的坐标表示、利用向量垂直求参数、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）设，利用平面向量的模长公式可求得实数的值，即可得出向量的坐标； （2）求出向量、的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】（1）因为，设，其中， 则，解得， 因此，或. （2）因为，则， ， 因为，则， 解得. 20．（23-24高一下·广西贺州·阶段练习）已知向量的夹角为． (1)求； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】（1）根据定义得出数量积的值，并根据，代入即可求解； （2）将条件转化为且与不共线时，计算，解不等式即可得到结果． 【详解】（1）因为向量与的夹角为，且， 所以， 所以； （2）因为向量与的夹角为，且， 所以， 若，即，解得， 当与共线时，此时满足，解得， 此时与共线，且方向相反， 故与夹角为钝角时，且， 所以的取值范围是． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$