第02讲 平面向量的运算（加、减、数乘、数量积运算，思维导图+知识梳理+13类核心考点+过关测）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

第02讲 平面向量的运算（加、减、数乘、数量积运算） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．熟练运用掌握向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则 2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算； 3．理解和掌握向量数量积的定义与投影向量的概念与意义 知识点 1 向量的加法 （1）向量加法的定义 求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定. （2）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. （3）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 知识点2 向量的减法 （1）相反向量 与向量长度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，记作. ①零向量的相反向量仍是零向量 ②任意向量与其相反向量的和是零向量，即: ③若,互为相反向量,则，，. （2）向量减法定义 向量加上的相反向量，叫做与的差，即. 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,可以把向量的减法转化为向量的加法进行运算. （3）向量减法的几何意义 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 知识点3 向量三角不等式 ①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）； ②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）； 记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立； 知识点4 向量的数乘 （1）向量数乘的定义 一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. （2）向量数乘的几何意义 对于：①从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍． 实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义． （3）向量数乘的运算律 实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则： ①结合律： ②第一分配律： ③第二分配律： 知识点5 向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量,,以及任意实数,,,恒有. 知识点6向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． ②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量与的关系． ③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可． 知识点7向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量,,是平面上的任意一点,作,,则叫做向量与的夹角. (2)向量的夹角范围. (3)特殊情况： ①，与同向； ②，与垂直，记作； ③，与反向. 知识点8平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 特别提醒: （1）“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”； (2)数量积的结果为数量,不再是向量； (3)向量数量积的正负由两个向量的夹角决定:当是锐角时,数量积为正；当是钝角时,数量积为负；当是直角时,数量积等于零. （2）投影 如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量. 特别提醒: ①为向量在上的投影的数量； ②为向量在上的投影的数量； ③投影的数量（）是一个值，不是向量. 考点一：在图形中求向量加、减法 例1．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）如图，在中，若D是边的中点，E 是所在平面内任意一点，则= .    【变式1-1】（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在四边形中，记，试用向量，，表示向量与.    【变式1-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）在矩形中，，为等腰直角三角形，F为的中点，，，以、为基，试表示向量、、及．    考点二：利用向量加减法化简表达式 例2.（湖南省长郡十八校2024-2025学年高二上学期12月检测数学试卷（A卷））下列表达式化简结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）化简：（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二下·云南·期末）（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）化简所得的向量是（   ） A． B． C． D． 考点三：在几何图形中用已知向量表示未知向量 例3.（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，已知，，，，则用向量，表示 ．    【变式3-1】（23-24高一下·北京东城·期中）如图，在正方形中，是边的中点，设，则（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高三上·天津·阶段练习）在中，点满足，若，，用表示向量，= ．    【变式3-3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，的对角线和交于点，，，试用基表示，，． 考点四：平面向量混合运算化简 例4．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【变式4-1】（23-24高一下·天津·阶段练习）向量，化简后等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）化简下列向量： （1） ； （2） . 【变式4-3】（22-23高一下·广东汕头·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； 考点五：根据平行向量求参数 例5.（24-25高三上·浙江·期中）已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（   ） A．2 B． C． D． 【变式5-2】（2025高三·全国·专题练习）已知、不共线，向量，，且，则 . 考点六：三点共线问题 例6.（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（    ）． A．3 B． C． D．2 【变式6-1】（2024高三·全国·专题练习）已知非零向量，不共线，若，，，且A，C，D三点共线，则 ． 【变式6-2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量不共线，且．若三点共线，则实数 ． 考点七：向量共线定理及其推论 例7.（2024高三·全国·专题练习）如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ． 【变式7-1】（23-24高一下·北京·期中）在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高三上·山东青岛·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，P为线段AE上一点，且满足，则 . 【变式7-3】（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是 ． 考点八：平面向量数量积几何意义 例8.（24-25高三上·湖南·期中）已知为边长为4的正六边形ABCDEF内部及其边界上的一点，则的取值范围是 . 【变式8-1】（2024·江苏南京·二模）分别是等边的边的中点，，点在线段上的移动(含端点)，则一定不可能是（    ） A． B．2 C． D． 【变式8-2】（23-24高一下·陕西榆林·期末）已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-3】（23-24高一下·安徽安庆·阶段练习）已知两点在圆上运动，且，则的值（    ） A． B．1 C． D．与点的具体位置有关 考点九：用定义法求向量数量积 例9.（24-25高三上·北京房山·期中）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高二上·安徽宿州·期中）已知是圆O：的直径，M，N是圆O上两点，且，则的最小值为（   ） A． B．-8 C． D．-4 【变式9-2】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知为单位圆的内接正三角形，则（   ） A． B． C．1 D． 【变式9-3】（24-25高三上·上海·期中）已知向量和的夹角为，且，，则 . 考点十：向量模 例10.（24-25高三上·甘肃白银·期中）已知向量，的夹角为，，，则（    ） A．2 B． C． D．5 【变式10-1】（24-25高三上·上海·期中）已知向量，的夹角为，且，，则 . 【变式10-2】（2024·四川德阳·模拟预测）已知向量，的模分别为2，1，且，则 . 【变式10-3】（24-25高二上·湖南·期中）已知向量与的夹角为，，，则 ， 考点十一：向量夹角 例11.（24-25高三上·上海黄浦·期中）若向量，满足，且，，则向量与夹角为 . 【变式11-1】（2024高三·全国·专题练习）若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2024高三·全国·专题练习）向量，满足，，，则向量，的夹角是（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知.若，则（    ） A． B． C． D． 考点十二：向量垂直关系 例12.（24-25高二上·云南昭通·期中）已知，，. (1)求的值； (2)当为何值时，与垂直？ 【变式12-1】（2024·广东河源·模拟预测）已知，为单位向量，，，若，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（24-25高三上·陕西·期中）已知平面向量满足，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式12-3】（24-25高三上·河北保定·阶段练习）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 考点十三：向量投影 例13.（2024·贵州六盘水·模拟预测）若是两个相互垂直的单位向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25高三上·海南·阶段练习）已知向量与的夹角为，，设在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知，，与的夹角为，则向量在方向上的投影向量为（ ） A．4 B． C． D． 【变式13-3】（2024·福建·三模）已知，是两个非零平面向量，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024年安徽省普通高中学业水平合格性考试数学试卷）如图，在中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）在四边形中，，，，若，不共线，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 3．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则共线的三点为（   ） A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D 4．（2024高三·全国·专题练习）已知，是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（   ） A． B． C． D．6 5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知平面向量 满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 6．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知向量，满足， ，，则（    ） A． B． C．0 D．1 7．（24-25高三上·北京西城·期中）已知边长为2的正方形中，与交于点，则（   ） A．2 B． C．1 D． 8．（2024高三·全国·专题练习）已知和为非零向量，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·江西·期中）已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是9 10．（24-25高二上·河南许昌·开学考试）在中，下列说法正确的是（    ） A．与共线的单位向量为 B． C．若，则为钝角三角形 D．若是等边三角形，则，的夹角为 三、填空题 11．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD中，，E为边BC的中点，若，则 ． 12．（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知点C在以为直径的圆上，点D为的中点，若，，则的值为 . 四、解答题 13．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，，．设，． (1)用，表示，； (2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线． 14．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知，的夹角为，且，，设，. (1)若，求实数的取值； (2)时，求与的夹角； (3)是否存在实数，使得，若存在，求出实数. 15．（24-25高三上·上海·期中）已知，且. (1)求向量与的夹角大小； (2)求. 16．（23-24高二上·河北唐山·开学考试）已知，，． (1)求向量与的夹角； (2)当向量与的模相等时，求实数的值． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 平面向量的运算（加、减、数乘、数量积运算） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．熟练运用掌握向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则 2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算； 3．理解和掌握向量数量积的定义与投影向量的概念与意义 知识点 1 向量的加法 （1）向量加法的定义 求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定. （2）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. （3）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 知识点2 向量的减法 （1）相反向量 与向量长度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，记作. ①零向量的相反向量仍是零向量 ②任意向量与其相反向量的和是零向量，即: ③若,互为相反向量,则，，. （2）向量减法定义 向量加上的相反向量，叫做与的差，即. 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,可以把向量的减法转化为向量的加法进行运算. （3）向量减法的几何意义 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 知识点3 向量三角不等式 ①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）； ②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）； 记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立； 知识点4 向量的数乘 （1）向量数乘的定义 一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. （2）向量数乘的几何意义 对于：①从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍． 实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义． （3）向量数乘的运算律 实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则： ①结合律： ②第一分配律： ③第二分配律： 知识点5 向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量,,以及任意实数,,,恒有. 知识点6向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． ②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量与的关系． ③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可． 知识点7向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量,,是平面上的任意一点,作,,则叫做向量与的夹角. (2)向量的夹角范围. (3)特殊情况： ①，与同向； ②，与垂直，记作； ③，与反向. 知识点8平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 特别提醒: （1）“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”； (2)数量积的结果为数量,不再是向量； (3)向量数量积的正负由两个向量的夹角决定:当是锐角时,数量积为正；当是钝角时,数量积为负；当是直角时,数量积等于零. （2）投影 如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量. 特别提醒: ①为向量在上的投影的数量； ②为向量在上的投影的数量； ③投影的数量（）是一个值，不是向量. 考点一：在图形中求向量加、减法 例1．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）如图，在中，若D是边的中点，E 是所在平面内任意一点，则= .    【答案】. 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用、相等向量 【分析】 利用向量线性运算即可得到答案. 【详解】 . 因为D是边BC的中点，所以. 所以. 故答案为：. 【变式1-1】（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】利用平面向量的运算法则可得结果. 【详解】易知. 故选：B 【变式1-2】（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在四边形中，记，试用向量，，表示向量与.    【答案】，． 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据给定条件，利用向量减法求解即得. 【详解】，. 【变式1-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）在矩形中，，为等腰直角三角形，F为的中点，，，以、为基，试表示向量、、及．    【答案】，，，. 【知识点】向量减法的法则、用基底表示向量 【分析】利用向量的线性运算，结合几何图形求解即得. 【详解】依题意，，， ， . 考点二：利用向量加减法化简表达式 例2.（湖南省长郡十八校2024-2025学年高二上学期12月检测数学试卷（A卷））下列表达式化简结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】运用向量加减的运算法则逐一判断即可. 【详解】对于A，，不满足题意，故A错误； 对于B，，满足题意，故B正确； 对于C，，不满足题意，故C错误； 对于D，结果与的具体关系不确定，故D错误. 故选：B. 【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】利用向量的线性运算即可. 【详解】由． 故选：A. 【变式2-2】（23-24高二下·云南·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量加法的三角形法则可得结果. 【详解】. 故选：C. 【变式2-3】（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）化简所得的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则、向量减法法则的几何应用、向量加法法则的几何应用 【分析】由向量的加减法的几何意义可得. 【详解】. 故选：B. 考点三：在几何图形中用已知向量表示未知向量 例3.（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，已知，，，，则用向量，表示 ．    【答案】 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、用基底表示向量、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】设，利用已知把分别用和表示，然后由A，P，N三点共线和B，P，M三点共线得出的关系，求得，得出结论． 【详解】设，又，， 所以．又A，P，N三点共线，B，P，M三点共线， 所以，解得，所以． 故答案为： 【变式3-1】（23-24高一下·北京东城·期中）如图，在正方形中，是边的中点，设，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用基底表示向量、向量减法的法则 【分析】根据平面向量基本定理结合题意求解即可. 【详解】因为在正方形中，是边的中点，， 所以. 故选：D 【变式3-2】（24-25高三上·天津·阶段练习）在中，点满足，若，，用表示向量，= ．    【答案】 【知识点】用基底表示向量、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】，， 故答案为： 【变式3-3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，的对角线和交于点，，，试用基表示，，． 【答案】，，． 【知识点】向量减法的法则、用基底表示向量、向量加法的法则 【分析】根据图形及向量的线性运算可得. 【详解】，， 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以，，， 所以． 考点四：平面向量混合运算化简 例4．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】向量数乘的有关计算、平面向量的混合运算、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】（1）应用向量的线性运算计算即可； （2）应用向量的线性运算计算即可； （3）应用向量的线性运算计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【变式4-1】（23-24高一下·天津·阶段练习）向量，化简后等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】利用平面向量的加法与减法可化简所得向量式. 【详解】. 故选：D. 【变式4-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）化简下列向量： （1） ； （2） . 【答案】 【知识点】向量减法法则的几何应用、平面向量的混合运算、相反向量、向量数乘的有关计算 【分析】（1）由向量的加减法运算可得； （2）由向量的加减法运算可得. 【详解】（1）； （2） . 故答案为：；. 【变式4-3】（22-23高一下·广东汕头·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】向量数乘的有关计算、平面向量的混合运算、向量加法的运算律、向量减法的运算律 【分析】（1）直接利用向量的加减法的法则求解即可. （2）直接利用向量的加减法、数乘运算化简即可得出答案. 【详解】（1） . （2）. 考点五：根据平行向量求参数 例5.（24-25高三上·浙江·期中）已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线，得到，再结合条件，得到，即可求解. 【详解】因为，设，则， 即，解得， 故选：C. 【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】由向量共线建立等式，解得的值. 【详解】因为与共线，所以存在实数使得，， 所以，即． 因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得， 故选：C． 【变式5-2】（2025高三·全国·专题练习）已知、不共线，向量，，且，则 . 【答案】 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、利用平面向量基本定理求参数 【分析】设，其中，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解之即可. 【详解】因为，所以，使得成立，即. 因为、不共线，所以，所以，. 故答案为：. 考点六：三点共线问题 例6.（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（    ）． A．3 B． C． D．2 【答案】D 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量基本定理的应用 【分析】由由A，B，D三点共线，得存在实数，使，再用表示后，由向量相等可得． 【详解】由已知，由A，B，D三点共线， 故存在实数，使，即， 即，解得． 故选：D． 【变式6-1】（2024高三·全国·专题练习）已知非零向量，不共线，若，，，且A，C，D三点共线，则 ． 【答案】 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据三点共线，则对应向量共线，则存在非零实数x，使得，即可求得参数. 【详解】因为A，C，D三点共线，故可得， 则存在非零实数x，使得． 又，， 故可得．又非零向量，不共线， 故可得，，解得，． 故答案为：. 【变式6-2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量不共线，且．若三点共线，则实数 ． 【答案】1 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据三点共线可设，即可得到关于的方程组，求解即可． 【详解】依题意，， 故， 因为三点共线，可设， 则， 所以，解得， 故． 故答案为：1 考点七：向量共线定理及其推论 例7.（2024高三·全国·专题练习）如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ． 【答案】/ 【知识点】用基底表示向量、平面向量共线定理的推论 【分析】由题可用表示，后由B，P，N三点共线可得答案. 【详解】． 因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以． 又B，P，N三点共线，所以，． 故答案为： 【变式7-1】（23-24高一下·北京·期中）在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论 【分析】依题意可得，根据平面向量三点共线定理计算可得. 【详解】，所以，则有， 又是直线上的一点，所以，解得. 故选：B. 【变式7-2】（24-25高三上·山东青岛·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，P为线段AE上一点，且满足，则 . 【答案】 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、平面向量共线定理的推论 【分析】根据向量的线性运算，结合三点共线的性质即可求解. 【详解】, 由于三点共线，故，解得， 故答案为： 【变式7-3】（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是 ． 【答案】/ 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论 【分析】如图，延长交于点，设，则，根据平面向量共线定理得推理求出，从而可确定的位置，即可得出答案. 【详解】如图，延长交于点，设，则， 因为共线，所以，解得， 所以，， 则， 由 得，即， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 考点八：平面向量数量积几何意义 例8.（24-25高三上·湖南·期中）已知为边长为4的正六边形ABCDEF内部及其边界上的一点，则的取值范围是 . 【答案】[-8，24] 【知识点】向量与几何最值、求投影向量、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】利用向量数量积的几何意义，等于动向量在方向上的投影长度与的模之积，这里的投影长度是有正负的，规定投影长度与方向相同的为正数，与方向相反的为负数，然后找到端点位置去计算取值范围. 【详解】 由题意可得的模为4， 根据正六边形的特征及投影的定义可以得到在方向上的投影长度的取值范围是， 由数量积定义可知等于的模与在方向上的投影长度的乘积， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【变式8-1】（2024·江苏南京·二模）分别是等边的边的中点，，点在线段上的移动(含端点)，则一定不可能是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量数量积的几何意义 【分析】利用平面向量数量积的几何意义计算即可. 【详解】由题意，， 易知为的中位线，且，所以的边长为2， 结合投影可知，，故. 故选:D. 【变式8-2】（23-24高一下·陕西榆林·期末）已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】平面向量数量积的几何意义 【分析】根据题意结合数量积的几何意义运算求解. 【详解】因为点，分别为，的中点， 则，且在方向上的投影数量为2， 所以. 故选：B. 【变式8-3】（23-24高一下·安徽安庆·阶段练习）已知两点在圆上运动，且，则的值（    ） A． B．1 C． D．与点的具体位置有关 【答案】B 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】作，根据题意利用数量积的定义求解即可. 【详解】如图，    连接，过点作交于点，则是的中点， 故. 故选：B 考点九：用定义法求向量数量积 例9.（24-25高三上·北京房山·期中）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】由图形可求得，由向量数量积定义可求得结果. 【详解】由图形可知：，，， . 故选：A. 【变式9-1】（24-25高二上·安徽宿州·期中）已知是圆O：的直径，M，N是圆O上两点，且，则的最小值为（   ） A． B．-8 C． D．-4 【答案】B 【知识点】圆的弦长与中点弦、用定义求向量的数量积 【分析】取弦MN的中点C，结合垂径定理与数量积的运算表示出后，借助三角函数值域即可得解. 【详解】设弦MN的中点为，由，得， 因为为MN的中点，，设向量与的夹角为，，又， 的最小值为， 故选：B. 【变式9-2】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知为单位圆的内接正三角形，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】先根据内接正各边以及与单位圆半径的关系，求出各边长度，再根据的模长与夹角代入平面向量数量积公式求解答案. 【详解】如图所示:    因为单位圆半径为1，为单位圆的内接正三角形， 可得，又也是正的中心，延长交于， 可得，，， 设的边长为，则由勾股定理得， 即，解得. 所以，.又因为的夹角为的补角， ，所以的夹角为， 所以. 故选：A. 【变式9-3】（24-25高三上·上海·期中）已知向量和的夹角为，且，，则 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】根据向量数量积定义和运算律即可得到答案. 【详解】， 则. 故答案为：. 考点十：向量模 例10.（24-25高三上·甘肃白银·期中）已知向量，的夹角为，，，则（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】利用向量的模的计算公式计算可得结论. 【详解】. 故选：C. 【变式10-1】（24-25高三上·上海·期中）已知向量，的夹角为，且，，则 . 【答案】 【知识点】已知数量积求模 【分析】由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为向量，的夹角为，且，， 则 . 故答案为： 【变式10-2】（2024·四川德阳·模拟预测）已知向量，的模分别为2，1，且，则 . 【答案】 【知识点】已知数量积求模 【分析】由已知可得，利用可求值. 【详解】由，得，所以，所以， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 【变式10-3】（24-25高二上·湖南·期中）已知向量与的夹角为，，，则 ， 【答案】 2 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模 【分析】根据向量数量积公式可求得，由可求得. 【详解】由题意得， 因为，所以. 故答案为：； 考点十一：向量夹角 例11.（24-25高三上·上海黄浦·期中）若向量，满足，且，，则向量与夹角为 . 【答案】/ 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】由已知求得，然后利用数量积求夹角公式得答案. 【详解】，， ，即. 设向量与的夹角为， 则，又 则向量与夹角为. 故答案为：. 【变式11-1】（2024高三·全国·专题练习）若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的计算 【分析】由条件等式得到，由向量夹角的计算公式和等式化简得到，从而得到向量之间的夹角. 【详解】由条件可知，两边平方后得， 并且，. 因为向量夹角的范围是，所以向量与的夹角为. 故选：A. 【变式11-2】（2024高三·全国·专题练习）向量，满足，，，则向量，的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】根据平面向量数量积的定义和数量积的运算律求解即可. 【详解】由两边平方得，即， 所以，又，所以. 故选：A 【变式11-3】（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】根据向量垂直可得，代入向量夹角公式即可得结果. 【详解】因为，且， 则，可得， 所以. 故选：A. 考点十二：向量垂直关系 例12.（24-25高二上·云南昭通·期中）已知，，. (1)求的值； (2)当为何值时，与垂直？ 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】（1）结合条件，按照数量积的运算律计算可得结果； （2）利用第（1）问的结论，根据向量垂直的数量积关系计算可求出的值. 【详解】（1）因为，，， 所以，则. （2）若与垂直，则， 从而，解得：. 【变式12-1】（2024·广东河源·模拟预测）已知，为单位向量，，，若，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】由向量垂直则数量积为0，建立等式，求得的值，从而得到向量间的夹角. 【详解】由得， 所以，即，所以与的夹角为， 故选：A． 【变式12-2】（24-25高三上·陕西·期中）已知平面向量满足，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】先求出，再求后可求. 【详解】因为，故，故， 故，故， 故选：B. 【变式12-3】（24-25高三上·河北保定·阶段练习）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】垂直关系的向量表示、已知模求数量积 【分析】根据向量模的运算、向量垂直的表示等知识列方程，从而求得. 【详解】由两边平方得，， 由于，所以， 所以. 故选：D 考点十三：向量投影 例13.（2024·贵州六盘水·模拟预测）若是两个相互垂直的单位向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求投影向量、数量积的运算律 【分析】借助投影向量公式结合数量积公式与模长公式计算即可得. 【详解】 ， 即在上的投影向量为. 故选：C. 【变式13-1】（24-25高三上·海南·阶段练习）已知向量与的夹角为，，设在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求投影向量 【分析】利用投影向量的定义，结合向量数量积的运算律即可求解. 【详解】在上的投影向量为， 即， 则有， 又向量与的夹角为，， 所以. 故选：C. 【变式13-2】（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知，，与的夹角为，则向量在方向上的投影向量为（ ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求投影向量、用定义求向量的数量积 【分析】根据给定条件，利用投影向量的公式求解即得. 【详解】，，与的夹角为， 所以向量在方向上的投影向量为. 故选：D. 【变式13-3】（2024·福建·三模）已知，是两个非零平面向量，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求投影向量 【分析】由向量垂直关系得，再由投影向量公式求解. 【详解】由于， 则，即， 可得， 则在方向上的投影向量为. 故选：C 一、单选题 1．（2024年安徽省普通高中学业水平合格性考试数学试卷）如图，在中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量减法的法则、平面向量的混合运算、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据题意，由向量的线性运算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以， 即得. 故选：B. 2．（2024高三·全国·专题练习）在四边形中，，，，若，不共线，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【答案】C 【知识点】平行向量（共线向量）、向量加法法则的几何应用 【分析】先根据向量的加法得出，根据一组对边平行且不等得出四边形为梯形. 【详解】由已知得，， 故，且，所以四边形是梯形． 故选：C. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则共线的三点为（   ） A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D 【答案】D 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】A选项，设，则，无解，不满足共线定理，A错误；BC选项，方法同A，得到BC错误；D选项，计算出，D正确. 【详解】A选项，，， 令，则，无解，不满足共线定理，A错误； B选项，，， 令，则，无解，不满足共线定理，B错误； C选项，， ， 令，则，无解， ，不满足共线定理，C错误； D选项，，故三点共线，D正确． 故选：D 4．（2024高三·全国·专题练习）已知，是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量基本定理的应用 【分析】利用共线向量定理列式计算即得. 【详解】由A，B，C三点共线，得，共线， 设，而，， 则，又，是平面内两个不共线向量，因此，， 所以. 故选：C 5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知平面向量 满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】根据可得，利用可得结果. 【详解】∵，∴， ∴. ∵，∴，即， ∴，故. 故选：D. 6．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知向量，满足， ，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【知识点】已知模求数量积 【分析】将平方结合，求得. 【详解】∵， ∴，即 ∴. 故选：D. 7．（24-25高三上·北京西城·期中）已知边长为2的正方形中，与交于点，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律 【分析】找基底分别表示，然后计算即可. 【详解】由题可知，,, 所以 故选：A 8．（2024高三·全国·专题练习）已知和为非零向量，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】利用平面向量数量积的运算性质计算出的值，即可得出结论. 【详解】因为，则， 即，解得， 又因为、均为非零向量，故，即与的夹角为． 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高三上·江西·期中）已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是9 【答案】ACD 【知识点】基本不等式求积的最大值、平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由平面向量的基本定理及共线的推论得，再应用基本不等式、二次函数性质判断各项正误. 【详解】 因为，则，又，，共线，所以，A正确； 由，则，则，当且仅当时取等号，B错误； 由，当时有最小值，C正确； 因为， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD 10．（24-25高二上·河南许昌·开学考试）在中，下列说法正确的是（    ） A．与共线的单位向量为 B． C．若，则为钝角三角形 D．若是等边三角形，则，的夹角为 【答案】AC 【知识点】向量夹角的计算、用定义求向量的数量积、向量减法的法则、零向量与单位向量 【分析】根据单位向量判断A；由向量的减法判断B；由向量的夹角，数量积的定义判断C，D即可. 【详解】对于A，与共线的单位向量为，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，所以且，所以为钝角，所以C正确； 对于D，若是等边三角形，则，的夹角为，故D错误. 故选：AC 三、填空题 11．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD中，，E为边BC的中点，若，则 ． 【答案】 【知识点】向量加法的法则、用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】首先连接，再利用向量加法的几何意义求解即可. 【详解】连接，如图所示： 所以，则. 故答案为： 12．（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知点C在以为直径的圆上，点D为的中点，若，，则的值为 . 【答案】 【知识点】向量的线性运算的几何应用、数量积的运算律 【分析】利用数量积的运算律及向量间的线性关系得，结合已知求值即可. 【详解】由， 由题意且，则.    故答案为： 四、解答题 13．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，，．设，． (1)用，表示，； (2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】（1）利用平面向量线性运算法则，计算出，进而得到； （2）计算出，结合（1）可得，证明出结论. 【详解】（1）由题可知， ， （2） ，且有公共点M ，，三点共线. 14．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知，的夹角为，且，，设，. (1)若，求实数的取值； (2)时，求与的夹角； (3)是否存在实数，使得，若存在，求出实数. 【答案】(1)； (2)； (3)存在， 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】（1）由列式求得值； （2）分别求出、、的值，代入夹角公式求解即可； （3）利用共线向量定理列式求解即可. 【详解】（1）解：，的夹角为，且，， . 由，得 ，解得； （2）解：由（1）可知且，， 当时，， ， . 所以. 所以与的夹角为； （3）解：由，得， 即，解得 所以存在实数，使得. 15．（24-25高三上·上海·期中）已知，且. (1)求向量与的夹角大小； (2)求. 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】（1）由向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果； （2）由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由可得， 即， 所以，解得， 且，所以. （2） . 16．（23-24高二上·河北唐山·开学考试）已知，，． (1)求向量与的夹角； (2)当向量与的模相等时，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】向量夹角的计算、已知模求数量积、已知模求参数 【分析】（1）利用数量积的性质及运算律求出，再利用夹角公式计算作答； （2）利用向量的模相等，两边同时平方，由数量积的运算律求解的值. 【详解】（1）因，，， 则有，解得， 因此，而，于是得， 所以向量与的夹角. （2）由，则， 即，得，解得或. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$