第01讲 平面向量的概念（思维导图+知识梳理+5类核心考点+过关测）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

第01讲 平面向量的概念 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.通过阅读课本，查阅资料，并能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别与联系； 2.认真阅读课本，在读书过程中学会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别； 3.在认真学习的基础上，理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．学会向量的表示方法； 知识点 1 向量的概念 （1）向量 在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量. ①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移. ②向量与向量之间不能比较大小. （2）数量 只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积体积、质量等 （3）向量与数量的区别 ①向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向；数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小 ②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出来的,但在这里我们仅考虑它的大小及方向；而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性(如“力”就是由大小方向、作用点所决定的). 知识点2 (1)有向线段 具有方向的线段叫做有向线段 ①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以为起点、为终点的有向线段记作(如图所示),线段的长度也叫做有向线段的长度,记作. 表示有向线段时,起点一定要写在终点的前面,上面标上箭头. ②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了. （2）向量的表示 ①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. ②字母表示:向量可以用字母,,,…表示 （3）向量的模 向量的大小称为向量的长度(或称模),记作. （4）两种特殊的向量 零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作. 单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量 ①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合. ②要注意0与的区别与联系:0是一个实数,是一个向量,且有；书写时表示零向量,一定不能漏掉0上的箭头. ③单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同. ④在平面内,将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1的圆. 知识点3 相等向量与共线向量 (1)平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. (2)相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 向量与相等,记作.两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方向和模确定,故任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关. （3）共线向量 任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线. 共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量. 考点一：向量的有关概念 例1．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）给出下列物理量： ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间.其中不是向量的有（    ） A．①⑥ B．⑦⑧⑨ C．①⑧⑨ D．①⑥⑦⑧⑨ 【答案】D 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的定义可得正确的选项. 【详解】速度、位移、力、加速度既有大小，又有方向，故它们为向量， 余下皆不为向量， 故选：D. 【变式1-1】（23-24高一下·黑龙江绥化·阶段练习）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的 【答案】B 【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、向量的模 【分析】根据向量的相关概念直接判断即可. 【详解】向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，A错误，B正确； 速度和位移都有方向和大小，是向量，C错误； 零向量方向任意，D错误. 故选：B 【变式1-2】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（    ） A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 【答案】AC 【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、相等向量 【分析】根据向量的有关定义即可判断选项正误. 【详解】A．由向量的定义知，加速度是向量，故正确； B．两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误； C．由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故正确； D．向量可以用有向线段表示，但两者不同，故错误． 故选：AC． 【变式1-3】（23-24高一·全国·课堂例题）已知O为正六边形ABCDEF的中心，在下图所标出的向量中：    (1)找出与相等的向量； (2)找出几组相反向量． 【答案】(1) (2)与，与，与 【知识点】相等向量、相反向量 【分析】（1）根据相等向量定义判断选择即可； （2）根据相反向量定义判断选择即可. 【详解】（1）与方向相同且长度相等，故． （2）与，与，与方向相反且长度相等分别互为相反向量． 考点二：向量的表示 例2.（23-24高一·全国·随堂练习）画图表示小船的下列位移（用的比例尺）： (1)由A地向东北方向航行15km到达B地； (2)由A地向北偏西30°方向航行20km到达C地； (3)由C地向正南方向航行20km到达D地． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 (3)答案见详解 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】先画出以点A为顶点，北偏东45°的角，并取出相应的长度确定B点； 接下来再以点A为顶点画出北偏西30°的角，并取出相应的长度确定C点，再以点C为顶点正南方向，并取出相应的长度确定D点即可. 【详解】（1）根据的比例尺，即图上，作图如下，    （2）根据的比例尺，即图上，作图如下，    （3）根据的比例尺，即图上，作图如下，    【变式2-1】（23-24高一·上海·课堂例题）在平面直角坐标系中，作出表示下列向量的有向线段： (1)向量的起点在坐标原点，与x轴正方向的夹角为120°且； (2)向量的模为4，方向与y轴的正方向反向； (3)向量的方向与y轴的正方向同向，模为2． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】（1）由向量的相关定义作图即可； （2）由向量的相关定义作图即可； （3）由向量的相关定义作图即可. 【详解】（1） 由题意，故即为所求，其中； （2） 由题意，故即为所求，其中； （3） 由题意，故即为所求，其中. 【变式2-2】（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)． 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模 【分析】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【详解】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． 【变式2-3】（23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)3 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模 【分析】（1）根据向量的大小和方向，作向量， （2）根据向量的大小和方向，作向量， （3）根据向量的模的定义求. 【详解】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下：    （2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下：    （3）   . 考点三：向量的模 例3.（23-24高二下·全国·课后作业）如图所示，以长方体的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)试写出与模长相等的所有向量； (2)若，求向量的模． 【答案】(1) (2)3 【知识点】相等向量、向量的模 【分析】（1）根据向量模长相等判断求解； （2）应用立体图形结合定义求出模长. 【详解】（1）在长方体中，与相等的所有向量（除本身外）有，共3个. （2）在长方体中，连接，如图， ， 所以向量的模. 【变式3-1】（23-24高一下·北京·期中）已知向量共线，且，则 ． 【答案】或 【知识点】向量数乘的有关计算、平行向量（共线向量）、向量的模 【分析】借助向量共线，分向量同向与反向计算即可得. 【详解】由向量共线，故向量可能同向、可能反向， 当向量同向时，由，则， 当向量反向时，由，则. 即可能为或. 故答案为：或. 【变式3-2】（24-25高一上·上海·课后作业）（1）如图，在的矩形中，起点和终点都在小方格顶点且模与相等的向量共有多少个？（除外） （2）如果扩展到的矩形呢？（除外） 【答案】（1）个；（2）个 【知识点】向量的模 【分析】数出与所占同样大小的矩形个数，再根据向量和向量模的定义求解即可. 【详解】（1）每个的矩形中有个符合要求的向量，这样的矩形共有个，则共有个向量的模与相等，但本身除外，故共有39个； （2）每个的矩形中有个符合要求的向量，这样的矩形共有个，则共有个向量的模与相等，但本身除外，故共有39个. 【变式3-3】（23-24高一下·福建泉州·期中）已知边长为3的等边三角形，求边上的中线向量的模. 【答案】/ 【知识点】向量的模 【详解】根据正三角形的性质，求得边上的中线长，即可求解. 【解答】如图所示，因为是正三角形，所以边上的中线向量的模就是三角形的高， 即：，所以边上的中线向量的模为. 考点四：零向量与单位向量 例4.（多选）（23-24高一下·吉林四平·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线 C．单位向量是模为的向量 D．方向相反的两个非零向量必不相等 【答案】ACD 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、零向量与单位向量 【分析】根据零向量的定义与性质，判断出A项的正误；根据共线向量与相等向量的定义，判断出B、D两项的正误；根据单位向量的定义，判断出C项的正误． 【详解】解：对于A，零向量的方向是任意的，零向量与任一向量平行，故A项正确； 对于B，根据共线向量的定义，可知方向相反的两个非零向量一定共线，故B项错误； 对于C，根据单位向量的定义，可知C项正确； 对于D，方向相同且模相等的两个向量相等，因此方向相反的两个非零向量一定不相等，D项正确． 故选：ACD． 【变式4-1】（2024高三·北京·专题练习）给出下列命题：①任一非零向量都可以平行移动，零向量的长度为零，方向是任意的；②若，都是单位向量，则；③向量与相等.其中正确命题的序号为（    ） A．① B．③ C．①③ D．①② 【答案】A 【知识点】零向量与单位向量、平行向量（共线向量）、相等向量 【分析】由向量的有关概念逐项判断即可. 【详解】因为同方向且模相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动， 且零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确； 根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同， 故两个单位向量不一定相等，故②错误； 向量与互为相反向量，故③错误. 故选：A. 【变式4-2】（23-24高一下·湖北·期中）下列结论错误的是（    ） A．零向量与任一向量共线 B．零向量与任一向量的数量积为0 C．方向相反的两个向量是相反向量 D．模长等于1个单位长度的向量称为单位向量 【答案】C 【知识点】向量的模、数量积的运算律、零向量与单位向量、相反向量 【分析】根据零向量的概念、向量的数量积、相反向量的概念和单位向量的概念依次判断选项即可. 【详解】A：零向量与任意向量共线，故A正确； B：零向量与任意向量的数量积都等于0，故B正确； C：相反向量的概念是方向相反且长度相等的两个向量，故C错误； D：单位向量的概念是模为1个单位长度的向量，故D正确. 故选：C 【变式4-3】（多选）（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）设，则与其平行的单位向量有（         ）. A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】平行向量（共线向量）、零向量与单位向量 【分析】 由向量平行的定义以及单位向量的定义直接判断即可． 【详解】解：显然ABCD四个选项都与向量平行， 为单位向量，且与向量平行，故A正确； 模长也为1，且与向量平行，故B正确； CD选项与向量平行，但模长不一定为1，故CD不正确. 故选：AB 考点五：相等向量 例5.（2024高三·全国·专题练习）如图，在正中，，，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相等向量 【分析】由相等向量的定义求解即可. 【详解】∵，，与方向不同， ∴，，与均不相等； ∵与方向相同，长度相等，∴＝. 故选：D. 【变式5-1】（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A． B．、是单位向量，则 C．两个相同的向量的模相等 D．单位向量均相等 【答案】D 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、向量的模 【分析】根据相等向量、单位向量的定义判断即可. 【详解】对于A：因为，又互为相反向量的两个向量的模相等，所以，故A正确； 对于B：因为、是单位向量，所以，故B正确； 对于C：两个相同的向量的模相等，故C正确； 对于D：单位向量的模相等均为，由于无法确定方向是否相同，故单位向量不一定相等，故D错误. 故选：D 【变式5-2】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在菱形中，，则以下说法正确的是（    ）    A．与相等的向量只有1个（不含） B．与的模相等的向量有9个（不含） C．的模恰为的模的倍 D．与不相等 【答案】ABC 【知识点】相等向量、向量的模 【分析】根据相等向量以及模长定义，结合结合图形求解ABD，根据菱形的性质即可求解C. 【详解】由于，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，故A，B正确； 而在中，，，故，故C正确； 由于，因此与是相等的，故D错误． 故选：ABC 【变式5-3】（23-24高一下·安徽六安·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 【答案】(1) (2) 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】（1）根据相等向量的定义写出即可； （2）根据共线向量的定义直接写出. 【详解】（1）由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知， 与的长度相等且方向相同，所以与相等的向量为. （2）由题干图可知，与方向相同，与方向相反， 所以与共线的向量有. 考点六：共线向量 例5.（2024高三·全国·专题练习）在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【答案】B 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即可. 【详解】由题意可知，与不共线，A错； 因为、分别是、的中点，所以，，故与共线，B对； 因为与不平行，所以与不相等，C错； 因为，D错． 故选：B. 【变式6-1】（23-24高一下·黑龙江大庆·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】平行向量（共线向量） 【分析】根据向量的概念逐一判断. 【详解】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误； 对于B：向量不能比较大小，B错误； 对于C：若，则方向相同，C正确； 对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误. 故选：C. 【变式6-2】（多选）（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）关于非零向量，，下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】BC 【知识点】向量的模、平行向量（共线向量）、平面向量的概念与表示、相等向量 【分析】根据向量的模、向量共线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，向量的模相等，可能方向不相等，所以A选项错误. B选项，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B选项正确. C选项，非零向量，，若，，则成立，所以C选项正确. D选项，向量不能比较大小，所以D选项错误. 故选：BC. 一、单选题 1．（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）下列量中是向量的为（    ） A．功 B．距离 C．拉力 D．质量 【答案】C 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的定义即可判断. 【详解】功，距离，质量只有大小没有方向,不是向量；拉力既有大小又有方向，是向量. 故选：C. 2．（2024高三·全国·专题练习）下面命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】向量的模、平行向量（共线向量）、平面向量的概念与表示、零向量与单位向量 【分析】根据向量的概念逐一判断 【详解】对于，若，但两向量方向不确定，则不成立，故选项错误； 对于，向量无法比较大小，故选项错误； 对于，若，则两向量反向，因此，故选项正确； 对于，若，则，故选项错误. 故选：C 3．（24-25高二下·全国·课后作业）给出下列命题： ①若空间向量满足，则； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则． 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】空间向量的有关概念、相等向量 【分析】根据相等向量的定义易判断①为假命题；对于②借助于正方体图形推理易得；对于③由空间向量的相等定义易得. 【详解】对于①，向量相等即模相等和方向相同，故①为假命题； 对于②，如图正方体中，且则得, 故有，,且方向一致，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义可知成立，故③为真命题． 故选：B． 4．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知四边形中，，并且，则四边形是（    ） A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形 【答案】A 【知识点】相等向量 【分析】由，得到四边形为平行四边形，再由，得到，得出四边形为菱形. 【详解】由题意，四边形中， 因为，可得且，所以四边形为平行四边形， 又因为，可得， 所以四边形为菱形. 故选：A. 5．（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】空间向量的有关概念、零向量与单位向量、判断命题的真假 【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可. 【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题； 对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题. 故选：B 6．（24-25高二上·全国·课后作业）下述四个结论中，所有正确结论的编号是（    ） ①零向量没有方向；②向量的线性运算结果可以是实数； ③相等向量的方向相同；④与向量方向相反的向量，叫做的相反向量． A．①② B．②③ C．③ D．③④ 【答案】C 【知识点】零向量与单位向量、向量的线性运算的几何应用、相等向量 【分析】运用向量有关概念逐项判断即可. 【详解】零向量长度为0，有方向，①错误； ②向量的线性运算结果仍然是向量，②错误； 相等向量的方向相同，模相等，③正确； ④与向量长度相等，方向相反的向量，叫做向量的相反向量，④错误． 故选：C. 7．（23-24高一下·福建福州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若两个非零向量共线，则必在同一直线上 B．若与共线，与共线，则与也共线 C．若则 D．若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是或 【答案】D 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量 【分析】根据共线向量的概念即可判断A,B,D;根据相等向量的概念可以判断C. 【详解】方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，因此D正确； 若非零向量是共线向量，则未必在同一直线上，A错； 若，则与共线，与共线，但是与未必共线，B错； 由可以得到的大小相等，但方向不一定相同，C错. 故选：D. 8．（23-24高一下·吉林·期末）下列说法正确的是（    ） A．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； B．若，则与的长度相等且方向相同或相反； C．若，且与的方向相同，则 D．若，则与方向相同或相反 【答案】C 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量、向量的模 【分析】考虑向量的起点位置可判断A；利用向量相等的定义可判断BC；考虑特殊向量可判断D. 【详解】对于A，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故A错误： 对于B，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故B错误； 对于C，因为，且与同向，由两向量相等的条件，可得，故C正确； 对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误. 故选：C． 二、多选题 9．（24-25高二上·云南昭通·期中）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 【答案】BCD 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、向量的模 【分析】根据题意结合向量的相关概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误； 对于选项B：因为，则， 所以的模恰为模的倍，故B正确； 对于选项C：根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等， 故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确； 对于选项D：与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确； 故选：BCD. 10．（24-25高一下·全国·课堂例题）（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．若与同向，且，则 B．若，则与的长度相等且方向相同或相反 C．对于任意，且与的方向相同，则 D．所有的零向量都相等 【答案】CD 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、向量的模 【分析】根据向量的概念判断A；根据向量模的概念判断B；根据向量相等的概念判断C；根据向量相等的概念判断D. 【详解】A不正确，因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小； B不正确，由只能判断两向量长度相等，并不能判断方向； C正确，，且与同向，由两向量相等的条件可得； D正确，符合相等向量的定义. 故选：CD. 三、填空题 11．（24-25高二上·全国·课后作业）给出下列命题： ①是向量的必要不充分条件； ②向量，相等的充要条件是； ③若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件. 其中正确的是 .（填序号） 【答案】①③ 【知识点】相等向量、判断命题的必要不充分条件、充要条件的证明 【分析】对每个命题分别判断即可得到答案. 【详解】对于①，由，而显然. 从而是向量的必要不充分条件，故①正确. 对于②，向量，不相等，但满足且，故②错误. 对于③，因为，则且， 又不共线，所以四边形是平行四边形. 反之，在平行四边形中，由于平行四边形对边平行且长度相等，故有. 所以是四边形为平行四边形的充要条件，故③正确. 故答案为：①③. 12．（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和四边形AOBE均为平行四边形，    则：（1）与向量相等的向量有 ； （2）与向量相反的向量有 ； （3）与向量的模相等的向量有 .（填图中所画出的向量） 【答案】 ， ，，，， 【知识点】相反向量、相等向量、向量的模 【分析】根据已知，结合图象以及向量的概念，即可得出答案. 【详解】因为O是正三角形ABC的中心，所以. 因为四边形AOCD为平行四边形，所以，且. 根据图象可知，与向量相等的向量有； 由已知可得，，且，且. 所以，与向量相反的向量有，； 因为，， 所以与向量的模相等的向量有，，，，. 故答案为：；，；，，，，. 四、解答题 13．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在中，点D、E、F分别是、、的中点，根据下列条件，写出相应的向量： (1)与向量相等的向量； (2)向量的负向量； (3)与向量平行的向量． 【答案】(1)， (2)，， (3)，，，，，， 【知识点】相反向量、平行向量（共线向量）、相等向量 【分析】（1）利用向量相等概念求解； （2）向量的相反向量的概念求解； （3）向量共线的定义求解． 【详解】（1）与向量相等的向量：，； （2）向量的负向量：，，； （3）与向量平行的向量：，，，，，，. 14．（24-25高一下·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3)图象见解析， 【知识点】向量的模、平面向量的概念与表示 【分析】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【详解】（1）因为，点A在点O的正西方向，故向量如图所示． （2）因为，点B在点O的北偏西方向，故向量如图所示． （3）向量如图所示，． 15．（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且，，在每两点所确定的向量中． (1)与的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与共线的向量有哪些？ 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析 ． 【知识点】相反向量、平行向量（共线向量） 【分析】 （1）由相反向量的概念即可求解； （2）由共线向量的概念即可求解. 【详解】（1） 与的长度相等、方向相反的向量有，，，． （2） 与共线的向量有，，，，，，，，． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平面向量的概念 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.通过阅读课本，查阅资料，并能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别与联系； 2.认真阅读课本，在读书过程中学会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别； 3.在认真学习的基础上，理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．学会向量的表示方法； 知识点 1 向量的概念 （1）向量 在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量. ①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移. ②向量与向量之间不能比较大小. （2）数量 只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积体积、质量等 （3）向量与数量的区别 ①向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向；数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小 ②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出来的,但在这里我们仅考虑它的大小及方向；而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性(如“力”就是由大小方向、作用点所决定的). 知识点2 (1)有向线段 具有方向的线段叫做有向线段 ①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以为起点、为终点的有向线段记作(如图所示),线段的长度也叫做有向线段的长度,记作. 表示有向线段时,起点一定要写在终点的前面,上面标上箭头. ②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了. （2）向量的表示 ①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. ②字母表示:向量可以用字母,,,…表示 （3）向量的模 向量的大小称为向量的长度(或称模),记作. （4）两种特殊的向量 零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作. 单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量 ①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合. ②要注意0与的区别与联系:0是一个实数,是一个向量,且有；书写时表示零向量,一定不能漏掉0上的箭头. ③单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同. ④在平面内,将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1的圆. 知识点3 相等向量与共线向量 (1)平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. (2)相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 向量与相等,记作.两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方向和模确定,故任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关. （3）共线向量 任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线. 共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量. 考点一：向量的有关概念 例1．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）给出下列物理量： ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间.其中不是向量的有（    ） A．①⑥ B．⑦⑧⑨ C．①⑧⑨ D．①⑥⑦⑧⑨ 【变式1-1】（23-24高一下·黑龙江绥化·阶段练习）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的 【变式1-2】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（    ） A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 【变式1-3】（23-24高一·全国·课堂例题）已知O为正六边形ABCDEF的中心，在下图所标出的向量中：    (1)找出与相等的向量； (2)找出几组相反向量． 考点二：向量的表示 例2.（23-24高一·全国·随堂练习）画图表示小船的下列位移（用的比例尺）： (1)由A地向东北方向航行15km到达B地； (2)由A地向北偏西30°方向航行20km到达C地； (3)由C地向正南方向航行20km到达D地． 【变式2-1】（23-24高一·上海·课堂例题）在平面直角坐标系中，作出表示下列向量的有向线段： (1)向量的起点在坐标原点，与x轴正方向的夹角为120°且； (2)向量的模为4，方向与y轴的正方向反向； (3)向量的方向与y轴的正方向同向，模为2． 【变式2-2】（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【变式2-3】（23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． . 考点三：向量的模 例3.（23-24高二下·全国·课后作业）如图所示，以长方体的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)试写出与模长相等的所有向量； (2)若，求向量的模． 【变式3-1】（23-24高一下·北京·期中）已知向量共线，且，则 ． 【变式3-2】（24-25高一上·上海·课后作业）（1）如图，在的矩形中，起点和终点都在小方格顶点且模与相等的向量共有多少个？（除外） （2）如果扩展到的矩形呢？（除外） 【变式3-3】（23-24高一下·福建泉州·期中）已知边长为3的等边三角形，求边上的中线向量的模. 考点四：零向量与单位向量 例4.（多选）（23-24高一下·吉林四平·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线 C．单位向量是模为的向量 D．方向相反的两个非零向量必不相等 【变式4-1】（2024高三·北京·专题练习）给出下列命题：①任一非零向量都可以平行移动，零向量的长度为零，方向是任意的；②若，都是单位向量，则；③向量与相等.其中正确命题的序号为（    ） A．① B．③ C．①③ D．①② 【变式4-2】（23-24高一下·湖北·期中）下列结论错误的是（    ） A．零向量与任一向量共线 B．零向量与任一向量的数量积为0 C．方向相反的两个向量是相反向量 D．模长等于1个单位长度的向量称为单位向量 【变式4-3】（多选）（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）设，则与其平行的单位向量有（         ）. A． B． C． D． 考点五：相等向量 例5.（2024高三·全国·专题练习）如图，在正中，，，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A． B．、是单位向量，则 C．两个相同的向量的模相等 D．单位向量均相等 【变式5-2】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在菱形中，，则以下说法正确的是（    ）    A．与相等的向量只有1个（不含） B．与的模相等的向量有9个（不含） C．的模恰为的模的倍 D．与不相等 【变式5-3】（23-24高一下·安徽六安·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 考点六：共线向量 例5.（2024高三·全国·专题练习）在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【变式6-1】（23-24高一下·黑龙江大庆·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式6-2】（多选）（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）关于非零向量，，下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 一、单选题 1．（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）下列量中是向量的为（    ） A．功 B．距离 C．拉力 D．质量 2．（2024高三·全国·专题练习）下面命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高二下·全国·课后作业）给出下列命题： ①若空间向量满足，则； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则． 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知四边形中，，并且，则四边形是（    ） A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形 5．（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高二上·全国·课后作业）下述四个结论中，所有正确结论的编号是（    ） ①零向量没有方向；②向量的线性运算结果可以是实数； ③相等向量的方向相同；④与向量方向相反的向量，叫做的相反向量． A．①② B．②③ C．③ D．③④ 7．（23-24高一下·福建福州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若两个非零向量共线，则必在同一直线上 B．若与共线，与共线，则与也共线 C．若则 D．若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是或 8．（23-24高一下·吉林·期末）下列说法正确的是（    ） A．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； B．若，则与的长度相等且方向相同或相反； C．若，且与的方向相同，则 D．若，则与方向相同或相反 二、多选题 9．（24-25高二上·云南昭通·期中）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 10．（24-25高一下·全国·课堂例题）（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．若与同向，且，则 B．若，则与的长度相等且方向相同或相反 C．对于任意，且与的方向相同，则 D．所有的零向量都相等 三、填空题 11．（24-25高二上·全国·课后作业）给出下列命题： ①是向量的必要不充分条件； ②向量，相等的充要条件是； ③若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件. 其中正确的是 .（填序号） 12．（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和四边形AOBE均为平行四边形，    则：（1）与向量相等的向量有 ； （2）与向量相反的向量有 ； （3）与向量的模相等的向量有 .（填图中所画出的向量） 四、解答题 13．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在中，点D、E、F分别是、、的中点，根据下列条件，写出相应的向量： (1)与向量相等的向量； (2)向量的负向量； (3)与向量平行的向量． 14．（24-25高一下·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 15．（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且，，在每两点所确定的向量中． (1)与的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与共线的向量有哪些？ ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$