3.10 二次函数图象与性质的应用&3.11 二次函数的实际应用-【一战成名新中考】2025江西中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

参考答案与重难题解析·江西数学 基 础 夯 实 练 3. (1)y= 6 x ;(2)y= -4 x 或 y= 4 x 4. (1)2;(2)4;(3)2 命题点 7　 反比例函数的综合与应用 要点归纳 ①D　 ②y= 3x+3　 ③y= 6 x 　 ④x>1 或-2<x<0 ⑤0<x≤1 或 x≤-2　 ⑥ 9 2 例 2 题解图 对点练习 12 命题点 8　 二次函数的图象与性质 要点归纳 ①- b 2a 　 ②h　 ③ x1+x2 2 　 ④(- b 2a , 4ac-b2 4a )　 ⑤(h,k) ⑥ 4ac-b2 4a 　 ⑦k　 ⑧小　 ⑨ 4ac-b2 4a 　 􀃊􀁉􀁒k　 􀃊􀁉􀁓大　 􀃊􀁉􀁔减小 􀃊􀁉􀁕增大　 􀃊􀁉􀁖增大　 􀃊􀁉􀁗减小　 􀃊􀁉􀁘y 轴　 􀃊􀁉􀁙左　 􀃊􀁉􀁚右　 􀃊􀁉􀁛两个 􀃊􀁊􀁒C　 􀃊􀁊􀁓向上　 􀃊􀁊􀁔x= 1　 􀃊􀁊􀁕(1,-9)　 􀃊􀁊􀁖减小　 􀃊􀁊􀁗增大　 􀃊􀁊􀁘小 􀃊􀁊􀁙-9　 􀃊􀁊􀁚2　 􀃊􀁊􀁛(-2,0),(4,0)　 􀃊􀁋􀁒(0,-8)　 􀃊􀁋􀁓(3,0) 􀃊􀁋􀁔直线 x= 1　 􀃊􀁋􀁕(-1,t)　 􀃊􀁋􀁖(2a-b,0)　 􀃊􀁋􀁗(2a-m,n)　 􀃊􀁋􀁘B 􀃊􀁋􀁙yB 　 􀃊􀁋􀁚yC 　 􀃊􀁋􀁛yA 　 􀃊􀁌􀁒1　 􀃊􀁌􀁓-(2-h) 2 =-1　 􀃊􀁌􀁔h = 1　 􀃊􀁌􀁕0　 􀃊􀁌􀁖-(5-h) 2 =-1　 􀃊􀁌􀁗h= 6　 􀃊􀁌􀁘B 对点练习 1. (1,4);x= 1;大,4;1,4;( 2 +1,0)和(- 2 +1,0);(0,2) (1,0)和(3,0);x= 2;2,-2;(0,6) (0,-4);x=-1;-1,-5;(- 5 -1,0)和( 5 -1,0) 2. ①③④⑦⑨ 命题点 9　 二次函数表达式的确定 及图象的变换 要点归纳 ①不变　 ②不变　 ③相反　 ④不变　 ⑤相反 对点练习 1. 解:由题意,得 -9+3b+c= 0, -4-2b+c=-5,{ 解得 b= 2, c= 3,{ ∴ 抛物线的表达式为 y=-x2+2x+3. 2. 解:设抛物线的表达式为 y=a(x-2) 2+4(a≠0), 将(1,2)代入,得 2=a(1-2) 2+4,解得 a=-2, ∴ 抛物线的表达式为 y=-2(x-2) 2+4. 3. 解:∵ 二次函数的图象经过点(-3,0),(1,0), ∴ 设二次函数的表达式为 y=a(x+3)(x-1), 把(0,3)代入,得 a·3×(-1)= 3,解得 a=-1, ∴ 该二次函数的表达式为 y=-(x+3)(x-1), 即 y=-x2-2x+3. 4. 解:解法一:∵ 抛物线的对称轴为直线 x= 2, ∴ - b 4 = 2,解得 b=-8, 又∵ 抛物线经过点(1,0), ∴ 2-8+c= 0,解得 c= 6, ∴ 抛物线的表达式为 y= 2x2-8x+6. 解法二:∵ 抛物线 y = 2x2 +bx+c 的对称轴为直线 x = 2,且 与 x 轴交于点(1,0), ∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点为(3,0), ∴ 抛物线的表达式为 y= 2(x-1)(x-3)= 2x2-8x+6. 5. y= x2-1　 6. y= 2x2-4x+1;y=-2x2-4x-1 命题点 10　 二次函数图象与性质的应用 要点归纳 ①两个不相等　 ②两个相等　 ③没有　 ④x<x1 或 x>x2 ⑤x1<x<x2 对点练习 1. (1)x1 =-1,x2 = 3;(2)x1 = 0,x2 = 2;(3)2; (4)-1<x<3;(5)x<0 或 x>2 2. -3≤x≤1 命题点 11　 二次函数的实际应用 要点归纳 【自主作答】解:解法一:根据题意,设抛物线的表达式为 y = a(x-2) 2+k(a≠0),将点 C(0,8),B(8,0)代入, 得 4a+k= 8, 36a+k= 0,{ 解得 a=- 1 4 , k= 9, { 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4 参考答案与重难题解析·江西数学 基 础 夯 实 练 ∴ 抛物线的表达式为 y=- 1 4 (x-2) 2+9, ∵ - 1 4 <0, ∴ 当 x= 2 时,y 有最大值,最大值为 9,即 AD= 9 m. 答:该水流距水平面的最大高度 AD 为 9 m. 解法二:根据题意,设抛物线的表达式为 y=ax2+bx+8(a≠0), 将点 B(8,0)代入,结合- b 2a = 2, 得 - b 2a = 2, 64a+8b+8= 0, { 解得 a=- 1 4 , b= 1, { ∴ 抛物线的表达式为 y=- 1 4 x2+x+8=- 1 4 (x-2) 2+9, 其余同解法一. 答:水流距水平面的最大高度 AD 为 9 m. ①(x-2)　 ② 1 2 [50-(x-2)]　 ③D　 ④(300-10x) ⑤(20+x)　 ⑥(300-10x)(20+x) 　 ⑦-10x2 +100x+6 000　 ⑧0≤x≤30　 ⑨5　 􀃊􀁉􀁒65　 􀃊􀁉􀁓6 250　 􀃊􀁉􀁔(300+20x) 􀃊􀁉􀁕(20-x)　 􀃊􀁉􀁖(300+20x)(20-x) 　 􀃊􀁉􀁗-20x2 +100x+6 000　 􀃊􀁉􀁘0≤x≤20　 􀃊􀁉􀁙当 x = 2.5 时,y 取得最大值,即定价为 57.5 元时,利润最大,最大利润为 6 125 元 􀃊􀁉􀁚6 250>6 125,∴ 当定价为 65 元时,即涨价 5 元时利润最 大,最大利润为 6 250 元 ★大单元一　 函数的深度理解与把握 一、1. ②③　 2. ③④⑤ 二、1. (1)y=-x+5;一次; (2)y= 10 x ;反比例; (3)S=-x2+10x;二次. 2. 一次;反比例;反比例;二次;二次;二次; 一次; 二次 3. (1)①不能;②>;③不能;④A,C,E; (2)①A;②不能;③E; (3)①不能;②B;③9a+b= 0;④B,D,E;A,B,D. ★大单元二　 函数的增减性与最值 1. 增大;减小;减小;增大;增大;减小;增大;减小 2. (1)-x(答案不唯一);(2) 1 x (答案不唯一); (3)x2(答案不唯一) . 3. (1)<;(2)>;(3) >. 4. (1)<;(2)<;(3)<;(4)<. [变式]解:当 k<0 时,反比例函数 y= k x 的图象位于第二、 四象限,在每一象限内,y 随 x 的增大而增大.当 y1<y2 时, 分为以下三种情况: ①当 0<y1<y2 时,x2>x1, ②当 y1<y2<0 时,x2>x1, ③当 y1<0<y2 时,x2<x1 . 5. (1)①>;②<;③=; (2)①>;②<; (3)①<;②<;>. 6. 解:(1)3;1; (2)∵ 抛物线 y=x2-2x-3 的对称轴为直线 x=1,且 a=1>0, ∴ 当 x= 1 时,y= 1-2-3=-4 是最小值;当 x=-3 时,y = 9+ 6-3= 12 是最大值. 7. (1)-12;3; (2)①0 或 6;②-2 或 8;③2≤a≤4. 第四章　 三角形 命题点 1　 线段、角、相交线与平行线 要点归纳 ①图 1,图 2,图 3　 ②图 4　 ③BC　 ④AC　 ⑤BC　 ⑥AC ⑦AB　 ⑧ 1 2 　 ⑨ 1 3 　 􀃊􀁉􀁒60　 􀃊􀁉􀁓60　 􀃊􀁉􀁔90°　 􀃊􀁉􀁕相等 􀃊􀁉􀁖180°　 􀃊􀁉􀁗相等　 􀃊􀁉􀁘相等　 􀃊􀁉􀁙PN　 􀃊􀁉􀁚相等　 􀃊􀁉􀁛∠3　 􀃊􀁊􀁒∠8 􀃊􀁊􀁓∠8　 􀃊􀁊􀁔∠5　 􀃊􀁊􀁕∠8　 􀃊􀁊􀁖∠7　 􀃊􀁊􀁗∠8　 􀃊􀁊􀁘90　 􀃊􀁊􀁙无数 􀃊􀁊􀁚>　 􀃊􀁊􀁛>　 􀃊􀁋􀁒AO　 􀃊􀁋􀁓相等　 􀃊􀁋􀁔=　 􀃊􀁋􀁕=　 􀃊􀁋􀁖相等　 􀃊􀁋􀁗相等 􀃊􀁋􀁘相等　 􀃊􀁋􀁙互补 对点练习 1. ②;两点之间,线段最短　 2. D　 3. (1)45°;(2)136° 4. D　 5. PB　 [变式]CP　 6. A　 7. 17° 8. (1)20;(2)130°　 9. D 命题点 2　 三角形的边角关系及重要线段 要点归纳 ①大于　 ②>　 ③小于　 ④<　 ⑤180°　 ⑥360°　 ⑦∠3 ⑧>　 ⑨>　 􀃊􀁉􀁒>　 􀃊􀁉􀁓内部　 􀃊􀁉􀁔内部　 􀃊􀁉􀁕外部　 􀃊􀁉􀁖内部 􀃊􀁉􀁗 1 2 　 􀃊􀁉􀁘2　 􀃊􀁉􀁙 1 2 　 􀃊􀁉􀁚 1 2 　 􀃊􀁉􀁛 1 4 　 􀃊􀁊􀁒 1 2 　 􀃊􀁊􀁓90°+ 1 2 ∠A　 􀃊􀁊􀁔 1 2 ∠A　 􀃊􀁊􀁕90°- 1 2 ∠A 对点练习 1. D　 2. (1)70°;(2)55°　 3. (1)40°,10°;(2)4,1 4. (1)115°;(2)25°;(3)65° 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5 基础夯实练·江西数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 10　 二次函数图象与性质的应用(必考) 要点 1 二次函数 y=ax2+bx+c 与一元二次方程 ax2+bx+c= 0 的关系 【2022 年版课标新增内容】 本质:求 ax2+bx+c= 0 的根即求对应函数 y 􀪍 = ax2+bx+c = 0􀪍 时 x 的值[数∙ ]→[形∙ ]二次函数 图象与 x·轴交点∙∙∙ 的横坐标 抛物线①与 x 轴有两个交点⇔方程 ax2+bx+c=0 有①　 两个不相等　 的实数根,根为交点横坐标⇔b2-4ac>0 抛物线②与 x 轴有一个交点⇔方程 ax2+bx+c = 0 有②　 两个相等　 的实数根,根为交点的横坐标⇔b2-4ac= 0 抛物线③与 x 轴无交点⇔方程 ax2+bx+c= 0③　 没有　 实数根⇔b2- 4ac<0 图 1 拓展如图 1,方程 ax2+bx+c= t(a>0)的根可看作抛物线 y = ax2 +bx+c 和直线 y= t 交点的横坐标. t>y顶点,如抛物线①,方程 ax2+bx+c= t 有两个不相等的实数根; t= y顶点,如抛物线②,方程 ax2+bx+c= t 有两个相等的实数根; t<y顶点,如抛物线③,方程 ax2+bx+c= t 没有实数根. 要点 2 二次函数 y=ax2+bx+c 与一次函数 y=mx+n 图象的交点 联立 y=ax2+bx+c, y=mx+n,{ 消去 y,得到关于 x 的方程 ax 2+(b-m)x+c-n= 0,再根据 Δ 与 0 的大小 关系进行判断. 图 2 要点 3 二次函数与不等式的关系(以 a>0 为例) 如图 2,抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=mx+n 交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两 点,则不等式 ax2 +bx+c>mx+n 的解集为④　 x<x1 或 x>x2 　 ;不等式 ax2+bx+c<mx+n 的解集为⑤　 　 　 　 　 　 　 　 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 第 1 题图　 　 　 　 　 　 　第 2 题图 对 点练 习 1. 如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象. (1)方程 ax2+bx+c= 0 的解是　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)方程 ax2+bx+c= 2 的解是　 　 　 　 　 　 　 　 ; (3)已知 t<2,则方程 ax2+bx+c= t 的解有　 2　 个; (4)不等式 ax2+bx+c>0 的解集是　 　 　 　 　 　 ; (5)不等式 ax2+bx+c<2 的解集是　 x<0 或 x>2　 . 2. 如图,已知抛物线 y=ax2+c 与直线 y= kx+m 交于 A(-3,y1),B(1,y2)两点,则关于 x 的不等式 ax2+c≥kx+m 的解集是　 -3≤x≤1　 . 温馨提示:请完成分层作业本 P43-44 习题 45 基础夯实练·江西数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 11　 二次函数的实际应用(2024.22,2022.22) 类型 1 抛物线型、类抛物线型问题(2024.22,2022.22) ◆问题考查方式及解决方法: ①求高度,一般是求二次函数图象顶点的纵坐标,或求出自变量的取值范围,利用函数的 增减性求二次函数的最值; ②求水平距离,一般令函数值 y= 0,解出一元二次方程的两个根,求两根之差的绝对值. 例 1　 多解法 ∙∙∙ 　 [人教九上 P36 例 4 改编]某景点的“喷水巨龙”口中 C 处的水流呈抛物线形,该 水流喷出的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的关系如图所示,D 为该水流的最高点, DA⊥OB,垂足为点 A.已知 OC=OB= 8 m,OA= 2 m,求该水流距水平面的最大高度 AD. 例 1 题图 【思路点拨】由 OA= 2 m 可知,该抛物线对称轴为直线 x= 2. 解法一:该抛物线顶点横坐标为 2,可设顶点式 y=a(x-2) 2+k(a≠0) . 解法二:由 OC= 8,可知 c= 8,可设一般式 y=ax2+bx+8(a≠0) . 【自主作答】解:解法一:根据题意,设抛物线的表达式为 y=a(x-2) 2+k(a≠0), 将点 C(0,8),B(8,0)代入,得 4a+k=8, 36a+k=0,{ 解得 a=- 1 4 , k=9, ì î í ïï ïï ∴抛物线的表达式为 y=- 1 4 (x-2) 2+9, ∵- 1 4 <0,∴当 x=2 时,y 有最大值,最大值为 9,即 AD=9 m. 答:该水流距水平面的最大高度 AD 为 9 m. 解法二:根据题意,设抛物线的表达式为 y=ax2+bx+8(a≠0),将点 B(8,0)代入, 结合- b 2a =2,得 - b 2a =2, 64a+8b+8=0, ì î í ïï ïï 解得 a=- 1 4 , b=1, ì î í ïï ïï ∴抛物线的表达式为 y=- 1 4 x2+x+8=- 1 4 (x-2) 2+9.其余同解法一. 答:该水流距水平面的最大高度 AD 为 9 m. 55 基础夯实练·江西数学 第 三 章 　 函 　 数 类型 2 面积问题 例 2 题图 例 2　 某农场拟建一间矩形饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙 足够长),并在如图所示位置留 2 m 宽的门,已知计划中的 建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为 50 m.设饲养 室长为 x m,占地面积为 y m2,则 y 关于 x 的函数表达式是 (　 　 ) A.y=-x2+50x　 　 B.y=- 1 2 x2+24x　 　 C.y=- 1 2 x2+25x　 　 D.y=- 1 2 x2+26x 【思路点拨】关系式:矩形面积 S=长×宽,矩形周长= 2(长+宽) . ①如图位置留 2 m 宽的门:矩形长用的建筑材料为①　 　 　 　 　 　 　 m; ②建筑材料可建围墙(不包括门)总长度为 50 m:矩形的宽为②　 　 　 　 　 　 　 m. 【答案】③　 D　 类型 3 利润最值问题 例 3　 [人教九上 P50 探究 2]某商品现在的售价为每件 60 元,每星期可卖出 300 件.市场调查 反映:如调整价格,每涨价 1 元,每星期要少卖出 10 件;每降价 1 元,每星期可多卖出 20 件.已知商品的进价为每件 40 元,如何定价才能使利润最大? 【思路点拨】所用关系式:利润=销售数量×(售价-成本) . 分情况讨论:涨价(或降价)时,利润 y 元关于涨价(或降价)x 元的函数表达式,根据确定函 数最值的方法求出 y 的最大值及取得最大值时 x 的值. 情况一: 设每件涨价 x 元时的利润为 y 元,则涨价后的售价为(60+x)元,每星期少卖 10x 件,实际卖 出④　 　 　 　 　 件;每件的利润为⑤　 　 　 　 　 元,因此每星期的利润 y =⑥　 　 　 　 　 　 , 化成一般式为 y=⑦　 -10x2+100x+　 　 ,其中 x 的取值范围为⑧　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 由二次函数性质可知:当 x=⑨　 5　 时,y 取得最大值,即定价为􀃊􀁉􀁒　 65　 元时,利润最大,最 大利润为􀃊􀁉􀁓　 6 250　 元. 情况二: 设每件降价 x 元时的利润为 y 元,则降价后的售价为(60-x)元,每星期多卖 20x 件,实际卖 出􀃊􀁉􀁔　 　 　 　 　 件;每件的利润为􀃊􀁉􀁕　 　 　 　 　 元,因此每星期的利润 y =􀃊􀁉􀁖　 　 　 　 　 , 化成一般式为 y=􀃊􀁉􀁗　 -20x2+100x+6 000　 ,其中 x 的取值范围为􀃊􀁉􀁘　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 由二次函数性质可知:􀃊􀁉􀁙　 当 x= 2.5 时,y 取得最大值,即定价为 57.5 元时,利润最大,最大 利润为 6 125 元　 　 . 比较:􀃊􀁉􀁚　 6 250>6 125,∴当定价为 65元时,即涨价 5元时利润最大,最大利润为 6 250元　 . 温馨提示:请完成分层作业本 P45-48 习题 65