3.7 反比例函数的综合与应用-【一战成名新中考】2025江西中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·江西数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 7　 反比例函数的综合与应用(每年 1 道解答题) 要点 1 判断同一坐标系中反比例函数与一次函数图象 解法一:观察法 函数类型 k,k′的符号相同(kk′>0) k,k′的符号相反(kk′<0) 结论 反比例函数 y= k x 与正比例函 数 y= k′x ①k,k′同号,必有两􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 交点􀪍􀪍, 且 两 交 点 关于原点成中心 对称; ②k,k′异号,无交点 反比例函数 y= k x 与一次函数 y= k′x+b ①k,k′同号,必有两􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 交点􀪍􀪍; ②k,k′异号,交点可 以有两个、一个、 零个 解法二:假设法.假设反比例函数的表达式与图象吻合,即可确定 k 的取值范围,由此再根 据 k 的取值范围确定一次函数图象,看是否与题图矛盾. 例 1　 [北师九上 P161 第 6 题]函数 y=ax-a 与 y = a x (a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象 可能是 (①　 D　 ) A　 　 　 　 　 　 B　 　 　 　 　 　 C 　 　 　 　 　 D 要点 2 已知两个交点坐标(其中一个交点横坐标或纵坐标用字母表示)求两个函 数表达式 (1)先将已知横、纵坐标的交点的坐标代入反比例函数表达式,求出反比例函数表达式; (2)再将另一个交点已知的横坐标或纵坐标代入反比例函数表达式,求出该交点坐标; (3)最后将两个交点的坐标代入一次函数表达式,求出一次函数表达式. 注:有时也会根据三角形面积求出交点坐标,再按照以上步骤完成. 44 基础夯实练·江西数学 第 三 章 　 函 　 数 要点 3 比较两函数值大小,求自变量的取值范围 (1)找交点; (2)分区:过两函数图象的交点分别作 y 轴的平行线,连同 y 轴,将坐 标平面分为四部分,如图,即Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ; (3)观察函数图象找答案:根据图象在上方的函数值总比图象在下方的函数值大􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,在各区 域内找相应的 x 的取值范围: ①Ⅰ,Ⅲ区域内: k x >ax+b,自变量的取值范围为 x<xB 或 0<x<xA; ②Ⅱ,Ⅳ区域内:ax+b> k x ,自变量的取值范围为xB<x<0 或 x>xA . 要点 4 求图形面积 原始 图形 求 S△AOB 求 S△ADB 求 S△AOB 解 法 一 以 OC 为公共底边, S△AOB =S△BOC+S△AOC = 1 2 OC· | xA-xB | 以 CD 为公共底边, S△ADB =S△ADC+S△BDC = 1 2 CD· | xB-xA | 以 OC 或 OD 为公共底 边,S△AOB =S△BOC+S△AOC = S△AOD+S△BOD 解 法 二 以 OB 为底边,过点 A 作 AC⊥x轴,S△AOB = 1 2 OB·AC 以 BD 为底边,过点 A 作 AE⊥BD 交 BD 的延长线 于点 E,S△ADB = 1 2 DB·AE 过点 A,B 分别作 x 轴,y 轴的垂线交于点 E,利用 整体思想, S△AOB = S△ABE- S△AOF - S△BOG - S矩形OGEF = S△ABE- | k | -S矩形OGEF 54 基础夯实练·江西数学 第 三 章 　 函 　 数 例 2　 [人教九下 P9 第 5 题改编]已知一次函数 y= kx+b 的图象与反比例函数 y= m x 的图象的两 个交点为A(1,6),B(-2,n) . 例 2 题图 (1)一次函数的表达式为②　 y = 3x+3　 ,反比例函数的 表达式为③　 　 　 　 　 ; (2)如图,在平面直角坐标系中画出 y = kx+b 与 y = m x 的 图象,并通过观察图象直接写出: ①不等式 kx+b>m x 的解集为④　 x>1或-2<x<0　 ; ②不等式 kx+b≤m x 的解集为⑤　 0<x≤1或 x≤-2　 ; (3)连接 AO,BO,则△AOB 的面积为⑥　 　 　 　 . 要点 5 反比例函数的实际应用 (1)行程问题:路程一定时,速度=路程 时间 ; (2)工程问题:工作量一定时,工作效率= 工作量 工作时间 ; (3)压强问题:压力一定时,压强= 压力 受力面积 ; (4)电学问题:电压一定时,电阻=电压 电流 ; (5)密度问题:质量一定时,密度=质量 体积 ; (6)其他问题:当关系式为 C=A·B,且 C 为常数时,A 与 B 成反比例关系. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 学科融合 [人教九下 P17 第 8 题改编]已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流 I(单 位:A)与电阻 R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.当蓄电池的电阻为 3 Ω时,电流为　 12　 A. 温馨提示:请完成分层作业本 P35-38 习题 64 参考答案与重难题解析·江西数学 基 础 夯 实 练 3. (1)y= 6 x ;(2)y= -4 x 或 y= 4 x 4. (1)2;(2)4;(3)2 命题点 7　 反比例函数的综合与应用 要点归纳 ①D　 ②y= 3x+3　 ③y= 6 x 　 ④x>1 或-2<x<0 ⑤0<x≤1 或 x≤-2　 ⑥ 9 2 例 2 题解图 对点练习 12 命题点 8　 二次函数的图象与性质 要点归纳 ①- b 2a 　 ②h　 ③ x1+x2 2 　 ④(- b 2a , 4ac-b2 4a )　 ⑤(h,k) ⑥ 4ac-b2 4a 　 ⑦k　 ⑧小　 ⑨ 4ac-b2 4a 　 􀃊􀁉􀁒k　 􀃊􀁉􀁓大　 􀃊􀁉􀁔减小 􀃊􀁉􀁕增大　 􀃊􀁉􀁖增大　 􀃊􀁉􀁗减小　 􀃊􀁉􀁘y 轴　 􀃊􀁉􀁙左　 􀃊􀁉􀁚右　 􀃊􀁉􀁛两个 􀃊􀁊􀁒C　 􀃊􀁊􀁓向上　 􀃊􀁊􀁔x= 1　 􀃊􀁊􀁕(1,-9)　 􀃊􀁊􀁖减小　 􀃊􀁊􀁗增大　 􀃊􀁊􀁘小 􀃊􀁊􀁙-9　 􀃊􀁊􀁚2　 􀃊􀁊􀁛(-2,0),(4,0)　 􀃊􀁋􀁒(0,-8)　 􀃊􀁋􀁓(3,0) 􀃊􀁋􀁔直线 x= 1　 􀃊􀁋􀁕(-1,t)　 􀃊􀁋􀁖(2a-b,0)　 􀃊􀁋􀁗(2a-m,n)　 􀃊􀁋􀁘B 􀃊􀁋􀁙yB 　 􀃊􀁋􀁚yC 　 􀃊􀁋􀁛yA 　 􀃊􀁌􀁒1　 􀃊􀁌􀁓-(2-h) 2 =-1　 􀃊􀁌􀁔h = 1　 􀃊􀁌􀁕0　 􀃊􀁌􀁖-(5-h) 2 =-1　 􀃊􀁌􀁗h= 6　 􀃊􀁌􀁘B 对点练习 1. (1,4);x= 1;大,4;1,4;( 2 +1,0)和(- 2 +1,0);(0,2) (1,0)和(3,0);x= 2;2,-2;(0,6) (0,-4);x=-1;-1,-5;(- 5 -1,0)和( 5 -1,0) 2. ①③④⑦⑨ 命题点 9　 二次函数表达式的确定 及图象的变换 要点归纳 ①不变　 ②不变　 ③相反　 ④不变　 ⑤相反 对点练习 1. 解:由题意,得 -9+3b+c= 0, -4-2b+c=-5,{ 解得 b= 2, c= 3,{ ∴ 抛物线的表达式为 y=-x2+2x+3. 2. 解:设抛物线的表达式为 y=a(x-2) 2+4(a≠0), 将(1,2)代入,得 2=a(1-2) 2+4,解得 a=-2, ∴ 抛物线的表达式为 y=-2(x-2) 2+4. 3. 解:∵ 二次函数的图象经过点(-3,0),(1,0), ∴ 设二次函数的表达式为 y=a(x+3)(x-1), 把(0,3)代入,得 a·3×(-1)= 3,解得 a=-1, ∴ 该二次函数的表达式为 y=-(x+3)(x-1), 即 y=-x2-2x+3. 4. 解:解法一:∵ 抛物线的对称轴为直线 x= 2, ∴ - b 4 = 2,解得 b=-8, 又∵ 抛物线经过点(1,0), ∴ 2-8+c= 0,解得 c= 6, ∴ 抛物线的表达式为 y= 2x2-8x+6. 解法二:∵ 抛物线 y = 2x2 +bx+c 的对称轴为直线 x = 2,且 与 x 轴交于点(1,0), ∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点为(3,0), ∴ 抛物线的表达式为 y= 2(x-1)(x-3)= 2x2-8x+6. 5. y= x2-1　 6. y= 2x2-4x+1;y=-2x2-4x-1 命题点 10　 二次函数图象与性质的应用 要点归纳 ①两个不相等　 ②两个相等　 ③没有　 ④x<x1 或 x>x2 ⑤x1<x<x2 对点练习 1. (1)x1 =-1,x2 = 3;(2)x1 = 0,x2 = 2;(3)2; (4)-1<x<3;(5)x<0 或 x>2 2. -3≤x≤1 命题点 11　 二次函数的实际应用 要点归纳 【自主作答】解:解法一:根据题意,设抛物线的表达式为 y = a(x-2) 2+k(a≠0),将点 C(0,8),B(8,0)代入, 得 4a+k= 8, 36a+k= 0,{ 解得 a=- 1 4 , k= 9, { 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4