3.6 反比例函数的图象与性质-【一战成名新中考】2025江西中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·江西数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 6　 反比例函数的图象与性质(必考) 要点 1 反比例函数的概念及其表达式 (1)概念:一般地,形如 y= k x (k 为常数,k≠0)的函数叫作反比例函数,自变量 x 的取值范 围是①　 x≠0　 ; (2)表达式的三种形式:①y= k x ;②y= kx-1;③xy= k.(k 为常数,k≠0) 要点 2 反比例函数的图象与性质(图象⇔双曲线) 图象 性质 表达式 ①图象分别位于第② 一、三 　 象限; ②增减性:在每一个象限内,y 随 x 的增大而③　 减小　 ①图象分别位于第④　 二、四　 象限; ②增减性:在每一个象限内,y 随 x 的增大而⑤　 增大　 共性: ① 图 象 关 于 直 线 ⑥　 y=±x　 成 轴 对称;关于⑦　 　 成中心对称; ②图象上任意一点 P(x,y)的横、纵坐 标之积均为 k,即 xy= k y= k x (k ⑧　 　 　 0) y= k x (k ⑨　 　 　 0) 要点 3 反比例函数图象上点的纵坐标大小比较 图 1 解法一:代入法.已知函数表达式时,将点的横坐标代入表达式,计算 出对应的纵坐标进行比较; 解法二:结合图象所在象限及增减性比较.在不同象限函数图象上的 点,x 轴上方的点的纵坐标大,x 轴下方的点的纵坐标小;在同一象限 函数图象上的点,直接通过增减性比较; 解法三:图象法.画出函数图象,确定点在图象上的大致位置,位置高的点纵坐标大. 如图 1,点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)在反比例函数 y = 1 x 的图象上,若 x1<0<x2<x3,则 y1, y2,y3 的大小关系为⑩　 y1<y3<y2 　 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 第 1 题图 对 点练 习 1. 已知反比例函数 y=m -1 x . (1)m 的取值范围是　 m≠1　 ; (2)[北师九上 P161 第 3 题改编]当反比例函数的图象如图所示时, m 的取值范围为　 m<1　 ; (3)若点 A(-3,2), B(a, 6)在该反比例函数的图象上,则 a 的值为　 -1　 ; 04 基础夯实练·江西数学 第 三 章 　 函 　 数 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 (4)若点 P(x,y)在该反比例函数的图象上,则点 Q(-x,-y) 　 在　 该反比例函数图 象上(填“在”或“不在”); (5)[北师九上 P161 第 5 题改编]易错 ∙∙ 　 已知反比例函数 y = -2 x ,当 x>-2 时,y 的取值范 围是　 y>1 或 y<0　 ;当 0<y<1 时,x 的取值范围是　 　 　 　 　 　 　 　 . 2. 下表分别给出了反比例函数 y= k x 的一种表示方式,写出另外两种表示方式并填空. 表 x … -4 -2 -1 … 1 2 4 … y … -1 -2 -4 … 4 2 1 … x … -3 -2 -1 … 1 　 　 … y … 　 　 6 … -6 -3 -2 … 图+式 图: 式:　 　 　 　 图: 式:y= -6 x 性质 ①k 　 > 　 0,图象位于第 　 一、三 　 象限; ②在每个象限内, y 随 x 的增大而 　 　 　 　 ; ③若点(-1,a),( 1 2 ,b),(2,c)都在反 比例函数的图象上,则 a,b,c 的大 小关系为　 a<c<b　 ; ④图象关于直线　 y =±x　 成轴对称; 关于　 原点　 成中心对称 ①k 　 <　 0,图象位于第 　 二、四 　 象限; ②在每个象限内,y 随 x 的增大而 　 　 　 　 ; ③若点(-1,a),( 1 2 ,b),(2,c)都在 反比例函数图象上,则 a,b,c 的 大小关系为　 b<c<a　 ; ④图象关于直线 　 y = ±x 　 成轴对 称;关于　 原点　 成中心对称 要点 4 待定系数法求反比例函数的表达式(10 年 9 考,均在解答题中考查) 知一点坐标即可求表达式. (1)设出形如 y= k x 的反比例函数表达式; (2)将图象上一点坐标(a,b)代入得 k=􀃊􀁉􀁓　 ab　 ; (3)确定反比例函数表达式 y=􀃊􀁉􀁔　 　 　 　 . 14 基础夯实练·江西数学 第 三 章 　 函 　 数 图 2 要点 5 反比例函数 k 的几何意义 (2016.11) 过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线段,垂线段与坐标轴围成的矩形的 面积为􀃊􀁉􀁕　 |k | 　 .如图 2,S矩形ABOC =􀃊􀁉􀁖　 2　 ,S△AOB =S△ACO =􀃊􀁉􀁗　 1　 . 技巧点拨 已知面积求 k 时,可考虑利用 k 的几何意义,由面积得 | k | ,再结合图象所在象限判断 k 的正负,从而得出 k 的值.亦可用此 方法求反比例函数的表达式. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 3. [北师九上 P161 第 1 题改编]已知反比例函数 y= k x . (1)若点 P(3,2)在反比例函数图象上,则反比例函数的表达式为　 　 　 　 　 ; (2)易错 ∙∙ 　 若反比例函数图象上有一点 Q(-2,a),到 x 轴的距离为 2,则反比例函数 的表达式为　 　 　 　 　 . 要点 6 与反比例函数 k 的几何意义有关的面积计算 单 个 反 比 例 函 数 初始图形 衍生图形 S矩形ABCD =􀃊􀁉􀁘　 | k | 　 S▱ABCD = | k | 　 　 S▱ABCD = | k | S△AOP =􀃊􀁉􀁙　 　 　 　 S△ABC = 1 2 | k | 　 S△ABC = 1 2 | k | 　 　 (AO=AB) S△AOB = | k | S△AOB+S△COD =􀃊􀁉􀁚　 |k |　 S△ABC = | k | 　 　 　 　 S△APP′ = 2 | k | 两 个 反 比 例 函 数 初始图形 衍生图形 初始图形 衍生图形 S矩形ABCD = | k1 | + | k2 | S△ABO =S△ABC = 1 2 ( | k1 | + | k2 | ) S矩形ABED = |k1 | - |k2 | S△BOC = 1 2 (|k1 |-|k2 |) 24 基础夯实练·江西数学 第 三 章 　 函 　 数 续表 综 合 衍 生 S△AOE =S四边形CDBE S△AOB =S四边形ACDB 　 　 S△OAF =S△OCE = 1 2 | k | = 1 2 (S矩形OABC-S四边形OFBE) 　 　 S四边形ODBE = | k1 | - | k2 | S△DBE = | k1 | - | k2 | -S四边形AEDF 技巧点拨 ①与 k 的几何意义有关的面积计算中,寻找的关键量􀪍􀪍􀪍是反比例函数图象上点的横、纵坐 标,那么根据同底等高􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍、等底等高􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍的三角形(特殊平行四边形)面积相等可推导出面积 为 1 2 | k |或 | k |的几何图形; ②常作辅助线􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍:a.连接反比例函数图象上的点与坐标原点; b.过反比例函数图象上的点作 x 轴或 y 轴的垂线. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 4. 已知点 A 是反比例函数 y= k x 图象上一点. 　 　 　 图① 　 　 　 　 　 图② 　 　 　 　 图③ 第 4 题图 (1)如图①,点 C 为反比例函数图象上一点,连接 AC 恰经过原点 O.若 k= 1,且 BC∥x 轴,AB∥y轴,则 S△ABC = 　 　 　 　 ; (2)如图②,过点 A 作 x 轴的平行线,与反比例函数 y = 2k x 的图象交于点 B,连接 OA, OB,若 S△OAB = 2,则 k 的值为　 　 　 　 ; (3)如图③,过点 A 作 x 轴的平行线,与反比例函数 y = - 2k x 的图象交于点 B,点 C,D 是 x 轴上的两点,且 CD=AB,连接 BC,AD.若四边形 ABCD 的面积为 6,则 k 的值 为　 　 　 　 . 温馨提示:请完成分层作业本 P33-34 习题 34 对点练习 购进这批服装的最低费用为3500元,这批服装全部售出 1.C 2.x71:x=3 3.A 的最大利润为4000元 12 0.2 0.25 0.2x+12 4.(1)②④;①③;;(2)横轴;纵轴;(3)45 0.25 (4)10:30.30.30;(5) 20 km/h和10 km/h; 【自主作答1解:当y=55时,A类;55=0.2x+12,解得x=21; (6)18.14:30 B类:55=0.25x解得x=220.215<220.B类划算; 命题点3 一次函数的图象与性质 【自主作答】解:由yy.即0.2x+12>0.25x.解得x<240;由 要点归纳 y<y。即0.2r+12<0.25x,解得x>240;由y=y。,即0.2+12= ### 0.25x.解得x=240. 8.当通话时间小于240min时,应选择B类;当通话时间大 于240min时,应选择A类;当通话时间为240min时,选择 一、三、四一、三一、二、四⑧二、三、四 A.B类都可以. 二、四 增大 一、三 减小 二、四 s。②i.时刻到达乙地 ②.时刻开始从乙地返回甲地 ②在乙地停留的时间为1- ②。 1 1-1 (0.b)②<②②相反数 ②相反数 对点练习 t. t.-t③r,时刻占车在距离甲地 s.处追上a车 t。t。<t.时刻a,b两车在距离 y=2x+1;,增大;,正;(- .0). 甲地s处相遇 a,b两车在4.时刻相遇 a车在t。时 刻率先到达乙地 7车在4.时刻到达甲地 命题点6 反比例函数的图象与性质 (0.1);-二三;4.1.-2,-5,-8;y=-3-2;<,减小; 要点归纳 ①x0 ②一、三 ③减小 ④二、四 增大 y=土x 原点 ⑧>y l 2.(1)m*-1:1;(2)-3;m>l;(3)-1<m1;(4)D;(5)pq; (6)m<-1 3.(1)3;(2)2;(3)4; (4)解:设一次函数的表达式为y=x+b(k0). 对点练习 将A(1,3),B(-1.2)两点代入, 1.(1)m1;(2)m<1;(3)-1;(4)在;(5)y>1或y<0:x-2 得{1-1_46=2, (k+b=3. 2 解得 5 ###2 5 .该一次函数的表达式为y22 15 4.(1)y=- 2-1;(2)y=2t --士士- 5.(1)y=2x;(2)y=2x+6;(3)y=-2x+4;(4)y=2x+4 [二11-1-1-1 命题点4 一次函数图象与性质的应用 对点练习 4 y= (x4. 1.(1)x=6;x=5;[变式](7.0);(2)x>6;x<0;(3) (4)x>-3 1-4---1-- 1- --- 2.(1)2;[拓展](.0)..(2)5 9 6 命题点5 一次函数的实际应用 要点归纳 ①x ②(100-x)③70x+35(100-x)④35x+3500 (100-70)x+(75-35)(100-x) -10x+4000 35x+ 35 00=6300 ③0¥580 0 03 500 0 2400 <,二、四;增大;bc<a:y=x,原点 参考答案与重难题解析·江西数学 3.(1-.(2)y-4或-4 (0.-4):x=-1:-1.-5;(-5-1.0)和(5-1.0 4.(1)2;(2)4;(3)2 命题点7 反比例函数的综合与应用 要点归纳 ①D ②v=3x+3 ③y6 ④x1或-2<x<0 1 01或x-2 6 0 2 2.①③④7 命题点9 二次函数表达式的确定 及图象的变换 要点归纳 ①不变 ②不变 ③相反 ④不变 相反 -721H 对点练习 1. 解:由题意,得(1-9+36+c=0. 解得{ (=2. 1-4-2b+c--5.” le-3. &.抛物线的表达式为y=-+2x+3. 2. 解:设抛物线的表达式为y=a(x-2)+4(a*0). 例2题解图 将(1.2)代入,得2=a(1-2)+4,解得a=-2. 对点练习 &.抛物线的表达式为y=-2(x-2)+4 12 3.解:二次函数的图象经过点(-3.0).(1.0). 命题点8 二次函数的图象与性质 .设二次函数的表达式为y=a(x+3)(x-1). 要点归纳 把(0.3)代入,得a·3x(-1)=3.解得a=-1 (h,h) &.该二次函数的表达式为y=-(x+3)(x-1). 即y=--2x+3. danc-: 4.解:解法一:.抛物线的对称轴为直线x=2 4 4 增大 增大 减小 轴 左 右 两个 .- C 向上 ②x=1 ②(1.-9) ②减小 增大 2小$ 又·抛物线经过点(1,0). 2-9 2 ②(-2.0).(4.0) (0,-8) (3.0) .2-8+c=0,解得c=6. 直线x=1 (-1.t) (2a-b,0) (2a-m,n)B &.抛物线的表达式为y=2x?-8x+6 yy ③ 1 -(2-h)=-1 h=10 解法二:抛物线y=2x+b+c的对称轴为直线x=2.且 -(5-h) --1 h=6 B$ 与x轴交于点(1.0). 对点练习 .抛物线与:轴的另一个交点为(3.0). 1.(1.4);x=1;大,4;1.4;(2+1.0)和(-v2+1,0);(0.2) .抛物线的表达式为=2(x-1)(x-3)=2-8r+6$ $ =-16. =2x-4+1;y=-2*-4-1$ 命题点10 二次函数图象与性质的应用 要点归纳 ①两个不相等 ②两个相等 ③没有 ④xx或xx: #77# x.x。 对点练习 1.(1)x=-1.x=3;(2)x =0,x=2;(3)2; (1.0)和(3.0):=2:2.-2:(0.6) (4)-1<x<3;(5)x<0或x2 2.-3x1 命题点11 二次函数的实际应用 要点归纳 【自主作答】解:解法一:根据题意,设抛物线的表达式为y a(x-2)+k(a0),将点C(0.8).B(8.0)代人. #-. (36a+k=0.' =9. -4 参考答案与重难题解析·江西数学