2.3 一元二次方程及其应用-【一战成名新中考】2025江西中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·江西数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 3　 一元二次方程及其应用(10 年 8 考,近两年未考查) 要点 1 一元二次方程(ax2+bx+c= 0,a≠0)必须同时满足以下三个条件: (1)是整式方程; (2)只含有 1 个未知数; (3)未知数的最高次数是 2. 易错警示:对于方程 ax2+bx+c = 0,只有当①　 a≠0　 时才是 一元二次方程;若 ax2+bx+c= 0 是一元二次方程,则必然隐含着②　 a≠0　 . 要点 2 一元二次方程的解法(基本思路:降次) 解法 适用形式 方程的根 直接开平方法 x2 = p(p≥0) x=± p (x+n) 2 = p(p≥0) x=± p -n 因式分解法 (x-a)(x-b)= 0 x1 =a,x2 =b x(ax+b)= 0 x1 = 0,x2 =- b a 公式法 所有一元二次方程: ax2+bx+c= 0 (a≠0,b2-4ac≥0) 求根公式为 x= -b± b2-4ac 2a , 在使用求根公式时: (1)要先将一元二次方程化为一般形式; (2)确定 a,b,c 的值时要带符号 配方法 所有一元二次方程,一般用于: 二次项系数化为 1 后一次项 系数是偶数的方程,形如 x2+ 2mx-n= 0 x=± n+m2 -m 易错警示:①用公式法代 a,b,c 的值时要注意它们的符号; ②对于方程两边含有相同因式(如 2x(x-1)= 3(x-1))的一元二次方程,切勿直接约去公 因式求解导致丢根􀪍􀪍,正确做法是将方程化为两个因式之积为 0的形式,利用因式分解法求解. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 1. [北师九上 P36 做一做改编]填上适当的数,使等式成立. (1)x2+8x+　 16　 = (x+4) 2;　 　 　 　 (2)x2-12x+　 36　 = (x-　 6　 ) 2 . 2. 请用你认为的最佳方法解下列方程. (1)x2-2x-4= 0;　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 (2)2x2-5x+2= 0. 解:由原方程得 x2-2x=4, 则 x2-2x+1=4+1,即(x-1) 2 =5, ∴ x-1=± 5 , ∴ x1 =1+ 5 ,x2 =1- 5 ; 　 　 　 　 解:b2-4ac=(-5) 2-4×2×2=9>0, ∴ x=5± 9 4 = 5±3 4 , ∴ x1 =2,x2 = 1 2 . 22 基础夯实练·江西数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 要点 3 一元二次方程根的判别式(2022.9) b2-4ac 叫作一元二次方程 ax2+bx+c= 0 的根的判别式. (1)b2-4ac>0⇔方程有③　 　 　 　 　 　 　 的实数根; (2)b2-4ac= 0⇔方程有④　 　 　 　 　 　 　 的实数根(x1 = x2 =⑤　 　 　 　 ); (3)b2-4ac<0⇔方程⑥　 　 　 　 　 　 　 　 实数根. 由(1)、(2)知 b2-4ac≥0⇔方程有两个实数根. 注:由一元二次方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围时,若一元二次方程的二次􀪍􀪍 项系数含有字母􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,应注意二次项系数不为 0􀪍􀪍􀪍 这个隐含条件. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 3. 已知关于 x 的方程 ax2-4x+1= 0. (1)若该方程有两个不相等的实数根,则 a 的取值范围是　 　 　 　 　 　 ; (2)若该方程有两个相等的实数根,则 a 的值为　 　 　 　 　 　 ; (3)若该方程没有实数根,则 a 的取值范围是　 　 　 　 　 　 ; (4)若该方程有实数根,则 a 的取值范围是　 　 　 　 　 　 . 要点 4 一元二次方程根与系数的关系(10 年 7 考) 若方程 ax2+bx+c= 0(a≠0)有两个实数根 x1,x2,则有 x1+x2 =⑦　 - 　 　 ,x1x2 =⑧　 　 　 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 4. [北师九上 P56 第 5 题改编]已知方程 x2-3x+1= 0 的两根是 x1,x2,则 x1+x2+x1·x2的值 是　 4　 . 要点 5 一元二次方程的实际应用 类型 1　 变化率问题 设原来的量为 a,变化后的量为 b, (1)若连续两次增长,平均增长率为 x,则 b=⑨　 a(1+x) 2 　 ; (2)若连续两次下降,平均下降率为 x,则 b=⑩　 a(1-x) 2 　 . 例 1　 为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降价,每瓶零售 价由 80 元降为 54 元,求平均每次降价的百分率,设平均每次降价的百分率为 x,可 列方程为􀃊􀁉􀁓　 80(1-x) 2 =54　 . 类型 2　 面积问题 (1)如图 1,设空白部分的宽为 x,则 S阴影 =􀃊􀁉􀁔　 (a-2x)(b-2x) 　 ; 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 　 　 图 4 (2)如图 2、图 3、图 4,设阴影道路的宽为 x,则 S空白 =􀃊􀁉􀁕　 (a-x)(b-x) 　 ; 32 基础夯实练·江西数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ (3)如图 5,用总长为 m 米的篱笆,围成一个矩形,一边靠墙,若平行于墙的一边长为 x 米 (墙面长度大于 x 米),则所围成矩形的面积为 S=􀃊􀁉􀁖　 x·　 　 　 ;如图 6,当在边上留 1 米的门时,S=􀃊􀁉􀁗　 　 　 　 　 ; 图 5 　 　 　 图 6 　 　 　 图 7 (4)如图 7,长为 a,宽为 b 的矩形 ABCD 的四个角都剪去一个边长为 x 的正方形后做成一 个无盖的盒子,则该盒子的底面积 S=􀃊􀁉􀁘　 (a-2x)(b-2x) 　 . 例 2　 如图 8 所示,某小区计划在一个“长为 40 m,宽为 26 m”的矩形场地 ABCD 上修建三 条同样宽的道路,使其中两条与 AB 平行,另一条与 AD 平行,其余部分种草.若使每 一块草坪的面积都是 144 m2,则道路的宽是􀃊􀁉􀁙　 2 m　 . 图 8 　 　 　 　 　 　 图 9 [拓展]将图 8 中的三条道路分别向上、向左和向右平移到图 9 的位置,若设宽为 x m,则可列方程为􀃊􀁉􀁚　 (40-2x)(26-x)= 144×6　 . 类型 3　 “传播”问题 (1)细胞分裂:现有 a 个细胞,若每轮分裂中每一个细胞可分裂成 x 个细胞,则第一轮分 裂后的细胞总数为􀃊􀁉􀁛　 ax　 ,第二轮分裂后的细胞总数为􀃊􀁊􀁒　 ax2 　 ; (2)病毒传染:有一个人患流感,若每轮传染中平均一个人传染了 x 个人,则第一轮后共 有􀃊􀁊􀁓　 (1+x) 　 个人患流感,第二轮后共有􀃊􀁊􀁔　 (1+x) 2 　 个人患流感; (3)植物主干分支:一种植物的主干长出 a 个支干,每个支干又长出同样数目的小分支, 则主干、支干和小分支的总数为(1+a+a2)个. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 5. [人教九上 P19 探究 1 改编]有一个人患了流感,经过两轮传染后共有 121 个人患了流 感,则每轮传染中平均一个人传染了　 10　 个人. 类型 4　 “循环”问题 (1)握手问题:有 n 个人相互之间只握一次手,则每个人需要握手(n-1)次,总握手次数为 n(n-1) 2 次; (2)单循环赛问题:有 n 支球队参加比赛,每个球队都要和其他球队进行比赛,且相同的 两个球队只进行一场比赛,则每个球队需要进行( n- 1)场比赛,总的比赛场次为 n(n-1) 2 场; 42 基础夯实练·江西数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ (3)互赠礼物问题:一个班级有 n 名同学,每两名同学之间都要互相赠送一个礼物,则每 个同学需赠送礼物(n-1)个,总的礼物个数为 n(n-1)个. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 6. [人教九上 P17 第 9 题改编]参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合 同,所有公司共签订了 45 份合同,设有 x 家公司参加,则依题意列方程为 ( B ) A. 1 2 x(x+1)= 45　 　 B. 1 2 x(x-1)= 45　 　 C. x(x+1)= 45　 　 D. x(x-1)= 45 温馨提示:请完成分层作业本 P17-18 习题 命题点 4　 一元一次不等式(组)及其应用(每年考查 1 道) 要点 1 不等式的基本性质 基本性质 文字表达 数学表达 在解不等式中的应用 性质 1 不等式两边加(或减)同一个 数(或式子),不等号的方向 不变 如果 a > b,那么 a ± c ①　 >　 b±c 移项 性质 2 不等式两边乘(或除以)同一 个正数,不等号的方向不变 如果 a>b,c>0,那么 ac ②　 >　 bc(或 a c > b c ) 性质 3 不等式两边乘(或除以)同一 个负数,不等号的方向改变 如果 a>b,c<0,那么 ac ③　 <　 bc(或 a c < b c ) 去分母,系数化为 1 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 1. [人教七下 P120 第 4 题改编]下列说法错误的是 ( C ) A. 若 a<b,则 a+1<b+1　 　 　 　 　 　 　 　 　 B. 若-2a>-2b,则 a<b C. 若 a<b,则 ac<bc D. 若 a(c2+1)<b(c2+1),则 a<b 要点 2 一元一次不等式的解法及解集表示(2018.13(2),2016.2) 解法步骤 与解一元一次方程类似:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项; ⑤系数化为 1(特别注意性质 3 的变号) 注:根据实际情况选择解题步骤,如不等式中无分母,则跳过① 解集 的表示 数轴上 的表示 解集 ④　 x<a　 ⑤　 x>a　 ⑥　 x≤a　 ⑦　 x≥a　 总结 在数轴上表示解集时,要注意“两定”:一定边界点,二定方向.定边界 点时,“≥”或“≤”是实心圆点,“>”或“<”是空心圆圈;定方向的原则 为小于向左,大于向右 52 参考答案与重难题解析·江西数学 基 础 夯 实 练 对点练习 1. C　 2. 2　 [变式 2-1]2　 [变式 2-2]1 3. 90%x-y= 20%y, 80%x-y= 10{ 　 4. 1 12 x+ 1 24 x= 1 5. 7.2 km / h,2.6 km / h　 6. x+y= 24, 4×3x= 12y{ 命题点 2　 分式方程及其应用 要点归纳 ①(x-2)　 ②3=-(x+1)-(x-2)　 ③3=-x-1-x+2 ④x=-1　 ⑤当 x=-1 时,x-2≠0　 ⑥x=-1　 ⑦ 600 x ⑧x+10　 ⑨ 350 x+10 　 ⑩ 600 x = 2× 350 x+10 　 􀃊􀁉􀁓x= 60 􀃊􀁉􀁔经检验,x= 60 是原分式方程的解,且符合题意 􀃊􀁉􀁕则 B 种书包每个的进价为 x+10= 70 􀃊􀁉􀁖A 种书包每个进价为 60 元,B 种书包每个进价为 70 元　 􀃊􀁉􀁗 6 3x 　 􀃊􀁉􀁘4x　 􀃊􀁉􀁙 10 4x 　 􀃊􀁉􀁚 6 3x +20 60 = 10 4x 　 􀃊􀁉􀁛C　 􀃊􀁊􀁒 1 3 　 􀃊􀁊􀁓 1 3 　 􀃊􀁊􀁔 1 2 　 􀃊􀁊􀁕 1 2 　 􀃊􀁊􀁖 1 3 + 1 3 × 1 2 　 􀃊􀁊􀁗 1 3 + 1 3 × 1 2 + 1 2x = 1 􀃊􀁊􀁘x= 1　 􀃊􀁊􀁙经检验,x = 1 是原分式方程的解,且符合实际　 􀃊􀁊􀁚乙队的施工速度快 对点练习 1. (1)4;(2)3 或 4;(3)0<m<2;(4)0;(5)2 或 0 2. 12 000 1.5x +100= 10 000 x 　 3. 540 x = 540 +60 x+20 4. 原计划每天挖掘隧道的长度　 [变式]6 命题点 3　 一元二次方程及其应用 要点归纳 ①a≠0　 ②a≠0　 ③两个不相等　 ④两个相等 ⑤- b 2a 　 ⑥没有　 ⑦- b a 　 ⑧ c a 　 ⑨a(1+x) 2 　 ⑩a(1-x) 2 􀃊􀁉􀁓80(1-x) 2 = 54　 􀃊􀁉􀁔(a-2x)(b-2x)　 􀃊􀁉􀁕(a-x)(b-x) 􀃊􀁉􀁖x· m-x 2 　 􀃊􀁉􀁗x· m+1-x 2 　 􀃊􀁉􀁘(a-2x)(b-2x)　 􀃊􀁉􀁙2 m 􀃊􀁉􀁚(40-2x)(26-x)= 144×6　 􀃊􀁉􀁛ax　 􀃊􀁊􀁒ax2 　 􀃊􀁊􀁓(1+x) 􀃊􀁊􀁔(1+x) 2 对点练习 1. (1)16;(2)36,6 2. (1)解:由原方程得 x2-2x= 4, 则 x2-2x+1= 4+1,即(x-1) 2 = 5, ∴ x-1=± 5 , ∴ x1 = 1+ 5 ,x2 = 1- 5 ; (2)解:b2-4ac=(-5) 2-4×2×2= 9>0, ∴ x= 5± 9 4 = 5±3 4 , ∴ x1 = 2,x2 = 1 2 . 3. (1)a<4 且 a≠0;(2)4;(3)a>4;(4)a≤4 4. 4　 5. 10　 6. B 命题点 4　 一元一次不等式(组)及其应用 要点归纳 ①>　 ②>　 ③<　 ④x<a　 ⑤x>a　 ⑥x≤a　 ⑦x≥a　 ⑧x>b ⑨x<a　 ⑩a<x<b　 􀃊􀁉􀁓无解　 􀃊􀁉􀁔1　 􀃊􀁉􀁕a≤2　 􀃊􀁉􀁖3　 􀃊􀁉􀁗a≥2　 􀃊􀁉􀁘-1　 􀃊􀁉􀁙a<2　 􀃊􀁉􀁚-1≤a<0　 􀃊􀁉􀁛2,1,0　 􀃊􀁊􀁒0　 􀃊􀁊􀁓-1　 􀃊􀁊􀁔a<0 􀃊􀁊􀁕a≥2　 􀃊􀁊􀁖>　 􀃊􀁊􀁗<　 􀃊􀁊􀁘≥　 􀃊􀁊􀁙≤　 􀃊􀁊􀁚x≥ 1 n (m-x) 􀃊􀁊􀁛ax+b(m-x)≤n 对点练习 1. C 2. 解:x+1> x+4 2 , 去分母,得 2(x+1)>x+4, 去括号,得 2x+2>x+4, 移项,得 2x-x>4-2, 合并同类项,得 x>2, 解集在数轴上表示如解图所示. 第 2 题解图 3. 解:解不等式 1+x>-2,得 x>-3, 解不等式 2x-1 3 ≤1,得 x≤2, 则不等式组的解集为-3<x≤2, 将不等式组的解集表示在数轴上如解图所示. 第 3 题解图 4. D 第三章　 函　 数 命题点 1　 平面直角坐标系 要点归纳 ①y　 ②x　 ③x= 0 且 y= 0　 ④纵　 ⑤横　 ⑥(x,-y) ⑦(-x,y)　 ⑧(-x,-y)　 ⑨(x+a,y)　 􀃊􀁉􀁒(x,y+a) 􀃊􀁉􀁓(x,y-a)　 􀃊􀁉􀁔| a | 　 􀃊􀁉􀁕 a2+b2 　 􀃊􀁉􀁖| x1-x2 | 　 􀃊􀁉􀁗| y1-y2 | 　 􀃊􀁉􀁘| y2-y1 | 对点练习 1. (1)-2;2;(2)-2<m<2;m>2;三;(3)-1;-4; (4)(2-m,-3m-6);(0,6);(5)(-m,3m+3) 2. (1)(-1,2),2,1, 5 ;(2)(- 1 2 ,1); (3)2,(-3,2)或(1,2);(4)(1,1)或(1,3); (5)(2,1)或(2,-1); 10或 3 2 命题点 2　 函数及函数图象的分析与判断 要点归纳 ①图象法　 ②≠　 ③≠　 ④≥　 ⑤≥　 ⑥≠　 ⑦>　 ⑧>　 ⑨> 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2