精品解析：湖南省常德市澧县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年下学期期中考试试题卷 九年级数学 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，且＝．若的面积为8，则的面积是（ ） A. B. 6 C. 9 D. 18 3. 如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点、、都在横线上，如果线段的长为，那么的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 4. 已知一元二次方程的两根为、，则的值是（ ） A B. C. 2 D. 4 5. 将式子（a，b，c，d都不等于0）写成比例式，错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，周末小新一家来到河北石家庄正定古城游元，一座古塔塔高为，小新在距离古塔的位置观看古塔时，与观看到的手中的景点地图的古塔缩略图感觉相同（），若缩略图中的古塔高为，则缩略图距离眼睛的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的一元二次方程有一根为0，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 或2 9. 在温度不变的条件下，气体的压强和气体体积对应数值如下表，则可以反映与之间的关系的式子是（    ） 体积 100 80 60 40 20 压强 60 75 100 150 300 A. B. C. D. 10. 新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（ ） A 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 一元二次方程________实数根（填“有”或“没有”）． 12. 黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割．如图，B为的黄金分割点，如果的长度为，则的长度为______．（结果保留根号） 13. 如图示，已知，那么添加下列一个条件后，能判定的是______（请填写序号） ① ② ③ ④ 14. 我市某楼盘2013年房价为每平方米4500元，经过两年连续降价后，2015年房价为3645元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为________． 15 用公式法解方程时，______，______，______． 16. 若点，在函数的图象上，则函数值______．（填“”或“”或“”） 17. 已知是关于x 的一元二次方程，则_________． 18. 如图，在钝角三角形中，，动点从点出发沿以的速度向点运动，同时动点从点出发沿以的速度向点运动，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是___________． 三、解答题（共8小题，满分66分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中是方程的一个解． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出满足的x取值范围． 22. 如图，在中,D、E、F分别是上点，且，，，，求和的长． 23. 为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） （2）若气球内气体的压强不能超过，为安全起见，则其体积要控制在什么范围? 24. 如图，在中，，，点P边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线交于点M，使． （1）求证：； （2）当为直角三角形时，求线段的长度． 25. 小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． （1）甲运动后的路程是多少？ （2）甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 26. 综合与实践：利用相似三角形测量距离 （1）【学科融合】如图1，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（蜡烛火焰到小孔的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．则关于的函数关系式是__________（不用写自变量的取值范围）． （2）【数学思考】如图2，嘉嘉正在使用手电筒进行物理光学实验，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，点A，B，C，D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度__________． （3）【实际应用】如图3，小明家窗外有一步路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里．路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中O，F，D，E四点在同一条直线上，C，B，F三点在同一条直线上，且，，请求出路灯的高度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年下学期期中考试试题卷 九年级数学 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数定义，形如的函数叫做反比例函数，根据反比例函数定义逐项判断即可得到答案，熟记反比例函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、是正比例函数，不是反比例函数，不符合题意； B、是反比例函数，符合题意； C、不是反比例函数，不符合题意； D、不是反比例函数，不符合题意； 故选：B． 2. 若，且＝．若的面积为8，则的面积是（ ） A. B. 6 C. 9 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵，且＝． ∴ ∵的面积为8， ∴的面积为18， 故选：D． 3. 如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点、、都在横线上，如果线段的长为，那么的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．如图，过点作于点，交过点的平行线于点，交点所在直线的邻近平行线于点，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交过点的平行线于点，交点所在直线的邻近平行线于点，根据题意，， ∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴， ∴． 解得． 故选：C． 4. 已知一元二次方程的两根为、，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握关于的一元二次方程的根与系数关系：，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的两根为，， ，， ， 故选：B． 5. 将式子（a，b，c，d都不等于0）写成比例式，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】掌握比例的基本性质，根据比例的基本性质：外项之积等于内项之积，对选项一一分析，选出正确答案即可．根据比例的基本性质实现比例式和等积式的互相转换． 【详解】解：A．由得，故该选项不符合题意； B．由得，故该选项不符合题意； C．由得，故该选项不符合题意； D．由得，故该选项符合题意． 故选：D． 6. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行配方即可． 【详解】解： ∴； 故选A． 7. 如图，周末小新一家来到河北石家庄正定古城游元，一座古塔塔高为，小新在距离古塔的位置观看古塔时，与观看到的手中的景点地图的古塔缩略图感觉相同（），若缩略图中的古塔高为，则缩略图距离眼睛的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟练的利用相似三角形的性质建立方程求解是关键． 【详解】解：由题意可得：，，， ， ∴， ∴， ∴，经检验符合题意； 故选A 8. 已知关于的一元二次方程有一根为0，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 或2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的根，注意一元二次方程的二次项系数不能等于0是解题的关键．把代入方程，解之得的值，且，从而得到答案． 【详解】解：把代入方程，得 解得： 故选：C． 9. 在温度不变的条件下，气体的压强和气体体积对应数值如下表，则可以反映与之间的关系的式子是（    ） 体积 100 80 60 40 20 压强 60 75 100 150 300 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的知识，根据表格的信息确定该函数是反比例函数是解题的关键． 由表格可得，得该函数是反比例函数，设解析式为，把x、y代入得到k的值即可解答． 【详解】解：由表格可得，得该函数是反比例函数， ∴设解析式为， ∴， 把代入，可得， ∴． 故选：C． 10. 新定义：关于x一元二次方程与称为“同族二次方程”如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的定义，理解题目中的新定义是解题的关键；利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴， ∴， ， 解得：， ， ∵， ∴， 当时，能取的最小值是2024， 故选：． 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 一元二次方程________实数根（填“有”或“没有”）． 【答案】有 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是先根据根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义进行判断． 【详解】解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数解． 故答案为：有． 12. 黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割．如图，B为的黄金分割点，如果的长度为，则的长度为______．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割的定义，熟记黄金比是解题的关键．根据黄金分割的定义可知：，由此求解即可． 【详解】为的黄金分割点，， ， ． 故答案为：． 13. 如图示，已知，那么添加下列一个条件后，能判定是______（请填写序号） ① ② ③ ④ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相关判定定理的内容是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ 即： ①若，则（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）； ②若，则（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）； ③若，则（如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似）； ④，不能判定； 故答案为：①②③ 14. 我市某楼盘2013年房价为每平方米4500元，经过两年连续降价后，2015年房价为3645元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该楼盘这两年房价平均降低率为x，则2014年房价为元，2015年房价为元，据此列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 15. 用公式法解方程时，______，______，______． 【答案】 ①. 1 ②. 3 ③. 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】∵， ∴ ∴，， 故答案为：1，3，． 16. 若点，在函数的图象上，则函数值______．（填“”或“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的图象性质，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 先根据函数解析式判断出函数图象所在的象限及增减性，进而可得出结论． 【详解】解：函数中，， 函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小， ， ． 故答案为：． 17. 已知是关于x 的一元二次方程，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：由题意，得，且， 解得， 故答案为：． 18. 如图，在钝角三角形中，，动点从点出发沿以速度向点运动，同时动点从点出发沿以的速度向点运动，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意，设运动时间为，分别用含的式子表示出，再根据相似三角形的判定，分类讨论：当时，；当时，；由此列式求解即可． 【详解】解：点从的运动时间为，点从的运用时间为， 设运动时间为， ∴， ∵是钝角三角形， ∴， ∵是公共角， ∴当时，， ∴， 解得，，符合题意； 当时，， ∴， 解得，，符合题意； 综上所述，当运动时间是或时，以为顶点的三角形与相似， 故答案为：或 ． 三、解答题（共8小题，满分66分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程特点选择适当方法是解题的关键； （1）方程左边利用完全平方公式分解因式得，则可求解； （2）先移项，再把左边因式分解得，即可求解； 【小问1详解】 解：方程化为：， ∴； 【小问2详解】 解：方程化为， 即， ∴或， 解得：． 20. 先化简，再求值：，其中是方程的一个解． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练的化简分式并整体代入进行计算是解本题的关键．先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，再整体代入计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴，其中， ∴原式． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出满足的x取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：依题意，点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点， ． ∵，两点均在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数解析式为． 综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴当时，x的取值范围为或． 22. 如图，在中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，注意对应线段是解答的关键．利用平行线分线段成比例得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即， 解得：， ∴． ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∴，． 23. 为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） （2）若气球内气体的压强不能超过，为安全起见，则其体积要控制在什么范围? 【答案】（1） （2）气体的体积应不小于 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入（1）中的函数解析式，求出，根据反比例函数的增减性进行解答即可 【小问1详解】 解：设，由题意知 ，即； 【小问2详解】 当时，． 在第一象限，随的增大而减小， 当时，， 为了安全起见，气体的体积应不小于． 24. 如图，在中，，，点P为边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线交于点M，使． （1）求证：； （2）当为直角三角形时，求线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等： （1）根据等边对等角得出，利用三角形外角的性质和，推出，进而证明，根据对应边成比例即可得出结论； （2）分，两种情况，时，，由勾股定理解可得线段的长度；时，可证，由对应线段成比例可得的长度． 【小问1详解】 证明：， ， 又，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由题意知， 当时，如图， 由（1）知， ， ， 点P为中点， ， 在中，由勾股定理得： ； 当时，如图，作于点D，则， 由（1）知， ， ，， ， ，， ， ， ， 综上可知，线段的长度为或． 25. 小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． （1）甲运动后的路程是多少？ （2）甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】（1） （2）它们运动了秒 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键． （1）将代入，计算求解即可； （2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可． 【小问1详解】 解：当时，， 答：甲运动后的路程是； 【小问2详解】 解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）． 答：它们运动了秒． 26 综合与实践：利用相似三角形测量距离 （1）【学科融合】如图1，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（蜡烛火焰到小孔的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．则关于的函数关系式是__________（不用写自变量的取值范围）． （2）【数学思考】如图2，嘉嘉正在使用手电筒进行物理光学实验，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，点A，B，C，D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度__________． （3）【实际应用】如图3，小明家窗外有一步路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里．路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中O，F，D，E四点在同一条直线上，C，B，F三点在同一条直线上，且，，请求出路灯的高度． 【答案】（1） （2） （3）路灯的高度为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数解析式，相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数解析式，相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质是解题的关键 （1）设关于的函数关系式为，将时，代入，解得，，进而可得关于的函数关系式； （2）由题意知，，证明，则，即，解得，，证明，则，即，计算求解即可； （3）由题意知，，，设，．证明，则，即，解得，，，则，即，计算求解即可． 【小问1详解】 解：设关于的函数关系式为， 将时，代入得，， 解得，， ∴关于的函数关系式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意知，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意知，，， 设，． ∵，， ∴． ∴， ∴，即，解得，， ∴， ∴，即，解得， ∴路灯的高度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$