第01讲 二次根式（2个知识点+2种题型+分层练习） -2025年八年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第01讲 二次根式（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 知识点2．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 题型强化 题型一．二次根式的定义 1．（2024春•交口县期末）若是整数，则正整数的最小值是　　 A．3 B．7 C．9 D．63 2．（2024春•中江县月考）观察并分析下列数据，寻找规律：0，，2，，，，，那么第10个数据应是　　． 3．（2024春•南昌期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称，是因子二次根式，为因子． （1）请判断 和 是否为因子二次根式．如果是，求出因子；如果不是，请说明理由． （2）若 与 是因子二次根式，3为因子，求的值． 题型二．二次根式有意义的条件 4．（2023秋•龙华区校级期末）若有意义， 则的取值范围是　　 A ． B ． C ． D ．为任何实数 5．（2024春•息县期末）若二次根式有意义，则可以是 　　（写出一个符合条件的值即可）． 6．（2024•齐河县开学）【问题情景】请认真阅读下列这道例题的解法．例：若，为实数，且，化简：． （1）解：由解得　　，　　，　　　　． （2）【拓展创新】已知，求的值． 分层练习 一、单选题 1．（   ） A． B．3 C．或3 D．9 2．下列根式中，是二次根式的是（    ）. A．π B． C． D． 3．若代数式有意义，则必须满足条件（    ） A． B． C． D．为任意实数 4．下列各式在实数范围内一定有意义的是（     ） A． B． C． D． 5．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．使二次根式有意义的x的取值范围是（） A． B． C． D． 7．实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（  ） A． B． C． D． 8．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图，那么代数式可以化简为（    ） A． B． C． D． 9．下列根式中，与属于同类二次根式的是（ ） A． B． C． D． 10．式子：有意义时，的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 且 二、填空题 11．写出的一个同类二次根式是 ． 12．计算： ． 13．若在第二象限，则 ． 14．若式子有意义，则m的取值范围是 ． 15．计算： .（结果用含的式子表示） 16．已知，则化简的结果是 ． 17．是二次根式，则的取值范围是 ． 18．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第7行从左至右第3个数是 ． 三、解答题 19．求代数式÷的值，其中x＝． 20．化简： (1) (2) 21．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是 ，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得（，该路段限速，则该汽车超速了吗? 请说明理由．（参考数据： ） 22．一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，m表示物体的质量，单位是千克，v表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名运动员在匀速跑步，她的质量是60千克．若动能是1000焦耳，求该运动员的跑步速度（结果保留根号）． 23．先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照以上各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）． (3)应用上述结论，请计算的值． 24．阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求a的取值范围 解：原式， 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． 的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：__________． (2)若，求a的取值范围． 25．如图，//，为线段上一点，，，且． （1）求的值． （2）过点作//，若点在直线上向左运动，写出与之间所有的数量关系，请自行画出相应的图形，并说明理由．（不考虑与、重合的情况） 26．观察下列各式： ；；；…… (1)请直接写出第五个式子 ． (2)针对上述各式反映的规律，给出用（为任意自然数，且）表示的等式，并进行证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次根式（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 知识点2．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 题型强化 题型一．二次根式的定义 1．（2024春•交口县期末）若是整数，则正整数的最小值是　　 A．3 B．7 C．9 D．63 【分析】因为是整数，且，则是完全平方数，满足条件的最小正整数为7． 【解答】解：，且是整数； 是整数，即是完全平方数； 的最小正整数值为7． 故选：． 【点评】主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数． 2．（2024春•中江县月考）观察并分析下列数据，寻找规律：0，，2，，，，，那么第10个数据应是　　． 【分析】根据0，，2，，，，，即可得到0，，，，，，，从而得到第个数为． 【解答】解：第十个数为． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的定义，能够由题中得出的规律求解一些第几项的值的问题． 3．（2024春•南昌期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称，是因子二次根式，为因子． （1）请判断 和 是否为因子二次根式．如果是，求出因子；如果不是，请说明理由． （2）若 与 是因子二次根式，3为因子，求的值． 【分析】（1）根据新定义判断即可； （2）根据新定义列方程解答即可． 【解答】解：（1） 和 是因子二次根式，理由如下： ， 和 是因子二次根式； （2）根据题意得， 即， 解得． 【点评】本题考查了二次根式的定义：正确理解新定义是解决问题的关键． 题型二．二次根式有意义的条件 4．（2023秋•龙华区校级期末）若有意义， 则的取值范围是　　 A ． B ． C ． D ．为任何实数 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可 ． 【解答】解： 由题意得：， 解得：， 故选：． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件， 关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数 ． 5．（2024春•息县期末）若二次根式有意义，则可以是 　　（写出一个符合条件的值即可）． 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围，即可得到答案． 【解答】解：若二次根式有意义， 则， 解得． 故答案为：6（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键． 6．（2024•齐河县开学）【问题情景】请认真阅读下列这道例题的解法．例：若，为实数，且，化简：． （1）解：由解得　　，　　，　　　　． （2）【拓展创新】已知，求的值． 【分析】（1）根据二次根式的非负性，列出不等式组，即可求得，，进而化简代数式即可； （2）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得，，进而求出即可． 【解答】解：（1）由， 解得：， ， ． ； 故答案为：3，1，； （2）， 由：， 解得：， ， ， ， ． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，通过对完全平方公式变形求值，二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．（   ） A． B．3 C．或3 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故选A． 2．下列根式中，是二次根式的是（    ）. A．π B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义进行判断． 【详解】A. π不符合题意，故此选项不正确； B. 不符合题意，故此选项不正确； C. 根号下小于零不符合题意，故此选项不正确； D. 符合题意，故此选项正确； 故选D. 【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 3．若代数式有意义，则必须满足条件（    ） A． B． C． D．为任意实数 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 ，再根据平方的非负性，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， ∵ ， ∴，即为任意实数时，恒成立， ∴代数式有意义，必须满足条件为为任意实数． 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握当被开方数是非负数时，二次根式有意义是解题的关键． 4．下列各式在实数范围内一定有意义的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有无意义．根据题意，被开方数为非负数时有意义，逐项分析即可． 【详解】解：A.时，无意义，此项不符合题意； B.中为任意实数时都有意义，此项符合题意； C.时，无意义，此项不符合题意； D.当异号时，无意义，此项不符合题意． 故选：B． 5．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据二次根式的被开方数为非负数以及分式的分母不为0可得关于x的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解∶∵代数式 有意义， ∴， 解得， 故选∶B． 6．使二次根式有意义的x的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可得出关于x的一次不等式，解出即可得出x的范围． 【详解】∵二次根式有意义， ∴可得， 解得． 故选D． 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题关键是掌握二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数为非负数． 7．实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据实数a，b在数轴上的位置，确定a,，b和0的大小关系，然后根据绝对值的性质化简求值． 【详解】由实数在数轴上的位置可知 a＜0，b＞0，-a＞b ∴ 故选：A 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，根据实数a，b在数轴上的位置，确定a，b和0的大小关系，本题在化简求值过程中应用了绝对值的性质． 8．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图，那么代数式可以化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断再化简即可． 【详解】解： 故选D 【点睛】本题考查的是实数与数轴，二次根式的化简，整式的加减运算，掌握“”是解本题的关键． 9．下列根式中，与属于同类二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：=2， A、=3，与属于同类二次根式，故本选项正确； B、=，与不属于同类二次根式，故本选项错误； C、=2，与不属于同类二次根式，故本选项错误； D、=2，与不属于同类二次根式，故本选项错误； 故选A． 【点评】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 10．式子：有意义时，的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 且 【答案】D 【分析】根据二次根式及分式有意义的条件，即可得出x的取值范围． 【详解】由题意，得： ， 解得：x≥-3且x≠2． 故选：D． 【点睛】此题考查二次根式及分式有意义的条件，解题关键在于注意掌握：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 二、填空题 11．写出的一个同类二次根式是 ． 【答案】（答案不唯一）． 【详解】试题分析：由题意得：是的同类二次根式．故答案为（答案不唯一）． 考点：同类二次根式． 12．计算： ． 【答案】 【分析】先把每个二次根式化简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式=2- = 【点睛】本题考查了二次根式的化简和运算，熟练掌握计算法则是关键． 13．若在第二象限，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查平面直角坐标系内各点的坐标特征，二次根式的性质．掌握第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正和二次根式的性质是解题关键．根据在第二象限，得出，，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵在第二象限， ∴，， ∴． 故答案为：． 14．若式子有意义，则m的取值范围是 ． 【答案】m≥0且m≠4 【分析】直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出关于m的不等式，进而得出答案． 【详解】解：根据题意得：m≥0且4-≠0， 解得：m≥0且m≠4． 故答案为：m≥0且m≠4． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件是解题关键． 15．计算： .（结果用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简，即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 16．已知，则化简的结果是 ． 【答案】2 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解： ∵， ∴原式； 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 17．是二次根式，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得，即得． 【详解】∵是二次根式， ∴． ∵，， ∴． ∴． 故答案为：． 18．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第7行从左至右第3个数是 ． 【答案】 【分析】图形可知，第n行最后一个数为，据此可得答案． 【详解】解：由图形可知，第n行最后一个数为， ∴第6行最后一个数为， 则第7行从左至右第3个数是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数字的变化类，二次根式的性质化简，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为． 三、解答题 19．求代数式÷的值，其中x＝． 【答案】-2+ 【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再把x的值代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解：原式=（ ）÷ =· =· = = 当x＝时，原式==-2+． 【点睛】本题考查分式的化简求值以及二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 20．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键． （1）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案． 【详解】（1） ； （2） ． 21．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是 ，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得（，该路段限速，则该汽车超速了吗? 请说明理由．（参考数据： ） 【答案】该汽车没有超速，理由见解析 【分析】 本题考查了二次根式的应用，根据题意代入公式进行计算即可求解． 【详解】解：该汽车没有超速，理由如下， 依题意，（） ∵， ∴该汽车没有超速． 22．一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，m表示物体的质量，单位是千克，v表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名运动员在匀速跑步，她的质量是60千克．若动能是1000焦耳，求该运动员的跑步速度（结果保留根号）． 【答案】米/秒 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据题目所给公式建立方程求解即可． 【详解】解：由题意可知， ∴，                 ∴（米/秒）． 答：该运员的跑步速度是米/秒． 23．先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照以上各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）． (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)，见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减法，观察式子找规律，根据规律解题即可． （1）利用题中等式的计算规律得出结果，并验证． （2）找出第n个等式的左边为，右边为1与的和，列出等式即可． （3）按照（2）得出的等式关系，代入即可求得结果． 【详解】（1）解：的结果为； 验证： （2）第n个等式的左边为，等式右边为1与的和， 故等式如下： （3） 24．阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求a的取值范围 解：原式， 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． 的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：__________． (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1)2 (2)或 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质， （1）根据二次格式的性质即可得； （2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可得； 掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：原式， 当时，原式， 故答案为：4． （2）解：， 当时，原式， ，符合条件； 当时，原式，（舍去）； 当时，原式， ，符合条件， ∴a的取值范围是或． 25．如图，//，为线段上一点，，，且． （1）求的值． （2）过点作//，若点在直线上向左运动，写出与之间所有的数量关系，请自行画出相应的图形，并说明理由．（不考虑与、重合的情况） 【答案】（1）；（2）当在点右边时，；当在线段上时，；当在点左边时，．画图见解析，理由见解析． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求解，再代入计算可求n的值． （2）分三种情况：①当P在D点右边时；②当P在线段AD上时；③当P在A点左边时；利用平行线的性质，进行讨论即可求解． 【详解】（1）∵， ∵，即， ，即， ∴， ， ∴，， ∴． （2）①当在点右边时， 因为，， ∴， ∴， 设，则， ， ∴， ∴， ， ②当在线段上时， ，， ∴， ∴， 设，则， ， ∴， ∴， ； ③当在点左边时， ，，， ∴，， ∴， 设，则， ， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，角的和差关系，平行线公理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意分类思想的运用． 26．观察下列各式： ；；；…… (1)请直接写出第五个式子 ． (2)针对上述各式反映的规律，给出用（为任意自然数，且）表示的等式，并进行证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据题意写出第五个式子即可； （2）根据式子间的规律可以发现第n个式子为． 【详解】（1）解：由题意得，第五个式子为 （2）解：第n个式子为，理由如下： ， ∴． 【点睛】本题主要考查了与实数相关的规律，解题的关键在于能够根据题意找到规律． 学科网（北京）股份有限公司 $$