江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025学年高三上学期数学周练14

江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025第一学期高三数学周练14 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设，若，则 （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2．有个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是 （  ） A．90 B．150 C．390 D．420 3．如图，平面内与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 （ ） 4．的三个内角，，的对边分别为，，，若三角形中，，且，则 （ ） A. 3 B. C. 2 D. 4 5．已知数列的前项和为，其中，且，则 （ ） A. B. C. D. 6．已知偶函数，，是函数的图象与轴相邻的两个交点，是图象在，之间的最高点或最低点，若为直角三角形，则 （ ） A. B. C. D. 7．若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为 （     ） A．6 B．10 C．55 D．63 8．已知函数，正数，满足，则的最大值为 （ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9．随机事件满足，则下列说法正确的是 （ ） A 事件互不独立 B. C. D. 10．在数列和中，，，，下列说法正确的有（ ） A B. C. 36是与的公共项 D. 11．抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则 （ ） A. l与相切 B. 当P，A，B三点共线时， C. 当时， D. 满足的点有且仅有2个 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，且轴，过点作的平分线的垂线，与直线交于点，若点在圆上，则的离心率为__________. 13．已知一正五棱锥，其顶点与各侧棱中点合计11个点.从这11个点中任选4个点，这四个点不共面的概率为______ 14．若直线是曲线的切线，则的最小值是______. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．如图，为平面四边形的四个内角. （1）证明：； （2）若，，，，，求的值. 16．如图，四棱锥中，，，M为的中点，平面. （1）求证：； （2）若，，平面平面，二面角的正弦值为，求四棱锥的体积. 17．已知正项数列的前n项和为，且满足，. （1）求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式； （2）若数列的前n项和为，恒成立，求实数的最大值； （3）已知数列满足，，求的前n项和. 18．已知椭圆的长轴长为，短轴长为4. （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于不同两点. ①若的方程； ②已知点，连接交椭圆于另一点,连接交椭圆于另一点，求证：三点共线. 19. 设函数，. （1）求的极值； （2）已知实数，若存在正实数x使不等式成立，求a的取值范围； （3）已知不等式对满足的一切实数m，n恒成立，求实数k的取值范围. 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025第一学期高三数学周练14 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设，若，则 （ B ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2．有个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是 （  C  ） A．90 B．150 C．390 D．420 【详解】若人中有且仅有人被录用，满足条件的录用情况有种， 若人中有且仅有人被录用，满足条件的录用情况有种， 若人都被录用，满足条件的录用情况有种， 由分类加法计数原理可得符合要求的不同的录用情况种数是.故选：C. 3．如图，平面内与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 （ C ） 4．的三个内角，，的对边分别为，，，若三角形中，，且，则 （ D ） A. 3 B. C. 2 D. 4 【详解】，且，，， ，即， ，，，，， ，由正弦定理知，， ，即，，．故选：D 5．已知数列的前项和为，其中，且，则 （ C ） A. B. C. D. 【详解】因为，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 即，所以．故选：C. 6．已知偶函数，，是函数的图象与轴相邻的两个交点，是图象在，之间的最高点或最低点，若为直角三角形，则 （ D ） A. B. C. D. 【详解】因为函数 为偶函数，则，因为，所以，则解析式为，由函数解析式可知，，因为，是函数的图象与轴相邻的两个交点，是图象在，之间的最高点或最低点，所以在中，，所以最高点的纵坐标为，即，所以解析式为，所以.故选：D 7．若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为 （   C   ） A．6 B．10 C．55 D．63 【详解】因为，所以 ， 所以若既能被7整除，则，故又，所以 ， 所以若既能被9整除，则，故， 对于A，若，则由可知无解，故A错误； 对于B，若，则由可知无解，故B错误； 对于C，若，则由和得，故C正确； 对于D，若，则由可知无解，故D错误.故选：C. 8．已知函数，正数，满足，则的最大值为 （ B ） A. B. C. D. 【详解】方法一：由可得，易知在上单调递增，因此可得，即；又要求的最大值，只需考虑即可，因此，当且仅当时，等号成立；故选：B. 方法二：，而，所以； 而在上单调递增，所以，即， 因此原式，要求其最大值，只需考察 可得原式， 当且仅当时，即时等号成立；故选：B. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9．随机事件满足，则下列说法正确的是 （ ACD ） A 事件互不独立 B. C. D. 【详解】因为，所以，又，所以， 所以，而， 所以，所以事件互不独立，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，，所以，故D正确.故选：ACD 10．在数列和中，，，，下列说法正确的有（ ACD ） A B. C. 36是与的公共项 D. 【详解】对于A：因为，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以，故正确；对于B：因为，所以，所以，当时，符合条件，所以，故错误； 对于C：令，解得(负值舍去)，所以，令，解得(负值舍去)，所以，所以，即是与的公共项，故正确；对于D：因， 所以，故正确；故选：ACD. 11．抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则 （ ABD ） A. l与相切 B. 当P，A，B三点共线时， C. 当时， D. 满足的点有且仅有2个 【详解】A选项，抛物线的准线为，的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，故准线和相切，A选项正确；B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故，此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或，当时，，，，不满足；当时，，，，不满足；于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，，这里，于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，，中点，中垂线的斜率为，于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，，即的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个点，使得，D选项正确.方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确.故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，且轴，过点作的平分线的垂线，与直线交于点，若点在圆上，则的离心率为__________. 【详解】由题意知，轴，故将代入中， 得，则，即， 不妨设P在双曲线右支上，则，故； 设为的平分线，由题意知， 则，即，而，故，由点在圆上，得；又，则，在中，,即，结合，即得，即，解得或（舍），故（负值舍去），即的离心率为，故答案为： 【点睛】关键点睛：求解双曲线的离心率，关键是求出之间的数量关系式，因此解答本题时，要结合题中条件以及双曲线定义推出相关线段长，从而在中，利用余弦定理求出的关系，化为齐次式，即可求得答案. 13．已知一正五棱锥，其顶点与各侧棱中点合计11个点.从这11个点中任选4个点，这四个点不共面的概率为______ 【详解】从11个点中取4个点的取法为种，只要求出共面的就可以了，共面的分四种情况： 1.四个点都在正五棱锥的某一个面上，每个面5个点，有种，6个面共有情况； 2.四个点在两条侧棱上且不在侧面内的情况有，3四个点均在各侧棱的中点时有， 4.其中两点所在直线与另两点所在直线平行（如图中）， 且这四个点也不在四面体的某一个面上有10种， 因此取4个不共面的点的不同取法共有：， 所以这四个点不共面的概率为．故答案为：． 【点睛】关键点点睛|：先利用组合数公式求得总的基本事件个数；利用分类讨论的方法求出共面的基本事件个数，进而求得． 14．若直线是曲线的切线，则的最小值是______. 【详解】由求导得：，设切点为，则，①，切线方程为，即，由题意，，② ，将① 代入②，可得：，于是，. 设，则， 因，则，由，解得， 故当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增.故当时，函数取得最小值， 即，从而的最小值是.故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．如图，为平面四边形的四个内角. （1）证明：； （2）若，，，，，求的值. 15．解：（1） （2）由，得，. 由（1），有 连结，在中，有 在中，有，所以则 于是. 连结，同理可得 于是 所以. 16．如图，四棱锥中，，，M为的中点，平面. （1）求证：； （2）若，，平面平面，二面角的正弦值为，求四棱锥的体积. 15．解：（1）证明：取中点N，连接， ∵，又∵， ∴∴四点共面， ∵平面，平面， 平面平面，∴， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵，∴， ∴. （2）∵，，，∴， ∴， ∵，都在平面内， ∴平面， 由（1）知四边形为等腰梯形，， 则， 由等腰梯形的性质可知，， 解得：，又， 可知，如图建系， 设，，，，， ，，，， 设平面与平面的一个法向量分别为，， 易知：， 令，得 可得： 设上一点，∴， 因为在平面内，即坐标平面面内， ∴ ∴，平面的一个法向量. ∴令得： 可得： 二面角平面角为，所以 ∴，即， ∴. 17．已知正项数列的前n项和为，且满足，. （1）求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式； （2）若数列的前n项和为，恒成立，求实数的最大值； （3）已知数列满足，，求的前n项和. 17．解：（1）由可得， 相减可得， 因此， 由于为正项数列，所以，因此， 故， 故数列为等差数列，且公差为2， 又，所以， 故 （2），故， 由可得，化简可得， 因此， 记，则 ， 当时，，故，而， 当时，， ，故， 故为数列的最小项，故， 故的最大值为 （3）由可得， 故， 又，故， 因此是以1为首项，4为公比的等比数列，故， 是以1为首项，4为公比的等比数列，故 是以2为首项，4为公比的等比数列，故 故当时，当时， 则， ， 当时， 则， ， 综上可得，即，其中， 18．已知椭圆的长轴长为，短轴长为4. （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于不同两点. ①若的方程； ②已知点，连接交椭圆于另一点,连接交椭圆于另一点，求证：三点共线. 18．解：（1）由长轴长为，短轴长为4 所以三点共线. 19. 设函数，. （1）求的极值； （2）已知实数，若存在正实数x使不等式成立，求a的取值范围； （3）已知不等式对满足的一切实数m，n恒成立，求实数k的取值范围. 19．解：（1）由题设， 时，，即在上递减， 时，，即在上递增， 所以有极小值，无极大值. （2）由且，则， 所以，问题化为，使成立， 令，则，且时， 时，即在上递减，对应值域为； 时，即在上递增，对应值域为； 由于，于是，即，此时， 对于且，则， 故时，即在上递增， 时，即在上递减， 所以，故. （3）由题设，令，而， 所以上恒成立， 令在上递增，则， 令，则， 故上，即在上递减； 上，即在上递增； 所以， 综上，故只需. 【点睛】关键点点睛：第三问，应用换元法将问题化为在上恒成立是关键. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$