江苏省苏州市2024-2025学年苏科版数学上册期末复习专练 轴对称图形与等腰三角形（14大类型提分练+30道期末压轴题）

专题02轴对称图形与等腰三角形 （14大类型提分练+30道期末压轴题） 目录 类型一、轴对称与轴对称图形 1 类型二、轴对称与折叠问题 2 类型三、设计轴对称图形 3 类型四、轴对称与坐标对称问题 4 类型五、轴对称与最值问题 5 类型六、角平分线的性质 6 类型七、线段垂直平分线的性质 7 类型八、等腰三角形的性质 8 类型九、等边三角形的性质 8 类型十、角平分线与线段垂直平分线的计算问题 9 类型十一、角平分线与线段垂直平分线的作图 10 类型十二、等腰三角形的性质与判定 11 类型十三、等边三角形的性质与判定 12 类型十四、等腰（等边）三角形的综合问题 13 提能力：期末压轴30题 15 类型一、轴对称与轴对称图形 1．（23-24八年级上·江苏南通·期末）汉字是世界上最古老的文字之一，它是中华文明的符号与象征，许多中国汉字的形体和结构充满着“对称美”，用心欣赏下列汉字，其中是轴对称图形的是（    ） A．醉 B．美 C．东 D．国 2．（23-24八年级上·江苏常州·期末）下列图形中，属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级上·江苏南京·期末）若一个图形是轴对称图形，则这个图形可以是 （写出一个答案即可）． 类型二、轴对称与折叠问题 4．（20-21八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则（　　） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·江苏宿迁·期末）如图，将长方形纸片沿线段折叠，重叠部分为，若，则的度数为（    ） A．36° B．52° C．56° D．64° 6．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，将长方形纸条沿着线段折叠，点对应点为、，线段与边交于点，若，则的度数是( ) A． B． C． D． 类型三、设计轴对称图形 7．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）仅使用无刻度的直尺作图，找出下面三图中直线l上的点P，使得点P到A、B两点距离之和最小．请保留作图痕迹 8．（19-20八年级上·江苏南京·期中）[学科素养·几何直观]如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，有一个以格点为顶点的． (1)作关于直线对称的图形； (2)求的面积； (3)在上画出点，使得的值最小． 9．（20-21八年级上·湖北武汉·期末）在如图所示的5×5的网格中，△ABC的三个顶点A、B、C均在格点上． （1）如图1，作出△ABC关于直线m对称的△ （2）如图2，在直线m上作一点P，使△ACP的周长最小（仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）； （3）如图3，请作出格点△ABC边AC上的高BE（仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹） 类型四、轴对称与坐标对称问题 10．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点的顶点A、C的坐标分别为、，先作关于轴对称的，再把向下平移4个单位长度得到． (1)请在图中正确作出平面直角坐标系； (2)画出和． 11．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是、、 (1)将向上平移个单位长度得到，请画出 (2)请画出与关于轴对称的 (3)点的坐标为 ，点的坐标为 (4)若是内一点，按照（1）（2）操作后点的坐标为 ，点的坐标为 ． 12．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于y轴对称的； (2)在x轴上求作一点P，使的周长最小，并求出的面积． 类型五、轴对称与最值问题 13．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，点P、Q分别是边上的动点，则的最小值等于（    ）      A．4 B． C．5 D． 14．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，已知等边的边长为4，点D，E分别在边，上，．以为边向右作等边，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 类型六、角平分线的性质 16．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，中，，是角平分线．若，，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 17．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，若的面积为9，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 18．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，，平分，于，若，，则的周长为 ． 类型七、线段垂直平分线的性质 19．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点连接，若，，则的长为 ．    20．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，正方形的边长为1，点E为边的垂直平分线上一点，连接．把绕点B顺时针旋转得，连接，则 的面积为 ． 21．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线分别交于点D，E，连接，若的周长为，则的周长为 ． 类型八、等腰三角形的性质 22．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是（    ） A． B．或 C．或 D． 23．（23-24八年级上·江苏·期末）等腰三角形的一个内角是，它的一腰上的高与底边的夹角是（     ）． A． B． C． D．或 24．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在三角形纸片中，．把沿着翻折，点落在点处，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 类型九、等边三角形的性质 25．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，…均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（    ） A．2024 B．4042 C． D． 26．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，在边长为6的等边三角形中，D为边上的三等分点，则的长为( ) A．5 B． C． D． 27．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，，以点O为圆心，适当长为半径画弧交两边于点A、B，再以点A为圆心，长为半径画弧，交弧于点C，作射线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 类型十、角平分线与线段垂直平分线的计算问题 28．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）已知：如图所示． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线和的垂直平分线，它们的交点为D．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，过点D画，则的长为 ．（如需画草图，请使用备用图） 29．（19-20八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，请用无刻度直尺和圆规（不要求写作法，保留作图痕迹）； (1)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； (2)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且，请在图②中作出点． 30．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，． (1)用直尺和圆规作的垂直平分线DE，交、于点E、D．（保留作图的痕迹，不写作法） (2)在（1）条件下，若，， ①求长； ②连接，判断和的大小，并解释你的观点． 类型十一、角平分线与线段垂直平分线的作图 31．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)过点作，垂足为点，若的周长是10，求的长． 32．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，点D在边上，，，，垂足分别为E，F． (1)求证； (2)若，求证． 33．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，的平分线相交于点．    (1)求证：点在的平分线上； (2)连接，若，则点到三角形三条边的距离是______． 类型十二、等腰三角形的性质与判定 34．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，在边上截取，连接，过点D作交于点E． (1)求证：； (2)若，，则______． 35．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知：如图，锐角中，、分别是边、上的高，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)连接、，猜想与之间的关系，并说明理由． 36．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若的周长为25，，，求的长． 类型十三、等边三角形的性质与判定 37．（21-22八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，交于点D，交于点E．求证：是等边三角形．    38．（22-23八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，垂足为D，，垂足为E，F是的中点连接． (1)求证：； (2)连接，若，． ①判断的形状，并说明理由； ②_________． 39．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）已知等边，D为中点，延长至E，使． (1)的形状为 ；图中有 个等腰三角形； (2)若于M（图中未画出），的值是几？ 类型十四、等腰（等边）三角形的综合问题 40．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知为等边的角平分线，动点在直线上（不与点重合），连接．以为一边在的下方作等边，连接． (1)如图1，若点在线段上，且，则______度． (2)如图2，若点在的反向延长线上，且直线，交于点． ①求的度数； ②若的边长为，，为直线上的两个动点，且．连接，，判断的面积是否为定值，若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 41．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，在长方形中，，含角的直角三角板放置在长方形内，，顶点分别在上．    (1)求证：； (2)若是斜边的中点． ①如图2，连接，请写出线段与之间的数量关系，并说明理由； ②如图，连接，若，则的长等于 42．（21-22八年级上·江苏南通·期末）△ABC中，，AC＝BC，点D是BC边上的一个动点，连接AD，过点B作BF⊥AD于点F． (1)如图1，分别延长AC，BF相交于点E，求证：BE＝AD； (2)如图2，若AD平分∠BAC，AD＝5，求BF的长； (3)如图3，M是FB延长线上一点，AD平分∠MAC，试探究AC，CD，AM之间的数量关系并说明理由． 提能力：期末压轴30题 一、单选题 1．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在的方格中，A，B两点都在小方格的格点上，若点C也在格点上，且是等腰三角形，那么点C的个数最多是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，，为内部一条射线，点P为射线上一点，，点M、N分别为、边上动点，则周长的最小值为（   ）    A．6 B．8 C．12 D．18 3．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，是边上的高，是边上的中线，且，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，，点B是线段上一动点，且，，以为底边作等腰，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D． 5．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交于点M、N．若M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，P是上一定点，M、N分别是上的动点，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，是的高，相交于点，连接，垂直平分，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 8．（21-22八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，的面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题 9．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，，点在射线上，且，点、点分别是射线、上的动点，当最小时，则 ． 10．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，平分交于点，交于点，已知，，则长为 ． 11．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，大于长为半径画弧，直线与相交于点E，过点C作，与相交于点F，若，则的度数是 ． 12．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交、于点M、N，点D是边的中点，点P是上任意一点，连接、，若，，当周长取到最小值时， （用含α的代数式表示）． 13．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，，是的边上的两个点，，，，若边上有且只有1个点，满足是等腰三角形，则的取值范围是 ． 14．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是 ．（用含的代数式表示） 15．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，，点分别在射线上，，的面积为3，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ． 16．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，，点A是射线上定点，点B是射线上动点（点B不与点O重合），C为的中点，连接，将沿直线翻折得，交边于点E，若是等腰三角形，则 °． 17．（22-23八年级上·江苏南通·期末）如图，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿着行走了到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为 ．    18．（22-23八年级上·江苏泰州·期末）如图，直角三角形纸片中，，点是边上的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，那么折痕的长为 ．    三、解答题 19．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（  ） A．        B．        C．       D．     （2）求得的取值范围是（  ） A．     B．    C．    D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”和“中线’字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． 20．（23-24八年级上·江苏·期末）（1）如图，在中，，，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且，求的度数； （2）如果把第（1）题中“”的条件舍去，其余条件不变，那么的度数会改变吗？如果不变，请写出的度数并说明理由； （3）如果把第（1）题中“”的条件改为“”，其余条件不变，则与之间的数量关系为______．    21．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）已知，分别是的边，上的点． (1)如图1，为角平分线上的一点，且，，证明； (2)如图2，为角平分线上的一点，且，请在以下两个选项：①；②中选择一个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明；你选择的条件是______，结论是______；（只填序号） 证明： (3)如图3，若为外一点，分别在边，上求作点、，使得为锐角，且．（要求：利用尺规作图，不写作法，保留必要的作图痕迹） 22．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，． ①分别以点A、B为圆心，以大于的长度为半径作弧，分别交于两点，连接这两点的直线与交于点D，与交于点F，连接； ②以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别与交于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点间距离的一半的长度为半径作弧，两弧交于一点，连接点A与这一点交于于点E． (1)通过以上作图，可以发现直线是______，射线是______；（在横线上填上合适的选项） A．的一条对称轴    B．的角平分线    C．的中线    D．的角平分线 (2)在（1）所作的图中，求的度数． 23．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）数学活动：折纸与证明． 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法． 如图1，在中，，怎样证明呢？      如图2，把沿的平分线翻折，因为，所以，点C落在上的点处．于是，由，，可得． 感悟与应用： （1）如图3，是的高，．若，，求的长．小龙同学的解法是：将沿折叠，点C落在边上的点处……，画出图形并写出完整的解题过程； （2）如图4，是的角平分线，．线段、、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想并证明． 24．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线．    【理解】（1）如图1，在中，，，请写出图中两对等角三角形．______；______． 【尝试】（2）如图2，在中，平分，，．求证：为的等角分割线． 【应用】（3）在中，，是的等角分割线，请直接写出的度数． 25．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图1，在中，，，，点D为外一点，且在右侧，上方，，连接，作，交于点F， (1)图1中与相等的角是________； (2)如图2，延长与射线相交于点E， ①求的度数； ②过点F作的平行线，交于点G，求的长． 26．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，等腰三角形中，，平分．点E为上的动点，点M为上的动点，连接，将沿翻折． (1)图1沿折叠，点A与点C重合，连接，若，①求证；②的度数为______度； (2)如图2，若点M和点B重合，连接，将沿折叠得到，且，设与相交于点F．求度数． 27．（23-24八年级上·江苏南通·期末）某兴趣小组在学习了三角形相关知识后，对等边三角形进行了再探究． 如图，在等边三角形中，过点作射线，在射线上取一点（不与点，重合），作，的边交射线于点． (1)【动手操作】 如图1，若点在线段上，图中与相等的角为________； (2)【问题探究】 在（1）的基础上，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 当点在射线上移动时，用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由． 28．（22-23八年级上·江苏南通·期末）已知，和都是等边三角形，点M，N分别是边上的定点，且，点D在射线上移动，如图1，当点D与点M重合时，点E与点N也重合，此时易得． (1)如图2，当点D不与点M重合时，和仍相等吗？若相等，请写出证明过程，若不相等，请说明理由； (2)如图3，延长交于点P，随着点D的移动，和的夹角是否发生改变，若不变，请求出其度数，若改变，请说明理由； (3)如图4，中，，，点D为中点，点E为边上一动点，以为边，向右作等边，连接．若，则的最小值为___________，此时___________° 29．（22-23八年级上·江苏·期末）已知AD为等边的角平分线，动点E在直线AD上（不与点A重合），连接BE．以BE为一边在BE的下方作等边，连接CF． (1)如图1，若点E在线段AD上，且DE=BD，则∠CBF=______度． (2)如图2，若点E在AD的反向延长线上，且直线AE，CF交于点M． ①求的度数； ②若的边长为8，P，Q为直线CF上的两个动点，且PQ=10．连接BP，BQ．判断的面积是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 30．（22-23八年级上·江苏南京·期末）（1）如图1，在中，，．求证． ①补全证明过程． 证明：如图2，取中点D，连接． ∴． 在中，， ∴______； ∴． 又， ∴． ∴为______三角形． ∴． ②请用文字概括①所证明的命题：____________． （2）如图3，某市三个城镇中心D，E，F恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇D为出发点设计了三种连接方案： 方案1：； 方案2：（G为的中点）； 方案3：（O为三边的垂直平分线的交点）． ①设，通过计算，比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短； ②不计算，比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短，并说明理由． 类型一、轴对称与轴对称图形 1．（23-24八年级上·江苏南通·期末）汉字是世界上最古老的文字之一，它是中华文明的符号与象征，许多中国汉字的形体和结构充满着“对称美”，用心欣赏下列汉字，其中是轴对称图形的是（    ） A．醉 B．美 C．东 D．国 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴）进行逐一判断即可． 【详解】解：A、“醉”不是轴对称图形，不符合题意； B、“美”是轴对称图形，符合题意； C、“东”不是轴对称图形，不符合题意； D、“国”不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级上·江苏常州·期末）下列图形中，属于轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 3．（21-22八年级上·江苏南京·期末）若一个图形是轴对称图形，则这个图形可以是 （写出一个答案即可）． 【答案】圆（答案不唯一） 【分析】根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：若一个图形是轴对称图形，则这个图形可以是圆． 故答案为：圆（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：把一个图形沿某一条直线对折，抓痕两旁的图形能完全重合，那么这个图形是轴对称图形；轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 类型二、轴对称与折叠问题 4．（20-21八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质、三角形外角的定义及性质，由三角形内角和定理得出，再由折叠的性质可得：，最后由三角形外角的定义及性质进行计算即可． 【详解】解：在中，， ， 由折叠的性质可得：， ， 故选：C． 5．（22-23八年级上·江苏宿迁·期末）如图，将长方形纸片沿线段折叠，重叠部分为，若，则的度数为（    ） A．36° B．52° C．56° D．64° 【答案】B 【分析】根据折叠的性质得出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图 ∵ ∴， ∵将长方形纸片沿线段折叠，重叠部分为，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 6．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，将长方形纸条沿着线段折叠，点对应点为、，线段与边交于点，若，则的度数是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，对顶角的性质，直角三角形的性质，由折叠可得，，由对顶角相等得到，根据直角三角形的性质得到，进而可求出，即可求出的度数，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 类型三、设计轴对称图形 7．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）仅使用无刻度的直尺作图，找出下面三图中直线l上的点P，使得点P到A、B两点距离之和最小．请保留作图痕迹 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称变换—最短距离问题．作点B关于直线l的对称点，再根据两点之间，线段最短，即可求解． 【详解】解：如图，点P即为所求． 8．（19-20八年级上·江苏南京·期中）[学科素养·几何直观]如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，有一个以格点为顶点的． (1)作关于直线对称的图形； (2)求的面积； (3)在上画出点，使得的值最小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）本小问考查作图之轴对称变换，分别作出、、关于直线的对应点，依次连接对应点，即可解题． （2）本小问可利用割补法求三角形面积． （3）本小问考查利用“将军饮马”模型求线段和最小值，灵活掌握该模型即可解题． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图所示，的面积等于矩形的面积减去①、②、③三个三角形的面积， 即． （3）解：如图，点即为所求． 9．（20-21八年级上·湖北武汉·期末）在如图所示的5×5的网格中，△ABC的三个顶点A、B、C均在格点上． （1）如图1，作出△ABC关于直线m对称的△ （2）如图2，在直线m上作一点P，使△ACP的周长最小（仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）； （3）如图3，请作出格点△ABC边AC上的高BE（仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据题意以及网格的特点直接作出△ABC关于直线m对称的△即可； （2）根据题意以及网格的特点作点A关于直线m对称点，连接 ，交于点，点即为所求； （3）构造，延长交于点，则BE即为所求． 【详解】（1）根据题意以及网格的特点直接作出△ABC关于直线m对称的△，如图所示； （2）作点A关于直线m对称点，连接 ，交于点，如图所示；   则△ACP的周长 点即为所求 （3）延长交于点，则BE即为所求，如图所示： ． BE即为所求边上的高． 【点睛】本题考查了网格作轴对称图形，两点之间线段最短，三角形的高的定义，三角形全等的性质与判定，正确的作出图形是解题的关键． 类型四、轴对称与坐标对称问题 10．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点的顶点A、C的坐标分别为、，先作关于轴对称的，再把向下平移4个单位长度得到． (1)请在图中正确作出平面直角坐标系； (2)画出和． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系，轴对称图形的作图，图形平移的作图，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据A、C两点的坐标，可推得坐标原点的位置，由此即可作出图形； （2）根据轴对称图形的作法，分别作点A，B，C关于y轴的对称点，，，连结，，；作出点，，向下平移4个单位长度的对应点，，，连结，，． 【详解】（1）如图即为所求作的平面直角坐标系； （2）如图，和就是所求作的图形． 11．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是、、 (1)将向上平移个单位长度得到，请画出 (2)请画出与关于轴对称的 (3)点的坐标为 ，点的坐标为 (4)若是内一点，按照（1）（2）操作后点的坐标为 ，点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， (4)， 【分析】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用所画图象得出对应点坐标； （4）利用（1）、（2）中的坐标变换规律确定点及的坐标．． 【详解】（1）解如图所示：，即为所求； （2）解：如图所示：，即为所求； （3）解：，， 故答案为：， （4）解：是内一点，按照（1）操作后点的坐标为，按照（2）操作后点的坐标为． 故答案为：， 12．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于y轴对称的； (2)在x轴上求作一点P，使的周长最小，并求出的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)，图见解析 【分析】本题考查了坐标的对称问题，线段和最小作图计算，分割法计算三角形的面积，熟练掌握对称点坐标的计算，正确作图是解题的关键． （1）根据纵不变，横相反，计算坐标，并画图即可． （2） 根据点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，点P即为所求．利用分割法计算即可． 【详解】（1）∵与关于y轴对称， ， ∴，画图如下： 则即为所求． （2）根据点A关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P， 则点P即为所求． 根据题意，得． 类型五、轴对称与最值问题 13．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，点P、Q分别是边上的动点，则的最小值等于（    ）      A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】由勾股定理可得，作A关于的对称点，过点作，交于点，交于点，根据对称可得：，得到当三点共线时，最小，再根据垂线段最短，得到时，最小，据此求解即可． 【详解】解：在中，， ∴ 作A关于的对称点，过点作，交于点，交于点，    ∵， ∴当三点共线时，最小， ∵垂线段最短， ∴时，最小， 连接， ∵关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查利用轴对称求线段和最小问题．熟练掌握通过构造轴对称解决线段和最小是解题的关键． 14．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理.三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则 最小，可得 ，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论. 【详解】如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于， 则最小， ，， ， ， ， 故选:C 15．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，已知等边的边长为4，点D，E分别在边，上，．以为边向右作等边，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】先作辅助线，根据等边三角形的性质得到边长之间的关系，再根据三角形全等，得到角度的关系，再根据对称的性质可得到最值． 【详解】解：作于点H，作射线，则， ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点F在经过点C且与垂直的直线上运动， 作交的延长线于点L，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点L与点A关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、含的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，灵活运用知识是解题的关键． 类型六、角平分线的性质 16．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，中，，是角平分线．若，，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后由勾股定理可得出答案． 【详解】解：过点D作于点F， ∵，， ∴， ∵是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 17．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，若的面积为9，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．过点作的垂线，的垂线，由角平分线定理得出，再由三角形面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：过点作的垂线，的垂线， 根据题意可得是的角平分线， ，， ， 的面积为9， 即， ， ． 故选C． 18．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，，平分，于，若，，则的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查角平分线的性质、等腰直角三角，熟练掌握角平分线、等腰直角三角的性质在实际问题中的应用，等量代换是解题关键，先根据角平分线性质定理证明，再根据等要直角三角形的性质求出，根据直角三角形两锐角互余求出，进一步推，从而求出的周长． 【详解】解：平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 类型七、线段垂直平分线的性质 19．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点连接，若，，则的长为 ．    【答案】6 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：6． 20．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，正方形的边长为1，点E为边的垂直平分线上一点，连接．把绕点B顺时针旋转得，连接，则 的面积为 ． 【答案】/ 【分析】该题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是证明三角形全等． 证明，即可求解． 【详解】解：如图，设与边的垂直平分线交点为点F，连接， 则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线分别交于点D，E，连接，若的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图和性质、三角形中位线的性质、等角对等边等知识．依次证明，，，根据三角形周长定义进行求解即可． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长 故答案为： 类型八、等腰三角形的性质 22．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质．分角是顶角与底角两种情况讨论求解． 【详解】解：角是顶角时，三角形的顶角为； 角是底角时，顶角为， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为或． 故选：B 23．（23-24八年级上·江苏·期末）等腰三角形的一个内角是，它的一腰上的高与底边的夹角是（     ）． A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题主要考查了学生的三角形的性质、三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分情况进行分析，从而得到答案． 【详解】当底角是时，则它一腰上的高与底边的夹角是； 当顶角是时，则它的底角就是，则它一腰上的高与底边的夹角是． 故选：D． 24．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在三角形纸片中，．把沿着翻折，点落在点处，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了折叠的性质与等腰三角形的性质．解题关键是注意折叠中的对应关系，等腰三角形性质的熟练应用．由，，根据等边对等角的性质，即可求得的度数，又由折叠的性质，求得的度数，继而求得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 类型九、等边三角形的性质 25．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，…均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（    ） A．2024 B．4042 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的外角性质，等腰三角形的判定及其性质，总结出规律是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，然后找到规律即可得解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴的边长为． 故选：D． 26．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，在边长为6的等边三角形中，D为边上的三等分点，则的长为( ) A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及勾股定理：先运用勾股定理求出AC边上的高，进而根据勾股定理建立，即可作答．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：过点B作，如图所示： ∵是边长为6的等边三角形 ∴ ∵D为边上的三等分点， ∴ 那么； 在中， 故选：C 27．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，，以点O为圆心，适当长为半径画弧交两边于点A、B，再以点A为圆心，长为半径画弧，交弧于点C，作射线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等边三角形的性质．根据题意得出为等边三角形，从而得出的度数，再利用角度和差即可求解． 【详解】解：∵用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点， ∴， ∵以A为圆心，以为半径画弧，与弧交于点C， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 类型十、角平分线与线段垂直平分线的计算问题 28．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）已知：如图所示． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线和的垂直平分线，它们的交点为D．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，过点D画，则的长为 ．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，角平分线，三角形全等的判定与性质． （1）根据点D到边的距离相等，即点D在的角平分线上，又根据，即点D在线段的垂直平分线上，所以，点D为的角平分线与线段的垂直平分线的交点，据此作图即可； （2）过点点D作交于点E，过点D作交于点F，由（1）知，证明，再证，推出，再根据即可求出的长 【详解】（1）解：如图，点D即为所求， （2）解：如图，过点作交于点E，过点D作交于点F， 由（1）知， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，即， ， ，， ． 故答案为：3． 29．（19-20八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，请用无刻度直尺和圆规（不要求写作法，保留作图痕迹）； (1)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； (2)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且，请在图②中作出点． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了作图复杂作图、翻折变换，解决本题的关键是熟练翻折的性质． （1）根据线段垂直平分线的性质即可在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； （2）延长至，作的平分线，得过点的垂线，延长交于点， 作的角平分线交于点，过点作的垂线交于点即可． 【详解】（1）解：如图1所示：点即为所求作的点； （2）如图2所示：点即为所求作的点． 作图如下： 延长至， 作的平分线， 得过点的垂线， 延长交于点， 作的角平分线交于点， 过点作的垂线交于点． 30．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，． (1)用直尺和圆规作的垂直平分线DE，交、于点E、D．（保留作图的痕迹，不写作法） (2)在（1）条件下，若，， ①求长； ②连接，判断和的大小，并解释你的观点． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，理由见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法解答即可； （2）①连接，如图，根据线段垂直平分线的性质可得，设，然后在中，根据勾股定理可建立关于x的方程，解方程即得答案． ②作的平分线，交于点，由勾股定理求出，可得，从而证明. 【详解】（1）解：如图1，直线就是所求作的垂直平分线． （2）①如图1，连接，设为x，则为． 在中，，，解得． ∴， 在中，， ∴， ∴． ②． 如图1，作的平分线，交于点，作． ∵平分，，， ∴， 设为y，则．． 在中，，解得． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质以及勾股定理、角平分线性质等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． 类型十一、角平分线与线段垂直平分线的作图 31．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)过点作，垂足为点，若的周长是10，求的长． 【答案】(1)等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得，所以，根据三角形外角的性质得，再根据，所以，即可得出结论； （2）根据等于三角形三线合一的性质得，所以，所以． 【详解】（1）为等腰三角形， 理由：的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形； （2）， ， 的周长是10， ， ． 32．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，点D在边上，，，，垂足分别为E，F． (1)求证； (2)若，求证． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）先证明，再根据可证； （2）过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，，再证明，根据角平分线的性质可知，进一步即可得证． 【详解】（1）证明： ，， ，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）证明：过点作于点，如图所示： ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 33．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，的平分线相交于点．    (1)求证：点在的平分线上； (2)连接，若，则点到三角形三条边的距离是______． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）过点O作，，垂足分别为，根据角平分线的性质得到，即可证明点在的平分线上； （）如图所示，连接，根据三线合一定理得到，由此推出三点共线，设，则，由勾股定理建立方程，解得，则，故点到三角形三条边的距离是； 本题考查了角平分线的性质与判定，三线合一定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：过点作，，垂足分别为， ∵的平分线相交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上；    （2）解：如图所示，连接， ∵，平分， ∴， ∵， ∴三点共线， 设，则， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 解得， ∴， ∴点到三角形三条边的距离是， 故答案为：．    类型十二、等腰三角形的性质与判定 34．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，在边上截取，连接，过点D作交于点E． (1)求证：； (2)若，，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等边对等角可得，且，，即可得到，再由等角对等边即可得出结论； （2）根据直角三角形的性质得出，，根据勾股定理得出，求出，证明为等边三角形，得出． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ∵， ， ， ； （2）解：∵，， ∴，， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：，负值舍去， ，， ∴为等边三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，余角的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 35．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知：如图，锐角中，、分别是边、上的高，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)连接、，猜想与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据、分别是、边上的高，可得和都是直角三角形，又因为点是边上的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形的三线合一可证； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：和都是等腰三角形，根据三角形内角和定理可得：，根据平角的定义可得，等量代换可证结果． 【详解】（1）证明：如下图所示， 连接、， 、分别是、边上的高， ， 在和中，点是斜边的中点， ，， ， 是等腰三角形， 点为底边的中点， ． （2）解：． 理由如下： 在中，， 由（1）可知， ，， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质和等腰三角形的性质．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线三线合一． 36．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若的周长为25，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解题的关键． （1）首先依据平行线的性质证明，，然后结合角平分线的定义可证明，故此可证明为等腰三角形； （2）通过证明，求得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴是等腰三角形； （2）解：∵的周长， ∴， ∵， ∴，， ∵F是的中点， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 类型十三、等边三角形的性质与判定 37．（21-22八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，交于点D，交于点E．求证：是等边三角形．    【答案】见解析 【分析】先求出，再根据垂直的定义得出，进而得出， 再根据三角形的内角和得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，关键在于能够熟记等边三角形的判定方法． 38．（22-23八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，垂足为D，，垂足为E，F是的中点连接． (1)求证：； (2)连接，若，． ①判断的形状，并说明理由； ②_________． 【答案】(1)见解析； (2)①等边三角形，见解析；②． 【分析】（1）在和中用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证； （2）①由（1）、求出长度都为，由等边三角形的定义即可证明； ②利用等边对等角、三角形内角和定理可求，在用“直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半”可求出比值． 【详解】（1）证明：，， ，， 在中，，F是中点， ； 在中，，F是中点， ； ． （2） 解：①等边三角形， 理由如下：由（1）知，， ， ， 是等边三角形． ②解：由（1）得 ， 同理可证：， 是等边三角形， ， ， ，   ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、直角三角形中相关基本性质的综合运用及等边三角形判断问题，掌握并熟练应用是解决问题的关键． 39．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）已知等边，D为中点，延长至E，使． (1)的形状为 ；图中有 个等腰三角形； (2)若于M（图中未画出），的值是几？ 【答案】(1)等腰三角形，3 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握等腰三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得,；然后运用等边对等角以及三角形外角的性质可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，即；进而得到，即可判定的形状；根据等腰三角形的定义结合图形即可确定等腰三角形的个数． （2）由直角三角形的性质可得，再运用勾股定理可得，同理可得：，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵等边， ∴,, ∵, ∴, ∵， ∴， ∵D为中点，, ∴, ∴, ∴， ∴是等腰三角形； 图中等腰三角形有：、、共3个． 故答案为：等腰三角形，3． （2）解：如图：，， ∴,, ∴； ， ∴， ∴, ∵，即， ∴． 类型十四、等腰（等边）三角形的综合问题 40．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知为等边的角平分线，动点在直线上（不与点重合），连接．以为一边在的下方作等边，连接． (1)如图1，若点在线段上，且，则______度． (2)如图2，若点在的反向延长线上，且直线，交于点． ①求的度数； ②若的边长为，，为直线上的两个动点，且．连接，，判断的面积是否为定值，若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②是， 【分析】此题考查手拉手全等模型，和等边三角形的性质，解题关键是通过全等证明角度相等，推出特殊角度的三角形，将面积用公式用底和高表示出来，直接求高然后代值判断即可． （1）已知等边三角形，推论出等腰直角三角形，直接计算即可． （2）①通过手拉手模型证明全等推出等角即可；②已知底边求面积，推出高的值即可，联系第①问中的角度，直接推理出的直角三角形，代值计算即可． 【详解】（1）解：为等边的角平分线 ， ， 是等边三角形， ， （2）解：①和均为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ， ， 又 ②过作于点， 由①可知，， ， ， 在中，， ， ， 的面积为定值， 41．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，在长方形中，，含角的直角三角板放置在长方形内，，顶点分别在上．    (1)求证：； (2)若是斜边的中点． ①如图2，连接，请写出线段与之间的数量关系，并说明理由； ②如图，连接，若，则的长等于 【答案】(1)见解析； (2)①；②3，理由见解析； 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）①由知，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和直角三角形的性质即可得到结论；②过作于，过作于，则，四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，设，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明∶∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①；理由： 由（知，， ∴， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∵是斜边的中点， ∴； ②过作于，过作于，则，四边形是矩形，    ∴ ，， ∵是斜边的中点， ∴ ∵， ∴， 设，则． ∴ ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 42．（21-22八年级上·江苏南通·期末）△ABC中，，AC＝BC，点D是BC边上的一个动点，连接AD，过点B作BF⊥AD于点F． (1)如图1，分别延长AC，BF相交于点E，求证：BE＝AD； (2)如图2，若AD平分∠BAC，AD＝5，求BF的长； (3)如图3，M是FB延长线上一点，AD平分∠MAC，试探究AC，CD，AM之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)AC＋CD＝AM，理由详见解析 【分析】（1）欲证BE＝AD，只要证明△ACD≌△BCE即可； （2）如图2，分别延长BF，AC交于点E，先根据三角形的内角和定理可得∠ABF＝∠E，由等腰三角形的判定和性质以及（1）中结论即可求解； （3）如图3中，分别延长BF，AC交于点E，由（1）可得△ACD≌△BCE，得CD＝CE，再根据等腰三角形的判定与性质可得结论． 【详解】（1）证明：如图1， ∵BF⊥AD， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴∠CAD＝∠CBE， 在△ACD和△BCE中 ∴△ACD≌△BCE（ASA）， ∴BE＝AD； （2）解：如图2，分别延长BF，AC交于点E， 由（1）知：BE＝AD＝5， ∵AD平分∠BAC，BF⊥AD， ∴∠BAF=∠EAF，∠AFB=∠AFE=90°， ∴∠ABF＝∠E， ∴AB＝AE， ∴BF＝BE＝； （3）解：AC＋CD＝AM，理由如下： 如图3，分别延长BF，AC交于点E， 由（1）可得△ACD≌△BCE， ∴CD＝CE， ∵BF⊥AD， ∴， ∵AF平分∠EAM， ∴∠EAF＝∠MAF， ∴∠M＝∠E， ∴AM＝AE＝AC＋CE， ∴AC＋CD＝AM． 【点睛】本题考查三角形综合题，涉及角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、等角的余角相等等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 提能力：期末压轴30题 一、单选题 1．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在的方格中，A，B两点都在小方格的格点上，若点C也在格点上，且是等腰三角形，那么点C的个数最多是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点的个数，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 【详解】解：如图， 当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， ∴点C的个数有3个， 故选：C． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，，为内部一条射线，点P为射线上一点，，点M、N分别为、边上动点，则周长的最小值为（   ）    A．6 B．8 C．12 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称−最短路线问题的应用，解题的关键是确定M、N的位置．作点P关于的对称点，点P关于的对称点，连接，与的交点即为点M，与的交点即为点N，则此时M、N符合题意，求出线段的长即可． 【详解】解：作点P关于的对称点，点P关于的对称点，连接，与的交点即为点M，与的交点即为点N，    的最小周长为， 连接，则， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴，即的周长的最小值是6． 故选：A． 3．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，是边上的高，是边上的中线，且，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形外角的性质等知识．如图，连接，则，，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是边上的高，是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，，点B是线段上一动点，且，，以为底边作等腰，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及垂线段最短是解题的关键．过点C作于Q，根据等腰直角三角形的性质可得，由是以为底边的等腰三角形，可得，则点P在的垂直平分线上，当时，的值最小，证明此时是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：过点C作于Q， ∵，， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴点P在的垂直平分线上， 当时，的值最小，此时，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：D． 5．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交于点M、N．若M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得，，可得，求出，根据三角形内角和定理即可求出答案．本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键． 【详解】解：∵M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上， ， ， ，， ， ， ∴， 故选：B． 6．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，P是上一定点，M、N分别是上的动点，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点P作于点E，延长到点D，使得，过点P作于点F，延长到点G，使得，连接分别交于点M、N，连接，得到，由此解答即可．此题考查最短路径问题，根据题意首先作出对称点，连接对称点得到符合题意的三角形，再根据轴对称的性质解答，正确掌握最短路径问题的解答思路是解题的关键. 【详解】解：过点P作于点E，延长到点D，使得，过点P作于点F，延长到点G，使得，连接分别交于点M、N，连接， 由轴对称的性质可知，， ∴根据两点之间线段最短可知，的周长最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由对称可知：， ∴， ∴， 故选：B． 7．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，是的高，相交于点，连接，垂直平分，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】先利用等腰三角形的“三线合一”得到平分，，再利用斜边上的中线性质可对①进行判断；由于垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，则利用可判断，从而得到与不全等，于是可对②进行判断；由得到，而，所以，接着证明，则利用三角形外角性质可对③进行判断；连接，如图，根据线段垂直平分线的性质得到，在中利用勾股定理得到，然后利用等线段代换可对④进行判断． 【详解】解：∵，，是的高， ∴平分，， ∴为直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴，所以①正确； ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∴与不全等，所以②错误； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，所以③正确； 连接，如图， ∵垂直平分， ∴， 在中，， ∵，， ∴，所以④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． 8．（21-22八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，的面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，将军饮马问题，理解将军饮马问题，正确添加辅助线是解题关键．连接，，先证明，根据三角形面积公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到点C关于直线的对称点为点A，根据，即可求出的周长最小值为10． 【详解】解：连接，． ∵，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值为． 故选：C 二、填空题 9．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，，点在射线上，且，点、点分别是射线、上的动点，当最小时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称求最值问题，解含的直角三角形，熟练掌握的直角三角形是解题的关键； 由沿翻折得，作，根据的直角三角形即可求解； 【详解】解：由沿翻折得，作 此时最小， ， ， 则， 则， 故答案为： 10．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，平分交于点，交于点，已知，，则长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，证明是解题的关键． 先由勾股定理求出，再由平分和平行线的性质证，得到即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得：， 平分， ， ∵ ， ， ， ， 故答案为：． 11．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，大于长为半径画弧，直线与相交于点E，过点C作，与相交于点F，若，则的度数是 ． 【答案】/106度 【分析】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．连接，如图，利用基本作图得到E点为的中点，则根据斜边上的中线性质得到，则，再证明得到，然后根据三角形外角性质计算出，接着计算出． 【详解】解：连接， ， 由作法得垂直平分， ∴E点为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交、于点M、N，点D是边的中点，点P是上任意一点，连接、，若，，当周长取到最小值时， （用含α的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、轴对称的性质及三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质及轴对称的性质是解题的关键；连接，，与交于点H，连接，由题意易得，要使的周长为最小值，则需满足为最小，即为最小，那么只需满足点A、P、D三点共线，即为线段的长，然后问题可求解． 【详解】解：连接，，与交于点H，连接，如图所示： ∵，边的垂直平分线分别交、于点M、N，点D是边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴要使的周长为最小值，则需满足为最小，即为最小，那么只需满足点A、P、D三点共线，即为线段的长，此时点P与点H重合， ∴， 故答案为． 13．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，，是的边上的两个点，，，，若边上有且只有1个点，满足是等腰三角形，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会特殊位置解决问题．作线段的垂直平分线交于点，连接，，则，是等腰三角形，另外当是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个，求出此时a的值即可． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，连接，，则，是等腰三角形， 过点M作于H，当，即时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 当时， ∵， ∴， ∴当时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 另外当是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 此时，， ∴， ∴， ∴此时， 故答案为：或． 14．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查的是翻折变换，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于E，于F， 则， 由折叠可知，，，， ∴， ∴是等边三角形， ，， ∵平分，， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，，点分别在射线上，，的面积为3，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于， ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，，点A是射线上定点，点B是射线上动点（点B不与点O重合），C为的中点，连接，将沿直线翻折得，交边于点E，若是等腰三角形，则 °． 【答案】45或54 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质等知识，设，根据直角三角形斜边中线的性质，折叠的性质，等边对等角等可得出，，，，分；；，三种情况讨论，根据等边对等角构建方程求解即可． 【详解】解∶∵，C为的中点， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， 设，则， ∴，，， ①当时，则， ∴， 解得， ∴； ②当时，则， ∴， 解得， ∴； ③当时，则， ∴， 解得（舍去）， 综上，的度数为或， 故答案为：45或54． 17．（22-23八年级上·江苏南通·期末）如图，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿着行走了到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为 ．    【答案】200 【分析】过作于点，根据角平分线的性质得出，再求出的长即可． 【详解】解：如图，过作于点，   ， ， ， 为的平分线，， ， ，， ， ， 此时这个人到的最短距离为， 故答案为：200． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 18．（22-23八年级上·江苏泰州·期末）如图，直角三角形纸片中，，点是边上的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，那么折痕的长为 ．    【答案】 【分析】如图，设交于点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，由翻折的性质可知，再根据，可证明，可得，从而得到是等边三角形，由等边三角形的性质可得结论． 【详解】解：如图，设交于点， ∵，点是边上的中点， ∴， ∴， 由翻折的性质可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴折痕的长为． 故答案为：．    【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握翻折变换的性质． 三、解答题 19．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（  ） A．        B．        C．       D．     （2）求得的取值范围是（  ） A．     B．    C．    D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”和“中线’字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． 【答案】（1）B；（2）A；（3）见解析 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】（1）解：在和中 ， ， 故选B； （2）解：由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ， 故选C； （3）证明：如图2，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， 即． 20．（23-24八年级上·江苏·期末）（1）如图，在中，，，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且，求的度数； （2）如果把第（1）题中“”的条件舍去，其余条件不变，那么的度数会改变吗？如果不变，请写出的度数并说明理由； （3）如果把第（1）题中“”的条件改为“”，其余条件不变，则与之间的数量关系为______．    【答案】（1）；（2）不变，，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了等腰三角形性质及三角形内角和定理应用、三角形外角性质，牢记性质是解题关键， （1）根据等边对等角及三角形内角和定理即可解决； （2）根据（1）中思路，结合等边对等角及外角性质解决； （3）根据等边对等角、三角形外角性质及三角形内角和定理即可解决． 【详解】解：（1），， ， ，， ，， ； （2）不变，． 理由如下：， ， ，， ，， ， ； （3），， ，， ， ． 故答案为：． 21．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）已知，分别是的边，上的点． (1)如图1，为角平分线上的一点，且，，证明； (2)如图2，为角平分线上的一点，且，请在以下两个选项：①；②中选择一个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明；你选择的条件是______，结论是______；（只填序号） 证明： (3)如图3，若为外一点，分别在边，上求作点、，使得为锐角，且．（要求：利用尺规作图，不写作法，保留必要的作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线的尺规作图，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）先证明即可解答 ． （2）过点P作于H，于G，由角平分线的性质可得，再利用三角形内角和定理证明，进而得到由此即可证明，则；过点P作于H，于G，由角平分线的性质可得，再利用HL证明，得到，再利用三角形内角和定理证明，由此即可证明． （3）过点P作直线交于C，以C为圆心，以的长为半径画弧，分别交直线于N，交于M，则、即为所求． 【详解】（1）∵为角平分线上的一点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2）条件①，结论②， 过点P作于H，于G， ∵为角平分线上的一点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 条件②，结论①， 过点P作于H，于G， ∵为角平分线上的一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图所示，即为所求； 过点P作直线交于C，以C为圆心，以的长为半径画弧，分别交直线于N，交于M， 由作图方法可知，，都是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴、即为所求． 22．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，． ①分别以点A、B为圆心，以大于的长度为半径作弧，分别交于两点，连接这两点的直线与交于点D，与交于点F，连接； ②以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别与交于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点间距离的一半的长度为半径作弧，两弧交于一点，连接点A与这一点交于于点E． (1)通过以上作图，可以发现直线是______，射线是______；（在横线上填上合适的选项） A．的一条对称轴    B．的角平分线    C．的中线    D．的角平分线 (2)在（1）所作的图中，求的度数． 【答案】(1)A，D； (2) 【分析】（1）直接根据题意及尺规作图可进行求解； （2）由线段垂直平分线的性质可得，则有，然后可得，进而根据三角形内角和及角平分线的定义可求解． 本题主要考查线段垂直平分线与角平分线的尺规作图，等边对等角，熟练掌握线段垂直平分线的性质与角平分线的尺规作图是解题的关键． 【详解】（1）通过以上作图，可以发现直线是线段的垂直平分线， ∴是的一条对称轴， 通过以上作图，可以发现直线射线是的角平分线； 故选：A，D； （2）解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 23．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）数学活动：折纸与证明． 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法． 如图1，在中，，怎样证明呢？      如图2，把沿的平分线翻折，因为，所以，点C落在上的点处．于是，由，，可得． 感悟与应用： （1）如图3，是的高，．若，，求的长．小龙同学的解法是：将沿折叠，点C落在边上的点处……，画出图形并写出完整的解题过程； （2）如图4，是的角平分线，．线段、、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想并证明． 【答案】（1）图见解析，；（2），理由见解析 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质与三角形外角的性质得出，根据等角对等边得出，进而计算可得结论； （2）根据折叠的性质与三角形外角的性质得出，根据等角对等边得出，进而根据等量代换可得结论． 【详解】解：（1）将沿折叠，点C落在边上的点处，如图， ∵， ∴点落在上的点处， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下， 证明：把沿的平分线翻折，使点C落在上的点处． ∴， ∵， 又， ∴， ∴， ∴， 即． 24．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线．    【理解】（1）如图1，在中，，，请写出图中两对等角三角形．______；______． 【尝试】（2）如图2，在中，平分，，．求证：为的等角分割线． 【应用】（3）在中，，是的等角分割线，请直接写出的度数． 【答案】（1）与，与，与；（2）见解析；（3）或或或 【分析】本题是三角形综合题，考查了等角三角形的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据等角三角形的定义解答； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据等角三角形的定义证明即可； （3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ∴，同理，， ∵， ∴与，与，与是等角三角形； （2）∵在中，，， ∴ ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴为的等角分割线； （3）当是等腰三角形， 如图，时，， ∴， ∴    当是等腰三角形， 如图，时，，    ， ∴， ∴ 当是等腰三角形，的情况不存在， 当是等腰三角形， 如图，时，    ， 当是等腰三角形， 如图，时， ，    设， 则， 则， 由题意得，， 解得，， ∴， 当是等腰三角形，的情况不存在， ∴∠ABC的度数为或或或． 25．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图1，在中，，，，点D为外一点，且在右侧，上方，，连接，作，交于点F， (1)图1中与相等的角是________； (2)如图2，延长与射线相交于点E， ①求的度数； ②过点F作的平行线，交于点G，求的长． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质． （1）先证明，在和中，，，即可解答； （2）①由（1）证明是等腰直角三角形，即可解答； ②过点B作交的延长线于N，连接，过点B作交于点M，证得，进而证得是等腰直角三角形，，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 设、交于点Q， 在和中，，， ∴， 故答案为：； （2）①由（1）得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； ②如图，过点B作交的延长线于N，连接，过点B作交于点M， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 26．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，等腰三角形中，，平分．点E为上的动点，点M为上的动点，连接，将沿翻折． (1)图1沿折叠，点A与点C重合，连接，若，①求证；②的度数为_________度； (2)如图2，若点M和点B重合，连接，将沿折叠得到，且，设与相交于点F．求度数． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①证明，可得，可得，，结合三角形的内角和可得，可得；②由对折可得：，，可得，结合等腰三角形的性质可得． （2）如图，连接，先证明是等边三角形，得出，再利用三角形的外角的性质得出即可； 【详解】（1）证明：①如图， ∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； ②由对折可得：，，而， ∴， ∵， ∴． （2）如图，连接， ∵，平分， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由翻折的性质可知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数为； 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，内角和定理的应用等知识，掌握轴对称的性质是解本题的关键． 27．（23-24八年级上·江苏南通·期末）某兴趣小组在学习了三角形相关知识后，对等边三角形进行了再探究． 如图，在等边三角形中，过点作射线，在射线上取一点（不与点，重合），作，的边交射线于点． (1)【动手操作】 如图1，若点在线段上，图中与相等的角为________； (2)【问题探究】 在（1）的基础上，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 当点在射线上移动时，用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)当点P在上时，，当点P在线段的延长线上时，，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质及三角形外角的性质进行推理即可解答； （2）如图：延长至H，使，连接，然后证明是等边三角形，，再运用“”可证可得； (3) 当点P在上和延长线上两种，分别运用“”可证，可得，然后根据线段的和差和等量代换即可解答． 【详解】（1）解：∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）解：如图：延长至H，使，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴.， ∴． ∴． （3）解：当点P在上时，，当点P在线段的延长线上时，，理由如下： 当点P在上时，由（2）可知： ， ∴， ∴； 如图2：当点P在线段的延长线上时，在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴°， ∴， ∴， ∴． 综上，当点P在上时，，当点P在线段的延长线上时，． 28．（22-23八年级上·江苏南通·期末）已知，和都是等边三角形，点M，N分别是边上的定点，且，点D在射线上移动，如图1，当点D与点M重合时，点E与点N也重合，此时易得． (1)如图2，当点D不与点M重合时，和仍相等吗？若相等，请写出证明过程，若不相等，请说明理由； (2)如图3，延长交于点P，随着点D的移动，和的夹角是否发生改变，若不变，请求出其度数，若改变，请说明理由； (3)如图4，中，，，点D为中点，点E为边上一动点，以为边，向右作等边，连接．若，则的最小值为___________，此时___________° 【答案】(1)，见解析 (2)没有改变，见解析 (3)； 【分析】（1）结论：，证明，可得结论； （2）没有改变，如图3中，BP与AC交点记为点，利用全等三角形的性质可解决问题； （3）如图4中，在的右边作等边三角形，连接，直线交的延长线于点J，交于点T，连接，由推出 推出点F在直线上运动，当时，的值最小 【详解】（1）   ∵和是等边三角形 ∴，，， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． （2）没有改变， 理由：如图3，BP与AC交点记为点 ∵   ∴ 又∵   ∴ 即 （3）如图4中，在的右边作等边三角形，连接，直线交的延长线于点J，交于点T，连接， 是等边三角形， ∴同法可证 ∴点F在直线上运动，当时，的值最小 是的中点， 的最小值为，此时， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角所对的直角边等于斜边的一半等知识，解题关键是正确寻找全等三角形解决问题 29．（22-23八年级上·江苏·期末）已知AD为等边的角平分线，动点E在直线AD上（不与点A重合），连接BE．以BE为一边在BE的下方作等边，连接CF． (1)如图1，若点E在线段AD上，且DE=BD，则∠CBF=______度． (2)如图2，若点E在AD的反向延长线上，且直线AE，CF交于点M． ①求的度数； ②若的边长为8，P，Q为直线CF上的两个动点，且PQ=10．连接BP，BQ．判断的面积是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)15 (2)①60°；②是；20 【分析】（1）已知等边三角形，推论出等腰直角三角形，直接计算即可． （2）①通过手拉手模型证明全等推出等角即可；②已知底边求面积，推出高的值即可，联系第①问中的角度，直接推理出的直角三角形，代值计算即可． 【详解】（1）AD为等边的角平分线 DE=BD 是等边三角形 （2）① 和均为等边三角形， AB=CB，EB=FB，∠EBF=∠ABC=60°， ∠EBA=∠FBC． 在和中， （SAS）∴∠AEB=∠CFB． 又∠AEB＋∠EBF=∠CFB＋∠AMC ∠AMC=∠EBF=60° ②过B作于N， 由①可知， 在Rt中， 的面积为定值，． 【点睛】此题考查手拉手全等模型，和等边三角形的性质，解题关键是通过全等证明角度相等，推出特殊角度的三角形，将面积用公式用底和高表示出来，直接求高然后代值判断即可． 30．（22-23八年级上·江苏南京·期末）（1）如图1，在中，，．求证． ①补全证明过程． 证明：如图2，取中点D，连接． ∴． 在中，， ∴______； ∴． 又， ∴． ∴为______三角形． ∴． ②请用文字概括①所证明的命题：____________． （2）如图3，某市三个城镇中心D，E，F恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇D为出发点设计了三种连接方案： 方案1：； 方案2：（G为的中点）； 方案3：（O为三边的垂直平分线的交点）． ①设，通过计算，比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短； ②不计算，比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短，并说明理由． 【答案】（1）①；等边；②在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（2）①方案三最短，方案一最长；②方案三最短，方案一最长，理由见解析 【分析】（1）取中点D，连接．由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合，可证为等边三角形，即可证明； （2）①方案二中，利用腰三角形三线合一的性质、勾股定理可求得；方案三中，根据垂直平分线的性质可证，利用含30度角的直角三角形的性质可证，进而可求得，分别计算出三种连接方案中铺设的光缆长度，比较大小即可；②过O作，，垂足为H，I，利用含30度角的直角三角形的性质可证，再根据可得． 【详解】解：（1）补全证明过程如下： 证明：如图2，取中点D，连接． ∴． 在中，， ∴； ∴． 又， ∴． ∴为等边三角形． ∴． 故答案为：；等边；在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （2）①方案1：； 方案2：∵是等边三角形， ∴，． ∵G为的中点， ∴，，． ∴， ∴， ∴． 方案3：如图3，延长交于H， ∵O为三边的垂直平分线的交点， ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． 在中，． ∴． ∴． ∴， ∵， ∴， ∴方案三最短，方案一最长． ②在中，，． ∴． 易证． 过O作，，垂足为H，I， ∴． ∵，， ∴E，O在的垂直平分线上． ∴．即E，O，I在一条直线上． 同理，D，O，H在一条直线上， ∴， 易证，， ∴，即． ∴． ∴方案三最短，方案一最长． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的判定与性质、角平分线的性质定理等，综合性较强，难度较大，解题的关键是正确作辅助线，综合运用上述知识点，逐步进行推导论证． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$