第二十九章 投影与视图（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第二十九章 投影与视图（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．上午九时，阳光灿烂，小李在地面上同时摆弄两根长度不相等的竹竿，若它们的影子长度相等，则这两根竹竿的相对位置可能是（　　） A．两根都垂直于地面 B．两根都倒在地面上 C．两根不平行斜竖在地面上 D．两根平行斜竖在地面上 【答案】C 【知识点】平行投影 【解析】【解答】依题意，两根长度不等的竹竿，当它们影子长度相等时，则这两根竹竿的顶部到地面的垂直距离相等，但竿子长度不等，故为不平行斜竖在地面上． 故选：C． 【分析】本题考查相似三角形的应用.在同一时刻，两根竿子置于阳光之下，但看到它们的影长相等，那么这两根竿子的顶部到地面的垂直距离相等，但竿子长度不等，据此可推出两根竿子不平行斜竖在地面上． 2．如图所示的几何体从上面看到的形状图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】简单组合体的三视图 【解析】【解答】解：从上面看共有两层，底层右边是1个小正方形，上层有2个小正方形. 故答案为：D. 【分析】从上面看共有两层，底层右边是1个小正方形，上层有2个小正方形，据此判断. 3．如图所示，圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，则这个扇形的面积为（　　） A．100π B．200π C．300π D．400π 【答案】C 【知识点】几何体的展开图；扇形面积的计算；已知展开图进行几何体的相关的计算 【解析】【解答】解：设圆半径为r ∴， 解得：r=10 ∴扇形弧长 设扇形母线长l，则 解得：l=30 ∴扇形面积为： 故答案为：C 【分析】根据圆面积可求出圆半径，再根据圆锥侧面展开图扇形弧长=圆周长可得弧长，再根据圆心角求出扇形母线长，再根据扇形面积公式即可求出答案. 4．下面四幅图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是（　　） A．A⇒B⇒C⇒D B．D⇒B⇒C⇒A C．C⇒D⇒A⇒B D．A⇒C⇒B⇒D 【答案】C 【知识点】平行投影 【解析】【解答】解：根据平行投影的特点和规律可知，C，D是上午，A，B是下午， 根据影子的长度可知先后为C→D→A→B． 故选C． 【分析】解：根据平行投影的特点和规律可知，C，D是上午，A，B是下午，根据影子的长度可知先后为C→D→A→B． 5．图1是一块带有圆形空洞和正方形空洞的小木板，从图2的四个物体中选出既可以堵住圆形空洞，又可以堵住正方形空洞的物体，其序号和体积为（　　） A．①1000π B．②2000π C．③3000π D．④4000π 【答案】B 【知识点】简单几何体的三视图；圆柱的体积 【解析】【解答】解：由图可得： ①图形的三视图都为正方形，堵不住圆形空洞； ②图形为圆柱，俯视图为圆可以堵住圆形空洞，主视图和左视图为正方形，可以堵住正方形空洞； ③图形主视图和左视图都为三角形，堵不住正方形空洞 ④图形三视图都为圆，堵不住正方形空洞 故选择②图形，其体积为： 故答案为：B 【分析】根据图形的三视图逐项进行判断即可求出答案. 6．一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，如图分别是它的主视图和俯视图，若该几何体所用小立方块的个数为个，则的最小值为（　　） A．9 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【知识点】由三视图判断几何体 【解析】【解答】解：根据主视图、俯视图可得：当小立方块个数最少时，在俯视图的相应位置上所摆放的个数如下： 故n的最小值为1+1+1+1+2+3=9. 故答案为：9. 【分析】根据主视图、俯视图可得：当小立方块个数最少时，每层摆放的个数，然后相加即可. 7．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是（　　） A．108cm3 B．100 cm3 C．92cm3 D．84cm3 【答案】B 【知识点】由三视图判断几何体 【解析】【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6cm，6cm，3cm的长方体截去一个三条侧棱长分别为4cm，4cm，3cm的一个三棱锥（长方体的一个角）后的图形，如图所示． ∴该几何体的体积V=6×6×3-=100（cm3）． 故答案为B。 【分析】从三视图，若不看每个图中斜的实线，我们会发现该几何体是一个长方体；根据斜线的位置可以确定该几何体是由一个长方体截掉一个棱锥所得到的。由三视图得到长方体的长、宽、高，以及三棱锥的底面三角形的底与高，和三棱锥的高。 8．一些完全相同的小正方形搭成一个几何体，这个几何体从正面和左面看所得的平面图形均如图所示，小正方体的块数可能有（　　） A．7种 B．8种 C．9种 D．10种 【答案】C 【知识点】由三视图判断几何体 【解析】【分析】从正面看得到的图形表现了几何体的长与高，从左面看得到的图形表现了几何体的宽和高，得到组合几何体的正方体的最多的个数和最少的个数，进而得到相应的可能情况总数即可． 【解答】由2个视图可得该组合几何体有3行，3列，所以最底层最多有9个正方体，最少有3个正方体；第二层最多有4个正方体，最少有2个正方体；第3层最多有1个正方体，最少有1个正方体，所以组合几何体最多有9+4+1=14个正方体，最少有3+2+1=6个正方体． 故正方体可能的个数在6和14之间，共有9种可能的情况， 故选C． 【点评】考查由视图判断几何体；得到组合几何体的正方体的最多的个数和最少的个数是解决本题的关键． 9．将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为xcm的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体.当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大（） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【知识点】几何体的展开图 【解析】【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【解答】长方体体积=（30-2x)2x， 将x=7代入得：体积为（30-14)2×7=1792； 将x=6代入得：体积为（30-12)2×6=1944； 将x=5代入得：体积为（30-10)2×5=2000； 将x=4代入得：体积为（30-8)2×4=1936， 则x=5时，体积最大． 故选C． 【点评】本题虽然是选择题，但答案的获得需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟（想象)折纸、翻转活动，较好地考查了学生空间观念 10．太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一个皮球上，皮球在地面上的投射影长是10，则皮球的直径是（　　） A．5cm B．15cm C．10cm D．8cm 【答案】B 【知识点】平行投影 【解析】【解答】解：由题意得：DC=2R，DE=10，∠CED=60°， ∴可得：直径=DC=DEsin60°=15． 故选：B． 【分析】根据题意建立Rt△DCE，然后根据∠CED=60°，DE=10，可求出答案． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．由个大小相同的小立方块搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则的值为　 　. 【答案】6或7 【知识点】简单组合体的三视图；由三视图判断小正方体的个数 【解析】【解答】解：根据俯视图有5个正方形，可知几何体至少有5个小立方体，再根据左视图，可知几何体还可能有1或2个小立方体，故n的值为6或7. 故答案为：6或7. 【分析】先根据俯视图，得出n至少有几个，再根据左视图可得还可能有几个，再求n. 12．如图，从三个不同方向看同一个几何体得到的平面图形，则这个几何体的侧面积是　 　． 【答案】36 【知识点】立体图形的初步认识；几何体的展开图；由三视图判断几何体；棱柱及其特点 【解析】【解答】解：这个几何体是直三棱柱， ， 故这个几何体的侧面积是， 故答案为：36. 【分析】将几何体的侧面展开，再利用长方形的面积公式求解即可. 13．我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是　 　． 【答案】12π 【知识点】圆锥的计算；由三视图判断几何体；圆柱的侧面积和表面积 【解析】【解答】解：由三视图可得该结合体上面是圆锥，下面是圆柱， 根据三视图中的数据可得圆锥的母线长为=2， ∴该整流罩的侧面积为π×2.4×4+π×(2.4÷2)×2=12π. 故答案为：12π. 【分析】由三视图可得该结合体上面是圆锥，下面是圆柱，根据三视图中的数据求出圆锥的母线长，然后根据圆柱、圆锥的侧面积公式进行计算. 14．一个正方体盒子的展开图如图所示，如果要把它粘成一个正方体，那么与点A重合的点是点　 　. 【答案】D 【知识点】几何体的展开图 【解析】【解答】解：与点A重合的点是点D； 故答案为：D. 【分析】将展开图折成正方体，即可求解. 15．如图，正方体的六个面上标着六个连续的整数，若相对的两个面上所标之数的和相等，则这6个数的和为　 　． 【答案】81 【知识点】几何体的展开图 【解析】【解答】解：根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数， 故六个整数可能为11，12，13，14，15，16或10，11，12，13，14，15； 且每个相对面上的两个数之和相等， 当这六位数为：11，12，13，14，15，16 相对的面之和为： 11+16=27 14+13=27 15+12=27 符合题意，其和为：11+12+13+14+15+16=81 当这六位数为： 10，11，12，13，14，15 相对的面之和为： 11+13=24 14+12=26 15+10=25 不符合题意 故答案为：81． 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题，根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数，故六个整数可能为11，12，13，14，15，16或10，11，12，13，14，15，然后分析符合题意的一组数即可． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（9分）如图是一几何体的三视图，请选择恰当的比例，画出其表面展开图，并计算它的侧面积与全面积. 【答案】表面展开图如图所示 它的侧面积是(1.5+2+2.5)×3=18(cm2)； 它的全面积是18+×1.5×2×2=21(cm2) 【知识点】几何体的表面积；几何体的展开图；由三视图判断几何体 【解析】【分析】根据三视图可知，这个几何体是三棱柱，据此画出展开图，求出侧面积，全面积即可． 17．（9分）如图，身高 米的小明站在距路灯底部O点10米的点A处，他的身高 线段 在路灯下的影子为线段AM，已知路灯灯杆OQ垂直于路面． （1）在OQ上画出表示路灯灯泡位置的点P； （2）小明沿AO方向前进到点C，请画出此时表示小明影子的线段CN； （3）若 米，求路灯灯泡P到地面的距离． 【答案】（1） （2）如图： （3）∵AB∥OP， ∽ ， ，即 ， 解得 ． 即路灯灯泡P到地面的距离是8米． 【知识点】相似三角形的判定与性质；中心投影 【解析】【分析】（1）根据中心投影的性质，连接MB并延长交OQ于一点，该点就是路灯灯泡位置的点P ； （2）根据中心投影的性质，连接PD并延长，交OM于点N，线段CN就是小明在路灯下的影子； （3）根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出 △MAB∽△MOP， ，根据相似三角形对应边成比例得出 ， 根据比例式建立方程求解即可求出OP的长，从而得出答案。 18．（8分）一个几何体及它的表面展开图如图所示．（几何体的上、下底面均为梯形） （1）写出这个几何体的名称； （2）计算这个几何体的侧面积和左视图的面积． 【答案】（1）解：观察图形可知，这个几何体是四棱柱 （2）解：侧面积：13×（5+12+5+6）=13×28=364； 左视图的宽：（12﹣6）÷2=3， =4， 左视图的面积：13×4=52． 【知识点】几何体的表面积；几何体的展开图 【解析】【分析】（1）由侧面展开图结合主视图即可判断为四棱柱； （2）侧面展开后是矩形，左视图也是一个矩形，根据矩形面积公式即可计算。 19．（8分）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m． （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影 （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长． 【答案】（1）解答：连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影． （2）∵AC∥DF， ∴∠ACB=∠DFE． ∵∠ABC=∠DEF=90° ∴△ABC∽△DEF． ∴， ∴ ∴DE=10（m）． 【知识点】相似三角形的判定与性质；平行投影 【解析】分析：（1）根据投影的定义，作出投影即可 （2）根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例 构造比例关系 ，计算可得DE=10（m）． 20．（8分）如图，图1为一个长方体，AB=AD=16，AE=6，图2为左图的表面展开图，请根据要求回答问题： （1）面“学”的对面是面什么？ （2）图1中，M、N为所在棱的中点，试在图2中画出点M、N的位置； 并求出图2中△ABN的面积． 【答案】（1）解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “学”与“国”是相对面， “叶”与“际”是相对面， “枫”与“校”是相对面， 答：面“学”的对面是面国 （2）解：点M、N如图所示， ∵N是所在棱的中点， ∴点N到AB的距离为 ×16=8， ∴△ABN的面积= ×16×8=64． 【知识点】几何体的展开图 【解析】【分析】（1）将正方体侧面展开，根据侧面展开图即可得出结果； （2）由侧面展开图可以判断出M、N的位置，从而可求出△ABN的面积。 21．（8分）如图，某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD的影子刚好不落在广告墙PQ上. （1）请你在图中画出此时的太阳光线CE及木杆AB的影子BF； （2）若AB=5米，CD=3米，CD到PQ的距离DQ的长为4米，求此时木杆AB的影长. 【答案】（1）解：如图所示： （2）解：设此时木杆AB的影长BF为x米， 依题可得： = ，解得x= . 答：此时木杆AB的影长是 米. 【知识点】平行投影 【解析】【分析】（1）根据木杆CD的影长不落在广告墙上，可画出太阳光线CE，再由太阳光线是平行的，可画出木杆AB的影长BF. （2）根据平行投影的特点：同一时刻，物体的高和影子长成比例即可解答. 22．（12分）如图所示是一个几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)根据图中数据计算这个几何体的表面积； (3)如果一只蚂蚁要从这个几何体上的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这条路线的最短路程． 【答案】 （1）圆锥；（2）16π；（3）3 【分析】（1）由该几何体的三视图可知，这个几何体是：圆锥； （2）由图中数据可知，这个圆锥的底面半径为2，母线长为6，这样根据S表=S侧+S底即可计算出该圆锥的表面积； （3）如下图，将圆锥的侧面沿母线AB展开得到扇形ABB′，则由题意可知点C′为的中点，点D′为半径AC′的中点，连接BC′，BD′，则BD′的长为所求的最短路程，这样结合已知条件求出BD′的长即可. 【详解】解：（1）由该几何体的三视图可知：这个几何体是圆锥； （2）由图中数据可知：这个圆锥的底面半径为2，母线长为6， ∴S表＝S侧＋S底＝π r l＋π r2＝12π＋4π＝16π(cm2)； （3）如下图所示，将圆锥侧面沿AB展开，则图中线段BD′为所求最短路程． 设∠BAB′的度数为n，则由可得： ，解得：， ∵点C′为的中点， ∴∠BAC′=60°， 又∵AB=AC′， ∴△ABC′是等边三角形， 又∵D′是AC′的中点， ∴∠AD′B=90°， ∴sin∠BAD′=， ∴BD′=AB·sin60°=6×=（cm）， ∴蚂蚁爬行的最短路程是cm. 【点睛】（1）熟记圆锥的表面积计算公式：S表=S侧+S底=（其中为圆周率、是圆锥底面圆的半径、是圆锥母线长）是解答第2小题的关键；（2）画出如图所示的圆锥侧面展开图，知道图中BD′的长是所求的最短路程，并能证明△ABC′是等边三角形是解答第3小题的关键. 23．（13分）如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球. （1）球在地面上的影子是什么形状? （2）当把白炽灯向上平移时，影子的大小会怎样变化? （3）若白炽灯到球心的距离是1 m，到地面的距离是3 m，球的半径是0.2 m，则球在地面上影子的面积是多少? 【答案】（1）解：球在地面上的影子的形状是圆. （2）解：当把白炽灯向上平移时，影子会变小. （3）解：由已知可作轴截面，如图所示： 依题可得：OE=1 m，AE=0.2 m，OF=3 m，AB⊥OF于H，在Rt△OAE中，∴OA= = = (m)，∵∠AOH=∠EOA，∠AHO=∠EAO=90°， ∴△OAH∽△OEA，∴， ∴OH= == (m)，又∵∠OAE=∠AHE=90°，∠AEO=∠HEA， ∴△OAE∽△AHE，∴ = ， ∴AH= == (m).依题可得：△AHO∽△CFO，∴，∴CF= = (m)，∴S影子=π·CF2=π· = π=0.375π(m2).答：球在地面上影子的面积是0.375π m2. 【知识点】相似三角形的应用；中心投影 【解析】【分析】（1）球在灯光的正下方，根据中心投影的特点可得影子是圆. （2）根据中心投影的特点：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小. （3）作轴截面（如图）由相似三角形的判定得三组三角形相似，再根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得阴影的半径，再根据面积公式即可求出面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十九章 投影与视图（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．上午九时，阳光灿烂，小李在地面上同时摆弄两根长度不相等的竹竿，若它们的影子长度相等，则这两根竹竿的相对位置可能是（　　） A．两根都垂直于地面 B．两根都倒在地面上 C．两根不平行斜竖在地面上 D．两根平行斜竖在地面上 2．如图所示的几何体从上面看到的形状图是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，则这个扇形的面积为（　　） A．100π B．200π C．300π D．400π 4．下面四幅图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是（　　） A．A⇒B⇒C⇒D B．D⇒B⇒C⇒A C．C⇒D⇒A⇒B D．A⇒C⇒B⇒D 5．图1是一块带有圆形空洞和正方形空洞的小木板，从图2的四个物体中选出既可以堵住圆形空洞，又可以堵住正方形空洞的物体，其序号和体积为（　　） A．①1000π B．②2000π C．③3000π D．④4000π 6．一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，如图分别是它的主视图和俯视图，若该几何体所用小立方块的个数为个，则的最小值为（　　） A．9 B．11 C．12 D．13 7．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是（　　） A．108cm3 B．100 cm3 C．92cm3 D．84cm3 8．一些完全相同的小正方形搭成一个几何体，这个几何体从正面和左面看所得的平面图形均如图所示，小正方体的块数可能有（　　） A．7种 B．8种 C．9种 D．10种 9．将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为xcm的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体.当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大（） A．7 B．6 C．5 D．4 10．太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一个皮球上，皮球在地面上的投射影长是10，则皮球的直径是（　　） A．5cm B．15cm C．10cm D．8cm 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．由个大小相同的小立方块搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则的值为　 　. 12．如图，从三个不同方向看同一个几何体得到的平面图形，则这个几何体的侧面积是　 　． 13．我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是　 　． 14．一个正方体盒子的展开图如图所示，如果要把它粘成一个正方体，那么与点A重合的点是点　 　. 15．如图，正方体的六个面上标着六个连续的整数，若相对的两个面上所标之数的和相等，则这6个数的和为　 　． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（9分）如图是一几何体的三视图，请选择恰当的比例，画出其表面展开图，并计算它的侧面积与全面积. 17．（9分）如图，身高 米的小明站在距路灯底部O点10米的点A处，他的身高 线段 在路灯下的影子为线段AM，已知路灯灯杆OQ垂直于路面． （1）在OQ上画出表示路灯灯泡位置的点P； （2）小明沿AO方向前进到点C，请画出此时表示小明影子的线段CN； （3）若 米，求路灯灯泡P到地面的距离． 18．（8分）一个几何体及它的表面展开图如图所示．（几何体的上、下底面均为梯形） （1）写出这个几何体的名称； （2）计算这个几何体的侧面积和左视图的面积． 19．（8分）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m． （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影 （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长． 20．（8分）如图，图1为一个长方体，AB=AD=16，AE=6，图2为左图的表面展开图，请根据要求回答问题： （1）面“学”的对面是面什么？ （2）图1中，M、N为所在棱的中点，试在图2中画出点M、N的位置； 并求出图2中△ABN的面积． 21．（8分）如图，某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD的影子刚好不落在广告墙PQ上. （1）请你在图中画出此时的太阳光线CE及木杆AB的影子BF； （2）若AB=5米，CD=3米，CD到PQ的距离DQ的长为4米，求此时木杆AB的影长. 22．（12分）如图所示是一个几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)根据图中数据计算这个几何体的表面积； (3)如果一只蚂蚁要从这个几何体上的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这条路线的最短路程． 23．（13分）如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球. （1）球在地面上的影子是什么形状? （2）当把白炽灯向上平移时，影子的大小会怎样变化? （3）若白炽灯到球心的距离是1 m，到地面的距离是3 m，球的半径是0.2 m，则球在地面上影子的面积是多少? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$