精品解析：浙江省杭州市采荷中学2024—2025学年上学期九年级数学12月月考试卷

九年级数学（问卷） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下说法正确的是（ ） A. 某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯概率为 C. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 D. 张东做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率是 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了概率的意义、平行四边形的性质，正确理解概率的意义是解题关键．直接利用概率的意义分别分析得出答案． 【详解】解：A、某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，选项A说法错误，不符合题意； B、由于路口交通信号灯不确定，故经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯概率不一定为，选项B说法错误，不符合题意； C、∵任意平行四边形是中心对称图形， ∴“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，选项C说法正确，符合题意； D、小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，再掷一次，正面朝上的可能性是，故选项D错误，不符合题意． 2. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中抛物线的平移，其规律为“左加右减，上加下减”，据此即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数为，即． 故选：A 3. 已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（　　） A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，判断点P与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为3，， ∴半径， ∴点P在外． 故选：B． 4. 如图，已知，若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得到即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A，镜子O，树底B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，米，米，则树高为（ ）米 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，则，由相似三角形的判定定理可得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知， ， ， ， 又， ， ， 米，米，米 ， 米． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例 列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 6. 如图，在中，，，作如下作图： ①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、； ②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点； ③作射线交于点； 根据以上作图，判断下列结论正确的有（ ） ①；②；③；④． A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，进而得到，再利用三角形内角和定理可得，从而可得，然后证明，可得，进而得到，利用等量代换得到，可得点D是的黄金分割点，最后根据黄金分割的定义可得，即可解答． 【详解】解：,， ， ， 故①正确， 由题意得：平分， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确， ，， ， ， ， ， 故③正确， ， ，即点D是的黄金分割点， ， 综上所述，正确的有①②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，尺规作图，黄金分割，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 7. 如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据圆内接四边形对角互补得出，根据圆周角定理得出，根据已知条件得出，进而根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵圆内接四边形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴, 故选：A． 8. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x -2 -1 0 1 y 0 4 6 6 下列结论不正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线与x轴的一个交点坐标为 D. 函数的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可 【详解】解：由题意得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线，该函数的最大值为，故A、B、D说法正确，不符合题意； 令，则， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C说法错误，符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 9. 如图，是的外接圆，，把弧沿弦向下折叠交于点D，若点D为中点，则长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质可得，由折叠的性质和圆周角定理可得可得，可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∵弧沿弦向下折叠交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，，点E，F分别在，边上，且与关于直线对称，点G在边上，分别与，交于P，Q两点．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，设，由折叠性质得，再推出，则四边形是菱形，得，根据平行线分线段成比例有；设，易得证明，得，则可求得结果． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴设， ∵与关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，涉及的知识点较多，有一定的综合性，连接，证明四边形是菱形是解题的关键． 二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例性质、分式求值，根据比例性质直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 比例尺为的地图上，A、B两地间的图上距离为4厘米，则两地间的实际距离是______千米． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查比例性质，根据比例尺等于图上距离与实际距离的比求解即可． 【详解】解：设两地间的实际距离是x厘米， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解， 4000000厘米千米， 则两地间的实际距离是40千米， 故答案为：40． 13. 一个不透明的袋子里装有4个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为______． 【答案】16个 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．根据统计图找到摸到白球的频率稳定到的常数，再根据大量重复试验中事件发生的频率等于事件发生的概率求解即可． 【详解】解：观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.2附近，故摸到白球的频率会接近0.2， ∵袋中白球的个数为4， ∴估计袋子中共有个球， 则可估计袋子中黑球的个数为个， 故答案为：16个． 14. 如图，正八边形的边长为2，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形和圆，掌握正多边形内角和的计算方法是解题的关键．根据正八边形的性质求出圆心角的度数，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得：， ， ， 故答案为：． 15. 在“探索函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点，，，．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根据图象可知，A、B、C组成的二次函数的图象开口向上，则，A、B、D组成的二次函数的图象开口向上，则，B、C、D组成的二次函数的图象开口向下，则，A、D、C组成的二次函数的图象开口向下，则，即只需要比较A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可，运用待定系数法进行计算，比较即可得． 【详解】解：根据图象可知，A、B、C组成的二次函数的图象开口向上，则， A、B、D组成的二次函数的图象开口向上，则， B、C、D组成的二次函数的图象开口向下，则， A、D、C组成的二次函数的图象开口向下，则， 即只需要比较A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可， 设A、B、C组成的二次函数解析式为， 把点，，代入，得 ， 解得， 设A、B、D组成的二次函数为， 把点，，代入，得 解得，， ∵， ∴a的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质． 16. 如图，线段是的直径，弦于点H，点M是弧上任意一点（不与B，C重合），，．延长线段交的延长线于点E，直线交于点N，连接交于点F，则______，______ 【答案】 ①. 5 ②. 16 【解析】 【分析】连接，设，在中，利用勾股定理求出；由，推出，推出，又，推出，由此即可解决问题． 【详解】解：连接． ， ， 设半径，则， 在中， ， ， ，即； 连接， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴ ∴ 即， ， 故答案为：5；16． 【点睛】本题考查圆综合题、勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题是解题的关键． 三、解答题（本题有8小题，共2分，解答写出必要的文字说明演算步骤或证明过程） 17. 如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，在平面直角坐标系中如图所示，完成问题： （1）画出绕点O逆时针旋转后的； （2）在（1）的旋转过程中，点B运动的路径长是多少？ 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图—作旋转图形，扇形弧长公式，勾股定理等知识； （1）作出三个顶点旋转后的对应点，依次连接即可； （2）由勾股定理求出的长，由弧长公式即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作： 【小问2详解】 解：由图知，，， ∴在旋转过程中，点B运动的路径长是． 18. 某高速收费站有三个通道（通道是指电子不停车收费的专用车道）A，B，C和一个人工收费通道D． （1）求一辆办理过卡的汽车经过此收费站时，选择A通道通过的概率； （2）现有都办理过卡的甲，乙两辆汽车都选择了通道通行，求甲，乙两辆车选择不同通道通过的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率公式，列表法或画树状图求概率． （1）直接利用概率公式可得答案； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲，乙两辆车选择不同通道结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 由题意得，共有4条通道可以选择，选择A通道通过的概率为． 【小问2详解】 列表如下： 甲 乙 A B C A B C 由表可得共有9种等可能的结果，其中甲，乙两辆车选择不同通道通过的结果有：，，，，，，共6种， ∴甲，乙两辆车选择不同通道通过的概率为． 19. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为M，E为上一点，且，连接交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理以及勾股定理，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． （1）由垂径定理可得，由此可得，根据同弧或等弧对的圆周角相等可得； （2）连接，由（1）可知，得出，在中，由勾股定理可求出，即可得，设，在中，由勾股定理可求出，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵是的直径，， ， 又， ， ． 【小问2详解】 解：连接， 由（1）可知， ， 在中，， ∴， ∴， 设， 则在中，， ， 解得：， ． 20. 某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示），若设花园的边长为x米，花园的面积为y平方米． （1）求y与x之间的函数关系式．并写出自变量x的取值范围； （2）当x是多少时，矩形场地面积y最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）当时，矩形场地面积最大，最大面积是平方米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出函数关系式． （1）已知矩形的长和周长可表示宽，运用公式表示面积，根据墙宽得的取值范围； （2）把函数解析式化为顶点式，再由二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：由题意可知为米，则米， ， ∵墙长15米， ， ， ， ∴自变量的取值范围是； 【小问2详解】 解：， ， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ， ∴当时，矩形场地面积最大，最大面积是平方米． 21. 如图，在ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AE·AB＝AD·AC，连接DE，BD. （1）求证：ADE~ABC. （2）若点E为AB为中点，AD：AE＝6：5，ABC的面积为50，求BCD面积. 【答案】(1)详见解析； (2)14 【解析】 【分析】（1）根据可得，又因，由相似三角形的判定定理即可证； （2）设，根据得，由点E是AB的中点得，可求出的值，根据相似三角形的面积比等于对应边的比的平方可得的面积，因等底等高得，的面积等于的面积，从而可得答案. 【详解】（1） 在和中， （两边对应成比例且夹角相等的三角形相似） （2）设 又点E是AB的中点 由题（1）知 又 又和的边，且边上对应的高是同一条高 答：的面积为14. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理和性质，熟记判定定理和性质是解题关键. 22. 已知二次函数． （1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含的代数式表示）． （2）点在该二次函数图象上，其中． ①当时，求的取值范围． ②请探究的最大值与最小值之差是否会随着的变化而变化．若不变，请求出这个差；若变化，请用含的代数式表示这个差． 【答案】（1） （2）①；②不变，定值为4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）把解析式化成顶点时，即可求出二次函数图象的顶点坐标； （2）①当时，则二次函数，，即可求得的取值范围是； ②由题意可知的最小值为，最大值为时的值，即的最大值为，可得的最大值与最小值之差． 【小问1详解】 解：， 该二次函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①当时，则二次函数，． ， 抛物线开口向上，时有最小值， 当时，， 的取值范围是； ②不变，理由如下： 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 点在该二次函数图象上，其中． 的最小值为，最大值为时的值， 即的最大值为， 的最大值与最小值之差， 的最大值与最小值之差不会随着的变化而变化，的最大值与最小值之差为． 23. 制作简易水流装置 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处． 示意图 已知 轴，，，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由；（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围． 请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三． 【答案】任务一：； 任务二：不能，理由如下： 圆柱形水杯最左端到点O的距离是， 当时，． ， ∴水流不能流到圆柱形水杯内． 任务三： 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确求出二次函数解析式是解此题的关键． 任务一：由题意得出抛物线的对称轴为直线．得出，把点代入抛物线结合求出，，即可得解； 任务二：根据题意得出圆柱形水杯最左端到点O的距离是，把代入抛物线解析式求出的值，进行比较即可得出答案； 任务三：求出当时的的值，再根据圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，即可得出答案． 【详解】解：任务一：轴，，点为水流抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为直线． ， ， 把点代入抛物线得：， 把代入得：． 解得：， ， ∴水流抛物线的函数表达式为：； 任务二：略 任务三： 当时，， 解得：或（负值，不符合题意，舍去）， 圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内， ， 即． 24. 如图，在中，直径，弦，点在的延长线上，线段交于点，过点作分别交，于点，，连结． （1）求证：． （2）当为等腰三角形时，求的长． （3）当当，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）长为6或4或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据同弧所对的圆周角相等，得出，即可得证； （2）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据（1）的结论分别分析讨论即可求解； （3）由（1）得．进而得出，是等腰直角三角形，根据，得出，，证明，求得，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ 当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时， ∴． 连接，则，根据等腰三角形三线合一得． ②当时， ∴． ∵， ∴， ∴． ③当时， ∴． 连接，∵， ∴由等腰三角形三线合一得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上可得，当为等腰三角形时，长为6或4或． 【小问3详解】 解：由（1）得． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵ ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（问卷） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下说法正确的是（ ） A. 某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯概率为 C. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 D. 张东做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率是 2. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 3. 已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（　　） A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 不能确定 4. 如图，已知，若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A，镜子O，树底B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，米，米，则树高为（ ）米 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 如图，在中，，，作如下作图： ①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、； ②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点； ③作射线交于点； 根据以上作图，判断下列结论正确的有（ ） ①；②；③；④． A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 7. 如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x -2 -1 0 1 y 0 4 6 6 下列结论不正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线与x轴的一个交点坐标为 D. 函数的最大值为 9. 如图，是的外接圆，，把弧沿弦向下折叠交于点D，若点D为中点，则长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 10. 如图，在矩形中，，点E，F分别在，边上，且与关于直线对称，点G在边上，分别与，交于P，Q两点．若，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则______． 12. 比例尺为的地图上，A、B两地间的图上距离为4厘米，则两地间的实际距离是______千米． 13. 一个不透明的袋子里装有4个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为______． 14. 如图，正八边形的边长为2，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留）． 15. 在“探索函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点，，，．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的最大值为______． 16. 如图，线段是的直径，弦于点H，点M是弧上任意一点（不与B，C重合），，．延长线段交的延长线于点E，直线交于点N，连接交于点F，则______，______ 三、解答题（本题有8小题，共2分，解答写出必要的文字说明演算步骤或证明过程） 17. 如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，在平面直角坐标系中如图所示，完成问题： （1）画出绕点O逆时针旋转后的； （2）在（1）的旋转过程中，点B运动的路径长是多少？ 18. 某高速收费站有三个通道（通道是指电子不停车收费的专用车道）A，B，C和一个人工收费通道D． （1）求一辆办理过卡的汽车经过此收费站时，选择A通道通过的概率； （2）现有都办理过卡的甲，乙两辆汽车都选择了通道通行，求甲，乙两辆车选择不同通道通过的概率． 19. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为M，E为上一点，且，连接交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示），若设花园的边长为x米，花园的面积为y平方米． （1）求y与x之间的函数关系式．并写出自变量x的取值范围； （2）当x是多少时，矩形场地面积y最大？最大面积是多少？ 21. 如图，在ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AE·AB＝AD·AC，连接DE，BD. （1）求证：ADE~ABC. （2）若点E为AB为中点，AD：AE＝6：5，ABC的面积为50，求BCD面积. 22. 已知二次函数． （1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含的代数式表示）． （2）点在该二次函数图象上，其中． ①当时，求的取值范围． ②请探究的最大值与最小值之差是否会随着的变化而变化．若不变，请求出这个差；若变化，请用含的代数式表示这个差． 23. 制作简易水流装置 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处． 示意图 已知 轴，，，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由；（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围． 请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三． 24. 如图，在中，直径，弦，点在的延长线上，线段交于点，过点作分别交，于点，，连结． （1）求证：． （2）当为等腰三角形时，求的长． （3）当当，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $