第04讲 直线与圆的位置关系（7个知识点+7种题型+分层练习） - 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第04讲 直线与圆的位置关系（7个知识点+7种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点2．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点3．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点4．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点5．弦切角定理 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． （2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半． 　如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）． 知识点6．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点7．切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD． 题型强化 题型一．直线与圆的位置关系 1．（2023•望江县模拟）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为　　 A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 2．（2023•望江县模拟）如图，、是圆上的两点，是过点的一条直线，如果，那么当　　时，与圆相切． 3．（2024•安徽模拟）如图，在中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）判断直线与的位置关系，并证明； （2）若，求的半径． 题型二．切线的性质 4．（2024•庐江县校级模拟）如图，与相切于点，的延长线交于点，为优弧上任意一点，若，则　　 A． B． C． D． 5．（2024•蚌埠二模）如图，与相切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则的度数为 　　． 6．（2024•瑶海区校级三模）如图，内接于，过点的切线交的延长线于点，且，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 题型三．切线的判定 7．（2022秋•勃利县期末）如图所示，是的直径，交的中点于，于，连接，则下列结论：①；②；③；④是的切线，正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2023•潜江模拟）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，在上取一点，使，连接，对于下列结论：①；②；③；④为的切线，一定正确的结论选项是　　． 9．（2024•淮北校级二模）如图1，圆内接四边形的对角线与交于点，． （1）求证：平分； （2）如图2，过点作交的延长线于点，若平分，，求证：是圆的切线． 题型四．切线的判定与性质 10．（2023春•定远县校级月考）如图，是的直径，是的切线，切点为点，过点的直线与交于点，则下列结论错误的是　　 A． B．如果平分， C．如果平分，那么 D．如果，那么也是的切线 11．（2020•无为市一模）如图，中，，，，点在边上，点在边上，沿将折叠，使点与点重合，连接，点是线段上一动点，当半径为5的与的一边相切时，的长为　　． 12．（2024•合肥模拟）如图，是的直径，点，在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 题型五．弦切角定理 13．如图，是的直径，点为上一点，过点作的切线，交直径的延长线于点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 14． 如图，已知是的直径，切于点，，则等于 　　度． 15．（2024•鞍山二模）如图，是的外接圆，为的直径，与交于点，为延长线上一点，连接，，，． （1）求证：； （2）若，，半径为4，求长． 题型六．切线长定理 16．（2023秋•绥化期末）如图，为外一点，、分别切于点、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为　　 A．8 B．12 C．16 D．20 17．（瑶海区校级开学）如图，、切于点、，，切于点，交、于、两点，则的周长是　　． 18．（芜湖模拟）如图所示，在梯形中，，，以为直径的与相切于．已知，边比大6． （1）求边、的长； （2）在直径上是否存在一动点，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 题型七．切割线定理 19．（合肥校级自主招生）以半圆中的一条弦（非直径）为对称轴将弧折叠后与直径交于点，若，且，则的长为　　 A． B． C． D．4 20．（安徽模拟）如图，某机械传动装置在静止状态时，连杆与点运动所形成的交于点，现测得，，的半径，此时点到圆心的距离是　　． 21．（马鞍山校级一模）如图是的直径，是的延长线上一点，过作的切线，切点为，过作的切线，交于点，若，求：，的长． 分层练习 一、单选题 1．已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 2．下列说法正确的是(   ) A．圆是轴对称图形，直径是它的对称轴 B．在同圆或等圆中，等弦所对的弧相等 C．三角形的外心到三角形三个顶点距离相等 D．圆的切线垂直于半径 3．如图，⊙M与x轴相切于原点，平行于y轴的直线交圆于P、Q两点，P点在Q点的下方，若P点的坐标是（2，1），则圆心M的坐标是（ ） A．（0，3） B．（0，） C．（0，2） D．（0，） 4．如图，与相切于点，与相交于点，点在上，且与点不重合．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．用一把带有刻度的直尺，① 可以画出两条平行的直线与b，如图⑴；② 可以画出∠AOB的平分线OP，如图⑵所示；③ 可以检验工件的凹面是否为半圆，如图⑶所示；④ 可以量出一个圆的半径，如图⑷所示．这四种说法正确的个数有 （ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，是的直径，点在上，过点作的切线交的延长线于点．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 7．如图，正方形的顶点A、D在上，边与相切，若正方形的周长记为，的周长记为，则、的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法判断 8．如图，是的直径，直线与相切于点C，连接AE交于点D，连接，且，直线交的延长线于点P，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．如图，将绕点逆时针旋转60°得到，连接．若，，则四边形面积的最小值是（ ） A． B． C． D． 10．如题图所示，已知一个半径为2的，P为平面内一个点，过点P作的两条切线，，为的一条直径，且，连接若干条线段的端点．若，下列给出的四个命题中，为假命题的是（    ） A． B．为正三角形 C． D． 二、填空题 11．在矩形中，，，点在对角线上，的半径为2，如果与矩形只有一个公共点，那么线段的长是 ． 12．如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．以BC上点O为圆心作⊙O分别与AB、AC相切E、C两点，与BC的另一交点为D，则线段BD的长为 13．如图，将正方形绕点按逆时针方向旋转30°得到正方形，已知交于点，，则四边形的内切圆半径为 ． 14．矩形中，，，将矩形沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，若是以点E为直角顶点的直角三角形，则点E到直线的距离是 ． 三、解答题 15．如图，在平行四边形中，，以为直径的与相切于点E，连接，若． （1）求得长度？ （2）求线段与弧围成的图形（阴影部分）的面积？ 16．已知关于的二次函数（，为常数）的图象的顶点为． (1)若此二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． (2)已知以坐标原点O为圆心，r为半径的圆是以5，12，13为边长的三角形的内切圆． ①的半径________． ②我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”，若M是“完美点”，试判断点M与的位置关系． 17．为让学生感悟自然界和生活中的数学，王老师组织大家周末到户外，同学们发现休闲广场水平地面上放置两个同样大小的球形石墩，每个石墩在阳光下形成自己的影子．同学们对球形石墩的半径十分感兴趣，观察并绘制了如图所示的平面示意图，和是两球的主视图，均与地面l相切，太阳光线与地面的夹角是，由此得到， 已知 m，m请根据以上数据求出球的半径 ．（参考数据： 结果精确到m） 18．如图，在中，为的直径，点，点为上两点，连接，并延长交于点．是的切线，且，垂足为，连接． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 19．如图1中仪器为日晷仪，也称日晷，是观测日影计时的仪器，它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点）．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点，与交于点，连接，，，，． (1)的度数为__________； (2)求的长； (3)随着时间的推移，点从图2时刻开始在圆周上顺时针转动，当点到的距离为时，直接写出点运动的长度．（参考数据：，，） 20．矩形在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为、，直线与边相交于点D． (1)若抛物线经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式； (2)若以点A为圆心的与直线相切，试求的半径； (3)设（1）中抛物线的对称轴与直线交于点M，在对称轴上是否存在点Q，以Q、O、M为顶点的三角形与相似．若存在，试求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，试说明理由． 21．如图，以为直径的交的斜边于点D，连接．点E在上，． (1)求作满足条件的点E（要求尺规作图，保留作图痕迹） (2)延长交的延长线于点F，下列说法：①是的切线；②；③垂直平分；④是等边三角形．正确的序号是________； (3)若，，求的长． 22．如图，内接于，过点作的切线交的延长线于点，交于，交于，点为的中点． (1)求证：； (2)若的半径为2，，求弦的长． 23．定义：在平面直角坐标系中，对于内的一点，若在外存在点，使得，则称点为的“内二分点”． (1)当的半径为时， ①在，，，四个点中，是的“内二分点”的是 ； ②已知一次函数在第一象限的图像上的所有的点都是的“内二分点”，求的取值范围； (2)已知点，，，的半径为，若线段上存在的“内二分点”，直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 直线与圆的位置关系（7个知识点+7种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点2．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点3．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点4．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点5．弦切角定理 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． （2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半． 　如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）． 知识点6．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点7．切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD． 题型强化 题型一．直线与圆的位置关系 1．（2023•望江县模拟）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为　　 A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【分析】根据直线上点与圆的位置关系的判定得出直线与圆的位置关系． 【解答】解：的半径为，线段，， 即点到圆心的距离大于圆的半径，点到圆心的距离等于圆的半径， 点在外，点在上， 直线与的位置关系为相交或相切， 故选：． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键． 2．（2023•望江县模拟）如图，、是圆上的两点，是过点的一条直线，如果，那么当　　时，与圆相切． 【分析】由已知可求得的度数，因为，才能成为的切线，从而可求得的度数． 【解答】解：中，，， ， 当的度数等于时，，才能成为的切线． 故答案为：60． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 3．（2024•安徽模拟）如图，在中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）判断直线与的位置关系，并证明； （2）若，求的半径． 【分析】（1）利用证明，得出，根据“过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”证明相切即可； （2）设，根据勾股定理得出，，根据，代入求解即可． 【解答】解：（1）相切，理由如下， 以为直径作，点为上一点， ， 在和中， ， ， ， ， 直线是的切线， 直线与相切； （2）由（1）过程得，，， ，， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为． 【点评】本题考查了圆切线的判定定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正切的定义，熟练掌握圆切线的判定定理、利用正切列方程求解是解题的关键． 题型二．切线的性质 4．（2024•庐江县校级模拟）如图，与相切于点，的延长线交于点，为优弧上任意一点，若，则　　 A． B． C． D． 【分析】连接，由切线的性质求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 5．（2024•蚌埠二模）如图，与相切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则的度数为 　　． 【分析】连接，根据切线的性质可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用圆周角定理可得，再利用平行线的性质可得，即可解答． 【解答】解：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 6．（2024•瑶海区校级三模）如图，内接于，过点的切线交的延长线于点，且，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【分析】（1）延长交圆于点，连接，根据切线的性质证明，再利用圆周角定理证明，进而可以解决问题； （2）结合（1）根据，，得，证明，可得，利用，求出的长，进而可以求的半径． 【解答】（1）证明：延长交圆于点，连接， ， ， ， ， 是的直径， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，解决本题的关键是掌握切线的性质． 题型三．切线的判定 7．（2022秋•勃利县期末）如图所示，是的直径，交的中点于，于，连接，则下列结论：①；②；③；④是的切线，正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由直径所对的圆周角是直角，即可判断出选项①正确；由为中点，得到为的一半，故为的一半，选项③正确；由为三角形的中位线，根据三角形的中位线定理得到与平行，由与垂直得到与垂直，即为，故为圆的切线，选项④正确． 【解答】解：是直径， ， ，选项①正确； 连接，如图， 为中点，为中点， 为的中位线， ， 又，， ， 为圆的切线，选项④正确； 又， ， 为圆的直径， ， ，， ， ，选项②正确； 由为中点，且， 垂直平分， ，又， ，选项③正确； 则正确结论的个数为4个． 故选：． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，及三角形的中位线定理．证明切线时连接是解这类题经常连接的辅助线． 8．（2023•潜江模拟）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，在上取一点，使，连接，对于下列结论：①；②；③；④为的切线，一定正确的结论选项是　　． 【分析】根据圆周角定理得，则，于是根据等腰三角形的性质可判断，则可对①进行判断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明，则根据相似三角形的判定方法得到，于是可对②进行判断；由于不能确定等于，则不能确定与相等，则可对③进行判断；利用可判断，即，根据平行线的性质得到，然后根据切线的判定定理得为的切线，于是可对④进行判断． 【解答】解：为直径， ， ， 而， ，所以①正确； ， ， 而， ， ， ， ， ，所以②正确； 不能确定为直角三角形， 不能确定等于， 和不能确定相等，所以③错误； ， 点在以为直径的圆上， ， ， 而， ， 为的切线，所以④正确． 故答案为①②④． 【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定． 9．（2024•淮北校级二模）如图1，圆内接四边形的对角线与交于点，． （1）求证：平分； （2）如图2，过点作交的延长线于点，若平分，，求证：是圆的切线． 【分析】（1）同弧所对的圆周角相等，得到，进而推出即可； （2）先证明，推出是正三角形，进而推出，得到是圆的直径，取中点，连接，易得是正三角形，推出，即可得证． 【解答】证明：（1）弧弧， ． ， ， 平分． （2）平分， ． ，， ． ． 是正三角形． ． 为圆内接四边形， ． ． ． 是圆的直径． ， 取中点，连接， ， 是正三角形． ，则， ． ． ． 为的切线． 【点评】本题考查圆周角定理，切线的判定，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型四．切线的判定与性质 10．（2023春•定远县校级月考）如图，是的直径，是的切线，切点为点，过点的直线与交于点，则下列结论错误的是　　 A． B．如果平分， C．如果平分，那么 D．如果，那么也是的切线 【分析】．由圆周角定理可得，便可判断正误； ．由角平分线与等腰三角形的性质可知为等腰直角三角形，可得与的数量关系，便可判断正误； ．由角平分线与等腰三角形的性质得，便可判断正误； ．证明，得，便可判断正误． 【解答】解：．、是所对的圆心角、圆周角， ；故选项正确，不合题意； ．平分，是的切线， ， ，则， 为等腰直角三角形， ， 故选项错误，符合题意； ．平分， ， ，则， ， ， 是的切线，为半径， ， ， 故选项正确，不合题意； ．， ， ， ，， ， ， 也是的切线， 故选项正确，不合题意； 故选：． 【点评】本题考查了圆的有关性质与定理，直角三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，综合应用这些知识解题是关键． 11．（2020•无为市一模）如图，中，，，，点在边上，点在边上，沿将折叠，使点与点重合，连接，点是线段上一动点，当半径为5的与的一边相切时，的长为　　． 【分析】设，由折叠性质得与，在中由勾股定理列出的方程，进而求得，得出不能与相切，进而分两种情况：与相切和与相切，过作切线的垂线段，再根据相似三角形的比例线段便可求得结果． 【解答】解：设，由折叠知，， 在中，由勾股定理得，， 解得，， ， ， ， ， 点是线段上运动时，不可能与相切， 分两种情况：①当与相切时，过点作于点，如图1， ，， ， ，即， ； ②与相切时，过点作于点，如图2， ，， ， ，即， ， ， 综上，的长为或． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键． 12．（2024•合肥模拟）如图，是的直径，点，在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得即可； （2）根据锐角三角函数可求出半径，进而得到的长，再根据直角三角形的边角关系求出，由勾股定理求出即可． 【解答】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即， 是半径， 是的切线； （2）解：设半径为，即，则， 在中， ， ， ， 在中，，， ， ． 【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数的定义以及勾股定理，掌握切线的判定方法，锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提． 题型五．弦切角定理 13．如图，是的直径，点为上一点，过点作的切线，交直径的延长线于点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】连接，如图，先根据切线的性质得到，再利用圆周角定理得到，则利用互余计算出，根据弦切角定理得到，然后根据三角形外角性质计算的度数． 【解答】解：连接，如图， 为切线， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半． 14． 如图，已知是的直径，切于点，，则等于 　　度． 【分析】根据弦切角等于弦切角所夹的弧所对的圆周角求出，再根据直径所对的圆周角是直角得出与互余，计算即可求解． 【解答】解：切于点，， ， 是的直径， ， ， ， 解得． 故答案为：55． 【点评】本题主要考查了弦切角定理与直径所对的圆周角是直角的性质，是基础题，比较简单． 15．（2024•鞍山二模）如图，是的外接圆，为的直径，与交于点，为延长线上一点，连接，，，． （1）求证：； （2）若，，半径为4，求长． 【分析】（1）根据三角形内角和定理和已知两角的关系，得出，然后根据圆周角和圆心角的关系，得出和的关系，再根据三角形内角和定理求出的大小，从而可以得出，所以是切线，再根据弦切角定理证明即可； （2）根据，以及，可以得出和全等，从而证出为角平分线，再根据等腰三角形的三线合一，得出，再根据互余两角三角函数的关系求出的正切，然后根据，得出和的长，从而求出的长，根据勾股定理求出的长即可． 【解答】（1）证明：连接，，如图： ，，， ， ，， ， ， 为的切线， 由弦切角定理可知，； （2）解：， ， ， 又， ， ， 为的平分线， ，，， ， ， ， ，， ， ． 【点评】本题主要考查了弦切角定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理以及圆心角和圆周角的关系是本题解题的关键． 题型六．切线长定理 16．（2023秋•绥化期末）如图，为外一点，、分别切于点、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为　　 A．8 B．12 C．16 D．20 【分析】由切线长定理可求得，，，则可求得答案． 【解答】解：、分别切于点、，切于点， ，，， ， 即的周长为16． 故选：． 【点评】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得、和是解题的关键． 17．（瑶海区校级开学）如图，、切于点、，，切于点，交、于、两点，则的周长是　　． 【分析】由，切于、两点，切于点，根据切线长定理可得：，，，继而可得的周长． 【解答】解：，切于、两点，切于点， ，，， 的周长． 故答案为：12． 【点评】此题考查了切线长定理．此题难度不大，注意从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． 18．（芜湖模拟）如图所示，在梯形中，，，以为直径的与相切于．已知，边比大6． （1）求边、的长； （2）在直径上是否存在一动点，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【分析】过作于，设，则，，根据勾股定理就得到一个关于的方程，就可以解得的长；和相似，有和两种情况进行讨论，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出的长． 【解答】解：（1）方法1：过作于， 在中，，， ，即．（1分） 设，则，， ． ． ，．（4分） 方法2：连、、， 由切线长定理可知，，， 设，则， 由射影定理可得：．（2分） 即：， 解得，，（舍去） ，．（4分） （2）存在符合条件的点． 设，则，与相似，有两种情况： ①时，；（6分） ②时，．（7分） 故存在符合条件的点，此时或4．（8分） 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定性质，对应边的比相等的两三角形相似． 题型七．切割线定理 19．（合肥校级自主招生）以半圆中的一条弦（非直径）为对称轴将弧折叠后与直径交于点，若，且，则的长为　　 A． B． C． D．4 【分析】作关于直线的对称线段，交半圆于，连接、，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答． 【解答】解：如图，若，且， ，， 作关于直线的对称线段，交半圆于，连接、， 可得、、三点共线， 线段与线段关于直线对称， ， ，，． 而，即． 则， 又， ， ． 故选：． 【点评】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后做出解答． 20．（安徽模拟）如图，某机械传动装置在静止状态时，连杆与点运动所形成的交于点，现测得，，的半径，此时点到圆心的距离是　7.5　． 【分析】连接，欲求的长可延长，通过构建割线，运用割线定理求解． 【解答】解：连接交圆于，并延长交圆于； ，， ； 由割线定理，得：； 设点到圆心的距离是，则有： ， 解得．故到点的距离为． 【点评】此题要通过作辅助线构造割线，然后运用割线定理列方程求解． 21．（马鞍山校级一模）如图是的直径，是的延长线上一点，过作的切线，切点为，过作的切线，交于点，若，求：，的长． 【分析】连接；设，根据切割线定理和勾股定理列方程求得的值，再进一步求得的长． 【解答】解：连接，则； 又，； ； ； 设，则有：，； 又，； 整理，得：； ，（舍； 即：，． 【点评】解决此题的关键是能够综合运用切割线定理和勾股定理列方程求解． 分层练习 一、单选题 1．已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】A 【分析】圆的半径为 圆心到直线的距离为 当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【详解】解：∵⊙O的半径等于为8，圆心O到直线l的距离为为6， ∴， ∴直线l与相离， ∴直线l与⊙O的公共点的个数为0， 故选A． 【点睛】本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键． 2．下列说法正确的是(   ) A．圆是轴对称图形，直径是它的对称轴 B．在同圆或等圆中，等弦所对的弧相等 C．三角形的外心到三角形三个顶点距离相等 D．圆的切线垂直于半径 【答案】C 【分析】根据圆的对称性，弦，弧，圆心角之间的关系，以及三角形的外心：三角形外接圆的圆心，切线的性质，逐一进行判断即可． 【详解】A、圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，选项说法错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，等弦所对的劣弧和劣弧相等，优弧和优弧相等，选项说法错误，不符合题意； C、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，选项说法正确，符合题意； D、圆的切线垂直与过切点的半径，选项说法错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查圆的相关概念和性质的辨析．熟练掌握圆的对称性，弦，弧，圆心角之间的关系，以及三角形的外心，切线的性质，是解题的关键．注意，对称轴是直线，弧分为优弧和劣弧． 3．如图，⊙M与x轴相切于原点，平行于y轴的直线交圆于P、Q两点，P点在Q点的下方，若P点的坐标是（2，1），则圆心M的坐标是（ ） A．（0，3） B．（0，） C．（0，2） D．（0，） 【答案】D 【分析】连接MP，过M作MA⊥PQ于A，设⊙M的半径为R，所以MP＝R，PA＝R−1，MA＝PB＝2，根据勾股定理则有：MP2＝MA2＋PA2，即可求得R＝． 【详解】解：连接MP，过M作MA⊥PQ于A，则PB＝MA＝2， 设⊙M的半径为R，则MP2＝MA2＋PA2， 即R2＝22＋（R−1）2， 解得R＝ ∴圆心M的坐标是（0，） 故选：D． 【点晴】解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解． 4．如图，与相切于点，与相交于点，点在上，且与点不重合．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，直角三角形两锐角互余，圆周角定理的运用，掌握切线的性质，同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键． 根据题意，连接，得到，根据直角三角形两锐角互余可得，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵与相切于点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵对的圆心角为，对的圆周角为， ∴， 故选：A ． 5．用一把带有刻度的直尺，① 可以画出两条平行的直线与b，如图⑴；② 可以画出∠AOB的平分线OP，如图⑵所示；③ 可以检验工件的凹面是否为半圆，如图⑶所示；④ 可以量出一个圆的半径，如图⑷所示．这四种说法正确的个数有 （ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出正确个数． 【详解】解：①根据平行线的判定：同位角相等，两直线平行，可知正确； ②可以画出∠AOB的平分线OP，可知正确； ③根据90°的圆周角所对的弦是直径，可知正确； ④此作法正确． ∴正确的有4个． 利用角尺还可以画直角；还有类似于角尺这样简单易行的工具是“T”尺，用“T”尺可以找出圆的圆心． 故选：D． 【点睛】本题考查了图形中平行线、角平分线的画法，90°的圆周角所对的弦是直径，圆的切线的性质等知识． 6．如图，是的直径，点在上，过点作的切线交的延长线于点．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得，根据三角形内角和是求得，根据等角对等边可得，设，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列出一元二次方程，解方程求出的值，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 整理得：， 解得：，（舍去）， 即的半径为． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等．掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 7．如图，正方形的顶点A、D在上，边与相切，若正方形的周长记为，的周长记为，则、的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】设正方形的边长为，⊙O的半径为，则，，结合垂径定理，勾股定理得出，则，，即可得出结论． 【详解】如图：设与⊙O相切与点N，连接ON，延长NO交AD于点M， 为中点， 设正方形的边长为，⊙O的半径为， ， 在中，， ， ， 正方形周长为，⊙O的周长为， ，， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆切线的性质，正方形的性质，垂径定理，勾股定理，以及正方形的周长和圆的周长公式，熟练掌握垂经定理和勾股定理找到正方形的边长和圆的半径之间的关系是解题关键． 8．如图，是的直径，直线与相切于点C，连接AE交于点D，连接，且，直线交的延长线于点P，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由切线性质可得，进而可得，由，可得，可得，由，． 【详解】解：连接， ∵与相切于， ∴半径，则， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，关键是连接切点与圆心构造直角三角形进行求解． 9．如图，将绕点逆时针旋转60°得到，连接．若，，则四边形面积的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将四边形的面积转化为，再进行分析解答 【详解】由旋转得：， ∴， 设四边形面积为S， ∴． 由旋转可知，AB＝AD，而∠DAB＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴，∠ADB＝∠ABD＝∠DAB＝60°， ∴， ∴最大时，最小， 作的外接圆， 易知． ∴，． 当为中点时，面积最大， 过作于，则． 设，． ∴，． ∴． ∴． 故选D． 【点睛】本题求面积的最小值，考查的知识点有等边三角形的判定与性质、圆周角定理、旋转的性质、勾股定理等知识，综合性强，难度较大． 10．如题图所示，已知一个半径为2的，P为平面内一个点，过点P作的两条切线，，为的一条直径，且，连接若干条线段的端点．若，下列给出的四个命题中，为假命题的是（    ） A． B．为正三角形 C． D． 【答案】D 【分析】先由特殊角三角函数值求出，再利用直径所对圆周角是直角得出，从而得出，又因为即可得出为正三角形，从而可判定B；求先求出，，再证明，求得，再证是等腰直角三角形，得，从而求得，即可得出结论，可判定C；证明，得，即可求得，设，则，，利用由勾股定理，求得，然后由计算即可判定A；作射线交于H，使，则，所以，，再证，得，即可得．即可判定D． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴为正三角形， 故B是真命题，不符合题意； ∵是的切线， ∴， ∴， ∵是的切线，是的半径， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴； 故C是真命题，不符合题意； ∵为正三角形， ∴， ∵的半径是2， ∴， 在中，，， 由勾股定理，可得 ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴在中，由勾股定理，得， ， 解得：（负值不符合题意，已舍去了）， ∴， ∴， 故A是真命题，不符合题意； 作射线交于H，使，如图， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故D是假命题，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，切线的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，本题综合性较强，属中考压轴题．熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 二、填空题 11．在矩形中，，，点在对角线上，的半径为2，如果与矩形只有一个公共点，那么线段的长是 ． 【答案】或 【分析】根据勾股定理得到，如图1，设与边相切于点，连接，如图2，设与边相切于，连接，根据三角形相似的性质，分别求出两种情况下的的长，即可得到答案． 【详解】解：在矩形中，，， ， 如图1，设与边相切于点，连接，    则， ， ， ，即， ； 如图2，设与边相切于，连接，    则， ， ， ，即， ， ， 综上所述，如果与矩形只有一个公共点，那么线段的长是或． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出图形是解题的关键． 12．如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．以BC上点O为圆心作⊙O分别与AB、AC相切E、C两点，与BC的另一交点为D，则线段BD的长为 【答案】1 【分析】连接OE，OE⊥AB，OE=OC，AC⊥OC，△BEO∽△BCA，故，故可得OC的长，即可得出BD的长． 【详解】解：如图，连接OE， ∵AB是⊙O的切线， ∴OE⊥AB，OE=OC， ∵AC⊥OC， ∴BEO∽BCA， ∴， ∵∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴AB=5， ∴， ∴， ∴OE=， ∴OC=， ∴BD=BC-2×OC=4-2×． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是得到BEO∽BCA． 13．如图，将正方形绕点按逆时针方向旋转30°得到正方形，已知交于点，，则四边形的内切圆半径为 ． 【答案】 【分析】作∠DAH与∠AEF的角平分线交于点O，则O即为该圆的圆心，过O作OH⊥AE，AB=，再根据直角三角形的性质便可求出OH的长，即该四边形内切圆的半径． 【详解】解：作∠DAH与∠AEF的角平分线交于点O，则点O是四边形AEFG内切圆的圆心，过O作OH⊥AE， 则∠OAH=30°，∠AEO=45°， 故EH=OH=OA， 设EH=x，则AH=-x，AO=2x， 在Rt△AOH中， ∵AH2+OH2=OA2， 故(-x)2+x2=(2x)2， 解得x=或x=（舍去）， ∴四边形AEED的内切圆半径为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，多边形的内切圆，正方形的性质，熟练掌握正方形的性质及直角三角形的性质是解答此题的关键． 14．矩形中，，，将矩形沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，若是以点E为直角顶点的直角三角形，则点E到直线的距离是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的折叠问题、切线的应用，以及勾股定理，找到点E的运动轨迹是解题的关键． 由折叠的性质可得点E在以点A为圆心，长为半径的圆上运动，当与相切于点E时，，是直角三角形，分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：由题意矩形沿过点A的直线折叠，使点落在点处， ∴， ∴点E在以点A为圆心，长为半径的圆上运动，    当与相切于点E时，，是直角三角形， 此时分两种情况： ①如图，点E在矩形的外部，过点E作交于点H，交于点G，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，，， 由勾股定理可得， ∵， ∴， ∴到直线的距离， ②如图，点E在矩形的内部，过点E作交于点N，交于点M，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，，， 由勾股定理可得， ∵， ∴， ∴到直线的距离， 综上，点E到直线的距离是或， 故答案为：或． 三、解答题 15．如图，在平行四边形中，，以为直径的与相切于点E，连接，若． （1）求得长度？ （2）求线段与弧围成的图形（阴影部分）的面积？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）连接，过点C作于点F，首先根据题意得到四边形为矩形，  然后得出求解即可； （2）根据题意得出，然后代入求解即可． 【详解】（1）连接，过点C作于点F， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵与相切于点E， ∴， ∴ ∴， ∵    ∴ ∴四边形为矩形，    ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴； （2）由（1）知：， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴． 【点睛】此题考查了圆切线的性质，矩形的性质和判定，几何图形中求阴影部分面积等知识，解题的关键是熟练掌握圆切线的性质，矩形的性质和判定，割补法求几何图形面积． 16．已知关于的二次函数（，为常数）的图象的顶点为． (1)若此二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． (2)已知以坐标原点O为圆心，r为半径的圆是以5，12，13为边长的三角形的内切圆． ①的半径________． ②我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”，若M是“完美点”，试判断点M与的位置关系． 【答案】(1) (2)2；点在外 【分析】本题考查二次函数的图象及性质． （1）根据题意可得，求出的值即可； （2）①由所给的三角形三边为勾股数，可知三角形是直角三角形，再由等积法求半径即可； ②先求顶点为，再由“完美点”定义可得，可确定点，由①知，的半径为2，则点在外． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴只有一个交点， ， ； （2）解：①以5，12，13为边长的三角形是直角三角形， ， 解得； 故答案为：2． ②， 顶点为， 点是“完美点”， ， 解得， 点， 由①知，的半径为2，则点在外． 17．为让学生感悟自然界和生活中的数学，王老师组织大家周末到户外，同学们发现休闲广场水平地面上放置两个同样大小的球形石墩，每个石墩在阳光下形成自己的影子．同学们对球形石墩的半径十分感兴趣，观察并绘制了如图所示的平面示意图，和是两球的主视图，均与地面l相切，太阳光线与地面的夹角是，由此得到， 已知 m，m请根据以上数据求出球的半径 ．（参考数据： 结果精确到m） 【答案】米． 【分析】本题考查了解直角三角形，涉及了圆的切线的性质定理，根据题意可得和都是直角三角形．在 中可得，在 中可得，据此即可求解； 【详解】解：∵l 与 都相切， ∴和都是直角三角形． 设球的半径为 r． 在 中，由，得， ∴． 在 中，， ∵， ∴ ． 解得 ． 答：球的半径 约为 米． 18．如图，在中，为的直径，点，点为上两点，连接，并延长交于点．是的切线，且，垂足为，连接． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）连接，则，由切线的性质得，而于点，则，所以，则，根据圆周角定理得，即可证明； （2）连接，由是的直径，得，由，得，由，求得，进而由，求得． 【详解】（1）证明：连接，则， ， 是的切线，且于点， ， ∴， ， ， ， ； （2）解：连接， 是的直径，， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， 的长是． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的性质定理、垂直于同一条直线的两条直线平行、圆周角定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 19．如图1中仪器为日晷仪，也称日晷，是观测日影计时的仪器，它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点）．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点，与交于点，连接，，，，． (1)的度数为__________； (2)求的长； (3)随着时间的推移，点从图2时刻开始在圆周上顺时针转动，当点到的距离为时，直接写出点运动的长度．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先根据切线长定理可得，在中，利用三角函数可解得的度数； （2）连接，利用三角函数解得的长度，进而可得的值，然后根据勾股定理计算的长度即可； （3）分在左侧和在右侧两种情况讨论，分别计算点转过的角度，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，为半径， ∴为切线， 又∵与相切于点， ∴， ∵， ∴，， ∴在中，， ∴． 故答案为：； （2）连接，如下图， ∵与相切于点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，； （3）由（2）可知，，，即， ∴， 分两种情况讨论： ①当在右侧时，如下图，过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点转过的角度为， ∴点运动的长度为； ②当在左侧时，如下图，过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点转过的角度为， ∴点运动的长度为． 综上所述，点运动的长度为或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、弧长计算公式、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 20．矩形在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为、，直线与边相交于点D． (1)若抛物线经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式； (2)若以点A为圆心的与直线相切，试求的半径； (3)设（1）中抛物线的对称轴与直线交于点M，在对称轴上是否存在点Q，以Q、O、M为顶点的三角形与相似．若存在，试求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，Q的坐标为或 【分析】（1）已知直线与交于点，把代入可得点D的坐标；如图抛物线经过、两点，把已知坐标代入解析式得出a，b的值即可； （2）由可得，设，则，由勾股定理得，从而可求出，即可得圆的半径； （3）证明以及后推出得出符合条件的坐标． 【详解】（1）由题知，线与交于点， 把代入中得，， ∴； ∵抛物线经过、两点， ，分别代入中，得 解得 ． ∴抛物线的解析式为； （2）∵， ∴， 设与切于H，则，如图， 设则， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴当直线OD与相切时，． （3）如图2：抛物线的对称轴与x轴交于点，符合条件． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴该点坐标为． 过点O作的垂线交抛物线的对称轴于点， ∵对称轴平行于y轴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵点位于第四象限， ∴． 因此，符合条件的点有两个，分别是，． 【点睛】本题考查函数性质与坐标关系，待定系数法，切线的性质，三角函数以及勾股定理等知识，最后一问探究点的存在性问题，几何图形形式问题和直角三角形性质． 21．如图，以为直径的交的斜边于点D，连接．点E在上，． (1)求作满足条件的点E（要求尺规作图，保留作图痕迹） (2)延长交的延长线于点F，下列说法：①是的切线；②；③垂直平分；④是等边三角形．正确的序号是________； (3)若，，求的长． 【答案】(1)画图见解析 (2)①②③ (3) 【分析】（1）作线段的垂直平分线垂足为E，连接，利用直角三角形斜边的中线性质可得点E即为所求； （2）①正确，利用全等三角形的性质证明即可；②正确，利用三角形中位线定理证明；③正确，根据线段的垂直平分线的判定判断即可；④错误，根据等边三角形的定义判断即可； （3）过点D作于点H．首先证明，求出，，，再利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求； ； 由作图可得：， 而为的直径， ∴， ∴． （2）在和中， ， ∴， ∴， ∴是的切线，故①正确； 由作图可知，， ∴，故②正确； ∵，， ∴垂直平分线段，故③正确； ∵不一定是， ∴无法判断是等边三角形，故④错误． 故答案为：①②③； （3）解：过点D作于点H． ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线性质、解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．如图，内接于，过点作的切线交的延长线于点，交于，交于，点为的中点． (1)求证：； (2)若的半径为2，，求弦的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，结合切线的性质可得，即有，再根据垂径定理可得，易得，然后证明，即可证明结论； （2）连接，，过点作于点，首先证明为等腰直角三角形，易得，再证明，易得，利用三角函数分别求得，的值，即可获得答案． 【详解】（1）证明：如下图，连接， ∵为切线，为半径， ∴， ∴， ∵点为的中点，为半径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如下图，连接，，过点作于点， ∵，的半径为2， ∴，， ∴， ∵点为的中点，为直径， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、垂径定理、含30度角的直角三角形、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键． 23．定义：在平面直角坐标系中，对于内的一点，若在外存在点，使得，则称点为的“内二分点”． (1)当的半径为时， ①在，，，四个点中，是的“内二分点”的是 ； ②已知一次函数在第一象限的图像上的所有的点都是的“内二分点”，求的取值范围； (2)已知点，，，的半径为，若线段上存在的“内二分点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或． 【分析】（1）①根据圆的“内二分点”即可判断；②由当时，，可得一次函数的图像过定点，根据题意可得，当一次函数的图像与轴的交点也是与轴的交点时，；当一次函数的图像与半径为1的相切时，可得，由此即可求解； （2）画出图形，找到“临界点”，列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：①，的半径为， 但此时在圆上，不合题意，故不是的“内二分点”， ，，， ，，在圆上， ，是的“内二分点”； ②当时，， 一次函数的图像过定点， 若，则在第一象限是一条射线（不含端点），上不可能所有的点都是的“内二分点”，故， 如图当一次函数的图像与轴的交点也是与轴的交点时，， 当一次函数的图像与半径为1的相切于点时， 则，而，， ∴， ∴， ∴， ∴直线与轴的交点坐标为，代入， 可得， 的取值范围是； （2）①当从点左侧沿轴正方向移动时，线段上存在点为的“内二分点”，如图， 则满足，， 且， 解得：，且，， 结合图形可得，线段上存在点为的“内二分点”，； ②当移动到点的右侧时，线段上存在点为的“内二分点”，如图， 则满足，， 且， 解得：或，且， 结合图形可得，线段上存在点为的“内二分点”，； 综上所述，若线段上存在点为的“内二分点”，则或． 【点睛】本题是一个新定义问题，涉及直线与圆的位置关系，一次函数的图像，解直角三角形的计算，解不等式组等知识，解题的关键是数形结合．理解“内二分点”的定义，找到“临界点”，题目难度较大. 学科网（北京）股份有限公司 $$