第04讲 直线与圆的位置关系（6个知识点+6种题型+分层练习）- 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第04讲 直线与圆的位置关系（6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点2．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点3．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点4．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点5．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点6．切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD． 题型强化 题型一．直线与圆的位置关系 1．（2024•镇海区校级二模）已知的直径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是　　 A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 2．（2024•西湖区校级开学）如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 　　． 3．（2023春•下城区校级月考）如图，在中，，以为直径作，交于点，点是的中点，连结，，． （1）判断与的位置关系，并证明你的结论． （2）若，，求． 题型二．切线的性质 4．（2024•浙江一模）如图，是的切线，点是切点，连接交于点，延长交于点，连接，若，，则的长为　　 A． B． C． D． 5．（2024•浙江模拟）如图，与的边相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到（点与点对应），使点落在上，边交于点．若，，则的长为 　　． 6．（2024•西湖区校级二模）如图，内接于，是的直径，过点的切线交的延长线于点，是上一点，点，分别位于直径异侧，连接，，，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）过点作，垂足为点，若，求的值． 题型三．切线的判定 7．（2023•拱墅区二模）如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是　　 A．， B． C． D．与的交点是中点 8．（2024•椒江区校级模拟）如图，在矩形中，，，是对角线上的动点，以为直径作圆，当圆与矩形的边相切时，的长为　　． 9．（2024•金华模拟）如图，已知：以的直角边为直径作，与斜边交于点，为边上的中点，连接． （1）猜想是的切线吗？并证明你的结论； （2）若，，求的半径．（精确到0.01，， 题型四．切线的判定与性质 10．（2022•海曙区校级三模）如图，在矩形中，，以为直径作．将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切于点，则的长为　　 A． B． C． D． 11．（2023•宁波模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，点是直线上的一个动点，以为圆心，以线段的长为半径作，当与直线相切时，点的坐标为 　　． 12．（2024•诸暨市模拟）如图，在中，，点在边上，以为直径作交的延长线于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长． 题型五．切线长定理 13．（2021•绍兴模拟）如图，在矩形中，，，以为直径在矩形内作半圆，自点作半圆的切线，则　　 A． B． C． D． 14．（杭州模拟）如图所示，的半径为3，是圆外一点且，，分别与相切于点，．是劣弧上任意一点，过作的切线，交于点，交于点． （1）的周长是　　； （2）当为线段与的交点时，连接，则五边形的面积是　　． 15．（杭州）如图，、分别切于、，连接与相交于，连接、，求证：． 题型六．切割线定理 16．（2021春•永嘉县校级期末）如图，四边形是圆的内接四边形，、的延长线交于点，若是的中点，且，，那么的长为　　 A．9 B．7 C．3 D． 17．（杭州）如图，过点引圆的两条割线和，分别交圆于点，和，，连接，，则在下列各比例式中，①；②；③，成立的有　　（把你认为成立的比例式的序号都填上）． 18．（浙江模拟）如图，切于点，割线交于点、． （1）求证：； （2）割线交于点、，且，，求的长． 分层练习 一、单选题 1．的直径是4，圆心O到直线l的距离是2，则直线l与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相离或相交 2．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°.连结AC，则∠A的度数是(       ) A．15° B．30° C．35° D．45° 3．如图，以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D.若，则平行四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．如图，与x轴负半轴相切于点B，交y轴于点，则点A的坐标为（    ）． A． B． C． D． 5．如图，为的外接圆，与相切于点B，连接并延长，交于点D．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．对于题目“已知及圆外一点P，如何过点P作出的切线？”甲、乙的作法如图： 甲的作法 连接，作的垂直平分线交于点G，以点G为圆心，长为半径画弧交于M，作直线．直线．即为所求．    乙的作法 连接并延长，交于B，C两点，分别，以P，O为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点D，连接，交于点M，作直线．直线即为所求．    下列说法正确的是（   ） A．甲和乙的作法都正确 B．甲和乙的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．乙的作法正确，甲的作法错误 7．⊙O的直径是3，直线与⊙O相交，圆心O到直线的距离是d，则d应满足（    ） A．d>3 B．1.5<d<3 C．0≤d<1.5 D．0<d<3 8．如图，的边与相交于，两点，且经过圆心，边与相切，切点为．已知，则的大小是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．如图，为的直径，弦于点，于点，过点作的切线交的延长线于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A,B两点，PC切半圆与点C，已知PC=3，PB=1,则该半圆的半径为 . 12．如图，是的直径，分别切于，分别与交于点，若，，则的半径为 . 13．如图，AB与⊙O相切于B点，AC经过圆心O，∠A＝30°，AB＝3，则劣弧BC的长为 ．      14．如图，是的内切圆，切点分别为，且，，，则的半径是 ．    15．如图，在中，．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边所在的直线相切时，r的值为 ．    16．如图，在矩形中，，以点C为圆心作与直线相切，点P是上一个动点，连接交于点T，则的最大值是 ． 三、解答题 17．如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切于点D，与相交于点E． (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的长． 18．如图，为圆的直径，点在线段的延长线上，，动点在圆的上半圆上运动（包含、两点），以线段为边向上作等边三角形， （1）当线段所在的直线与圆相切时，求的面积（如图1）； （2）当线段与圆有两个公共点、时，如果于点，求的长度（如图2）． 19．如图，是的直径，点，在半圆上，，，垂足为． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求． 20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于点D． （1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）； （2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （3）若（1）中的⊙O与边AB的另一个交点为E，AB=6,，，求弧DE的弧长（结果保留根号和π） 21．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，点的坐标为，，，边与轴交于点． (1)直接写出点，，的坐标； (2)在轴上取点，直线经过点，与轴交于点，连接． ①当时，求直线的函数表达式； ②当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，求点的坐标． 22．矩形在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为、，直线与边相交于点D． (1)若抛物线经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式； (2)若以点A为圆心的与直线相切，试求的半径； (3)设（1）中抛物线的对称轴与直线交于点M，在对称轴上是否存在点Q，以Q、O、M为顶点的三角形与相似．若存在，试求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，试说明理由． 23．【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，表示灯塔，灯塔B在灯塔A的正东方向，且与A相距海里，暗礁分布在经过两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？    【解决问题】 （1）如图2，请你用已学知识判断与“危险角”的大小关系； 【问题探究】 （2）如图3，在优弧上还有一个灯塔E，经测量，灯塔之间的距离为海里，，求“危险角”的大小； 【问题拓展】 （3）如图4，已知港口K位于灯塔A正北方向且与灯塔A相距海里远，有一货轮Q沿直线l方向航行，若货轮Q恰能安全避开暗礁区，当货轮Q与灯塔的夹角最大时，求此时货轮Q与港口K的距离 24．（1）如图1，在足球比赛场上，甲带球奔向对方球门，当他带球冲到A点时，同伴乙已冲到B点，甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？ 对上面这个问题，小明结合图1判断甲的视角小于乙的视角，根据“仅从射门角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进”的经验，认为甲应该将球传给乙．请结合图1给出小明得到的理由； （2）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，并得到这样的结论：如图2，点A，B是平面内两个定点，C是直线l上的一个动点，当且仅当的外接圆与l相切于点C时，最大． 如图3，，点A，B是边上两点，，点C是边上一动点． ①若最大为，请求出当时，的长； ②若最大不超过，直接写出的取值范围．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 直线与圆的位置关系（6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点2．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点3．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点4．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点5．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点6．切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD． 题型强化 题型一．直线与圆的位置关系 1．（2024•镇海区校级二模）已知的直径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是　　 A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【分析】根据直线与圆的位置关系判定方法，假设圆心到直线的距离为，当，直线与圆相离，当，直线与圆相切，当，直线与圆相交，由的直径为，点到直线的距离为，得出，进而与的位置关系． 【解答】解：的直径为， 的半径为， 点到直线的距离为， 与的位置关系相离． 故选：． 【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是判断出圆的半径与圆心到直线的距离，再根据判定方法得出位置关系． 2．（2024•西湖区校级开学）如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 　　． 【分析】作于，则，由题意得出半径，由，即可得出结论． 【解答】解：如图所示：作于 则， ， ， ，即圆心到直线的距离半径， 直线与相切． 故答案为：相切． 【点评】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系解答．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 3．（2023春•下城区校级月考）如图，在中，，以为直径作，交于点，点是的中点，连结，，． （1）判断与的位置关系，并证明你的结论． （2）若，，求． 【分析】（1）连接，由圆周角定理，等腰三角形的性质推出，得到半径，即可证明问题； （2）作于，由相似三角形的性质求出，长，由三角形中位线定理求出的长，即可求解． 【解答】解：（1）与相切，理由如下： 连接， 是的直径， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， 半径， 与相切； （2）作于， 由（1）知， ， ， 令， ， ， ， ， ， ， ， ， ；， ， ，， ，， ， ， ， ， 是的中位线， ， ． 【点评】本题考查切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，关键是由条件证明，求出，的长． 题型二．切线的性质 4．（2024•浙江一模）如图，是的切线，点是切点，连接交于点，延长交于点，连接，若，，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】连接、，由是的直径，得，，由切线的性质得，而，则，所以△是等边三角形，则，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接、，则， 是的直径， ，， 与相切于点， ， ， ， ， △是等边三角形， ， ， 故选：． 【点评】此题重点考查切线的性质定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 5．（2024•浙江模拟）如图，与的边相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到（点与点对应），使点落在上，边交于点．若，，则的长为 　　． 【分析】根据切线的性质得到，求得，连接，如图，根据旋转的性质得到，，，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：与的边相切， ， ， 连接，如图， 绕点按顺时针方向旋转得到， ，，， 是直径， ，，共线， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了切线的性质，旋转的性质，直角三角形到现在，正确地找出辅助线是解题的关键． 6．（2024•西湖区校级二模）如图，内接于，是的直径，过点的切线交的延长线于点，是上一点，点，分别位于直径异侧，连接，，，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）过点作，垂足为点，若，求的值． 【分析】（1）根据是的直径，为的切线，得，，则，，再根据得，进而再由得，据此可得出结论； （2）连接并延长交于，则，由（1）的结论可知，则，由垂径定理得，再根据是的直径得，由此可得，则，据此可得出结论 （3）证和相似得，则，，设的半径为，，则，，由得，由此解出，则，然后在中，由勾股定理求出，最后再根据锐角三角形的定义可得的值． 【解答】（1）证明：是的直径，为的切线， ，， ，， ， ， ， ， ； （2）证明：连接并延长交于，如图所示： ， ， ， 由（1）的结论可知：， ， ， 是的直径， ， 即， ， ， ； （3）解：是的直径，， ，， 又， ， ， ， ，， 设的半径为，， 则，， ，， ， ， 即， 解得：， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ． 【点评】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，理解切线的性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数是解决问题的关键． 题型三．切线的判定 7．（2023•拱墅区二模）如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是　　 A．， B． C． D．与的交点是中点 【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【解答】解：、，， ， ， 点在上， 是的半径， 是切线； 、， ， ， ， ， 点在上， 是的半径， 是切线； 、， 是直角三角形，， ， 点在上， 是的半径， 是切线； 、与的交点是中点， ，但不能证出， 不能判定是切线； 故选：． 【点评】本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键． 8．（2024•椒江区校级模拟）如图，在矩形中，，，是对角线上的动点，以为直径作圆，当圆与矩形的边相切时，的长为　　． 【分析】为直径的圆的圆心为，作于，于，如图，设的半径为，先利用勾股定理计算出，根据切线的判定方法，当时，与相切，根据平行线分线段成比例定理得，求出得到的长；当时利用同样方法求出的长． 【解答】解：为直径的圆的圆心为，作于，于，如图， 设的半径为， 在矩形中，，， ， 当时，与相切， ， ，即，解得， 此时； 当时，与相切， ， ，即，解得， 此时； 综上所述，的长为或． 故答案为或． 【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了平行线分线段成比例定理． 9．（2024•金华模拟）如图，已知：以的直角边为直径作，与斜边交于点，为边上的中点，连接． （1）猜想是的切线吗？并证明你的结论； （2）若，，求的半径．（精确到0.01，， 【分析】（1）只要证，即可得到是的切线； （2）根据直角三角形两锐角互余得，根据，即可求得的半径． 【解答】（1）证明：如图1，连接、； 是的直径， ， ． 为边上的中点， ， ． ， ． ． 在中，， ． 为上的点， 是的切线． （2）解：，， ， ， ， 的半径为4.67． 【点评】主要考查了切线的判定方法和解直角三角函数．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可． 题型四．切线的判定与性质 10．（2022•海曙区校级三模）如图，在矩形中，，以为直径作．将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切于点，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】连接并延长交线段于点，过点作于点，由题意可得：四边形为矩形，则，由勾股定理可求线段的长；由旋转的性质可得：，则，；利用直角三角形的边角关系可求和，最后利用勾股定理可得结论． 【解答】解：连接并延长交线段于点，过点作于点，如图， 边与相切于点， ． 四边形是矩形， ，． 四边形为矩形． ． 为的直径， ． ． ，， ． ． 由旋转的性质可得：． ，． ，， ，． ，． ． ． 故选：． 【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，圆的切线的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系，旋转的性质，连接，利用切线的性质得到，是解决此类问题常添加的辅助线． 11．（2023•宁波模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，点是直线上的一个动点，以为圆心，以线段的长为半径作，当与直线相切时，点的坐标为 　　． 【分析】过点作，垂足为，当与直线相切时，则，根据已知可设点的坐标为，从而可得，进而可得，然后再证是等腰直角三角形，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后根据直角三角形的斜边上的中线性质可得，即可解答． 【解答】解：如图：过点作，垂足为， 当与直线相切时， 则， ， 点， ， 点是直线上的一个动点， 设点的坐标为， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【点评】本题考查了切线的判定与性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握切线的判定与性质，以及一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 12．（2024•诸暨市模拟）如图，在中，，点在边上，以为直径作交的延长线于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长． 【分析】（1）连接，则，根据得，则，再根据得，据此可得，然后根据切线的判定可得出结论； （2）设的半径为，则，，在中由勾股定理可求出，然后在中由勾股定理求出即可． 【解答】（1）证明：连接，如图所示： 为的直径，点在上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 又为的半径， 是的切线； （2）设的半径为，则， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：． 故的半径为3.5． 【点评】此题主要考查了切线的判定，勾股定理，熟练掌握切线的判定，勾股定理是解决问题的关键． 题型五．切线长定理 13．（2021•绍兴模拟）如图，在矩形中，，，以为直径在矩形内作半圆，自点作半圆的切线，则　　 A． B． C． D． 【分析】取的中点，则为圆心，连接，，与的交点是，则易证，，则，求得的长即可求解． 【解答】解：取的中点，则为圆心，连接，，与的交点是， ，都为圆的切线， ， ，， ， ， ， 在直角中，， ，， ， 易证明， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了切线长定理，以及三角形的相似，求角的三角函数值的问题转化为求线段的比的问题． 14．（杭州模拟）如图所示，的半径为3，是圆外一点且，，分别与相切于点，．是劣弧上任意一点，过作的切线，交于点，交于点． （1）的周长是　　； （2）当为线段与的交点时，连接，则五边形的面积是　　． 【分析】（1）根据切线长定理就可证明，，则的周长是：，据此即可求解； （2）当为线段与的交点时，于垂直，根据求得的长，根据求解． 【解答】解：（1）如图1所示：连接，，，， ，分别与相切于点，， ，， 的半径为3，是圆外一点且， ， 过作的切线，交于点，交于点， ，， 则的周长是：． 故答案为：8； （2）如图2，． 在和中，，， ， ，即， ， ， ． 又， ． 故答案为：9． 【点评】本题考查了切线长定理，以及相似三角形的判定与性质、切线的性质定理，理解当为线段与的交点时，于垂直，求得的长是关键． 15．（杭州）如图，、分别切于、，连接与相交于，连接、，求证：． 【分析】由切线长定理知，，，又有，故由证得，可得． 【解答】证明：、分别切于、， ，． 又， ． ． 【点评】本题利用了切线长定理，全等三角形的判定和性质求解． 题型六．切割线定理 16．（2021春•永嘉县校级期末）如图，四边形是圆的内接四边形，、的延长线交于点，若是的中点，且，，那么的长为　　 A．9 B．7 C．3 D． 【分析】根据切割线定理得到，代入计算得到答案． 【解答】解：是的中点，， ， 由切割线定理得，，即， 解得，， ， 故选：． 【点评】本题考查的是切割线定理，掌握从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项是解题的关键． 17．（杭州）如图，过点引圆的两条割线和，分别交圆于点，和，，连接，，则在下列各比例式中，①；②；③，成立的有　　（把你认为成立的比例式的序号都填上）． 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法得到，，根据相似三角形的对应边的比相等从而可得到答案． 【解答】解：四边形是圆内接四边形 ， 根据相似三角形的对应边的比相等，得到②③是正确的． 【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质，注意到题目中的相似三角形是解决本题的关键． 18．（浙江模拟）如图，切于点，割线交于点、． （1）求证：； （2）割线交于点、，且，，求的长． 【分析】（1）连接、、、，可证得，则，即 （2）由，同理得，，可证得，根据题意可求得，即得出的长． 【解答】解：（1）连接、、、， 切于点， ，即，（1分） 又， ， ， ， ，（4分） ， 即．（5分） （2）， 同理，， ，（7分） 且，， ，（9分） 即．（10分） 【点评】本题考查的是切割线定理，相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握． 分层练习 一、单选题 1．的直径是4，圆心O到直线l的距离是2，则直线l与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相离或相交 【答案】B 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题主要考查了直线和圆的位置关系，判断直线l与的位置关系，求出圆心与直线的距离是关键．根据圆心与直线的距离直接判断位置即可． 【详解】解：∵的直径为4， ∴半径， ∵圆心O到直线l的距离为2，即， ∴ ∴直线l与的位置关系是相切． 故选：B． 2．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°.连结AC，则∠A的度数是(       ) A．15° B．30° C．35° D．45° 【答案】C 【分析】首先连接OC，由BD、CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°，利用四边形内角和定理，即可求得∠BOC的度数，再利用圆周角定理，即可求得答案． 【详解】 连接OC， ∵BD、CD分别是过⊙O上点B，C的切线， ∴OC⊥CD，OB⊥BD， ∴∠OCD=∠OBD=90， ∵∠BDC=110， ∴∠BOC=360−∠OCD−∠BDC−∠OBD=70， ∴∠A=∠BOC=35. 故选C. 【点睛】本题考查切线的性质. 3．如图，以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D.若，则平行四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理、利用平行四边形的性质求解 【分析】利用圆的切线和平行四边形的性质可以得到，进而求出然后计算面积即可． 【详解】解：∵是以为直径的圆的切线， ∴， 又∵为平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，即， 解得 ∴平行四边形的面积为， 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，切线的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 4．如图，与x轴负半轴相切于点B，交y轴于点，则点A的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】切线的性质定理、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查切线的性质，垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质，掌握切线的性质，垂径定理与勾股定理的运用是解题的关键． 过点A作与点E，连接，设圆的半径为r，根据垂径定理可得，在直角三角形中，根据勾股定理可求出的长，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作与点，连接，， ∵与x轴切于点B，设圆的半径为， ∴，且，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 5．如图，为的外接圆，与相切于点B，连接并延长，交于点D．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】切线的性质定理、圆周角定理 【分析】连接，根据切线的性质可得，从而得到，进而得到，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点B， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键． 6．对于题目“已知及圆外一点P，如何过点P作出的切线？”甲、乙的作法如图： 甲的作法 连接，作的垂直平分线交于点G，以点G为圆心，长为半径画弧交于M，作直线．直线．即为所求．    乙的作法 连接并延长，交于B，C两点，分别，以P，O为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点D，连接，交于点M，作直线．直线即为所求．    下列说法正确的是（   ） A．甲和乙的作法都正确 B．甲和乙的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．乙的作法正确，甲的作法错误 【答案】A 【知识点】切线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质和切线的判定方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 对于甲的作法，利用基本作图得到垂直平分，则，再根据圆周角定理得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断甲的作法正确；对于乙的作法：利用基本作图得到，，由于，所以，则根据等腰三角形的性质得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断乙的作法正确． 【详解】解：对于甲的作法： 由作法得垂直平分， ∴， ∴点为以为直径的圆与的交点， ∴， ∴， ∴为的切线，所以甲的作法正确； 对于乙的作法： 由作法得，OD=BC， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，所以乙的作法正确； 故选：A． 7．⊙O的直径是3，直线与⊙O相交，圆心O到直线的距离是d，则d应满足（    ） A．d>3 B．1.5<d<3 C．0≤d<1.5 D．0<d<3 【答案】C 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，由此即可解答． 【详解】解：∵⊙O的直径是3， ∴⊙O的半径为1.5，直线与⊙O相交， ∴圆心到直线的距离小于圆的半径， 即0≤d＜1.5． 故选． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的位置关系与数量之间的关系是解题的关键． 8．如图，的边与相交于，两点，且经过圆心，边与相切，切点为．已知，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】切线的性质定理 【分析】连接，根据切线的性质可得，则，利用直角三角形的性质，可求得，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质，即可求得结果． 【详解】解：如图，连接， 与相切， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】此题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；等腰三角形与直角三角形的性质，作出辅助是解决本题的关键． 9．如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离、梯形中位线定理 【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线和圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案． 【详解】解：根据题意，得圆必须和直线相交，设直线和圆相切于点E， 连接，则，， 又∵， ∴此时． 根据梯形的中位线定理，得 ， ∴， ∴， ∴直线要和圆相交，则． 故选D． 10．如图，为的直径，弦于点，于点，过点作的切线交的延长线于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求值、三角形的外角的定义及性质、切线的性质定理、圆周角定理 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，作圆的直径， 连接，，利用切线的性质和圆周角定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】作圆的直径， 连接，， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 11．如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A,B两点，PC切半圆与点C，已知PC=3，PB=1,则该半圆的半径为 . 【答案】4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、切线的性质定理 【分析】设圆半径为r,连接BC、AC、OC，易证△PBC∽PCA，根据相似三角形的对应边相等可得，由此进行计算即可得. 【详解】设圆半径为r，连接BC、AC、OC，如图， ∵PC是切线， ∴∠PCO=90°， ∵AB是直径， ∴∠BCA=90°， ∴∠PCB=∠A， ∵OC=OA， ∴∠A=∠OCA， ∴∠A=∠PCB， ∵∠P=∠P， ∴△PCB∽△PAC， ∴， ∴PC2=PB•PA， 即32=1×(1+2r)， 解得r=4， 故答案为4. 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键. 12．如图，是的直径，分别切于，分别与交于点，若，，则的半径为 . 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、应用切线长定理求解、切线的性质定理 【分析】过点作于点根据切线长定理以及圆切线的性质可得，，易得四边形是矩形，根据勾股定理求出的长度，进而得出答案． 【详解】解：过点作于点， ∵是的直径，分别切于，分别与交于点， ∴,， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，, ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点正确作出辅助线构造直角三角形是解本题的关键． 13．如图，AB与⊙O相切于B点，AC经过圆心O，∠A＝30°，AB＝3，则劣弧BC的长为 ．      【答案】π 【知识点】已知正切值求边长、求弧长、切线的性质定理 【分析】连接OB，根据切线的性质得到∠ABO＝90°，求出∠BOC，根据正切的定义求出OB，根据弧长公式计算，得到答案. 【详解】解：连接OB， ∵AB是⊙O的切线， ∴∠ABO＝90°， ∴∠AOB＝90°﹣∠A＝60°， ∴∠BOC＝120°， 在Rt△ABO中，OB＝AB•tanA＝， ∴劣弧BC的长＝＝π， 故答案为：π.      【点睛】此题考查了圆的切线的性质定理，锐角三角函数，弧长的计算公式，正确理解弧长公式中各字母的意义，分别求出其值进行计算是解题的关键. 14．如图，是的内切圆，切点分别为，且，，，则的半径是 ．    【答案】1 【知识点】应用切线长定理求解、三角形内切圆与外接圆综合、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明 【分析】先根据勾股定理求出，由切线长定理得，，，设，则，，然后根据，求解即可． 【详解】解：在中， ∵，，， ∴， ∵为的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴，，， 如图，连接，，    ∵为的内切圆， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 则的半径为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，正方形的判定与性质，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握切线长定理． 15．如图，在中，．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边所在的直线相切时，r的值为 ．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理 【分析】根据勾股定理，得，根据切线的性质，得到圆的半径等于边上的高，根据直角三角形的面积不变性计算即可． 【详解】∵， ∴， 根据切线的性质，得到圆的半径等于边上的高， ∴, ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，切线的性质，熟练掌握勾股定理，切线的性质是解题的关键． 16．如图，在矩形中，，以点C为圆心作与直线相切，点P是上一个动点，连接交于点T，则的最大值是 ． 【答案】3 【知识点】切线的性质定理、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】过点A作于F，过点P作于E，证明，得到，结合，只需确定的最大值即可． 【详解】解：如图，过点A作于F， ∵矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设与直线相切于点G，连接，则， ∵， ∴， ∴的半径为 ，过点P作于E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴要最大，则最大， ∵点P是上的动点，是的切线， ∴最大为的直径，即：， ∴最大值为， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，切线的性质，三角形相似的判定和性质，圆的性质，熟练掌握切线的性质，三角形相似的判定和性质，圆的性质是解题的关键． 三、解答题 17．如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切于点D，与相交于点E． (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理 【分析】（1）根据切线的性质得，再由，得，由平行线的性质得，又因为等腰三角形得，等量代换即可得证； （2）在中，由勾股定理即可求半径． 【详解】（1）证明：连接OD； ∵与BC相切于点D ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是的平分线； （2）解：∵ ∴在中； ∵， ， 设圆的半径为r， ∴ 解得， ∴圆的半径为3 ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质、角平分线的性质、勾股定理，熟悉角平分线的定义与性质是解决本题的关键． 18．如图，为圆的直径，点在线段的延长线上，，动点在圆的上半圆上运动（包含、两点），以线段为边向上作等边三角形， （1）当线段所在的直线与圆相切时，求的面积（如图1）； （2）当线段与圆有两个公共点、时，如果于点，求的长度（如图2）． 【答案】（1）；（2） 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、切线的性质定理 【分析】（1）连接OA，根据条件可求出AB，然后AC的高BH，求出BH就可以求出△ABC的面积． （2）连接MQ，易证AO∥MQ，从而得到△PNO∽△PMQ，△BMQ∽△BAO，又PO=OQ=BQ，从而可以求出MQ、ON，进而求出PN、NM、AM、CM的值． 【详解】解：（1）连接，过点作，垂足为， ∵与相切于点， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∴的面积为． （2）连接，如图所示． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴， ∵． ∴，． 同理：， ． ∵， ∴． ∴． ∵，，， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∴的长度为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、直线与圆相切、勾股定理、特殊三角函数值等知识，考查了用临界值法求角的取值范围，综合性较强． 19．如图，是的直径，点，在半圆上，，，垂足为． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、利用垂径定理求值 【分析】（1）连接，，，交于，证明四边形是矩形，得出，即； （2）在中，勾股定理求得，在矩形中，，，在中，勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，，，交于， 则． 又， 垂直平分， ． 是直径， ， ． ， ． 四边形是矩形 ，即． 是的切线 （2）解：在中，， 由（）得垂直平分， 又， ， ， ． 在矩形中，，， ． 在中，， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，矩形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于点D． （1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）； （2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （3）若（1）中的⊙O与边AB的另一个交点为E，AB=6,，，求弧DE的弧长（结果保留根号和π） 【答案】（1）作图见解析；（2）BC为⊙O的切线．理由见解析；（3）． 【知识点】求弧长、证明某直线是圆的切线、画圆(尺规作图) 【详解】试题分析：（1）作出AD的垂直平分线交AB于点O，以O为圆心，OA为半径作圆即可； （2）利用等腰三角形的性质和角的平分线的性质求得OD∥AC．进而求出∠ODB=90°，从而得出BC 为⊙O的切线． （3）设⊙O的半径为r，则OB=6-r，在RT△ODB中，根据勾股定理求得r的值，进而根据已知求得∠DOB=60°，然后根据弧长公式求得即可． 试题解析：（1）如图，作AD的垂直平分线交AB于点O，以O为圆心，OA为半径作圆； （2）直线BC与⊙O相切． 理由如下： 连接OD， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA． ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD=∠DAC． ∴∠ODA=∠DAC． ∴OD∥AC．         ∵∠C=90°， ∴∠ODB=90°， 即OD⊥BC． ∴BC为⊙O的切线． （3）设⊙O的半径为r，则OB=6-r， 在RT△ODB中，∠ODB=90°， ∴OB2=OD2+BD2，即（6-r）2=r2 +（2）2， 解得r=2， ∴OB=4， ∴∠OBD=30°，∠DOB=60°， ∴l= ∴弧DE的弧长． 考点：1．切线的判定；2．勾股定理；3．弧长的计算；4．作图—复杂作图． 21．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，点的坐标为，，，边与轴交于点． (1)直接写出点，，的坐标； (2)在轴上取点，直线经过点，与轴交于点，连接． ①当时，求直线的函数表达式； ②当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)①；②点的坐标为或 【知识点】解直角三角形的相关计算、 求矩形在坐标系中的坐标、切线的性质定理、求一次函数解析式 【分析】（1）利用矩形的性质求出相应线段，利用点的坐标的意义解答即可； （2）①求出线段，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的边角关系求得点的坐标，再利用待定系数法解答即可； ②利用分类讨论的思想方法分两种情况：一、当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，二、当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质解答即可得出结论． 【详解】（1）解：（1）点的坐标为， ． 矩形中， ； ． （2）①点， ． ， ． ． ， ． ． ． ． 解得：． 直线的函数表达式为：． ②设的中点为，过点作于点，延长交于点，则，如图， 由题意：以线段为直径的圆与矩形的边，所在直线相交． 以线段为直径的圆与矩形的边，所在直线可能相切． 一、当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切相切时， 则． 设，则． ． ， ． ， 为梯形的中位线． ． ． 解得：． 经检验，是原方程的根， ； 二、当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切相切时， 则． ，，， ． ， 为梯形的中位线． ． ． 解得：． 经检验，是原方程的根， ． 综上，当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质，待定系数法确定直线的解析式，点的坐标的特征及解直角三角形，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 22．矩形在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为、，直线与边相交于点D． (1)若抛物线经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式； (2)若以点A为圆心的与直线相切，试求的半径； (3)设（1）中抛物线的对称轴与直线交于点M，在对称轴上是否存在点Q，以Q、O、M为顶点的三角形与相似．若存在，试求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，Q的坐标为或 【知识点】解直角三角形的相关计算、切线的性质定理、相似三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）已知直线与交于点，把代入可得点D的坐标；如图抛物线经过、两点，把已知坐标代入解析式得出a，b的值即可； （2）由可得，设，则，由勾股定理得，从而可求出，即可得圆的半径； （3）证明以及后推出得出符合条件的坐标． 【详解】（1）由题知，线与交于点， 把代入中得，， ∴； ∵抛物线经过、两点， ，分别代入中，得 解得 ． ∴抛物线的解析式为； （2）∵， ∴， 设与切于H，则，如图， 设则， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴当直线OD与相切时，． （3）如图2：抛物线的对称轴与x轴交于点，符合条件． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴该点坐标为． 过点O作的垂线交抛物线的对称轴于点， ∵对称轴平行于y轴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵点位于第四象限， ∴． 因此，符合条件的点有两个，分别是，． 【点睛】本题考查函数性质与坐标关系，待定系数法，切线的性质，三角函数以及勾股定理等知识，最后一问探究点的存在性问题，几何图形形式问题和直角三角形性质． 23．【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，表示灯塔，灯塔B在灯塔A的正东方向，且与A相距海里，暗礁分布在经过两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？    【解决问题】 （1）如图2，请你用已学知识判断与“危险角”的大小关系； 【问题探究】 （2）如图3，在优弧上还有一个灯塔E，经测量，灯塔之间的距离为海里，，求“危险角”的大小； 【问题拓展】 （3）如图4，已知港口K位于灯塔A正北方向且与灯塔A相距海里远，有一货轮Q沿直线l方向航行，若货轮Q恰能安全避开暗礁区，当货轮Q与灯塔的夹角最大时，求此时货轮Q与港口K的距离 【答案】（1）；（2）；（3）海里 【知识点】圆周角定理、用勾股定理解三角形、其他问题（解直角三角形的应用）、切线的性质定理 【分析】（1）与相交于点，连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等结合三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角，进行作答即可； （2）过点B作，连接，解直角三角形，求出，利用勾股定理求出，进而得到，根据等腰直角三角形的性质即可得出结果； （3）当直线与过两点的圆相切时，最大，此时，设该圆的圆心为O，过点O作于点N，连接，根据题意得，解直角三角形求出，，进而得到，利用勾股定理求出，解可解答． 【详解】（1）解：如图2，与相交于点，连接，      由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知， 是的外角， ， ，即； （2）解：如图3，过点B作，连接，    ∵在中，， ， ， ， ， ， ； （3）解：当直线与过两点的圆相切时，最大， 此时，设该圆的圆心为O，过点O作于点N，连接，    由（2）知，危险角， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 此时货轮Q与港口K的距离是海里． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外角，切线的性质，最大张角问题，解直角三角形，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 24．（1）如图1，在足球比赛场上，甲带球奔向对方球门，当他带球冲到A点时，同伴乙已冲到B点，甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？ 对上面这个问题，小明结合图1判断甲的视角小于乙的视角，根据“仅从射门角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进”的经验，认为甲应该将球传给乙．请结合图1给出小明得到的理由； （2）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，并得到这样的结论：如图2，点A，B是平面内两个定点，C是直线l上的一个动点，当且仅当的外接圆与l相切于点C时，最大． 如图3，，点A，B是边上两点，，点C是边上一动点． ①若最大为，请求出当时，的长； ②若最大不超过，直接写出的取值范围．    【答案】（1）见解析（2）①② 【知识点】切线的性质定理、圆周角定理、求特殊三角形外接圆的半径、含30度角的直角三角形 【分析】（1）利用圆周角定理和外角的性质即可得证； （2）①根据直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中线上，确定圆心的位置，连接，利用切线的性质和含30度角的直角三角形的性质进行求解即可；②求出时的长，即可得出结果． 【详解】解：（1）连接，    则：， ∵是的外角， ∴， ∴； （2）①当时，的外接圆的圆心在斜边的中点上，设圆心为，连接，则：，    ∵的外接圆与l相切于点C， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，如图：    连接， 则：，，过点作，则：，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由题意，可知越大，越短， ∴． 【点睛】本题考查三角形的外接圆，切线的性质，圆周角定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$