第04讲 探索三角形相似的条件（2个知识点+5种题型+分层练习）- 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第04讲 探索三角形相似的条件（2个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点2．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似. 题型强化 题型一．平行线分线段成比例 1．（2024•沭阳县模拟）如图，在△中，在边上，，是的中点，连接并延长交于点，若，则的长为　　 A．2 B．2.5 C．3 D．4 2．（2024•邗江区校级三模）如图，，直线、与这三条直线分别交于点、、和、、，若，，，则的长为 　　． 3．（2024•海门区校级模拟）如图，是线段上一动点，分别以、为边作等边．等边，连接、分别交、于、两点． （1）求证：； （2）判断直线与的位置关系； （3）若，当点在上运动时，是否存在一个位置使的长最大？若存在请求出此时的长以及的长．若不存在请说明理由． 题型二．相似三角形的判定 4．（2024•睢宁县校级模拟）如图，在四边形中，对角线，交于点，若，则图中一定相似的三角形是　　 A． B． C． D． 5．（2024•沭阳县一模）如图，在中，，，，点在边上（不与，重合），过点作直线截，使截得的新三角形与原相似，当截得新三角形与原相似的个数仅为3时，则的取值范围为 　　． 6．（2024秋•宜兴市校级月考）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：　　，　 　； （2）判断与是否相似？并证明你的结论． 题型三、由平行判断成比例的线段 7．（2023九年级·江苏·专题练习）如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2024·江苏南京·三模）如图所示，若，则．依据是 ． 9．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）如图，在梯形中，，M、N分别是、中点，试判断、、延长线是否交于一点，并证明． 题型四、由平行截线求相关线段的长或比值 10．（2024·江苏扬州·二模）如图，在中，，点M在边上，线段沿着过M的直线折叠，点C恰巧落在边上的点N处．如果，，那么a与b满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，直线交坐标轴于点A，B，交反比例函数于点M，N，若，则k的值为 ． 12．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）如图，在中，D是边上一点，，面积为S，面积为，求的最大值． 题型五、相似三角形的判定综合 13．（2024九年级下·全国·专题练习）如图所示，在中，，垂足分别为D、E两点，则图中与相似的三角形有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 14．（22-23九年级下·全国·课后作业）如图，不等长的两条对角线相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 15．（21-22九年级下·全国·单元测试）如图判断方格中的两个三角形是否相似，并说明理由． 分层练习 一、单选题 1．如图中，已知， ，若，的值为（    ） A． B． C． D． 2．依据下列条件不能判定与相似的是（    ） A．，，，，， B．，，，， C．，， D．，，，，， 3．如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝2，DE＝3.6，则EF的值为（　　） A．1.8 B．2.4 C．4.8 D．5.4 4．如图，，直线，与，，分别交于点A，，和点，，，若，，则的长是（    ）    A． B． C．6 D．10 5．如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，若DC∥FE∥AB，则有（ ）． A． B． C． D． 7．如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 8．如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（ ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 9．如图，AB是的直径，点C在圆上，，则图中与相似的三角形的个数有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．如图，在中，为边上一点，已知，E为的中点，延长交于F，则=（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在中，，点D在边上，点E在边上且．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）． 12．如图，已知，，，，要使，只要 ． 13．如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是 （填一个即可） 14．如图：中，，分别在、上，且与不平行，请填上一个适当的条件，可得△ADE∽△ABC． ． 15．三边 的两个三角形 ． 符号语言表示： 如图，在△ABC和△A′B′C′中， ∵， ∴△ABC∽△A′B′C′． 16．如图，在△ABC和△APQ中，∠PAB=∠QAC，若再增加一个条件就能使△APQ∽△ABC，则这个条件可以是 ． 17．如图，与相交于点E，，联结，若，设，，那么 （用含的式子表示） 18．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正确的有 ． 三、解答题 19．如图，装有某种液体的工业用桶中放置有一根搅拌棍．工人师傅为了解桶内所装液体的体积，先在搅拌棍所处桶孔位置做好标记点A，并取出；然后测得搅拌棍接触到液体部分m，搅拌棍A到底端D处的长度为，最后测量出桶的高为，圆桶内壁的底面直径为．已知桶内的液面与桶底面平行，其平面示意图如图2所示．请你根据以上数据，帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积（结果保留π） 20．如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．    21．如图，阳光（平行光线）通过窗户照到厂房内，竖直窗框在地面上留下2米长的影子，窗框影子的一端到窗下墙脚的距离为3.6米，窗口底边与地面的距离为1.2米． (1)求窗户的高度（的长）； (2)如下图，随着平行光线照射角度的变化，窗框影子的一端沿向右移动到，米，另一端恰好移动到厂房的另一墙脚，求的长． 22．如图，点E是的边的中点，连结并延长，交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 23．如图是的正方形网格，已知，请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）．          (1)将绕C点按顺时针方向旋转，得到，请在图中作出； (2)在图中，以为公共角，仅用无刻度直尺在线段上分别找一点P，Q，使与相似但不全等． 24．如图在中，，，点P是边上由B向C运动（不与点B， C重合）的一动点，P点的速度是，设点P的运动时间为t，过P点作的平行线交于点N，连接．    (1)请用含有t的代数式表示线段的长； (2)当t为何值时，的面积等于面积的四分之一； (3)在点P的运动过程中，是否存在某一时刻的t的值，使得的面积有最大值，若存在请求出t的值，并计算最大面积；若不存在，请说明理由． 25．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读并完成相应的任务． 仰视、俯视读数是否有误差的数学解释 实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，量筒的液面近似地看成（C为的中点），读数时，视线要与相切于点C，仰视和俯视读数是否会有影响呢？ 通过实验探究，如图，当俯视点C时，记录量筒上点D的高度为，点D在所在的上；当仰视点C时，记录量筒上点E的高度为，C为的中点．设平视读数时量筒上的记录点为点F，，量筒的直径为． 求仰视与平视的误差，俯视与平视的误差如下： 如图，连接，，． ∵C为的中点，∴． ∵，∴是的中位线， ∴． ∵，∴是的___▲___， ∴，∴， ∴． ∵，∴． ∵C为的中点，…… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______； (2)补全研究报告中“……”部分的内容； (3)由研究报告，可知仰视读数和俯视读数______产生误差．（填“会”或“不会”） 26．如图①，在正方形中，．点P从点D出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点C运动．点P关于直线的对称点，当点P不与点D、B重合时，连结、、．设点P的运动时间为t秒． ​ (1)当时，求t的值； (2)当点与点Q重合时，求t的值； (3)当时，t的值为 ； (4)如图②，点E为中点，连接，当与正方形的边平行时，则t的值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 探索三角形相似的条件（2个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点2．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似. 题型强化 题型一．平行线分线段成比例 1．（2024•沭阳县模拟）如图，在△中，在边上，，是的中点，连接并延长交于点，若，则的长为　　 A．2 B．2.5 C．3 D．4 【分析】过点作交于，如图，先由，根据平行线分线段成比例得到，再由得到比例式，然后利用比例的性质求的长． 【解答】解：过点作交于，如图， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 2．（2024•邗江区校级三模）如图，，直线、与这三条直线分别交于点、、和、、，若，，，则的长为 　　． 【分析】根据平行线分线段成比例，再求出的长即可． 【解答】解：， ， ，，， ， ， 故答案为：8． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例得出正确的比例式是解题的关键． 3．（2024•海门区校级模拟）如图，是线段上一动点，分别以、为边作等边．等边，连接、分别交、于、两点． （1）求证：； （2）判断直线与的位置关系； （3）若，当点在上运动时，是否存在一个位置使的长最大？若存在请求出此时的长以及的长．若不存在请说明理由． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，，然后利用“边角边”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）根据全等三角形对应角相等求出，再求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而求出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后利用内错角相等，两直线平行即可证明； （3）设，，根据平行线分线段成比例定理可得，再表示出、、，整理得到、的函数关系式，再根据二次函数的最值问题解答． 【解答】（1）证明：和均为等边三角形， ，，且， 在和中， ， ， ； （2）． 理由如下：由（1）可知， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ； （3）设，， ， ， 又，，， ， 整理得，， 配方得， 当时，线段有最大值． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，难度较大，准确识图，找出全等三角形的条件是解题关键． 题型二．相似三角形的判定 4．（2024•睢宁县校级模拟）如图，在四边形中，对角线，交于点，若，则图中一定相似的三角形是　　 A． B． C． D． 【分析】由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可证． 【解答】解：，， ， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 5．（2024•沭阳县一模）如图，在中，，，，点在边上（不与，重合），过点作直线截，使截得的新三角形与原相似，当截得新三角形与原相似的个数仅为3时，则的取值范围为 　　． 【分析】考虑极端情况下相似时的长，即可解决问题． 【解答】解：如图，过点作， 则， ， ，， ， 解得， 当截得新三角形与原相似的个数仅为3时，． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是灵活运用两角分别相等的两个三角形相似，并能不重不漏地分情况讨论． 6．（2024秋•宜兴市校级月考）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：　　，　 　； （2）判断与是否相似？并证明你的结论． 【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，根据，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段的长； （2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明与相似． 【解答】（1）解：， ； 故答案为：；． （2）． 证明：在的正方形方格中， ，， ． ，，， ，． ． 【点评】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系． 题型三、由平行判断成比例的线段 7．（2023九年级·江苏·专题练习）如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故本选项不符合题意； B．∵， ∴，故本选项不符合题意； C．∵， ∴，故本选项不符合题意； D．∵， ∴，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 8．（2024·江苏南京·三模）如图所示，若，则．依据是 ． 【答案】平行线分线段成比例定理 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理求解．掌握平行线分线段成比例定理是关键． 【详解】∵ ∴． ∴依据是平行线分线段成比例定理． 故答案为：平行线分线段成比例定理． 9．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）如图，在梯形中，，M、N分别是、中点，试判断、、延长线是否交于一点，并证明． 【答案】交于一点，见解析 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的应用，延长、交于点P，连接，交于点，由得到，，则，由N为中点得到，则，即为中点，由已知M为中点，即可得到结论． 【详解】解：三线延长线交于一点， 证明如下：延长、交于点P，连接，交于点， ∵， ∴，， ∴； ∵N为中点， ∴， ∴，即为中点， 又∵M为中点， ∴M与重合，即P、M、N三点共线， ∴、、延长线交于一点P． 题型四、由平行截线求相关线段的长或比值 10．（2024·江苏扬州·二模）如图，在中，，点M在边上，线段沿着过M的直线折叠，点C恰巧落在边上的点N处．如果，，那么a与b满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】折叠问题、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线分线段成比例定理，过点M作于D，由折叠的性质可得，则，，证明，再证明，得到，即可得到． 【详解】解：如图所示，过点M作于D， 由折叠的性质可得， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 11．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，直线交坐标轴于点A，B，交反比例函数于点M，N，若，则k的值为 ． 【答案】9 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、由平行截线求相关线段的长或比值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，平行线分线段成比例，一元二次方程根与系数的关系． 先根据，可得，过点作轴的垂线，垂足分别为，可得，设的横坐标为，根据，联立直线与反比例函数解析式，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 把代入函数中，得 ，解得， ∴，， 如图所示，过点作轴的垂线，垂足分别为， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 设的横坐标为， ∴， 联立， 即， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：9 12．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）如图，在中，D是边上一点，，面积为S，面积为，求的最大值． 【答案】 【知识点】面积问题(二次函数综合)、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】此题考查平行线分线段成比例定理和二次函数的性质，根据平行线分线段成比例定理得到，设，则，进一步得到，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解；∵ ∴， 设，则 ∴， ∴ 当时，最大值为． 题型五、相似三角形的判定综合 13．（2024九年级下·全国·专题练习）如图所示，在中，，垂足分别为D、E两点，则图中与相似的三角形有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 根据相似三角形的判定作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴ 同理可得，，，， ∴共有四个三角形与相似． 故选：A． 14．（22-23九年级下·全国·课后作业）如图，不等长的两条对角线相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 【答案】乙和丁 【知识点】相似三角形的判定综合 【详解】． 【易错点分析】容易误认为，条件中，是，是，不是两个三角形的对应边成比例，所以不能判定． 15．（21-22九年级下·全国·单元测试）如图判断方格中的两个三角形是否相似，并说明理由． 【答案】相似，理由见解析 【知识点】相似三角形的判定综合、勾股定理与网格问题 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】相似，理由如下： ∵在中，，，， 在中，，，， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知其判定定理是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．如图中，已知， ，若，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，利用A字模型基本图形即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．依据下列条件不能判定与相似的是（    ） A．，，，，， B．，，，， C．，， D．，，，，， 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，直接根据定理内容逐一判定即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得 故A不符合题意； ∵，但与不是夹角， ∴不能判定与相似， 故B符合题意； ∵，， ∴ ∴， 根据两角分别对应相等的两个三角形相似可得 故C不符合题意； ∵， ∴根据三边成比例的两个三角形相似可得 故D不符合题意； 故选：B． 3．如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝2，DE＝3.6，则EF的值为（　　） A．1.8 B．2.4 C．4.8 D．5.4 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得出答案． 【详解】∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴． 故选： 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容是解题的关键． 4．如图，，直线，与，，分别交于点A，，和点，，，若，，则的长是（    ）    A． B． C．6 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；因此由题意易得，然后可得的长，进而问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 5．如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出． 【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意； B．∵， ∴， ∴一定成立，故B不符合题意； C．∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴一定成立，故C不符合题意； D．不一定成立，故D符合题意． 6．如图，若DC∥FE∥AB，则有（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：根据题意可得：△COD∽△OEF∽△OAB，则，，，. 考点：三角形相似的性质 7．如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴△ACD∽△ADE， ∵DE∥BC， ∴∠EDC=∠DCB， ∵∠B=∠DCE， ∴△CDE∽△BCD， 故共4对， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定．注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 8．如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（ ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【详解】试题分析：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠ACD=∠ABC，∴△EDC∽△DCB，同理：∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，∴△ADE∽△ACD，∴共4对，故选D． 考点：1．相似三角形的判定；2．平行线的判定． 9．如图，AB是的直径，点C在圆上，，则图中与相似的三角形的个数有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】试题分析：根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． ∵∠ACB=90°，DE∥BC ∴DE⊥AC ∴图中的所有的三角形都是直角三角形 ∵在直角△ABC和直角△BDC中，∠B=∠B ∴△ABC∽△CBD 同理：△AED，△ECD，△ACD均与△ABC相似 ∴共有四个 故选A. 考点: (1)相似三角形的判定；(2)圆周角定理． 10．如图，在中，为边上一点，已知，E为的中点，延长交于F，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点D作交于G，先证，得，再由平行线的性质可得对应线段成比例，从而得答案． 【详解】解：过点D作交于G，如图所示， ， E是的中点， ， ， ， ，， ， ， ， 故选D． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的性质定理，熟练掌握这些判定与性质是解答此题的关键． 二、填空题 11．如图，在中，，点D在边上，点E在边上且．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【答案】 【分析】由相似三角形的判定定理可求解． 【详解】解：添加， 又∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键． 12．如图，已知，，，，要使，只要 ． 【答案】 【分析】根据对应边成比例的两个三角形互为相似三角形可以求解. 【详解】解:∠ACB=,AC=4,BC=3, , 要使,有, ,, 故答案为: 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理,关键是知道对应边成比例两个三角形互为相似三角形. 13．如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是 （填一个即可） 【答案】∠C=∠BAD（答案不唯一） 【详解】∵∠B=∠B（公共角）， ∴可添加：∠C=∠BAD． 此时可利用两角证明△ABC与△DBA相似． 故答案可为：∠C=∠BAD．（答案不唯一） 14．如图：中，，分别在、上，且与不平行，请填上一个适当的条件，可得△ADE∽△ABC． ． 【答案】∠ ADE =∠ C或∠ AED=∠ B或, 任选一种情况均可 【分析】欲证△ADE∽△ABC，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠A=∠A，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可． 【详解】解：∵∠A=∠A， ∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B或时，△ADE∽△ABC． 故答案为：∠ ADE =∠ C，或∠ AED=∠ B或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等． 15．三边 的两个三角形 ． 符号语言表示： 如图，在△ABC和△A′B′C′中， ∵， ∴△ABC∽△A′B′C′． 【答案】 成比例 相似 【解析】略 16．如图，在△ABC和△APQ中，∠PAB=∠QAC，若再增加一个条件就能使△APQ∽△ABC，则这个条件可以是 ． 【答案】∠P=∠B（答案不唯一） 【分析】要使△APQ∽△ABC ，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC可知∠PAQ=∠BAC，还需的条件可以是∠B=∠P或∠C=∠Q或． 【详解】解：这个条件为：∠B=∠P ∵∠PAB=∠QAC， ∴∠PAQ=∠BAC ∵∠B=∠P， ∴△APQ∽△ABC， 故答案为：∠B=∠P或∠C=∠Q或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的运用,掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 17．如图，与相交于点E，，联结，若，设，，那么 （用含的式子表示） 【答案】 【分析】由平行线截线段成比例和平面向量的角形法则解答，先求出，然后表示出，再求出，然后根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线的性质和平面向量，需要掌握平行线截线段成比例和平面向量的三角形法则． 18．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正确的有 ． 【答案】①②③④ 【详解】解：∵在△ABC中，AD和BE是高， ∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°， ∵点F是AB的中点， ∴FD=AB， ∵∠ABE=45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE=BE， ∵点F是AB的中点， ∴FE=AB， ∴FD=FE，①正确； ∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°， ∴∠ABC=∠C， ∴AB=AC， ∵AD⊥BC， ∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE， 在△AEH和△BEC中， ， ∴△AEH≌△BEC（ASA）， ∴AH=BC=2CD，②正确； ∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB， ∴△ABD～△BCE， ∴，即BC•AD=AB•BE， ∵AE2=AB•AE=AB•BE，BC•AD=AC•BE=AB•BE， ∴BC•AD=AE2；③正确； ∵F是AB的中点，BD=CD， ∴S△ABC=2S△ABD=4S△ADF，④正确． 故填①②③④. 三、解答题 19．如图，装有某种液体的工业用桶中放置有一根搅拌棍．工人师傅为了解桶内所装液体的体积，先在搅拌棍所处桶孔位置做好标记点A，并取出；然后测得搅拌棍接触到液体部分m，搅拌棍A到底端D处的长度为，最后测量出桶的高为，圆桶内壁的底面直径为．已知桶内的液面与桶底面平行，其平面示意图如图2所示．请你根据以上数据，帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积（结果保留π） 【答案】桶内所装液体的体积为立方米． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据油面和桶底是一组平行线，利用平行线分线段成比例定理求得，再利用圆柱的体积公式计算即可解答． 【详解】解：由题意得，， ， ，解得：， ∴桶内所装液体的体积（立方米）． 答：桶内所装液体的体积为立方米． 20．如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．    【答案】4米 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是过A点作，交、于点G、H，根据题意得出米，根据，得出，即，求出米，即可得出答案． 【详解】解：过A点作，交、于点G、H，如图所示：    由题意，米，米，米， ∴米， ∵， ∴， 即， 解得：米， ∴（米）， 答：路灯离地面的高度为4米． 21．如图，阳光（平行光线）通过窗户照到厂房内，竖直窗框在地面上留下2米长的影子，窗框影子的一端到窗下墙脚的距离为3.6米，窗口底边与地面的距离为1.2米． (1)求窗户的高度（的长）； (2)如下图，随着平行光线照射角度的变化，窗框影子的一端沿向右移动到，米，另一端恰好移动到厂房的另一墙脚，求的长． 【答案】(1)窗户的高度为米； (2)米． 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用． （1）由题意得，利用平行线分线段成比例定理即可求解； （2）由题意得，利用平行线分线段成比例定理求得，再根据，求解即可． 【详解】（1）解：∵阳光是平行线，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴，解得(米)， 答：窗户的高度为米； （2）解：由题意得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴(米)， 答：米． 22．如图，点E是的边的中点，连结并延长，交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，可得，再由，可得，从而可得结论； （2）先求解，，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）证明：∵点E是的边的中点， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）由（1）得：，， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例，熟练的利用平行四边形的性质解题是关键． 23．如图是的正方形网格，已知，请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）．          (1)将绕C点按顺时针方向旋转，得到，请在图中作出； (2)在图中，以为公共角，仅用无刻度直尺在线段上分别找一点P，Q，使与相似但不全等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用旋转的定义分别作出点A、B旋转后所得对应点，再与C点首尾顺次连接即可； （2）根据题意作出平行四边形，然后利用相似三角形的判定，结合网格求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求；    （2）如图所示，作平行四边形，连接，交于点P，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与不全等， ∴点P和点Q为所要求作的点． 【点睛】本题主要考查作图—旋转变换、相似三角形的判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及相似三角形的判定． 24．如图在中，，，点P是边上由B向C运动（不与点B， C重合）的一动点，P点的速度是，设点P的运动时间为t，过P点作的平行线交于点N，连接．    (1)请用含有t的代数式表示线段的长； (2)当t为何值时，的面积等于面积的四分之一； (3)在点P的运动过程中，是否存在某一时刻的t的值，使得的面积有最大值，若存在请求出t的值，并计算最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当t为时，的面积等于面积的四分之一 (3)存在；时，的面积最大，最大值为3 【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用平行线分线段成比例定理，求出、即可解决问题； （2）由题意：，推出，由此构建方程即可解决问题； （3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴当t为时，的面积等于面积的四分之一． （3）解：存在； 由题意得： ∵， ∴时，的面积最大，最大值为3． 【点睛】本题考查三角形综合题、勾股定理、平行线分线段成比例定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题． 25．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读并完成相应的任务． 仰视、俯视读数是否有误差的数学解释 实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，量筒的液面近似地看成（C为的中点），读数时，视线要与相切于点C，仰视和俯视读数是否会有影响呢？ 通过实验探究，如图，当俯视点C时，记录量筒上点D的高度为，点D在所在的上；当仰视点C时，记录量筒上点E的高度为，C为的中点．设平视读数时量筒上的记录点为点F，，量筒的直径为． 求仰视与平视的误差，俯视与平视的误差如下： 如图，连接，，． ∵C为的中点，∴． ∵，∴是的中位线， ∴． ∵，∴是的___▲___， ∴，∴， ∴． ∵，∴． ∵C为的中点，…… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______； (2)补全研究报告中“……”部分的内容； (3)由研究报告，可知仰视读数和俯视读数______产生误差．（填“会”或“不会”） 【答案】(1)直径 (2)见解析 (3)会 【分析】（1）根据直角所对的弦是直径即可求解； （2）进而得出，即可得出，进而即可求解； （3）根据（2）的结论，即可求解． 【详解】（1）∵，∴是的直径 故答案为：直径． （2）如图，连接，，． ∵C为的中点，∴． ∵，∴是的中位线， ∴． ∵，∴是的直径， ∴，∴， ∴． ∵，∴． ∵C为的中点，， ∴， ∴ ∴， （3）∵ ∴由研究报告，可知仰视读数和俯视读数会产生误差． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的中位线的性质，直角所对的弦是直径，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键． 26．如图①，在正方形中，．点P从点D出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点C运动．点P关于直线的对称点，当点P不与点D、B重合时，连结、、．设点P的运动时间为t秒． ​ (1)当时，求t的值； (2)当点与点Q重合时，求t的值； (3)当时，t的值为 ； (4)如图②，点E为中点，连接，当与正方形的边平行时，则t的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)或3 (4)1或 【分析】（1）由题意知，，则，证明四边形是平行四边形，则，即，计算求解即可； （2）由点P关于直线的对称点，可知垂直平分，当点与点Q重合时，由题意知，在上，如图1，则在上，，即，计算求解即可； （3）由题意知，当时，分在上，在上两种情况求解；当在上，，如图2，由垂直平分线的性质可得，，即，由勾股定理得，，即，整理得，，由，可知方程无解，此情况不成立；当在上，，分在上方，在下方两种情况求解；当在上方，如图3，同理，，即，计算求解即可；当在下方时，如图4，同理，，即，计算求解即可； （4）由题意知，分在上，在上分两种情况求解；当在上时，，如图5，过作交于，交于，则四边形是矩形，证明，则，证明四边形是矩形，则，即，计算求解即可；当在上时，，如图6，则，即，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， ∵正方形， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， 解得，， ∴t的值为； （2）解：∵点P关于直线的对称点， ∴垂直平分， 当点与点Q重合时，由题意知，在上，如图1，则在上，         图1 ∴， ∴， 解得，， ∴t的值为； （3）解：由题意知，当时，分在上，在上两种情况求解； 当在上，，如图2，             图2 由垂直平分线的性质可得，， ∴， 由题意知，， 由勾股定理得，，即，整理得，， ∴， ∴方程无解，此情况不成立； 当在上，，分在上方，在下方两种情况求解； 当在上方，如图3，           图3 同理，，即， 解得，； 当在下方时，如图4，          图4 同理，，即， 解得，； 综上所述，的值为或3； 故答案为：或3； （4）解：由题意知，分在上，在上分两种情况求解； 当在上时，，如图5，过作交于，交于，则四边形是矩形，           图5 ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 解得，； 当在上时，，如图6，          图6 ∴，即， ∴，即， 解得，； 综上所述，t的值为1或； 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质、垂直平分线的性质，勾股定理、全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质、平行线分线段成比例，是四边形的综合题．理解题意找到题目中的数量关系，并分情况求解是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$