精品解析：江苏省常州市北郊高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024~2025学年第一学期期中考试 高一数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即得. 【详解】命题“，”的否定是“，”， 故选：C 2. 满足⫋的集合A的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合之间的关系直接得出结果. 【详解】集合A可以是，共3个. 故选：B. 3. 设，则的分数指数幂形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用根式与分数指数幂的互换，结合分数指数幂的运算法则即可求解. 【详解】． 故选：D 4. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式进行判断即可． 【详解】由得， 是的必要不充分条件， ， 故选：B． 5. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质可判断AD的正误，利用作差法可判断BC的正误. 【详解】对于A，因为，故，故A错误； 对于B，，故B成立； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，故，故，故D错误； 故选：B. 6. 已知函数的定义域为，设的定义域为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题先根据抽象函数求定义域得到，再由具体函数求定义域得到，最后求即可. 【详解】解：因为函数的定义域为， 所以在函数中有，解得 所以设的定义域为 因为，所以 所以 故选：D 【点睛】本题考查求抽象函数的定义域、求具体函数的定义域、集合的并集运算，是基础题. 7. 若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知不等式的解集为R，分情况讨论，即可求解. 【详解】当时，不等式恒成立. 当时，恒成立； 当时，则需满足， 综合可得的取值范围是. 故选：C 8. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性及断点处左侧的函数值不大于右侧函数值得到不等式，解得即可. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 又在上单调递增， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：B 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 以下正确的选项有（ ） A. 若集合中只有一个元素，则 B. 与表示同一个函数 C. 命题为真命题 D. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】根据方程有一个解即可判断A；根据相同函数的概念即可判断B；根据即可判断C；根据一元二次方程中的韦达定理，结合充分、必要条件的概念即可判断D. 【详解】对于A，若集合中只有一个元素，当时满足题意； 当时，需满足，可得，因此或，即A错误； 对于B，的定义域为，与的定义域为相同， 而，解析式相同，故表示同一个函数，故B正确； 对于C，，不为整数，故C错误. 对于D，由可知一元二次方程的判别式， 即该方程有两根，且两根之积，即两根异号，可知充分性成立； 若一元二次方程有一正一负根，可知两根之积为负， 即，也即，即必要性成立，所以D正确； 故选：BD. 10. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意给的条件，结合基本不等式的应用，依次判断选项即可. 【详解】对于A，由题可得，即，故A正确； 对于B，为正数，为正数，， 所以，当且仅当时，等号成立，故B不正确； 对于C，为正数，， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，为正数，， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ACD 11. 对任意两个实数a，b，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 方程有三个解 C. 函数有3个单调区间 D. 函数有最大值为4，无最小值 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意写出解析式，后画出图像，据此可得答案. 【详解】当，即或时，=； 当，即时，. 则，画出图像如下. 对于A选项，因，且，则函数是偶函数，A正确. 对于B选项，由图可得有三个解，B正确. 对于C选项，由图可得有4个单调区间，故C错误. 对于D选项，由图可得有最大值为2，无最小值，故D错误. 故选：AB 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，若，则实数______ 【答案】 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系，得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，， 所以或， 当时，，此时，不满足互异性，舍去； 当时，或（舍去），此时，满足题意； 综上，. 故答案为：. 13. 设函数，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数的解析式，根据对数的运算性质计算即可求解. 【详解】，， 由， 得. 故答案为：. 14. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】或 【解析】 【分析】利用配凑法，结合基本不等式计算可得，解分式不等式即可. 【详解】由，得， ， 当且仅当，即时，等号成立 ∵恒成立，∴， ∴，∴或. 故答案为：或. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）若满足，且，求的解析式； （2）若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意计算可得，进而，解之即可求解； （2）由题意可得，解之即可求解. 【小问1详解】 ， ，所以. 【小问2详解】 因为图象为抛物线，开口向上且对称轴为，在上不单调， 所以， 即实数的取值范围为. 16. 已知集合，集合． （1）当时，求；(但) （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据补集的定义和运算直接得出结果； （2）根据集合间的关系可得，结合集合间的包含关系计算即可求解. 【小问1详解】 ，当时，， 故. 【小问2详解】 因为，故，故， 若即时，，此时成立； 若，则，无解. 综上： 17. 已知关于x的不等式的解集为. （1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与对应方程的根之间的关系可得，，进而解一元一次不等式即可； （2）由（1），原不等式可化为，解之即可求解. 【小问1详解】 关于的的不等式的解集为， 且和2是方程的两个根， ， 不等式可化为 ，解得， 不等式的解集为 【小问2详解】 由（1）知， 不等式可化为， ，即，解得， 不等式的解集为. 18. 函数是定义在上的奇函数，且. （1）求实数a、b，并确定函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明你的结论. 【答案】（1）；；； （2）在上是增函数， 证明如下：任取 ，且， 则， 因为，所以，，，， 所以，即， 所以在上是增函数. 【解析】 【分析】（1）由函数是奇函数，得到，列出等式求得，再由，求得，即可得到函数的解析式； （2）利用函数的单调性的定义，即可求解函数的单调性，得到结论. 【详解】（1）由题意，函数是定义在上的奇函数， 可得，即，可得，所以， 所以，又因为，可得，解得， 所以函数的解析式为. （2）略 【点睛】方法点睛： 1、用函数的单调性的定义判定函数的单调性的步骤：设元—作差—变形—判断符号—得出结论； 2、利用函数的奇偶性求解参数的策略：在定义域内关于原点对称的前提下，利用为奇函数，得出；为偶函数，得出，列式求解，也可利用特殊值法求解，对于在处有定义的奇函数，可考虑等式求解. 19. 定义区间、、、的长度均为，其中. （1）不等式组解集构成的各区间的长度和等于，求实数的取值范围； （2）已知实数，求满足不等式解集的各区间长度之和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由解得，则不等式对任意恒成立，得，解之即可； （2）分类讨论当或、时，结合新定义解出对应的一元二次不等式即可. 【小问1详解】 由解得：， 不等式组解集构成的各区间的长度和等于， 不等式对任意恒成立， 令，， 则， 解得：， 实数的范围为 【小问2详解】 ①当或时，原不等式等价于， 整理得：， 令， ，，设的两根为，， 此时原不等式的解集为，，解集的区间长度为； ②当时， 同理可得原不等式的解集为，，此时解集的区间长度为． 综合①②知：原不等式的解集的区间长度之和为， 又由韦达定理可知：， 原不等式的解集的区间长度之和为2. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第一学期期中考试 高一数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 满足⫋的集合A的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 设，则的分数指数幂形式为（ ） A. B. C. D. 4. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，设的定义域为，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 8. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 以下正确的选项有（ ） A. 若集合中只有一个元素，则 B. 与表示同一个函数 C. 命题为真命题 D. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 10. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 对任意两个实数a，b，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 方程有三个解 C. 函数有3个单调区间 D. 函数有最大值为4，无最小值 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，若，则实数______ 13. 设函数，则____________. 14. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）若满足，且，求的解析式； （2）若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围． 16. 已知集合，集合． （1）当时，求；(但) （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知关于x的不等式的解集为. （1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集. 18. 函数是定义在上的奇函数，且. （1）求实数a、b，并确定函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明你的结论. 19. 定义区间、、、的长度均为，其中. （1）不等式组解集构成的各区间的长度和等于，求实数的取值范围； （2）已知实数，求满足不等式解集的各区间长度之和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $