精品解析：河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

新蔡县第一高级中学高二2024年12月份月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知，若，则实数（ ） A. 0或1 B. C. 1 D. 0或 【答案】C 【解析】 【分析】用两直线垂直的充要条件得解. 【详解】若，则， 解得，或. 时，不存在，舍去，故. 故选：C. 2. 若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线方程的定义得到答案. 【详解】根据题意有，所以. 故选：C. 3. 在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理结合已知条件求解即可. 【详解】因为四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点， 所以 因为，所以，故． 故选：A 4. 在展开式中，系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理求出的展开式，再求出指定项的系数. 【详解】依题意，， 因此展开式中，含的项为， 所以系数为15. 故选：C 5. 某学校利用周末时间组织学生进行志愿者服务，高二年级共6个班，其中（1）班有2个志愿者队长，本次志愿者服务一共20个名额，志愿者队长必须参加且不占名额，若每个班至少有3人参加，则共有（ ）种分配方法. A. 90 B. 60 C. 126 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，进而结合隔板法求解即可得到. 【详解】若每个班至少3人参加，由于（1）班有2个志愿者队长， 故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额， 再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额， 故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，有种分配方法. 故选：C. 6. 某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件， 则，， 故在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为. 故选：B. 7. 已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的对称性质和椭圆的性质得，再结合题设得，进而求出，再结合椭圆的定义以及余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，， 且，， 所以， 因为，所以， 所以即， 又，所以， 所以由余弦定理得， 整理得，所以即. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是抓住角平分线的对称性之和椭圆的几何性质求出，关键2是利用和的关系求出，再在中结合余弦定理即可求解. 8. 已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线为切点，当的最大值为，则的值为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线与圆的位置关系先确定的最大时，P的位置，根据点到线的距离公式计算即可. 【详解】由圆，可知其圆心，半径为r， 由切线的性质易知，则取最大时，最小，即， 所以， 又的最大值为，所以此时，则的值为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法一定正确的是（ ） A. 过点的直线方程为 B. 直线的倾斜角为 C. 若，，则直线不经过第三象限 D. 过、两点的直线方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】取倾斜角为直角的直线可判断A选项；取，可判断B选项；化直线方程为斜截式，数形结合可判断C选项；利用两点式方程可判断D选项. 【详解】对于A选项，过点且斜率不存在的直线的方程为，A错； 对于B选项，若，则直线的倾斜角不是，B错； 对于C选项，因为，，则直线的方程可化为， 故直线的斜率为，该直线在轴上的截距为， 作出直线的图象如下图所示： 由图可知，当，时，直线不经过第三象限，C对； 对于D选项，当过点、的直线的斜率存在且不为零时， 则该直线的两点式方程为，可化为， 当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足， 当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足， 综上所述，过、两点的直线方程为，D对. 故选：CD. 10. 如图，曲线称为“双纽线”，其对称中心在坐标原点，且上的点满足到点和的距离之积为定值，则（ ） A. 若，点在曲线上 B. 若，曲线的方程为 C. 若，曲线上点的纵坐标的最大值为1 D. 若点在上，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项设曲线与x轴正半轴相交于，可题意上的点满足到点和的距离之积为，化简求解可得；B项设曲线上任一点，坐标代入可得方程，然后化简即可判断； C项若，可得方程，由得验证可得最值；D项设点求曲线方程，由可得成立. 【详解】由图可知，原点在曲线上，则. 选项A，若，则，， 由图可设曲线与x轴正半轴相交于， 则由可得，解得 ，故A 正确； 选项B，若，则，设曲线C上任一点坐标为， 则， 两边平方得，即， 所以 ，即，故 B 错误； 选项C，若，则，设曲线C上任一点坐标为， 则， 同理化简得，得， 由方程有解可得， 所以 ，则， 又令，解得，即当时，，故C 正确； 选项 D，由，设曲线C上任一点坐标为， 则， 同理化简可得，由图可知，所以， 即若点在C 上，恒有成立，故D正确． 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于利用“设点、写关系、代坐标、化简”的步骤，求出曲线方程并化简. 11. 在下列关于二项式的命题中，正确的是（ ） A. 若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B. 若，则 C. 在的展开式中，常数项为60 D. 的展开式中，的系数为5 【答案】BCD 【解析】 【分析】对分奇偶讨论可求得判断A；令与，可求得的值判断B；利用展开式的通项公式求解判断C；求得中的与的系数即可判断D. 【详解】对于A，由二项式的系数的性质可知最中间项的二项式系数最大， 当为偶数时，最中间项只有一项，又第3项的二项式系数最大，故共为5项， 所以，解得， 当为奇数时，中间项有二项，又第3项的二项式系数最大， 所以可能第二项与第三项二项式系数相同都最大或第三项与第四项二项式系数相同都最大或， 此时或，解得或，故A错误； 对于B，令，可得， 令，可得，所以，故B正确； 对于C，二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以第5项为常数项且常数项为，故C正确； 对于D，展开式中的系数为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：赋值法是求解二项式定理中各项系数和的重要方法，求解展开式中的常数项的方法主要是利用展开式的通项公式求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 对于随机事件，若，，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式及概率的性质计算即可. 【详解】因为，所以， 则， 所以， 又， 所以，解得. 故答案为：. 13. 已知，则的中点关于平面的对称点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点关于坐标平面对称点的特征可求对称点的坐标. 【详解】的中点为，故其关于平面的对称点的坐标为， 故答案为： 14. 已知曲线过原点，且除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点的横纵坐标之积的比值为定值，给出下列四个结论： ①曲线关于对称； ②若点在曲线上，则其方程为； ③对于任意，曲线围成的图形的面积一定小于； ④存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】首先根据已知条件求出曲线方程，运用曲线的对称性判断①；将代入曲线方程即可判断②；利用基本不等式放缩解决曲线所围图形面积判断③；由整点定义判断④. 【详解】对于①，先求曲线方程，设曲线上除原点外一点为， 由已知，即. 若点在曲线上，则也满足曲线方程， 所以曲线关于直线对称，①正确； 对于②，将代入曲线方程，得， 即，故，此时方程为，②错误； 对于③，， 所以， 所以在以圆心为，半径为的圆内，结合图形知道，③正确； 对于④，由于，所以， 由可知，， 故其图象在第一、三象限， 由曲线的对称性可知，要使曲线上有5个整点， 则曲线在第一象限内有两个整点， 当整点为时，，此时整点都在曲线上，其有3个整点，不满足题意； 当整点为时，，此时整点均在曲线上， 且均不在曲线上，其有5个整点，满足题意，④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】关键点点睛：本题关键是求出曲线方程，后运用性质，如对称性，整点，面积借助放缩成半圆即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，是圆的一条直径的两个端点，为圆上任意一点，直线分别与轴、轴交于，两点.角的终边与单位圆交于点. （1）求圆在点处的切线方程； （2）求面积的最大值； （3）求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题设有圆、，则，进而可得切线斜率，应用点斜式写出切线方程； （2）要使面积的最大，只需圆上点到直线距离最大，结合点线距离公式、三角形面积公式求最大面积； （3）若是的中点，则，且，再由，，应用向量数量积的运算律求目标式的范围. 【小问1详解】 由题设，且圆的半径为1，则圆， 又，即，显然在圆上，则， 所以圆在点处的切线的斜率为，所求切线为， 整理得. 【小问2详解】 由题设，，则， 到的距离，则到最大距离为， 所以面积的最大值为； 【小问3详解】 设是的中点，则，且，故， 由，，且， 所以，， 所以， 对于，当同向共线时最大，反向共线时最小， 所以， 综上，. 16. 如图，在三棱柱中，四边形是菱形，、分别是、的中点，平面平面，，． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：取的中点，连接，， 所以，又因为，所以， 因为四边形是菱形，是的中点，，所以⊥， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以⊥， 因为平面，所以平面， 又，，所以四边形为平行四边形， 所以四点共面，则平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，可证得，由面面垂直证明平面，可得⊥，进而证得平面，即可证得结论. （2）由已知可证得知MC，ME，MF两两垂直，即可建立空间直角坐标系，进而求得平面的法向量，利用线面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知四边形为平行四边形，所以，所以平面， 平面，所以， 故MC，ME，MF两两垂直，如图，建立空间直角坐标系 因为，，所以，， 则，， 于是，设平面的法向量为， 则有，可取， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知O为坐标原点，双曲线的焦距为6，且经过点. （1）求双曲线C标准方程； （2）已知点，点P在双曲线C上，设直线的斜率分别为，请问是否为定值，如果是求出其值，如果不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）为定值，其值为. 【解析】 【分析】（1）利用焦距为6可求，双曲线的方程可设为，将代入求解可得，即可求出曲线的轨迹方程. （2）设，计算，利用在椭圆上化简可得定值. 【小问1详解】 由题意可得出：，则， 所以双曲线的方程可设为，因为经过点， 所以，化简可得：， 解得：或（舍去）， 所以双曲线C标准方程为：. 【小问2详解】 ，设， 因为在双曲线上，所以，则， 则. 所以为定值，其值为. 18. 如图，在直三棱柱中，，，为线段上的一点，且，为线段的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 连接，记，连接， 由题意知：四边形正方形，且为的中点， ，则，且； 又，； 又平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用相似可得出线线平行，再由线面平行的判定定理得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可知，、、两两垂直， 以为原点，以所在的直线分别为轴，建立如图所示的 空间直角坐标系， 因为，，则有，，， 则、， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 由题易知平面的一个法向量为， 记二面角的平面角为，由图可知：为锐角， 则． 19. 剪刀石头布又称“猜丁壳”，古老而简单，游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头，三者相互制约，因此不论平局几次，总会有决出胜负的时候.现甲､乙两位同学各有张卡片，以“剪刀､石头､布”的形式进行游戏：输方将给赢方一张卡片，平局互不给卡片，直至某人赢得所有卡片或满局时，游戏终止.若甲､乙一局各自赢的概率都是，平局的概率为. （1）当时，求甲同学在第四局赢得所有卡片的概率； （2）当时，用表示比赛进行的局数，求分布列； （3）当时，求学生甲恰好满局时赢得所有卡片的概率. 【答案】（1） （2） 的分布列为： X 3 4 5 6 P （3）【解析】 【分析】（1）甲同学在第四局赢得所有卡片这个事件就是甲在第四局赢，前三局中平2局蠃1局或前两局中输1局蠃1局，第三局蠃，由此可得； （2）可能取值为，分别求出概率后可得分布列； （3）学生甲恰好满局时赢得所有卡片，前6局平3局蠃3局，或蠃4局输1局平1局，此时输的1局是前4局中一局，平的一局随便是哪一局，输的一局是第五局时，平的一局在前四局之一．由此可得． 【小问1详解】 设甲同学在第四局赢得所有卡片为事件A，则P 【小问2详解】 可能取值为，，，． 则的分布列为： X 3 4 5 6 P 【小问3详解】设学生甲恰好满7局时赢得所有卡片为事件， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡县第一高级中学高二2024年12月份月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知，若，则实数（ ） A. 0或1 B. C. 1 D. 0或 2. 若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 3. 在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 4. 在展开式中，系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 5. 某学校利用周末时间组织学生进行志愿者服务，高二年级共6个班，其中（1）班有2个志愿者队长，本次志愿者服务一共20个名额，志愿者队长必须参加且不占名额，若每个班至少有3人参加，则共有（ ）种分配方法. A. 90 B. 60 C. 126 D. 120 6. 某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线为切点，当的最大值为，则的值为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法一定正确的是（ ） A. 过点的直线方程为 B. 直线的倾斜角为 C. 若，，则直线不经过第三象限 D. 过、两点的直线方程为 10. 如图，曲线称为“双纽线”，其对称中心在坐标原点，且上的点满足到点和的距离之积为定值，则（ ） A. 若，点在曲线上 B. 若，曲线的方程为 C. 若，曲线上点的纵坐标的最大值为1 D. 若点在上，则 11. 在下列关于二项式的命题中，正确的是（ ） A. 若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B. 若，则 C. 在的展开式中，常数项为60 D. 的展开式中，的系数为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 对于随机事件，若，，，则__________. 13. 已知，则的中点关于平面的对称点的坐标是___________． 14. 已知曲线过原点，且除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点的横纵坐标之积的比值为定值，给出下列四个结论： ①曲线关于对称； ②若点在曲线上，则其方程为； ③对于任意，曲线围成的图形的面积一定小于； ④存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 其中所有正确结论的序号是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，是圆的一条直径的两个端点，为圆上任意一点，直线分别与轴、轴交于，两点.角的终边与单位圆交于点. （1）求圆在点处的切线方程； （2）求面积的最大值； （3）求的取值范围. 16. 如图，在三棱柱中，四边形是菱形，、分别是、的中点，平面平面，，． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知O为坐标原点，双曲线的焦距为6，且经过点. （1）求双曲线C标准方程； （2）已知点，点P在双曲线C上，设直线的斜率分别为，请问是否为定值，如果是求出其值，如果不是，请说明理由． 18. 如图，在直三棱柱中，，，为线段上的一点，且，为线段的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 19. 剪刀石头布又称“猜丁壳”，古老而简单，游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头，三者相互制约，因此不论平局几次，总会有决出胜负的时候.现甲､乙两位同学各有张卡片，以“剪刀､石头､布”的形式进行游戏：输方将给赢方一张卡片，平局互不给卡片，直至某人赢得所有卡片或满局时，游戏终止.若甲､乙一局各自赢的概率都是，平局的概率为. （1）当时，求甲同学在第四局赢得所有卡片的概率； （2）当时，用表示比赛进行的局数，求分布列； （3）当时，求学生甲恰好满局时赢得所有卡片的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $